Giải toán học kì 1 năm học. Phân tích toán học

A.V. Glasco

CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN TÍCH TOÁN HỌC

"CÁC CHỨC NĂNG VÀ GIỚI HẠN TIỂU SỬ"

Matxcova, MSTU im. N.E. Bauman

§một. tính biểu tượng lôgic.

Khi viết các biểu thức toán học, chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu logic sau:

	Nghĩa		Nghĩa
			Cho bất kỳ ai, cho tất cả mọi người, cho tất cả mọi người (từ
			Có, có, có (tồn tại)
			kéo theo, theo sau (do đó)
			Tương tự, nếu và chỉ khi,
			cần thiết và đủ
Vì vậy, nếu A và B là bất kỳ mệnh đề nào, thì

			Nghĩa
			A hoặc B (hoặc A hoặc B, hoặc cả A và B)
			Với x bất kỳ ta có A
			Có x mà A nắm giữ
			Từ A theo sau B (nếu A đúng thì B đúng)
(ngụ ý)
			A tương đương với B, A xảy ra nếu và chỉ khi B xảy ra,
			A là cần và đủ đối với B
	Nhận xét. “A B” có nghĩa là A là đủ cho B và B là cần thiết cho A.

Ví dụ. (x = 1) => (x2 -3x + 2 = 0) => ((x = 1) (x = 2)).

Đôi khi chúng ta sẽ sử dụng một ký tự đặc biệt khác: A = df B.

Có nghĩa là A = B theo định nghĩa.

§2. Bộ Các phần tử và các bộ phận của một tập hợp.

Khái niệm tập hợp là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa dưới dạng những cái đơn giản hơn. Các từ: set, family, set là từ đồng nghĩa của nó.

Ví dụ về các tập hợp: nhiều sinh viên trong lớp học, nhiều giáo viên trong khoa, nhiều ô tô trong bãi đậu xe, v.v.

Các khái niệm sơ cấp cũng là các khái niệm thiết lập phần tử và các mối quan hệ

giữa các phần tử của tập hợp.

Ví dụ. N là tập hợp các số tự nhiên, các phần tử của nó là các số 1,2,3, ... Nếu x, y là phần tử của N thì chúng thuộc một trong các quan hệ sau: x = y, x y.

Chúng tôi đồng ý biểu thị các tập hợp bằng chữ in hoa: A, B, C, X, Y,… và các phần tử của chúng bằng chữ thường: a, b, c, x, y,…

Mối quan hệ giữa các phần tử hoặc tập hợp được biểu thị bằng các ký hiệu được chèn giữa các chữ cái. Ví dụ. Cho A là một số tập hợp. Khi đó quan hệ a A nghĩa là a là phần tử của tập A. Kí hiệu a A nghĩa là a không phải là phần tử của A.

Tập hợp có thể được xác định theo nhiều cách khác nhau. 1. Liệt kê các phần tử của nó.

Ví dụ: A = (a, b, c, d), B = (1, 7, 10)

2. Xác định thuộc tính của các phần tử. Gọi A là tập hợp các phần tử a có thuộc tính p. Điều này có thể được viết dưới dạng: A = (a: p) hoặc A = (ap).

Ví dụ, ký hiệu А = (x: (x R) (x2 -1> 0)) nghĩa là A là tập hợp các số thực thỏa mãn bất đẳng thức x2 -1> 0.

Hãy để chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa quan trọng.

Def. Một tập hợp được gọi là hữu hạn nếu nó bao gồm một số hữu hạn phần tử. Nếu không, nó được gọi là vô hạn.

Ví dụ, tập hợp học sinh trong lớp học là hữu hạn, nhưng tập hợp các số tự nhiên hoặc tập hợp các điểm bên trong đoạn là vô hạn.

Def. Một tập hợp không chứa bất kỳ phần tử nào được gọi là rỗng và được ký hiệu.

