Bảng hàm lũy thừa của thuộc tính và đồ thị. Chức năng nguồn

Chức năng ở đâu X- Biến đổi, Một- một số nhất định được gọi là chức năng quyền lực .

Nếu khi đó là một hàm tuyến tính thì đồ thị của nó là một đường thẳng (xem Phần 4.3, Hình 4.7).

Nếu khi đó là một hàm số bậc hai thì đồ thị của nó là một parabol (xem Phần 4.3, Hình 4.8).

Nếu thì đồ thị của nó là một parabol bậc ba (xem Phần 4.3, Hình 4.9).

Chức năng nguồn

Đây là hàm ngược đối với

1. Lãnh địa:

2. Nhiều giá trị:

3. Chẵn và lẻ: hàm lẻ.

4. Tính tuần hoàn của hàm: không tuần hoàn.

5. Hàm nulls: X= 0 là số 0 duy nhất.

6. Hàm không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

7.

8. Đồ thị hàm sốĐối xứng với đồ thị của một parabol bậc ba đối với một đường thẳng Y =X và được hiển thị trong Hình. 5.1.

Chức năng nguồn

1. Lãnh địa:

2. Nhiều giá trị:

3. Chẵn và lẻ: chức năng là thậm chí.

4. Tính tuần hoàn của hàm: không tuần hoàn.

5. Hàm nulls: số không duy nhất X = 0.

6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: lấy giá trị nhỏ nhất cho X= 0, nó bằng 0.

7. Khoảng tăng dần và giảm dần: hàm giảm trên khoảng và tăng trên khoảng

8. Đồ thị hàm số(cho tất cả mọi người N Î N) "trông" giống như một đồ thị của một parabol bậc hai (đồ thị của các hàm được thể hiện trong Hình 5.2).

Chức năng nguồn

1. Lãnh địa:

2. Nhiều giá trị:

3. Chẵn và lẻ: hàm lẻ.

4. Tính tuần hoàn của hàm: không tuần hoàn.

5. Hàm nulls: X= 0 là số 0 duy nhất.

6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất:

7. Khoảng tăng dần và giảm dần: chức năng đang tăng trên toàn bộ miền định nghĩa.

8. Đồ thị hàm số(đối với mỗi) "trông" giống như đồ thị của một parabol bậc ba (đồ thị hàm số được thể hiện trong Hình 5.3).

Chức năng nguồn

1. Lãnh địa:

2. Nhiều giá trị:

3. Chẵn và lẻ: hàm lẻ.

4. Tính tuần hoàn của hàm: không tuần hoàn.

5. Hàm nulls: không có số 0.

6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: hàm không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho bất kỳ

7. Khoảng tăng dần và giảm dần: hàm đang giảm dần trong miền định nghĩa.

8. Không có triệu chứng:(trục Đơn vị tổ chức) là tiệm cận đứng;

(trục Ồ) là tiệm cận ngang.

9. Đồ thị hàm số(cho bất cứ ai N) "trông" giống như một đồ thị của một hyperbol (đồ thị của các hàm được thể hiện trong Hình 5.4).

Chức năng nguồn

1. Lãnh địa:

2. Nhiều giá trị:

3. Chẵn và lẻ: chức năng là thậm chí.

4. Tính tuần hoàn của hàm: không tuần hoàn.

5. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: hàm không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho bất kỳ

6. Khoảng tăng dần và giảm dần: chức năng đang tăng và giảm trên

7. Không có triệu chứng: X= 0 (trục Đơn vị tổ chức) là tiệm cận đứng;

Y= 0 (trục Ồ) là tiệm cận ngang.

8. Đồ thị hàm số Là các hypebol bậc hai (Hình 5.5).

Chức năng nguồn

1. Lãnh địa:

2. Nhiều giá trị:

3. Chẵn và lẻ: hàm không có tính chất chẵn và lẻ.

4. Tính tuần hoàn của hàm: không tuần hoàn.

5. Hàm nulls: X= 0 là số 0 duy nhất.

6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: giá trị nhỏ nhất bằng 0 thì hàm số nhận tại điểm X= 0; không quan trọng nhất.

7. Khoảng tăng dần và giảm dần: chức năng đang tăng trên toàn bộ miền định nghĩa.

8. Mỗi chức năng như vậy với một chỉ số nhất định là nghịch đảo của chức năng, với điều kiện

9. Đồ thị hàm số"trông" giống như một đồ thị của một hàm cho bất kỳ N và được hiển thị trong Hình. 5.6.

Chức năng nguồn

1. Lãnh địa:

2. Nhiều giá trị:

3. Chẵn và lẻ: hàm lẻ.

4. Tính tuần hoàn của hàm: không tuần hoàn.

5. Hàm nulls: X= 0 là số 0 duy nhất.

6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: hàm không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cho bất kỳ

7. Khoảng tăng dần và giảm dần: chức năng đang tăng trên toàn bộ miền định nghĩa.

8. Đồ thị hàm sốĐược thể hiện trong hình. 5,7.

