Phân tích toán học làm vườn. Phân tích toán học - Khóa học dành cho người mới bắt đầu với các ví dụ và nhiệm vụ - Gurova Z.I

Tên: Phân tích toán học - Bắt đầu khóa học với các ví dụ và nhiệm vụ. Năm 2002.

Thông tin chính từ phần ban đầu khóa học giải tích toán học dành cho các cơ sở giáo dục đại học - "Nhập môn giải tích", "Cơ bản về phép tính vi phân của hàm một biến", "Phương pháp tính tích phân của hàm một biến", "Dãy số".
Được cho lý thuyết ngắn gọn, các ví dụ điển hình và nhiệm vụ cho giải pháp độc lập. Các thuật toán cho các phương pháp giải các lớp bài toán khác nhau được đề xuất.

Sách hướng dẫn này có thể được sử dụng như sách giáo khoa và sách giải bài tập cho học sinh. chuyên ngành kỹ thuật, học viên các trường quân sự, học viên các trường kỹ thuật, trung cấp.

CÁC NỘI DUNG
Lời nói đầu của người biên tập loạt bài. 7
Lời nói đầu 8
Chương I. Giới thiệu về Phân tích. 10
§ 1. Một số dữ kiện từ lý thuyết về bộ 10
1.1. Các khái niệm cơ bản (10). 1.2. Các hoạt động trên bộ. (mười)
§ 2. Chuỗi số. Giới hạn trình tự. mười sáu
2.1. Các định nghĩa cơ bản (16). 2.2. Giới hạn trình tự (18). 2.3. Tính chất của dãy hội tụ (21). 2.4. Ví dụ điển hình (23). 2.5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (23).
§ 3. Chức năng. Giới hạn hàm 24
3.1. Định nghĩa cơ bản. Các phương pháp thiết lập chức năng (24). 3.2. Các hàm phức, nghịch đảo và được xác định theo tham số (25). 3.3. Các chức năng cơ bản (27). 3.4. Các hàm đơn điệu (29). 3.5. Các tính năng hạn chế(29). 3.6. Giới hạn của hàm số (30). 3.7. Giới hạn một phía của hàm số (36). 3.8. Ví dụ điển hình (38). 3.9. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập. (39)
§ 4. Định lý về giới hạn của hàm số. 39
4.1. Các định lý cơ bản về giới hạn của hàm số (39). 4.2. Các hàm lớn trong hệ thập phân và vô hạn và các thuộc tính của chúng (41). 4.3. Các định lý về giới hạn của các hàm liên quan đến các phép toán số học (45). 4.4. Các định lý về giới hạn của các hàm liên quan đến bất phương trình (47). 4.5. Các ví dụ điển hình (50). 4.6. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (54).
§ 5. Các giới hạn đáng chú ý. So sánh các hàm thập phân 54
5.1. Giới hạn đáng chú ý (54). 5.2. So sánh các hàm thập phân (58). 5.3. Thuộc tính của các hàm thập phân tương đương (60). 5.4. Ví dụ điển hình (63). 5.5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (70).
§ 6. Tính liên tục của các hàm số 71
6.1. Các định nghĩa cơ bản (71). 6.2. Tính chất của hàm liên tục tại một điểm (73). 6.3. Tính liên tục của hàm số trên một khoảng, nửa khoảng, khoảng (77). 6.4. Tính chất của hàm số liên tục trên một khoảng (78). 6.5. Điểm ngắt của các chức năng và phân loại của chúng (78). 6.6. Các ví dụ điển hình (80). 6,7. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (85).
Chương II. Các nguyên tắc cơ bản của phép tính vi phân của các hàm một biến. 87
§ 7. Đạo hàm của một hàm, các tính chất và ứng dụng của nó 87
7.1. Xác định đạo hàm của hàm số tại điểm (87). 7.2. Phân biệt bảng. Các dẫn xuất của chính chức năng cơ bản(89). 7.3. Tính chất của đạo hàm (92). 7.4. Hình học và cảm giác máy mócđạo hàm (94). 7,5. Phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến của đồ thị của hàm số (96). 7.6. Ví dụ điển hình (97). 7.7. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (101).
§ 8. Sự khác biệt chức năng phức tạp, chức năng trái ngược và theo tham số chức năng nhất định 102
8.1. Đạo hàm của một hàm phức. Đạo hàm lôgarit (102). 8.2. Đạo hàm của hàm ngược. Các dẫn xuất nghịch đảo hàm lượng giác(105). 8.3. Đạo hàm của một hàm đã cho theo tham số (107). 8,4. Ví dụ điển hình (109). 8,5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (111).
§ 9. Vi phân hàm số, các tính chất và ứng dụng của nó .... 112
9.1. Tính khác biệt của chức năng. Vi sai (112). 9.2. Tính chất của vi phân (114). 9.3. cảm giác hình học vi sai. Tính giá trị gần đúng của hàm sử dụng vi phân (115). 9.4. Bất biến của ký hiệu vi phân (116). 9,5. Ví dụ điển hình (117). 9,6. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (119).
§ 10. Các công cụ phái sinh và phần chênh lệch của các đơn hàng cao hơn 120
10.1. Phái sinh của đơn đặt hàng cao hơn (120). 10.2. Công thức Leibniz (122). 10.3. Vi phân bậc cao (124). 10.4. Ví dụ điển hình (126). 10,5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (129).
§Eleven. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân. Tiết lộ những điều không chắc chắn 130
11.1. Định lý Rolle (định lý đạo hàm bằng không) (130). 11.2. Định lý Lagrange. Công thức số gia hữu hạn (131). 11.3. Định lý Cauchy. Công thức tổng quát cho số gia hữu hạn (133). 11.4. Tiết lộ những điều không chắc chắn. Quy tắc của L'Hopital (134). 11,5. Ví dụ điển hình (141). 11,6. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (145).
§ 12. Công thức Taylor 146
12.1. Công thức Taylor với số hạng dư ở dạng Peano (146). 12.2. Công thức Taylor cho một số hàm cơ bản cơ bản (150). 12.3. Đa dạng mẫu mã số hạng còn lại (152). 12.4. Ví dụ điển hình (155). 12,5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (159).
§ 13. Tăng, giảm, cực trị của một hàm số 160
13.1. Hàm tăng và giảm (160). 13.2. Điểm cực trị của hàm số (163). 13.3. Vĩ đại nhất và giá trị nhỏ nhất chức năng (168). 13.4. Ví dụ điển hình (172). 13,5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (175).
§ 14. Độ lồi, độ cong, điểm uốn của đường cong. Đường cong không triệu chứng 176
14.1. Độ lồi, độ lõm, điểm uốn của đường cong (176). 14.2. Asymptotes của đường cong (180). 14.3. Các ví dụ điển hình (183). 14.4. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (185).
§ 15. Nghiên cứu các hàm và xây dựng đồ thị của chúng 186
15.1. Sơ đồ nghiên cứu chức năng (186). 15.2. Ví dụ điển hình (186). 15.3. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (195).
Chương III. Các phương pháp tích phân hàm một biến. 196
§ 16. Đạo hàm của hàm số và tích phân bất định. 196
16.1. Định nghĩa và các tính chất của tích phân bất định (196). 16.2. Các phương pháp tích hợp cơ bản (198). 16.3. Ví dụ điển hình (207). 16.4. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (210).
§ 17. Tích phân phân số hữu tỉ. 211
17.1. Thông tin ngắn gọn từ đại số của đa thức (211). 17.2. Tích hợp các phân số sơ cấp (214). 17.3. Tích phân phân số hữu tỉ (218). 17.4. Ví dụ điển hình (220). 17,5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (227).
§ 18. Tích phân của các hàm số lượng giác. 227
18.1. Phép thay lượng giác phổ quát (227). 18.2. Tích phân của hàm lẻ đối với sin x hoặc cos x (230). 18.3. Tích phân của hàm chẵn đối với sin x và cos x (232). 18.4. Tích hợp các sản phẩm của sin và cosin của các đối số khác nhau (234). 18,5. Ví dụ điển hình (235). 18,6. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (239).
§ 19. Tích hợp một số chức năng phi lý. 240
19.1. Tích hợp các chức năng hợp lý với đối số và gốc rễ của hàm phân số tuyến tính(240). 19.2. Tích hợp các chức năng hợp lý với đối số và căn bậc hai từ tam thức vuông(241). 19.3. Ví dụ điển hình (248). 19.4. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (258).
Chương IV. Các dòng số. 260
§ 20. Các định nghĩa và tính chất cơ bản của dãy số. 260
20.1. Các định nghĩa cơ bản (260). 20.2. Các tính chất cơ bản hàng (265). 20.3. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ của chuỗi (270). 20.4. Ví dụ điển hình (271). 20,5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (274).
§ 21. Chuỗi cố định. 275
21.1. Tiêu chí hội tụ cho chuỗi dấu hiệu không đổi (275). 21.2. Các phép thử đủ cho sự hội tụ và phân kỳ của chuỗi số có số hạng không âm (277). 21.3. Ví dụ điển hình (289). 21.4. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập. (297).
§ 22. Dãy số xen kẽ. 298
22.1. Các hàng xen kẽ (298). 22.2. Chuỗi hội tụ hoàn toàn và có điều kiện (302). 22.3. Các thử nghiệm của d'Alembert và Cauchy đối với chuỗi xen kẽ (303). 22.4. Tính chất của chuỗi hội tụ hoàn toàn và có điều kiện (305). 22,5. Ví dụ điển hình (307). 22,6. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập (312).
§ 23. Dãy và chuỗi với các số hạng phức tạp 313
23.1. Thông tin ngắn gọn về số phức(313). 23,2. Dãy với các số hạng phức tạp (318). 23.3. Chuỗi với các thuật ngữ phức tạp (321). 23.4. Ví dụ điển hình (324). 23,5. Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập. (329)
Ruột thừa. 331
§ 24. Thông tin ngắn gọn về tích phân với giới hạn vô hạn. 331
Câu trả lời cho các vấn đề cho giải pháp độc lập. 336
Thư mục. 343
Tài liệu tham khảo. 344
Mục lục chủ đề.

Một số định nghĩa:

Phương pháp đồ họa để chỉ định một hàm là một phương pháp trong đó sự tương ứng giữa tập giá trị đối số và tập giá trị hàm được thiết lập bằng đồ thị.
Ví dụ, một biểu đồ barograph được ghi lại bởi một biểu đồ barograph định nghĩa bằng đồ thị Áp suất khí quyển như một hàm của thời gian.

Phương pháp xác định một hàm được gọi là bảng nếu một bảng các giá trị đối số và giá trị hàm tương ứng được đưa ra.
Ví dụ, sự phụ thuộc của nhiệt độ không khí vào thời gian có thể được thiết lập bằng cách sử dụng một bảng dữ liệu thực nghiệm.

Ngoài những phương pháp chỉ định một hàm này, còn có những phương pháp khác. Ví dụ: khi thực hiện các phép tính số trên máy tính, các hàm được chỉ định theo cách thuật toán, tức là với sự trợ giúp của chương trình để tính giá trị của chúng cho các giá trị bắt buộc của đối số. Chức năng này cũng có thể được thiết lập mô tả bằng lời nói tương ứng giữa giá trị đối số và giá trị hàm. Ví dụ, "mỗi số hữu tỉ sẽ được gán là số 1, và mỗi số vô tỉ là số 0 ...". Hàm được định nghĩa theo cách này được gọi là hàm Dirichlet.

M.: Nhà xuất bản Đại học Tổng hợp Quốc gia Matxcova. Phần 1: Xuất bản lần thứ 2, Rev., 1985. - 662.s; Phần 2- Năm 1987. - Những năm 358.

Phần 1. - Khóa học ban đầu.

Sách giáo khoa là phần đầu tiên của khóa học giải tích toán học để nâng cao tổ chức giáo dục Liên Xô, Bulgaria và Hungary, được viết theo thỏa thuận hợp tác giữa các trường đại học Moscow, Sofia và Budapest. Sách bao gồm lý thuyết số thực, lý thuyết về giới hạn, lý thuyết về tính liên tục của hàm số, phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến và các ứng dụng của chúng, phép tính vi phân của hàm nhiều biến và lý thuyết hàm ẩn.