Def. Hai tập hợp được cho là bằng nhau nếu chúng bao gồm các

Những thứ kia. khái niệm về một tập hợp không bao hàm một thứ tự cụ thể của các phần tử. Def. Tập hợp X được gọi là tập con của tập hợp Y nếu bất kỳ phần tử nào của tập hợp X là phần tử của tập hợp Y (trong trường hợp này, nói chung, không phải bất kỳ phần tử nào của tập hợp X là phần tử của tập hợp Y).

một phần tử của tập Y là một phần tử của tập X). Trong trường hợp này, ký hiệu được sử dụng: X Y.

Ví dụ, tập hợp các quả cam O là tập con của tập hợp các loại quả F: O F, và tập hợp các số tự nhiên N là tập con của tập các số thực R: N R.

Các ký tự “” và “” được gọi là các ký tự bao gồm. Mỗi tập hợp được coi là một tập hợp con của chính nó. Tập hợp rỗng là tập hợp con của bất kỳ tập hợp nào.

Def. Mọi tập con B khác rỗng của tập A không bằng A được gọi là

tập hợp con riêng.

§ 3. Các sơ đồ Euler-Venn. Các phép toán cơ bản trên tập hợp.

Nó là thuận tiện để biểu diễn các tập hợp bằng đồ thị, như các vùng trên một mặt phẳng. Điều này ngụ ý rằng các điểm của vùng tương ứng với các phần tử của tập hợp. Các biểu diễn đồ họa như vậy của các tập hợp được gọi là biểu đồ Euler-Venn.

Ví dụ. A là tập hợp các sinh viên MSTU, B là tập hợp các sinh viên trong khán giả. Cơm. 1 chứng tỏ rõ ràng rằng A B.

Biểu đồ Euler-Venn rất thuận tiện để sử dụng để trình bày trực quan hoạt động trên bộ. Các hoạt động chính bao gồm những điều sau đây.

Cơm. 1. Một ví dụ về biểu đồ Euler-Venn.

1. Giao điểm A B của tập A và B là tập C gồm tất cả các phần tử thuộc đồng thời cả hai tập A và B:

C = A B = df (z: (z A) (z B))

(trong Hình 2, tập C được biểu diễn bằng vùng bóng mờ).

Cơm. 2. Giao của các tập hợp.

2. Hợp A B của tập A và B là tập C gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập A hoặc B.

C = A B = df (z: (z A) (z B))

(trong Hình 3, tập hợp C được biểu diễn bằng vùng bóng mờ).

Cơm. 3. Liên hiệp các bộ.

Cơm. 4. Hiệu của các tập hợp.

3. Hiệu A \ B của tập A và B là tập C gồm tất cả các phần tử thuộc tập A nhưng không thuộc tập B:

A \ B = (z: (z A) (z B))

(trong Hình 4, tập hợp C được biểu thị bằng vùng được tô màu vàng).

§4. Tập hợp các số thực.

Hãy để chúng tôi xây dựng một tập hợp các số thực (thực) R. Để làm điều này, trước hết, hãy xem xét, tập hợp các số tự nhiên, mà chúng tôi định nghĩa như sau. Hãy lấy số n = 1 làm phần tử đầu tiên. Mỗi phần tử tiếp theo sẽ được lấy từ phần trước đó bằng cách thêm một phần tử:

N = (1, 1 + 1, (1 + 1) +1,…) = (1, 2, 3,…, n,…).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ...).

Tập hợp các số nguyên Zđịnh nghĩa là sự kết hợp của ba tập hợp: N, -N và một tập hợp bao gồm một phần tử duy nhất - không:

Tập hợp các số hữu tỉ được định nghĩa là tập hợp tất cả các tỷ lệ có thể có của các số nguyên:

Q = (xx = m / n; m, n Z, n 0).

Rõ ràng, N Z Q.

