Làm thế nào để chứng minh rằng giới hạn tồn tại. Định nghĩa phổ quát về giới hạn của một hàm theo độ lợi và độ coch

Giới hạn chức năng- con số một sẽ là giới hạn của một số giá trị biến nếu trong quá trình thay đổi của nó, biến này tiếp cận vô thời hạn một.

Hay nói cách khác, số Một là giới hạn của hàm y = f (x) tại điểm x0, nếu với bất kỳ chuỗi điểm nào từ miền xác định của hàm, không bằng x0 và hội tụ đến điểm x 0 (lim x n = x0), dãy giá trị tương ứng của hàm hội tụ về số Một.

Đồ thị của một hàm có giới hạn với đối số có xu hướng đến vô cùng là L:

Nghĩa NHƯNG là một giới hạn (giá trị giới hạn) của hàm f (x) tại điểm x0 nếu đối với bất kỳ chuỗi điểm nào , hội tụ với x0, nhưng không chứa x0 như một trong những yếu tố của nó (tức là trong vùng lân cận bị thủng x0), chuỗi các giá trị hàm hội tụ với Một.

Giới hạn của một hàm theo Cauchy.

Nghĩa Một sẽ là giới hạn chức năng f (x) tại điểm x0 nếu đối với bất kỳ số không âm được thực hiện chuyển tiếp ε một số tương ứng không âm sẽ được tìm thấy δ = δ(ε) sao cho mỗi đối số x, thỏa mãn điều kiện 0 < | x - x0 | < δ , sự bất bình đẳng | f (x) A |< ε .

Sẽ rất đơn giản nếu bạn hiểu bản chất của giới hạn và các quy tắc cơ bản để tìm ra nó. Đó là giới hạn của chức năng f (x) tại x khao khát một bằng Một, được viết như thế này:

Hơn nữa, giá trị mà biến có xu hướng x, có thể không chỉ là một số, mà còn có thể là vô cùng (∞), đôi khi là + ∞ hoặc -∞, hoặc có thể không có giới hạn nào cả.

Để hiểu làm thế nào tìm giới hạn của một hàm, tốt nhất là xem các ví dụ về giải pháp.

Chúng ta cần tìm các giới hạn của hàm f (x) = 1 /x tại:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Hãy cùng tìm lời giải của giới hạn thứ nhất. Để làm điều này, bạn chỉ cần thay thế x con số mà nó mong muốn, tức là 2, chúng tôi nhận được:

Tìm giới hạn thứ hai của hàm số. Ở đây, thay thế ở dạng thuần túy 0 thay vì x nó là không thể, bởi vì không thể chia hết cho 0. Nhưng chúng ta có thể lấy các giá trị gần bằng 0, ví dụ, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001, v.v., với giá trị của hàm f (x) sẽ tăng: 100; 1000; 10000; 100000 và như vậy. Như vậy, có thể hiểu rằng khi x→ 0 giá trị của hàm dưới dấu giới hạn sẽ tăng vô hạn, tức là phấn đấu đến vô cùng. Nghĩa là:

Về giới hạn thứ ba. Tình huống tương tự như trường hợp trước, không thể thay thế được ∞ ở dạng tinh khiết nhất của nó. Chúng ta cần xem xét trường hợp tăng không giới hạn x. Chúng tôi thay thế luân phiên 1000; 10000; 100000, v.v., chúng ta có giá trị của hàm f (x) = 1 /x sẽ giảm: 0,001; 0,0001; 0,00001; và như vậy, có xu hướng bằng không. Cho nên:

Cần tính giới hạn của hàm

Bắt đầu giải quyết ví dụ thứ hai, chúng ta thấy sự không chắc chắn. Từ đây, chúng tôi tìm thấy mức độ cao nhất của tử số và mẫu số - đây là x 3, chúng tôi lấy nó ra khỏi dấu ngoặc ở tử số và mẫu số, sau đó giảm nó đi:

Trả lời

Bước đầu tiên trong tìm giới hạn này, thay thế giá trị 1 thay vì x, dẫn đến sự không chắc chắn. Để giải quyết nó, chúng ta chia tử số thành thừa số, chúng ta sẽ làm điều này bằng cách tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai x 2 + 2x - 3:

D \ u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \ u003d 4 +12 \ u003d 16→ √ D =√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \ u003d -3;x2= 1.

Vì vậy, tử số sẽ là:

Trả lời

Đây là định nghĩa về giá trị cụ thể của nó hoặc một khu vực cụ thể nơi hàm giảm, bị giới hạn bởi giới hạn.

Để quyết định các giới hạn, hãy làm theo các quy tắc:

Đã hiểu rõ bản chất và chính giới hạn các quy tắc quyết định, bạn sẽ hiểu cơ bản về cách giải quyết chúng.

(x) tại điểm x 0 :
,
nếu
1) có một vùng lân cận bị thủng của điểm x 0
2) cho bất kỳ trình tự nào (x n), hội tụ thành x 0 :
, có các phần tử thuộc về vùng lân cận,
hệ con (f (xn)) hội tụ thành:
.

Đây x 0 và a có thể là số hữu hạn hoặc điểm ở vô cùng. Vùng lân cận có thể là hai mặt hoặc một mặt.

.

Định nghĩa thứ hai về giới hạn của hàm (theo Cauchy)

Số a được gọi là giới hạn của hàm f (x) tại điểm x 0 :
,
nếu
1) có một vùng lân cận bị thủng của điểm x 0 trên đó chức năng được xác định;
2) với bất kỳ số dương nào ε > 0 tồn tại một số δ ε > 0 , tùy thuộc vào ε, điều đó với mọi x thuộc vùng lân cận δ ε bị thủng của điểm x 0 :
,
giá trị hàm f (x) thuộc ε - các vùng lân cận của điểm a:
.

điểm x 0 và a có thể là số hữu hạn hoặc điểm ở vô cùng. Khu vực lân cận cũng có thể là cả hai mặt và một mặt.

Chúng tôi viết định nghĩa này bằng cách sử dụng các ký hiệu logic của sự tồn tại và tính phổ quát:
.

Định nghĩa này sử dụng các vùng lân cận có các đầu mút cách đều nhau. Một định nghĩa tương đương cũng có thể được đưa ra bằng cách sử dụng các điểm lân cận tùy ý.

Định nghĩa bằng cách sử dụng các vùng lân cận tùy ý
Số a được gọi là giới hạn của hàm f (x) tại điểm x 0 :
,
nếu
1) có một vùng lân cận bị thủng của điểm x 0 trên đó chức năng được xác định;
2) cho bất kỳ vùng lân cận nào U (một)điểm a có một vùng lân cận bị thủng của điểm x 0 , điều đó với mọi x thuộc vùng lân cận bị thủng của điểm x 0 :
,
giá trị hàm f (x) thuộc khu phố U (một)điểm a:
.

Sử dụng các ký hiệu lôgic của sự tồn tại và tính phổ quát, định nghĩa này có thể được viết như sau:
.

Giới hạn đơn phương và song phương

Các định nghĩa trên là phổ biến theo nghĩa là chúng có thể được sử dụng cho bất kỳ loại vùng lân cận nào. Nếu, khi chúng ta sử dụng vùng lân cận bị chọc thủng bên trái của điểm cuối, thì chúng ta nhận được định nghĩa của giới hạn thuận tay trái. Nếu chúng ta sử dụng vùng lân cận của một điểm ở vô cùng như một vùng lân cận, thì chúng ta nhận được định nghĩa của giới hạn ở vô cùng.

Để xác định giới hạn Heine, điều này chỉ dẫn đến thực tế là một giới hạn bổ sung được áp đặt trên một chuỗi tùy ý hội tụ đến, rằng các phần tử của nó phải thuộc vùng lân cận bị thủng tương ứng của điểm.

Để xác định giới hạn Cauchy, trong mỗi trường hợp cần phải biến đổi các biểu thức và thành các bất đẳng thức, sử dụng các định nghĩa tương ứng về lân cận của một điểm.
Xem "Vùng lân cận của một điểm".

