Cách xác định d từ f. Hàm lượng giác nghịch đảo

Nhiều tác vụ dẫn chúng ta đến việc tìm kiếm một tập hợp các giá trị hàm trên một phân đoạn nhất định hoặc trên toàn bộ miền định nghĩa. Các nhiệm vụ như vậy bao gồm các đánh giá khác nhau về các biểu thức, lời giải của các bất đẳng thức.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ xác định phạm vi của một hàm, xem xét các phương pháp tìm nó và phân tích chi tiết lời giải của các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp hơn. Tất cả các tài liệu sẽ được cung cấp với hình ảnh minh họa cho rõ ràng. Vì vậy, bài viết này là một câu trả lời chi tiết cho câu hỏi làm thế nào để tìm phạm vi của một hàm.

Sự định nghĩa.

Tập giá trị của hàm số y = f (x) trên khoảng Xđược gọi là tập hợp tất cả các giá trị của hàm mà nó nhận được khi lặp lại trên tất cả.

Sự định nghĩa.

Phạm vi của hàm y = f (x)được gọi là tập hợp tất cả các giá trị của hàm mà nó nhận được khi lặp trên tất cả x từ miền định nghĩa.

Phạm vi của hàm được ký hiệu là E (f).

Phạm vi của một hàm và tập giá trị của một hàm không giống nhau. Các khái niệm này sẽ được coi là tương đương nếu khoảng X khi tìm tập giá trị của hàm số y = f (x) trùng với miền của hàm số.

Ngoài ra, đừng nhầm khoảng của hàm với biến x đối với biểu thức ở vế phải của phương trình y = f (x). Vùng các giá trị cho phép của biến x đối với biểu thức f (x) là vùng xác định của hàm số y = f (x).

Hình bên cho thấy một vài ví dụ.

Đồ thị hàm số được thể hiện bằng các đường kẻ đậm màu xanh lam, các đường kẻ mảnh màu đỏ là tiệm cận, các chấm màu đỏ và các đường thẳng trên trục Oy thể hiện khoảng của hàm số tương ứng.

Như bạn có thể thấy, khoảng của hàm có được bằng cách chiếu đồ thị của hàm lên trục y. Nó có thể là một số duy nhất (trường hợp đầu tiên), một tập hợp số (trường hợp thứ hai), một đoạn (trường hợp thứ ba), một khoảng (trường hợp thứ tư), một tia mở (trường hợp thứ năm), liên hợp (trường hợp thứ sáu), v.v. .

Vậy bạn cần làm gì để tìm được khoảng của hàm.

Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất: chúng tôi sẽ trình bày cách xác định tập giá trị của hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng.

Biết rằng một hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị cực đại và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Như vậy, tập giá trị của hàm gốc trên đoạn sẽ là đoạn . Do đó, nhiệm vụ của chúng ta là tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng.

Ví dụ, hãy tìm phạm vi của hàm arcsine.

Ví dụ.

Chỉ định phạm vi của hàm y = arcsinx.

Quyết định.

Miền xác định của cung là đoạn [-1; một] . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này.

Đạo hàm là dương với mọi x trong khoảng (-1; 1), tức là, hàm arcsine tăng trên toàn bộ miền định nghĩa. Do đó, nó nhận giá trị nhỏ nhất tại x = -1 và lớn nhất tại x = 1.

Chúng tôi nhận được phạm vi của hàm arcsine .

Ví dụ.

Tìm tập hợp các giá trị của hàm trên phân khúc.

Quyết định.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đã cho.

Hãy xác định các điểm cực trị thuộc đoạn:

Chúng tôi tính toán các giá trị của hàm ban đầu tại các điểm cuối của đoạn và tại các điểm :

Do đó, tập giá trị của hàm trên đoạn là đoạn .

Bây giờ chúng ta sẽ trình bày cách tìm tập giá trị của một hàm liên tục y = f (x) trong các khoảng (a; b) ,.

Đầu tiên ta xác định các điểm cực trị, cực trị của hàm số, các khoảng tăng, giảm của hàm số trên một khoảng cho trước. Tiếp theo, chúng tôi tính toán tại các điểm cuối của khoảng và (hoặc) các giới hạn ở vô cùng (nghĩa là chúng tôi nghiên cứu hành vi của hàm tại các biên của khoảng hoặc tại vô cùng). Thông tin này đủ để tìm tập giá trị của hàm trên các khoảng như vậy.

Ví dụ.

Xác định tập giá trị của hàm số trên khoảng (-2; 2).

Quyết định.