Phần 2. - Tiếp tục của khóa học.

Sách giáo khoa là phần thứ hai (phần 1 - 1985) của khóa học giải tích toán học, được biên soạn theo chương trình thống nhất được áp dụng ở Liên Xô và NRB. Cuốn sách đề cập đến lý thuyết về chuỗi số và hàm, lý thuyết về tích phân bội, đường cong và bề mặt, lý thuyết trường (bao gồm các dạng vi phân), lý thuyết về tích phân phụ thuộc vào một tham số, lý thuyết về chuỗi Fourier và tích phân. Điểm đặc biệt của cuốn sách là ba cấp độ trình bày được phân tách rõ ràng: nhẹ, cơ bản và nâng cao, cho phép học sinh có thể sử dụng được cả sách. trường đại học kỹ thuật với nghiên cứu chuyên sâu về phân tích toán học, và sinh viên của các khoa cơ học và toán học của các trường đại học.

Phần 1. - Khóa học ban đầu.

Sự sắp xếp: pdf

Kích cỡ: 10,5 MB

Xem, tải xuống:drive.google

Sự sắp xếp: djvu / zip

Kích cỡ: 5,5 MB

/ Tải tập tin

Phần 2. - Tiếp tục của khóa học.

Sự sắp xếp: pdf

Kích cỡ: 14,8 MB

Xem, tải xuống:drive.google

Sự sắp xếp: djvu / zip

Kích cỡ: 3,1 MB

/ Tải tập tin

Phần 1. - Khóa học ban đầu.