Xác định rằng điểm a không phải là giới hạn của hàm số

Thường thì cần sử dụng điều kiện rằng điểm a không phải là giới hạn của hàm đối với. Hãy để chúng tôi xây dựng phủ định cho các định nghĩa trên. Trong chúng, chúng ta giả sử rằng hàm f (x)được xác định trên một số vùng lân cận bị thủng của điểm x 0 . Điểm a và x 0 có thể là số hữu hạn và xa vô hạn. Mọi thứ được nêu dưới đây áp dụng cho cả giới hạn song phương và một phía.

Theo Heine.
Số a không phải giới hạn của hàm f (x) tại điểm x 0 : ,
nếu có một trình tự như vậy (x n), hội tụ thành x 0 :
,
có các phần tử thuộc về vùng lân cận,
trình tự nào (f (xn)) không hội tụ thành:
.
.

Theo Cauchy.
Số a không phải giới hạn của hàm f (x) tại điểm x 0 :
,
nếu có một số dương như vậy ε > 0 , vì vậy với bất kỳ số dương nào δ > 0 , tồn tại x thuộc vùng lân cận δ bị thủng của điểm x 0 :
,
rằng giá trị của hàm f (x) không thuộc vùng lân cận ε của điểm a:
.
.

Tất nhiên, nếu điểm a không phải là giới hạn của hàm tại, thì điều này không có nghĩa là nó không thể có giới hạn. Có lẽ là có giới hạn, nhưng là không bằng a. Cũng có thể hàm được xác định trong vùng lân cận bị thủng của điểm, nhưng không có giới hạn tại.

Hàm số f (x) = sin (1 / x) không có giới hạn là x → 0.

Ví dụ, hàm được xác định tại, nhưng không có giới hạn. Để chứng minh, chúng tôi lấy trình tự. Nó hội tụ về một điểm 0 :. Bởi vì lúc đó .
Hãy thực hiện một trình tự. Nó cũng hội tụ đến điểm 0 :. Nhưng kể từ đó.
Khi đó giới hạn không thể bằng bất kỳ số nào a. Thật vậy, đối với, có một trình tự với. Do đó, bất kỳ số nào khác không đều không phải là giới hạn. Nhưng nó cũng không phải là một giới hạn, vì nó có một trình tự.

Sự tương đương của các định nghĩa về giới hạn theo Heine và theo Cauchy

Định lý
Định nghĩa Heine và Cauchy về giới hạn của một hàm là tương đương.

Bằng chứng

Trong chứng minh, chúng tôi giả định rằng hàm được xác định trong một số vùng lân cận bị thủng của điểm (hữu hạn hoặc ở vô cùng). Điểm a cũng có thể là hữu hạn hoặc ở vô cùng.

Chứng minh Heine ⇒ Cauchy

Cho hàm số có giới hạn a tại một điểm theo định nghĩa thứ nhất (theo Heine). Đó là, đối với bất kỳ chuỗi nào thuộc vùng lân cận của một điểm và có giới hạn
(1) ,
giới hạn của dãy là:
(2) .

Hãy chứng minh rằng hàm có giới hạn Cauchy tại một điểm. Đó là, cho bất kỳ tồn tại, cho tất cả.

Hãy giả sử ngược lại. Cho các điều kiện (1) và (2) thỏa mãn, nhưng hàm số không có giới hạn Cauchy. Có nghĩa là, tồn tại như vậy đối với bất kỳ tồn tại nào, do đó
.

Lấy, với n là số tự nhiên. Sau đó tồn tại và
.
Như vậy chúng ta đã xây dựng một dãy hội tụ đến, nhưng giới hạn của dãy không bằng a. Điều này mâu thuẫn với điều kiện của định lý.

Phần đầu tiên được chứng minh.

Chứng minh Cauchy ⇒ Heine

Cho hàm số có giới hạn a tại một điểm theo định nghĩa thứ hai (theo Cauchy). Đó là, đối với bất kỳ tồn tại nào
(3) cho tất cả .

Hãy chứng minh rằng hàm có giới hạn a tại một điểm theo Heine.
Hãy lấy một số tùy ý. Theo định nghĩa của Cauchy, tồn tại một số nên (3) giữ nguyên.

Lấy một dãy tùy ý thuộc vùng lân cận bị thủng và hội tụ đến. Theo định nghĩa của một chuỗi hội tụ, đối với bất kỳ chuỗi nào tồn tại sao cho
tại .
Sau đó từ (3) nó theo sau đó
tại .
Vì điều này phù hợp với bất kỳ, sau đó
.

Định lý đã được chứng minh.

Người giới thiệu:
L.D. Kudryavtsev. Khóa học về phân tích toán học. Tập 1. Matxcova, 2003.

Toán học là khoa học xây dựng thế giới. Cả nhà khoa học và người bình thường - không ai có thể làm được nếu không có nó. Đầu tiên, trẻ nhỏ được dạy đếm, sau đó cộng, trừ, nhân và chia, ở trường trung học cơ sở, các ký hiệu chữ cái bắt đầu hoạt động, và ở trẻ lớn hơn, chúng không còn có thể được phân phát nữa.

Nhưng hôm nay chúng ta sẽ nói về những gì mà tất cả toán học đã biết đều dựa trên. Về cộng đồng các con số được gọi là "giới hạn dãy số".

Trình tự là gì và đâu là giới hạn của chúng?

Ý nghĩa của từ "trình tự" không khó để giải thích. Đây là một cấu trúc của mọi thứ, nơi một ai đó hoặc một cái gì đó được đặt theo một thứ tự hoặc hàng đợi nhất định. Ví dụ, hàng đợi mua vé vào sở thú là một chuỗi. Và chỉ có thể có một! Ví dụ, nếu bạn nhìn vào hàng đợi đến cửa hàng, đây là một chuỗi. Và nếu một người đột nhiên rời khỏi hàng đợi này, thì đây là một hàng đợi khác, một thứ tự khác.

Từ "giới hạn" cũng dễ dàng được hiểu - đây là sự kết thúc của một cái gì đó. Tuy nhiên, trong toán học, giới hạn của dãy số là những giá trị trên trục số mà một dãy số có xu hướng. Tại sao phấn đấu và không kết thúc? Thật đơn giản, dãy số không có kết thúc và hầu hết các chuỗi, giống như các tia, chỉ có một phần đầu và trông như thế này:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Do đó, định nghĩa của một dãy là một hàm của đối số tự nhiên. Nói cách đơn giản hơn, nó là một loạt các thành viên của một số tập hợp.

Dãy số được xây dựng như thế nào?

Ví dụ đơn giản nhất về dãy số có thể giống như sau: 1, 2, 3, 4,… n…

Trong hầu hết các trường hợp, cho các mục đích thực tế, các chuỗi được xây dựng từ các số và mỗi thành viên tiếp theo của chuỗi, hãy ký hiệu nó bằng X, có tên riêng. Ví dụ:

x 1 - thành viên đầu tiên của dãy;

x 2 - thành viên thứ hai của dãy;

x 3 - thành viên thứ ba;

x n là thành viên thứ n.

Trong các phương pháp thực tế, dãy số được đưa ra bởi một công thức tổng quát, trong đó có một số biến số. Ví dụ:

X n \ u003d 3n, thì bản thân chuỗi số sẽ có dạng như sau:

Cần nhớ rằng trong ký hiệu chung của các chuỗi, bạn có thể sử dụng bất kỳ chữ cái Latinh nào chứ không chỉ X. Ví dụ: y, z, k, v.v.

Cấp số học như một phần của chuỗi

Trước khi tìm kiếm các giới hạn của dãy số, chúng ta nên nghiên cứu sâu hơn về khái niệm dãy số như vậy, điều mà mọi người đều gặp phải khi họ còn ở các tầng lớp trung lưu. Một cấp số cộng là một dãy số trong đó hiệu giữa các số hạng liền kề là không đổi.