Biết rằng mọi số hữu tỉ có thể được viết dưới dạng phân số thực hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Các số hữu tỉ có đủ để đo tất cả các đại lượng mà chúng ta có thể đáp ứng trong quá trình nghiên cứu thế giới xung quanh không? Ngay từ thời Hy Lạp cổ đại, điều đó đã được chứng minh là không: nếu chúng ta coi một tam giác vuông cân với các chân có độ dài là một, thì độ dài cạnh huyền không thể được biểu diễn dưới dạng một số hữu tỉ. Do đó, chúng ta không thể tự giới hạn mình trong tập hợp các số hữu tỉ. Cần phải mở rộng khái niệm số. Phần mở rộng này đạt được bằng cách giới thiệu tập hợp các số vô tỉ J, dễ được coi là tập hợp của tất cả các số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn.

Hợp của các tập hợp các số hữu tỉ và vô tỉ được gọi là

tập hợp các số thực (thực) R: R = Q Y.

Đôi khi họ xem xét một tập hợp các số thực R mở rộng, sự hiểu biết

Số thực được biểu diễn dưới dạng dấu chấm trên trục số một cách thuận tiện.

Def. Trục số được gọi là một đường thẳng, cho biết điểm gốc, tỷ lệ và hướng của quy chiếu.

Tương ứng 1-1 được thiết lập giữa các số thực và các điểm của trục số: bất kỳ số thực nào tương ứng với một điểm duy nhất của trục số và ngược lại.

Tiên đề về tính đầy đủ (tính liên tục) của tập các số thực. Bất kỳ tập nào khác rỗng А = (a) R và B = (b) R sao cho với a và b bất kỳ, bất đẳng thức a ≤ b là đúng, thì có một số cR sao cho a ≤ c ≤ b (Hình 5).

Hình 5. Minh họa tiên đề về tính đầy đủ của tập hợp các số thực.

§5. Bộ số. Hàng xóm.

Def. Bộ số bất kỳ tập con nào của tập R đều được gọi. Các tập hợp số quan trọng nhất: N, Z, Q, J, và cả

phân đoạn: (x R | a x b),

khoảng: (a, b) (x R | a x b), (,) = R

nửa khoảng: (x R | a x b),

(x R | x b).

Vai trò quan trọng nhất trong phân tích toán học được thực hiện bởi khái niệm lân cận của một điểm trên trục số.

Def. -thành tích của điểm x 0 là một khoảng có độ dài 2 tâm tại điểm x 0 (Hình 6):

u (x 0) (x 0, x 0).

Cơm. 6. Vùng lân cận của một điểm.

Def. -Phạm vi bị thủng của một điểm là vùng lân cận của điểm này,

từ đó điểm x 0 chính nó bị loại trừ (Hình 7):

u (x 0) u (x 0) \ (x 0) (x 0, x 0) (x 0, x 0).

Cơm. 7. Vùng lân cận bị thủng của một điểm.

Def. Vùng lân cận bên phải của điểm x0 được gọi là một nửa khoảng thời gian

u (x 0), khoảng: E ​​= [-π / 2, π / 2].

Cơm. 11. Đồ thị của hàm số y arcsin x.

Bây giờ chúng ta hãy giới thiệu khái niệm về một hàm phức ( các tác phẩm trưng bày). Cho ba tập hợp D, E, M và cho f: D → E, g: E → M. Rõ ràng, có thể xây dựng một ánh xạ mới h: D → M, được gọi là một thành phần của ánh xạ f và g hoặc một hàm phức (Hình 12).

Một hàm phức được ký hiệu như sau: z = h (x) = g (f (x)) hoặc h = f o g.

Cơm. 12. Hình minh họa cho khái niệm hàm phức.

Hàm f (x) được gọi là chức năng nội bộ và hàm g (y) - chức năng bên ngoài.

1. Hàm số f (x) = x², ngoại tiếp g (y) sin y. Hàm phức z = g (f (x)) = sin (x²)

2. Bây giờ ngược lại. Hàm số f (x) = sinx, ngoại tiếp g (y) y 2. u = f (g (x)) = sin² (x)

Câu hỏi đề thi môn Toán Giải tích lớp 1 năm học 1.

