Cách trừ một gốc ở một gốc. Cách thêm căn bậc hai

Thư viện các tác phẩm của Alexander Sergeevich Pushkin rất phong phú. Nó chứa các tác phẩm thuộc nhiều thể loại và Các chủ đề khác nhau. Các nhà phê bình văn học chia tất cả các tác phẩm của nhà thơ thành nhiều thời kỳ. Tổng cộng có năm người trong số họ, và mỗi người trong số họ đều gắn liền với một sự kiện cụ thể trong cuộc đời của Pushkin: tốt nghiệp Lyceum, cuộc lưu đày miền nam và những sự kiện khác.

Đối với câu hỏi: "Điều gì đã trở thành chủ đề trong lời bài hát của Alexander Sergeevich?" - không thể trả lời một cách rõ ràng.

Anh ấy viết về tình yêu, tình bạn, và về Tổ quốc, anh ấy đã chạm vào, trong số những thứ khác, chủ đề triết học. Hoàn toàn có thể nói rằng mọi thứ đều trở thành chủ đề trong lời bài hát của anh ấy.

Nhưng, có lẽ, chủ đề chính và chủ yếu của nhà thơ là chủ đề tình yêu, mà ông đã hát, và ngay từ khi bắt đầu tác phẩm của mình, ông đã nâng cao và nâng tầm lên hàng những tình cảm con người có giá trị nhất, chẳng hạn như trong bài thơ "Yêu một mình là thú vui của đời lạnh":

May mắn gấp trăm lần, ai ở tuổi thanh xuân có duyên

Khoảnh khắc nhanh chóng này sẽ nhanh chóng bắt kịp;

Ai đến với niềm vui và hạnh phúc của những người chưa biết

Vẻ đẹp rực rỡ sẽ cúi đầu!

Nhưng dần dần, với sự trưởng thành và phát triển trong công việc của mình, nhà thơ đã nghĩ lại chủ đề này. Anh ấy bắt đầu cho sự chú ý lớn cảm xúc và kinh nghiệm của một người phụ nữ, cũng như tận hưởng ngay cả nỗi buồn của tình yêu:

Tôi buồn và dễ dãi; nỗi buồn của tôi nhẹ nhàng;

Nỗi buồn của tôi đầy ắp về bạn ...

Một hướng khác trong tác phẩm của Pushkin là chủ đề về tình bạn. Các tác phẩm về chủ đề này chủ yếu dành cho những người bạn cùng thời với nhà thơ: I. Pushchin, A. Delvig, và V. Küchelbecker. Tình bạn thời trẻ thể hiện sự bất cẩn và niềm vui cho Pushkin.

Chủ đề về tình bạn, cũng giống như chủ đề về tình yêu, đang dần phát triển. Người viết bắt đầu nhìn thấy ở cô sự bi kịch, buồn bã, hụt hẫng trước sự mất mát của những người bạn thân. Những mô-típ như vậy đặc biệt rõ nét trong tác phẩm "Ngày mười hai tháng mười" của ông:

Tôi buồn: không có bạn với tôi ...

Tôi uống một mình, và trên bờ sông Neva

Bạn bè của tôi đang gọi tôi ...

Nhưng có bao nhiêu người trong số các bạn cũng ăn ở đó?

Bạn đã bỏ lỡ ai khác?

Chủ đề quan trọng và nổi bật tiếp theo trong Lời bài hát của Pushkinđã trở thành chủ đề của tự do. Trong nhiều tác phẩm của nhà thơ, người ta có thể thấy động cơ yêu tự do, khát vọng bị hạn chế. sức mạnh tuyệt đối vua, ví dụ, trong bài hát "Liberty":

Các bậc thầy! bạn vương miện và ngai vàng

Luật ban cho, không phải tự nhiên;

Bạn đứng trên mọi người

Nhưng Luật vĩnh cửu ở trên bạn.

Alexander Sergeevich trong đó đề cập đến các nhà chức trách, trong lời thoại có một lời kêu gọi rõ ràng là hạn chế quyền hạn của sa hoàng bằng Luật pháp, tức là bằng Hiến pháp.

Sau đó, tác giả bắt đầu từ một sự hiểu biết chính trị nghiêm túc về tự do và thể hiện sự quan tâm đến tự do của một người Nga giản dị. Đó là, chủ đề này cũng đang phát triển theo cách riêng của nó. Điều này được thấy rõ trong bài thơ "Làng":

Tôi thấy bạn bè của tôi! những người bị áp bức

Và chế độ nô lệ, rơi theo lệnh của nhà vua ...

Đỉnh cao của bài thánh ca về tự do, vốn đã mang tính cá nhân, là tác phẩm "Từ Pindemonti", trong đó có một dòng:

Đừng bẻ cong lương tâm, hoặc suy nghĩ, hoặc cổ ...

Tất nhiên, nói đến tác phẩm của Pushkin, người ta không thể tránh khỏi một trong những chủ đề triết học sâu sắc nhất, đó là chủ đề về thi sĩ và thi ca. Alexander Sergeevich nhận ra rằng nhà thơ cô độc trong xã hội và thường có thể bị hiểu lầm, rằng sự ồn ào và tán dương của đám đông chỉ mang tính chu kỳ và hay thay đổi, nhất thời. Điều này rất rõ ràng trong một trong những bài thơ của ông:

Bài thơ! Không coi trọng tình người.

nhiệt tâm lời khen ngợi sẽ trôi qua tiếng ồn phút;

Một trong những tác phẩm về chủ đề này là "Tượng đài". Nghe có vẻ niềm tin rằng tác phẩm của nhà thơ là bất tử, nó sẽ còn mãi trong lòng người mến mộ, và rằng bản thân nhà thơ sẽ vẫn sống sau khi chết nhờ những sáng tạo của mình, được khẳng định bằng những dòng:

Không, tất cả tôi sẽ không chết - linh hồn ở trong cây đàn lia được ấp ủ

Tro cốt của tôi sẽ tồn tại và sự phân hủy sẽ biến mất ...

Lời bài hát của Alexander Sergeevich vĩ đại không mất đi sự liên quan trong những năm qua, bởi vì tác giả đã chạm đến những chủ đề quan trọng và cấp bách nhất ngay cả đối với thời đại của chúng ta, chủ đề vĩnh cửu, trong mỗi điều đó có một sự phát triển dần dần của những suy nghĩ, cảm xúc anh hùng trữ tình. Sự sáng tạo, lời bài hát của Pushkin đã phát triển cùng với anh ấy, với thế giới tinh thần của anh ấy, cái nhìn của anh ấy về mọi thứ xung quanh anh ấy.

Chuẩn bị hiệu quả cho kỳ thi (tất cả các môn học) -

Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ “không lắm. »
Và đối với những người “rất đồng đều. "")

Ở bài học trước, chúng ta đã tìm hiểu căn bậc hai là gì. Đã đến lúc tìm ra những gì là công thức cho rễ, là gì thuộc tính gốc và những gì có thể được thực hiện với tất cả.

Công thức gốc, thuộc tính gốc và quy tắc cho hành động với rễ về cơ bản là những thứ giống nhau. Công thức cho căn bậc haiít một cách đáng ngạc nhiên. Mà, tất nhiên, làm hài lòng! Thay vào đó, bạn có thể viết rất nhiều loại công thức, nhưng chỉ ba công thức là đủ để làm việc thực tế và tự tin với gốc rễ. Mọi thứ khác đều chảy ra từ ba thứ này. Mặc dù nhiều người đi lạc trong ba công thức của rễ, có.

Hãy bắt đầu với những gì đơn giản nhất. Cô ấy đây rồi:

Tôi nhắc bạn (từ bài học trước): a và b là các số không âm! Nếu không, công thức không có ý nghĩa.

Đây là tài sản của rễ , như bạn có thể thấy, đơn giản, ngắn gọn và vô hại. Nhưng với công thức gốc này, bạn có thể làm được rất nhiều điều hữu ích! Chúng ta hãy nhìn vào ví dụ tất cả những điều hữu ích.

Thứ hữu íchĐầu tiên. Công thức này cho phép chúng tôi nhân rộng rễ.

Làm thế nào để nhân ra rễ?

Vâng, rất đơn giản. Đi thẳng vào công thức. Ví dụ:

Có vẻ như chúng đã tăng lên gấp bội, vậy thì sao? Có nhiều niềm vui không? Tôi đồng ý, một chút. Nhưng làm thế nào để bạn thích điều này ví dụ?