Nhiệm vụ: “Cho 1 \ u003d 15 và bước lũy tiến của chuỗi số d \ u003d 4. Xây dựng 4 thành viên đầu tiên của hàng này "

Lời giải: a 1 = 15 (theo điều kiện) là thành viên đầu tiên của cấp số nhân (dãy số).

và 2 = 15 + 4 = 19 là thành viên thứ hai của cấp tiến.

và 3 \ u003d 19 + 4 \ u003d 23 là số hạng thứ ba.

và 4 \ u003d 23 + 4 \ u003d 27 là số hạng thứ tư.

Tuy nhiên, với phương pháp này, rất khó để đạt được các giá trị lớn, ví dụ, lên đến 125.. Đặc biệt đối với những trường hợp như vậy, một công thức thuận tiện cho việc thực hành đã được suy ra: a n \ u003d a 1 + d (n-1). Trong trường hợp này, 125 \ u003d 15 + 4 (125-1) \ u003d 511.

Các loại trình tự

Hầu hết các trình tự đều dài vô tận, đáng để ghi nhớ suốt đời. Có hai loại dãy số thú vị. Đầu tiên được cho bởi công thức a n = (- 1) n. Các nhà toán học thường đề cập đến chuỗi đèn flash này. Tại sao? Hãy kiểm tra các con số của nó.

1, 1, -1, 1, -1, 1, v.v. Với ví dụ này, rõ ràng là các số trong dãy có thể dễ dàng được lặp lại.

dãy giai thừa. Dễ dàng đoán rằng có một giai thừa trong công thức xác định dãy số. Ví dụ: và n = (n + 1)!

Sau đó, trình tự sẽ như thế này:

và 2 \ u003d 1x2x3 \ u003d 6;

và 3 \ u003d 1x2x3x4 \ u003d 24, v.v.

Một dãy được cho bởi một cấp số cộng được gọi là giảm vô hạn nếu quan sát thấy bất đẳng thức -1 đối với tất cả các thành viên của nó

và 3 \ u003d - 1/8, v.v.

Thậm chí có một dãy bao gồm cùng một số. Vì vậy, và n \ u003d 6 bao gồm vô hạn các số sáu.

Xác định giới hạn của một trình tự

Giới hạn dãy số đã tồn tại từ lâu trong toán học. Tất nhiên, họ xứng đáng với thiết kế có thẩm quyền của riêng họ. Vì vậy, thời gian để tìm hiểu định nghĩa của giới hạn trình tự. Đầu tiên, hãy xem xét giới hạn cho một hàm tuyến tính một cách chi tiết:

1. Tất cả các giới hạn được viết tắt là lim.
2. Mục nhập giới hạn bao gồm chữ viết tắt lim, một số biến có xu hướng đến một số nhất định, không hoặc vô cùng, cũng như chính hàm.

Có thể hiểu đơn giản rằng định nghĩa giới hạn của một dãy có thể được xây dựng như sau: nó là một số nhất định, mà tất cả các thành viên của dãy tiếp cận vô hạn. Ví dụ đơn giản: và x = 4x + 1. Sau đó, trình tự sẽ giống như thế này.

5, 9, 13, 17, 21… x…

Do đó, dãy số này sẽ tăng lên vô hạn, có nghĩa là giới hạn của nó bằng vô cùng là x → ∞, và điều này sẽ được viết như sau:

Nếu chúng ta lấy một dãy tương tự, nhưng x có xu hướng bằng 1, chúng ta nhận được:

Và dãy số sẽ như thế này: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944,… Mỗi lần thay thế số càng nhiều và gần bằng một (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Có thể thấy từ loạt bài này rằng giới hạn của hàm là năm.

Từ phần này, cần ghi nhớ giới hạn của dãy số là gì, định nghĩa và phương pháp giải các công việc đơn giản.

Ký hiệu chung cho giới hạn của chuỗi

Sau khi phân tích giới hạn của dãy số, định nghĩa và ví dụ của nó, chúng ta có thể chuyển sang một chủ đề phức tạp hơn. Tất cả các giới hạn của dãy số đều có thể được xây dựng bằng một công thức, công thức này thường được phân tích trong học kỳ đầu tiên.

Vậy, tập hợp các chữ cái, môđun và dấu hiệu bất đẳng thức này có ý nghĩa gì?

∀ là một đại lượng định lượng phổ quát, thay thế các cụm từ “cho tất cả”, “cho mọi thứ”, v.v.

∃ là một định lượng tồn tại, trong trường hợp này nó có nghĩa là có một giá trị N nào đó thuộc tập các số tự nhiên.

Một thanh dài thẳng đứng theo sau N có nghĩa là tập N đã cho là "sao cho". Trong thực tế, nó có thể có nghĩa là "như vậy", "như vậy", v.v.

Để củng cố tài liệu, hãy đọc to công thức.

Sự không chắc chắn và chắc chắn của giới hạn

Phương pháp tìm giới hạn của dãy số, đã được thảo luận ở trên, mặc dù đơn giản để sử dụng, nhưng không phải là quá hợp lý trong thực tế. Cố gắng tìm giới hạn cho chức năng này:

Nếu chúng ta thay các giá trị x khác nhau (tăng lên mỗi lần: 10, 100, 1000, v.v.), thì chúng ta nhận được ∞ ở tử số, nhưng cũng có ∞ ở mẫu số. Nó chỉ ra một phân số khá kỳ lạ:

Nhưng nó thực sự như vậy? Tính toán giới hạn của dãy số trong trường hợp này dường như đủ dễ dàng. Có thể để nguyên mọi thứ vì câu trả lời đã sẵn sàng và nó được nhận với những điều kiện hợp lý, nhưng có một cách khác dành riêng cho những trường hợp như vậy.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm bậc cao nhất trong tử số của phân số - đây là 1, vì x có thể được biểu diễn dưới dạng x 1.

Bây giờ chúng ta hãy tìm độ cao nhất trong mẫu số. Ngoài ra 1.

Chia cả tử số và mẫu số cho biến số đến mức cao nhất. Trong trường hợp này, chúng ta chia phân số cho x 1.

Tiếp theo, hãy tìm giá trị mà mỗi số hạng chứa biến có xu hướng. Trong trường hợp này, phân số được coi là. Khi x → ∞, giá trị của mỗi phân số có xu hướng bằng không. Khi viết một bài báo bằng văn bản, bạn nên ghi chú thích sau:

Biểu thức sau thu được:

Tất nhiên, các phân số chứa x không trở thành số không! Nhưng giá trị của chúng quá nhỏ nên hoàn toàn có thể không tính đến giá trị đó trong các tính toán. Trên thực tế, x sẽ không bao giờ bằng 0 trong trường hợp này, bởi vì bạn không thể chia cho số không.

Khu phố là gì?

Chúng ta hãy giả sử rằng giáo sư có một trình tự phức tạp, hiển nhiên, được đưa ra bởi một công thức không kém phức tạp. Giáo sư đã tìm ra câu trả lời, nhưng liệu nó có phù hợp không? Rốt cuộc, tất cả mọi người đều mắc sai lầm.

Auguste Cauchy đã nghĩ ra một cách tuyệt vời để chứng minh giới hạn của các chuỗi. Phương pháp của ông được gọi là hoạt động vùng lân cận.

Giả sử rằng tại một điểm nào đó, lân cận của nó theo cả hai hướng trên đường thực bằng ε ("epsilon"). Vì biến cuối cùng là khoảng cách nên giá trị của nó luôn dương.

Bây giờ, hãy đặt một số dãy x n và giả sử rằng phần tử thứ mười của dãy (x 10) được bao gồm trong vùng lân cận của a. Làm thế nào để viết sự kiện này bằng ngôn ngữ toán học?

