Làm thế nào để kiểm tra xem một hàm là chẵn hay lẻ. Các hàm chẵn và lẻ

Lùi về phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không thể hiện toàn bộ phạm vi của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Bàn thắng:

• hình thành khái niệm về các hàm số chẵn và lẻ, dạy khả năng xác định và sử dụng các tính chất này trong việc nghiên cứu các hàm số, vẽ đồ thị;
• phát triển hoạt động sáng tạo của học sinh, tư duy logic, khả năng so sánh, khái quát hóa;
• trau dồi tính cần cù, văn hóa toán học; phát triển kỹ năng giao tiếp .

Trang thiết bị: cài đặt đa phương tiện, bảng tương tác, tài liệu phát tay.

Hình thức làm việc: trực diện và nhóm với các yếu tố của hoạt động tìm kiếm và nghiên cứu.

Nguồn thông tin:

1. Đại số lớp 9 A.G. Mordkovich. Sách giáo khoa.
2. Đại số lớp 9 A.G. Mordkovich. Sổ nhiệm vụ.
3. Đại số lớp 9. Nhiệm vụ học tập và phát triển của học sinh. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

THỜI GIAN LỚP HỌC

1. Thời điểm tổ chức

Đề ra mục tiêu và mục tiêu của bài học.

2. Kiểm tra bài tập về nhà

Số 10.17 (Sách bài tập lớp 9 A.G. Mordkovich).

một) tại = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D ( f) = [– 2; + ∞)
2. E ( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 cho X ~ 0,4
4. f(X)> 0 lúc X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Hàm tăng với X € [– 2; + ∞)
6. Chức năng bị giới hạn từ bên dưới.
7. tại thuê = - 3, tại naib không tồn tại
8. Hàm liên tục.

(Bạn đã sử dụng thuật toán khám phá tính năng chưa?) Cầu trượt.

2. Hãy kiểm tra bảng mà bạn đã được hỏi trên slide.

Điền vào bảng
	Lãnh địa	Số không của hàm	Khoảng thời gian liên tục		Tọa độ giao điểm của đồ thị với Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5; 3) Ư Ư (2; ∞)	х € (–∞; –5) Ư Ư (–3; 2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5; 3) Ư Ư (2; ∞)	х € (–∞; –5) Ư Ư (–3; 2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) Ư Ư (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Cập nhật kiến ​​thức

- Các chức năng được đưa ra.
- Chỉ rõ miền xác định cho từng hàm.
- So sánh giá trị của từng hàm đối với từng cặp giá trị đối số: 1 và - 1; 2 và - 2.
- Với những hàm số đã cho trong miền xác định thì hàm số nào bằng nhau f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (đưa dữ liệu vào bảng) Cầu trượt

		f(1) và f(– 1)	f(2 và f(– 2)	biểu đồ	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		và không được xác định.

4. Vật liệu mới

- Trong khi thực hiện công việc này, các bạn đã tiết lộ thêm một tính chất của hàm số, tuy lạ lẫm với các bạn nhưng không kém phần quan trọng so với các tính chất khác - đó là tính chẵn và lẻ của hàm số. Ghi chủ đề của bài: “Hàm số chẵn và hàm số lẻ”, nhiệm vụ của chúng ta là học cách xác định hàm số chẵn và hàm số lẻ, tìm hiểu ý nghĩa của tính chất này trong việc học hàm số và vẽ đồ thị.
Vì vậy, chúng ta hãy tìm các định nghĩa trong sách giáo khoa và đọc (tr. 110) . Cầu trượt

Def. một Hàm số tại = f (X) xác định trên tập X được gọi là thậm chí, nếu cho bất kỳ giá trị nào XЄ X đang trong quá trình đẳng thức f (–x) = f (x). Cho ví dụ.

Def. 2 Hàm số y = f (x), xác định trên tập X được gọi là số lẻ, nếu cho bất kỳ giá trị nào XЄ X đẳng thức f (–х) = –f (х) được thỏa mãn. Cho ví dụ.

Chúng ta đã gặp các thuật ngữ "chẵn" và "lẻ" ở đâu?
Bạn nghĩ chức năng nào trong số những chức năng này sẽ là số chẵn? Tại sao? Cái nào là lẻ? Tại sao?
Đối với bất kỳ chức năng nào của biểu mẫu tại= x n, ở đâu N là một số nguyên, có thể lập luận rằng hàm là số lẻ đối với N là lẻ và hàm chẵn cho N- thậm chí.
- Xem các chức năng tại= và tại = 2X- 3 không chẵn cũng không lẻ, bởi vì sự bình đẳng không được đáp ứng f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Nghiên cứu về câu hỏi liệu một hàm là chẵn hay lẻ được gọi là nghiên cứu của một hàm đối với tính chẵn lẻ. Cầu trượt

Định nghĩa 1 và 2 xử lý các giá trị của hàm tại x và - x, do đó giả định rằng hàm cũng được xác định tại giá trị X, và tại - X.

