ĐỊNH NGHĨA

Dạng đại số của một số phức là viết số phức \ (\ z \) dưới dạng \ (\ z = x + i y \), trong đó \ (\ x \) và \ (\ y \) là các số thực, \ (\ i \) là một đơn vị ảo thỏa mãn quan hệ \ (\ i ^ (2) = - 1 \)

Số \ (\ x \) được gọi là phần thực của số phức \ (\ z \) và được ký hiệu là \ (\ x = \ operatorname (Re) z \)

Số \ (\ y \) được gọi là phần ảo của số phức \ (\ z \) và được ký hiệu là \ (\ y = \ operatorname (Im) z \)

Ví dụ:

Số phức \ (\ z = 3-2 i \) và số liên quan của nó \ (\ \ overline (z) = 3 + 2 i \) được viết dưới dạng đại số.

Giá trị ảo \ (\ z = 5 i \) được viết ở dạng đại số.

Ngoài ra, tùy thuộc vào bài toán đang giải, bạn có thể chuyển một số phức thành một số lượng giác hoặc cấp số nhân.

Một nhiệm vụ

Viết số \ (\ z = \ frac (7-i) (4) +13 \) ở dạng đại số, tìm phần thực và phần ảo của nó, cũng như số liên hợp.

Dung dịch.

Áp dụng thuật ngữ chia phân số và quy tắc cộng phân số, ta được:

\ (\ z = \ frac (7-i) (4) + 13 = \ frac (7) (4) + 13- \ frac (i) (4) = \ frac (59) (4) - \ frac ( 1) (4) i \)

Do đó, phần thực của số phức \ (\ z = \ frac (5 g) (4) - \ frac (1) (4) i \) là số \ (\ x = \ operatorname (Re) z = \ frac (59) (4) \), phần ảo là một số \ (\ y = \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \)

Số liên hợp: \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)

Câu trả lời

\ (\ z = \ frac (59) (4) - \ frac (1) (4) i \), \ (\ \ operatorname (Re) z = \ frac (59) (4) \), \ (\ \ operatorname (Im) z = - \ frac (1) (4) \), \ (\ \ overline (z) = \ frac (59) (4) + \ frac (1) (4) i \)

Các phép toán của số phức trong phép so sánh dạng đại số

Hai số phức \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) bằng nhau nếu \ (\ x_ (1) = x_ (2) \), \ (\ y_ (1) = y_ (2) \) tức là Phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau.

Một nhiệm vụ

Xác định xem x và y hai số phức \ (\ z_ (1) = 13 + y i \) và \ (\ z_ (2) = x + 5 i \) bằng nhau.

Dung dịch

Theo định nghĩa, hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, tức là \ (\ x = 13 \), \ (\ y = 5 \).

Trả lời \ (\ x = 13 \), \ (\ y = 5 \)

phép cộng

Phép cộng các số phức \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) được thực hiện bằng phép tính tổng trực tiếp của phần thực và phần ảo:

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) + x_ (2) + i y_ (2) = \ left (x_ (1) + x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) + y_ (2) \ right) \)

Một nhiệm vụ

Tìm tổng các số phức \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \), \ (\ z_ (2) = 13-4 i \)

Dung dịch.

Phần thực của số phức \ (\ z_ (1) = - 7 + 5 i \) là số \ (\ x_ (1) = \ operatorname (Re) z_ (1) = - 7 \), ảo một phần là số \ (\ y_ (1) = \ mathrm (Im) \), \ (\ z_ (1) = 5 \). Phần thực và phần ảo của số phức \ (\ z_ (2) = 13-4 i \) là \ (\ x_ (2) = \ operatorname (Re) z_ (2) = 13 \) và \ (\ y_ (2) = \ tên toán tử (Im) z_ (2) = - 4 \).

Do đó, tổng của các số phức là:

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = \ left (x_ (1) + x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) + y_ (2) \ right) = (- 7+ 13) + i (5-4) = 6 + i \)

Câu trả lời

\ (\ z_ (1) + z_ (2) = 6 + i \)

Đọc thêm về cách cộng số phức trong một bài viết riêng: Thêm số phức.