Rễ không được chiết xuất chính xác từ các yếu tố. Và kết quả là tuyệt vời! Đã tốt hơn, phải không? Để đề phòng, tôi sẽ thông báo với bạn rằng có thể có bao nhiêu số nhân tùy thích. Công thức nhân gốc vẫn hoạt động. Ví dụ:

Vì vậy, với phép nhân, mọi thứ đều rõ ràng tại sao điều này là cần thiết tài sản của rễ- cũng là điều dễ hiểu.

Điều hữu ích thứ hai. Nhập một số dưới dấu của gốc.

Làm thế nào để nhập một số dưới gốc?

Giả sử chúng ta có biểu thức này:

Có thể ẩn deuce bên trong gốc? Một cách dễ dàng! Nếu bạn tạo ra một gốc từ hai, công thức nhân các rễ sẽ hoạt động. Và làm thế nào để tạo ra một gốc từ một deuce? Vâng, đó cũng không phải là một câu hỏi! Đôi là căn bậc hai của bốn!

Nhân tiện, gốc có thể được tạo từ bất kỳ số không âm nào! Đây sẽ là căn bậc hai của bình phương của số này. 3 là căn của 9. 8 là căn của 64. 11 là căn của 121. Chà, vân vân.

Tất nhiên, không cần thiết phải vẽ chi tiết như vậy. Ngoại trừ, cho những người mới bắt đầu. Đủ để nhận ra rằng bất kỳ số không âm nào nhân với gốc đều có thể được đưa về dưới gốc. Nhưng đừng quên! - dưới gốc con số này sẽ trở thành vuông bản thân anh ấy. Hành động này - nhập một số dưới căn - cũng có thể được gọi là nhân một số với căn. Nói chung, người ta có thể viết:

Quá trình này rất đơn giản, như bạn có thể thấy. Tại sao cô ấy lại cần?

Giống như bất kỳ chuyển đổi nào, quy trình này mở rộng khả năng của chúng tôi. Cơ hội để biến một biểu hiện tàn nhẫn và khó chịu thành một biểu hiện mềm mại và mịn màng). Đây là một cái đơn giản dành cho bạn ví dụ:

Bạn có thể thấy tài sản gốc,điều này làm cho nó có thể giới thiệu một thừa số dưới dấu hiệu của gốc, khá phù hợp để đơn giản hóa.

Ngoài ra, việc thêm một hệ số dưới gốc giúp so sánh các giá trị dễ dàng và đơn giản rễ khác nhau. Mà không cần bất kỳ tính toán và máy tính! Điều hữu ích thứ ba.

Làm thế nào để so sánh rễ?

Kỹ năng này rất quan trọng trong các nhiệm vụ vững chắc, khi mở khóa các mô-đun và những thứ hay ho khác.

So sánh các biểu thức này. Cái nào nhiều hơn? Không có máy tính! Mỗi người có một máy tính. uh-uh. Tóm lại, ai cũng có thể làm được!)

Bạn không nói như vậy ngay lập tức. Và nếu bạn nhập số dưới dấu của gốc?

Hãy nhớ (đột nhiên, không biết?): Nếu số dưới dấu của căn lớn hơn, thì chính nó là căn lớn hơn! Do đó câu trả lời chính xác ngay lập tức mà không cần bất kỳ phép tính và tính toán phức tạp nào:

Thật tuyệt vời đúng không? Nhưng đó không phải là tất cả! Nhớ lại rằng tất cả các công thức đều hoạt động từ trái sang phải và từ phải sang trái. Cho đến nay chúng ta vẫn sử dụng công thức nhân các gốc từ trái sang phải. Hãy chạy thuộc tính gốc này ngược lại, từ phải sang trái. Như thế này:

Và sự khác biệt là gì? Nó có cung cấp cho bạn một cái gì đó không !? Chắc chắn! Bây giờ bạn sẽ thấy cho chính mình.

Giả sử chúng ta cần trích xuất (mà không cần máy tính!) Căn bậc hai của số 6561. Một số người ở giai đoạn này sẽ rơi vào cuộc đấu tranh không cân sức với nhiệm vụ. Nhưng chúng tôi cứng đầu, chúng tôi không bỏ cuộc! Điều hữu ích thứ tư.

Làm thế nào để chiết rễ từ số lượng lớn?

Chúng tôi nhớ lại công thức chiết xuất rễ từ một sản phẩm. Một trong những tôi đã đăng ở trên. Nhưng công việc của chúng ta ở đâu? Chúng tôi có một con số khổng lồ 6561 và đó là nó. Vâng, không có nghệ thuật. Nhưng nếu cần, chúng tôi làm thôi! Hãy nhân số này. Chúng tôi có quyền.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm xem số này chia hết cho chính xác là gì? Cái gì, bạn không biết !? Bạn đã quên các dấu hiệu chia hết !? Vô ích. Đi đến Phần đặc biệt 555, chủ đề là "Phân số", chúng đây. Số này chia hết cho 3 và 9. Vì tổng các chữ số (6 + 5 + 6 + 1 = 18) chia hết cho các số này. Đây là một trong những dấu hiệu của phép chia hết. Chúng ta không cần chia cho ba (bây giờ bạn sẽ hiểu tại sao), nhưng chúng ta sẽ chia cho 9. Ít nhất là trong một góc. Chúng tôi nhận được 729. Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy hai yếu tố! Đầu tiên là chín (chúng tôi tự chọn), và thứ hai là 729 (hóa ra là như vậy). Bạn đã có thể viết:

Có được ý tưởng? Hãy làm tương tự với con số 729. Nó cũng chia hết cho 3 và 9. Một lần nữa, chúng ta không chia hết cho 3, chúng ta chia cho 9. Chúng ta nhận được 81. Và chúng ta biết số này! Chúng tôi viết ra:

Mọi thứ hóa ra dễ dàng và thanh lịch! Gốc phải được loại bỏ từng mảnh, tốt, không sao. Điều này có thể được thực hiện với bất kỳ những con số lớn. Nhân chúng lên và đi!

Nhân tiện, tại sao bạn không phải chia cho 3, bạn có đoán không? Có, bởi vì gốc của ba không được trích xuất chính xác! Nó là hợp lý để phân hủy thành các yếu tố mà ít nhất một gốc có thể được chiết xuất tốt. Đó là 4, 9, 16 tốt, v.v. Lần lượt chia con số khổng lồ của bạn cho những con số này, bạn thấy đấy, và bạn thật may mắn!

Nhưng không nhất thiết. Có lẽ không may mắn. Giả sử số 432, khi được tính theo thừa số và sử dụng công thức gốc của tích, sẽ cho kết quả sau:

Được rồi. Dù sao thì chúng tôi cũng đã đơn giản hóa biểu thức. Trong toán học, người ta thường bỏ đi nhiều nhất số nhỏ trong số có thể. Trong quá trình giải, mọi thứ phụ thuộc vào ví dụ (có thể mọi thứ được rút gọn mà không đơn giản hóa), nhưng trong đáp án cần đưa ra một kết quả không thể đơn giản hóa hơn nữa.

Nhân tiện, bạn có biết bây giờ chúng ta đã làm gì với root của 432 không?

chúng tôi lấy ra các yếu tố từ dưới dấu hiệu của gốc ! Đó là những gì hoạt động này được gọi là. Và sau đó nhiệm vụ sẽ rơi - " lấy yếu tố ra khỏi dấu hiệu của gốc"Nhưng những người đàn ông thậm chí không biết.) Đây là một công dụng khác dành cho bạn thuộc tính gốc.Điều hữu ích thứ năm.

Làm thế nào để lấy hệ số nhân ra khỏi gốc?

Một cách dễ dàng. Xác định nguyên tố của biểu thức rễ và trích xuất các rễ được chiết. Chúng ta nhìn:

Không có gì siêu nhiên. Điều quan trọng là phải chọn đúng số nhân. Ở đây chúng tôi đã phân rã 72 thành 36 2. Và mọi thứ diễn ra tốt đẹp. Hoặc họ có thể đã phân hủy nó theo cách khác: 72 = 6 12. Vậy thì sao!? Cả từ 6 và từ 12 đều không được giải nén. Làm gì ?!