1. Bộ Các phép toán cơ bản trên tập hợp. Không gian số học và số học.

2. Bộ số. Đặt trên trục số: phân đoạn, khoảng thời gian, bán ký hiệu, vùng lân cận.

3. Định nghĩa một tập hợp có giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn dưới của bộ số. Định đề về giới hạn trên và giới hạn dưới của các tập hợp số.

4. Phương pháp quy nạp toán học. Bất đẳng thức Bernoulli và Cauchy.

5. Định nghĩa hàm. Đồ thị hàm số. Hàm chẵn và hàm lẻ. Các chức năng định kỳ. Các cách thiết lập một hàm.

6. Giới hạn trình tự. Tính chất của dãy hội tụ.

7. trình tự giới hạn. Một định lý về điều kiện đủ cho sự phân kỳ của một dãy số.

8. Định nghĩa dãy đơn điệu. Định lý dãy đơn điệu Weierstrass.

9. Số e.

10. Giới hạn của một hàm tại một điểm. Giới hạn của hàm số tại vô cùng. Giới hạn đơn phương.

11. Chức năng nhỏ vô hạn. Giới hạn của các hàm tổng, tích và thương.

12. Các định lý về tính ổn định của các bất đẳng thức. Vượt qua giới hạn trong sự bất bình đẳng. Định lý về ba hàm.

13. Giới hạn tuyệt vời đầu tiên và thứ hai.

14. Các hàm lớn vô hạn và kết nối của chúng với các hàm vô số.

15. So sánh các hàm thập phân. Thuộc tính của các số lượng nhỏ tương đương. Định lý về sự thay thế các số vô cực bằng các số tương đương. Tương đương cơ bản.

16. Tính liên tục của một hàm tại một điểm. Các hành động với các chức năng liên tục. Tính liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản.

17. Phân loại các điểm ngắt của một hàm. Mở rộng theo tính liên tục

18. Định nghĩa một hàm phức. Giới hạn của một hàm phức. Tính liên tục của một hàm phức. Hàm hyperbolic

19. Tính liên tục của một hàm số trên một đoạn thẳng. Định lý Cauchy về sự biến mất của một hàm liên tục trên một khoảng và giá trị trung gian của một hàm.

20. Tính chất của hàm liên tục trên một đoạn. Định lý Weierstrass về giới hạn của một hàm liên tục. Định lý Weierstrass về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm.

21. Định nghĩa của một hàm đơn điệu. Định lý Weierstrass về giới hạn của một hàm đơn điệu. Định lý về tập giá trị của hàm số đơn điệu và liên tục trên một khoảng.

22. Chức năng trái ngược. Đồ thị hàm số nghịch biến. Định lý về sự tồn tại và liên tục của hàm ngược.

23. Hàm lượng giác và hàm hypebol nghịch đảo.

24. Định nghĩa đạo hàm của hàm số. Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản.

25. Định nghĩa một chức năng có thể phân biệt. Điều kiện cần và đủ để có thể phân biệt được một hàm. Tính liên tục của một chức năng có thể phân biệt.

26. Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đồ thị hàm số.

27. Đạo hàm của tổng, tích và thương của hai hàm

28. Đạo hàm của một hàm hợp và một hàm ngược.

29. Phân biệt lôgarit. Đạo hàm của một hàm đã cho theo tham số.

30. Phần chính của hàm tăng. Công thức tuyến tính hóa hàm. Ý nghĩa hình học của vi phân.

31. Vi phân của một hàm hợp chất. Bất biến của dạng vi phân.

32. Các định lý của Rolle, Lagrange và Cauchy về các tính chất của các hàm phân biệt. Công thức của số gia hữu hạn.

33. Ứng dụng của đạo hàm để tiết lộ các điểm không chắc chắn bên trong. Quy tắc của L'Hopital.

34. Định nghĩa Đạo hàmđơn hàng thứ n. Quy tắc tìm đạo hàm bậc n. Công thức Leibniz. Vi phân bậc cao hơn.