MỤC LỤC
Lời nói đầu của người biên tập tiêu đề .... 5
Lời nói đầu của ấn bản thứ hai 6
Lời nói đầu của ấn bản đầu tiên 6
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHÂN TÍCH TOÁN HỌC 10
Chương 2. CÁC SỐ THỰC 29
§ 1. Tập hợp các số có thể biểu diễn bằng vô hạn số thập phân, và thứ tự của nó 29
1. Tính chất của số hữu tỉ (29). 2. Tính không hiệu quả của số hữu tỉ để đo các đoạn của trục số (31). 3. Thứ tự tập hợp các số thập phân vô hạn
phân số (34)
§ 2. Giới hạn trên (hoặc dưới) tập hợp số biểu diễn được bằng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn .... 40 1. Các khái niệm cơ bản (40). 2. Sự tồn tại của các mặt chính xác (41).
§ 3. Tính gần đúng của các số có thể biểu diễn bằng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, số hữu tỉ 44
§ 4. Các phép toán cộng và nhân. Mô tả tập hợp các số thực 46
1. Định nghĩa các phép toán cộng và nhân. Mô tả khái niệm số thực (46). 2. Tính tồn tại và tính duy nhất của tổng và tích của các số thực (47).
§ 5. Tính chất của số thực 50
1. Tính chất của số thực (50). 2. Một số quan hệ thường dùng (52). 3. Một số bộ số thực cụ thể (52).
§6. Câu hỏi thêm lý thuyết về số thực. .54 1. Tính đầy đủ của tập hợp các số thực (54). 2. Giới thiệu tiên đề về tập hợp các số thực (57).
§ 7. Các yếu tố của lý thuyết tập hợp. 59
1. Khái niệm tập hợp (59). 2. Các phép toán trên bộ (60). 3. Tập hợp đếm được và không đếm được. Không thể đếm được phân đoạn. Bản số của tập hợp (61). 4. Tính chất của các phép toán trên tập hợp. Đặt ánh xạ (65).
CHƯƠNG 3. LÝ THUYẾT VỀ GIỚI HẠN. 68
§ 1. Dãy số và giới hạn của nó 68.
1. Khái niệm về dãy số. Các phép toán số học trên dãy số (68). 2. Dãy số có giới hạn, không bị giới hạn, nhỏ vô hạn và lớn vô hạn (69). 3. Tính chất cơ bản của dãy số thập phân (73). 4. Dãy hội tụ và các tính chất của chúng (75).
§ 2. Các chuỗi đơn điệu 83
1. Khái niệm dãy đơn thức (83). 2. Định lý về sự hội tụ của một dãy có giới hạn đơn điệu (84). 3. Số e (86). 4. Ví dụ về hội tụ trình tự đơn điệu (88).
§ 3. Trình tự tùy ý 92
1. Điểm giới hạn, giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy số (92). 2. Mở rộng các khái niệm về điểm giới hạn và các giới hạn trên và dưới (99). 3. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ của một dãy số (102).
§ 4. Giới hạn (hoặc giá trị giới hạn) của một hàm 105
1. Các khái niệm Biến đổi và các chức năng (105). 2. Giới hạn của hàm theo Heine và theo Cauchy (109). 3. Tiêu chí Cauchy cho sự tồn tại của một giới hạn của hàm số (115). 4. Các phép toán số học trên các hàm có giới hạn (118). 5. Hàm số nhỏ và hàm lớn vô hạn (119).
§ 5. Định nghĩa chung giới hạn hàm cơ sở .... 122
Chương 4. TIẾP TỤC CHỨC NĂNG 127
§ 1. Khái niệm về tính liên tục của một hàm số 127
1. Định nghĩa tính liên tục của hàm số (127). 2. Các phép toán số học trên hàm số liên tục (131). 3. Hàm phức và tính liên tục của nó (132).
§ 2. Tính chất của hàm đơn điệu 132
1. Các hàm đơn điệu (132). 2. Khái niệm hàm ngược (133).
§ 3. Các hàm cơ bản đơn giản nhất 138
1. Hàm số mũ(138). 2. Hàm số lôgarit (145). 3. Chức năng nguồn (146). 4. Hàm số lượng giác (147). 5. Hàm số lượng giác nghịch đảo (154). 6. Hàm hyperbolic (156).
§ 4. Hai giới hạn đáng chú ý 158
1. Đầu tiên giới hạn tuyệt vời(158). 2. Giới hạn đáng chú ý thứ hai (159).
§ 5. Các điểm không liên tục của một hàm và sự phân loại của chúng. . . . 162 1. Phân loại điểm gián đoạn của hàm số (162). 2. Điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu (166).
§ 6. Tính chất cục bộ và toàn cục của hàm liên tục. 167 1. Tính chất cục bộ của hàm liên tục (167). 2. Tính chất toàn cục của hàm liên tục (170). 3. Khái niệm về tính liên tục đồng đều của một hàm (176). 4. Khái niệm về môđun liên tục của một hàm (181).
§ 7. Khái niệm về tính thu gọn của một tập hợp 184
1. Bộ đóng mở (184). 2. Các phủ của một tập hợp bởi một hệ thống các tập hợp mở (184). 3. Khái niệm về tính thu gọn của một tập hợp (186).
CHƯƠNG 5. TÍNH TOÁN KHÁC BIỆT 189
§ 1. Khái niệm đạo hàm 189
1. Hàm tăng. Dạng khác biệt của điều kiện liên tục (189). 2. Định nghĩa đạo hàm (190). 3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm (192).
§ 2. Khái niệm về tính khác biệt của một hàm 193
1. Định nghĩa tính khả vi của một hàm số (193). 2. Tính khác biệt và tính liên tục (195). 3. Khái niệm về vi phân của một hàm số (196).
§ 3. Phân biệt một hàm phức và một hàm nghịch biến 197 1. Phân biệt một hàm phức (197). 2. Phân biệt của hàm nghịch biến (199). 3. Bất biến có dạng của vi phân bậc nhất (200). 4. Ứng dụng của vi phân để thiết lập công thức gần đúng (201).
§ 4. Phân biệt các hàm tổng, hiệu, tích và thương 202
§ 5. Đạo hàm của các hàm sơ cấp đơn giản nhất. . . 205 1. Đạo hàm của hàm số lượng giác (205). 2. Đạo hàm hàm logarit(207). 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác hàm số mũ và hàm số lượng giác nghịch đảo (208). 4. Phái sinh chức năng quyền lực(210). 5. Bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp đơn giản nhất (210). 6. Bảng vi phân của các hàm sơ cấp đơn giản nhất (212). 7. Đạo hàm lôgarit. Đạo hàm của hàm số mũ (212).
§ 6. Đạo hàm và vi phân của các lệnh cấp cao hơn. . . 215 1. Khái niệm đạo hàm cấp n (213). 2. Đạo hàm cấp một của một số hàm số (214). 3. Công thức Leibniz cho đạo hàm thứ i sản phẩm của hai chức năng (216). 4. Sự khác biệt của các đơn đặt hàng cao hơn (218).
§ 7. Phân biệt một hàm được xác định theo tham số. 220 *
§ 8. Đạo hàm hàm vector 222
Chương 6. CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CÁC CHỨC NĂNG KHÁC NHAU 224
§ 1. Sự tăng (giảm) của một hàm số tại một điểm. Cực cục bộ 224
§ 2. Định lý đạo hàm bằng 0 226
§ 3. Công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange). . 227 § 4. Một số hệ quả của công thức Lagrange .... 229 »1. Tính đồng biến của hàm số có đạo hàm bằng 0 trên một khoảng (229). 2. Điều kiện để hàm số có tính đơn điệu trên khoảng (230). 3. Sự không liên tục của loại đầu tiên và những điểm gián đoạn có thể tháo rời của đạo hàm (231). 4. Suy ra một số bất đẳng thức (233). § 5. Công thức tổng quát cho số gia hữu hạn (công thức Cauchy). . 234
§ 6. Tiết lộ những điều không chắc chắn (quy tắc của L'Hopital). . . 235
1. Tiết lộ về độ không đảm bảo của dạng (235). Tiết lộ về độ không đảm bảo của dạng - (240). 3. Tiết lộ về sự không chắc chắn của các loại khác (243).
! § 7. Công thức Taylor "245
§ 8. Các dạng khác nhau của số hạng còn lại. Công thức Maclaurin 248
1. Số hạng còn lại ở dạng Lagrange, Cauchy và Peano (248).
2. Một dạng khác của công thức Taylor (250). 3. Công thức Maclaurin (251).
§ 9. Ước lượng thời hạn còn lại. Sự phân rã của một số chức năng cơ bản. . . . . 251
1. Ước lượng số hạng còn lại của một hàm tùy ý (251). 2. Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bản (252).
1 § 10. Các ví dụ về ứng dụng của công thức Maclaurin 256.
1. Tính số e trên máy tính (256). 2. Chứng minh tính vô tỉ của số e (257). 3. Tính giá trị của các hàm số lượng giác (258). 4. Ước lượng tiệm cận của các hàm cơ bản và tính các giới hạn (259).
Chương 7
§ 1. Tìm kiếm điểm tĩnh 262
1. Tiêu chuẩn về tính đơn điệu của một hàm số (262). 2. Tìm điểm đứng yên (262). 3. Đầu tiên đủ điều kiện cực đoan (264). 4. Điều kiện đủ thứ hai để có cực trị "(265). 5. Điều kiện đủ thứ ba để có cực trị (267). 6. Điểm cực trị của hàm số không phân biệt tại một điểm đã cho (268) .7. Sơ đồ chung tìm cực trị (270).
§ 2. Độ lồi của đồ thị hàm số 271
§ 3. Điểm uốn 273
1. Xác định điểm uốn. Điều kiện cần thiết sự uốn cong (273). 2. Điều kiện đủ đầu tiên để uốn (276). 3. Một số khái quát về điều kiện uốn đủ đầu tiên (276). 4. Điều kiện đủ thứ hai để uốn (277). 5. Thứ ba điều kiện đủ để uốn (278).
§ 4. Các dấu nghiệm của đồ thị hàm số 279
§ 5. Vẽ đồ thị của một hàm số 281
§ 6. Tổng cực đại và cực tiểu của một hàm số trên một đoạn thẳng.
Cạnh cực 284
1. Tìm cực đại và giá trị tối thiểu chức năng được xác định trên phân đoạn (284). 2. Cực trị cạnh (286). 3. Định lý Darboux (287). Phép cộng. Một thuật toán để tìm các giá trị cực trị của một hàm chỉ sử dụng các giá trị của hàm này. . . 288
Chương 8
§ 1. Khái niệm chức năng chống nhiễm trùng và tích phân bất định 291 1. Khái niệm về hàm đối (291). 2. Tích phân bất định (292). 3. "Các tính chất cơ bản của tích phân bất định (293). 4. Bảng cơ bản không phải tích phân xác định (294).
§ 2. Các phương pháp tích hợp cơ bản 297
1, Tích phân của một thay đổi của biến (thay thế) (297).
2. Tích hợp theo bộ phận (300).
§ 3. Các lớp của hàm tích phân trong hàm sơ cấp. 303 1. Thông tin ngắn gọn về số phức (304). 2. Thông tin ngắn gọn về căn của đa thức đại số (307). 3. Phân thức một đa thức đại số với các hệ số thực thành một tích của các thừa số bất khả quy (311). 4. Sự phân hủy của đúng phân số hữu tỉ thành tổng của các phân số đơn giản (312). 5. Tính tích phân của một phân số hữu tỉ trong các hàm số cơ bản (318). 6. Tính tích phân trong các hàm cơ bản của một số lượng giác và biểu thức không hợp lý (321).
§ 4. Tích phân elliptic, 327
Chương 9
§ 1. Định nghĩa tích phân. Tính tích hợp. . . . . 330 § 2. Tổng trên và tổng dưới và các tính chất của chúng. . . . . 334 1. Xác định tổng trên và tổng dưới (334). 2. Tính chất cơ bản của tổng trên và tổng dưới (335). § 3. Định lý về điều kiện cần và đủ cho tính tích phân của hàm số. Các lớp của hàm tích phân. . . 339
1. Điều kiện cần và đủ để có thể tích hợp (339).
2. Các lớp của hàm tích phân (341).
"§ 4. Tính chất của một tích phân xác định. Ước lượng của tích phân. Định lý giá trị trung bình. 347
1. Tính chất của tích phân (347). 2. Ước lượng của tích phân (350).
§ 5. Chất chống diệt khuẩn chức năng liên tục. Quy tắc tích hợp chức năng 357
1. Chất diệt khuẩn (357). 2. Công thức cơ bản Tích phân tích (359). 3. Quy tắc quan trọng, cho phép người ta tính các tích phân xác định (360). 4. Số hạng dư của công thức Taylor ở dạng tích phân (362).
§ 6. Bất đẳng thức đối với tổng và tích phân 365
1. Bất đẳng thức Young (365). 2. Bất đẳng thức Hölder đối với các tổng (366). 3. Bất đẳng thức Minkowski cho các tổng (367). 4. Bất đẳng thức Hölder đối với tích phân (367). 5. Bất đẳng thức Minkowski đối với tích phân (368).
§ 7. Thông tin bổ sung về tích phân Riemann xác định 369
1. Giới hạn của tổng tích phân trên cơ sở bộ lọc (369).
2. Tiêu chí tích hợp Lebesgue (370).
Phụ lục 1 Tích phân không phù hợp 370
§ 1. Tích phân không đúng loại đầu tiên 371
1. Khái niệm về một tích phân không đúng loại thứ nhất (371).
2. Tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của một tích phân không đúng loại đầu tiên. Điều kiện đủ để hội tụ (373). 3. Sự hội tụ tuyệt đối và có điều kiện của tích phân không đúng (375). 4. Đổi biến dưới dấu tích phân không đúng và công thức tính tích phân theo phần (378).
§ 2. Tích phân sai loại thứ hai 379
§ 3. Giá trị chính của tích phân không đúng .. 382
Phụ lục 2. Tích phân Stieltjes 384
1. Định nghĩa tích phân Stieltjes và điều kiện tồn tại của nó (384). 2. Tính chất của tích phân Stieltjes (389).
Chương 10. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH HỢP ĐỊNH NGHĨA
§ 1. Độ dài cung của đường cong 391
1. Khái niệm về đường cong đơn giản (391). 2. Khái niệm về đường cong tham số hóa (392). 3. Độ dài của cung của đường cong. Khái niệm về đường cong chỉnh lưu (394). 4. Tiêu chuẩn về độ thẳng của đường cong. Tính độ dài cung của đường cong (397). 5. Vi sai hồ quang (402). 6. Các ví dụ (403).
! § 2. Diện tích hình phẳng 405
1. Khái niệm về biên của một tập hợp và một hình phẳng (405).
2. Diện tích hình phẳng (406). 3. Khu vực đường cong
hình thang và ngành cong (414). 4. Ví dụ về cách tính diện tích (416).
§ 3. Thể tích của một vật thể trong không gian 418
1. Thể tích cơ thể (418). 2. Một số lớp của cơ thể lập phương (419). 3. Các ví dụ (421).
chương 11
§ 1. Các phương pháp tính gần đúng của phương trình. . 422 1. Phương pháp ngã ba (422). 2. Phương pháp lặp (423). 3. Phương pháp hợp âm và tiếp tuyến 426
§ 2. Các phương pháp tính gần đúng để tính các tích phân xác định 431 1. Nhận xét giới thiệu (431). 2. Phương pháp hình chữ nhật (434).
3. Phương pháp hình thang (436). 4. Phương của parabol (438).
Chương 12
§ 1. Khái niệm hàm số m biến 442
1. Khái niệm về tọa độ m chiều và không gian Euclide giao tử (442). 2. Tập hợp các điểm trong không gian Euclid m chiều (445). 3. Khái niệm hàm số m biến (449).
§ 2. Giới hạn của hàm số m biến 451
1. Dãy điểm trong không gian Em (451). 2. Tính chất của dãy điểm Em (454) có giới hạn. 3. Giới hạn của hàm số m biến (455). 4. Hàm số nhỏ vô hạn đồng biến m (458). 5. Giới hạn lặp lại (459).
§ 3. Tính liên tục của hàm số m biến 460
1. Khái niệm về tính liên tục của hàm số m biến (460).
2. Tính liên tục của hàm số m biến trên một biến (462). 3. Tính chất cơ bản của hàm liên tục một số biến (465).
§ 4. Đạo hàm và vi phân của hàm một số biến 469
1. Đạo hàm riêng của hàm một số biến (469). 2. Tính đồng biến của hàm một số biến (470). 3. Ý nghĩa hình học của điều kiện để một hàm phân biệt hai biến (473). 4. Điều kiện đủ để tạo sự khác biệt 5. Vi phân của hàm số một số biến (476). 6. Phân biệt một hàm phức (476). 7. Bất biến có dạng của vi phân bậc nhất (480). 8. Đạo hàm có hướng. Độ dốc (481).
§ 5. Các dẫn xuất từng phần và vi phân của các lệnh cao hơn 485 1. Các dẫn xuất từng phần của các lệnh cao hơn (485). 2. Sự khác biệt của các đơn đặt hàng cao hơn (490). 3. Công thức Taylor với số hạng dư ở dạng Lagrange và ở dạng tích phân (497) 4. Công thức Taylor với số hạng dư ở dạng Peano (500).
6. Cực trị cục bộ của hàm số m biến .... 504 1. Khái niệm về điểm cực trị của hàm số m biến số. Điều kiện cần thiết cho một điểm cực trị (504). 2. Điều kiện đủ cực đoan địa phương hàm của m biến (506). 3. Trường hợp một hàm hai biến (512).
Bổ sung 1. phương pháp gradient tìm kiếm cực trị của một hàm lồi mạnh 514
1. Bộ lồi và hàm lồi (515). 2. Sự tồn tại của cực tiểu đối với một hàm lồi mạnh và tính duy nhất của cực tiểu đối với một hàm lồi nghiêm ngặt (521).
3. Tìm cực tiểu của một hàm lồi mạnh (526).
Phụ lục 2. Khoảng trống định mức theo hệ mét. . 535
Không gian số liệu. 1. Định nghĩa không gian mêtric. Các ví dụ (535). 2. Bộ đóng mở (538). 3. Tích trực tiếp của không gian số liệu (540). 4. Ở khắp mọi nơi dày đặc và bộ hoàn hảo(541). 5. Sự hội tụ. Ánh xạ liên tục (543). 6. Độ nhỏ gọn 545 7. Cơ sở của không gian (548).
Thuộc tính của không gian số liệu 550
Không gian tôpô 558
1. Định nghĩa một không gian tôpô. Không gian tôpô Hausdorff. Các ví dụ (558). 2. Nhận xét về không gian tôpô (562).
Không gian định mức tuyến tính, toán tử tuyến tính 564
1. Định nghĩa một không gian tuyến tính. Các ví dụ (564).
2. Các không gian định mức. Dấu cách Banach.
Các ví dụ (566). 3. Các toán tử trong không gian tuyến tính và định mức (568). 4. Không gian của người điều hành
5. Định mức của nhà điều hành (569). 6. Khái niệm về không gian Hilbert 572
Phụ lục 3. Phép tính vi phân trong không gian tuyến tính quy chuẩn. 574
1. Khái niệm có thể phân biệt được. Khả năng phân biệt mạnh và yếu trong không gian tuyến tính chuẩn (575).
2. Công thức Lagrange cho số gia hữu hạn (581).
3. Mối quan hệ giữa khả năng phân hóa yếu và mạnh 584 4. Tính khác biệt của các chức năng (587). 5. Tích phân của các hàm trừu tượng (587). 6. Công thức Newton-Leibniz cho các hàm trừu tượng (589). 7. Công cụ phái sinh bậc hai 592 8. Ánh xạ không gian Euclid m chiều thành không gian t chiều (595). 9. Các công cụ phái sinh và phần chênh lệch của các đơn hàng cao hơn 598 10. Công thức của Taylor để ánh xạ một không gian chuẩn tắc vào một không gian khác (599).
Điều tra các cực đại của các chức năng ở chế độ chuẩn hóa
các khoảng trắng. 602
1. Điều kiện cần để có cực trị (602). 2. Điều kiện đủ để có cực trị 605
Chương 13 CÁC CHỨC NĂNG IMPLICIT 609
§ 1. Sự tồn tại và khả năng phân biệt của một hàm ngầm định 610
1. Định lý tồn tại và phân biệt chức năng tiềm ẩn(610). 2. Tính đạo hàm riêng của một hàm đã cho ngầm định (615). 3. Điểm số ít bề mặt và đường cong phẳng (617). 4. Điều kiện đảm bảo tồn tại để hàm số y =) (x) nghịch biến trên (618).
§ 2. Các chức năng ngầm định được xác định bởi một hệ thống chức năng
phương trình 619
1. Định lý về khả năng tan của một hệ phương trình hàm (619). 2. Tính đạo hàm riêng của các hàm được xác định một cách ngầm định bằng hệ phương trình hàm (624). 3. Ánh xạ một-một của hai bộ không gian m-chiều (625).
§ 3. Sự phụ thuộc của các hàm 626
1. Khái niệm về sự phụ thuộc của hàm số. Điều kiện đủ để độc lập (626). 2. Ma trận hàm và ứng dụng của chúng (628).
§ 4. Cực trị có điều kiện. 632
1. Khái niệm về một cực trị có điều kiện (632). 2. Phương pháp số nhân không xác định Lagrange (635). 3. Đủ. điều kiện (636). 4. Ví dụ (637).
Phụ lục 1. Ánh xạ không gian Banach. Tương tự của định lý hàm ngầm 638
1. Định lý về sự tồn tại và tính khả vi của một hàm ẩn (638). 2. Trường hợp không gian hữu hạn chiều (644). 3. Điểm kỳ dị của một bề mặt trong không gian có n chiều. Ánh xạ ngược (647). 4. Cực trị có điều kiện trong trường hợp ánh xạ của không gian định chuẩn (651).

Phần 2. - Tiếp tục của khóa học.