Hãy tìm các điểm cực trị của hàm số trên khoảng (-2; 2):

Chấm x = 0 là điểm cực đại vì đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ khi đi qua nó và đồ thị của hàm số đi từ tăng đến giảm.

là cực đại tương ứng của hàm.

Hãy cùng tìm hiểu hoạt động của hàm số khi x có xu hướng bằng -2 bên phải và khi x có xu hướng bằng 2 bên trái, tức là chúng ta tìm thấy các giới hạn một phía:

Những gì chúng ta nhận được: khi đối số thay đổi từ -2 thành 0, giá trị hàm tăng từ trừ vô cùng đến trừ 1/4 (giá trị lớn nhất của hàm tại x = 0), khi đối số thay đổi từ 0 thành 2, hàm giá trị giảm xuống âm vô cùng. Như vậy, tập giá trị của hàm số trên khoảng (-2; 2) là.

Ví dụ.

Xác định tập giá trị của hàm số tiếp tuyến y = tgx trên khoảng.

Quyết định.

Đạo hàm của hàm số tiếp tuyến trên khoảng là số dương , chỉ ra một sự gia tăng trong chức năng. Chúng tôi nghiên cứu hành vi của hàm trên các ranh giới của khoảng:

Như vậy, khi đối số chuyển từ sang, các giá trị của hàm tăng từ trừ vô cùng đến cộng vô cùng, tức là tập các giá trị tiếp tuyến trong khoảng này là tập tất cả các số thực.

Ví dụ.

Tìm khoảng giá trị của hàm số logarit tự nhiên y = lnx.

Quyết định.

Hàm logarit tự nhiên được xác định cho các giá trị dương của đối số . Trên khoảng này, đạo hàm là số dương , điều này cho thấy sự gia tăng chức năng trên đó. Hãy tìm giới hạn một phía của hàm vì đối số có xu hướng bằng 0 từ bên phải và giới hạn khi x có xu hướng cộng với vô cùng:

Chúng ta thấy rằng khi x thay đổi từ 0 đến cộng vô cùng, các giá trị của hàm tăng từ trừ vô cùng đến cộng vô cùng. Do đó, phạm vi của hàm số lôgarit tự nhiên là toàn bộ tập hợp các số thực.

Ví dụ.

Quyết định.

Hàm này được xác định cho tất cả các giá trị x thực. Chúng ta hãy xác định các điểm cực trị, cũng như khoảng thời gian tăng và giảm của hàm số.

Do đó, hàm số giảm lúc, tăng lúc, x = 0 là điểm cực đại, giá trị cực đại tương ứng của hàm.

Hãy xem xét hoạt động của hàm ở vô cùng:

Do đó, tại vô cùng, các giá trị của hàm tiệm cận bằng không.

Chúng tôi nhận thấy rằng khi đối số thay đổi từ trừ vô cùng thành không (điểm tối đa), giá trị của hàm tăng từ 0 lên chín (lên đến giá trị lớn nhất của hàm) và khi x thay đổi từ 0 thành cộng vô cùng, thì giá trị của hàm giảm từ chín xuống không.

Nhìn vào bản vẽ giản đồ.

Bây giờ nó được thấy rõ ràng rằng phạm vi của chức năng là.

Việc tìm tập giá trị của hàm số y = f (x) trên các khoảng cũng cần các nghiên cứu tương tự. Bây giờ chúng ta sẽ không đi sâu vào những trường hợp này một cách chi tiết. Chúng ta sẽ thấy chúng trong các ví dụ dưới đây.

Gọi miền của hàm y = f (x) là hợp của một số khoảng. Khi tìm phạm vi của một hàm như vậy, các bộ giá trị trên mỗi khoảng được xác định và kết hợp của chúng được lấy.

Ví dụ.

Tìm khoảng của hàm.

Quyết định.

Mẫu số của hàm của chúng ta không được bằng 0, nghĩa là.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm tập giá trị của hàm trên tia mở.

Đạo hàm hàm là âm trên khoảng này, nghĩa là, hàm giảm trên đó.

Chúng tôi nhận thấy rằng khi đối số có xu hướng trừ đi vô cùng, các giá trị của hàm tiệm cận với sự thống nhất. Khi x thay đổi từ trừ vô cùng thành hai, các giá trị của hàm giảm từ một đến trừ vô cùng, tức là trên khoảng đã xét, hàm nhận một tập giá trị. Chúng tôi không bao gồm sự thống nhất, vì các giá trị của hàm không đạt đến nó, mà chỉ có xu hướng tiệm cận với nó tại trừ đi vô cùng.

Chúng tôi hành động tương tự đối với chùm tia mở.