Ổn mà. Hoặc tìm kiếm các tùy chọn phân hủy khác, hoặc tiếp tục sắp xếp mọi thứ đến điểm dừng! Như thế này:

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đều ổn. Nhân tiện, đây không phải là cách nhanh nhất, nhưng là cách đáng tin cậy nhất. Chia nhỏ số thành các thừa số nhỏ nhất, sau đó thu thập các số giống nhau thành đống. Phương pháp cũng được áp dụng thành công khi nhân giống rễ bất thụ. Ví dụ, bạn cần tính toán:

Nhân tất cả mọi thứ - bạn sẽ nhận được một con số điên rồ! Và sau đó làm thế nào để giải nén gốc từ nó ?! Nhân một lần nữa? Không, chúng tôi không cần làm thêm. Chúng tôi ngay lập tức phân tách thành các phần tử và thu thập các phần tử giống nhau thành từng đống:

Đó là tất cả. Tất nhiên, không nhất thiết phải đẻ ra điểm dừng. Mọi thứ đều do năng lực cá nhân của bạn quyết định. Đưa ví dụ về trạng thái mọi thứ đều rõ ràng với bạn vì vậy bạn đã có thể đếm. Điều chính là không phạm sai lầm. Không phải một người đàn ông cho toán học, mà toán học cho một người đàn ông!)

Hãy vận dụng kiến thức vào thực tế? Hãy bắt đầu với một cái đơn giản:

Quy tắc thêm căn bậc hai

Tính chất của căn bậc hai

Cho đến nay, chúng tôi đã thực hiện năm phép tính số học trên các số: cộng, trừ, phép nhân, phép chia và phép lũy thừa, và các thuộc tính khác nhau của các phép toán này được sử dụng tích cực trong các phép tính, ví dụ, a + b = b + a và n -b n = (ab) n, v.v.

Chương này giới thiệu một hoạt động mới - trích xuất căn bậc hai từ một số không âm. Để sử dụng thành công, bạn cần làm quen với các thuộc tính của thao tác này, chúng ta sẽ thực hiện trong phần này.

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu sau:
Chúng tôi cần chứng minh điều đó cho số âm x, y, z, x = yz.

Vậy x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Khi đó x 2 \ u003d y 2 z 2, tức là x 2 \ u003d (yz) 2.

Nếu một hình vuông hai số không âm bằng nhau thì bản thân các số đó cũng bằng nhau, có nghĩa là từ đẳng thức x 2 \ u003d (yz) 2 chuyển sang đẳng thức x \ u003d yz, và điều này cần được chứng minh.

Hãy mang ghi chú ngắn chứng minh định lý:

Nhận xét 1. Định lý vẫn có giá trị trong trường hợp khi biểu thức căn là tích của nhiều hơn hai thừa số không âm.

Nhận xét 2. Định lý 1 có thể được viết bằng cách sử dụng “nếu. , sau đó ”(theo thông lệ đối với các định lý trong toán học). Ta đưa ra công thức tương ứng: nếu a và b là các số không âm thì đẳng thức .

Đây là cách chúng ta xây dựng định lý sau.

(Một công thức ngắn gọn thuận tiện hơn để sử dụng trong thực tế: căn của phân số bằng một phân số từ gốc hay gốc thương bằng thương của gốc.)

Lần này chúng tôi sẽ chỉ đưa ra một bản ghi ngắn gọn về bằng chứng và bạn cố gắng đưa ra những nhận xét phù hợp, chủ đề tương tự, điều này hình thành nên bản chất của việc chứng minh Định lý 1.

Ví dụ 1. Tính.
Quyết định. Sử dụng thuộc tính đầu tiên căn bậc hai(Định lý 1), chúng ta thu được

Nhận xét 3. Tất nhiên, ví dụ này có thể được giải quyết theo cách khác, đặc biệt nếu bạn có máy tính trong tay: nhân các số 36, 64, 9, rồi lấy căn bậc hai của tích kết quả. Tuy nhiên, bạn sẽ đồng ý rằng giải pháp được đề xuất ở trên trông có vẻ văn hóa hơn.

Nhận xét 4. Trong phương pháp đầu tiên, chúng tôi thực hiện tính toán trực tiếp. Cách thứ hai thanh lịch hơn:
chúng tôi đã áp dụng công thức a 2 - b 2 \ u003d (a - b) (a + b) và sử dụng tính chất của căn bậc hai.

Nhận xét 5. Một số "hothead" đôi khi đưa ra "giải pháp" sau cho Ví dụ 3:

Tất nhiên, điều này không đúng: bạn thấy đấy - kết quả không giống như trong ví dụ của chúng tôi 3. Thực tế là không có thuộc tính như không và thuộc tính Chỉ có các tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia căn bậc hai. Cẩn thận và cẩn thận, đừng mơ mộng hão huyền.

Ví dụ 4. Tính: a)
Quyết định. Bất kỳ công thức nào trong đại số không chỉ được sử dụng "từ phải sang trái", mà còn được sử dụng "từ trái sang phải". Vì vậy, thuộc tính đầu tiên của căn bậc hai có nghĩa là, nếu cần, nó có thể được biểu diễn bằng, và ngược lại, có thể được thay thế bằng biểu thức Điều tương tự cũng áp dụng cho tính chất thứ hai của căn bậc hai. Với ý nghĩ này, hãy giải quyết ví dụ được đề xuất.

Kết luận phần này, chúng tôi lưu ý một điều nữa khá đơn giản và đồng thời tài sản quan trọng:
nếu a> 0 và n - số tự nhiên , sau đó

Ví dụ 5 Tính toán , mà không cần sử dụng bảng bình phương các số và máy tính bỏ túi.

Quyết định. Hãy phân rã số gốc thành thừa số nguyên tố:

Nhận xét 6. Ví dụ này có thể được giải theo cách tương tự như ví dụ tương tự trong § 15. Dễ dàng đoán rằng câu trả lời sẽ là “80 có đuôi”, vì 80 2 2. Hãy tìm "đuôi", tức là chữ số cuối cùng của số mong muốn. Cho đến nay, chúng ta biết rằng nếu gốc được trích xuất, thì câu trả lời có thể là 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 hoặc 89. Chỉ cần kiểm tra hai số: 84 và 86, vì chỉ chúng, khi bình phương, sẽ cho kết quả là bốn chữ số một số kết thúc bằng 6, tức là cùng một chữ số kết thúc bằng số 7056. Chúng ta có 84 2 \ u003d 7056 - đây là những gì chúng ta cần. Có nghĩa,

Mordkovich A. G., Đại số học. Lớp 8: Proc. cho giáo dục phổ thông các tổ chức. - Xuất bản lần thứ 3, đã hoàn thiện. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p: bệnh.

Tải sách, giáo trình toán, tóm tắt giúp giáo viên và học sinh, học trực tuyến

Nếu bạn có sửa chữa hoặc đề xuất cho bài học này Viết thư cho chúng tôi.

Nếu bạn muốn xem các cách sửa và gợi ý khác cho bài học, hãy xem tại đây - Diễn đàn Giáo dục.

Cách thêm căn bậc hai

Căn bậc hai của một số Xđược gọi là một số Một, trong quá trình tự nhân lên ( A * A) có thể đưa ra một con số X.
Những thứ kia. A * A = A 2 = X, và √X = A.

Trên căn bậc hai ( √x), cũng như các số khác, bạn có thể thực hiện các phép tính số học như phép trừ và phép cộng. Để trừ và cộng các gốc, chúng phải được nối với nhau bằng các dấu hiệu tương ứng với các hành động này (ví dụ: √x - √y ).
Và sau đó mang rễ cho chúng hình thức đơn giản nhất- Nếu giữa chúng có những cái giống nhau thì phải tiến hành bó bột. Nó bao gồm thực tế là hệ số của các số hạng tương tự được lấy dấu của các số hạng tương ứng, sau đó chúng được đặt trong dấu ngoặc và đầu ra gốc chung bên ngoài dấu ngoặc cấp số nhân. Hệ số mà chúng tôi đã thu được được đơn giản hóa theo các quy tắc thông thường.

Bước 1. Chiết các căn bậc hai

Đầu tiên, để thêm các căn bậc hai, trước tiên bạn cần phải nhổ các gốc này. Điều này có thể được thực hiện nếu các số dưới dấu căn là các hình vuông hoàn hảo. Ví dụ: lấy biểu thức đã cho √4 + √9 . Số đầu tiên 4 là bình phương của số 2 . Số thứ hai 9 là bình phương của số 3 . Do đó, có thể thu được đẳng thức sau: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Tất cả mọi thứ, ví dụ được giải quyết. Nhưng không phải lúc nào nó cũng diễn ra theo cách đó.

Bước 2. Lấy ra cấp số nhân của một số từ dưới gốc

Nếu một hình vuông đầy đủ không nằm dưới dấu căn, bạn có thể thử lấy ra nhân của số từ dưới dấu căn. Ví dụ, lấy biểu thức √24 + √54 .

Hãy phân tích các con số:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Trong danh sách 24 chúng tôi có một hệ số 4 , nó có thể được lấy ra từ dưới dấu căn bậc hai. Trong danh sách 54 chúng tôi có một hệ số 9 .