35. Công thức Taylor với số hạng dư ở dạng Peano. Số dư ở dạng Lagrange và Cauchy.

36. Tăng và giảm chức năng. điểm cực trị.

37. Độ lồi và độ tụ của một hàm. Điểm biến đổi.

38. Chức năng vô tận bị phá vỡ. Không có triệu chứng.

39. Đề án vẽ đồ thị hàm số.

40. Định nghĩa về chất chống nhiễm độc. Các đặc tính chính của chất chống nhiễm độc. Các quy tắc tích hợp đơn giản nhất. Bảng tích phân đơn giản.

41. Tích phân theo phép đổi biến số và công thức tính tích phân từng phần trong tích phân bất định.

42. Tích hợp các biểu thức của biểu mẫu e ax cos bx và e ax sin bx sử dụng quan hệ đệ quy.

	43. Tích phân một phân số			sử dụng quan hệ đệ quy.
			một 2 n

44. Tích phân không xác định của một hàm hữu tỉ. Tích phân các phân số đơn giản.

45. Tích phân không xác định của một hàm hữu tỉ. Phép chia các phân số thích hợp thành các phân số đơn giản.

46. Tích phân không xác định của một hàm vô tỉ. Tích hợp biểu thức

	R x, m

47. Tích phân không xác định của một hàm số vô tỷ. Tích phân các biểu thức dạng R x, ax 2 bx c. Thay thế Euler.

48. Tích phân các biểu thức có dạng

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Tích phân không xác định của một hàm vô tỉ. Tích phân vi phân nhị thức.

50. Tích phân các biểu thức lượng giác. Phép thay lượng giác phổ quát.

51. Tích phân của biểu thức lượng giác hữu tỉ trong trường hợp tích phân là lẻ đối với sin x (hoặc cos x) hoặc thậm chí đối với sin x và cos x.

52. Tích hợp biểu thức sin n x cos m x và sin n x cos mx.

53. Tích hợp biểu thức tg m x và ctg m x.

54. Tích hợp biểu thức R x, x 2 a 2, R x, a 2 x 2 và R x, x 2 a 2 sử dụng các phép thế lượng giác.

55. Tích phân xác định. Bài toán tính diện tích hình thang lượn.

56. tổng tích phân. Darboux tính tổng. Định lý về điều kiện tồn tại của một tích phân xác định. Các lớp của hàm tích phân.

57. Tính chất của một tích phân xác định. Định lý về giá trị trung bình.

58. Tích phân xác định như một hàm của giới hạn trên. Công thức Newton-Leibniz.

59. Thay đổi công thức biến và công thức tích phân theo từng phần trong một tích phân xác định.

60. Ứng dụng của phép tính tích phân vào hình học. Khối lượng của hình. Khối lượng của các số liệu luân chuyển.

61. Ứng dụng của phép tính tích phân vào hình học. Diện tích của một hình phẳng. Diện tích của khu vực đường cong. Chiều dài đường cong.

62. Định nghĩa một tích phân không đúng loại thứ nhất. Công thức Newton-Leibniz cho tích phân không đúng loại đầu tiên. Các thuộc tính đơn giản nhất.

63. Sự hội tụ của các tích phân không đúng loại đầu tiên cho một hàm số dương.Định lý so sánh thứ nhất và thứ hai.

64. Sự hội tụ tuyệt đối và có điều kiện của tích phân không đúng loại đầu tiên của một hàm xen kẽ. Tiêu chí hội tụ cho Abel và Dirichlet.

65. Định nghĩa một tích phân không đúng loại thứ hai. Công thức Newton-Leibniz cho tích phân không đúng loại thứ hai.

66. Kết nối các tích phân không đúng Loại thứ nhất và thứ hai. Tích phân không đúng theo nghĩa của giá trị chính.

Khóa học hướng đến các cử nhân và thạc sĩ chuyên về toán học, kinh tế học hoặc khoa học tự nhiên, cũng như giáo viên toán trung học và giáo sư đại học. Nó cũng sẽ hữu ích cho những học sinh tham gia sâu vào toán học.