ODA 3. Nếu một tập hợp số cùng với mỗi phần tử của nó x chứa phần tử đối diện x, thì tập Xđược gọi là tập đối xứng.

Ví dụ:

(–2; 2), [–5; 5]; (∞; ∞) là các tập đối xứng, và [–5; 4] là không đối xứng.

- Hàm số chẵn có miền xác định - tập đối xứng không? Những cái lẻ?
- Nếu D ( f) là một tập không đối xứng, sau đó là hàm gì?
- Như vậy, nếu hàm tại = f(X) là chẵn hoặc lẻ, thì miền xác định của nó là D ( f) là một tập đối xứng. Nhưng điều ngược lại có đúng không, nếu miền của một hàm là một tập đối xứng, thì nó là chẵn hay lẻ?
- Vậy sự có mặt của tập đối xứng của miền xác định là điều kiện cần nhưng chưa phải là điều kiện đủ.
- Vậy làm thế nào chúng ta có thể khảo sát hàm đối với tính chẵn lẻ? Hãy thử viết một thuật toán.

Cầu trượt

Thuật toán kiểm tra một hàm tính chẵn lẻ

1. Xác định miền của hàm số có đối xứng không. Nếu không, thì hàm không chẵn cũng không lẻ. Nếu có, hãy chuyển sang bước 2 của thuật toán.

2. Viết biểu thức cho f(–X).

3. So sánh f(–X).và f(X):

• nếu f(–X).= f(X), thì hàm là chẵn;
• nếu f(–X).= – f(X), thì hàm là số lẻ;
• nếu f(–X) ≠ f(X) và f(–X) ≠ –f(X), thì hàm không chẵn cũng không lẻ.

Ví dụ:

Điều tra hàm đối với tính chẵn lẻ a) tại= x 5 +; b) tại=; trong) tại= .

Quyết định.

a) h (x) \ u003d x 5 +,

1) D (h) = (–∞; 0) Ư (0; + ∞), tập đối xứng.

2) h (- x) \ u003d (-x) 5 + - x5 - \ u003d - (x 5 +),

3) hàm h (- x) \ u003d - h (x) \ u003d \ u003e h (x)= x 5 + lẻ.

b) y =,

tại = f(X), D (f) = (–∞; –9)? (–9; + ∞), tập không đối xứng nên hàm số không chẵn cũng không lẻ.

trong) f(X) =, y = f (x),

1) D ( f) = (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Lựa chọn 2

1. Tập hợp đã cho có đối xứng không: a) [–2; 2]; b) (∞; 0], (0; 7)?

một); b) y \ u003d x (5 - x 2). 2. Kiểm tra chức năng chẵn lẻ:

a) y \ u003d x 2 (2x - x 3), b) y \ u003d

3. Trong hình. âm mưu tại = f(X), cho tất cả X, thỏa mãn điều kiện X? 0.
Vẽ đồ thị hàm tại = f(X), nếu tại = f(X) là một hàm chẵn.

3. Trong hình. âm mưu tại = f(X), với mọi x thỏa mãn x? 0.
Vẽ đồ thị hàm tại = f(X), nếu tại = f(X) là một hàm lẻ.

Kiểm tra lẫn nhau về cầu trượt.

6. Bài tập về nhà: №11.11, 11.21,11.22;

Chứng minh ý nghĩa hình học của tính chất chẵn lẻ.

*** (Chỉ định tùy chọn SỬ DỤNG).

1. Hàm lẻ y \ u003d f (x) được xác định trên toàn bộ dòng thực. Với mọi giá trị không âm của biến x thì giá trị của hàm này trùng với giá trị của hàm g ( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). Tìm giá trị của hàm h ( X) = lúc X = 3.

7. Tổng kết

Ở mức độ này hay mức độ khác đã quen thuộc với bạn. Nó cũng được lưu ý rằng kho các thuộc tính chức năng sẽ được bổ sung dần dần. Hai thuộc tính mới sẽ được thảo luận trong phần này.

Định nghĩa 1.