Chúng tôi nhận được sự bình đẳng:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Xét ví dụ này, chúng ta nhận được việc loại bỏ thừa số từ dưới dấu căn, do đó đơn giản hóa biểu thức đã cho.

Bước 3. Rút gọn mẫu số

Hãy xem xét tình huống sau: tổng của hai căn bậc hai là mẫu số của một phân số, chẳng hạn, A / (√a + √b).
Bây giờ chúng ta phải đối mặt với nhiệm vụ "loại bỏ sự bất hợp lý trong mẫu số."
Hãy sử dụng theo cách sau: nhân tử số và mẫu số của phân số với biểu thức √a - √b.

Bây giờ chúng ta nhận được công thức nhân viết tắt ở mẫu số:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Tương tự, nếu mẫu số chứa hiệu của các căn: √a - √b, tử số và mẫu số của phân số được nhân với biểu thức √a + √b.

Hãy lấy một phân số làm ví dụ:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Một ví dụ về giảm mẫu số phức

Bây giờ chúng ta hãy xem xét đủ ví dụ phức tạp loại bỏ tính bất hợp lý ở mẫu số.

Hãy lấy một phân số làm ví dụ: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Bạn cần lấy tử số và mẫu số của nó rồi nhân với biểu thức √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Bước 4. Tính giá trị gần đúng trên máy tính

Nếu bạn chỉ cần một giá trị gần đúng, điều này có thể được thực hiện trên máy tính bằng cách tính giá trị của căn bậc hai. Riêng biệt, đối với mỗi số, giá trị được tính toán và ghi lại với độ chính xác cần thiết, được xác định bằng số chữ số thập phân. Hơn nữa, tất cả các hoạt động cần thiết được thực hiện, như với các số thông thường.

Ví dụ tính toán ước tính

Cần tính giá trị gần đúng của biểu thức này √7 + √5 .

Kết quả là, chúng tôi nhận được:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Xin lưu ý: trong mọi trường hợp, bạn không nên thêm căn bậc hai, vì số nguyên tố, điều này là hoàn toàn không thể chấp nhận được. Nghĩa là, nếu bạn thêm căn bậc hai của năm và ba, chúng ta không thể nhận được căn bậc hai của tám.

Lời khuyên hữu ích: nếu bạn quyết định thừa số hóa một số, để tính bình phương từ dưới dấu căn, bạn cần thực hiện kiểm tra ngược lại, nghĩa là nhân tất cả các thừa số tạo ra từ các phép tính và kết quả cuối cùng của điều này phép tính toán học nên là con số mà chúng ta đã được đưa ra ban đầu.

Hành động với rễ: cộng và trừ

Rút ra căn bậc hai của một số không phải là phép toán duy nhất có thể thực hiện được với hiện tượng toán học này. Cũng giống như các số thông thường, căn bậc hai có thể được cộng và trừ.

Quy tắc cộng trừ căn bậc hai

Các hành động như cộng và trừ căn bậc hai chỉ có thể thực hiện được nếu biểu thức căn giống nhau.

Bạn có thể cộng hoặc trừ các biểu thức 2 3 và 6 3, nhưng không phải 5 6 và 9 4. Nếu có thể đơn giản hóa biểu thức và đưa nó về gốc với cùng một số căn, thì hãy đơn giản hóa, rồi cộng hoặc trừ.

Hành động gốc: Khái niệm cơ bản

6 50 — 2 8 + 5 12

Đơn giản hóa biểu thức gốc. Để làm điều này, cần phải phân tích biểu thức căn thành 2 thừa số, một trong số đó là số bình phương (số mà từ đó toàn bộ căn bậc hai được trích ra, chẳng hạn, 25 hoặc 9).
Sau đó, bạn cần giải nén gốc từ số bình phương và viết giá trị kết quả trước dấu gốc. Xin lưu ý rằng hệ số thứ hai được nhập dưới dấu gốc.
Sau quá trình đơn giản hóa, cần phải gạch dưới các gốc có cùng biểu thức căn - chỉ có thể cộng và trừ chúng.
Đối với các gốc có cùng biểu thức căn thì phải cộng hoặc trừ các thừa số đứng trước dấu căn. Biểu thức gốc không thay đổi. Không cộng hoặc trừ số gốc!

Nếu bạn có một ví dụ với số lượng lớn các biểu thức căn giống nhau thì gạch chân các biểu thức đó bằng các dòng đơn, dòng đôi, dòng ba để thuận tiện cho quá trình tính toán.

Hãy thử ví dụ này:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Đầu tiên bạn cần phân rã 50 thành 2 hệ số 25 và 2, sau đó lấy gốc của 25 là 5 và lấy 5 ra từ dưới gốc. Sau đó, bạn cần nhân 5 với 6 (số nhân ở gốc) và nhận được 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Đầu tiên, bạn cần phân chia 8 thành 2 thừa số: 4 và 2. Sau đó, từ 4, trích xuất gốc, bằng 2 và lấy 2 ra từ dưới gốc. Sau đó, bạn cần nhân 2 với 2 (thừa số ở gốc) và nhận được 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Đầu tiên, bạn cần phân tách 12 thành 2 hệ số: 4 và 3. Sau đó giải nén gốc từ 4, là 2, và lấy nó ra từ dưới gốc. Sau đó, bạn cần nhân 2 với 5 (thừa số ở gốc) và nhận được 10 3.

Kết quả đơn giản hóa: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Kết quả là, chúng tôi thấy có bao nhiêu biểu thức gốc giống hệt nhau được chứa trong ví dụ này. Bây giờ chúng ta hãy thực hành với các ví dụ khác.

Đơn giản hóa (45). Ta thừa số 45: (45) = (9 × 5);
Chúng tôi lấy ra 3 từ dưới gốc (9 \ u003d 3): 45 \ u003d 3 5;
Ta cộng các thừa số ở gốc: 3 5 + 4 5 = 7 5.
Đơn giản hóa 6 40. Chúng tôi phân tích nhân tử 40: 6 40 \ u003d 6 (4 × 10);
Chúng tôi lấy ra 2 từ dưới gốc (4 \ u003d 2): 6 40 \ u003d 6 (4 × 10) \ u003d (6 × 2) 10;
Chúng tôi nhân các thừa số đứng trước gốc: 12 10;
Ta viết biểu thức dưới dạng đơn giản: 12 10 - 3 10 + 5;
Vì hai số hạng đầu có cùng số căn nên ta có thể trừ chúng: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Như chúng ta thấy, không thể đơn giản hóa các số căn, vì vậy chúng ta tìm các phần tử có cùng số căn trong ví dụ, thực hiện các phép toán (cộng, trừ, v.v.) và viết kết quả:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Adviсe:

Trước khi cộng hoặc trừ, bắt buộc phải đơn giản hóa (nếu có thể) các biểu thức căn.
Việc cộng và trừ các gốc có các biểu thức gốc khác nhau bị nghiêm cấm.
Không cộng hoặc trừ một số nguyên hoặc căn bậc hai: 3 + (2 x) 1/2.
Khi thực hiện các phép toán với phân số, cần tìm một số chia hết cho mỗi mẫu số, sau đó đưa các phân số về mẫu số chung, sau đó cộng các tử số và giữ nguyên các mẫu số.

Tính chất của căn bậc hai số học. Lũy thừa của căn bậc hai số học

Chuyển đổi căn bậc hai số học. Chuyển đổi căn bậc hai số học

Để giải nen căn bậc hai của một đa thức, nó là cần thiết để tính đa thức và trích xuất căn từ số kết quả.

Chú ý! Không thể rút gốc từ mỗi số hạng (giảm và trừ) một cách riêng biệt.

Shchob để giành chiến thắng căn bậc hai của đa thức, yêu cầu đặt ra là tính số hạng giàu và từ số bị trừ lấy gốc.

Kính trọng! Không thể chiết xuất tận gốc từ chất bổ sung cho da (đã thay đổi và có thể nhìn thấy được) OKremo.

Để trích xuất căn bậc hai của tích (thương số), bạn có thể tính căn bậc hai của mỗi thừa số (số bị chia và số bị chia) và lấy các giá trị kết quả cho tích (thương số).

Để giành được căn bậc hai của dobutka (phần), bạn có thể tính căn bậc hai của hệ số da (chia và dilnik) và loại bỏ giá trị bằng cách lấy bổ sung (thường xuyên).

Để lấy căn bậc hai của một phân số, bạn cần trích xuất căn bậc hai của tử số và mẫu số một cách riêng biệt, đồng thời để các giá trị kết quả dưới dạng phân số hoặc tính toán dưới dạng thương số (nếu có thể theo điều kiện).