Hàm số, các tính chất và đồ thị của nó Tài liệu minh họa Bài giảng - Khái niệm về hàm số. Thuộc tính hàm. Hàm lũy thừa, các tính chất và đồ thị của nó. Lớp 10 Bảo lưu mọi quyền. Bản quyền với Bản quyền với

Tiến trình bài học: Phép lặp. Hàm số. Thuộc tính hàm. Học tài liệu mới. 1. Định nghĩa hàm lũy thừa Định nghĩa hàm lũy thừa. 2. Tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa.Tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa. Củng cố các tài liệu đã học. Đếm bằng lời nói. Đếm bằng lời nói. Tóm tắt nội dung bài học. Bài tập về nhà.

Miền và khoảng của hàm Tất cả các giá trị của biến độc lập tạo thành miền của hàm x y = f (x) f Miền của hàm Miền của hàm Tất cả các giá trị mà biến phụ thuộc tạo thành miền của hàm Hàm số. Thuộc tính chức năng

Đồ thị của hàm số Cho hàm số đã cho trong đó xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ, các hoành độ của chúng bằng các giá trị của đối số, và các pháp tuyến bằng các giá trị tương ứng của hàm. Hàm số. Thuộc tính chức năng

Y x Miền xác định và khoảng của hàm 4 y = f (x) Miền của hàm: Miền của hàm: Hàm. Thuộc tính chức năng

Hàm số chẵn y x y = f (x) Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với trục y Hàm số y = f (x) được gọi là chẵn nếu f (-x) = f (x) với x bất kỳ từ miền của hàm Chức năng. Thuộc tính chức năng

Hàm số lẻ y x y \ u003d f (x) Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O (0; 0) Hàm số y \ u003d f (x) được gọi là hàm lẻ nếu f (-x) \ u003d -f (x ) cho bất kỳ x từ các định nghĩa hàm vùng Chức năng. Thuộc tính chức năng

Định nghĩa hàm lũy thừa Một hàm, với p là một số thực cho trước, được gọi là hàm lũy thừa. p y \ u003d x p P \ u003d x y 0 Tiến trình bài học

Hàm lũy thừa x y 1. Miền định nghĩa và miền giá trị của hàm lũy thừa có dạng, với n là số tự nhiên, mọi số thực. 2. Các hàm này là số lẻ. Đồ thị của chúng đối xứng với gốc tọa độ. Thuộc tính và lô chức năng nguồn

Các hàm lũy thừa với số mũ dương hữu tỉ Miền định nghĩa là tất cả các số dương và số 0. Phạm vi của các hàm với số mũ như vậy cũng là tất cả các số dương và số 0. Các hàm này không chẵn cũng không lẻ. y x Thuộc tính và Đồ thị của Hàm lũy thừa

Hàm lũy thừa với số mũ âm hữu tỉ. Miền xác định và phạm vi của các hàm đó đều là các số dương. Các hàm không chẵn cũng không lẻ. Các chức năng như vậy giảm trên toàn bộ miền định nghĩa của chúng. y x Tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa Tiến trình bài học

Nhắc lại các tính chất và đồ thị của hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm.

Đối với n chẵn,:

Ví dụ về hàm:

Mọi đồ thị của hàm số đó đều đi qua hai điểm cố định: (1; 1), (-1; 1). Một đặc điểm của các hàm loại này là tính chẵn lẻ của chúng, các đồ thị đối xứng với trục op-y.

Cơm. 1. Đồ thị của một hàm

Đối với n lẻ,:

Ví dụ về hàm:

Mọi đồ thị của hàm số đó đều đi qua hai điểm cố định: (1; 1), (-1; -1). Một đặc điểm của các hàm loại này là độ lẻ của chúng, đồ thị đối xứng với gốc tọa độ.

Cơm. 2. Đồ thị hàm số

Chúng ta hãy nhớ lại định nghĩa chính.

Bậc của một số không âm a với một số mũ hữu tỉ dương được gọi là một hợp số.

Bậc của một số dương a với một số mũ hữu tỉ âm được gọi là một hợp số.

Đối với các bình đẳng sau:

Ví dụ: ; - biểu thức không tồn tại theo định nghĩa của bậc với số mũ hữu tỉ âm; tồn tại, vì số mũ là một số nguyên,

Chúng ta hãy chuyển sang việc xem xét các hàm lũy thừa với số mũ âm hữu tỉ.

Ví dụ:

Để vẽ hàm này, bạn có thể lập một bảng. Chúng ta sẽ làm theo cách khác: đầu tiên, chúng ta sẽ xây dựng và nghiên cứu đồ thị của mẫu số - chúng ta biết điều đó (Hình 3).

Cơm. 3. Đồ thị của một hàm

Đồ thị của hàm số mẫu số đi qua một điểm cố định (1; 1). Khi dựng đồ thị của nguyên hàm thì điểm này vẫn giữ nguyên, khi gốc cũng có xu hướng bằng 0 thì hàm có xu hướng về vô cùng. Và, ngược lại, khi x có xu hướng đến vô cùng, hàm có xu hướng bằng không (Hình 4).

Cơm. 4. Đồ thị hàm số

Hãy xem xét thêm một hàm từ họ các hàm đang nghiên cứu.