Giả sử x 10 nằm bên phải điểm a thì khoảng cách x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Bây giờ là lúc giải thích trên thực tế công thức được đề cập ở trên. Công bằng mà gọi một số là điểm cuối của dãy nếu bất đẳng thức ε> 0 tuân theo bất kỳ giới hạn nào của nó và toàn bộ vùng lân cận có số tự nhiên N của chính nó, sao cho tất cả các thành viên của dãy có số cao hơn sẽ là bên trong dãy | x n - a |< ε.

Với kiến ​​thức như vậy, bạn có thể dễ dàng giải các giới hạn của dãy số, chứng minh hoặc bác bỏ một câu trả lời đã sẵn sàng.

Định lý

Các định lý về giới hạn của dãy số là một thành phần quan trọng của lý thuyết, nếu không có nó thì thực hành là không thể. Chỉ có bốn định lý chính, ghi nhớ nó, bạn có thể tạo thuận lợi đáng kể cho quá trình giải hoặc chứng minh:

1. Tính duy nhất của giới hạn của một dãy số. Bất kỳ chuỗi nào cũng có thể chỉ có một giới hạn hoặc không có giới hạn nào cả. Ví dụ tương tự với hàng đợi chỉ có thể có một đầu.
2. Nếu một dãy số có giới hạn, thì dãy số này cũng có giới hạn.
3. Giới hạn của tổng (hiệu, tích) của các dãy bằng tổng (hiệu, tích) của các giới hạn của chúng.
4. Giới hạn thương của hai dãy bằng thương của các giới hạn nếu và chỉ khi mẫu số không biến mất.

Trình tự chứng minh

Đôi khi cần phải giải một bài toán nghịch đảo, để chứng minh một giới hạn nhất định của một dãy số. Hãy xem một ví dụ.

Chứng minh rằng giới hạn của dãy số cho bởi công thức bằng không.

Theo quy tắc trên, bất đẳng thức với dãy số | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Hãy biểu diễn n dưới dạng "epsilon" để chỉ ra sự tồn tại của một số nhất định và chứng minh sự tồn tại của một giới hạn dãy.

Ở giai đoạn này, điều quan trọng cần nhớ là "epsilon" và "en" là các số dương và không bằng 0. Bây giờ bạn có thể tiếp tục các phép biến đổi hơn nữa bằng cách sử dụng kiến ​​thức về bất đẳng thức đã học ở trường trung học.

Khi nào thì n> -3 + 1 / ε. Vì điều đáng nhớ là chúng ta đang nói về số tự nhiên, kết quả có thể được làm tròn bằng cách đặt nó trong dấu ngoặc vuông. Do đó, người ta đã chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của vùng lân cận “epsilon” của điểm a = 0, một giá trị được tìm thấy sao cho thỏa mãn bất đẳng thức ban đầu. Từ đó chúng ta có thể khẳng định một cách an toàn rằng số a là giới hạn của dãy số đã cho. Q.E.D.

Với một phương pháp tiện lợi như vậy, bạn có thể chứng minh giới hạn của một dãy số, cho dù thoạt nhìn nó có vẻ phức tạp đến mức nào. Điều chính là không hoảng sợ khi nhìn thấy nhiệm vụ.

Hoặc có thể anh ấy không tồn tại?

Sự tồn tại của một giới hạn trình tự là không cần thiết trong thực tế. Có thể dễ dàng tìm thấy những dãy số thực sự không có hồi kết như vậy. Ví dụ, cùng một nháy x n = (-1) n. Rõ ràng là một dãy chỉ gồm hai chữ số lặp lại theo chu kỳ thì không thể có giới hạn.

Câu chuyện tương tự được lặp lại với các chuỗi bao gồm một số duy nhất, phân số, trong quá trình tính toán có một thứ tự không chắc chắn (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0, v.v.). Tuy nhiên, cần nhớ rằng việc tính toán sai cũng diễn ra. Đôi khi việc kiểm tra lại giải pháp của chính bạn sẽ giúp bạn tìm ra giới hạn của những lần kế tiếp.

chuỗi đơn điệu

Ở trên, chúng ta đã xem xét một số ví dụ về dãy số, phương pháp giải chúng, và bây giờ chúng ta hãy thử lấy một trường hợp cụ thể hơn và gọi nó là "dãy đơn điệu".

Định nghĩa: công bằng để gọi bất kỳ dãy tăng đơn điệu nào nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức nghiêm ngặt x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Cùng với hai điều kiện này, cũng có những bất đẳng thức không nghiêm ngặt tương tự. Theo đó, x n ≤ x n +1 (dãy không giảm) và x n ≥ x n +1 (dãy không tăng).

Nhưng sẽ dễ hiểu điều này hơn với các ví dụ.

Dãy được cho bởi công thức x n \ u003d 2 + n tạo thành dãy số sau: 4, 5, 6, v.v. Đây là dãy tăng đơn điệu.

Và nếu chúng ta lấy x n \ u003d 1 / n, thì chúng ta nhận được một chuỗi: 1/3, ¼, 1/5, v.v. Đây là một chuỗi giảm đơn điệu.

Giới hạn của chuỗi hội tụ và giới hạn

Dãy có giới hạn là một dãy có giới hạn. Dãy hội tụ là một dãy số có giới hạn vô số.

Do đó, giới hạn của một dãy có giới hạn là bất kỳ số thực hoặc số phức nào. Hãy nhớ rằng chỉ có thể có một giới hạn.

Giới hạn của một dãy hội tụ là một đại lượng vô cùng nhỏ (thực hoặc phức). Nếu bạn vẽ một biểu đồ tuần tự, thì tại một thời điểm nhất định, nó sẽ hội tụ như cũ và có xu hướng biến thành một giá trị nhất định. Do đó có tên - dãy hội tụ.

Giới hạn trình tự đơn điệu

Một trình tự như vậy có thể có hoặc không có giới hạn. Trước tiên, sẽ rất hữu ích khi hiểu được thời điểm của nó, từ đây bạn có thể bắt đầu khi chứng minh không có giới hạn.

Trong số các chuỗi đơn điệu, phân biệt hội tụ và phân kỳ. Hội tụ - đây là một dãy được tạo thành bởi tập x và có giới hạn thực hoặc giới hạn phức trong tập này. Phân kỳ - một chuỗi không có giới hạn trong tập hợp của nó (không thực cũng không phức tạp).

Hơn nữa, dãy hội tụ nếu giới hạn trên và giới hạn dưới của nó hội tụ trong một biểu diễn hình học.

Giới hạn của một dãy hội tụ trong nhiều trường hợp có thể bằng 0, vì bất kỳ dãy số thập phân nào đều có giới hạn đã biết (không).

Cho dù bạn thực hiện trình tự hội tụ nào, chúng đều có giới hạn, nhưng khác xa với tất cả các trình tự có giới hạn đều hội tụ.

Tổng, hiệu, tích của hai dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ. Tuy nhiên, thương số cũng có thể hội tụ nếu nó được xác định!

Các hành động khác nhau có giới hạn

Các giới hạn của dãy số cũng có ý nghĩa (trong hầu hết các trường hợp) như các số và số: 1, 2, 15, 24, 362, v.v. Hóa ra là một số phép toán có thể được thực hiện với các giới hạn.

Đầu tiên, cũng giống như các chữ số và số, các giới hạn của bất kỳ dãy số nào cũng có thể được cộng và trừ. Dựa vào định lý thứ ba về giới hạn của dãy, đẳng thức sau là đúng: tổng giới hạn của dãy bằng tổng giới hạn của chúng.

Thứ hai, dựa trên định lý thứ tư về giới hạn của dãy số, đẳng thức sau là đúng: giới hạn của tích của số thứ n của dãy bằng tích của các giới hạn của chúng. Điều này cũng đúng với phép chia: giới hạn của thương của hai dãy bằng thương của giới hạn của chúng, với điều kiện giới hạn đó không bằng không. Rốt cuộc, nếu giới hạn của dãy bằng 0, thì phép chia cho 0 sẽ thành ra, điều này là không thể.