Phép trừ

Phép trừ các số phức \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) và \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) được thực hiện trực tiếp phép trừ phần thực và phần ảo:

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = x_ (1) + i y_ (1) - \ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) = x_ (1) -x_ (2) + \ left (i y_ (1) -i y_ (2) \ right) = \ left (x_ (1) -x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) -y_ (2) \ right ) \)

Một nhiệm vụ

tìm hiệu của các số phức \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \)

Dung dịch.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức \ (\ z_ (1) = 17-35 i \), \ (\ z_ (2) = 15 + 5 i \):

\ (\ x_ (1) = \ operatorname (Re) z_ (1) = 17, x_ (2) = \ operatorname (Re) z_ (2) = 15 \)

\ (\ y_ (1) = \ operatorname (Im) z_ (1) = - 35, y_ (2) = \ operatorname (Im) z_ (2) = 5 \)

Vậy hiệu của các số phức là:

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = \ left (x_ (1) -x_ (2) \ right) + i \ left (y_ (1) -y_ (2) \ right) = (17-15 ) + i (-35-5) = 2-40 i \)

Câu trả lời

\ (\ z_ (1) -z_ (2) = 2-40 i \) phép nhân

Phép nhân các số phức \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) và \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) được thực hiện bằng cách trực tiếp tạo các số ở dạng đại số, có tính đến thuộc tính của đơn vị ảo \ (\ i ^ (2) = - 1 \):

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ left (x_ (1) + i y_ (1) \ right) \ cdot \ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) = x_ (1) \ cdot x_ (2) + i ^ (2) \ cdot y_ (1) \ cdot y_ (2) + \ left (x_ (1) \ cdot i y_ (2) + x_ (2) \ cdot i y_ (1) \ right) = \)

\ (\ = \ left (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ right) + i \ left (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2 ) \ cdot y_ (1) \ right) \)

Một nhiệm vụ

Tìm tích của các số phức \ (\ z_ (1) = 1-5 i \)

Dung dịch.

Số phức của số phức:

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = \ left (x_ (1) \ cdot x_ (2) -y_ (1) \ cdot y_ (2) \ right) + i \ left (x_ (1) \ cdot y_ (2) + x_ (2) \ cdot y_ (1) \ right) = (1 \ cdot 5 - (- 5) \ cdot 2) + i (1 \ cdot 2 + (- 5) \ cdot 5 ) = 15-23 i \)

Câu trả lời

\ (\ z_ (1) \ cdot z_ (2) = 15-23 i \) tách

Hệ số phức \ (\ z_ (1) = x_ (1) + i y_ (1) \) và \ (\ z_ (2) = x_ (2) + i y_ (2) \) được xác định bằng cách nhân tử số và mẫu số thành số liên hợp với mẫu số:

\ (\ \ frac (z_ (1)) (z_ (2)) = \ frac (x_ (1) + i y_ (1)) (x_ (2) + i y_ (2)) = \ frac (\ left (x_ (1) + i y_ (1) \ right) \ left (x_ (2) -i y_ (2) \ right)) (\ left (x_ (2) + i y_ (2) \ right) \ left (x_ (2) -i y_ (2) \ right)) = \ frac (x_ (1) \ cdot x_ (2) + y_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2)) + i \ frac (x_ (2) \ cdot y_ (1) -x_ (1) \ cdot y_ (2)) (x_ (2) ^ (2) + y_ (2 ) ^ (2)) \)

Một nhiệm vụ

Để chia số 1 cho số phức \ (\ z = 1 + 2 i \).

Dung dịch.

Vì phần ảo của số thực 1 bằng 0 nên thừa số là:

\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1 \ cdot 1) (1 ^ (2) + 2 ^ (2)) - i \ frac (1 \ cdot 2) (1 ^ ( 2) + 2 ^ (2)) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)

Câu trả lời

\ (\ \ frac (1) (1 + 2 i) = \ frac (1) (5) -i \ frac (2) (5) \)

Số phức là một phần mở rộng của tập hợp các số thực, thường được ký hiệu là. Bất kỳ số phức nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng một tổng chính thức, trong đó và các số thực là một đơn vị ảo.