Để giành căn bậc hai của phân số, bắt buộc phải lấy căn bậc hai của sổ số và biểu ngữ của okremo, và lấy giá trị của phân số bằng một phân số, hoặc tính nó thành một phần (càng tốt cho tâm càng tốt).

Một thừa số có thể được lấy ra từ dưới dấu hiệu gốc và một yếu tố có thể được đưa vào dưới dấu hiệu gốc. Khi một yếu tố được lấy ra, gốc sẽ được trích xuất từ nó, và khi được đưa vào, nó sẽ được nâng lên thành lũy thừa tương ứng.

Dấu căn thứ 3 có thể được nhân và dấu căn có thể được nhân lên. Với lỗi của bộ nhân, rễ bị xoắn, và với sự giới thiệu, rễ được xây dựng ở các chân cao hơn.

Các ví dụ. Nộp đơn

Để chuyển đổi tổng (hiệu) của các căn bậc hai, bạn cần đưa các biểu thức căn về một cơ sở của độ, nếu có thể, hãy rút các căn từ độ và viết chúng trước dấu của căn, và các căn bậc hai còn lại với có thể thêm các biểu thức căn giống nhau, trong đó các hệ số được thêm vào trước dấu căn và thêm căn bậc hai giống nhau.

Để làm lại tổng (chi phí) của các căn bậc hai, cần đưa các căn bậc hai về một trong các cơ sở của bước, vì có thể lấy căn của các bước và viết chúng ra trước các dấu của các căn và lời giải của căn bậc hai với các từ giống nhau, mà tôi có thể tập hợp lại để làm gì tôi có thể thêm và thêm cùng một căn bậc hai.

Chúng tôi đưa tất cả các biểu thức cấp tiến về cơ số 2.

Từ độ chẵn, chân răng bị nhổ hết, từ độ lẻ, chân răng ở độ 1 để lại dưới dấu hiệu của chân răng.

Chúng tôi đưa ra các số nguyên tương tự và thêm các hệ số có cùng gốc. Ta viết nhị thức dưới dạng tích của một số và nhị thức của tổng.

Đưa tất cả các rễ phụ của virazi về gốc 2.

Từ giai đoạn ghép đôi, các rễ được vẽ thành dãy, từ giai đoạn không ghép đôi, các rễ của gốc ở giai đoạn 1 được lấp đầy dưới dấu hiệu của gốc.

Người ta cho rằng các số và hệ số tương tự được thêm vào các gốc giống nhau. Chúng ta viết nhị thức dưới dạng bổ sung của số i của nhị thức sumi.

Chúng ta đưa các biểu thức căn với cơ số nhỏ nhất hoặc tích lũy thừa với cơ số nhỏ nhất. Chúng tôi trích xuất căn từ bậc chẵn của biểu thức căn, để phần còn lại ở dạng cơ sở của một bậc với chỉ số 1 hoặc tích của các căn đó dưới dấu của căn. Chúng tôi đưa ra các số hạng tương tự (cộng các hệ số của cùng một gốc).

Chúng tôi dẫn gốc của virazi đến cơ sở nhỏ nhất hoặc bổ sung các bước với cơ sở nhỏ nhất. Từ các bước đôi dưới gốc của viraz, gốc được lấy, phần thừa ở gốc của bước với chỉ số 1 hoặc việc bổ sung các bazơ như vậy được điền vào dưới dấu hiệu của gốc. Chúng tôi đề xuất các thuật ngữ tương tự (chúng tôi cộng các hệ số của cùng một gốc).

Hãy thay phép chia phân số bằng phép nhân (với việc thay phân số thứ hai bằng nghịch đảo). Nhân các tử số và mẫu số riêng biệt. Dưới mỗi dấu hiệu của gốc, chúng tôi đánh dấu các độ. Hãy cắt cùng một số nhânở tử số và mẫu số. Chúng tôi chiết xuất gốc rễ từ quyền lực thậm chí.

Chúng ta thay thế phép chia phân số bằng một phép nhân (với việc thay thế một phân số khác bằng một phép trả về). Nhân số okremo và biểu ngữ của phân số. Các bước có thể nhìn thấy dưới dấu hiệu da của chân răng. Chúng tôi sẽ tăng tốc độ nhân giống nhau trong sổ số và biểu ngữ. Đổ lỗi cho gốc của đôi bước.

Để so sánh hai căn bậc hai, các biểu thức căn của chúng phải được đưa về một mức độ với cùng một cơ số, khi đó càng nhiều bậc của biểu thức căn càng được thể hiện, giá trị hơn căn bậc hai.

Trong ví dụ này, các biểu thức căn không thể được rút gọn thành một cơ số, vì cơ số là 3 trong cơ số đầu tiên và 3 và 7 trong cơ số thứ hai.

Cách thứ hai để so sánh là thêm hệ số gốc vào biểu thức gốc và so sánh Giá trị kiểu số các biểu thức gốc. Đối với căn bậc hai, biểu thức căn càng lớn thì giá trị của căn càng lớn.

Để so khớp hai căn bậc hai, các căn con của chúng phải được đưa về cấp cùng cơ sở, trong khi chỉ tiêu về độ của căn phụ của virut càng lớn thì giá trị của căn bậc hai càng lớn.

Trong trường hợp này, không thể đưa về một cơ sở là gốc rễ của virazi, vì trong cơ sở đầu tiên, cơ sở là 3, và trong cơ sở kia - 3 và 7.

Một cách khác để cân bằng là thêm hệ số gốc vào virase gốc và cân bằng các giá trị số của virase gốc. Căn bậc hai có nhiều viraz căn bậc con hơn thì giá trị của căn càng lớn.

Sử dụng định luật nhân chia có phân phối và quy tắc nhân các căn với cùng một số mũ (trong trường hợp của chúng ta là căn bậc hai), ta thu được tổng của hai căn bậc hai với tích dưới dấu căn. Chúng tôi phân tích 91 thành các thừa số nguyên tố và lấy gốc ra khỏi dấu ngoặc với các thừa số nguyên tố chung (13 * 5).

Ta đã thu được tích của một căn và một nhị thức, trong đó một trong các đơn thức là một số nguyên (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny luật nhân và quy tắc nhân các căn cùng chỉ số (trong trường hợp của chúng ta - căn bậc hai), lấy tổng của hai căn bậc hai với một căn phụ dưới dấu của căn. Chúng ta có thể đặt ra 91 cấp số nhân trong các thuật ngữ đơn giản và lấy gốc cho các vòm từ các cấp số nhân gốc (13 * 5).

Chúng tôi đã thêm một căn và một nhị phân, có một trong những đơn thức trong số nguyên (1).

Ví dụ 9:

Trong các biểu thức căn, chúng tôi chọn các số theo thừa số mà từ đó chúng tôi có thể trích xuất toàn bộ căn bậc hai. Chúng tôi trích xuất căn bậc hai từ lũy thừa và đặt các số bằng hệ số của căn bậc hai.

Các hạng tử của đa thức này có nhân tử chung là √3, có thể lấy ra khỏi dấu ngoặc. Hãy để chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự.

Trong các cụm từ căn bậc hai, nó được xem như là cấp số nhân của một số, từ đó người ta có thể lấy căn bậc hai. Chúng ta đổ lỗi cho căn bậc hai của các bước và đặt các số bằng hệ số của căn bậc hai.

Các số hạng của đa thức này có một cấp số nhân chung √3, có thể được đổ lỗi cho các nhánh. Chúng tôi đề nghị bổ sung tương tự.

Tích của tổng và hiệu của hai cùng một cơ sở(3 và √5) sử dụng công thức nhân rút gọn có thể được viết dưới dạng hiệu số bình phương của các cơ số.

Căn bậc hai bình phương luôn bằng biểu thức căn, vì vậy ta sẽ loại bỏ căn (dấu căn) trong biểu thức.

Dobutok tổng và hiệu của hai cơ số giống nhau (3 і √5) từ công thức nhân nhanh có thể được viết dưới dạng hiệu của các cơ số bình phương.

Căn bậc hai của zavzhd vuông bằng virase căn bậc hai, vì vậy chúng ta sẽ gọi là căn (dấu căn) của virase.

Trở lại trường. Bổ sung rễ

Ngày nay, điện tử hiện đại máy vi tính phép tính căn của một số không được biểu diễn nhiệm vụ đầy thử thách. Ví dụ: √2704 = 52, bất kỳ máy tính nào sẽ tính giá trị này cho bạn. May mắn thay, máy tính không chỉ có trong Windows mà còn trên điện thoại thông thường, thậm chí đơn giản nhất. Đúng vậy, nếu đột nhiên (với một mức độ xác suất nhỏ, tính toán trong đó, bao gồm cả phép cộng các gốc) bạn thấy mình không có tiền sẵn có, thì than ôi, bạn sẽ chỉ dựa vào bộ não của mình.