Thuộc tính giá trị chuỗi

Có vẻ như giới hạn của dãy số đã được phân tích chi tiết, nhưng những cụm từ như số “nhỏ vô hạn” và “lớn vô hạn” được đề cập nhiều hơn một lần. Rõ ràng, nếu có một dãy số 1 / x, trong đó x → ∞, thì một phân số như vậy nhỏ vô hạn, và nếu cùng một dãy số, nhưng giới hạn có xu hướng bằng không (x → 0), thì phân số đó trở thành một giá trị lớn vô hạn . Và những giá trị như vậy có những đặc điểm riêng. Các thuộc tính của giới hạn của một dãy có các giá trị lớn hoặc nhỏ tùy ý như sau:

1. Tổng của bất kỳ số lượng nhỏ tùy ý cũng sẽ là một số lượng nhỏ.
2. Tổng của bất kỳ số lượng giá trị lớn nào sẽ là một giá trị lớn vô hạn.
3. Sản phẩm tùy ý số lượng ít vô hạn.
4. Sản phẩm của những số lượng lớn tùy ý là một số lượng lớn vô hạn.
5. Nếu dãy ban đầu có xu hướng là một số vô hạn, thì nghịch đảo của nó sẽ là số thập phân nhỏ và có xu hướng bằng không.

Trên thực tế, việc tính toán giới hạn của một dãy số không phải là một việc quá khó khăn nếu bạn biết một thuật toán đơn giản. Nhưng giới hạn của trình tự là một chủ đề đòi hỏi sự chú ý và kiên trì tối đa. Tất nhiên, chỉ cần nắm được bản chất của nghiệm của các biểu thức như vậy là đủ. Bắt đầu từ việc nhỏ, theo thời gian, bạn có thể đạt đến tầm cao lớn.

Hôm nay ở bài học chúng ta sẽ phân tích trình tự nghiêm ngặt và định nghĩa chặt chẽ về giới hạn của một hàm, cũng như học cách giải các bài toán tương ứng có tính chất lý thuyết. Bài viết chủ yếu dành cho sinh viên năm thứ nhất các chuyên ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật bắt đầu nghiên cứu lý thuyết về giải tích toán học và gặp khó khăn trong việc hiểu phần này của toán học cao hơn. Ngoài ra, tài liệu khá dễ tiếp cận đối với học sinh phổ thông.

Trong nhiều năm tồn tại của trang web, tôi đã nhận được hàng tá lá thư không đẹp với nội dung đại khái như sau: “Tôi không hiểu lắm về phân tích toán học, tôi nên làm gì?”, “Tôi không hiểu matan chút nào, tôi” Tôi nghĩ đến việc bỏ dở việc học của mình, ”v.v. Thật vậy, chính matan thường tách nhóm học sinh ra sau buổi học đầu tiên. Tại sao mọi thứ lại như thế này? Bởi vì chủ đề phức tạp không thể tưởng tượng được? Không có gì! Lý thuyết phân tích toán học không quá khó vì nó đặc biệt. Và bạn cần phải chấp nhận và yêu cô ấy vì con người của cô ấy =)

Hãy bắt đầu với trường hợp khó nhất. Đầu tiên và quan trọng nhất, không được bỏ học. Hiểu cho đúng, bỏ thì lúc nào cũng có thời gian ;-) Tất nhiên, nếu trong một hai năm từ chuyên ngành đã chọn mà làm bạn phát ốm, thì vâng - bạn nên suy nghĩ về điều đó (và không đánh gục cơn sốt!) về các hoạt động thay đổi. Nhưng bây giờ nó đáng để tiếp tục. Và, xin hãy quên cụm từ “Tôi không hiểu gì cả” - sẽ không xảy ra trường hợp bạn không hiểu gì cả.

Làm gì nếu lý thuyết không tốt? Nhân tiện, điều này không chỉ áp dụng cho phân tích toán học. Nếu lý thuyết dở thì trước hết bạn cần NGHIÊM TÚC vào thực hành. Đồng thời giải quyết đồng thời hai nhiệm vụ chiến lược:

- Thứ nhất, một tỷ lệ đáng kể kiến ​​thức lý thuyết đến được thông qua thực hành. Và rất nhiều người hiểu lý thuyết thông qua ... - đúng vậy! Không, không, bạn không nghĩ về điều đó.

- Và, thứ hai, các kỹ năng thực hành rất có thể sẽ “kéo dài” bạn trong kỳ thi, ngay cả khi ..., nhưng chúng ta đừng điều chỉnh như thế! Mọi thứ đều có thật và mọi thứ thực sự được “vén màn” trong một thời gian khá ngắn. Phân tích toán học là phần yêu thích của tôi trong toán học cao hơn, và do đó tôi chỉ đơn giản là không thể không giúp bạn một tay:

Vào đầu học kỳ 1, các giới hạn trình tự và giới hạn hàm thường vượt qua. Không hiểu nó là gì và không biết làm thế nào để giải quyết chúng? Bắt đầu bằng một bài báo Giới hạn chức năng, trong đó bản thân khái niệm được coi là "trên ngón tay" và các ví dụ đơn giản nhất được phân tích. Sau đó, học qua các bài học khác về chủ đề này, bao gồm cả bài học về trong chuỗi, mà tôi thực sự đã xây dựng một định nghĩa chặt chẽ.

Bạn biết những biểu tượng nào ngoài các dấu hiệu bất đẳng thức và môđun?

- một thanh dọc dài viết như thế này: "Như vậy", "như vậy", "như vậy" hoặc "như vậy", trong trường hợp của chúng tôi, rõ ràng, chúng tôi đang nói về một con số - do đó "như vậy";

- cho tất cả "en" lớn hơn;

– dấu hiệu mô-đun có nghĩa là khoảng cách, I E. mục nhập này cho chúng ta biết rằng khoảng cách giữa các giá trị nhỏ hơn epsilon.

Chà, có khó chết người không? =)

Sau khi thực hành thành thạo, tôi đang chờ bạn ở đoạn sau:

Thật vậy, chúng ta hãy suy nghĩ một chút - làm thế nào để hình thành một định nghĩa chặt chẽ về một dãy? ... Điều đầu tiên xuất hiện trong tâm trí buổi thực hành: "giới hạn của một dãy là số mà các phần tử của dãy tiếp cận vô hạn."

Được rồi, chúng ta hãy viết hệ con :

Thật dễ dàng để nắm bắt điều đó hệ con tiếp cận gần vô hạn với -1 và các điều khoản được đánh số chẵn - thành "đơn vị".

Có thể là hai giới hạn? Nhưng tại sao một số dãy không thể có mười hoặc hai mươi trong số chúng? Bằng cách đó bạn có thể tiến xa. Về mặt này, thật hợp lý khi giả định rằng nếu trình tự có giới hạn, thì nó là duy nhất.

Ghi chú : dãy không có giới hạn, nhưng hai dãy con có thể được phân biệt với nó (xem ở trên), mỗi dãy có giới hạn riêng.

Do đó, định nghĩa trên hóa ra là không thể chấp nhận được. Có, nó hoạt động cho các trường hợp như (mà tôi đã sử dụng không hoàn toàn chính xác trong các giải thích đơn giản của các ví dụ thực tế), nhưng bây giờ chúng ta cần tìm một định nghĩa chặt chẽ.

Thử hai: “giới hạn của một dãy là số mà TẤT CẢ các thành viên của dãy tiếp cận, ngoại trừ, có lẽ, cuối cùng số lượng." Điều này gần với sự thật hơn, nhưng vẫn không hoàn toàn chính xác. Vì vậy, ví dụ, chuỗi một nửa số thành viên không tiếp cận số 0 - họ chỉ đơn giản là bằng nó =) Nhân tiện, "đèn nhấp nháy" thường nhận hai giá trị cố định.

