Ý nghĩa của đạo hàm cấp một. Đạo hàm hàm

Sau đây là bảng tổng hợp để các bạn tiện theo dõi và rõ ràng khi nghiên cứu đề tài.

Không thay đổiy = C Hàm lũy thừa y = x p (x p) "= p x p - 1	Hàm số mũy = x (a x) "= a x ln a Đặc biệt, khia = echúng ta có y = e x (e x) "= e x
hàm logarit (log a x) "= 1 x ln a Đặc biệt, khia = echúng ta có y = log x (ln x) "= 1 x	Hàm lượng giác (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Hàm lượng giác nghịch đảo (a r c sin x) "= 1 1 - x 2 (a r c cos x)" = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) "= 1 1 + x 2 (a r c c t g x)" = - 1 1 + x 2	Hàm hyperbolic (s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

Chúng ta hãy phân tích cách thu được các công thức của bảng xác định, hay nói cách khác, chúng ta sẽ chứng minh tính suy ra các công thức về đạo hàm cho từng loại hàm.

Đạo hàm của một hằng số

Bằng chứng 1

Để suy ra công thức này, chúng ta lấy làm cơ sở định nghĩa đạo hàm của một hàm tại một điểm. Chúng tôi sử dụng x 0 = x, trong đó x nhận giá trị của bất kỳ số thực nào, hay nói cách khác, x là một số bất kỳ thuộc miền của hàm f (x) = C. Hãy viết giới hạn của tỷ số giữa số gia của hàm với số gia của đối số là ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Hãy lưu ý rằng biểu thức 0 ∆ x nằm dưới dấu giới hạn. Nó không phải là độ không đảm bảo của "số không chia cho số không", vì tử số không chứa giá trị thập phân nhỏ mà là số không. Nói cách khác, số gia của một hàm hằng luôn bằng không.

Vì vậy, đạo hàm của hàm hằng f (x) = C bằng 0 trên toàn bộ miền định nghĩa.

ví dụ 1

Cho các hàm hằng số:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22, f 4 (x) = 0, f 5 (x) = - 8 7

Dung dịch

Hãy để chúng tôi mô tả các điều kiện đã cho. Trong hàm số đầu tiên chúng ta thấy đạo hàm của số tự nhiên là 3. Trong ví dụ sau, bạn cần lấy đạo hàm của một, ở đâu một- bất kỳ số thực nào. Ví dụ thứ ba cho chúng ta đạo hàm của số vô tỉ 4. 13 7 22, bậc 4 - đạo hàm của 0 (0 là một số nguyên). Cuối cùng, trong trường hợp thứ năm, chúng ta có đạo hàm của phân số hữu tỉ - 8 7.

Câu trả lời: các đạo hàm của các hàm đã cho bằng 0 đối với bất kỳ thực x(trên toàn bộ miền định nghĩa)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 "(x) = 4. 13 7 22" = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5 "(x) = - 8 7" = 0

Đạo hàm hàm lũy thừa

Chúng ta chuyển sang hàm lũy thừa và công thức đạo hàm của nó, có dạng: (x p) "= p x p - 1, trong đó số mũ P là bất kỳ số thực nào.

Bằng chứng 2

Đây là bằng chứng của công thức khi số mũ là một số tự nhiên: p = 1, 2, 3,…

Một lần nữa, chúng ta dựa vào định nghĩa của đạo hàm. Hãy viết giới hạn của tỷ lệ số gia của hàm lũy thừa với số gia của đối số:

(x p) "= lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Để đơn giản hóa biểu thức ở tử số, chúng ta sử dụng công thức nhị thức Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Theo cách này:

(x p) "= lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 +... + 0 = p! 1! (P - 1)! X p - 1 = p x p - 1

Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh công thức cho đạo hàm của một hàm lũy thừa khi số mũ là một số tự nhiên.