MỤC LỤC
Lời nói đầu 5
CHƯƠNG 1. CÁC DÒNG SỐ 7
§ 1. Khái niệm dãy số 7
1. Dãy số hội tụ và phân kỳ (7). 2. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ của chuỗi (10)
§ 2. Chuỗi có các số hạng không âm 12 "
1. Điều kiện cần và đủ để dãy số có số hạng không âm là hội tụ (12). 2. Dấu hiệu so sánh (13). 3. Dấu hiệu của d'Alembert và Cauchy (16). 4. Dấu tích phân Cauchy-McLaurin (21). 5, Dấu hiệu của Raabe (24). 6. Thiếu một loạt so sánh phổ quát (27)
§ 3. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và có điều kiện 28
1. Các khái niệm về chuỗi hội tụ tuyệt đối và có điều kiện (28). 2. Về hoán vị các số hạng của chuỗi hội tụ có điều kiện (30). 3. Về hoán vị các số hạng của một chuỗi hội tụ tuyệt đối (33)
§ 4. Tiêu chuẩn cho sự hội tụ của chuỗi tùy ý 35
§ 5. Các phép toán số học trên chuỗi hội tụ 41
§ 6. Tích vô số 44
1. Các khái niệm cơ bản (44). 2. Mối quan hệ giữa sự hội tụ của tích vô hạn và chuỗi (47). 3. Phân hủy hàm tội lỗi x đến tích vô hạn (51)
§ 7. Các phương pháp tổng hợp tổng quát cho chuỗi phân kỳ .... 55
1. Phương pháp Cesaro (phương pháp số học) (56). 2. Poisson - Phương pháp tổng kết Abel (57)
§ tám. lý thuyết sơ cấp hàng đôi và lặp lại 59
CHƯƠNG 2. CÁC PHÂN TÍCH VÀ DÒNG CHỨC NĂNG 67
§ 1. Các khái niệm về sự đồng quy tại một điểm và sự đồng quy trên một tập 67
1. Các khái niệm về dãy chức năng và phạm vi chức năng(67). 2. Sự hội tụ của một dãy hàm (dãy hàm) tại một điểm và trên một tập hợp (69). 3. Sự hội tụ đồng đều trên tập (70). 4. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ đồng nhất của một dãy (chuỗi) (72)
§ 2. Có đủ tiêu chí cho sự hội tụ đồng nhất của chuỗi chức năng và chuỗi 74
§ 3. Từng thời kỳ chuyển qua giới hạn 83
§ 4. Tích hợp theo từng kỳ hạn và phân biệt từng kỳ hạn của các chuỗi chức năng và chuỗi 87
1. Tích hợp theo thời hạn (87). 2. Sự phân hóa theo kỳ hạn (90). 3. Độ hội tụ trung bình (94)
§ 5. Tính liên tục của một chuỗi các hàm ... 97
§ 6. Chuỗi lũy thừa 102
1. Chuỗi lũy thừa và miền hội tụ của nó (102). 2. Tính liên tục của tổng của chuỗi lũy thừa (105). 3. Tích hợp theo thời hạn và phân biệt theo thời hạn của chuỗi lũy thừa (105)
§ 7. Mở rộng các chức năng trong chuỗi lũy thừa 107
1. Sự phân rã của một hàm trong chuỗi điện(107). 2. Khai triển một số hàm cơ bản trong chuỗi Taylor (108). 3. Đại diện cơ bản về các chức năng của một biến phức (CP). 4. Định lý Weierstrass về tính gần đúng đồng đều của một hàm liên tục theo đa thức (112)
CHƯƠNG 3. TÍCH HỢP NHÂN ĐÔI VÀ N-ĐA SỐ 117
§ 1. Định nghĩa và điều kiện tồn tại của tích phân kép. . . 117
1. Định nghĩa tích phân kép cho hình chữ nhật (117).
2. Điều kiện tồn tại tích phân kép đối với hình chữ nhật (119). 3. Định nghĩa và điều kiện tồn tại của tích phân kép đối với miền tùy ý (121). 4. Định nghĩa chung của tích phân kép (123)
"§ 2. Các tính chất cơ bản của tích phân kép 127
§ 3. Giảm một tích phân kép thành một tích phân đơn có lặp. . . 129 1. Trường hợp của hình chữ nhật (129). 2. Trường hợp của một vùng tùy ý (130)
§ 4. Tích phân gấp ba và gấp n 133
§ 5. Đổi biến trong tích phân gấp n lần 138
§ 6. Tính thể tích của vật thể n chiều 152
§ 7. Định lý về tích phân theo số hạng của dãy hàm và dãy số 157
$ 8. Nhiều số tích phân không thích hợp 159
1. Khái niệm về bội số tích phân không đúng(159). 2. Hai tiêu chuẩn cho sự hội tụ của tích phân không đúng của các hàm không âm (160). 3. Tích phân không đúng của các hàm đổi dấu (161). 4. Giá trị chính của nhiều tích phân không đúng (165)
CHƯƠNG 4. TÍCH HỢP CURVILINEAR 167
§ 1. Các khái niệm về tích phân đường cong loại một và loại hai. . . 167
§ 2. Điều kiện tồn tại của tích phân cong 169
CHƯƠNG 5. TÍCH HỢP BỀ MẶT 175
§ 1. Các khái niệm về một bề mặt và diện tích của nó 175
1. Khái niệm bề mặt (175). 2. Bổ đề phụ (179).
3. Diện tích bề mặt (181)
§ 2. Tích phân bề mặt 185
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT LĨNH VỰC. CÔNG THỨC TỔNG HỢP CƠ BẢN ĐỂ PHÂN TÍCH 190
§ 1. Kí hiệu. Căn cứ sinh học. Bất biến toán tử tuyến tính 190
1. Kí hiệu (190). 2. Cơ sở sinh con trong không gian E "(191). 3. Phép biến đổi cơ sở. Tọa độ đồng biến và nghịch biến của vectơ (192). 4. Bất biến của toán tử tuyến tính. Phân kỳ và cuộn tròn (195). 5. Biểu thức cho sự phân kỳ và độ cong của toán tử tuyến tính trong cơ sở trực chuẩn (Sch8)
§ 2. Trường vô hướng và trường vectơ. Toán tử vi sai phân tích vectơ 198
! Trường vectơ và vô hướng (198). 2. Phân kỳ, rôto và đạo hàm có hướng Trường vector(203). 3. Một số công thức phân tích véc tơ khác (204). 4. Chú thích cuối (206)
§ 3. Các công thức tích phân cơ bản của giải tích 207
1. Công thức của Green (207). 2. Công thức của Ostrogradsky - Gauss (211). 3. Công thức Stokes (214)
§ 4. Điều kiện để có sự độc lập của tích phân đường cong trên mặt phẳng với đường tích phân 218
§ 5. Một số ví dụ về ứng dụng lý thuyết trường 222
1. Biểu thức của diện tích hình phẳng dưới dạng tích phân đường cong(222). 2. Biểu hiện của khối lượng về tích phân bề mặt (223)
Phụ lục của Chương 6. Các dạng vi phân trong không gian Euclide 225
§ 1. Các dạng đa tuyến xen kẽ 225
1. Các dạng tuyến tính (225). 2. Các dạng song tuyến (226). 3. Các dạng đa tuyến (227). 4. Các dạng đa tuyến xen kẽ (228). 5. Tích ngoài của các dạng xen kẽ (228). 6. Tính chất của tích ngoài của các dạng xen kẽ (231). 7. Cơ sở trong không gian của các dạng xen kẽ (233)
§ 2. Các dạng vi phân 235
1. Kí hiệu cơ bản (235). 2. Vi sai ngoài (236). 3. Tính chất của vi phân ngoài (237;)
§ 3. Các ánh xạ phân biệt 2391
1. Định nghĩa ánh xạ phân biệt (239). 2. Các thuộc tính của ánh xạ φ * (240)
§ 4. Tích hợp hình thức khác biệt 243
1. Các định nghĩa (243). 2. Chuỗi phân biệt (245). 3. Công thức Stokes (248). 4. Ví dụ (250)
CHƯƠNG 7. TÍCH HỢP PHỤ THUỘC VÀO CÁC THAM SỐ 252
§ 1. Đồng nhất trong một biến thiên hướng của một hàm hai biến với giới hạn trong một biến khác 252
1. Mối quan hệ giữa xu hướng đồng nhất trong một biến của một hàm hai biến với giới hạn trong một biến khác với sự hội tụ đồng nhất của dãy hàm (252). 2. Tiêu chuẩn Cauchy cho xu hướng đồng đều của một hàm đối với giới hạn (254). 3. Các ứng dụng của khái niệm hội tụ đều cho hàm giới hạn (254)
§ 2. Eigenintegrals tùy thuộc vào tham số 256
1. Tính chất của một tích phân phụ thuộc vào một tham số (256). 2. Trường hợp giới hạn tích hợp phụ thuộc vào tham số (257)
§ 3. Tích phân không đúng tùy thuộc vào tham số 259
1. Tích phân không đúng loại đầu tiên phụ thuộc vào tham số (260). 2. Tích phân không đúng loại thứ hai tùy thuộc vào tham số (266)
§ 4. Ứng dụng của lý thuyết về tích phân phụ thuộc vào một tham số để tính một số tích phân không đúng 267
§ 5. Tích phân Euler 271
tới hàm Γ (272). 2. Hàm B (275). 3. Kết nối giữa các tích phân Euler (277). 4. Ví dụ (279)
§ 6. Công thức Stirling 280
§ 7. Tích phân bội phụ thuộc vào tham số 282
1. Sở hữu nhiều tích phân phụ thuộc vào tham số (282).
2. Tích phân sai nhiều tùy thuộc vào tham số (283)
CHƯƠNG 8. BỐN DÒNG 287
§ 1. Hệ thống siêu thường và chuỗi Fourier tổng quát 287
1. Hệ thống siêu thường (287). 2. Khái niệm về chuỗi Fourier tổng quát (292)
§ 2. Hệ thống trực chuẩn khép kín và hoàn chỉnh 295
§ 3. Đóng cửa hệ thống lượng giác và hậu quả từ nó. . 298 1. Tính gần đúng đồng nhất của một hàm liên tục bằng đa thức lượng giác (298). 2. Chứng minh tính đóng của hệ thức lượng giác (301). 3. Hệ quả của tính đóng của hệ thức lượng giác (303)
§ 4. Các điều kiện đơn giản nhất để hội tụ đồng nhất và phân biệt theo từng số hạng của chuỗi Fourier lượng giác 304
1. Nhận xét giới thiệu (304). 2. Điều kiện đơn giản nhất để có sự hội tụ đồng nhất và tuyệt đối của chuỗi Fourier lượng giác (306).
3. Các điều kiện đơn giản nhất để phân biệt theo từng số hạng của chuỗi Fourier lượng giác (308)
§ 5. Điều kiện chính xác hơn để hội tụ đều và điều kiện hội tụ tại một điểm cho trước
1. Môđun tính liên tục của hàm số. Các lớp cũ hơn (309). 2. Biểu thức cho tổng một phần của chuỗi Fourier lượng giác (311). 3. Câu phụ (314). 4. Nguyên tắc nội địa hóa 317 5. Sự hội tụ đồng đều của chuỗi Fourier lượng giác cho một hàm từ lớp Hölder (319). 6. Trên sự hội tụ của chuỗi Fourier lượng giác của một hàm Hölder dạng mảnh (325). 7. Tính tổng của chuỗi Fourier lượng giác của một hàm số liên tục bằng phương pháp số học (329). 8. Phần kết luận (331)
§ 6. Dãy Fourier nhiều lượng giác 332
1. Các khái niệm về chuỗi Fourier nhiều lượng giác và các tổng riêng hình cầu và hình chữ nhật của nó (332). 2. Môđun của tính liên tục và các lớp Hölder cho một hàm của N biến (334). 3. Điều kiện để có sự hội tụ tuyệt đối của một chuỗi Fourier nhiều lượng giác (335)
CHƯƠNG 9. SỰ CHUYỂN HÓA BỐN 33 »
§ 1. Biểu diễn một hàm bằng tích phân Fourier 339
1. Các khẳng định bổ trợ (340). 2. Định lý chính. Công thức nghịch đảo (342). 3. Ví dụ (347)
§ 2. Một số tính chất của phép biến đổi Fourier 34 &
§ 3. Tích phân nhiều Fourier 352

M.: Nhà xuất bản Đại học Tổng hợp Quốc gia Matxcova. Phần 1: Xuất bản lần thứ 2, Rev., 1985. - Những năm 662; Phần 2 - 1987. - 358s. Phần 1. - Khóa học ban đầu.