Công thức không khó để làm rõ, nhưng sau đó một câu hỏi khác đặt ra: làm thế nào để viết định nghĩa trong các thuật ngữ toán học? Giới khoa học đã phải vật lộn với vấn đề này trong một thời gian dài cho đến khi tình hình được giải quyết. nhạc trưởng nổi tiếng, về bản chất, đã chính thức hóa phép phân tích toán học cổ điển trong tất cả sự chặt chẽ của nó. Cauchy đề nghị hoạt động vùng lân cận điều này đã nâng cao rất nhiều lý thuyết.

Hãy xem xét một số điểm và Bất kỳ-hàng xóm:

Giá trị của "epsilon" luôn dương và hơn thế nữa, chúng ta có quyền tự mình lựa chọn. Giả sử rằng vùng lân cận đã cho có chứa một tập hợp các điều khoản (không nhất thiết là tất cả) một số trình tự. Làm thế nào để viết ra thực tế rằng, chẳng hạn, kỳ hạn thứ mười rơi vào khu vực lân cận? Hãy để nó ở phía bên phải của nó. Sau đó, khoảng cách giữa các điểm và phải nhỏ hơn "epsilon":. Tuy nhiên, nếu "x tenth" nằm ở bên trái điểm "a", thì sự khác biệt sẽ là số âm, và do đó phải thêm dấu vào nó. mô-đun: .

Sự định nghĩa: một số được gọi là giới hạn của một dãy nếu bất cứ gì môi trường xung quanh nó (đã chọn trước) có một số tự nhiên - NHƯ VẬY TẤT CẢ CÁC các thành viên của dãy có số cao hơn sẽ ở bên trong vùng lân cận:

Hoặc ngắn hơn: nếu

Nói cách khác, cho dù chúng ta lấy giá trị của "epsilon" nhỏ đến mức nào, thì sớm hay muộn "đuôi vô hạn" của dãy số sẽ HOÀN TOÀN nằm trong vùng lân cận này.

Vì vậy, ví dụ: "đuôi vô hạn" của dãy số ĐẦY ĐỦ đi vào bất kỳ phần tử nào nhỏ tùy ý của điểm. Do đó, giá trị này là giới hạn của dãy theo định nghĩa. Tôi nhắc bạn rằng một chuỗi có giới hạn bằng 0 được gọi là vô số.

Cần lưu ý rằng đối với dãy số không còn có thể nói "đầu xuôi đuôi lọt sẽ đến”- các thành viên có số lẻ thực tế bằng 0 và“ không đi đâu cả ”\ u003d) Đó là lý do tại sao động từ“ sẽ kết thúc ”được sử dụng trong định nghĩa. Và, tất nhiên, các thành viên của một chuỗi như vậy cũng "chẳng đi đến đâu". Nhân tiện, hãy kiểm tra xem con số có bị giới hạn hay không.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng dãy số không có giới hạn. Ví dụ, hãy xem xét một vùng lân cận của điểm. Rõ ràng là không có con số này, sau đó TẤT CẢ các thành viên sẽ ở trong khu phố nhất định - các thành viên lẻ sẽ luôn "nhảy" đến "trừ một". Vì một lý do tương tự, không có giới hạn tại điểm.

Sửa chữa tài liệu bằng thực hành:

ví dụ 1

Chứng minh rằng giới hạn của dãy số bằng không. Chỉ định số mà sau đó tất cả các thành viên của dãy được đảm bảo nằm bên trong bất kỳ phần tử nào nhỏ tùy ý của điểm.

Ghi chú : đối với nhiều chuỗi, số tự nhiên mong muốn phụ thuộc vào giá trị - do đó ký hiệu.

Quyết định: coi như Bất kỳ sẽ ở đó số - sao cho TẤT CẢ thành viên có số lượng cao hơn sẽ ở trong vùng lân cận này:

Để hiển thị sự tồn tại của số được yêu cầu, chúng tôi thể hiện trong điều khoản.

Vì đối với bất kỳ giá trị "en" nào, thì dấu hiệu mô-đun có thể bị loại bỏ:

Chúng tôi sử dụng các hành động "trường học" với các bất đẳng thức mà tôi đã nhắc lại trong các bài học Bất bình đẳng tuyến tính và Phạm vi chức năng. Trong trường hợp này, một tình huống quan trọng là "epsilon" và "en" là dương:

Vì bên trái chúng ta đang nói về số tự nhiên và bên phải nói chung là phân số, nên nó cần được làm tròn:

Ghi chú : đôi khi một đơn vị được thêm vào quyền để tái bảo hiểm, nhưng thực tế đây là một việc làm quá mức cần thiết. Nói một cách tương đối, nếu chúng ta cũng làm suy yếu kết quả bằng cách làm tròn xuống, thì số phù hợp gần nhất (“ba”) vẫn sẽ thỏa mãn bất đẳng thức ban đầu.

Và bây giờ chúng ta xem xét sự bất bình đẳng và nhớ rằng ban đầu chúng ta đã xem xét Bất kỳ-neighborhood, tức là "epsilon" có thể bằng bất cứ ai số dương.

Sự kết luận: đối với bất kỳ phần tử nhỏ tùy ý nào của điểm, giá trị . Do đó, một số là giới hạn của một dãy theo định nghĩa. Q.E.D.

Nhân tiện, từ kết quả một mô hình tự nhiên có thể nhìn thấy rõ ràng: -neighborhood càng nhỏ, số lượng mà TẤT CẢ các thành viên của dãy sau đó sẽ ở trong vùng lân cận này càng lớn. Nhưng cho dù "epsilon" nhỏ đến mức nào, sẽ luôn có một "cái đuôi vô tận" bên trong và bên ngoài - tuy nhiên, ngay cả khi nó lớn cuối cùng số thành viên.

Các lần hiển thị như thế nào? =) Tôi đồng ý rằng nó là lạ. Nhưng nghiêm ngặt! Hãy đọc lại và suy nghĩ lại.

Hãy xem xét một ví dụ tương tự và làm quen với các kỹ thuật khác:

Ví dụ 2

Quyết định: theo định nghĩa của một dãy, cần phải chứng minh rằng (Nói lớn lên!!!).

Coi như Bất kỳ- vị trí thứ tám của điểm và kiểm tra, nó tồn tại số tự nhiên - sao cho với tất cả các số lớn hơn, bất đẳng thức sau là:

Để hiển thị sự tồn tại của một như vậy, bạn cần phải diễn đạt "en" thông qua "epsilon". Chúng tôi đơn giản hóa biểu thức dưới ký hiệu mô-đun:

Mô-đun hủy bỏ dấu trừ:

Mẫu số là số dương với bất kỳ "en" nào, do đó, có thể loại bỏ các que tính:

Xáo trộn:

Bây giờ chúng ta nên lấy căn bậc hai, nhưng điều đáng chú ý là đối với một số "epsilon", vế phải sẽ là số âm. Để tránh rắc rối này hãy tăng cường mô đun bất bình đẳng:

Tại sao điều này có thể được thực hiện? Nếu, nói một cách tương đối, hóa ra là như vậy, thì điều kiện sẽ còn được thỏa mãn hơn thế nữa. Mô-đun có thể chỉ cần tăng số mong muốn, và điều đó cũng sẽ phù hợp với chúng tôi! Đại khái mà nói, nếu thứ một trăm phù hợp, thì thứ hai trăm sẽ làm được! Theo định nghĩa, bạn cần thể hiện sự tồn tại của con số(ít nhất là một số), sau đó tất cả các thành viên của dãy sẽ ở -neighbourhood. Nhân tiện, đó là lý do tại sao chúng tôi không sợ vòng chung kết giành quyền đi lên.