Hàm cũng giảm trên khoảng này.

Tập các giá trị của hàm trên khoảng này là tập.

Do đó, phạm vi mong muốn của các giá trị hàm là sự kết hợp của các tập hợp và.

Hình minh họa đồ họa.

Riêng biệt, chúng ta nên tập trung vào các chức năng tuần hoàn. Khoảng của hàm tuần hoàn trùng với tập giá trị trên khoảng tương ứng với chu kỳ của hàm này.

Ví dụ.

Tìm khoảng của hàm sin y = sinx.

Quyết định.

Hàm này là tuần hoàn với chu kỳ là hai pi. Hãy lấy một phân đoạn và xác định tập giá trị trên đó.

Đoạn thẳng chứa hai điểm cực trị và.

Chúng tôi tính các giá trị của hàm tại các điểm này và trên các ranh giới của đoạn, chọn các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất:

Vì thế, .

Ví dụ.

Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định.

Chúng ta biết rằng phạm vi của arccosine là đoạn từ 0 đến pi, nghĩa là hoặc trong một bài viết khác. Hàm số có thể nhận được từ arccosx bằng cách dịch chuyển và kéo dài dọc theo trục x. Do đó, các phép biến đổi như vậy không ảnh hưởng đến phạm vi . Hàm số đến từ kéo dài ba lần dọc theo trục Oy, nghĩa là . Và giai đoạn cuối cùng của phép biến đổi là sự dịch chuyển bốn đơn vị xuống dọc theo trục y. Điều này dẫn chúng ta đến một sự bất bình đẳng kép

Do đó, phạm vi giá trị mong muốn là .

Hãy đưa ra giải pháp cho một ví dụ khác, nhưng không có lời giải thích (chúng không bắt buộc, vì chúng hoàn toàn giống nhau).

Ví dụ.

Xác định phạm vi chức năng .

Quyết định.

Chúng tôi viết hàm gốc dưới dạng . Khoảng của hàm số mũ là khoảng. I E, . sau đó

Vì thế, .

Để hoàn thành bức tranh, chúng ta nên nói về việc tìm phạm vi của một hàm không liên tục trên miền xác định. Trong trường hợp này, miền định nghĩa được chia theo các điểm ngắt thành các khoảng và chúng tôi tìm các bộ giá trị trên mỗi khoảng đó. Kết hợp các bộ giá trị thu được, chúng ta thu được dãy giá trị của hàm ban đầu. Chúng tôi khuyên bạn nên nhớ

Chúng tôi đã học được rằng có X- một tập hợp mà công thức của hàm đã cho có ý nghĩa. Trong phân tích toán học, tập hợp này thường được ký hiệu là D (phạm vi chức năng ). Đổi lại, nhiều Y biểu thị là E (phạm vi chức năng ) và trong đó D và Eđược gọi là tập hợp con R(tập hợp các số thực).

Nếu một hàm được cho bởi một công thức, thì, trong trường hợp không có các bảo lưu đặc biệt, miền định nghĩa của nó là tập hợp lớn nhất mà công thức này có ý nghĩa, nghĩa là, tập giá trị đối số lớn nhất dẫn đến các giá trị thực Của chức năng . Nói cách khác, tập hợp các giá trị đối số mà "hàm hoạt động" trên đó.

Để hiểu một cách tổng quát, ví dụ này vẫn không có công thức. Hàm được cho dưới dạng các cặp quan hệ:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Tìm miền của hàm này.

Trả lời. Phần tử đầu tiên của các cặp là một biến x. Vì phần tử thứ hai của các cặp cũng được cho trong định nghĩa hàm - các giá trị của biến y, thì hàm chỉ có ý nghĩa đối với những giá trị của x tương ứng với một giá trị nào đó của y. Nghĩa là, chúng tôi lấy tất cả các cặp x của các cặp này theo thứ tự tăng dần và nhận được từ chúng miền của hàm:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Logic tương tự hoạt động nếu hàm được cho bởi một công thức. Chỉ các phần tử thứ hai trong từng cặp (nghĩa là, các giá trị của y) nhận được bằng cách thay các giá trị nhất định của x vào công thức. Tuy nhiên, để tìm miền của hàm, chúng ta không cần lặp lại tất cả các cặp của x và y.

Ví dụ 0. Làm thế nào để tìm miền của hàm số y bằng căn bậc hai của x trừ năm (biểu thức căn x trừ năm) ()? Bạn chỉ cần giải quyết bất đẳng thức

x - 5 ≥ 0 ,

vì để chúng ta nhận được giá trị thực của y, biểu thức căn phải lớn hơn hoặc bằng không. Ta nhận được lời giải: miền của hàm là tất cả các giá trị của x lớn hơn hoặc bằng năm (hoặc x thuộc khoảng từ bao hàm đến cộng vô cùng).