Cấu trúc của khóa học là truyền thống. Khóa học bao gồm các tài liệu cổ điển về phân tích toán học, được nghiên cứu trong năm đầu tiên của trường đại học trong học kỳ đầu tiên. Các phần "Yếu tố của lý thuyết tập hợp và số thực", "Lý thuyết dãy số", "Giới hạn và tính liên tục của một hàm số", "Tính phân biệt của một hàm số", "Ứng dụng của tính phân biệt". Chúng ta sẽ làm quen với khái niệm tập hợp, đưa ra định nghĩa chặt chẽ về một số thực và nghiên cứu các tính chất của số thực. Sau đó, chúng ta sẽ nói về các dãy số và các thuộc tính của chúng. Điều này sẽ cho phép chúng ta xem xét khái niệm về một hàm số, vốn được học sinh biết đến nhiều ở một cấp độ mới, chặt chẽ hơn. Chúng tôi giới thiệu khái niệm giới hạn và tính liên tục của một hàm số, thảo luận về các tính chất của hàm số liên tục và ứng dụng của chúng vào việc giải quyết các vấn đề.

Trong phần thứ hai của khóa học, chúng ta sẽ định nghĩa đạo hàm và tính khả vi của một hàm số một biến và nghiên cứu các tính chất của các hàm số khả vi. Điều này sẽ cho phép bạn học cách giải các bài toán ứng dụng quan trọng như tính gần đúng giá trị của một hàm số và nghiệm của phương trình, tính giới hạn, nghiên cứu các tính chất của một hàm số và xây dựng đồ thị của nó. .

Sự sắp xếp

Hình thức đào tạo là bán thời gian (từ xa).
Các lớp học hàng tuần sẽ bao gồm việc xem các bài giảng video theo chủ đề và hoàn thành các nhiệm vụ kiểm tra với xác minh kết quả tự động.
Một yếu tố quan trọng của việc nghiên cứu ngành này là giải pháp độc lập của các bài toán tính toán và các bài toán chứng minh. Lời giải sẽ phải chứa đựng những suy luận chặt chẽ và đúng logic dẫn đến câu trả lời đúng (đối với bài toán tính toán) hoặc hoàn toàn chứng minh được mệnh đề cần thiết (đối với bài toán lý thuyết).

Yêu cầu

Khóa học được thiết kế dành cho các cử nhân học 1 năm. Yêu cầu kiến ​​thức Toán tiểu học tập trung học (11 lớp).

Chương trình khóa học

Bài giảng 1 Các yếu tố của lý thuyết tập hợp.
Bài giảng 2 Khái niệm về một số thực. Các mặt chính xác của các bộ số.
Bài giảng 3 Các phép toán số học trên số thực. Các tính chất của số thực.
Bài giảng 4 Các dãy số và các thuộc tính của chúng.
Bài giảng 5 trình tự đơn điệu. Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ chuỗi.
Bài giảng 6 Khái niệm về một hàm một biến. Giới hạn chức năng. Hàm số thập phân và hàm lớn vô hạn.
Bài giảng 7 Tính liên tục của hàm. Phân loại điểm ngắt. Thuộc tính cục bộ và toàn cục của hàm liên tục.
Bài giảng 8 Các chức năng đơn điệu. Chức năng trái ngược.
Bài giảng 9 Các hàm cơ bản đơn giản nhất và các tính chất của chúng: hàm mũ, logarit và lũy thừa.
Bài giảng 10 Hàm số lượng giác và hàm lượng giác nghịch đảo. Giới hạn đáng chú ý. Tính liên tục đồng nhất của một hàm.
Bài giảng 11 Khái niệm đạo hàm và vi phân. Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Quy tắc khác biệt hóa.
Bài giảng 12Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản. Hàm vi phân.
Bài giảng 13 Các phái sinh và phần chênh lệch của các đơn hàng cao hơn. Công thức Leibniz. Đạo hàm của các hàm đã cho theo tham số.
Bài giảng 14 Các tính chất cơ bản của hàm phân biệt. Định lý Rolle và Lagrange.
Bài giảng 15Định lý Cauchy. Quy tắc tiết lộ sự không chắc chắn đầu tiên của L'Hospital.
Bài giảng 16 Quy tắc thứ hai của L'Hopital về tiết lộ những điều không chắc chắn. Công thức Taylor với số hạng dư ở dạng Peano.
Bài giảng 17 Công thức của Taylor với số hạng dư ở dạng tổng quát, ở dạng Lagrange và Cauchy. Sự mở rộng của Maclaurin về các chức năng cơ bản cơ bản. Các ứng dụng của công thức Taylor.
Bài giảng 18Điều kiện đủ cho một điểm cực trị. Các dấu hiệu của đồ thị của một hàm số. Lồi.
Bài giảng 19Điểm biến đổi. Sơ đồ tổng quát của nghiên cứu về chức năng. Ví dụ về âm mưu.