Điều quan trọng là theo định nghĩa

Xét đồ thị của hàm số ở mẫu số :, Ta biết đồ thị của hàm số này tăng theo miền xác định của nó và đi qua điểm (1; 1) (Hình 5).

Cơm. 5. Đồ thị hàm số

Khi dựng đồ thị của nguyên hàm thì điểm (1; 1) còn lại, khi gốc cũng có xu hướng bằng 0 thì hàm có xu hướng về vô cùng. Và ngược lại, khi x có xu hướng đến vô cùng, hàm có xu hướng bằng không (Hình 6).

Cơm. 6. Đồ thị hàm số

Các ví dụ được xem xét giúp hiểu cách đồ thị đi như thế nào và các tính chất của hàm đang nghiên cứu là gì - một hàm có số mũ hữu tỉ âm.

Đồ thị hàm số thuộc họ này đi qua điểm (1; 1) thì hàm số giảm trên toàn miền xác định.

Phạm vi chức năng:

Hàm không bị giới hạn từ bên trên, nhưng bị giới hạn từ bên dưới. Hàm không có giá trị lớn nhất cũng không nhỏ nhất.

Hàm là liên tục, nó nhận tất cả các giá trị dương từ 0 đến cộng vô cùng.

Hàm Convex Down (Hình 15.7)

Các điểm A và B được lấy trên đường cong, một đoạn thẳng được vẽ qua chúng, toàn bộ đường cong nằm dưới đoạn thẳng, điều kiện này được thỏa mãn đối với hai điểm tùy ý trên đường cong, do đó hàm là lồi xuống. Cơm. 7.

Cơm. 7. Độ lồi của một hàm

Điều quan trọng là phải hiểu rằng các hàm của họ này được giới hạn từ bên dưới bởi 0, nhưng chúng không có giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 1 - tìm cực đại và cực tiểu của một hàm trên khoảng \ [(\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) x ^ (2n) \) = + \ infty \]

Đồ thị (Hình 2).

Hình 2. Đồ thị của hàm $ f \ left (x \ right) = x ^ (2n) $

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ lẻ tự nhiên

Miền xác định là tất cả các số thực.

$ f \ left (-x \ right) = ((- x)) ^ (2n-1) = (- x) ^ (2n) = - f (x) $ là một hàm lẻ.

$ f (x) $ liên tục trên toàn bộ miền xác định.

Phạm vi là tất cả các số thực.

$ f "\ left (x \ right) = \ left (x ^ (2n-1) \ right)" = (2n-1) \ cdot x ^ (2 (n-1)) \ ge 0 $

Hàm tăng trên toàn bộ miền định nghĩa.

$ f \ left (x \ right) 0 $, cho $ x \ in (0, + \ infty) $.

$ f ("" \ left (x \ right)) = (\ left (\ left (2n-1 \ right) \ cdot x ^ (2 \ left (n-1 \ right)) \ right)) "= 2 \ left (2n-1 \ right) (n-1) \ cdot x ^ (2n-3) $

\ \

Hàm lõm đối với $ x \ in (- \ infty, 0) $ và hàm lồi đối với $ x \ in (0, + \ infty) $.

Đồ thị (Hình 3).

Hình 3. Đồ thị của hàm $ f \ left (x \ right) = x ^ (2n-1) $

Hàm lũy thừa với số mũ nguyên

Để bắt đầu, chúng tôi giới thiệu khái niệm về độ với số mũ nguyên.

Định nghĩa 3

Bậc của một số thực $ a $ với số mũ nguyên $ n $ được xác định theo công thức:

hinh 4

Bây giờ hãy xem xét một hàm lũy thừa với số mũ nguyên, các tính chất và đồ thị của nó.

Định nghĩa 4

$ f \ left (x \ right) = x ^ n $ ($ n \ in Z) $ được gọi là một hàm lũy thừa với số mũ nguyên.

Nếu tung độ lớn hơn 0, thì chúng ta đi đến trường hợp hàm lũy thừa với số mũ tự nhiên. Chúng tôi đã xem xét nó ở trên. Với $ n = 0 $, chúng ta nhận được một hàm tuyến tính $ y = 1 $. Chúng tôi để lại sự cân nhắc của nó cho người đọc. Nó vẫn còn để xem xét các thuộc tính của một hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm

Tính chất của hàm lũy thừa với số mũ nguyên âm

Phạm vi là $ \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $.

Nếu số mũ chẵn thì hàm số chẵn; nếu số mũ lẻ thì hàm số lẻ.

$ f (x) $ liên tục trên toàn bộ miền xác định.

Phạm vi giá trị:

Nếu số mũ là số chẵn thì $ (0, + \ infty) $, nếu là số lẻ thì $ \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $.

Nếu số mũ là số lẻ, hàm sẽ giảm xuống dưới dạng $ x \ in \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $. Đối với số mũ chẵn, hàm giảm dưới dạng $ x \ in (0, + \ infty) $. và tăng lên khi $ x \ in \ left (- \ infty, 0 \ right) $.

$ f (x) \ ge 0 $ trên toàn bộ miền