Viết một số phức dưới dạng, được gọi là dạng đại số của một số phức.

Tính chất của số phức. Giải thích hình học của một số phức.

Các thao tác trên số phức đã cho ở dạng đại số:

Hãy xem xét các quy tắc mà các phép toán số học được thực hiện trên các số phức.

Nếu cho trước hai số phức α = a + bi và β = c + di thì

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i,

α - β \ u003d (a + bi) - (c + di) \ u003d (a - c) + (b - d) i. (mười một)

Điều này dựa trên định nghĩa của các phép toán cộng và trừ hai cặp số thực có thứ tự (xem công thức (1) và (3)). Chúng ta đã có được các quy tắc cộng và trừ các số phức: để cộng hai số phức, người ta phải cộng riêng phần thực của chúng và theo đó, phần ảo; Để trừ một số phức khác, cần phải trừ đi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng.

Số - α \ u003d - a - bi được gọi là số đối nghịch với số α \ u003d a + bi. Tổng của hai số này bằng không: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

Để có được quy tắc nhân cho số phức, chúng ta sử dụng công thức (6), tức là i2 = -1. Tính đến tỷ lệ này, chúng ta thấy (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i - bd, tức là

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i. (12)

Công thức này tương ứng với công thức (2), xác định phép nhân các cặp số thực có thứ tự.

Lưu ý rằng tổng và tích của hai số phức liên hợp là số thực. Thật vậy, nếu α = a + bi, = a - bi, thì α = (a + bi) (a - bi) = a2 - i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = (a + a) + (b - b) i = 2a, tức là

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Khi chia hai số phức ở dạng đại số, người ta nên mong đợi rằng thương cũng được biểu thị bởi một số cùng loại, tức là, α / β = u + vi, trong đó u, v R. Hãy suy ra quy tắc chia số phức. những con số. Cho các số α = a + bi, β = c + di, và β ≠ 0, tức là, c2 + d2 ≠ 0. Bất đẳng thức cuối cùng có nghĩa là c và d không biến mất đồng thời (trường hợp c = 0, d = 0). Áp dụng công thức (12) và công thức thứ hai của bằng nhau (13), ta tìm được:

Do đó, thương của hai số phức được cho bởi:

công thức tương ứng (4).

Sử dụng công thức thu được cho số β = c + di, bạn có thể tìm nghịch đảo của nó là β-1 = 1 / β. Giả sử trong công thức (14) a = 1, b = 0, chúng ta thu được

Công thức này xác định nghịch đảo của một số phức khác 0 đã cho; con số này cũng phức tạp.

Ví dụ: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;

Các thao tác trên số phức ở dạng đại số.

55. Đối số của một số phức. Dạng lượng giác viết một số phức (đầu ra).

Arg.comm.number. - giữa chiều dương của trục X thực bởi vectơ biểu diễn số đã cho.

công thức trine. Số:,

Số phức

Tưởng tượng và số phức. Abscissa và phong chức

số phức. Liên hợp các số phức.

Các phép toán với số phức. Hình học

biểu diễn của số phức. mặt phẳng phức tạp.

Môđun và đối số của một số phức. lượng giác

dạng số phức. Hoạt động phức tạp

số ở dạng lượng giác. Công thức Moivre.

Thông tin cơ bản về tưởng tượng và số phức được đưa ra trong phần "Số ảo và số phức". Sự cần thiết của những con số này thuộc loại mới đã xuất hiện khi giải phương trình bậc hai cho trường hợpD< 0 (здесь Dlà nghiệm của phương trình bậc hai). Trong một thời gian dài, những con số này không tìm thấy công dụng vật lý, đó là lý do tại sao chúng được gọi là những con số "tưởng tượng". Tuy nhiên, hiện nay chúng được sử dụng rất rộng rãi trong các lĩnh vực vật lý khác nhau.

và công nghệ: kỹ thuật điện, thủy lực và khí động học, lý thuyết đàn hồi, v.v.