Trong hình vẽ trên - một đoạn của trục số. Trên đó, miền xác định của hàm được xem xét được mở rộng, trong khi theo hướng "cộng", việc mở rộng tiếp tục vô thời hạn cùng với trục của chính nó.

Nếu bạn sử dụng các chương trình máy tính đưa ra một số loại câu trả lời dựa trên dữ liệu đã nhập, bạn có thể nhận thấy rằng đối với một số giá trị của dữ liệu đã nhập, chương trình sẽ hiển thị thông báo lỗi, nghĩa là không thể tính được câu trả lời với dữ liệu đó. . Thông báo như vậy được đưa ra bởi các tác giả của chương trình, nếu biểu thức để tính toán câu trả lời là khá phức tạp hoặc liên quan đến một số lĩnh vực chủ đề hẹp, hoặc nó được cung cấp bởi các tác giả của ngôn ngữ lập trình, nếu nó liên quan đến các chuẩn mực được chấp nhận chung, chẳng hạn , rằng nó không thể chia cho số không.

Nhưng trong cả hai trường hợp, câu trả lời (giá trị của một số biểu thức) không thể được tính toán vì lý do rằng biểu thức không có ý nghĩa đối với một số giá trị dữ liệu.

Một ví dụ (vẫn chưa hoàn toàn là toán học): nếu chương trình cung cấp tên của tháng bằng số của tháng trong năm, thì bằng cách nhập "15", bạn sẽ nhận được thông báo lỗi.

Thông thường, biểu thức được tính toán chỉ là một hàm. Do đó, các giá trị dữ liệu không hợp lệ như vậy không được bao gồm trong phạm vi chức năng . Và trong các phép tính tự do, việc biểu diễn miền của một hàm cũng quan trọng không kém. Ví dụ: bạn tính toán một tham số nhất định của một sản phẩm nhất định bằng công thức là một hàm. Với một số giá trị của đối số đầu vào, bạn sẽ không nhận được gì ở đầu ra.

Miền định nghĩa của hằng số

Một hằng số (hằng số) được xác định cho bất kỳ giá trị thực nào x R số thực. Điều này cũng có thể được viết như sau: miền của hàm này là toàn bộ dòng thực] - ∞; + ∞ [.

Ví dụ 1. Tìm phạm vi của một hàm y = 2 .

Quyết định. Phạm vi của chức năng không được xác định, có nghĩa là theo định nghĩa trên, phạm vi tự nhiên của định nghĩa là có nghĩa. Biểu hiện f(x) = 2 được xác định cho mọi giá trị thực x, do đó, hàm này được xác định trên toàn bộ tập hợp R số thực.

Do đó, trong hình vẽ trên, trục số được tô bóng theo tất cả các cách từ trừ vô cùng đến cộng vô cùng.

Phạm vi của gốc Nđộ thứ

Trong trường hợp khi hàm được cho bởi công thức và N- số tự nhiên:

Ví dụ 2. Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định. Như sau từ định nghĩa, căn bậc chẵn có ý nghĩa nếu biểu thức căn bậc không âm, nghĩa là, nếu - 1 ≤ x≤ 1. Do đó, phạm vi của hàm này là [- 1; một] .

Vùng bóng mờ của đường số trong hình vẽ trên là vùng xác định của hàm này.

Miền chức năng nguồn

Miền của hàm lũy thừa với số mũ nguyên

nếu một- dương, thì miền xác định của hàm là tập hợp tất cả các số thực, nghĩa là,] - ∞; + ∞ [;

nếu một- âm, thì miền xác định của hàm là tập] - ∞; 0 [∪] 0; + ∞ [, tức là toàn bộ trục số ngoại trừ số 0.

Trong hình vẽ tương ứng, toàn bộ dòng số được tô bóng từ phía trên và điểm tương ứng với số 0 được đục lỗ (nó không được bao gồm trong vùng xác định hàm).

Ví dụ 3. Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định. Số hạng đầu tiên là một lũy thừa của x bằng 3 và lũy thừa của x trong số hạng thứ hai có thể được biểu diễn dưới dạng một đơn vị - cũng là một số nguyên. Do đó, miền của hàm này là toàn bộ dòng thực, nghĩa là,] - ∞; + ∞ [.

Miền của hàm lũy thừa với số mũ phân số

Trong trường hợp khi hàm được cho bởi công thức:

nếu - là dương, thì miền của hàm là tập 0; + ∞ [.

