Cách tính tọa độ của véc tơ. Vectơ cho hình nộm

Cuối cùng, tôi đã bắt tay vào một chủ đề mở rộng và được chờ đợi từ lâu hình học phân tích. Đầu tiên, một chút về phần này của toán học cao hơn…. Chắc chắn bây giờ bạn đã nhớ đến khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Phải giấu giếm, một môn học không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một tỷ lệ đáng kể sinh viên. Hình học giải tích, kỳ lạ thay, có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ "phân tích" có nghĩa là gì? Hai biến toán học được đóng dấu ngay lập tức xuất hiện trong tâm trí anh: "phương pháp đồ họa của giải pháp" và "phương pháp phân tích của giải pháp". Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng các đồ thị, hình vẽ. Phân tích tương tự phương pháp liên quan đến giải quyết vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về mặt này, thuật toán để giải hầu hết các vấn đề của hình học giải tích là đơn giản và minh bạch, thường là đủ để áp dụng chính xác các công thức cần thiết - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, nó sẽ không làm gì nếu không có bản vẽ, ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng mang chúng vượt quá nhu cầu.

Quá trình mở của các bài học về hình học không đòi hỏi tính hoàn chỉnh về mặt lý thuyết, mà nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì, theo quan điểm của tôi, là quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần một tài liệu tham khảo đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi giới thiệu tài liệu khá dễ tiếp cận sau đây:

1) Một điều mà, không phải chuyện đùa, đã quen thuộc với nhiều thế hệ: Sách giáo khoa về hình học, các tác giả - L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo trong phòng thay đồ của trường học này đã chịu được 20 (!) Được phát hành lại, tất nhiên, đây không phải là giới hạn.

2) Hình học 2 tập. Các tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho giáo dục đại học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Các nhiệm vụ hiếm khi xảy ra có thể nằm ngoài tầm nhìn của tôi, và hướng dẫn sẽ giúp ích vô giá.

Cả hai cuốn sách đều được tải trực tuyến miễn phí. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải xuống các ví dụ toán học cao hơn.

Trong số các công cụ, tôi một lần nữa cung cấp sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm về hình học phân tích, điều này sẽ giúp đơn giản hóa cuộc sống và tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Giả thiết rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình lập phương, v.v. Nên nhớ một số định lý, ít nhất là định lý Pitago, xin chào các bạn lặp lại)

Và bây giờ chúng ta sẽ tuần tự xem xét: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Hơn nữa, tôi khuyên bạn nên đọc bài báo quan trọng nhất Tích chấm của vectơ, cũng như Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Nhiệm vụ cục bộ sẽ không thừa - Phân chia phân khúc về vấn đề này. Dựa trên những thông tin trên, bạn có thể phương trình của một đường thẳng trong một mặt phẳng Với các ví dụ đơn giản nhất về các giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải quyết vấn đề trong hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình của một mặt phẳng trong không gian, Phương trình của một đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.

Khái niệm vectơ. vector miễn phí

Đầu tiên, chúng ta hãy lặp lại định nghĩa trường của một vectơ. Véc tơ gọi là Chỉ đạo một phân đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được biểu thị:

Trong trường hợp này, đầu đoạn là điểm, cuối đoạn là điểm. Vectơ chính nó được ký hiệu là. Hướng đi là điều cần thiết, nếu bạn sắp xếp lại mũi tên đến đầu kia của đoạn, bạn sẽ nhận được một vectơ và đây là vector hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của một cơ thể vật chất: bạn phải thừa nhận rằng việc bước vào cửa một viện hay ra khỏi cửa một viện là những điều hoàn toàn khác nhau.

Thật tiện lợi khi coi các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng, không gian như cái gọi là vectơ không. Một vectơ như vậy có cùng điểm cuối và điểm đầu.

!!! Ghi chú: Ở đây và bên dưới, bạn có thể giả định rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.

Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức chú ý đến một cây gậy không có mũi tên trong tên chỉ định và nói rằng họ cũng đặt một mũi tên ở trên cùng! Đúng vậy, bạn có thể viết bằng một mũi tên:, nhưng có thể chấp nhận được và ghi lại mà tôi sẽ sử dụng sau này. Tại sao? Rõ ràng, thói quen như vậy đã phát triển từ những cân nhắc thực tế, những cảnh quay của tôi ở trường học và trường đại học hóa ra quá đa dạng và xù xì. Trong tài liệu giáo dục, đôi khi họ không bận tâm đến chữ hình nêm mà chỉ tô đậm các chữ cái:, do đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.

Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:

1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh viết hoa:
và như thế. Trong khi chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.

2) Các vectơ cũng được viết bằng các chữ cái Latinh nhỏ:
Đặc biệt, vectơ của chúng tôi có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Chiều dài hoặc mô-đun vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn thẳng. Độ dài của vectơ null bằng không. Một cách hợp lý.

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu môđun:,

Cách tìm độ dài của một vectơ, chúng ta sẽ học (hoặc nhắc lại, cho ai đó cách thực hiện) một chút sau.

Đó là thông tin cơ bản về véc tơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vector miễn phí.

Nếu nó khá đơn giản - vector có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:

Chúng ta thường gọi các vectơ như vậy là bằng nhau (định nghĩa của các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra bên dưới), nhưng từ quan điểm toán học thuần túy, đây là VECTOR CÙNG hoặc vector miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải quyết vấn đề, bạn có thể “đính kèm” một vectơ “trường” khác vào BẤT KỲ điểm nào của mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tài sản rất mát mẻ! Hãy tưởng tượng một đoạn có hướng có chiều dài và hướng tùy ý - nó có thể được "nhân bản" vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một câu tục ngữ của sinh viên như vậy: Mỗi giảng viên trong f ** u trong vector. Rốt cuộc, nó không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ gần như chính xác - một phân đoạn được đạo diễn cũng có thể được đính kèm ở đó. Nhưng đừng vội mừng, bản thân sinh viên còn khổ hơn nữa =)

Vì thế, vector miễn phí- đây là nhiều các phân đoạn có hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường của một vectơ, được đưa ra ở đầu đoạn văn: "Một đoạn có hướng được gọi là vectơ ...", ngụ ý riêng một đoạn có hướng lấy từ một tập hợp đã cho, được gắn với một điểm nhất định trong mặt phẳng hoặc không gian.