Cuốn sách này là phần đầu tiên của khóa học phân tích toán học dành cho các cơ sở giáo dục đại học của Liên Xô, Bulgaria và Hungary, được biên soạn theo thỏa thuận hợp tác giữa các trường đại học Moscow, Sofia và Budapest. Sách bao gồm lý thuyết về số thực, lý thuyết về giới hạn, lý thuyết về tính liên tục của hàm số, phép tính vi phân và tích phân của hàm một biến và ứng dụng của chúng, phép tính vi phân của hàm nhiều biến và lý thuyết hàm ẩn .

Phần 2. - Tiếp tục của khóa học.

Sách giáo khoa là phần thứ hai (phần 1 - 1985) của khóa học giải tích toán học, được biên soạn theo chương trình thống nhất được áp dụng ở Liên Xô và NRB. Cuốn sách đề cập đến lý thuyết về chuỗi số và hàm, lý thuyết về tích phân bội, đường cong và bề mặt, lý thuyết trường (bao gồm các dạng vi phân), lý thuyết về tích phân phụ thuộc vào một tham số, lý thuyết về chuỗi Fourier và tích phân. Điểm đặc biệt của cuốn sách là ba cấp độ trình bày được phân tách rõ ràng: nhẹ, cơ bản và nâng cao, cho phép sử dụng nó như sinh viên các trường đại học kỹ thuật với nghiên cứu sâu phân tích toán học và sinh viên các khoa cơ học và toán học của các trường đại học.