Bằng chứng 3

Để đưa ra bằng chứng cho trường hợp khi P- Bất kỳ số thực nào khác 0, chúng ta sử dụng đạo hàm lôgarit (ở đây chúng ta nên hiểu sự khác biệt với đạo hàm của hàm số lôgarit). Để có một sự hiểu biết đầy đủ hơn, chúng ta nên nghiên cứu đạo hàm của hàm số lôgarit và giải quyết thêm về đạo hàm của một hàm số đã cho ngầm định và đạo hàm của một hàm số phức.

Hãy xem xét hai trường hợp: khi x tích cực và khi nào x là tiêu cực.

Vậy x> 0. Khi đó: x p> 0. Chúng tôi lấy lôgarit của đẳng thức y \ u003d x p cho cơ số e và áp dụng tính chất của lôgarit:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Ở giai đoạn này, một hàm được xác định ngầm đã được thu được. Hãy xác định đạo hàm của nó:

(ln y) "= (p ln x) 1 y y" = p 1 x ⇒ y "= p y x = p x p x = p x p - 1

Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp khi x- một số âm.

Nếu chỉ số P là một số chẵn, thì hàm lũy thừa cũng được xác định cho x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Sau đó xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Nếu một P là một số lẻ, thì hàm lũy thừa được xác định cho x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \ u003d (- (- x) p)" \ u003d - ((- x) p) "\ u003d - p (- x) p - 1 (- x)" = \ u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Quá trình chuyển đổi cuối cùng có thể thực hiện được vì nếu P là một số lẻ, sau đó p - 1 do đó hoặc là số chẵn hoặc số 0 (đối với p = 1) đối với âm xđẳng thức (- x) p - 1 = x p - 1 là đúng.

Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh công thức cho đạo hàm của một hàm lũy thừa với bất kỳ p thực nào.

Ví dụ 2

Các chức năng đã cho:

f 1 (x) = 1 x 2 3, f 2 (x) = x 2 - 1 4, f 3 (x) = 1 x log 7 12

Xác định các dẫn xuất của chúng.

Dung dịch

Chúng tôi biến đổi một phần của các hàm đã cho thành dạng bảng y = x p, dựa trên các thuộc tính của bậc, và sau đó sử dụng công thức:

f 1 (x) \ u003d 1 x 2 3 \ u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \ u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \ u003d - 2 3 x - 5 3 f 2" (x) \ u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Đạo hàm của hàm số mũ

Bằng chứng 4

Chúng tôi suy ra công thức cho đạo hàm, dựa trên định nghĩa:

(a x) "= lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Chúng tôi không chắc chắn. Để mở rộng nó, chúng ta viết một biến mới z = a ∆ x - 1 (z → 0 là ∆ x → 0). Trong trường hợp này a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a. Đối với lần chuyển cuối cùng, công thức chuyển sang cơ số mới của lôgarit được sử dụng.

Hãy thực hiện thay thế trong giới hạn ban đầu:

(a x) "= a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Nhớ lại giới hạn tuyệt vời thứ hai và sau đó chúng ta nhận được công thức cho đạo hàm của hàm số mũ:

(a x) "= a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Ví dụ 3

Các hàm mũ được đưa ra:

f 1 (x) = 2 3 x, f 2 (x) = 5 3 x, f 3 (x) = 1 (e) x

Chúng ta cần tìm các dẫn xuất của chúng.

Dung dịch

Chúng tôi sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ và các tính chất của lôgarit:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x "= 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Đạo hàm của một hàm số lôgarit

Bằng chứng 5

Chúng tôi trình bày cách chứng minh công thức tính đạo hàm của hàm số logarit cho bất kỳ x trong miền định nghĩa và bất kỳ giá trị hợp lệ nào của cơ số a của lôgarit. Dựa vào định nghĩa của đạo hàm, ta nhận được:

(log a x) "= lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Có thể thấy từ chuỗi bằng nhau xác định rằng các phép biến đổi được xây dựng trên cơ sở tính chất lôgarit. Đẳng thức lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e là đúng theo giới hạn đáng chú ý thứ hai.

Ví dụ 4

Các hàm lôgarit được đưa ra:

f 1 (x) = log log 3 x, f 2 (x) = log x

Nó là cần thiết để tính toán các dẫn xuất của chúng.