Cần lưu ý rằng theo quan điểm của vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác, và quan điểm ứng dụng là vấn đề quan trọng. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc vào trán cũng đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi kéo theo những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không miễn phí vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).

Các thao tác với vectơ. Tính cộng đồng của vectơ

Trong khóa học hình học ở trường, một số hành động và quy tắc với vectơ được coi là: phép cộng theo quy tắc tam giác, cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc hiệu của vectơ, nhân một vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v. Như một hạt giống, chúng tôi nhắc lại hai quy tắc đặc biệt thích hợp để giải các bài toán về hình học giải tích.

Quy tắc cộng vectơ theo quy tắc tam giác

Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và:

Yêu cầu tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do, chúng tôi hoãn vectơ từ chấm dứt vectơ:

Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy tắc, bạn nên đặt một ý nghĩa vật lý vào nó: để một số cơ thể tạo một đường đi dọc theo vectơ, và sau đó dọc theo vectơ. Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường dẫn kết quả bắt đầu từ điểm khởi hành và kết thúc tại điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như họ nói, cơ thể có thể đi theo đường ngoằn ngoèo mạnh mẽ, hoặc có thể lái tự động - dọc theo vectơ tổng kết quả.

Nhân tiện, nếu vectơ bị hoãn lại từ bắt đầu vectơ, sau đó chúng tôi nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng vectơ.

Đầu tiên, về tính thẳng hàng của vectơ. Hai vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng trong mối quan hệ với họ, tính từ "collinear" luôn được sử dụng.

Hãy tưởng tượng hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này hướng theo cùng một hướng, thì các vectơ đó được gọi là đồng hướng. Nếu các mũi tên nhìn theo các hướng khác nhau, thì các vectơ sẽ hướng dẫn ngược lại.

Chỉ định: tính thẳng hàng của vectơ được viết bằng biểu tượng song song thông thường:, trong khi chi tiết có thể: (vectơ được hướng cùng chiều) hoặc (các vectơ được hướng ngược nhau).

công việc của một vectơ khác không của một số là một vectơ có độ dài bằng, và các vectơ cùng hướng tới và hướng ngược lại tới.

Quy tắc nhân một vectơ với một số dễ hiểu hơn bằng hình ảnh:

Chúng tôi hiểu chi tiết hơn:

1 hướng. Nếu số nhân là âm, thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.

2) Chiều dài. Nếu thừa số được chứa trong hoặc, thì độ dài của vectơ giảm. Vì vậy, độ dài của vectơ nhỏ hơn độ dài của vectơ hai lần. Nếu hệ số môđun lớn hơn một, thì độ dài của vectơ tăngđúng giờ.

3) Xin lưu ý rằng tất cả các vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu diễn thông qua một vectơ khác chẳng hạn. Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn theo một vectơ khác, thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Theo cách này: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ nhận được thẳng hàng(liên quan đến bản gốc) vectơ.

4) Các vectơ đều có hướng. Các vectơ và cũng có hướng. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đối nghịch với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.

Những vectơ nào bằng nhau?

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng đồng hướng ngụ ý rằng các vectơ thẳng hàng. Định nghĩa sẽ không chính xác (thừa) nếu bạn nói: "Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, đồng hướng và có cùng độ dài."

Theo quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, điều này đã được thảo luận trong phần trước.

Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian

Điểm đầu tiên là xem xét các vectơ trên một mặt phẳng. Vẽ một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và đặt ngoài gốc tọa độ Độc thân vectơ và:

Vectơ và trực giao. Orthogonal = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên từ từ làm quen với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng tính thẳng hàng và tính trực giao.

Chỉ định: trực giao của vectơ được viết với dấu vuông góc thông thường, ví dụ:.

Các vectơ được xem xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này tạo thành nền tảng trên bề mặt. Cơ sở là gì, tôi nghĩ, trực quan rõ ràng cho nhiều, thông tin chi tiết hơn có thể được tìm thấy trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và gốc tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng mà trên đó có một cuộc sống hình học đầy đủ và phong phú.

Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là chính thống cơ sở của mặt phẳng: "ortho" - bởi vì các vectơ tọa độ là trực giao, tính từ "chuẩn hóa" có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.

Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, bên trong theo thứ tự nghiêm ngặt vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ:. Vectơ tọa độ nó bị cấmđổi chỗ cho nhau.

Không tí nào vector máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như:
, ở đâu - con số, được gọi là tọa độ vector trong cơ sở này. Nhưng biểu hiện của chính nó gọi là phân hủy vectornền tảng .

Bữa tối được phục vụ:

Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái:. Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân rã vectơ về cơ sở, những vectơ vừa xem xét được sử dụng:
1) quy tắc nhân một vectơ với một số: và;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác:.

Bây giờ, hãy đặt vectơ sang một bên từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự tham nhũng của anh ta sẽ "không ngừng theo anh ta." Đây rồi, tự do của vectơ - vectơ "mang theo mọi thứ bên bạn." Tất nhiên, thuộc tính này đúng với bất kỳ vectơ nào. Thật buồn cười khi bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải đặt ngoài gốc, một vectơ có thể được vẽ, ví dụ, ở phía dưới bên trái, và cái kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi từ điều này! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, bởi vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và vẽ cho bạn một “điểm vượt qua” ở một nơi không mong đợi.

Vectơ, minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ ngược hướng với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, nó có thể được viết tỉ mỉ như sau:


Và các vectơ cơ sở, bằng cách này, là như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).

Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ véc tơ là gì, và tại sao tôi không nói với bạn về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Vì vậy, mở rộng của vectơ "de" và "e" được viết dưới dạng tổng: . Hãy theo dõi hình vẽ để biết cách cộng các vectơ cũ theo quy tắc tam giác hoạt động tốt như thế nào trong những tình huống này.

Được coi là sự phân rã của biểu mẫu đôi khi được gọi là sự phân rã véc tơ trong hệ thống ort(nghĩa là trong hệ thống các vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết một vectơ, tùy chọn sau đây là phổ biến:

Hoặc với dấu bằng:

Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và

Tức là, tọa độ của vectơ được chỉ định trong dấu ngoặc đơn. Trong các tác vụ thực tế, cả ba tùy chọn ghi đều được sử dụng.

Tôi nghi ngờ không biết có nên nói hay không, nhưng tôi vẫn sẽ nói: Không thể sắp xếp lại tọa độ vectơ. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên viết ra tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đứng ở vị trí thứ hai viết ra tọa độ tương ứng với véc tơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.

Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ hãy xem xét các vectơ trong không gian ba chiều, mọi thứ gần như giống nhau ở đây! Chỉ một tọa độ nữa sẽ được thêm vào. Rất khó để thực hiện các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn bản thân ở một vectơ, vì đơn giản, tôi sẽ hoãn lại từ gốc:

Không tí nào Vector không gian 3d cách duy nhất mở rộng theo cơ sở chính thống:
, tọa độ của vectơ (số) ở đâu trong cơ sở đã cho.

Ví dụ từ hình ảnh: . Hãy xem các quy tắc hành động vector hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân một vectơ với một số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh lục) và (mũi tên đỏ tươi). Thứ hai, đây là một ví dụ về việc thêm một số, trong trường hợp này là ba, vectơ:. Vectơ tổng bắt đầu tại điểm bắt đầu đi (đầu của vectơ) và kết thúc ở điểm đến cuối cùng (điểm cuối của vectơ).

Tất nhiên, tất cả các vectơ của không gian ba chiều cũng đều tự do, hãy cố gắng trì hoãn vectơ từ bất kỳ điểm nào khác đi, và bạn sẽ hiểu rằng sự mở rộng của nó "vẫn tồn tại với nó."

Tương tự với trường hợp máy bay, ngoài việc viết các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: một trong hai.

Nếu thiếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ trong phần mở rộng, thì các số không sẽ được đặt thay thế. Ví dụ:
vector (tỉ mỉ ) - viết ra;
vector (tỉ mỉ ) - viết ra;
vector (tỉ mỉ ) - viết ra.

Các vectơ cơ sở được viết như sau:

Ở đây, có lẽ, là tất cả những kiến ​​thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán về hình học giải tích. Có lẽ có quá nhiều thuật ngữ và định nghĩa, vì vậy tôi khuyên người dùng nên đọc lại và hiểu thông tin này một lần nữa. Và sẽ hữu ích cho bạn đọc nào có thể thỉnh thoảng tham khảo bài học cơ bản để đồng hóa tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực chuẩn, sự phân rã véc tơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong những gì sau đây. Tôi lưu ý rằng các tài liệu của trang web không đủ để vượt qua một bài kiểm tra lý thuyết, một bài kiểm tra thông thường về hình học, vì tôi đã cẩn thận mã hóa tất cả các định lý (ngoài ra không có chứng minh) - có hại cho phong cách trình bày khoa học, nhưng một điểm cộng cho sự hiểu biết của bạn của môn học. Để biết thông tin lý thuyết chi tiết, tôi yêu cầu bạn cúi đầu trước Giáo sư Atanasyan.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần thực hành:

Các bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Tác vụ với vectơ trong tọa độ

Các nhiệm vụ sẽ được xem xét, rất mong muốn học cách giải chúng hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, thậm chí không cố ý nhớ, các em sẽ tự nhớ =) Cái này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên các ví dụ sơ cấp đơn giản nhất, và sẽ rất khó chịu nếu tốn thêm thời gian để ăn những con tốt. Bạn không cần phải cài chặt những chiếc cúc trên cùng của áo sơ mi, nhiều thứ quen thuộc với bạn từ thời đi học.

Việc trình bày tài liệu sẽ theo một quy trình song song - cả đối với mặt phẳng và không gian. Vì lý do gì mà tất cả các công thức ... bạn sẽ tự xem.

Làm thế nào để tìm một vectơ cho trước hai điểm?

Nếu hai điểm thuộc mặt phẳng và đã cho thì vectơ có tọa độ sau:

Nếu hai điểm trong không gian và cho trước thì vectơ có tọa độ sau:

Đó là, từ tọa độ của điểm cuối của vectơ bạn cần trừ các tọa độ tương ứng vector bắt đầu.

Tập thể dục:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Các công thức ở cuối bài.

ví dụ 1

Cho hai điểm trong mặt phẳng và. Tìm tọa độ vectơ

Dung dịch: theo công thức tương ứng:

Ngoài ra, có thể sử dụng ký hiệu sau:

Aesthetes sẽ quyết định như thế này:

Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản thu âm.

Câu trả lời:

Theo điều kiện, không bắt buộc phải xây dựng hình vẽ (đặc trưng cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để giải thích một số điểm cho hình nộm, tôi sẽ không quá lười biếng:

Phải được hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:

Tọa độ điểm là các tọa độ thông thường trong một hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ rằng mọi người đều biết cách vẽ đồ thị điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên máy bay, và chúng không thể di chuyển đi đâu được.

Tọa độ của cùng một vectơ là sự mở rộng của nó đối với cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào cũng tự do, do đó, nếu muốn hoặc cần thiết, chúng ta có thể dễ dàng hoãn nó từ một điểm nào đó khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn hoàn toàn không thể xây dựng các trục, một hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này, một cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.

Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ vectơ dường như tương tự nhau: và cảm giác về tọa độ chắc chắn rồi khác nhau, và bạn nên biết rõ về sự khác biệt này. Sự khác biệt này, tất nhiên, cũng đúng với không gian.

Thưa quý vị, chúng tôi lấp đầy bàn tay của chúng tôi:

Ví dụ 2

a) Cho điểm và. Tìm vectơ và.
b) Điểm được cho và . Tìm vectơ và.
c) Cho điểm và. Tìm vectơ và.
d) Cho điểm. Tìm vectơ .

Có lẽ là đủ. Đây là những ví dụ cho một quyết định độc lập, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ được đền đáp ;-). Bản vẽ không bắt buộc. Lời giải và đáp án cuối bài.

Điều gì là quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề của hình học giải tích?Điều quan trọng là phải CẨN THẬN CỰC KỲ để tránh lỗi “hai cộng hai bằng không”. Tôi xin lỗi trước nếu tôi làm sai =)

Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?

Chiều dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu hiệu mô đun.

Nếu hai điểm của mặt phẳng và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Nếu hai điểm trong không gian và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu các tọa độ tương ứng được hoán đổi: và, nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn

Ví dụ 3

Dung dịch: theo công thức tương ứng:

Câu trả lời:

Để rõ ràng, tôi sẽ làm một bản vẽ

Đoạn thẳng - nó không phải là một vectơ và bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu, tất nhiên. Ngoài ra, nếu bạn hoàn thành bản vẽ để chia tỷ lệ: 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (hai ô tetrad), thì bạn có thể kiểm tra câu trả lời bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn thẳng.

Có, giải pháp ngắn gọn, nhưng có một số điểm quan trọng mà tôi muốn làm rõ:

Đầu tiên, trong câu trả lời, chúng tôi đặt thứ nguyên: "đơn vị". Điều kiện không cho biết nó là GÌ, milimét, cm, mét hay km. Do đó, công thức tổng quát sẽ là một giải pháp có thẩm quyền về mặt toán học: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.

Thứ hai, hãy nhắc lại tài liệu của trường, tài liệu này không chỉ hữu ích cho vấn đề được xem xét:

chú ý đến thủ thuật kỹ thuật quan trọng – lấy hệ số nhân từ dưới gốc. Theo kết quả của các phép tính, chúng tôi nhận được kết quả và kiểu toán học tốt liên quan đến việc lấy thừa số từ dưới gốc (nếu có thể). Quá trình này sẽ chi tiết hơn: . Tất nhiên, để câu trả lời ở dạng sẽ không phải là một sai lầm - nhưng nó chắc chắn là một thiếu sót và là một lập luận có trọng lượng cho việc phản bác từ phía giáo viên.

Dưới đây là các trường hợp phổ biến khác:

Ví dụ, một số lượng đủ lớn thu được dưới gốc. Làm thế nào để được trong những trường hợp như vậy? Trên que tính, ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 không:. Có, tách hoàn toàn, do đó: . Hoặc có thể là số có thể chia cho 4 một lần nữa? . Theo cách này: . Chữ số cuối cùng của con số là số lẻ, vì vậy chia cho 4 lần thứ ba rõ ràng là không thể. Đang cố gắng chia cho chín :. Kết quả là:
Sẳn sàng.

Sự kết luận: nếu dưới gốc chúng ta nhận được một số hoàn toàn không chiết xuất được, thì chúng ta cố gắng lấy ra thừa số từ dưới gốc - trên máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49, vân vân.

Trong quá trình giải các bài toán thường tìm ra gốc rễ, hãy luôn cố gắng bóc tách các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm thấp hơn và những rắc rối không đáng có khi hoàn thành lời giải theo nhận xét của giáo viên.

Hãy cùng lúc lặp lại bình phương của các gốc và các lũy thừa khác:

Các quy tắc cho các hành động với mức độ ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa về đại số ở trường học, nhưng tôi nghĩ rằng mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng từ các ví dụ được đưa ra.

Nhiệm vụ cho một giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:

Ví dụ 4

Cho điểm và. Tìm độ dài của đoạn thẳng.

Lời giải và đáp án cuối bài.

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Nếu cho trước một vectơ mặt phẳng, thì độ dài của nó được tính bằng công thức.

Nếu cho trước một vectơ không gian, thì độ dài của nó được tính bằng công thức .

Trên trục abscissa và trục tọa độ được gọi là tọa độ vectơ. Tọa độ vectơ thường được biểu thị dưới dạng (x, y), và chính vectơ dưới dạng: = (x, y).

Công thức xác định tọa độ của véc tơ trong bài toán hai chiều.

Trong trường hợp của một bài toán hai chiều, một vectơ có tọa độ điểm A (x 1; y 1) và B (x 2 ; y 2 ) có thể được tính toán:

\ u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Công thức xác định tọa độ của véc tơ trong các bài toán không gian.

Trong trường hợp của một bài toán không gian, một vectơ với tọa độ điểm Một (x 1; y 1;z 1 ) và B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) có thể được tính bằng công thức:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Các tọa độ cung cấp một mô tả toàn diện về vectơ, vì có thể xây dựng chính vectơ từ các tọa độ. Biết được tọa độ, thật dễ dàng để tính toán và chiều dài véc tơ. (Thuộc tính 3 bên dưới).

Tính chất tọa độ vectơ.

1. Bất kỳ vectơ bằng nhau trong một hệ tọa độ duy nhất có tọa độ bằng nhau.

2. Tọa độ vectơ thẳng hàng tỷ lệ thuận. Với điều kiện là không có vectơ nào bằng không.

3. Bình phương độ dài của một vectơ bất kỳ bằng tổng bình phương của nó tọa độ.

4.Khi hoạt động phép nhân vector trên số thực mỗi tọa độ của nó được nhân với số này.