Hàm y \ u003d f (x), x є X, được gọi là ngay cả với bất kỳ giá trị x nào từ tập X thì đẳng thức f (-x) \ u003d f (x) là đúng.

Định nghĩa 2.

Hàm y \ u003d f (x), x є X, được gọi là hàm lẻ nếu với bất kỳ giá trị x nào từ tập X thì đẳng thức f (-x) \ u003d -f (x) là đúng.

Chứng minh rằng y = x 4 là hàm số chẵn.

Quyết định. Ta có: f (x) \ u003d x 4, f (-x) \ u003d (-x) 4. Nhưng (-x) 4 = x 4. Do đó, với bất kỳ x nào, đẳng thức f (-x) = f (x), tức là chức năng là thậm chí.

Tương tự, có thể chứng minh rằng các hàm số y - x 2, y \ u003d x 6, y - x 8 là chẵn.

Chứng minh rằng y = x 3 là hàm số lẻ.

Quyết định. Ta có: f (x) \ u003d x 3, f (-x) \ u003d (-x) 3. Nhưng (-x) 3 = -x 3. Do đó, với bất kỳ x nào, đẳng thức f (-x) \ u003d -f (x), tức là hàm là số lẻ.

Tương tự, có thể chứng minh rằng các hàm y \ u003d x, y \ u003d x 5, y \ u003d x 7 là hàm lẻ.

Bạn và tôi đã nhiều lần thuyết phục bản thân rằng các thuật ngữ mới trong toán học thường có nguồn gốc “trần thế”, tức là chúng có thể được giải thích theo một cách nào đó. Đây là trường hợp cho cả hàm chẵn và hàm lẻ. Hãy xem: y - x 3, y \ u003d x 5, y \ u003d x 7 là các hàm lẻ, trong khi y \ u003d x 2, y \ u003d x 4, y \ u003d x 6 là các hàm chẵn. Và nói chung, đối với bất kỳ hàm nào có dạng y \ u003d x "(dưới đây chúng tôi sẽ nghiên cứu cụ thể các hàm này), trong đó n là số tự nhiên, chúng ta có thể kết luận: nếu n là số lẻ thì hàm số y \ u003d x "là số lẻ; nếu n là số chẵn thì hàm số y \ u003d xn là số chẵn.

Cũng có những hàm không chẵn cũng không lẻ. Chẳng hạn, như vậy, là hàm y \ u003d 2x + 3. Thật vậy, f (1) \ u003d 5 và f (-1) \ u003d 1. Như bạn có thể thấy, ở đây, cả danh tính f (-x ) \ u003d f (x), cũng không xác thực f (-x) = -f (x).

Vì vậy, một hàm có thể chẵn, lẻ hoặc không.

Nghiên cứu về câu hỏi liệu một hàm đã cho là chẵn hay lẻ thường được gọi là nghiên cứu về hàm đối với tính chẵn lẻ.

Định nghĩa 1 và 2 liên quan đến các giá trị của hàm tại các điểm x và -x. Điều này giả định rằng hàm được xác định cả tại điểm x và tại điểm -x. Điều này có nghĩa là điểm -x thuộc miền của hàm đồng thời với điểm x. Nếu một tập hợp số X cùng với mỗi phần tử của nó x chứa phần tử đối diện -x thì X được gọi là tập đối xứng. Giả sử (-2, 2), [-5, 5], (-oo, + oo) là các tập đối xứng, trong khi \).

Vì \ (x ^ 2 \ geqslant 0 \), nên vế trái của phương trình (*) lớn hơn hoặc bằng \ (0+ \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \).

Do đó, đẳng thức (*) chỉ có thể giữ khi cả hai vế của phương trình đều bằng \ (\ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \). Và điều này có nghĩa là \ [\ begin (case) 2x ^ 2 + \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \\ \ mathrm (tg) \, 1 \ cdot \ mathrm (tg) \ , (\ cos x) = \ mathrm (tg) ^ 2 \, 1 \ end (các trường hợp) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (các trường hợp) x = 0 \\ \ mathrm (tg) \, (\ cos x) = \ mathrm (tg) \, 1 \ end (case) \ quad \ Leftrightarrow \ quad x = 0 \] Do đó, giá trị \ (a = - \ mathrm (tg) \, 1 \) phù hợp với chúng ta.

Trả lời:

\ (a \ in \ (- \ mathrm (tg) \, 1; 0 \) \)

Nhiệm vụ 2 # 3923

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị của tham số \ (a \), cho mỗi giá trị trong đó đồ thị của hàm \

đối xứng về gốc tọa độ.