Kết quả học tập

Kết quả của việc nắm vững khóa học, học sinh sẽ nắm được các khái niệm cơ bản của phân tích toán học: tập hợp, số, dãy số và hàm số, làm quen với các tính chất của chúng và học cách áp dụng các tính chất này trong việc giải quyết các vấn đề.

Khóa học là một đoạn video studio ghi lại nửa đầu học kỳ đầu tiên của các bài giảng về phân tích toán học dưới dạng chúng được đọc tại Trường Đại học Học thuật. Đối với 4 học phần, sinh viên sẽ được làm quen với các khái niệm cơ bản của phân tích toán học: dãy số, giới hạn và tính liên tục. Chúng tôi tự giới hạn mình trong các số thực và hàm của một biến. Phần trình bày sẽ được thực hiện ở trình độ khá sơ đẳng mà không có những khái quát hóa có thể không làm thay đổi những ý tưởng cơ bản của các chứng minh, nhưng làm phức tạp đáng kể nhận thức. Tất cả các tuyên bố (ngoại trừ một số biện minh chính thức nhàm chán ở đầu khóa học và trong định nghĩa các hàm cơ bản) sẽ được chứng minh một cách chặt chẽ. Các bản ghi video đi kèm với một số lượng lớn các nhiệm vụ để học sinh làm việc độc lập.

Khóa học này dành cho ai

Sinh viên đại học các chuyên ngành kỹ thuật

Học sinh cần nắm vững chương trình toán học ở trường. Cụ thể là phải biết đồ thị của các hàm số chính sơ cấp như thế nào, biết các công thức cơ bản của các hàm số lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit, các cấp số cộng và hình học, đồng thời có thể tự tin thực hiện các phép biến đổi đại số với các hàm số bằng nhau và bất bình đẳng. Đối với một số bài toán, người ta cũng cần biết các tính chất đơn giản nhất của số hữu tỉ và số vô tỉ.

Để biến x N nhận một chuỗi giá trị vô hạn

x 1 , x 2 , ..., x N , ..., (1)

và quy luật thay đổi của biến số đã biết x N, I E. với mọi số tự nhiên N bạn có thể chỉ định giá trị tương ứng x N. Do đó, người ta giả định rằng biến x N là một chức năng của N:

x N = f (n)

Hãy để chúng tôi xác định một trong những khái niệm quan trọng nhất của phân tích toán học - giới hạn của một dãy số, hay giới hạn của một biến số giống nhau x N trình tự chạy x 1 , x 2 , ..., x N , ... . .