Số phức được viết là:a + bi. Nơi đây một và b – số thực , một tôi – đơn vị tưởng tượng. e. tôi 2 = –1. Con số một gọi là abscissa, một b - phong chứcsố phứca + b.Hai số phứca + bi và a-bi gọi là liên hợp số phức.

Các thỏa thuận chính:

1. Số thựcmộtcũng có thể được viết dưới dạngsố phức:a + 0 tôi hoặc một - 0 tôi. Ví dụ: các mục 5 + 0tôi và 5 - 0 tôicó nghĩa là cùng một số 5 .

2. Số phức 0 + bigọi là hoàn toàn là tưởng tượng con số. ghi âmbicó nghĩa giống như 0 + bi.

3. Hai số phứca + bi vàc + diđược coi là bình đẳng nếua = c và b = d. Nếu không thì số phức không bằng nhau.

Phép cộng. Tổng các số phứca + bi và c + diđược gọi là một số phức (a + c ) + (b + d ) tôi .Theo cách này, khi được thêm vào các số phức, cơ số và thứ tự của chúng được thêm vào một cách riêng biệt.

Định nghĩa này tuân theo các quy tắc xử lý đa thức thông thường.

Phép trừ. Sự khác biệt giữa hai số phứca + bi(giảm) và c + di(bị trừ) được gọi là một số phức (AC ) + (b-d ) tôi .

Theo cách này, khi trừ hai số phức, số dư và hoành độ của chúng được trừ riêng biệt.

Phép nhân. Tích của số phứca + bi và c + di được gọi là một số phức.

(ac-bd ) + (ad + bc ) tôi .Định nghĩa này xuất phát từ hai yêu cầu:

1) số a + bi và c + dinên nhân giống như đại số nhị thức,

2) số tôicó tài sản chính:tôi 2 = – 1.

THÍ DỤ ( a + bi )(a-bi) = a 2 + b 2 . Do đó, công việc

hai số phức liên hợp bằng số thực

số dương.

Phân công. Chia một số phứca + bi (chia được) cho người khácc + di(dải phân cách) - nghĩa là tìm số thứ bae + fi(trò chuyện), khi được nhân với một số chiac + di, dẫn đến cổ tứca + b.

Nếu số chia không phải là số 0, thì phép chia luôn có thể thực hiện được.

THÍ DỤ Tìm (8+tôi ) : (2 – 3 tôi) .

Giải pháp. Hãy viết lại tỷ lệ này dưới dạng phân số:

Nhân tử số và mẫu số của nó với 2 + 3tôi

Và sau khi thực hiện tất cả các phép biến đổi, chúng tôi nhận được:

Biểu diễn hình học của số phức. Số thực được biểu diễn bằng các điểm trên trục số:

Đây là điểm Mộtcó nghĩa là số -3, dấu chấmB là số 2, và O- số không. Ngược lại, số phức được biểu diễn bằng các điểm trên mặt phẳng tọa độ. Đối với điều này, chúng tôi chọn tọa độ hình chữ nhật (Descartes) với cùng tỷ lệ trên cả hai trục. Sau đó, số phứca + bi sẽ được biểu thị bằng một dấu chấm P với abscissa a và sắp xếp b (xem hình). Hệ tọa độ này được gọi là mặt phẳng phức tạp .

mô-đun số phức được gọi là độ dài của vectơOP, mô tả một số phức trên tọa độ ( tích hợp) chiếc máy bay. Mô đun số phứca + bi ký hiệu là | a + bi| hoặc thư r

Xét một phương trình bậc hai.

Hãy xác định gốc rễ của nó.

Không có số thực nào có bình phương là -1. Nhưng nếu công thức xác định toán tử tôi như một đơn vị tưởng tượng, thì nghiệm của phương trình này có thể được viết dưới dạng . Trong đó và - số phức, trong đó -1 là phần thực, 2 hoặc trong trường hợp thứ hai là -2 là phần ảo. Phần ảo cũng là một số thực (thực). Phần ảo nhân với đơn vị ảo có nghĩa là đã số tưởng tượng.