5. Trong quá trình thực hiện phép cộng vectơ, chúng ta tính tổng của các tọa độ vector.

6. Sản phẩm vô hướng của hai vectơ bằng tổng các tích của các tọa độ tương ứng của chúng.

Tìm tọa độ của một vectơ là một điều kiện khá phổ biến đối với nhiều bài toán trong toán học. Khả năng tìm tọa độ của một vectơ sẽ giúp bạn trong các bài toán khác, phức tạp hơn với các chủ đề tương tự. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét công thức tìm tọa độ của một vectơ và một số nhiệm vụ.

Tìm tọa độ của một vectơ trong mặt phẳng

Máy bay là gì? Mặt phẳng là không gian hai chiều, không gian có hai chiều (chiều x và chiều y). Ví dụ, giấy là phẳng. Mặt bàn phẳng. Mọi hình không thuộc thể tích (vuông, tam giác, hình thang) cũng là một mặt phẳng. Như vậy, nếu trong điều kiện của bài toán cần tìm tọa độ của một vectơ nằm trên một mặt phẳng thì ta gọi lại ngay x và y. Bạn có thể tìm tọa độ của một vectơ như sau: Tọa độ AB của vectơ = (xB - xA; yB - xA). Có thể thấy từ công thức rằng tọa độ của điểm bắt đầu phải được trừ cho tọa độ của điểm cuối.

Thí dụ:

• Vectơ CD có tọa độ đầu (5; 6) và cuối (7; 8).
• Tìm tọa độ của vectơ chính nó.
• Sử dụng công thức trên, ta được biểu thức sau: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Như vậy, tọa độ của vectơ CD = (2; 2).
• Theo đó, tọa độ x bằng hai, tọa độ y cũng bằng hai.

Tìm tọa độ của một vectơ trong không gian

Không gian là gì? Không gian đã là một chiều không gian ba chiều, trong đó 3 tọa độ được đưa ra: x, y, z. Nếu bạn cần tìm một vectơ nằm trong không gian, công thức thực tế không thay đổi. Chỉ một tọa độ được thêm vào. Để tìm vectơ, bạn cần trừ tọa độ bắt đầu từ tọa độ kết thúc. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Thí dụ:

• Vectơ DF có ban đầu (2; 3; 1) và cuối cùng (1; 5; 2).
• Áp dụng công thức trên, ta được: Tọa độ vectơ DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Hãy nhớ rằng, giá trị của tọa độ có thể âm, không có vấn đề gì với điều đó.

Làm thế nào để tìm tọa độ véc tơ trực tuyến?

Nếu vì lý do nào đó bạn không muốn tự tìm tọa độ, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến. Đầu tiên, chọn chiều của vectơ. Kích thước của một vectơ chịu trách nhiệm về các kích thước của nó. Chiều 3 nghĩa là vectơ nằm trong không gian, chiều 2 nghĩa là nó nằm trên mặt phẳng. Tiếp theo, chèn tọa độ của các điểm vào các trường thích hợp và chương trình sẽ tự xác định tọa độ của vector đó. Mọi thứ rất đơn giản.

Bằng cách nhấp vào nút, trang sẽ tự động cuộn xuống và cung cấp cho bạn câu trả lời chính xác cùng với các bước giải.

Nên học tốt chủ đề này, bởi vì khái niệm vectơ không chỉ được tìm thấy trong toán học mà còn được tìm thấy trong vật lý. Sinh viên Khoa CNTT cũng học chuyên đề vectơ nhưng ở mức độ phức tạp hơn.

Hình học giải tích

		Tuần	Điểm cho học phần tính bằng điểm
		điều khiển mô-đun
			Tối đa		Tối thiểu
Học kì 1
DZ №1, phần 1
DZ №1, phần 2
Điều khiển Modulo số 1
Điểm thưởng
Điều khiển Modulo số 2
Điểm thưởng

Kiểm soát các hoạt động và thời gian thực hiện Mô-đun 1

1. DZ số 1 phần 1 "Đại số véc tơ" Hạn phát hành 2 tuần, hạn cuối - 7 tuần

2. DZ số 1 phần 2 "Đường và máy bay"

Thời gian giao hàng 1 tuần, thời gian giao hàng - 9 tuần

3. Điều khiển Modulo số 1 (RK số 1) "Đại số vectơ, đường thẳng và mặt phẳng." Hạn chót - 10 tuần

1. DZ số 2 "Đường cong và bề mặtĐơn đặt hàng thứ 2 "Thời gian phát hành 6 tuần, thời gian giao hàng - 13 tuần

5. Thử nghiệm "Đường cong và bề mặtĐơn hàng thứ 2. Hạn chót - 14 tuần

6. Điều khiển modulo số 2 (RK số 2) "Ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính"

Hạn chót - 16 tuần

Các nhiệm vụ điển hình được sử dụng trong việc hình thành các tùy chọn kiểm soát hiện tại

1. Bài tập về nhà số 1. "Đại số vectơ và hình học giải tích"

Cho: điểm A (0; 3; 2), B (1; 4; 2), D (0; 1; 2),			A (1; 2; 0); số 30,				b1; góc
1. Tìm độ dài của vectơ |		n | , nếu			p aq,	n bp q	và p, q là đơn vị

vectơ, góc giữa chúng bằng nhau.

2. Tìm tọa độ điểm M chia vectơ AB theo a: 1.

3. Kiểm tra xem nó có khả thi trên vectơ không AB và AD dựng hình bình hành. Nếu có thì tìm độ dài các cạnh của hình bình hành.

4. Tìm các góc giữa các đường chéo của hình bình hành ABCD.

5. Tìm diện tích hình bình hành ABCD.

6. Đảm bảo rằng các vectơ AB, AD, AA 1 bạn có thể dựng một hình bình hành. Tìm thể tích của hình bình hành này và độ dài chiều cao của nó.

7. Tìm tọa độ vectơ AH, hướng theo đường cao của hình bình hành ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kẻ từ điểm A đến mặt phẳng đáy A 1 B 1 C 1 D 1,

tọa độ của điểm H và tọa độ của vectơ đơn vị trùng phương với vectơ AH.