Dung dịch

Hãy áp dụng công thức dẫn xuất:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3); f 2 "(x) \ u003d (ln x)" \ u003d 1 x ln e \ u003d 1 x

Vì vậy, đạo hàm của lôgarit tự nhiên là một chia cho x.

Đạo hàm của hàm lượng giác

Bằng chứng 6

Chúng tôi sử dụng một số công thức lượng giác và giới hạn tuyệt vời đầu tiên để suy ra công thức tính đạo hàm của một hàm số lượng giác.

Theo định nghĩa của đạo hàm của hàm sin, chúng ta nhận được:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Công thức cho sự khác biệt của các sines sẽ cho phép chúng tôi thực hiện các hành động sau:

(sin x) "= lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Cuối cùng, chúng tôi sử dụng giới hạn tuyệt vời đầu tiên:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Vậy đạo hàm của hàm tội lỗi x sẽ là cos x.

Chúng ta cũng sẽ chứng minh công thức của đạo hàm cosin theo cách tương tự:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Những thứ kia. đạo hàm của hàm cos x sẽ là - sin x.

Chúng tôi suy ra các công thức về đạo hàm của tiếp tuyến và cotang dựa trên các quy tắc phân biệt:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos" x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin" x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Đạo hàm của hàm lượng giác ngược

Phần đạo hàm của hàm ngược cung cấp thông tin toàn diện về cách chứng minh công thức cho đạo hàm của arcsine, arccosine, arctang và arccotang, vì vậy chúng tôi sẽ không trùng lặp tài liệu ở đây.

Đạo hàm của hàm hypebolic

Bằng chứng 7

Chúng ta có thể tính được các công thức về đạo hàm của hypebolic sin, cosin, tiếp tuyến và cotang bằng cách sử dụng quy tắc phân biệt và công thức tính đạo hàm của hàm số mũ:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h" x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h" x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Có thể lấy ra khỏi biển báo phát sinh:

(af (x) "= af" (x).

Ví dụ:

Đạo hàm của một tổng đại số một số hàm (nhận ở một số không đổi) bằng tổng đại số của chúng các dẫn xuất:

(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x)) "= f 1" (x) + f 2 "(x) - f 3" (x).

Ví dụ:

(0,3 x 2 - 2 x + 0,8) "= (0,3 x 2)" - (2 x) "+ (0,8)" = 0,6 x - 2 ( phát sinh Cuối cùng kỳ hạn phương trình bằng không).

Nếu một đạo hàm hàm g là khác không, thì tỷ lệ f / g cũng có đạo hàm cuối cùng. Thuộc tính này có thể được viết là:

.

Để cho chức năng y = f (x) và y = g (x) có dẫn xuất hữu hạn tại điểm x 0. sau đó chức năng f ± g và f g cũng có các dẫn xuất cuối cùng trongđây điểm. Sau đó, chúng tôi nhận được:

(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,

(f g) ′ = f ′ g + f g ′.

Đạo hàm của một hàm phức.

Để cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cuối cùng tại một điểm x 0 thì hàm z = s (y) có đạo hàm hữu hạn tại điểm y 0 = f (x 0).

sau đó chức năng phức tạp z = s (f (x)) cũng có một đạo hàm hữu hạn tại điểm này. Điều này có thể được viết dưới dạng:

.

Đạo hàm của hàm ngược.

Cho hàm số y = f (x) có chức năng trái ngược x = g (y) trên một số khoảng thời gian(a, b) và tồn tại một số khác đạo hàm cuối cùng hàm này tại điểm x 0, thuộc về các miền, I E. x 0 ∈ (a, b).

sau đó chức năng trái ngược Nó có phát sinh tại điểm y 0 = f (x 0):

.

Đạo hàm của một hàm ngầm định.

Nếu một hàm số y = f (x) được định nghĩa ngầm phương trình F (x, y (x)) = 0, thì phát sinhđược tìm thấy từ điều kiện:

.

Họ nói rằng hàm số y = f (x) thiết lập ngầm, Nêu cô ây giống hệt nhau thỏa mãn mối quan hệ:

trong đó F (x, y) là một số hàm của hai đối số.