MỤC LỤC
Lời nói đầu của người biên tập tiêu đề .... 5
Lời nói đầu của ấn bản thứ hai 6
Lời nói đầu của ấn bản đầu tiên 6
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHÂN TÍCH TOÁN HỌC 10
Chương 2. CÁC SỐ THỰC 29
§ 1. Tập hợp các số có thể biểu diễn bằng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn và thứ tự của nó 29
1. Tính chất của số hữu tỉ (29). 2. Tính không hiệu quả của số hữu tỉ để đo các đoạn của trục số (31). 3. Thứ tự tập hợp các số thập phân vô hạn
phân số (34)
§ 2. Giới hạn trên (hoặc dưới) tập hợp số biểu diễn được bằng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn .... 40 1. Các khái niệm cơ bản (40). 2. Sự tồn tại các cạnh chính xác (41).
§ 3. Tính gần đúng của số có thể biểu diễn bằng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng số hữu tỉ 44
§ 4. Các phép toán cộng và nhân. Mô tả tập hợp các số thực 46
1. Định nghĩa các phép toán cộng và nhân. Mô tả khái niệm số thực (46). 2. Tính tồn tại và tính duy nhất của tổng và tích của các số thực (47).
§ 5. Tính chất của số thực 50
1. Tính chất của số thực (50). 2. Một số quan hệ thường dùng (52). 3. Một số bộ số thực cụ thể (52).
§ 6. Các câu hỏi bổ sung trong lý thuyết về số thực. .54 1. Tính đầy đủ của tập hợp các số thực (54). 2. Giới thiệu tiên đề về tập hợp các số thực (57).
§ 7. Các yếu tố của lý thuyết tập hợp. 59
1. Khái niệm tập hợp (59). 2. Các phép toán trên bộ (60). 3. Tập hợp đếm được và không đếm được. Không thể đếm được phân đoạn. Bản số của tập hợp (61). 4. Tính chất của các phép toán trên tập hợp. Đặt ánh xạ (65).
CHƯƠNG 3. LÝ THUYẾT VỀ GIỚI HẠN. 68
§ 1. Dãy số và giới hạn của nó 68.
1. Khái niệm về dãy số. Các phép toán số học trên dãy số (68). 2. Dãy số có giới hạn, không bị giới hạn, nhỏ vô hạn và lớn vô hạn (69). 3. Tính chất cơ bản của dãy số thập phân (73). 4. Dãy hội tụ và các tính chất của chúng (75).
§ 2. Các chuỗi đơn điệu 83
1. Khái niệm dãy đơn thức (83). 2. Định lý về sự hội tụ của một dãy có giới hạn đơn điệu (84). 3. Số e (86). 4. Các ví dụ về chuỗi đơn điệu hội tụ (88).
§ 3. Trình tự tùy ý 92
1. Điểm giới hạn, giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy số (92). 2. Mở rộng các khái niệm về điểm giới hạn và các giới hạn trên và dưới (99). 3. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ của một dãy số (102).
§ 4. Giới hạn (hoặc giá trị giới hạn) của một hàm 105
1. Các khái niệm về đại lượng và hàm lượng (105). 2. Giới hạn của hàm theo Heine và theo Cauchy (109). 3. Tiêu chí Cauchy cho sự tồn tại của một giới hạn của hàm số (115). 4. Các phép toán số học trên các hàm có giới hạn (118). 5. Hàm số nhỏ và hàm lớn vô hạn (119).
§ 5. Định nghĩa chung về giới hạn của hàm số đối với cơ sở .... 122
Chương 4. TIẾP TỤC CHỨC NĂNG 127
§ 1. Khái niệm về tính liên tục của một hàm số 127
1. Định nghĩa tính liên tục của hàm số (127). 2. Các phép toán số học trên hàm số liên tục (131). 3. Hàm phức và tính liên tục của nó (132).
§ 2. Tính chất của hàm đơn điệu 132
1. Các hàm đơn điệu (132). 2. Khái niệm hàm ngược (133).
§ 3. Các hàm cơ bản đơn giản nhất 138
1. Hàm số lũy thừa (138). 2. Hàm số lôgarit (145). 3. Chức năng nguồn (146). 4. Hàm số lượng giác (147). 5. Hàm số lượng giác nghịch đảo (154). 6. Các hàm hypebolic (156).
§ 4. Hai giới hạn đáng chú ý 158
1. Giới hạn đáng chú ý đầu tiên (158). 2. Giới hạn đáng chú ý thứ hai (159).
§ 5. Các điểm không liên tục của một hàm và sự phân loại của chúng. . . . 162 1. Phân loại điểm gián đoạn của hàm số (162). 2. Điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu (166).
§ 6. Tính chất cục bộ và toàn cục của hàm liên tục. 167 1. Tính chất cục bộ của hàm liên tục (167). 2. Tính chất toàn cục của hàm liên tục (170). 3. Khái niệm về tính liên tục đồng đều của một hàm (176). 4. Khái niệm về môđun liên tục của một hàm (181).
§ 7. Khái niệm về tính thu gọn của một tập hợp 184
1. Bộ đóng mở (184). 2. Các phủ của một tập hợp bởi một hệ thống các tập hợp mở (184). 3. Khái niệm về tính thu gọn của một tập hợp (186).
CHƯƠNG 5. TÍNH TOÁN KHÁC BIỆT 189
§ 1. Khái niệm đạo hàm 189
1. Hàm tăng. Dạng khác biệt của điều kiện liên tục (189). 2. Định nghĩa đạo hàm (190). 3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm (192).
§ 2. Khái niệm về tính khác biệt của một hàm 193
1. Định nghĩa tính khả vi của một hàm số (193). 2. Tính khác biệt và tính liên tục (195). 3. Khái niệm về vi phân của một hàm số (196).
§ 3. Phân biệt một hàm phức và một hàm nghịch biến 197 1. Phân biệt một hàm phức (197). 2. Phân biệt của hàm nghịch biến (199). 3. Bất biến có dạng của vi phân bậc nhất (200). 4. Ứng dụng của vi phân để thiết lập công thức gần đúng (201).
§ 4. Phân biệt các hàm tổng, hiệu, tích và thương 202
§ 5. Đạo hàm của các hàm sơ cấp đơn giản nhất. . . 205 1. Đạo hàm của hàm số lượng giác (205). 2. Đạo hàm của một hàm số lôgarit (207). 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác hàm số mũ và hàm số lượng giác nghịch đảo (208). 4. Đạo hàm của hàm lũy thừa (210). 5. Bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp đơn giản nhất (210). 6. Bảng vi phân của các hàm sơ cấp đơn giản nhất (212). 7. Đạo hàm lôgarit. Đạo hàm của hàm số mũ (212).
§ 6. Đạo hàm và vi phân của các lệnh cấp cao hơn. . . 215 1. Khái niệm đạo hàm cấp n (213). 2. Đạo hàm cấp một của một số hàm số (214). 3. Công thức Leibniz cho đạo hàm bậc n của tích hai hàm (216). 4. Sự khác biệt của các đơn đặt hàng cao hơn (218).
§ 7. Phân biệt một hàm được xác định theo tham số. 220 *
§ 8. Đạo hàm của một hàm vectơ 222
Chương 6. CÁC LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ CÁC CHỨC NĂNG KHÁC NHAU 224
§ 1. Sự tăng (giảm) của một hàm số tại một điểm. Cực cục bộ 224
§ 2. Định lý đạo hàm bằng 0 226
§ 3. Công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange). . 227 § 4. Một số hệ quả của công thức Lagrange .... 229 »1. Tính đồng biến của hàm số có đạo hàm bằng 0 trên một khoảng (229). 2. Điều kiện để hàm số có tính đơn điệu trên khoảng (230). 3. Sự không liên tục của loại đầu tiên và những điểm gián đoạn có thể tháo rời của đạo hàm (231). 4. Suy ra một số bất đẳng thức (233). § 5. Công thức tổng quát cho số gia hữu hạn (công thức Cauchy). . 234
§ 6. Tiết lộ những điều không chắc chắn (quy tắc của L'Hopital). . . 235
1. Tiết lộ về độ không đảm bảo của dạng (235). Tiết lộ về độ không đảm bảo của dạng - (240). 3. Tiết lộ về sự không chắc chắn của các loại khác (243).
! § 7. Công thức Taylor "245
§ 8. Các dạng khác nhau của số hạng còn lại. Công thức Maclaurin 248
1. Số hạng còn lại ở dạng Lagrange, Cauchy và Peano (248).
2. Một dạng khác của công thức Taylor (250). 3. Công thức Maclaurin (251).
§ 9. Ước lượng thời hạn còn lại. Sự phân rã của một số chức năng cơ bản. . . . . 251
1. Ước lượng số hạng còn lại của một hàm tùy ý (251). 2. Khai triển Maclaurin của một số hàm cơ bản (252).
1 § 10. Các ví dụ về ứng dụng của công thức Maclaurin 256.
1. Tính số e trên máy tính (256). 2. Chứng minh tính vô tỉ của số e (257). 3. Tính giá trị của các hàm số lượng giác (258). 4. Ước lượng tiệm cận của các hàm cơ bản và tính các giới hạn (259).
Chương 7
§ 1. Tìm điểm đứng yên 262
1. Tiêu chuẩn về tính đơn điệu của một hàm số (262). 2. Tìm điểm đứng yên (262). 3. Điều kiện đủ đầu tiên cho một điểm cực trị (264). 4. Điều kiện đủ thứ hai để có cực trị "(265). 5. Điều kiện đủ thứ ba để có cực trị (267). 6. Cực trị của hàm số không phân biệt tại một điểm đã cho (268). 7. Tổng quát lược đồ tìm cực trị (270).
§ 2. Độ lồi của đồ thị hàm số 271
§ 3. Điểm uốn 273
1. Xác định điểm uốn. Điều kiện cần thiết để uốn (273). 2. Điều kiện đủ đầu tiên để uốn (276). 3. Một số khái quát về điều kiện uốn đủ đầu tiên (276). 4. Điều kiện đủ thứ hai để uốn (277). 5. Thứ ba điều kiện đủ để uốn (278).
§ 4. Các dấu nghiệm của đồ thị hàm số 279
§ 5. Vẽ đồ thị của một hàm số 281
§ 6. Tổng cực đại và cực tiểu của một hàm số trên một đoạn thẳng.
Cạnh cực 284
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số xác định trên đoạn (284). 2. Cực trị cạnh (286). 3. Định lý Darboux (287). Phép cộng. Một thuật toán để tìm các giá trị cực trị của một hàm chỉ sử dụng các giá trị của hàm này. . . 288
Chương 8
§ 1. Khái niệm về một hàm ngược và một tích phân không xác định 291 1. Khái niệm về một hàm ngược (291). 2. Tích phân bất định (292). 3. “Tính chất cơ bản của tích phân bất định (293). 4. Bảng tích phân bất định cơ bản (294).
§ 2. Các phương pháp tích hợp cơ bản 297
1, Tích phân của một thay đổi của biến (thay thế) (297).
2. Tích hợp theo bộ phận (300).
§ 3. Các lớp của hàm tích phân trong hàm sơ cấp. 303 1. Thông tin ngắn gọn về số phức (304). 2. Thông tin ngắn gọn về căn của đa thức đại số (307). 3. Phân thức một đa thức đại số với các hệ số thực thành một tích của các thừa số bất khả quy (311). 4. Quy một phân số hữu tỉ thích hợp thành tổng phân số đơn giản (312). 5. Tính tích phân của một phân số hữu tỉ trong các hàm số cơ bản (318). 6. Tính tích phân trong các hàm cơ bản của một số biểu thức lượng giác và vô tỉ (321).
§ 4. Tích phân elliptic, 327
Chương 9
§ 1. Định nghĩa tích phân. Tính tích hợp. . . . . 330 § 2. Tổng trên và tổng dưới và các tính chất của chúng. . . . . 334 1. Xác định tổng trên và tổng dưới (334). 2. Tính chất cơ bản của tổng trên và tổng dưới (335). § 3. Định lý về điều kiện cần và đủ cho tính tích phân của hàm số. Các lớp của hàm tích phân. . . 339
1. Điều kiện cần và đủ để có thể tích hợp (339).
2. Các lớp của hàm tích phân (341).
"§ 4. Tính chất của một tích phân xác định. Ước lượng của tích phân. Định lý giá trị trung bình. 347
1. Tính chất của tích phân (347). 2. Ước lượng của tích phân (350).
§ 5. Đạo hàm của một hàm liên tục. Quy tắc tích hợp chức năng 357
1. Chất diệt khuẩn (357). 2. Công thức cơ bản của phép tính tích phân (359). 3. Các quy tắc quan trọng để tính tích phân xác định (360). 4. Số hạng dư của công thức Taylor ở dạng tích phân (362).
§ 6. Bất đẳng thức đối với tổng và tích phân 365
1. Bất đẳng thức Young (365). 2. Bất đẳng thức Hölder đối với các tổng (366). 3. Bất đẳng thức Minkowski cho các tổng (367). 4. Bất đẳng thức Hölder đối với tích phân (367). 5. Bất đẳng thức Minkowski đối với tích phân (368).
§ 7. Thông tin bổ sung về tích phân Riemann xác định 369
1. Giới hạn của tổng tích phân trên cơ sở bộ lọc (369).
2. Tiêu chí tích hợp Lebesgue (370).
Phụ lục 1 Tích phân không phù hợp 370
§ 1. Tích phân không đúng loại đầu tiên 371
1. Khái niệm về một tích phân không đúng loại thứ nhất (371).
2. Tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của một tích phân không đúng loại đầu tiên. Điều kiện đủ để hội tụ (373). 3. Sự hội tụ tuyệt đối và có điều kiện của tích phân không đúng (375). 4. Đổi biến dưới dấu tích phân không đúng và công thức tính tích phân theo phần (378).
§ 2. Tích phân sai loại thứ hai 379
§ 3. Giá trị chính của tích phân không đúng .. 382
Phụ lục 2. Tích phân Stieltjes 384
1. Định nghĩa tích phân Stieltjes và điều kiện tồn tại của nó (384). 2. Tính chất của tích phân Stieltjes (389).
Chương 10. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH HỢP ĐỊNH NGHĨA
§ 1. Độ dài cung của đường cong 391
1. Khái niệm về đường cong đơn giản (391). 2. Khái niệm về đường cong tham số hóa (392). 3. Độ dài của cung của đường cong. Khái niệm về đường cong chỉnh lưu (394). 4. Tiêu chuẩn về độ thẳng của đường cong. Tính độ dài cung của đường cong (397). 5. Vi sai hồ quang (402). 6. Các ví dụ (403).
! § 2. Diện tích hình phẳng 405
1. Khái niệm về biên của một tập hợp và một hình phẳng (405).
2. Diện tích hình phẳng (406). 3. Khu vực đường cong
hình thang và ngành cong (414). 4. Ví dụ về cách tính diện tích (416).
§ 3. Thể tích của một vật thể trong không gian 418
1. Thể tích cơ thể (418). 2. Một số lớp của cơ thể lập phương (419). 3. Các ví dụ (421).
chương 11
§ 1. Các phương pháp tính gần đúng của phương trình. . 422 1. Phương pháp ngã ba (422). 2. Phương pháp lặp (423). 3. Phương pháp hợp âm và tiếp tuyến 426
§ 2. Các phương pháp tính gần đúng để tính các tích phân xác định 431 1. Nhận xét giới thiệu (431). 2. Phương pháp hình chữ nhật (434).
3. Phương pháp hình thang (436). 4. Phương của parabol (438).
Chương 12
§ 1. Khái niệm hàm số m biến 442
1. Khái niệm về tọa độ m chiều và không gian Euclide giao tử (442). 2. Tập hợp các điểm trong không gian Euclid m chiều (445). 3. Khái niệm hàm số m biến (449).
§ 2. Giới hạn của hàm số m biến 451
1. Dãy điểm trong không gian Em (451). 2. Tính chất của dãy điểm Em (454) có giới hạn. 3. Giới hạn của hàm số m biến (455). 4. Hàm số nhỏ vô hạn đồng biến m (458). 5. Giới hạn lặp lại (459).
§ 3. Tính liên tục của hàm số m biến 460
1. Khái niệm về tính liên tục của hàm số m biến (460).
2. Tính liên tục của hàm số m biến trên một biến (462). 3. Tính chất cơ bản của hàm liên tục một số biến (465).
§ 4. Đạo hàm và vi phân của hàm một số biến 469