8. Tìm sự phân rã của vectơ AH bằng các vectơ AB, AD, AA 1.

9. Tìm hình chiếu của một vectơ AH thành vectơ AA 1.

10. Viết phương trình của các mặt phẳng: a) P đi qua các điểm A, B, D;

b) P1 đi qua điểm A và đường thẳng A1 B1;

c) P2 đi qua điểm A1 song song với mặt phẳng P; d) P3 chứa các đường thẳng AD và AA1;

e) P4 đi qua điểm A và C1 vuông góc với mặt phẳng P.

11. Tìm khoảng cách giữa các đường thẳng mà các cạnh AB và CC nằm trên đó một ; Viết phương trình chính tắc và tham số của đường vuông góc chung với chúng.

12. Tìm điểm A 2 đối xứng với điểm A1 so với mặt phẳng đáy.

13. Tìm góc giữa đường thẳng mà đường chéo A nằm trên đó 1 C và mặt phẳng đáy ABCD.

14. Tìm góc nhọn giữa hai mặt phẳng ABC 1 D (mặt phẳng P) và ABB1 A1 (mặt phẳng P1).

2. Bài tập về nhà # 2. "Đường cong và bề mặt của bậc thứ hai"

Trong các bài toán 1–2, phương trình đã cho của đường bậc hai được rút gọn về dạng chính tắc và đường cong được xây dựng trong hệ tọa độ OXY.

TẠI Nhiệm vụ 3, sử dụng dữ liệu đã cho, tìm phương trình của đường cong trong hệ tọa độ OXY. Đối với nhiệm vụ 1–3 cho biết:

1) dạng chính tắc của phương trình đường thẳng;

2) phép biến đổi song song dẫn đến dạng chính tắc;

3) trong trường hợp hình elip: bán trục, độ lệch tâm, tâm, đỉnh, tiêu điểm, khoảng cách từ điểm C đến tiêu điểm; trong trường hợp hyperbol: bán trục, lệch tâm, tâm, đỉnh, tiêu điểm, khoảng cách từ điểm C đến tiêu điểm, phương trình tiệm cận; trong trường hợp là một parabol: tham số, đỉnh, tiêu điểm, phương trình ma trận trực tiếp, khoảng cách từ điểm C đến tiêu điểm và ma trận;

4) đối với điểm C, hãy kiểm tra thuộc tính đặc trưng cho loại đường cong đã cho như quỹ tích của các điểm.

TẠI Trong bài toán 4, hãy chỉ ra phép biến đổi song song rút gọn phương trình mặt đã cho về dạng chính tắc, dạng chính tắc của phương trình mặt phẳng và dạng của mặt phẳng. Dựng một bề mặt trong hệ tọa độ chính tắc OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4, C (0; 1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64, C (12; 14).
		5) ;
	Parabol đối xứng với đường thẳng y 1 0, có trọng tâm là							; 1 ,
	qua trục OX tại điểm C				; 0 và các nhánh của nó nằm trong nửa mặt phẳng	x 0.
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0.

Điều khiển modulo số 1 “Đại số véc tơ. Hình học giải tích "

1. Bộ ba bên phải và bên trái của vectơ. Định nghĩa tích chéo của vectơ. Hình thành tính chất tích vectơ của vectơ. Tìm ra công thức tính tích chéo của hai vectơ được cho bởi tọa độ của chúng theo cơ sở trực chuẩn.

vectơ

a m n,

m n,

1, m, n

Có lẽ,

phân hủy vector

c 3 i

12j6k

vectơ

3 j 2 k và b 2 i 3 j 4 k.

Viết phương trình mặt phẳng

đi qua các điểm M 1 5, 1, 4,

M 2 2, 3,1 và

vuông góc với mặt phẳng

6x 5y 4z 1 0. Thiết lập phương trình chính tắc

một đường thẳng đi qua điểm M 0 0; 2,1 và trực giao với mặt phẳng tìm được.

Kiểm tra "Đường cong và bề mặt của bậc hai"

1. Định nghĩa hình elip là quỹ tích của các điểm. Suy ra phương trình chính tắc của một hình elip trong hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Các thông số chính của đường cong.

2. Phương trình bề mặt x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 dẫn đến hình chuẩn

tâm trí. Lập bản vẽ trong hệ tọa độ chính tắc. Chỉ định tên của bề mặt này.

3. Viết phương trình cho một hyperbol đều nếu tâm O 1 1, 1 và một trong các tiêu điểm F 1 3, 1 của nó đã biết. Vẽ tranh.

Điều khiển Modulo số 2 “Các đường cong và bề mặt của bậc hai. Ma trận và hệ phương trình đại số tuyến tính »

1. Hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất (SLAE). Các hình thức viết SLAE thuần nhất. Bằng chứng về tiêu chí cho sự tồn tại của các giải pháp không phải của một SLAE đồng nhất.

2. Giải phương trình ma trận AX B,

Kiểm tra.

3. a) Giải quyết SLAE. b) Tìm một nghiệm cơ bản chính tắc của hệ thuần nhất tương ứng, một nghiệm riêng của hệ không thuần nhất; viết thông qua chúng giải pháp chung của hệ thống không đồng nhất này:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Các câu hỏi để chuẩn bị cho các điều khiển mô-đun, bài kiểm tra, bài kiểm tra và kỳ thi

1. Vectơ hình học. Vectơ tự do. Định nghĩa vectơ thẳng hàng và đồng phẳng. Các phép toán tuyến tính trên vectơ và các thuộc tính của chúng.

2. Định nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính của vectơ. Bằng chứng cho các điều kiện của sự phụ thuộc tuyến tính 2 và 3 vectơ.

3. Định nghĩa cơ sở trong không gian vectơ V1, V2, V3. Chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của khai triển vectơ theo cơ sở. Phép toán tuyến tính trên vectơ được cho bởi tọa độ của chúng trong cơ sở.