Đạo hàm của một hàm đã cho theo tham số.

Nếu một hàm số y = f (x) được cho theo tham số bằng cách sử dụng

Đạo hàm của hàm số là một trong những chuyên đề khó trong chương trình học ở trường. Không phải mọi sinh viên tốt nghiệp sẽ trả lời câu hỏi đạo hàm là gì.

Bài viết này giải thích một cách đơn giản và rõ ràng đạo hàm là gì và tại sao nó lại cần thiết.. Bây giờ chúng ta sẽ không phấn đấu cho sự chặt chẽ về mặt toán học trong việc trình bày. Điều quan trọng nhất là hiểu ý nghĩa.

Hãy nhớ định nghĩa:

Đạo hàm là tốc độ thay đổi của hàm.

Hình bên là đồ thị của ba hàm số. Bạn nghĩ cái nào phát triển nhanh nhất?

Câu trả lời là hiển nhiên - thứ ba. Nó có tỷ lệ thay đổi cao nhất, tức là, đạo hàm lớn nhất.

Đây là một ví dụ khác.

Kostya, Grisha và Matvey nhận việc cùng lúc. Hãy xem thu nhập của họ thay đổi như thế nào trong năm:

Bạn có thể thấy mọi thứ trên biểu đồ ngay lập tức, phải không? Thu nhập của Kostya đã tăng hơn gấp đôi trong sáu tháng. Và thu nhập của Grisha cũng tăng lên, nhưng chỉ một chút thôi. Và thu nhập của Matthew giảm xuống còn không. Các điều kiện bắt đầu giống nhau, nhưng tốc độ thay đổi của chức năng, tức là phát sinh, - khác nhau. Đối với Matvey, thu nhập của anh ta nói chung là số âm.

Bằng trực giác, chúng ta có thể dễ dàng ước lượng tốc độ thay đổi của một hàm. Nhưng chúng ta phải làm như thế nào?

Những gì chúng ta thực sự đang xem xét là đồ thị của hàm số đi lên (hoặc đi xuống) dốc như thế nào. Nói cách khác, y thay đổi nhanh như thế nào theo x. Rõ ràng, cùng một hàm tại các điểm khác nhau có thể có một giá trị khác nhau của đạo hàm - nghĩa là, nó có thể thay đổi nhanh hơn hoặc chậm hơn.

Đạo hàm của một hàm số được ký hiệu là.

Hãy trình bày cách tìm bằng cách sử dụng biểu đồ.

Một đồ thị của một số hàm được vẽ. Hãy ghi nhớ nó với một abscissa. Vẽ tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm này. Chúng tôi muốn đánh giá mức độ dốc của đồ thị của hàm số. Một giá trị hữu ích cho việc này là tang của hệ số góc của tiếp tuyến.

Đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến vẽ đồ thị của hàm số tại điểm đó.

Xin lưu ý - là góc nghiêng của tiếp tuyến, chúng tôi lấy góc giữa tiếp tuyến và chiều dương của trục.

Đôi khi học sinh hỏi tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì. Đây là một đường thẳng có điểm chung duy nhất với đồ thị trong phần này, hơn nữa, như thể hiện trong hình của chúng ta. Nó trông giống như một tiếp tuyến của một đường tròn.

Hãy tìm . Chúng ta nhớ rằng tiếp tuyến của một góc nhọn trong tam giác vuông bằng tỉ số của chân đối diện với cạnh kề. Từ tam giác:

Chúng tôi tìm thấy đạo hàm bằng cách sử dụng đồ thị mà không cần biết công thức của hàm số. Những nhiệm vụ như vậy thường thấy trong các đề thi môn toán dưới số.

Có một mối tương quan quan trọng khác. Nhớ lại rằng đường thẳng được cho bởi phương trình

Đại lượng trong phương trình này được gọi là độ dốc của một đường thẳng. Nó bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng với trục.

.

Chúng tôi nhận được điều đó

Hãy ghi nhớ công thức này. Nó thể hiện ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng hệ số góc của tiếp tuyến vẽ đồ thị của hàm số tại điểm đó.