Nói chung, một số phức có dạng

z = x + iy ,

ở đâu x, y là các số thực, là một đơn vị tưởng tượng. Trong một số ngành khoa học ứng dụng, ví dụ, trong kỹ thuật điện, điện tử, lý thuyết tín hiệu, đơn vị tưởng tượng được ký hiệu là j. Số thực x = Re (z) và y =Tôi(z) gọi là phần thực và phần ảo con số z Biểu thức được gọi là dạng đại số ký hiệu của một số phức.

Mọi số thực đều là trường hợp đặc biệt của số phức có dạng . Một số ảo cũng là một trường hợp đặc biệt của một số phức. .

Định nghĩa tập hợp các số phức C

Biểu thức này đọc như sau: set TỪ, bao gồm các yếu tố như vậy x và y thuộc tập hợp các số thực R và là đơn vị tưởng tượng. Lưu ý rằng v.v.

Hai số phức và bằng nhau nếu và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, tức là và .

Số phức và hàm được sử dụng rộng rãi trong khoa học và công nghệ, đặc biệt, trong cơ khí, phân tích và tính toán mạch điện xoay chiều, điện tử tương tự, lý thuyết và xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển tự động và các khoa học ứng dụng khác.

1. Số học các số phức

Việc cộng hai số phức bao gồm thêm phần thực và phần ảo của chúng, tức là

Theo đó, hiệu của hai số phức

Số phức gọi là tổ hợp liên hợp con số z =x +i.y.

Các số liên hợp phức z và z * khác nhau về dấu của phần ảo. Hiển nhiên là

.

Mọi bình đẳng giữa các biểu thức phức hợp vẫn có giá trị nếu trong bình đẳng này ở mọi nơi tôiđược thay thế bởi - tôi, I E. đi đến đẳng thức của số liên hợp. Con số tôi và – tôi không thể phân biệt được về mặt đại số bởi vì .

Tích (phép nhân) của hai số phức có thể được tính như sau:

Phép chia hai số phức:

Thí dụ:

1. Mặt phẳng phức tạp

Một số phức có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong một hệ tọa độ hình chữ nhật. Hãy để chúng tôi thiết lập một hệ tọa độ hình chữ nhật trong mặt phẳng (x, y).

trên trục Con bò chúng tôi sẽ sắp xếp các bộ phận thực sự x, nó được gọi là trục thực (thực), trên trục Oy- phần tưởng tượng y số phức. Cô ấy mang tên trục tưởng tượng. Hơn nữa, mỗi số phức tương ứng với một điểm nhất định của mặt phẳng, và mặt phẳng như vậy được gọi là mặt phẳng phức tạp. điểm NHƯNG mặt phẳng phức sẽ tương ứng với vectơ OA.

Con số x gọi là abscissa số phức, số y – phong chức.

Một cặp số liên hợp phức tạp được hiển thị dưới dạng các dấu chấm nằm đối xứng qua trục thực.

Nếu trên máy bay đặt hệ tọa độ cực, sau đó mọi số phức z xác định bằng tọa độ cực. Trong đó mô-đun con số là bán kính cực của điểm và góc - góc cực hoặc đối số số phức của nó z.

Mô đun số phức luôn luôn không âm. Đối số của một số phức không được xác định duy nhất. Giá trị chính của đối số phải thỏa mãn điều kiện . Mỗi điểm của mặt phẳng phức cũng tương ứng với tổng giá trị của đối số. Các đối số khác nhau bởi bội số của 2π được coi là bằng nhau. Đối số số 0 không được xác định.

Giá trị chính của đối số được xác định bởi các biểu thức:

Hiển nhiên là

Trong đó
, .

Biểu diễn số phức z như

gọi là dạng lượng giác số phức.

Thí dụ.

1. Dạng mũ của số phức

Phân hủy trong Dòng Maclaurin cho các hàm đối số thực giống như:

Đối với hàm mũ của một đối số phức tạp z phân hủy tương tự

.