4. Định nghĩa tích vô hướng của vectơ, mối liên hệ của nó với hình chiếu trực giao của vectơ lên ​​một trục. Các tính chất của tích vô hướng, cách chứng minh của chúng. Suy ra công thức tính tích vô hướng của vectơ trong cơ sở trực chuẩn.

5. Định nghĩa cơ sở trực chuẩn. Mối quan hệ giữa tọa độ của một vectơ trong cơ sở trực chuẩn và các phép chiếu trực giao của nó lên các vectơ của cơ sở này. Suy ra công thức tính độ dài của vectơ, cosin hướng của nó, góc giữa hai vectơ theo cơ sở trực chuẩn.

6. Bộ ba bên phải và bên trái của vectơ. Định nghĩa tích chéo của vectơ, ý nghĩa cơ học và hình học của nó. Thuộc tính sản phẩm chéo (không có doc-va). Suy ra công thức tính tích số chéo theo cơ sở trực chuẩn.

7. Định nghĩa tích hỗn số của vectơ. Thể tích của hình bình hành và thể tích của hình chóp được xây dựng trên vectơ không đồng phẳng. Điều kiện hợp lệ của ba vectơ. Thuộc tính của một sản phẩm hỗn hợp. Suy ra công thức tính sản phẩm hỗn hợp theo cơ sở chính tắc.

8. Định nghĩa hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật. Lời giải của các vấn đề đơn giản nhất của hình học giải tích.

9. Các dạng phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng: vectơ, tham số, chính tắc. Vectơ chỉ phương là thẳng.

10. Suy ra phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

11. Chứng minh định lí rằng trong một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trên một mặt phẳng, một phương trình có tung độ xác định một đường thẳng. Định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

12. Phương trình với hệ số góc, phương trình của đường thẳng “trong các đoạn”. Ý nghĩa hình học của các tham số có trong phương trình. Góc giữa hai đường thẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng cho bởi phương trình tổng quát hoặc chính tắc của chúng.

13. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên mặt phẳng.

14. Chứng minh định lý rằng trong một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật trong không gian, một phương trình bậc nhất xác định một mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng. Định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Lập phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước. Phương trình của mặt phẳng "trong các đoạn".

15. Góc giữa các mặt phẳng. Điều kiện song song và vuông góc của hai mặt phẳng.

16. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

17. Phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian. Suy ra phương trình vectơ, chính tắc và tham số của một đường thẳng trong không gian.

18. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian, điều kiện song song và vuông góc của hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng.

19. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, điều kiện song song và vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Điều kiện thuộc một đường thẳng của mặt phẳng cho trước.

20. Bài toán tìm khoảng cách giữa các đường thẳng chéo nhau hay song song.

21. Định nghĩa hình elip là quỹ tích của các điểm. Suy ra phương trình chính tắc của elip.

22. Định nghĩa hyperbol là quỹ tích của các điểm. Suy ra phương trình chính tắc của một hyperbol.

23. Định nghĩa một parabol là quỹ tích của các điểm. Suy ra của phương trình parabol chính tắc.

24. Định nghĩa mặt trụ. Phương trình chính tắc của bề mặt hình trụĐơn hàng thứ 2.

25. Khái niệm về một bề mặt của cuộc cách mạng. Phương trình hình nón của các bề mặt được hình thành bởi sự quay của một hình elip, hyperbol và parabol.

26. Phương trình hình nón của một ellipsoid và một hình nón. Khảo sát hình dạng của các bề mặt này bằng phương pháp mặt cắt.

27. Phương trình chính tắc của hypeboloid. Khảo sát hình dạng của hypeboloid theo phương pháp mặt cắt.

28. Phương trình chính tắc của paraboloid. Khảo sát hình dạng của parabol theo phương pháp mặt cắt.

29. Khái niệm về ma trận. Các loại ma trận. Đẳng thức ma trận. Các phép toán tuyến tính trên ma trận và các thuộc tính của chúng. Chuyển vị ma trận.

30. Phép nhân ma trận. Các tính chất của phép toán nhân ma trận.

31. Định nghĩa ma trận nghịch đảo. Chứng minh tính duy nhất của ma trận nghịch đảo. Chứng minh định lý ma trận nghịch đảo cho tích của hai ma trận khả nghịch.

32. Tiêu chí cho sự tồn tại của một ma trận nghịch đảo. Khái niệm về ma trận liên kết, mối liên hệ của nó với ma trận nghịch đảo.

33. Suy ra công thức Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính với ma trận vuông không sinh.

34. Sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính của các hàng (cột) của ma trận. Bằng chứng về tiêu chí phụ thuộc tuyến tính của các hàng (cột).

35. Định nghĩa của một ma trận nhỏ. Trẻ vị thành niên cơ bản. Định lý nhỏ cơ số (không có doqua). Chứng minh hệ quả của nó cho ma trận vuông.

36. Fringing phương pháp trẻ vị thành niên để tìm thứ hạng của ma trận.

37. Các phép biến đổi cơ bản của các hàng (cột) của ma trận. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

38. Định lý bất biến bậc ma trận dưới các phép biến đổi sơ cấp. Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi cơ bản.

39. Hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE). Nhiều hình thức viết SLAE. SLAE chung và không chung. Bằng chứng về tiêu chí Kronecker-Kapeli về khả năng tương thích SLAE.

40. Hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất (SLAE). Thuộc tính của các giải pháp của họ.

41. Định nghĩa hệ nghiệm cơ bản (FSR) của hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất (SLAE). Định lý về cấu trúc của nghiệm tổng quát của SLAE thuần nhất. Xây dựng FSR.

42. Hệ phương trình đại số tuyến tính không thuần nhất (SLAE). Chứng minh định lý về cấu trúc của nghiệm tổng quát của SLAE không thuần nhất.