Nói cách khác, đạo hàm bằng tang của hệ số góc của tiếp tuyến.

Chúng ta đã nói rằng cùng một hàm tại các điểm khác nhau có thể có một đạo hàm khác nhau. Hãy xem đạo hàm có liên quan như thế nào đến hành vi của hàm.

Hãy vẽ đồ thị của một hàm số nào đó. Hãy để chức năng này tăng lên ở một số khu vực và giảm ở những khu vực khác, và ở các tỷ lệ khác nhau. Và để hàm này có điểm cực đại và cực tiểu.

Tại một thời điểm, chức năng đang tăng lên. Tiếp tuyến của đồ thị, được vẽ tại điểm, tạo thành một góc nhọn với hướng dương của trục. Vì vậy, đạo hàm là số dương tại điểm.

Tại thời điểm này, chức năng của chúng tôi đang giảm. Tiếp tuyến tại điểm này tạo thành một góc tù với chiều dương của trục. Vì tiếp tuyến của một góc tù là số âm nên đạo hàm tại điểm là số âm.

Đây là những gì sẽ xảy ra:

Nếu một hàm đang tăng thì đạo hàm của nó là dương.

Nếu nó giảm, đạo hàm của nó là âm.

Và điều gì sẽ xảy ra ở điểm tối đa và điểm tối thiểu? Ta thấy rằng tại (điểm cực đại) và (điểm cực tiểu) thì tiếp tuyến nằm ngang. Do đó, tang của hệ số góc của tiếp tuyến tại những điểm này bằng không, và đạo hàm cũng bằng không.

Điểm là điểm tối đa. Tại thời điểm này, mức tăng của chức năng được thay thế bằng mức giảm. Do đó, dấu của đạo hàm thay đổi tại điểm từ "cộng" thành "trừ".

Tại điểm - điểm cực tiểu - đạo hàm cũng bằng 0, nhưng dấu của nó chuyển từ "trừ" thành "cộng".

Kết luận: với sự trợ giúp của đạo hàm, bạn có thể tìm ra mọi thứ mà chúng ta quan tâm về hành vi của hàm.

Nếu đạo hàm là số dương thì hàm số đang tăng.

Nếu đạo hàm âm thì hàm số đang giảm.

Tại điểm cực đại, đạo hàm bằng 0 và đổi dấu từ cộng sang trừ.

Tại điểm cực tiểu, đạo hàm cũng bằng 0 và đổi dấu từ trừ sang cộng.

Chúng tôi viết những phát hiện này dưới dạng một bảng:

	tăng	điểm tối đa	giảm	điểm tối thiểu	tăng
+	0	-	0	+

Hãy làm rõ hai điều nhỏ. Bạn sẽ cần một trong số chúng khi giải quyết các vấn đề trong kỳ thi. Một - trong năm đầu tiên, với một nghiên cứu nghiêm túc hơn về chức năng và đạo hàm.

Một trường hợp có thể xảy ra khi đạo hàm của hàm số tại một thời điểm nào đó bằng 0, nhưng tại thời điểm này hàm số không có cực đại cũng không có cực tiểu. Cái gọi là :

Tại một điểm, tiếp tuyến của đồ thị là hoành độ và đạo hàm bằng không. Tuy nhiên, trước điểm, hàm tăng - và sau điểm, nó tiếp tục tăng. Dấu của đạo hàm không thay đổi - nó vẫn dương như ban đầu.

Nó cũng xảy ra rằng tại điểm cực đại hoặc cực tiểu, đạo hàm không tồn tại. Trên đồ thị, điều này tương ứng với một điểm đứt nét, khi không thể vẽ tiếp tuyến tại một điểm nhất định.

Nhưng làm thế nào để tìm đạo hàm nếu hàm số được cho không phải bởi đồ thị mà bởi công thức? Trong trường hợp này, nó được áp dụng

Hoàn toàn không thể giải các bài toán vật lý hoặc các ví dụ trong toán học nếu không có kiến ​​thức về đạo hàm và các phương pháp tính nó. Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của phân tích toán học. Chúng tôi quyết định dành bài viết hôm nay cho chủ đề cơ bản này. Đạo hàm là gì, ý nghĩa vật lý và hình học của nó, cách tính đạo hàm của một hàm số? Tất cả những câu hỏi này có thể được gộp lại thành một: làm thế nào để hiểu đạo hàm?