Ví dụ 4. Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định. Cả hai số hạng trong biểu thức hàm đều là hàm lũy thừa với số mũ phân số dương. Do đó, miền của hàm này là tập - ∞; + ∞ [.

Miền định nghĩa của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Miền của hàm mũ

Trong trường hợp khi hàm được cho bởi công thức, miền của hàm là toàn bộ trục số, nghĩa là,] - ∞; + ∞ [.

Miền của hàm logarit

Hàm logarit được xác định với điều kiện là đối số của nó là dương, nghĩa là miền xác định của nó là tập] 0; + ∞ [.

Tự tìm phạm vi của chức năng và sau đó xem giải pháp

Miền định nghĩa của các hàm lượng giác

Phạm vi chức năng y= cos ( x) cũng là một bộ R số thực.

Phạm vi chức năng y= tg ( x) - một loạt các R số thực khác với số .

Phạm vi chức năng y= ctg ( x) - một loạt các R số thực khác số.

Ví dụ 8. Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định. Hàm bên ngoài là một logarit thập phân, và các điều kiện cho miền định nghĩa của hàm logarit nói chung áp dụng cho miền định nghĩa của nó. Tức là lập luận của nó phải tích cực. Đối số ở đây là sin của "x". Quay một la bàn tưởng tượng quanh một vòng tròn, chúng ta thấy rằng điều kiện là sin x> 0 bị vi phạm khi "x" bằng 0, "pi", hai, nhân với "pi" và thường bằng tích của số "pi" và bất kỳ số nguyên chẵn hoặc lẻ nào.

Do đó, miền định nghĩa của hàm này được cho bởi biểu thức

ở đâu k là một số nguyên.

Miền của các hàm lượng giác nghịch đảo

Phạm vi chức năng y= arcsin ( x) - Hiệp 1; một] .

Phạm vi chức năng y= arccos ( x) - cũng là tập [-1; một] .

Phạm vi chức năng y= arctan ( x) - một loạt các R số thực.

Phạm vi chức năng y= arcctg ( x) cũng là một bộ R số thực.

Ví dụ 9. Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định. Hãy giải bất đẳng thức:

Do đó, chúng ta có được miền xác định của hàm này - đoạn [- 4; 4] .

Ví dụ 10. Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định. Hãy giải hai bất phương trình:

Lời giải của bất phương trình thứ nhất:

Lời giải của bất phương trình thứ hai:

Do đó, chúng ta có được miền định nghĩa của hàm này - phân đoạn.

Miền phân số

Nếu hàm được cho bởi biểu thức phân số trong đó biến ở mẫu số của phân số thì miền của hàm là tập R số thực khác với x mà mẫu số của phân số biến mất.

Ví dụ 11. Tìm phạm vi của một hàm .

Quyết định. Giải quy đồng mẫu số của phân số bằng không, ta tìm được miền xác định của hàm số này - tập] - ∞; - 2 [∪] - 2; + ∞ [.

Hàm số y = f (x) là sự phụ thuộc của biến y vào biến x khi mỗi giá trị hợp lệ của biến x tương ứng với một giá trị duy nhất của biến y.

Phạm vi chức năng D (f) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của biến x.

Phạm vi chức năng E (f) là tập hợp tất cả các giá trị hợp lệ của biến y.

Đồ thị hàm số y = f (x) là tập hợp các điểm mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn sự phụ thuộc hàm đã cho, tức là các điểm có dạng M (x; f (x)). Đồ thị của hàm số là một đường thẳng trên mặt phẳng.

Nếu b = 0, thì hàm sẽ có dạng y = kx và sẽ được gọi là tỷ lệ thuận.

D (f): x \ in R; \ enspace E (f): y \ in R

Đồ thị của một hàm số tuyến tính là một đường thẳng.

Hệ số góc k của đường thẳng y = kx + b được tính theo công thức sau:

k = tg \ alpha, trong đó \ alpha là góc nghiêng của đường thẳng theo chiều dương của trục Ox.

1) Hàm tăng đơn điệu với k> 0.

Ví dụ: y = x + 1

2) Hàm giảm đơn điệu khi k< 0 .

Ví dụ: y = -x + 1

3) Nếu k = 0 thì cho b giá trị tùy ý, ta được họ đường thẳng song song với trục Ox.

Ví dụ: y = -1

Tỷ lệ nghịch

Tỷ lệ nghịchđược gọi là một hàm của biểu mẫu y = \ frac (k) (x), trong đó k là một số thực khác 0

D (f): x \ in \ left \ (R / x \ neq 0 \ right \); \: E (f): y \ in \ left \ (R / y \ neq 0 \ right \).