Kiểm soát sự kiện	Số lượng nhiệm vụ	Điểm cho nhiệm vụ
DZ №1, phần 1
Số điểm đã ghi
Kiểm soát sự kiện	Số lượng nhiệm vụ	Điểm cho nhiệm vụ
DZ №1, phần 2
Số điểm đã ghi

Kiểm soát sự kiện				Số lượng nhiệm vụ			Điểm cho nhiệm vụ
Điều khiển Modulo số 1				1 lý thuyết và 3 nhiệm vụ			lý thuyết - 0; 3; 6
							nhiệm vụ - 0; một; 2
			Số điểm đã ghi
Kiểm soát sự kiện				Số lượng nhiệm vụ			Điểm cho nhiệm vụ
	Số điểm đã ghi
Kiểm soát sự kiện				Số lượng nhiệm vụ			Điểm cho nhiệm vụ
				1 lý thuyết và 3 nhiệm vụ			lý thuyết - 0; 3; 6
							nhiệm vụ - 0; một; 2
			Số điểm đã ghi
						01 lý thuyết và 3 bài toán			lý thuyết - 0; 3; 6
		nhiệm vụ - 0; một; 2
			Số điểm đã ghi

Quy tắc chấm điểm tạp chí

1. Điểm cho DZ. Điểm cho DZ được đặt vào tuần tiếp theo sau ngày đến hạn, theo bảng tương ứng. Học sinh có quyền nộp bài làm của cá nhân để xác minh trước thời hạn và sửa những lỗi đã được giáo viên lưu ý, đồng thời nhận được những lời khuyên cần thiết. Nếu đến thời hạn nộp DZ mà học sinh đưa được giải pháp của vấn đề đến phương án đúng thì sẽ đạt điểm tối đa cho bài tập này. Sau thời hạn nộp DZ, một sinh viên chưa đạt điểm tối thiểu cho DZ có thể tiếp tục làm bài tập. Đồng thời, trong trường hợp làm việc thành công, sinh viên được cộng điểm tối thiểu cho DZ.

2. Điểm cho CR. Nếu một sinh viên không đạt điểm tối thiểu cho CR đúng hạn, thì trong học kỳ, anh ta có thể viết lại tác phẩm này hai lần. Với kết quả dương tính (tập hợp các điểm không nhỏ hơn mức tối thiểu đã thiết lập), học sinh được cho điểm tối thiểu cho KR.

3. Điểm cho "điều khiển mô-đun". Là một "điều khiển mô-đun", một tác phẩm viết được đề xuất, bao gồm các phần lý thuyết và thực hành. Mỗi phần của mô-đun điều khiển được đánh giá riêng biệt. Một học sinh nhận được điểm không thấp hơn điểm tối thiểu ở một trong các phần của kiểm soát được coi là đã vượt qua phần này và sẽ không được thực hiện trong tương lai. Theo quyết định của giáo viên, có thể phỏng vấn phần lý thuyết của bài tập. Nếu một học sinh không đạt điểm tối thiểu cho mỗi phần của bài tập, thì trong học kỳ anh ta có hai lần cố gắng cho mỗi phần để khắc phục tình hình. Với một tích cực

Kết quả là (một tập hợp các điểm không nhỏ hơn mức tối thiểu đã thiết lập), sinh viên được cho điểm tối thiểu cho "kiểm soát mô-đun".

4. Điểm cho mỗi mô-đun. Nếu sinh viên đã hoàn thành tất cả các hoạt động kiểm soát hiện tại của mô-đun (đạt ít nhất điểm tối thiểu đã thiết lập),

thì điểm đánh giá đối với học phần là tổng điểm của tất cả các hoạt động kiểm soát của học phần (trong trường hợp này, sinh viên tự động đạt điểm từ ngưỡng tối thiểu trở lên). Điểm cuối cùng của mô-đun được nhập vào nhật ký sau khi hoàn thành tất cả các hoạt động kiểm soát.

5. Tổng điểm. Tổng điểm cho hai học phần.

6. Đánh giá. Việc cấp chứng chỉ cuối khóa (thi, kiểm tra phân biệt, kiểm tra) được thực hiện dựa trên kết quả làm việc trong học kỳ sau khi sinh viên đã hoàn thành khối lượng học tập theo kế hoạch và được đánh giá cho mỗi học phần không thấp hơn mức tối thiểu đã quy định. Điểm tối đa cho tất cả các học phần, bao gồm cả điểm chuyên cần, là 100, tối thiểu là 60. Tổng điểm của tất cả các học phần tạo thành điểm xếp loại cho môn học trong học kỳ. Một học sinh đã vượt qua tất cả các biện pháp kiểm soát sẽ nhận được điểm cuối cùng của kỷ luật trong học kỳ theo thang điểm:

		Điểm thi,	Đánh giá bù đắp
		bảng xếp hạng khác biệt
		một cách hài lòng
		không đạt yêu cầu

Bạn có thể tăng xếp hạng của mình, và do đó, điểm kiểm tra ở kỳ thi cuối kỳ (bài viết trên tài liệu của ngành nói chung được thực hiện trong kỳ kiểm tra), điểm tối đa là 30, điểm tối thiểu là 16. Điểm này được tổng hợp với điểm đạt được của tất cả các học phần trong ngành. Đồng thời, để nâng điểm từ loại khá trở lên của kỳ thi, học sinh phải đạt từ 21 điểm trở lên, lên loại “xuất sắc” ─ ít nhất 26 điểm. Đối với các chuyên ngành được cung cấp tín dụng theo kỷ luật, xếp hạng không được tăng lên. Những sinh viên có xếp hạng trong khoảng 0-59 vào đầu buổi kiểm tra đạt mức tối thiểu cần thiết để đạt điểm tích cực trong môn học bằng cách thực hiện lại các sự kiện kiểm soát không được ghi có trước đó cho các học phần riêng lẻ. Đồng thời, những học sinh không có lý do chính đáng cuối cùng (vào cuối buổi kiểm tra) có thể nhận được điểm không cao hơn mức “đạt yêu cầu”.