Ý nghĩa hình học và vật lý của đạo hàm

Hãy để có một chức năng f (x) , được đưa ra trong một khoảng thời gian (a, b) . Các điểm x và x0 thuộc khoảng này. Khi x thay đổi thì bản thân hàm cũng thay đổi theo. Thay đổi đối số - sự khác biệt của các giá trị của nó x-x0 . Sự khác biệt này được viết là delta x và được gọi là tăng đối số. Sự thay đổi hoặc số gia của một hàm là sự khác biệt giữa các giá trị của một hàm tại hai điểm. Định nghĩa đạo hàm:

Đạo hàm của một hàm tại một điểm là giới hạn của tỷ số giữa số gia của hàm tại một điểm nhất định với số gia của đối số khi giá trị sau có xu hướng bằng không.

Nếu không, nó có thể được viết như thế này:

Tìm một giới hạn như vậy có ích gì? Nhưng cái nào:

Đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng tiếp tuyến của góc giữa trục OX và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cho trước.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm: đạo hàm theo thời gian của đường đi bằng tốc độ của chuyển động thẳng đều.

Quả thực, từ thời đi học, ai cũng biết tốc độ là con đường riêng. x = f (t) và thời gian t . Tốc độ trung bình trong một khoảng thời gian nhất định:

Để tìm ra tốc độ chuyển động tại một thời điểm t0 bạn cần tính toán giới hạn:

Quy tắc một: loại bỏ hằng số

Hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Hơn nữa, nó phải được thực hiện. Khi giải các ví dụ trong toán học, hãy xem như một quy tắc - nếu bạn có thể đơn giản hóa biểu thức, hãy đảm bảo đơn giản hóa .

Thí dụ. Hãy tính đạo hàm:

Quy tắc hai: đạo hàm của tổng hàm

Đạo hàm của tổng hai hàm số bằng tổng đạo hàm của các hàm số này. Điều này cũng đúng với đạo hàm của sai phân của các hàm.

Chúng tôi sẽ không đưa ra một bằng chứng của định lý này, nhưng thay vì xem xét một ví dụ thực tế.

Tìm đạo hàm của một hàm số:

Quy tắc ba: đạo hàm của tích các hàm

Đạo hàm của tích hai hàm phân biệt được tính theo công thức:

Ví dụ: tìm đạo hàm của một hàm số:

Dung dịch:

Ở đây điều quan trọng là phải nói về việc tính đạo hàm của các hàm phức. Đạo hàm của một hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm này đối với đối số trung gian bằng đạo hàm của đối số trung gian đối với biến độc lập.

Trong ví dụ trên, chúng ta gặp biểu thức:

Trong trường hợp này, đối số trung gian là 8x đến lũy thừa thứ năm. Để tính đạo hàm của một biểu thức như vậy, trước hết chúng ta xét đạo hàm của hàm số bên ngoài đối với đối số trung gian, sau đó nhân với đạo hàm của đối số trung gian đối với biến độc lập.

Quy tắc thứ tư: Đạo hàm của thương của hai hàm số

Công thức xác định đạo hàm của một thương hai hàm số:

Chúng tôi đã cố gắng nói về các dẫn xuất cho hình nộm ngay từ đầu. Chủ đề này không đơn giản như nó có vẻ, vì vậy hãy cảnh báo: thường có những cạm bẫy trong các ví dụ, vì vậy hãy cẩn thận khi tính toán các đạo hàm.

Với bất kỳ câu hỏi nào về chủ đề này và các chủ đề khác, bạn có thể liên hệ với dịch vụ sinh viên. Trong thời gian ngắn, chúng tôi sẽ giúp bạn giải quyết các công việc kiểm soát và giải quyết khó khăn nhất, ngay cả khi bạn chưa bao giờ xử lý cách tính phái sinh trước đây.