1. Đạo hàm riêng của hàm một số biến (469). 2. Tính đồng biến của hàm một số biến (470). 3. Ý nghĩa hình học của điều kiện để một hàm phân biệt hai biến (473). 4. Điều kiện đủ để tạo sự khác biệt 5. Vi phân của hàm số một số biến (476). 6. Phân biệt một hàm phức (476). 7. Bất biến có dạng của vi phân bậc nhất (480). 8. Đạo hàm có hướng. Độ dốc (481).
§ 5. Các dẫn xuất từng phần và vi phân của các lệnh cao hơn 485 1. Các dẫn xuất từng phần của các lệnh cao hơn (485). 2. Sự khác biệt của các đơn đặt hàng cao hơn (490). 3. Công thức Taylor với số hạng dư ở dạng Lagrange và ở dạng tích phân (497) 4. Công thức Taylor với số hạng dư ở dạng Peano (500).
6. Cực trị cục bộ của hàm số m biến .... 504 1. Khái niệm về điểm cực trị của hàm số m biến số. Điều kiện cần thiết cho một điểm cực trị (504). 2. Điều kiện đủ để có cực trị địa phương của hàm số m biến (506). 3. Trường hợp một hàm hai biến (512).
Phụ lục 1. Phương pháp gradient để tìm cực trị của một hàm lồi mạnh 514
1. Tập hợp lồi và hàm lồi (515). 2. Sự tồn tại của cực tiểu đối với một hàm lồi mạnh và tính duy nhất của cực tiểu đối với một hàm lồi nghiêm ngặt (521).
3. Tìm cực tiểu của một hàm lồi mạnh (526).
Phụ lục 2. Khoảng trống định mức theo hệ mét. . 535
Không gian số liệu. 1. Định nghĩa không gian mêtric. Các ví dụ (535). 2. Bộ đóng mở (538). 3. Tích trực tiếp của không gian số liệu (540). 4. Khắp nơi dày đặc và bộ hoàn hảo (541). 5. Sự hội tụ. Ánh xạ liên tục (543). 6. Độ nhỏ gọn 545 7. Cơ sở của không gian (548).
Thuộc tính của không gian số liệu 550
Không gian tôpô 558
1. Định nghĩa một không gian tôpô. Không gian tôpô Hausdorff. Các ví dụ (558). 2. Nhận xét về không gian tôpô (562).
Không gian định mức tuyến tính, toán tử tuyến tính 564
1. Định nghĩa một không gian tuyến tính. Các ví dụ (564).
2. Các không gian định mức. Dấu cách Banach.
Các ví dụ (566). 3. Các toán tử trong không gian tuyến tính và định mức (568). 4. Không gian của người điều hành
5. Định mức của nhà điều hành (569). 6. Khái niệm về không gian Hilbert 572
Phụ lục 3. Phép tính vi phân trong không gian tuyến tính quy chuẩn. 574
1. Khái niệm có thể phân biệt được. Khả năng phân biệt mạnh và yếu trong không gian tuyến tính chuẩn (575).
2. Công thức Lagrange cho số gia hữu hạn (581).
3. Mối quan hệ giữa khả năng phân hóa yếu và mạnh 584 4. Tính khác biệt của các chức năng (587). 5. Tích phân của các hàm trừu tượng (587). 6. Công thức Newton-Leibniz cho các hàm trừu tượng (589). 7. Công cụ phái sinh bậc hai 592 8. Ánh xạ không gian Euclid m chiều thành không gian t chiều (595). 9. Các công cụ phái sinh và phần chênh lệch của các đơn hàng cao hơn 598 10. Công thức của Taylor để ánh xạ một không gian chuẩn tắc vào một không gian khác (599).
Điều tra các cực đại của các chức năng ở chế độ chuẩn hóa
các khoảng trắng. 602
1. Điều kiện cần để có cực trị (602). 2. Điều kiện đủ để có cực trị 605
Chương 13 CÁC CHỨC NĂNG IMPLICIT 609
§ 1. Sự tồn tại và khả năng phân biệt của một hàm ngầm định 610
1. Định lý về sự tồn tại và tính phân biệt của một hàm ẩn (610). 2. Tính đạo hàm riêng của một hàm đã cho ngầm định (615). 3. Các điểm riêng biệt của một bề mặt và một đường cong mặt phẳng 617 4. Điều kiện đảm bảo tồn tại để hàm số y =) (x) nghịch biến trên (618).
§ 2. Các chức năng ngầm định được xác định bởi một hệ thống chức năng
phương trình 619
1. Định lý về khả năng tan của một hệ phương trình hàm (619). 2. Tính đạo hàm riêng của các hàm được xác định một cách ngầm định bằng hệ phương trình hàm (624). 3. Ánh xạ một-một của hai tập hợp không gian m chiều (625).
§ 3. Sự phụ thuộc của các hàm 626
1. Khái niệm về sự phụ thuộc của hàm số. Điều kiện đủ để độc lập (626). 2. Ma trận hàm và ứng dụng của chúng (628).
§ 4. Cực trị có điều kiện. 632
1. Khái niệm về một cực trị có điều kiện (632). 2. Phương pháp nhân Lagrange không xác định (635). 3. Đủ. điều kiện (636). 4. Ví dụ (637).
Phụ lục 1. Ánh xạ không gian Banach. Tương tự của định lý hàm ngầm 638
1. Định lý về sự tồn tại và tính khả vi của một hàm ẩn (638). 2. Trường hợp không gian hữu hạn chiều (644). 3. Điểm kỳ dị của một bề mặt trong không gian có n chiều. Ánh xạ ngược (647). 4. Cực trị có điều kiện trong trường hợp ánh xạ của không gian định chuẩn (651).
Phần 2. - Tiếp tục của khóa học.
MỤC LỤC
Lời nói đầu 5
CHƯƠNG 1. CÁC DÒNG SỐ 7
§ 1. Khái niệm về dãy số 7
1. Dãy số hội tụ và phân kỳ (7). 2. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ của chuỗi (10)
§ 2. Chuỗi có các số hạng không âm 12 "
1. Điều kiện cần và đủ để dãy số có số hạng không âm là hội tụ (12). 2. Dấu hiệu so sánh (13). 3. Dấu hiệu của d'Alembert và Cauchy (16). 4. Dấu tích phân Cauchy-McLaurin (21). 5, Dấu hiệu của Raabe (24). 6. Thiếu một loạt so sánh phổ quát (27)
§ 3. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và có điều kiện 28
1. Các khái niệm về chuỗi hội tụ tuyệt đối và có điều kiện (28). 2. Về hoán vị các số hạng của chuỗi hội tụ có điều kiện (30). 3. Về hoán vị các số hạng của một chuỗi hội tụ tuyệt đối (33)
§ 4. Tiêu chuẩn cho sự hội tụ của chuỗi tùy ý 35
§ 5. Các phép toán số học trên chuỗi hội tụ 41
§ 6. Tích vô số 44
1. Các khái niệm cơ bản (44). 2. Mối quan hệ giữa sự hội tụ của tích vô hạn và chuỗi (47). 3. Phân tích hàm sin x thành tích vô hạn (51)
§ 7. Các phương pháp tổng hợp tổng quát cho chuỗi phân kỳ .... 55
1. Phương pháp Cesaro (phương pháp số học) (56). 2. Poisson - Phương pháp tổng kết Abel (57)
§ 8. Lý thuyết cơ bản về chuỗi kép và chuỗi lặp 59
CHƯƠNG 2. CÁC PHÂN TÍCH VÀ DÒNG CHỨC NĂNG 67
§ 1. Các khái niệm về sự đồng quy tại một điểm và sự đồng quy trên một tập 67
1. Các khái niệm về chuỗi chức năng và chuỗi chức năng (67). 2. Sự hội tụ của một dãy hàm (dãy hàm) tại một điểm và trên một tập hợp (69). 3. Sự hội tụ đồng đều trên tập (70). 4. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ đồng nhất của một dãy (chuỗi) (72)
§ 2. Có đủ tiêu chí cho sự hội tụ đồng nhất của chuỗi chức năng và chuỗi 74
§ 3. Từng thời kỳ chuyển qua giới hạn 83
§ 4. Tích hợp theo từng kỳ hạn và phân biệt từng kỳ hạn của các chuỗi chức năng và chuỗi 87
1. Tích hợp theo thời hạn (87). 2. Sự phân hóa theo kỳ hạn (90). 3. Độ hội tụ trung bình (94)
§ 5. Tính liên tục của một chuỗi các hàm ... 97
§ 6. Chuỗi lũy thừa 102
1. Chuỗi lũy thừa và miền hội tụ của nó (102). 2. Tính liên tục của tổng của chuỗi lũy thừa (105). 3. Tích hợp theo thời hạn và phân biệt theo thời hạn của chuỗi lũy thừa (105)
§ 7. Mở rộng các chức năng trong chuỗi lũy thừa 107
1. Khai triển của một hàm trong chuỗi lũy thừa (107). 2. Khai triển một số hàm cơ bản trong chuỗi Taylor (108). 3. Ý tưởng cơ bản về các chức năng của một biến phức (PO). 4. Định lý Weierstrass về tính gần đúng đồng đều của một hàm liên tục theo đa thức (112)
CHƯƠNG 3. TÍCH HỢP NHÂN ĐÔI VÀ N-ĐA SỐ 117
§ 1. Định nghĩa và điều kiện tồn tại của tích phân kép. . . 117
1. Định nghĩa tích phân kép cho hình chữ nhật (117).
2. Điều kiện tồn tại tích phân kép đối với hình chữ nhật (119). 3. Định nghĩa và điều kiện tồn tại của tích phân kép đối với miền tùy ý (121). 4. Định nghĩa chung của tích phân kép (123)
"§ 2. Các tính chất cơ bản của tích phân kép 127
§ 3. Giảm một tích phân kép thành một tích phân đơn có lặp. . . 129 1. Trường hợp của hình chữ nhật (129). 2. Trường hợp của một vùng tùy ý (130)
§ 4. Tích phân gấp ba và gấp n 133
§ 5. Đổi biến trong tích phân gấp n lần 138
§ 6. Tính thể tích của vật thể n chiều 152
§ 7. Định lý về tích phân theo số hạng của dãy hàm và dãy số 157
$ 8. Nhiều số tích phân không thích hợp 159
1. Khái niệm về tích phân bội (159). 2. Hai tiêu chuẩn cho sự hội tụ của tích phân không đúng của các hàm không âm (160). 3. Tích phân không đúng của các hàm đổi dấu (161). 4. Giá trị chính của nhiều tích phân không đúng (165)
CHƯƠNG 4. TÍCH HỢP CURVILINEAR 167
§ 1. Các khái niệm về tích phân đường cong loại một và loại hai. . . 167
§ 2. Điều kiện tồn tại của tích phân cong 169
CHƯƠNG 5. TÍCH HỢP BỀ MẶT 175
§ 1. Các khái niệm về một bề mặt và diện tích của nó 175
1. Khái niệm bề mặt (175). 2. Bổ đề phụ (179).
3. Diện tích bề mặt (181)
§ 2. Tích phân bề mặt 185
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT LĨNH VỰC. CÔNG THỨC TỔNG HỢP CƠ BẢN ĐỂ PHÂN TÍCH 190
§ 1. Kí hiệu. Căn cứ sinh học. Bất biến toán tử tuyến tính 190
1. Kí hiệu (190). 2. Cơ sở sinh con trong không gian E "(191). 3. Phép biến đổi cơ sở. Tọa độ đồng biến và nghịch biến của vectơ (192). 4. Bất biến của toán tử tuyến tính. Phân kỳ và cuộn tròn (195). 5. Biểu thức cho sự phân kỳ và độ cong của toán tử tuyến tính trong cơ sở trực chuẩn (Sch8)
§ 2. Trường vô hướng và trường vectơ. Toán tử vi phân của phân tích vectơ 198
! Trường vectơ và vô hướng (198). 2. Phân kỳ, cuộn tròn và đạo hàm đối với hướng của trường vectơ (203). 3. Một số công thức phân tích véc tơ khác (204). 4. Phần kết luận (206)
§ 3. Các công thức tích phân cơ bản của giải tích 207
1. Công thức của Green (207). 2. Công thức của Ostrogradsky - Gauss (211). 3. Công thức Stokes (214)
§ 4. Điều kiện để có sự độc lập của tích phân đường cong trên một mặt phẳng với đường tích phân 218
§ 5. Một số ví dụ về ứng dụng lý thuyết trường 222
1. Biểu thức diện tích hình phẳng theo tích phân cung tròn (222). 2. Biểu thức của thể tích dưới dạng tích phân bề mặt (223)
Phụ lục của Chương 6. Các dạng vi phân trong không gian Euclide 225
§ 1. Các dạng đa tuyến xen kẽ 225
1. Các dạng tuyến tính (225). 2. Các dạng song tuyến (226). 3. Các dạng đa tuyến (227). 4. Các dạng đa tuyến xen kẽ (228). 5. Tích ngoài của các dạng xen kẽ (228). 6. Tính chất của tích ngoài của các dạng xen kẽ (231). 7. Cơ sở trong không gian của các dạng xen kẽ (233)
§ 2. Các dạng vi phân 235
1. Kí hiệu cơ bản (235). 2. Vi sai ngoài (236). 3. Tính chất của vi phân ngoài (237;)
§ 3. Các ánh xạ phân biệt 2391
1. Định nghĩa ánh xạ phân biệt (239). 2. Các thuộc tính của ánh xạ φ * (240)
§ 4. Tích phân các dạng vi phân 243
1. Các định nghĩa (243). 2. Chuỗi phân biệt (245). 3. Công thức Stokes (248). 4. Ví dụ (250)
CHƯƠNG 7. TÍCH HỢP PHỤ THUỘC VÀO CÁC THAM SỐ 252
§ 1. Đồng nhất trong một biến thiên hướng của một hàm hai biến với giới hạn trong một biến khác 252
1. Mối quan hệ giữa xu hướng đồng nhất trong một biến của một hàm hai biến với giới hạn trong một biến khác với sự hội tụ đồng nhất của dãy hàm (252). 2. Tiêu chuẩn Cauchy cho xu hướng đồng đều của một hàm đối với giới hạn (254). 3. Các ứng dụng của khái niệm hội tụ đều cho hàm giới hạn (254)
§ 2. Eigenintegrals tùy thuộc vào tham số 256
1. Tính chất của một tích phân phụ thuộc vào một tham số (256). 2. Trường hợp giới hạn tích hợp phụ thuộc vào tham số (257)
§ 3. Tích phân không đúng tùy thuộc vào tham số 259
1. Tích phân không đúng loại đầu tiên phụ thuộc vào tham số (260). 2. Tích phân không đúng loại thứ hai tùy thuộc vào tham số (266)
§ 4. Ứng dụng của lý thuyết về tích phân phụ thuộc vào một tham số để tính một số tích phân không đúng 267
§ 5. Tích phân Euler 271
tới hàm Γ (272). 2. Hàm B (275). 3. Kết nối giữa các tích phân Euler (277). 4. Ví dụ (279)
§ 6. Công thức Stirling 280
§ 7. Tích phân bội phụ thuộc vào tham số 282
1. Sở hữu nhiều tích phân phụ thuộc vào tham số (282).
2. Tích phân sai nhiều tùy thuộc vào tham số (283)
CHƯƠNG 8. BỐN DÒNG 287
§ 1. Hệ thống siêu thường và chuỗi Fourier tổng quát 287
1. Hệ thống siêu thường (287). 2. Khái niệm về chuỗi Fourier tổng quát (292)
§ 2. Hệ thống trực chuẩn khép kín và hoàn chỉnh 295
§ 3. Tính đóng của hệ thức lượng giác và hệ quả từ nó. . 298 1. Tính gần đúng đồng nhất của một hàm liên tục bằng đa thức lượng giác (298). 2. Chứng minh tính đóng của hệ thức lượng giác (301). 3. Hệ quả của tính đóng của hệ thức lượng giác (303)
§ 4. Các điều kiện đơn giản nhất để hội tụ đồng nhất và phân biệt theo từng số hạng của chuỗi Fourier lượng giác 304
1. Nhận xét giới thiệu (304). 2. Điều kiện đơn giản nhất để có sự hội tụ đồng nhất và tuyệt đối của chuỗi Fourier lượng giác (306).
3. Các điều kiện đơn giản nhất để phân biệt theo từng số hạng của chuỗi Fourier lượng giác (308)
§ 5. Điều kiện chính xác hơn để hội tụ đều và điều kiện hội tụ tại một điểm cho trước
1. Môđun tính liên tục của hàm số. Các lớp cũ hơn (309). 2. Biểu thức cho tổng một phần của chuỗi Fourier lượng giác (311). 3. Các đề xuất bổ trợ(314). 4. Nguyên tắc nội địa hóa 317 5. Sự hội tụ đồng đều của chuỗi Fourier lượng giác cho một hàm từ lớp Hölder (319). 6. Trên sự hội tụ của chuỗi Fourier lượng giác của một hàm Hölder dạng mảnh (325). 7. Tính tổng của chuỗi Fourier lượng giác của một hàm số liên tục bằng phương pháp số học (329). 8. Phần kết luận (331)
§ 6. Dãy Fourier nhiều lượng giác 332
1. Các khái niệm về chuỗi Fourier nhiều lượng giác và các tổng riêng hình cầu và hình chữ nhật của nó (332). 2. Môđun của tính liên tục và các lớp Hölder cho một hàm của N biến (334). 3. Điều kiện để có sự hội tụ tuyệt đối của một chuỗi Fourier nhiều lượng giác (335)
CHƯƠNG 9. SỰ CHUYỂN HÓA BỐN 33 »
§ 1. Biểu diễn một hàm bằng tích phân Fourier 339
1. Các khẳng định bổ trợ (340). 2. Định lý chính. Công thức nghịch đảo (342). 3. Ví dụ (347)
§ 2. Một số tính chất của phép biến đổi Fourier 34 &
§ 3. Tích phân nhiều Fourier 352