Nếu đồ thị của một hàm số đối xứng với gốc tọa độ thì một hàm số đó là số lẻ, nghĩa là \ (f (-x) = - f (x) \) giữ nguyên cho bất kỳ \ (x \) nào từ hàm miền. Do đó, cần phải tìm các giá trị tham số đó cho \ (f (-x) = - f (x). \)

\ [\ begin (căn) & 3 \ mathrm (tg) \, \ left (- \ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad -3 \ mathrm (tg) \ , \ dfrac (ax) 5 + 2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4 = - \ left (3 \ mathrm (tg) \, \ left (\ dfrac (ax) 5 \ right) +2 \ sin \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ quad \ Rightarrow \\ \ Rightarrow \ quad & \ sin \ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ sin \ dfrac (8 \ pi a- 3x) ​​4 = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad2 \ sin \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4+ \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) \ cdot \ cos \ dfrac12 \ left (\ dfrac (8 \ pi a + 3x) 4- \ dfrac (8 \ pi a-3x) 4 \ right) = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin (2 \ pi a) \ cdot \ cos \ frac34 x = 0 \ end (căn chỉnh) \]

Phương trình cuối cùng phải giữ cho tất cả \ (x \) từ miền \ (f (x) \), do đó \ (\ sin (2 \ pi a) = 0 \ Rightarrow a = \ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \).

Trả lời:

\ (\ dfrac n2, n \ in \ mathbb (Z) \)

Nhiệm vụ 3 # 3069

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị của tham số \ (a \), với mỗi giá trị của phương trình \ có 4 nghiệm, trong đó \ (f \) là một hàm tuần hoàn chẵn với chu kỳ \ (T = \ dfrac (16) 3 \) được xác định trên toàn bộ dòng thực và \ (f (x) = ax ^ 2 \) cho \ (0 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83. \)

(Nhiệm vụ từ người đăng ký)

Vì \ (f (x) \) là một hàm chẵn, nên đồ thị của nó đối xứng với trục y, do đó, khi \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant 0 \)\ (f (x) = ax ^ 2 \). Do đó, tại \ (- \ dfrac83 \ leqslant x \ leqslant \ dfrac83 \) và đây là một đoạn có độ dài \ (\ dfrac (16) 3 \), hàm \ (f (x) = ax ^ 2 \).

1) Cho \ (a> 0 \). Khi đó đồ thị của hàm \ (f (x) \) sẽ có dạng như sau:


Khi đó, để phương trình có 4 nghiệm thì đồ thị \ (g (x) = | a + 2 | \ cdot \ sqrtx \) đi qua điểm \ (A \):


Vì thế, \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt8 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (tập hợp) \ begin (căn chỉnh) & 9 (a + 2) = 32a \\ & 9 (a +2) = - 32a \ end (căn chỉnh) \ end (tập hợp) \ phải. \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (tập hợp) \ begin (căn chỉnh) & a = \ dfrac (18) (23) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (căn chỉnh) \ end ( đã tập hợp) \ đúng. \] Vì \ (a> 0 \) nên \ (a = \ dfrac (18) (23) \) vẫn ổn.

2) Hãy để \ (a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Chúng ta cần đồ thị \ (g (x) \) đi qua điểm \ (B \): \ [\ dfrac (64) 9a = | a + 2 | \ cdot \ sqrt (-8) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (tập hợp) \ begin (căn chỉnh) & a = \ dfrac (18) (23 ) \\ & a = - \ dfrac (18) (41) \ end (căn chỉnh) \ end (tập hợp) \ phải. \] Từ một<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Trường hợp \ (a = 0 \) không phù hợp, vì khi đó \ (f (x) = 0 \) cho tất cả \ (x \), \ (g (x) = 2 \ sqrtx \) và phương trình sẽ chỉ có 1 nghiệm nguyên.

Trả lời:

\ (a \ in \ left \ (- \ dfrac (18) (41); \ dfrac (18) (23) \ phải \) \)

Nhiệm vụ 4 # 3072

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị \ (a \), cho mỗi giá trị trong phương trình \

có ít nhất một gốc.