Rèn luyện tâm trí không bao giờ thất bại. Đặc biệt là đối với những người không làm việc với các con số thường xuyên, và thậm chí nhiều hơn nữa với rễ. Thêm và bớt rễ là một bài tập tốt cho tâm trí buồn chán. Và tôi sẽ chỉ cho bạn việc bổ sung rễ từng bước. Ví dụ về các biểu thức có thể như sau.

Phương trình cần được đơn giản hóa là:

Đây là một cách diễn đạt không hợp lý. Để đơn giản hóa nó, bạn cần giảm tất cả các biểu thức cấp tiến thành nhìn chung. Chúng tôi thực hiện theo từng giai đoạn:

Số đầu tiên không còn có thể được đơn giản hóa. Hãy chuyển sang thuật ngữ thứ hai.

3√48 ta thừa số thành 48: 48 = 2 × 24 hoặc 48 = 3 × 16. Căn bậc hai của 24 không phải là số nguyên, tức là có phần dư phân số. Vì chúng ta cần một giá trị chính xác, các gốc gần đúng không phù hợp với chúng ta. Căn bậc hai của 16 là 4, lấy nó ra từ dưới dấu căn. Ta nhận được: 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Biểu thức tiếp theo của chúng tôi là tiêu cực, tức là được viết bằng dấu trừ -4 × √ (27.) Tính thừa 27. Ta nhận được 27 = 3 × 9. Chúng tôi không sử dụng thừa số phân số, bởi vì nó khó khăn hơn để tính căn bậc hai từ phân số. Chúng tôi lấy ra 9 từ dưới dấu hiệu, tức là tính căn bậc hai. Chúng tôi nhận được biểu hiện sau: -4 × 3 × √3 = -12 × √3

Số hạng tiếp theo √128 tính phần có thể lấy ra từ dưới gốc. 128 = 64 × 2 trong đó √64 = 8. Nếu nó giúp bạn dễ dàng hơn, bạn có thể biểu diễn biểu thức này như sau: √128 = √ (8 ^ 2 × 2)

Chúng tôi viết lại biểu thức bằng các thuật ngữ đơn giản hóa:

Bây giờ chúng ta cộng các số có cùng biểu thức căn. Bạn không thể cộng hoặc trừ các biểu thức với các biểu thức căn khác nhau. Việc bổ sung rễ yêu cầu tuân thủ quy tắc này.

Chúng tôi nhận được câu trả lời sau:

√2 = 1 × √2 - Tôi hy vọng rằng thông lệ trong đại số, việc bỏ qua các yếu tố như vậy sẽ không phải là tin tức đối với bạn.

Biểu thức có thể được biểu diễn không chỉ bằng căn bậc hai mà còn có thể biểu diễn bằng căn bậc hai hoặc căn bậc n.

Phép cộng và phép trừ các căn với số mũ khác nhau, nhưng với biểu thức căn tương đương, xảy ra như sau:

Nếu chúng ta có một biểu thức như √a + ∛b + ∜b, thì chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức này như sau:

12√b4 + 12 × √b3 = 12 × √b4 + b3

Chúng tôi đã đưa hai thành viên như vậy đến chỉ số chung nguồn gốc. Tính chất của căn được sử dụng ở đây, có nghĩa là: nếu số bậc của biểu thức căn và số mũ của căn được nhân với cùng một số, thì phép tính của nó sẽ không thay đổi.

Lưu ý: số mũ chỉ được thêm vào khi nhân.

Hãy xem xét một ví dụ trong đó phân số có trong một biểu thức.

Hãy giải quyết nó từng bước:

5√8 = 5 * 2√2 - chúng tôi lấy phần đã trích ra từ dưới gốc.

Nếu phần thân của căn được biểu diễn bằng một phân số, thì thường phân số này sẽ không thay đổi nếu lấy căn bậc hai của số bị chia và số chia. Kết quả là, chúng tôi đã thu được sự bình đẳng được mô tả ở trên.

Đây là câu trả lời.

Điều chính cần nhớ là một gốc có số mũ chẵn không được trích xuất từ các số âm. Nếu một biểu thức căn bậc chẵn là âm, thì biểu thức đó không giải được.

Việc bổ sung các gốc chỉ có thể thực hiện được nếu các biểu thức gốc trùng nhau, vì chúng thích điều khoản. Điều tương tự cũng áp dụng cho sự khác biệt.

Việc cộng các căn với các số mũ số khác nhau được thực hiện bằng cách giảm cả hai số hạng đến một mức căn chung. Luật này hoạt động giống như quy luật rút gọn về một mẫu số chung khi cộng hoặc trừ các phân số.

Nếu biểu thức căn chứa một số được nâng lên thành lũy thừa, thì biểu thức này có thể được đơn giản hóa miễn là có một mẫu số chung giữa căn và số mũ.

Căn bậc hai của một tích và một phân số

Căn bậc hai của a là một số có bình phương là a. Ví dụ, các số -5 và 5 là căn bậc hai của số 25. Nghĩa là, căn của phương trình x ^ 2 = 25 là căn bậc hai của số 25. Bây giờ bạn cần học cách làm việc với phép toán căn bậc hai: nghiên cứu các tính chất cơ bản của nó.

Căn bậc hai của tích

√ (a * b) = √a * √b

Căn bậc hai của tích của hai số không âm, bằng với sản phẩm căn bậc hai của những số này. Ví dụ, √ (9 * 25) = √9 * √25 = 3 * 5 = 15;

Điều quan trọng là phải hiểu rằng thuộc tính này cũng áp dụng cho trường hợp khi biểu thức cấp tiến là tích của ba, bốn, v.v. số nhân không âm.

Đôi khi có một công thức khác của tài sản này. Nếu a và b là các số không âm thì đẳng thức sau: √ (a * b) = √a * √b. Hoàn toàn không có sự khác biệt giữa chúng, bạn có thể sử dụng từ này hoặc từ khác (cái nào thuận tiện hơn để nhớ).

Căn bậc hai của một phân số

Nếu a> = 0 và b> 0 thì đẳng thức sau là đúng:

√ (a / b) = √a / √b.

Ví dụ, √ (9/25) = √9 / √25 = 3/5;

Tính chất này cũng có một công thức khác, theo tôi, thuận tiện hơn để ghi nhớ.
Căn bậc hai của thương bằng thương của các căn.

Điều đáng chú ý là các công thức này hoạt động cả từ trái sang phải và từ phải sang trái. Nghĩa là, nếu cần, chúng ta có thể đại diện cho sản phẩm của rễ là gốc của sản phẩm. Tương tự đối với thuộc tính thứ hai.

Như bạn có thể thấy, các thuộc tính này rất thuận tiện và tôi muốn có các thuộc tính tương tự cho phép cộng và phép trừ:

√ (a + b) = √a + √b;

√ (a-b) = √a-√b;

Nhưng tiếc là các thuộc tính như vậy là hình vuông không có rễ, và vì thế không thể được thực hiện trong tính toán..

13. Lái xe qua nút giao thông 2018 với bình luận trực tuyến 13.1. Khi rẽ phải hoặc trái, người lái xe phải nhường đường cho người đi bộ và người đi xe đạp băng qua phần đường mà mình đang rẽ. Hướng dẫn này áp dụng cho tất cả […]
Họp phụ huynh“Quyền, bổn phận và trách nhiệm của cha mẹ” Trình bày bài giảng Tải phần trình bày (536,6 kB) Chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không đại diện cho tất cả […]
Khu vực vốn mẹở khu vực Orel Thủ đô hộ sản khu vực (MK) ở Orel và khu vực Oryol được thành lập vào năm 2011. Bây giờ nó là một biện pháp bổ sung của hỗ trợ xã hội. đại gia đình dưới dạng tiền mặt một lần […]
Số tiền trợ cấp một lần cho đăng ký sớm trong năm 2018 Không tìm thấy trang bạn yêu cầu. Có thể bạn đã nhập sai địa chỉ hoặc trang đã bị xóa. Sử dụng […]
Luật sư cho các vụ án kinh tế lĩnh vực kinh tế- đầy đủ khái niệm thể tích. Các hoạt động đó bao gồm gian lận, kinh doanh bất hợp pháp, rửa tiền, ngân hàng bất hợp pháp […]
Dịch vụ báo chí của Ngân hàng Trung ương Liên bang nga(Ngân hàng Trung ương Nga) Dịch vụ Báo chí 107016, Moscow, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Về việc bổ nhiệm một chính quyền lâm thời, Cục Đối ngoại và Công chúng của Ngân hàng Nga thông báo rằng, theo đoạn 2 […]
đặc điểm chung và Đánh giá ngắnđường thủy Phân loại các lưu vực nước Việc phân loại các lưu vực nước cho tàu thuyền du lịch (loại nhỏ) do GIMS của Nga giám sát, được thực hiện tùy thuộc vào […]
Kucherena = Luật sư của Viktor Tsoi Và đây là một trường hợp loại trừ: lá thư hôm nay của Anatoly Kucherena. Trong phần tiếp theo của chủ đề. Chưa có ai công bố bức thư này. Và nó nên, tôi nghĩ. Phần 1 cho bây giờ. Sắp tới tôi sẽ xuất bản phần hai, có chữ ký của luật sư nổi tiếng. Tại sao nó lại quan trọng? […]