Sự định nghĩa. số không đổi một triệu tập giới hạn trình tự x 1 , x 2 , ..., x N , ... . hoặc giới hạn của một biến x N, nếu với một số dương nhỏ tùy ý thì tồn tại một số tự nhiên như vậy N(tức là số N) rằng tất cả các giá trị của biến x N, bắt đầu bằng x N, khác với một nhỏ hơn về giá trị tuyệt đối so với e. Định nghĩa này được viết ngắn gọn như sau:

| x N - một |< (2)

cho tất cả N  N hoặc, giống nhau,

Định nghĩa giới hạn Cauchy. Một số A được gọi là giới hạn của hàm f (x) tại điểm a nếu hàm này được xác định trong một vùng lân cận nào đó của điểm a, có lẽ ngoại trừ chính điểm a và với mỗi ε> 0 thì tồn tại δ> 0 sao cho với mọi x thỏa mãn điều kiện | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Định nghĩa giới hạn Heine. Một số A được gọi là giới hạn của hàm f (x) tại điểm a nếu hàm này được xác định trong vùng lân cận nào đó của điểm a, có lẽ ngoại trừ chính điểm a và đối với bất kỳ chuỗi nào như vậy hội tụ đến chữ số a thì dãy giá trị tương ứng của hàm số hội tụ thành chữ số A.

Nếu hàm số f (x) có giới hạn tại điểm a thì giới hạn này là duy nhất.

Số A 1 được gọi là giới hạn bên trái của hàm f (x) tại điểm a nếu với mỗi ε> 0 tồn tại δ>

Số A 2 được gọi là giới hạn bên phải của hàm số f (x) tại điểm a nếu với mỗi ε> 0 tồn tại δ> 0 sao cho bất phương trình

Giới hạn bên trái được ký hiệu là giới hạn bên phải - Các giới hạn này đặc trưng cho hoạt động của hàm đối với bên trái và bên phải của điểm a. Chúng thường được gọi là giới hạn một chiều. Trong ký hiệu của giới hạn một phía là x → 0, số 0 đầu tiên thường bị bỏ qua: và. Vì vậy, đối với hàm

Nếu với mỗi ε> 0 tồn tại một lân cận δ của điểm a sao cho với mọi x thoả mãn điều kiện | x - a |< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε thì ta nói rằng hàm số f (x) có giới hạn vô hạn tại điểm a:

Như vậy, hàm số có giới hạn vô hạn tại điểm x = 0. Các giới hạn bằng + ∞ và –∞ thường được phân biệt. Cho nên,

Nếu với mỗi ε> 0 thì tồn tại δ> 0 sao cho với x> δ bất phương trình | f (x) - A |< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Định lý tồn tại cho giới hạn trên nhỏ nhất

Sự định nghĩa: AR mR, m - mặt trên (mặt dưới) của A, nếu аА аm (аm).

Sự định nghĩa: Tập A được bao từ phía trên (từ phía dưới), nếu tồn tại m sao cho аА thì аm (аm) thoả mãn.

Sự định nghĩa: SupA = m, nếu 1) m - cận trên của A

2) m ’: m’ m 'không phải là mặt trên của A

InfA = n nếu 1) n là infimum của A

2) n ’: n’> n => n ’không phải là một infimum của A

Sự định nghĩa: SupA = m là một số sao cho: 1)  aA am

2) > 0 a  A, sao cho a  a-

InfA = n được gọi là một số sao cho:

2) > 0 a  A, sao cho E a + 

Định lý: Bất kỳ tập hợp không trống nào АR được giới hạn từ phía trên đều có giới hạn trên tốt nhất và một giới hạn duy nhất tại đó.

Bằng chứng:

Ta dựng một số m trên đường thực và chứng minh rằng đây là cận trên nhỏ nhất của A.

[m] = max ([a]: aA) [[m], [m] +1] A => [m] +1 - mặt trên của A

Phân đoạn [[m], [m] +1] - chia thành 10 phần

m 1 = max: aA)]

m 2 = max, m 1: aA)]

m thành = max, m 1 ... m K-1: aA)]

[[m], m 1 ... m K, [m], m 1 ... m K + 1/10 K] A => [m], m 1 ... m K + 1 / 10 K - mặt trên A

Hãy chứng minh rằng m = [m], m 1 ... m K là cận trên nhỏ nhất và nó là duy nhất:

to:)