Giải nén gốc:

Và làm tròn kết quả:

Sự kết luận: tại vì giá trị của "epsilon" đã được chọn tùy ý, sau đó đối với bất kỳ phần tử nhỏ nhất tùy ý nào của điểm, giá trị , sao cho sự bất bình đẳng . Vì vậy, a-priory. Q.E.D.

tôi khuyên đặc biệt hiểu được sự củng cố và suy yếu của các bất đẳng thức - đây là những phương pháp phân tích toán học điển hình và rất phổ biến. Điều duy nhất bạn cần theo dõi tính đúng đắn của hành động này hoặc hành động đó. Vì vậy, ví dụ, sự bất bình đẳng không có nghĩa là nới lỏng, trừ, nói, một:

Một lần nữa, có điều kiện: nếu số đó khớp chính xác, thì số trước đó có thể không còn phù hợp nữa.

Ví dụ sau dành cho một giải pháp độc lập:

Ví dụ 3

Sử dụng định nghĩa của một dãy, hãy chứng minh rằng

Lời giải ngắn gọn và đáp án ở cuối bài.

Nếu trình tự vô cùng tuyệt vời, thì định nghĩa về giới hạn được xây dựng theo cách tương tự: một điểm được gọi là giới hạn của một dãy nếu với bất kỳ, lớn tùy ý có một số sao cho tất cả các số lớn hơn, bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn. Số được gọi là vùng lân cận của điểm "cộng với vô cực":

Nói cách khác, bất kể chúng ta lấy giá trị lớn đến mức nào, thì "đuôi vô hạn" của dãy số nhất thiết phải đi vào phần tử thứ tám của điểm, chỉ để lại một số hạng hữu hạn ở bên trái.

Ví dụ làm việc:

Và ký hiệu viết tắt: nếu

Đối với trường hợp, hãy viết định nghĩa cho chính mình. Bản chính xác ở cuối bài.

Sau khi bạn đã "điền đầy" vào tay các ví dụ thực tế và tìm ra định nghĩa về giới hạn của một dãy số, bạn có thể chuyển sang tài liệu về giải tích toán học và / hoặc sách bài giảng của mình. Tôi khuyên bạn nên tải xuống tập 1 của Bohan (dễ dàng hơn - dành cho sinh viên bán thời gian) và Fikhtengoltz (chi tiết và kỹ lưỡng hơn). Trong số các tác giả khác, tôi khuyên Piskunov, người có khóa học tập trung vào các trường đại học kỹ thuật.

Cố gắng chăm chú nghiên cứu các định lý liên quan đến giới hạn của dãy số, cách chứng minh, hệ quả của chúng. Lúc đầu, lý thuyết này có vẻ "vẩn đục", nhưng điều này là bình thường - chỉ cần một số bạn sẽ quen. Và nhiều người thậm chí sẽ có được một hương vị!

Định nghĩa chặt chẽ về giới hạn của một hàm

Hãy bắt đầu với điều tương tự - làm thế nào để hình thành khái niệm này? Định nghĩa bằng lời về giới hạn của một hàm được xây dựng đơn giản hơn nhiều: "một số là giới hạn của một hàm, nếu với" x "có xu hướng (cả trái và phải), các giá trị tương ứng của hàm có xu hướng » (xem bản vẽ). Mọi thứ dường như là bình thường, nhưng từ là từ, nghĩa là nghĩa, một biểu tượng là một biểu tượng, và ký hiệu toán học chặt chẽ là không đủ. Và trong đoạn thứ hai, chúng ta sẽ làm quen với hai cách tiếp cận để giải quyết vấn đề này.

Hãy để hàm được xác định trên một khoảng nào đó ngoại trừ, có thể, đối với điểm. Trong tài liệu giáo dục, người ta thường chấp nhận rằng chức năng ở đó không phải xác định:

Sự lựa chọn này làm nổi bật bản chất của giới hạn hàm: "x" gần vô hạn các phương pháp tiếp cận và các giá trị tương ứng của hàm là gần vô hạnđến . Nói cách khác, khái niệm giới hạn không bao hàm một “cách tiếp cận chính xác” đối với các điểm, cụ thể là gần đúng vô hạn, nó không quan trọng cho dù chức năng được xác định tại điểm hay không.

Không có gì ngạc nhiên khi định nghĩa đầu tiên về giới hạn của một hàm được xây dựng bằng cách sử dụng hai chuỗi. Thứ nhất, các khái niệm có liên quan và thứ hai, giới hạn của hàm thường được nghiên cứu sau giới hạn của chuỗi.

Xem xét trình tự điểm (không có trên bản vẽ) thuộc khoảng và khác với, cái mà hội tụđến . Khi đó các giá trị tương ứng của hàm cũng tạo thành một dãy số, các phần tử của chúng nằm trên trục y.

Giới hạn hàm heine bất cứ gì chuỗi điểm (thuộc và khác với), mà hội tụ đến điểm, chuỗi giá trị hàm tương ứng hội tụ đến.

Eduard Heine là một nhà toán học người Đức. ... Và không cần phải suy nghĩ lung tung như vậy, ở Châu Âu chỉ có một người đồng tính - đây là Gay-Lussac =)

Định nghĩa thứ hai về giới hạn đã được xây dựng ... vâng, vâng, bạn đúng. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy nhìn vào thiết kế của nó. Hãy xem xét một vị trí mở rộng tùy ý của điểm (khu phố "đen"). Dựa trên đoạn trước, ký hiệu có nghĩa là một số giá trị chức năng nằm bên trong môi trường "epsilon".

Bây giờ chúng ta hãy tìm -neighborhood tương ứng với -neighborhood đã cho (vẽ các đường chấm đen từ trái sang phải và sau đó từ trên xuống dưới). Lưu ý rằng giá trị được chọn dọc theo chiều dài của đoạn nhỏ hơn, trong trường hợp này, dọc theo chiều dài của đoạn ngắn hơn bên trái. Hơn nữa, độ chín "đỏ thẫm" của một điểm thậm chí có thể bị giảm, vì trong định nghĩa sau thực tế của sự tồn tại là quan trọng khu phố này. Và, tương tự, mục nhập có nghĩa là một số giá trị nằm bên trong vùng lân cận "delta".

Giới hạn Cauchy của một hàm: số được gọi là giới hạn của hàm tại điểm nếu bất cứ gì chọn trước hàng xóm (nhỏ tùy ý), hiện hữu-thứ tám của điểm, NHƯ LÀ rằng: CHỈ LÀ giá trị (sở hữu) bao gồm trong lĩnh vực này: (mũi tên đỏ)- VÌ VẬY NGAY LẬP TỨC các giá trị tương ứng của hàm được đảm bảo nhập vào -neighborhood: (mũi tên xanh).

Mình phải cảnh báo với các bạn rằng để dễ hiểu hơn thì mình ứng biến một chút, các bạn đừng lạm dụng nhé =)

Viết tắt: nếu

Bản chất của định nghĩa là gì? Nói một cách hình tượng, bằng cách giảm vô hạn -neighbourhood, chúng tôi "đồng hành" với các giá trị của hàm đến giới hạn của nó, không để lại thay thế nào cho chúng để tiếp cận một nơi khác. Khá bất thường, nhưng một lần nữa nghiêm ngặt! Để hiểu đúng ý, hãy đọc lại từ ngữ một lần nữa.

! Chú ý: nếu bạn chỉ cần xây dựng định nghĩa theo Heine hoặc chỉ Định nghĩa Cauchy xin đừng quên về có ý nghĩa nhận xét sơ bộ: "Hãy xem xét một hàm được xác định trên một khoảng thời gian nào đó ngoại trừ có lẽ là một điểm". Tôi đã nói điều này một lần ngay từ đầu và không lặp lại nó mỗi lần.

Theo định lý tương ứng của phân tích toán học, các định nghĩa Heine và Cauchy là tương đương, nhưng biến thể thứ hai là được biết đến nhiều nhất. (vẫn sẽ!), còn được gọi là "giới hạn trên lưỡi":

Ví dụ 4

Sử dụng định nghĩa của một giới hạn, hãy chứng minh rằng

Quyết định: hàm được xác định trên toàn bộ trục số trừ điểm. Sử dụng định nghĩa của, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một giới hạn tại một điểm cho trước.