Đồ thị hàm số y = \ frac (k) (x) là một sự cường điệu.

1) Nếu k> 0 thì đồ thị của hàm số sẽ nằm trong phần tư thứ nhất và phần ba của mặt phẳng tọa độ.

Ví dụ: y = \ frac (1) (x)

2) Nếu k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Ví dụ: y = - \ frac (1) (x)

Chức năng nguồn

Chức năng nguồn là một hàm có dạng y = x ^ n, trong đó n là một số thực khác 0

1) Nếu n = 2 thì y = x ^ 2. D (f): x \ trong R; \: E (f): y \ in; chu kỳ chính của hàm T = 2 \ pi

Mỗi hàm có hai biến - một biến độc lập và một biến phụ thuộc có giá trị phụ thuộc vào giá trị của biến độc lập. Ví dụ, trong hàm y = f(x) = 2x + y biến độc lập là "x" và biến phụ thuộc là "y" (nói cách khác, "y" là một hàm của "x"). Các giá trị hợp lệ của biến độc lập "x" được gọi là miền của hàm và các giá trị hợp lệ của biến phụ thuộc "y" được gọi là miền của hàm.

Các bước

Phần 1

Tìm phạm vi của một hàm

Xác định loại chức năng được cung cấp cho bạn. Phạm vi giá trị của hàm là tất cả các giá trị x hợp lệ (được vẽ dọc theo trục hoành), tương ứng với các giá trị y hợp lệ. Hàm có thể là bậc hai hoặc chứa phân số hoặc căn. Để tìm phạm vi của một hàm, trước tiên bạn cần xác định loại của hàm.