Phần 2. - Tiếp tục của khóa học.

MỤC LỤC
Lời nói đầu 5
CHƯƠNG 1. CÁC DÒNG SỐ 7
§ 1. Khái niệm về dãy số 7
1. Dãy số hội tụ và phân kỳ (7). 2. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ của chuỗi (10)
§ 2. Chuỗi có các số hạng không âm 12 "
1. Điều kiện cần và đủ để dãy số có số hạng không âm là hội tụ (12). 2. Dấu hiệu so sánh (13). 3. Dấu hiệu của d'Alembert và Cauchy (16). 4. Dấu tích phân Cauchy-McLaurin (21). 5, Dấu hiệu của Raabe (24). 6. Thiếu một loạt so sánh phổ quát (27)
§ 3. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và có điều kiện 28
1. Các khái niệm về chuỗi hội tụ tuyệt đối và có điều kiện (28). 2. Về hoán vị các số hạng của chuỗi hội tụ có điều kiện (30). 3. Về hoán vị các số hạng của một chuỗi hội tụ tuyệt đối (33)
§ 4. Tiêu chuẩn cho sự hội tụ của chuỗi tùy ý 35
§ 5. Các phép toán số học trên chuỗi hội tụ 41
§ 6. Tích vô số 44
1. Các khái niệm cơ bản (44). 2. Mối quan hệ giữa sự hội tụ của tích vô hạn và chuỗi (47). 3. Phân tích hàm sin x thành tích vô hạn (51)
§ 7. Các phương pháp tổng hợp tổng quát cho chuỗi phân kỳ .... 55
1. Phương pháp Cesaro (phương pháp số học) (56). 2. Poisson - Phương pháp tổng kết Abel (57)
§ 8. Lý thuyết cơ bản về chuỗi kép và chuỗi lặp 59
CHƯƠNG 2. CÁC PHÂN TÍCH VÀ DÒNG CHỨC NĂNG 67
§ 1. Các khái niệm về sự đồng quy tại một điểm và sự đồng quy trên một tập 67
1. Các khái niệm về chuỗi chức năng và chuỗi chức năng (67). 2. Sự hội tụ của một dãy hàm (dãy hàm) tại một điểm và trên một tập hợp (69). 3. Sự hội tụ đồng đều trên tập (70). 4. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ đồng nhất của một dãy (chuỗi) (72)
§ 2. Có đủ tiêu chí cho sự hội tụ đồng nhất của chuỗi chức năng và chuỗi 74
§ 3. Từng thời kỳ chuyển qua giới hạn 83
§ 4. Tích hợp theo từng kỳ hạn và phân biệt từng kỳ hạn của các chuỗi chức năng và chuỗi 87
1. Tích hợp theo thời hạn (87). 2. Sự phân hóa theo kỳ hạn (90). 3. Độ hội tụ trung bình (94)
§ 5. Tính liên tục của một chuỗi các hàm ... 97
§ 6. Chuỗi lũy thừa 102
1. Chuỗi lũy thừa và miền hội tụ của nó (102). 2. Tính liên tục của tổng của chuỗi lũy thừa (105). 3. Tích hợp theo thời hạn và phân biệt theo thời hạn của chuỗi lũy thừa (105)
§ 7. Mở rộng các chức năng trong chuỗi lũy thừa 107
1. Khai triển của một hàm trong chuỗi lũy thừa (107). 2. Khai triển một số hàm cơ bản trong chuỗi Taylor (108). 3. Ý tưởng cơ bản về các chức năng của một biến phức (PO). 4. Định lý Weierstrass về tính gần đúng đồng đều của một hàm liên tục theo đa thức (112)
CHƯƠNG 3. TÍCH HỢP NHÂN ĐÔI VÀ N-ĐA SỐ 117
§ 1. Định nghĩa và điều kiện tồn tại của tích phân kép. . . 117
1. Định nghĩa tích phân kép cho hình chữ nhật (117).
2. Điều kiện tồn tại tích phân kép đối với hình chữ nhật (119). 3. Định nghĩa và điều kiện tồn tại của tích phân kép đối với miền tùy ý (121). 4. Định nghĩa chung của tích phân kép (123)
"§ 2. Các tính chất cơ bản của tích phân kép 127
§ 3. Giảm một tích phân kép thành một tích phân đơn có lặp. . . 129 1. Trường hợp của hình chữ nhật (129). 2. Trường hợp của một vùng tùy ý (130)
§ 4. Tích phân gấp ba và gấp n 133
§ 5. Đổi biến trong tích phân gấp n lần 138
§ 6. Tính thể tích của vật thể n chiều 152
§ 7. Định lý về tích phân theo số hạng của dãy hàm và dãy số 157
$ 8. Nhiều số tích phân không thích hợp 159
1. Khái niệm về tích phân bội (159). 2. Hai tiêu chuẩn cho sự hội tụ của tích phân không đúng của các hàm không âm (160). 3. Tích phân không đúng của các hàm đổi dấu (161). 4. Giá trị chính của nhiều tích phân không đúng (165)
CHƯƠNG 4. TÍCH HỢP CURVILINEAR 167
§ 1. Các khái niệm về tích phân đường cong loại một và loại hai. . . 167
§ 2. Điều kiện tồn tại của tích phân cong 169
CHƯƠNG 5. TÍCH HỢP BỀ MẶT 175
§ 1. Các khái niệm về một bề mặt và diện tích của nó 175
1. Khái niệm bề mặt (175). 2. Bổ đề phụ (179).
3. Diện tích bề mặt (181)
§ 2. Tích phân bề mặt 185
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT LĨNH VỰC. CÔNG THỨC TỔNG HỢP CƠ BẢN ĐỂ PHÂN TÍCH 190
§ 1. Kí hiệu. Căn cứ sinh học. Bất biến toán tử tuyến tính 190
1. Kí hiệu (190). 2. Cơ sở sinh con trong không gian E "(191). 3. Phép biến đổi cơ sở. Tọa độ đồng biến và nghịch biến của vectơ (192). 4. Bất biến của toán tử tuyến tính. Phân kỳ và cuộn tròn (195). 5. Biểu thức cho sự phân kỳ và độ cong của toán tử tuyến tính trong cơ sở trực chuẩn (Sch8)
§ 2. Trường vô hướng và trường vectơ. Toán tử vi phân của phân tích vectơ 198
! Trường vectơ và vô hướng (198). 2. Phân kỳ, cuộn tròn và đạo hàm đối với hướng của trường vectơ (203). 3. Một số công thức phân tích véc tơ khác (204). 4. Phần kết luận (206)
§ 3. Các công thức tích phân cơ bản của giải tích 207
1. Công thức của Green (207). 2. Công thức của Ostrogradsky - Gauss (211). 3. Công thức Stokes (214)
§ 4. Điều kiện để có sự độc lập của tích phân đường cong trên mặt phẳng với đường tích phân 218
§ 5. Một số ví dụ về ứng dụng lý thuyết trường 222
1. Biểu thức diện tích hình phẳng theo tích phân cung tròn (222). 2. Biểu thức của thể tích dưới dạng tích phân bề mặt (223)
Phụ lục của Chương 6. Các dạng vi phân trong không gian Euclide 225
§ 1. Các dạng đa tuyến xen kẽ 225
1. Các dạng tuyến tính (225). 2. Các dạng song tuyến (226). 3. Các dạng đa tuyến (227). 4. Các dạng đa tuyến xen kẽ (228). 5. Tích ngoài của các dạng xen kẽ (228). 6. Tính chất của tích ngoài của các dạng xen kẽ (231). 7. Cơ sở trong không gian của các dạng xen kẽ (233)
§ 2. Các dạng vi phân 235
1. Kí hiệu cơ bản (235). 2. Vi sai ngoài (236). 3. Tính chất của vi phân ngoài (237;)
§ 3. Các ánh xạ phân biệt 2391
1. Định nghĩa ánh xạ phân biệt (239). 2. Các thuộc tính của ánh xạ φ * (240)
§ 4. Tích phân các dạng vi phân 243
1. Các định nghĩa (243). 2. Chuỗi phân biệt (245). 3. Công thức Stokes (248). 4. Ví dụ (250)
CHƯƠNG 7. TÍCH HỢP PHỤ THUỘC VÀO CÁC THAM SỐ 252
§ 1. Đồng nhất trong một biến thiên hướng của một hàm hai biến với giới hạn trong một biến khác 252
1. Mối quan hệ giữa xu hướng đồng nhất trong một biến của một hàm hai biến với giới hạn trong một biến khác với sự hội tụ đồng nhất của dãy hàm (252). 2. Tiêu chuẩn Cauchy cho xu hướng đồng đều của một hàm đối với giới hạn (254). 3. Các ứng dụng của khái niệm hội tụ đều cho hàm giới hạn (254)
§ 2. Eigenintegrals tùy thuộc vào tham số 256
1. Tính chất của một tích phân phụ thuộc vào một tham số (256). 2. Trường hợp giới hạn tích hợp phụ thuộc vào tham số (257)
§ 3. Tích phân không đúng tùy thuộc vào tham số 259
1. Tích phân không đúng loại đầu tiên phụ thuộc vào tham số (260). 2. Tích phân không đúng loại thứ hai tùy thuộc vào tham số (266)
§ 4. Ứng dụng của lý thuyết về tích phân phụ thuộc vào một tham số để tính một số tích phân không đúng 267
§ 5. Tích phân Euler 271
tới hàm Γ (272). 2. Hàm B (275). 3. Kết nối giữa các tích phân Euler (277). 4. Ví dụ (279)
§ 6. Công thức Stirling 280
§ 7. Tích phân bội phụ thuộc vào tham số 282
1. Sở hữu nhiều tích phân phụ thuộc vào tham số (282).
2. Tích phân sai nhiều tùy thuộc vào tham số (283)
CHƯƠNG 8. BỐN DÒNG 287
§ 1. Hệ thống siêu thường và chuỗi Fourier tổng quát 287
1. Hệ thống siêu thường (287). 2. Khái niệm về chuỗi Fourier tổng quát (292)
§ 2. Hệ thống trực chuẩn khép kín và hoàn chỉnh 295
§ 3. Tính đóng của hệ thức lượng giác và hệ quả từ nó. . 298 1. Tính gần đúng đồng nhất của một hàm liên tục bằng đa thức lượng giác (298). 2. Chứng minh tính đóng của hệ thức lượng giác (301). 3. Hệ quả của tính đóng của hệ thức lượng giác (303)
§ 4. Các điều kiện đơn giản nhất để hội tụ đồng nhất và phân biệt theo từng số hạng của chuỗi Fourier lượng giác 304
1. Nhận xét giới thiệu (304). 2. Điều kiện đơn giản nhất để có sự hội tụ đồng nhất và tuyệt đối của chuỗi Fourier lượng giác (306).
3. Các điều kiện đơn giản nhất để phân biệt theo từng số hạng của chuỗi Fourier lượng giác (308)
§ 5. Điều kiện chính xác hơn để hội tụ đều và điều kiện hội tụ tại một điểm cho trước
1. Môđun tính liên tục của hàm số. Các lớp cũ hơn (309). 2. Biểu thức cho tổng một phần của chuỗi Fourier lượng giác (311). 3. Câu phụ (314). 4. Nguyên tắc nội địa hóa 317 5. Sự hội tụ đồng đều của chuỗi Fourier lượng giác cho một hàm từ lớp Hölder (319). 6. Trên sự hội tụ của chuỗi Fourier lượng giác của một hàm Hölder dạng mảnh (325). 7. Tính tổng của chuỗi Fourier lượng giác của một hàm số liên tục bằng phương pháp số học (329). 8. Phần kết luận (331)
§ 6. Dãy Fourier nhiều lượng giác 332
1. Các khái niệm về chuỗi Fourier nhiều lượng giác và các tổng riêng hình cầu và hình chữ nhật của nó (332). 2. Môđun của tính liên tục và các lớp Hölder cho một hàm của N biến (334). 3. Điều kiện để có sự hội tụ tuyệt đối của một chuỗi Fourier nhiều lượng giác (335)
CHƯƠNG 9. SỰ CHUYỂN HÓA BỐN 33 »
§ 1. Biểu diễn một hàm bằng tích phân Fourier 339
1. Các khẳng định bổ trợ (340). 2. Định lý chính. Công thức nghịch đảo (342). 3. Ví dụ (347)
§ 2. Một số tính chất của phép biến đổi Fourier 34 &
§ 3. Tích phân nhiều Fourier 352