(Nhiệm vụ từ người đăng ký)

Chúng tôi viết lại phương trình dưới dạng \ và xét hai hàm: \ (g (x) = 7 \ sqrt (2x ^ 2 + 49) \) và \ (f (x) = 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \ ).
Hàm \ (g (x) \) chẵn, có điểm cực tiểu \ (x = 0 \) (và \ (g (0) = 49 \)).
Hàm \ (f (x) \) cho \ (x> 0 \) đang giảm và cho \ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Thật vậy, đối với \ (x> 0 \), mô-đun thứ hai mở rộng tích cực (\ (| x | = x \)), do đó, bất kể mô-đun đầu tiên mở rộng như thế nào, \ (f (x) \) sẽ bằng \ (kx + A \), trong đó \ (A \) là một biểu thức từ \ (a \) và \ (k \) bằng \ (- 9 \) hoặc \ (- 3 \). Đối với \ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Tìm giá trị \ (f \) tại điểm lớn nhất: \

Để phương trình có ít nhất một nghiệm thì đồ thị của hai hàm \ (f \) và \ (g \) có ít nhất một giao điểm. Do đó, bạn cần: \ \\]

Trả lời:

\ (a \ in \ (- 7 \) \ cup \)

Nhiệm vụ 5 # 3912

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị của tham số \ (a \), cho mỗi giá trị của phương trình \

có sáu giải pháp khác nhau.

Hãy thay thế \ ((\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t \), \ (t> 0 \). Khi đó phương trình sẽ có dạng \ Chúng ta sẽ dần dần viết ra các điều kiện để phương trình ban đầu có sáu nghiệm.
Lưu ý rằng phương trình bậc hai \ ((*) \) có thể có nhiều nhất hai nghiệm. Bất kỳ phương trình bậc ba \ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D = 0 \) có thể có không quá ba nghiệm. Do đó, nếu phương trình \ ((*) \) có hai nghiệm khác nhau (dương !, vì \ (t \) phải lớn hơn 0) \ (t_1 \) và \ (t_2 \), thì ngược lại thay thế, chúng tôi nhận được: \ [\ left [\ begin (tập hợp) \ begin (căn chỉnh) & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) = t_1 \\ & (\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) = t_2 \ end (căn chỉnh) \ end (tập hợp) \ phải. \] Vì bất kỳ số dương nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng \ (\ sqrt2 \) ở một mức độ nào đó, chẳng hạn như \ (t_1 = (\ sqrt2) ^ (\ log _ (\ sqrt2) t_1) \), khi đó phương trình đầu tiên của tập hợp sẽ được viết lại dưới dạng \ Như chúng ta đã nói, bất kỳ phương trình bậc ba nào đều có không quá ba nghiệm, do đó, mỗi phương trình từ tập hợp sẽ có không quá ba nghiệm. Điều này có nghĩa là toàn bộ tập hợp sẽ không có nhiều hơn sáu giải pháp.
Điều này có nghĩa là để phương trình ban đầu có sáu nghiệm, phương trình bậc hai \ ((*) \) phải có hai nghiệm khác nhau và mỗi phương trình bậc ba kết quả (từ tập hợp) phải có ba nghiệm khác nhau (và không phải là một nghiệm duy nhất nghiệm của một phương trình phải trùng với - hoặc theo quyết định của phương trình thứ hai!)
Rõ ràng, nếu phương trình bậc hai \ ((*) \) có một nghiệm, thì chúng ta sẽ không nhận được sáu nghiệm cho phương trình ban đầu.

Như vậy, kế hoạch giải pháp trở nên rõ ràng. Hãy viết ra các điều kiện phải được đáp ứng từng điểm.

1) Để phương trình \ ((*) \) có hai nghiệm khác nhau, phân biệt của nó phải là số dương: \

2) Chúng ta cũng cần cả hai gốc đều dương (bởi vì \ (t> 0 \)). Nếu tích của hai gốc là dương và tổng của chúng là dương thì bản thân các gốc sẽ dương. Do đó, bạn cần: \ [\ begin (các trường hợp) 12-a> 0 \\ - (a-10)> 0 \ end (các trường hợp) \ quad \ Leftrightarrow \ quad a<10\]

Do đó, chúng tôi đã cung cấp cho mình hai gốc dương riêng biệt \ (t_1 \) và \ (t_2 \).