Sự mở rộng chuỗi Maclaurin cho hàm mũ của đối số tưởng tượng có thể được biểu diễn dưới dạng

Nhận dạng kết quả được gọi là Công thức Euler.

Đối với một lập luận phủ định, có vẻ như

Bằng cách kết hợp các biểu thức này, chúng ta có thể xác định các biểu thức sau cho sin và cosine

.

Sử dụng công thức Euler, từ dạng lượng giác của biểu diễn số phức

có sẵn Biểu tình(hàm mũ, cực) của một số phức, tức là sự thể hiện của nó dưới dạng

,

ở đâu - tọa độ cực của một điểm có tọa độ hình chữ nhật ( x,y).

Liên hợp của một số phức được viết dưới dạng cấp số nhân như sau.

Đối với dạng lũy ​​thừa, ta có thể dễ dàng xác định các công thức nhân và chia số phức sau đây

Tức là ở dạng lũy ​​thừa, tích và phép chia các số phức dễ hơn ở dạng đại số. Khi nhân, mô-đun của các thừa số sẽ được nhân lên và các đối số được cộng vào. Quy tắc này áp dụng cho bất kỳ số lượng yếu tố nào. Đặc biệt, khi nhân một số phức z trên tôi vectơ z quay ngược chiều kim đồng hồ 90

Trong phép chia, môđun tử số được chia cho môđun mẫu số và đối số mẫu số được trừ khỏi đối số tử số.

Sử dụng dạng lũy ​​thừa của số phức, người ta có thể thu được các biểu thức cho các nhận dạng lượng giác nổi tiếng. Ví dụ, từ danh tính

sử dụng công thức Euler, chúng ta có thể viết

Cân bằng phần thực và phần ảo trong biểu thức này, chúng ta thu được biểu thức tính cosin và sin của tổng các góc

1. Quyền hạn, gốc và logarit của số phức

Nâng một số phức lên lũy thừa tự nhiên Nđược sản xuất theo công thức

Thí dụ. Tính toán .

Hãy tưởng tượng một con số ở dạng lượng giác

’

Áp dụng công thức lũy thừa, chúng ta nhận được

Đặt giá trị trong biểu thức r= 1, chúng tôi nhận được cái gọi là Công thức của De Moivre, nhờ đó bạn có thể xác định các biểu thức cho sin và cosin của nhiều góc.

Nguồn gốc N lũy thừa thứ của một số phức z Nó có N các giá trị khác nhau được xác định bởi biểu thức

Thí dụ. Hãy tìm .

Để làm điều này, chúng tôi biểu thị số phức () ở dạng lượng giác

.

Theo công thức tính căn của một số phức, ta được

Lôgarit của một số phức z là một con số w, mà . Lôgarit tự nhiên của một số phức có vô số giá trị và được tính bằng công thức

Bao gồm phần thực (cosine) và phần ảo (sin). Ứng suất như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng véc tơ độ dài U m, pha ban đầu (góc), quay với vận tốc góc ω .

Hơn nữa, nếu các hàm phức tạp được thêm vào, thì phần thực và phần ảo của chúng cũng được thêm vào. Nếu một hàm phức được nhân với một hằng số hoặc một hàm thực, thì phần thực và phần ảo của nó được nhân với cùng một hệ số. Sự phân biệt / tích hợp của một chức năng phức tạp như vậy được giảm xuống sự phân biệt / tích hợp của phần thực và phần ảo.

Ví dụ, sự phân biệt của biểu thức ứng suất phức tạp

là nhân nó với iω là phần thực của hàm f (z), và là phần ảo của hàm. Ví dụ: .

Nghĩa zđược biểu diễn bằng một điểm trong mặt phẳng phức z và giá trị tương ứng w- một điểm trong mặt phẳng phức w. Khi hiển thị w = f (z)đường máy bay z vượt qua các dòng của máy bay w, hình của mặt phẳng này thành hình của mặt phẳng khác, nhưng hình dạng của các đường hoặc hình có thể thay đổi đáng kể.