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Do chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và liên lạc quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

Nếu cần - theo quy định của pháp luật, lệnh tư pháp, trong quá trình tố tụng pháp lý và / hoặc dựa trên các yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ của Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Xin chào mèo! TẠI lần cuối cùng chúng tôi đã phân tích chi tiết gốc rễ là gì (nếu bạn không nhớ, tôi khuyên bạn nên đọc). Kết luận chính của bài học đó: chỉ có một định nghĩa phổ quát rễ, mà bạn cần biết. Phần còn lại là vô nghĩa và lãng phí thời gian.

Hôm nay chúng ta đi xa hơn. Chúng ta sẽ học cách nhân các gốc, chúng ta sẽ nghiên cứu một số bài toán liên quan đến phép nhân (nếu những bài toán này không được giải quyết thì chúng có thể trở thành điểm chết trong kỳ thi) và chúng ta sẽ luyện tập đúng cách. Vì vậy, hãy tích trữ bỏng ngô, làm cho bản thân thoải mái - và chúng ta sẽ bắt đầu. :)

Bạn chưa hút thuốc phải không?

Bài học hóa ra là khá lớn, vì vậy tôi chia nó thành hai phần:

Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét các quy tắc cho phép nhân. Cái mũ dường như đang ám chỉ: đây là khi có hai gốc, có một dấu hiệu "nhân" giữa chúng - và chúng tôi muốn làm điều gì đó với nó.
Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích tình huống ngược lại: có một gốc lớn, và chúng tôi đã thiếu kiên nhẫn để trình bày nó như là một sản phẩm của hai gốc theo một cách đơn giản hơn. Với những gì đáng sợ nó là cần thiết là một câu hỏi riêng biệt. Chúng tôi sẽ chỉ phân tích thuật toán.

Đối với những người không thể chờ đợi để nhảy ngay vào Phần 2, bạn được chào đón. Hãy bắt đầu với phần còn lại theo thứ tự.

Quy tắc nhân cơ bản

Hãy bắt đầu với đơn giản nhất - căn bậc hai cổ điển. Những cái được ký hiệu là $ \ sqrt (a) $ và $ \ sqrt (b) $. Đối với họ, mọi thứ nói chung là rõ ràng:

quy tắc nhân. Để nhân một căn bậc hai với một căn khác, bạn chỉ cần nhân các biểu thức căn của chúng và viết kết quả dưới căn chung:

\ [\ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (b) = \ sqrt (a \ cdot b) \]

Không có hạn chế bổ sung nào được áp đặt đối với các số ở bên phải hoặc bên trái: nếu tồn tại các gốc cấp số nhân, thì sản phẩm cũng tồn tại.

Các ví dụ. Hãy xem xét bốn ví dụ với các số cùng một lúc:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27 )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ end (căn chỉnh) \]

Như bạn có thể thấy, ý nghĩa chính của quy tắc này là đơn giản hóa các biểu thức không hợp lý. Và nếu trong ví dụ đầu tiên, chúng ta đã trích xuất các gốc từ 25 và 4 mà không có bất kỳ quy tắc mới nào, thì tin bắt đầu: $ \ sqrt (32) $ và $ \ sqrt (2) $ không tự tính, nhưng tích của chúng trở thành một bình phương chính xác, vì vậy căn của nó bằng một số hữu tỉ.

Riêng tôi, tôi muốn lưu ý dòng cuối cùng. Ở đó, cả hai biểu thức căn đều là phân số. Nhờ tích, nhiều thừa số bị loại bỏ, và toàn bộ biểu thức biến thành một số thích hợp.

Tất nhiên, không phải mọi thứ sẽ luôn đẹp như vậy. Đôi khi sẽ có những thứ hoàn toàn tào lao dưới gốc rễ - không rõ phải làm gì với nó và làm thế nào để biến đổi sau khi nhân. Một lúc sau, khi bạn bắt đầu học phương trình vô tỉ và bất đẳng thức, nói chung sẽ có tất cả các loại biến và hàm. Và rất thường xuyên, các trình biên dịch của các vấn đề chỉ dựa vào thực tế là bạn sẽ tìm thấy một số điều khoản hoặc yếu tố hợp đồng, sau đó nhiệm vụ sẽ được đơn giản hóa rất nhiều.

Ngoài ra, không cần thiết phải nhân chính xác hai gốc. Bạn có thể nhân ba cùng một lúc, bốn - có thậm chí là mười! Điều này sẽ không thay đổi quy tắc. Hãy xem:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0,001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0,001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ end (căn chỉnh) \]

Và một lần nữa một nhận xét nhỏ về ví dụ thứ hai. Như bạn có thể thấy, trong cấp số nhân thứ ba, có một phân số thập phân dưới gốc - trong quá trình tính toán, chúng tôi thay thế nó bằng một số thông thường, sau đó mọi thứ dễ dàng giảm bớt. Vì vậy: Tôi thực sự khuyên bạn nên loại bỏ các phân số thập phân trong bất kỳ biểu thức không hợp lý(nghĩa là chứa ít nhất một biểu tượng cấp tiến). Điều này sẽ giúp bạn tiết kiệm rất nhiều thời gian và thần kinh trong tương lai.

Nhưng nó đã được lạc đề trữ tình. Bây giờ hãy xem xét thêm trường hợp chung- khi chỉ mục gốc chứa một số tùy ý $ n $, và không chỉ là hai "cổ điển".

Trường hợp của một chỉ báo tùy ý

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra căn bậc hai. Và làm gì với hình khối? Hay nói chung với căn bậc $ n $ tùy ý? Vâng, mọi thứ vẫn như cũ. Quy tắc vẫn như cũ:

Để nhân hai căn bậc $ n $, chỉ cần nhân các biểu thức căn của chúng, sau đó kết quả được viết dưới một căn.

Nói chung, không có gì phức tạp. Trừ khi khối lượng tính toán có thể nhiều hơn. Hãy xem một vài ví dụ:

Các ví dụ. Tính toán sản phẩm:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = Số 5; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0,16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac ((4) ^ (3))) (((25) ^ (3) )))) = \ sqrt (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ end (căn chỉnh) \]

Và một lần nữa chú ý đến biểu thức thứ hai. Chúng tôi nhân rễ hình khối, thoát khỏi phần thập phân và kết quả là chúng tôi nhận được tích của các số 625 và 25 ở mẫu số. Điều này khá con số lớn- Cá nhân tôi không coi nó là gì ngay lập tức.

Do đó, chúng tôi chỉ cần chọn khối lập phương chính xác ở tử số và mẫu số, sau đó sử dụng một trong các thuộc tính chính(hoặc, nếu bạn thích, định nghĩa) của gốc của độ $ n $ -th:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ left | a \ right |. \\ \ end (căn chỉnh) \]

Những "trò gian lận" như vậy có thể giúp bạn tiết kiệm rất nhiều thời gian trong kỳ thi hoặc Công việc kiểm soát vì vậy hãy nhớ:

Đừng vội nhân các số trong biểu thức căn. Đầu tiên, hãy kiểm tra: điều gì sẽ xảy ra nếu mức độ chính xác của bất kỳ biểu thức nào được “mã hóa” ở đó?

Với tất cả những gì hiển nhiên của nhận xét này, tôi phải thừa nhận rằng hầu hết các sinh viên không chuẩn bị đều đánh dấu vào điểm trống không nhìn thấy bằng cấp chính xác. Thay vào đó, họ nhân mọi thứ lên phía trước, và sau đó tự hỏi: tại sao họ lại nhận được những con số tàn bạo như vậy? :)

Tuy nhiên, tất cả những điều này chỉ là trò chơi của trẻ con so với những gì chúng ta sẽ nghiên cứu bây giờ.