3) Hãy xem xét phương trình này \ Để làm gì \ (t \) nó sẽ có ba giải pháp khác nhau?
Xét hàm \ (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \).
Có thể được nhân lên: \ Do đó, các số không của nó là: \ (x = -1; 2 \).
Nếu ta tìm được đạo hàm \ (f "(x) = 3x ^ 2-6x \) thì ta nhận được hai điểm cực trị \ (x_ (max) = 0, x_ (min) = 2 \).
Do đó, biểu đồ có dạng như sau:


Chúng tôi thấy rằng bất kỳ đường ngang \ (y = k \), trong đó \ (0 \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t \) có ba giải pháp khác nhau, điều cần thiết là \ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Do đó, bạn cần: \ [\ begin (trường hợp) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Cũng cần lưu ý ngay rằng nếu các số \ (t_1 \) và \ (t_2 \) khác nhau, thì các số \ (\ log _ (\ sqrt2) t_1 \) và \ (\ log _ (\ sqrt2) t_2 \) sẽ khác nhau, vì vậy các phương trình \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_1 \) và \ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 = \ log _ (\ sqrt2) t_2 \) sẽ có các gốc khác nhau.
Hệ thống \ ((**) \) có thể được viết lại như sau: \ [\ begin (trường hợp) 1

Do đó, chúng tôi đã xác định rằng cả hai nghiệm của phương trình \ ((*) \) phải nằm trong khoảng \ ((1; 4) \). Làm thế nào để viết điều kiện này?
Chúng tôi sẽ không viết ra gốc rễ một cách rõ ràng.
Xét hàm \ (g (t) = t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \). Đồ thị của nó là một parabol có các nhánh hướng lên, có hai giao điểm với trục abscissa (chúng tôi đã viết điều kiện này trong đoạn 1)). Đồ thị của nó phải như thế nào để các giao điểm với trục abscissa nằm trong khoảng \ ((1; 4) \)? Cho nên:


Đầu tiên, các giá trị \ (g (1) \) và \ (g (4) \) của hàm tại các điểm \ (1 \) và \ (4 \) phải dương và thứ hai, đỉnh của parabol \ (t_0 \) cũng phải nằm trong khoảng \ ((1; 4) \). Do đó, hệ thống có thể được viết: \ [\ begin (case) 1 + a-10 + 12-a> 0 \\ 4 ^ 2 + (a-10) \ cdot 4 + 12-a> 0 \\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\ (a \) luôn có ít nhất một gốc \ (x = 0 \). Vì vậy, để thỏa mãn điều kiện của bài toán, điều cần thiết là phương trình \

có bốn nghiệm nguyên khác 0, biểu diễn cùng với \ (x = 0 \) một cấp số cộng.

Lưu ý rằng hàm \ (y = 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \) là chẵn, vì vậy nếu \ (x_0 \) là căn của phương trình \ ((* ) \), thì \ (- x_0 \) cũng sẽ là gốc của nó. Khi đó, các nghiệm nguyên của phương trình này là các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: \ (- 2d, -d, d, 2d \) (then \ (d> 0 \)). Sau đó, năm số này sẽ tạo thành một cấp số cộng (với hiệu \ (d \)).

Để các gốc này là các số \ (- 2d, -d, d, 2d \), thì các số \ (d ^ (\, 2), 4d ^ (\, 2) \) phải là các gốc của phương trình \ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) = 0 \). Khi đó theo định lý Vieta:

Chúng tôi viết lại phương trình dưới dạng \ và xét hai hàm: \ (g (x) = 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \) và \ (f (x) = 13 | x | -2 | 5x + 12a | \) .
Hàm \ (g (x) \) có điểm cực đại \ (x = 0 \) (và \ (g _ (\ text (top)) = g (0) = - a ^ 2 + 20a-4 \)):
\ (g "(x) = - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \ cdot \ ln 2 \ cdot 2x \). Đạo hàm bằng không: \ (x = 0 \). Đối với \ (x<0\) имеем: \(g">0 \), cho \ (x> 0 \): \ (g "<0\) .
Hàm \ (f (x) \) cho \ (x> 0 \) đang tăng và cho \ (x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Thật vậy, đối với \ (x> 0 \), mô-đun đầu tiên mở rộng tích cực (\ (| x | = x \)), do đó, bất kể mô-đun thứ hai mở rộng như thế nào, \ (f (x) \) sẽ bằng \ (kx + A \), trong đó \ (A \) là một biểu thức từ \ (a \) và \ (k \) là \ (13-10 = 3 \) hoặc \ (13 + 10 = 23 \) . Đối với \ (x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Hãy tìm giá trị \ (f \) tại điểm nhỏ nhất: \

Để phương trình có ít nhất một nghiệm thì đồ thị của hai hàm \ (f \) và \ (g \) có ít nhất một giao điểm. Do đó, bạn cần: \ Giải quyết tập hợp các hệ thống này, chúng tôi nhận được câu trả lời: \\]

Trả lời:

\ (a \ in \ (- 2 \) \ cup \)