Chọn mục nhập thích hợp cho phạm vi của chức năng. Miền định nghĩa được viết trong dấu ngoặc vuông và / hoặc tròn. Dấu ngoặc vuông được sử dụng khi giá trị nằm trong phạm vi của hàm; nếu giá trị nằm ngoài phạm vi, dấu ngoặc đơn được sử dụng. Nếu một hàm có nhiều miền không liền nhau, thì một ký tự "U" được đặt giữa chúng.
- Ví dụ: phạm vi của [-2,10) U (10,2] bao gồm các giá trị -2 và 2, nhưng không bao gồm giá trị 10.
Vẽ đồ thị của hàm số bậc hai.Đồ thị của một hàm như vậy là một parabol, các nhánh của chúng được hướng lên hoặc hướng xuống. Vì parabol tăng hoặc giảm dọc theo toàn bộ trục X nên miền của hàm bậc hai là tất cả các số thực. Nói cách khác, miền của một hàm như vậy là tập R (R là viết tắt của mọi số thực).
- Để hiểu rõ hơn về khái niệm hàm, hãy chọn bất kỳ giá trị nào của "x", thay nó vào hàm và tìm giá trị của "y". Cặp giá trị "x" và "y" biểu thị một điểm có tọa độ (x, y), nằm trên đồ thị của hàm số.
- Vẽ đồ thị điểm này trên mặt phẳng tọa độ và thực hiện quá trình được mô tả với một giá trị x khác.
- Bằng cách vẽ một số điểm trên mặt phẳng tọa độ, bạn sẽ có được ý tưởng chung về hình dạng của đồ thị hàm số.
Nếu hàm chứa một phân số, hãy đặt mẫu số của nó bằng không. Hãy nhớ rằng bạn không thể chia cho số không. Do đó, bằng cách quy đồng mẫu số với 0, bạn sẽ tìm thấy các giá trị của "x" không có trong phạm vi của hàm.
- Ví dụ, tìm miền của hàm f (x) = (x + 1) / (x - 1).
- Ở đây mẫu số là: (x - 1).
- Quy đồng mẫu số bằng 0 và tìm "x": x - 1 = 0; x = 1.
- Viết ra phạm vi của chức năng. Miền xác định không bao gồm 1, tức là nó bao gồm tất cả các số thực trừ 1. Như vậy, miền của hàm là: (-∞, 1) Ư (1, ∞).
- Kí hiệu (-∞, 1) U (1, ∞) đọc như sau: tập hợp tất cả các số thực trừ 1. Ký hiệu vô cực ∞ có nghĩa là tất cả các số thực. Trong ví dụ của chúng tôi, tất cả các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1 đều được đưa vào phạm vi.
Nếu hàm chứa căn bậc hai thì biểu thức căn phải lớn hơn hoặc bằng không. Hãy nhớ rằng căn bậc hai của số âm không được lấy. Do đó, bất kỳ giá trị nào của "x" mà tại đó biểu thức gốc trở thành âm phải được loại trừ khỏi phạm vi của hàm.
- Ví dụ, tìm miền của hàm f (x) = √ (x + 3).
- Biểu thức cấp tiến: (x + 3).
- Biểu thức căn phải lớn hơn hoặc bằng không: (x + 3) ≥ 0.
- Tìm "x": x ≥ -3.
- Miền của hàm này bao gồm tập hợp tất cả các số thực lớn hơn hoặc bằng -3. Như vậy, miền xác định là: [-3, ∞).
Phần 2
Tìm phạm vi của một hàm số bậc hai
1. Hãy chắc chắn rằng bạn được cung cấp một hàm bậc hai. Hàm số bậc hai có dạng: ax 2 + bx + c: f (x) = 2x 2 + 3x + 4. Đồ thị của hàm số đó là một parabol, các nhánh của chúng hướng lên hoặc hướng xuống. Có nhiều phương pháp khác nhau để tìm phạm vi của một hàm bậc hai.
  - Cách dễ nhất để tìm phạm vi của một hàm chứa một căn hoặc một phân số là vẽ một hàm như vậy bằng cách sử dụng máy tính vẽ đồ thị.
2. Tìm tọa độ x của đỉnh của đồ thị của hàm số. Trong trường hợp của một hàm số bậc hai, hãy tìm tọa độ x của đỉnh của parabol. Nhớ rằng hàm số bậc hai là: ax 2 + bx + c. Để tính tọa độ "x", sử dụng phương trình sau: x = -b / 2a. Phương trình này là một đạo hàm của hàm bậc hai cơ bản và mô tả một tiếp tuyến có hệ số góc bằng 0 (tiếp tuyến với đỉnh của parabol song song với trục X).
  - Ví dụ, tìm khoảng của hàm 3x 2 + 6x -2.
  - Tính tọa độ "x" của đỉnh của parabol: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
3. Tìm tọa độ y của đỉnh đồ thị của hàm số.Để thực hiện việc này, hãy thay thế tọa độ x tìm được vào hàm. Tọa độ mong muốn "y" là giá trị giới hạn của phạm vi của hàm.
  - Tính tọa độ y: y = 3x 2 + 6x - 2 = 3 (-1) 2 + 6 (-1) -2 = -5
  - Tọa độ đỉnh parabol của hàm này: (-1, -5).
4. Xác định hướng của parabol bằng cách thêm ít nhất một giá trị x vào hàm. Chọn bất kỳ giá trị x nào khác và cắm nó vào hàm để tính giá trị y tương ứng. Nếu giá trị tìm được "y" lớn hơn tọa độ "y" của đỉnh của parabol thì parabol đó hướng lên trên. Nếu giá trị tìm được "y" nhỏ hơn tọa độ "y" của đỉnh của parabol, thì parabol sẽ hướng xuống dưới.
  - Thay x = -2 vào hàm số: y = 3x 2 + 6x - 2 = y = 3 (-2) 2 + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
  - Tọa độ của một điểm nằm trên parabol: (-2, -2).
  - Các tọa độ tìm được chỉ ra rằng các nhánh của parabol hướng lên trên. Do đó, phạm vi của hàm bao gồm tất cả các giá trị của "y" lớn hơn hoặc bằng -5.
  - Phạm vi của hàm này: [-5, ∞)
5. Phạm vi của một chức năng được viết tương tự như phạm vi của một chức năng. Dấu ngoặc vuông được sử dụng khi giá trị nằm trong phạm vi của hàm; nếu giá trị nằm ngoài phạm vi, dấu ngoặc đơn được sử dụng. Nếu hàm có một số phạm vi không liền nhau, một ký tự "U" được đặt giữa chúng.
  - Ví dụ: phạm vi [-2,10) U (10,2] bao gồm các giá trị -2 và 2, nhưng không bao gồm giá trị 10.
  - Dấu ngoặc đơn luôn được sử dụng với ký hiệu vô cực ∞.

Trong toán học, có một số lượng khá nhỏ các hàm cơ bản mà miền định nghĩa bị giới hạn. Tất cả các chức năng "phức tạp" khác chỉ là tổ hợp và kết hợp của chúng.

1. Hàm phân số - quy đồng mẫu số.

2. Căn bậc chẵn là hạn chế của biểu thức căn bậc.

3. Lôgarit - hạn chế về cơ số của lôgarit và biểu thức lôgarit.

3. Lượng giác tg (x) và ctg (x) - hạn chế đối số.

Đối với tiếp tuyến:

4. Hàm số lượng giác nghịch đảo.

Arcsine	Vòng cung cosine	Arc tiếp tuyến, Arc tiếp tuyến

Hơn nữa, các ví dụ sau đây về chủ đề "Phạm vi của chức năng" được giải quyết.

ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Ví dụ 4

Ví dụ 5

Ví dụ 6

Ví dụ 7

Ví dụ 8

Ví dụ 9

Ví dụ 10

Ví dụ 11

Ví dụ 12

Ví dụ 13

Ví dụ 14

Ví dụ 15

Ví dụ 16

Một ví dụ về việc tìm kiếm phạm vi của một hàm số 1

Tìm miền của bất kỳ hàm tuyến tính nào, tức là chức năng mức độ đầu tiên:

y = 2x + 3 - phương trình xác định một đường thẳng trên mặt phẳng.

Hãy quan sát kỹ hàm số và suy nghĩ xem chúng ta có thể thay các giá trị số nào vào phương trình thay cho biến x?

Hãy thử thay thế giá trị x = 0

Vì y \ u003d 2 0 + 3 \ u003d 3 - có một giá trị số, do đó hàm tồn tại khi giá trị của biến được lấy x = 0.

Hãy thử thay thế giá trị x = 10

vì y \ u003d 2 10 + 3 \ u003d 23 - hàm tồn tại khi giá trị của biến x \ u003d 10 được lấy.

Hãy thử thay thế giá trị x = -10

vì y \ u003d 2 (-10) + 3 \ u003d -17 - hàm tồn tại khi giá trị của biến x \ u003d -10 được lấy.

Phương trình xác định một đường thẳng trên một mặt phẳng và một đường thẳng không có điểm đầu hoặc điểm cuối nên nó tồn tại với bất kỳ giá trị x nào.

Lưu ý rằng bất kể chúng ta thay các giá trị số nào vào hàm đã cho thay vì x, chúng ta sẽ luôn nhận được giá trị số của biến y.

Do đó, hàm tồn tại với mọi giá trị x ∈ R, hoặc ta viết nó như sau: D (f) = R

Dạng đáp án: D (f) = R hoặc D (f) = (- ∞: + ∞) hoặc x∈R hoặc x∈ (-∞: + ∞)

Hãy kết luận:

Với bất kỳ hàm số nào có dạng y = ax + b, miền xác định là tập các số thực.

Một ví dụ về việc tìm phạm vi của một hàm số 2

Một hàm của biểu mẫu được đưa ra:

y = 10 / (x + 5) - phương trình hyperbola

Khi xử lý một hàm phân số, hãy nhớ rằng bạn không thể chia cho số không. Do đó, hàm sẽ tồn tại với mọi giá trị của x không

đặt mẫu số bằng 0. Hãy thử thay thế một số giá trị x tùy ý.

Với x = 0 ta có y = 10 / (0 + 5) = 2 - hàm số tồn tại.

Với x = 10, chúng ta có y = 10 / (10 + 5) = 10/15 = 2/3- chức năng tồn tại.

Với x = -5 ta có y = 10 / (- 5 + 5) = 10/0 - lúc này hàm số không tồn tại.

Những thứ kia. nếu hàm số đã cho là phân số thì cần quy đồng mẫu số bằng 0 và tìm một điểm mà hàm số không tồn tại.

Trong trường hợp của chúng ta:

x + 5 = 0 → x = -5 - lúc này hàm số đã cho không tồn tại.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Hãy vẽ biểu đồ cho rõ ràng:

Trên đồ thị, chúng ta cũng thấy rằng hyperbol tiếp cận đường thẳng x = -5 càng gần càng tốt, nhưng không tự nó đạt đến giá trị -5.

Ta thấy rằng hàm số đã cho tồn tại tại mọi điểm thuộc trục thực, trừ điểm x = -5

Trả lời các hình thức ghi âm: D (f) = R \ (- 5) hoặc D (f) = (- ∞; -5) ∪ (-5;+∞) hoặc x ∈ R \ (- 5) hoặc x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Nếu hàm số đã cho là phân số, thì sự hiện diện của mẫu số đặt ra điều kiện là mẫu số không bằng không.

Một ví dụ về việc tìm phạm vi của một hàm số 3

Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm miền của một hàm có căn bậc chẵn:

Vì chúng ta chỉ có thể trích xuất căn bậc hai từ một số không âm, do đó, hàm dưới căn là không âm.

2x - 8 ≥ 0

Hãy giải một bất đẳng thức đơn giản:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Hàm đã cho chỉ tồn tại đối với các giá trị tìm được x ≥ 4 hoặc D (f) =)