Nhân các gốc với các số mũ khác nhau

Bây giờ chúng ta có thể nhân các gốc với cùng số mũ. Nếu điểm số khác nhau thì sao? Giả sử, làm thế nào để bạn nhân một $ \ sqrt (2) $ bình thường với một số thứ nhảm nhí như $ \ sqrt (23) $? Nó thậm chí có thể làm điều này?

Vâng, tất nhiên bạn có thể. Mọi thứ được thực hiện theo công thức này:

Quy tắc nhân rễ. Để nhân $ \ sqrt [n] (a) $ với $ \ sqrt [p] (b) $, chỉ cần thực hiện phép biến đổi sau:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Tuy nhiên, công thức này chỉ hoạt động nếu biểu thức cấp tiến là không âm. Cái này rất lưu ý quan trọng, mà chúng tôi sẽ trở lại sau một chút.

Bây giờ, hãy xem xét một vài ví dụ:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625). \\ \ end (căn chỉnh) \]

Như bạn thấy, không có gì phức tạp. Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem yêu cầu không tiêu cực đến từ đâu và điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta vi phạm. :)

Rất dễ để nhân ra rễ.

Tại sao các biểu thức căn phải là không âm?

Tất nhiên, bạn có thể giống như giáo viên trường học và trích dẫn một cách khéo léo trong sách giáo khoa:

Yêu cầu không tiêu cực liên quan đến các định nghĩa khác nhau căn bậc chẵn và bậc lẻ (tương ứng, miền xác định của chúng cũng khác nhau).

Chà, nó đã trở nên rõ ràng hơn? Cá nhân tôi, khi tôi đọc điều vô nghĩa này vào năm lớp 8, tôi tự hiểu một điều như thế này: “Yêu cầu không tiêu cực được kết nối với * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%” - tóm lại, tôi lúc đó chả hiểu gì cả. :)

Vì vậy, bây giờ tôi sẽ giải thích mọi thứ theo cách bình thường.

Đầu tiên, chúng ta cùng tìm hiểu xem công thức nhân trên xuất phát từ đâu. Để làm điều này, hãy để tôi nhắc bạn về một thuộc tính quan trọng của root:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

Nói cách khác, chúng ta có thể nâng cao biểu thức cấp tiến một cách an toàn lên bất kỳ mức độ tự nhiên$ k $ - trong trường hợp này, chỉ số gốc sẽ phải được nhân với cùng một mức độ. Do đó, chúng tôi có thể dễ dàng giảm bất kỳ gốc nào thành một chỉ số chung, sau đó chúng tôi nhân lên. Đây là nơi xuất phát công thức nhân:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Nhưng có một vấn đề hạn chế nghiêm trọng việc áp dụng tất cả các công thức này. Hãy xem xét con số này:

Theo công thức vừa đưa ra, chúng ta có thể thêm bất kỳ mức độ nào. Hãy thử thêm $ k = 2 $:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ left (-5 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

Chúng tôi đã loại bỏ điểm trừ chính xác vì hình vuông đốt cháy điểm trừ (giống như bất kỳ độ chẵn nào khác). Và bây giờ chúng ta hãy thực hiện biến đổi nghịch đảo: "giảm" deuce trong số mũ và độ. Rốt cuộc, bất kỳ đẳng thức nào cũng có thể được đọc từ trái sang phải và từ phải sang trái:

\ [\ begin (align) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Rightarrow \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ](một); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Rightarrow \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5). \\ \ end (căn chỉnh) \]

Nhưng rồi điều gì đó điên rồ xảy ra:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]

Điều này không thể xảy ra vì $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ và $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. Vì vậy đối với quyền hạn thậm chí và số âm, công thức của chúng tôi không còn hoạt động. Sau đó, chúng tôi có hai lựa chọn:

Chống lại bức tường để tuyên bố rằng toán học là một môn khoa học ngu ngốc, nơi “có một số quy tắc, nhưng điều này là không chính xác”;
đi vào hạn chế bổ sung, tại đó công thức sẽ hoạt động 100%.

Trong lựa chọn đầu tiên, chúng ta sẽ phải liên tục bắt các trường hợp “không hoạt động” - điều này khó, dài và nói chung là fu. Do đó, các nhà toán học ưu tiên lựa chọn thứ hai. :)

Nhưng đừng lo lắng! Trong thực tế, hạn chế này không ảnh hưởng đến các phép tính theo bất kỳ cách nào, bởi vì tất cả các bài toán được mô tả chỉ liên quan đến các gốc ở mức độ lẻ, và các giá trị min có thể được lấy ra từ chúng.

Do đó, chúng tôi xây dựng một quy tắc khác áp dụng chung cho tất cả các hành động có gốc:

Trước khi nhân các gốc, hãy đảm bảo rằng các biểu thức căn là không âm.

Ví dụ. Trong số $ \ sqrt (-5) $, bạn có thể lấy dấu trừ dưới dấu gốc - sau đó mọi thứ sẽ ổn:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Rightarrow \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt ((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (align) \]

Cảm nhận sự khác biệt? Nếu bạn để một dấu trừ dưới gốc, thì khi biểu thức căn được bình phương, nó sẽ biến mất và chuyện tào lao sẽ bắt đầu. Và nếu lần đầu tiên bạn lấy ra một số trừ, thì bạn thậm chí có thể nâng / xóa một hình vuông cho đến khi bạn có mặt màu xanh lam - con số sẽ vẫn là số âm. :)

Vì vậy, cách chính xác nhất và đáng tin cậy nhất để nhân ra rễ là như sau:

Loại bỏ tất cả các điểm tối thiểu từ bên dưới các gốc. Số trừ chỉ có trong các gốc của đa bội lẻ - chúng có thể được đặt trước gốc và, nếu cần, giảm bớt (ví dụ: nếu có hai trong số các số lẻ này).
Thực hiện phép nhân theo quy tắc đã phân tích ở trên trong bài học hôm nay. Nếu các chỉ số của các gốc giống nhau, chỉ cần nhân các biểu thức gốc. Và nếu chúng khác nhau, chúng tôi sử dụng công thức ác \ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \].
3. Chúng tôi tận hưởng kết quả và điểm số tốt. :)

Tốt? Chúng ta sẽ tập luyện chứ?

Ví dụ 1. Đơn giản hóa biểu thức:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ left (- \ sqrt (\ frac (4) (3 )) \ right) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ sqrt (64) = - 4; \ end (căn chỉnh) \]

Đây là phương án đơn giản nhất: các chỉ số của các gốc giống nhau và lẻ, vấn đề chỉ nằm ở phép trừ của cấp số nhân thứ hai. Chúng tôi chịu đựng điều này, sau đó mọi thứ dễ dàng được xem xét.

Ví dụ 2. Đơn giản hóa biểu thức:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ left (((2) ^ (5)) \ right)) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((2) ^ (2)) \ right)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( căn chỉnh)\]

Ở đây, nhiều người sẽ bối rối bởi kết quả đầu ra số vô tỉ. Có, nó xảy ra: chúng tôi không thể loại bỏ hoàn toàn phần gốc, nhưng ít nhất chúng tôi đã đơn giản hóa đáng kể biểu thức.

Ví dụ 3. Đơn giản hóa biểu thức:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left ((( a) ^ (4)) \ right)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]

Đây là những gì tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn. Có hai điểm ở đây:

Dưới gốc là không con số cụ thể hoặc độ, và biến là $ a $. Thoạt nhìn, điều này hơi bất thường, nhưng thực tế, khi giải quyết Bài toán hầu hết bạn sẽ phải đối phó với các biến.
Cuối cùng, chúng tôi đã tìm cách "giảm" số mũ căn và bậc trong biểu thức căn. Điều này xảy ra khá thường xuyên. Và điều này có nghĩa là có thể đơn giản hóa đáng kể các phép tính nếu bạn không sử dụng công thức chính.

Ví dụ, bạn có thể làm điều này:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a) ^ ( 4)) \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ end (căn chỉnh) \]

Trên thực tế, tất cả các phép biến đổi chỉ được thực hiện với căn thứ hai. Và nếu bạn không vẽ chi tiết tất cả các bước trung gian, thì cuối cùng lượng tính toán sẽ giảm đi đáng kể.

Trên thực tế, chúng ta đã gặp một tác vụ tương tự ở trên khi giải ví dụ $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $. Bây giờ nó có thể được viết dễ dàng hơn nhiều:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ left (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ right)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ left (75 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (75). \ end (căn chỉnh) \]

Chà, chúng tôi đã tìm ra sự nhân lên của rễ. Bây giờ hãy xem xét hoạt động nghịch đảo: phải làm gì khi có một công việc dưới gốc?