Ghi chú : độ lớn của vùng lân cận "delta" phụ thuộc vào "epsilon", do đó được chỉ định

Coi như Bất kỳ-hàng xóm. Nhiệm vụ là sử dụng giá trị này để kiểm tra xem nó tồn tại- hàng xóm, NHƯ LÀ, từ sự bất bình đẳng tuân theo sự bất bình đẳng .

Giả sử rằng, chúng ta biến đổi bất đẳng thức cuối cùng:
(phân rã tam thức bình phương)

Ở đây chúng ta xem xét định nghĩa về giới hạn hữu hạn của một dãy số. Trường hợp của một dãy hội tụ đến vô cùng được thảo luận trên trang "Định nghĩa dãy lớn vô hạn".

Sự định nghĩa .
(x n), nếu với bất kỳ số dương nào ε > 0 tồn tại số tự nhiên N ε phụ thuộc vào ε sao cho mọi số tự nhiên n> N ε bất đẳng thức
| x n - a |< ε .
Giới hạn của một dãy số được biểu thị như sau:
.
Hoặc tại .

Hãy biến đổi bất đẳng thức:
;
;
.

Khoảng mở (a - ε, a + ε) được gọi là ε - vùng lân cận của điểm a.

Một chuỗi có giới hạn được gọi là chuỗi hội tụ. Người ta cũng nói rằng trình tự hội tụđến a. Một chuỗi không có giới hạn được gọi là khác nhau.

Từ định nghĩa rằng nếu dãy có giới hạn a, thì bất kể ε - vùng lân cận của điểm a mà chúng ta chọn là gì, chỉ một số hữu hạn phần tử của dãy hoặc không có phần tử nào (tập rỗng) có thể nằm ngoài của nó. Và bất kỳ ε - vùng lân cận nào chứa vô số phần tử. Thật vậy, bằng cách đặt một số ε nhất định, do đó chúng ta có một số. Vì vậy, tất cả các phần tử của dãy có số, theo định nghĩa, đều nằm trong ε - lân cận của điểm a. Các yếu tố đầu tiên có thể ở bất cứ đâu. Nghĩa là, bên ngoài ε - vùng lân cận không thể có nhiều hơn các phần tử - tức là một số hữu hạn.

Chúng tôi cũng lưu ý rằng sự khác biệt không nhất thiết phải đơn điệu có xu hướng về 0, tức là luôn giảm. Nó có thể có xu hướng bằng không một cách đơn điệu: nó có thể tăng hoặc giảm, có cực đại cục bộ. Tuy nhiên, các cực đại này, với n tăng dần, sẽ có xu hướng bằng không (có lẽ cũng không đơn điệu).

Sử dụng các ký hiệu lôgic của sự tồn tại và tính phổ quát, định nghĩa của giới hạn có thể được viết như sau:
(1) .

Xác định rằng a không phải là giới hạn

Bây giờ hãy xem xét khẳng định ngược lại rằng số a không phải là giới hạn của dãy.

Số a không phải là giới hạn của trình tự, nếu tồn tại sao cho bất kỳ n tự nhiên nào thì tồn tại một m tự nhiên như vậy > n, Cái gì
.

Hãy viết câu lệnh này bằng cách sử dụng các ký hiệu logic.
(2) .

Sự khẳng định rằng số a không phải là giới hạn của dãy số, có nghĩa là
bạn có thể chọn một ε - lân cận của điểm a, bên ngoài sẽ có vô số phần tử của dãy.

Hãy xem xét một ví dụ. Cho một dãy với một phần tử chung được đưa ra
(3)
Bất kỳ vùng lân cận nào của một điểm đều chứa vô số phần tử. Tuy nhiên, điểm này không phải là giới hạn của dãy, vì bất kỳ vùng lân cận nào của điểm cũng chứa vô số phần tử. Lấy ε - lân cận của điểm với ε = 1 . Đây sẽ là khoảng thời gian (-1, +1) . Tất cả các phần tử trừ phần tử đầu tiên có n chẵn đều thuộc khoảng này. Nhưng tất cả các phần tử có n lẻ đều nằm ngoài khoảng này vì chúng thoả mãn bất đẳng thức x n > 2 . Vì số phần tử lẻ là vô hạn nên sẽ có vô số phần tử nằm ngoài vùng lân cận được chọn. Do đó, điểm không phải là giới hạn của dãy số.

Bây giờ chúng ta hãy thể hiện điều này bằng cách tuân thủ chặt chẽ khẳng định (2). Điểm không phải là giới hạn của dãy (3), bởi vì tồn tại như vậy, do đó, với n tự nhiên bất kỳ, có n lẻ mà bất đẳng thức
.

Cũng có thể chỉ ra rằng bất kỳ điểm a nào cũng không thể là giới hạn của dãy số này. Chúng ta luôn có thể chọn một ε - lân cận của điểm a không chứa điểm 0 hoặc điểm 2. Và khi đó sẽ có vô số phần tử của dãy nằm ngoài vùng lân cận đã chọn.

Định nghĩa tương đương

Chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa tương đương về giới hạn của một dãy nếu chúng ta mở rộng khái niệm ε - lân cận. Chúng ta sẽ nhận được một định nghĩa tương đương nếu thay vì ε-lân cận, bất kỳ vùng lân cận nào của điểm a sẽ xuất hiện trong đó.

Xác định vùng lân cận của một điểm
Một vùng lân cận của điểm a Bất kỳ khoảng mở nào chứa điểm này được gọi. Về mặt toán học, vùng lân cận được định nghĩa như sau:, trong đó ε 1 và ε 2 là các số dương tùy ý.

Sau đó, định nghĩa của giới hạn sẽ như sau.

Định nghĩa tương đương về giới hạn trình tự
Số a được gọi là giới hạn của dãy số, nếu với bất kỳ vùng lân cận nào của nó tồn tại một số tự nhiên N sao cho tất cả các phần tử của dãy có số đều thuộc vùng lân cận này.

Định nghĩa này cũng có thể được trình bày dưới dạng mở rộng.

Số a được gọi là giới hạn của dãy số, nếu với bất kỳ số dương nào và tồn tại một số tự nhiên N tùy thuộc vào và sao cho bất đẳng thức áp dụng cho mọi số tự nhiên
.

Bằng chứng về sự tương đương của các định nghĩa

Hãy chứng minh rằng hai định nghĩa trên về giới hạn của dãy số là tương đương.

Gọi số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa thứ nhất. Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm để với bất kỳ số dương ε nào thì các bất đẳng thức sau đây sẽ xảy ra:
(4) tại .

Chúng ta hãy chứng minh rằng số a cũng là giới hạn của dãy theo định nghĩa thứ hai. Nghĩa là, chúng ta cần chứng minh rằng có một hàm như vậy, sao cho bất kỳ số dương nào ε 1 và ε 2 các bất đẳng thức sau đây là:
(5) tại .

Để chúng ta có hai số dương: ε 1 và ε 2 . Và đặt ε là giá trị nhỏ nhất trong số chúng:. Sau đó ; ; . Chúng tôi sử dụng điều này trong (5):
.
Nhưng sự bất bình đẳng vẫn tồn tại. Khi đó các bất đẳng thức (5) cũng có giá trị.

Tức là, chúng ta đã tìm thấy một hàm sao cho bất đẳng thức (5) áp dụng cho bất kỳ số dương nào ε 1 và ε 2 .
Phần đầu tiên được chứng minh.

Bây giờ cho số a là giới hạn của dãy theo định nghĩa thứ hai. Điều này có nghĩa là có một hàm sao cho bất kỳ số dương nào ε 1 và ε 2 các bất đẳng thức sau đây là:
(5) tại .

Hãy chứng minh rằng số a là giới hạn của dãy số và theo định nghĩa đầu tiên. Đối với điều này, bạn cần phải đặt. Khi đó, các bất đẳng thức sau đây có:
.
Điều này tương ứng với định nghĩa đầu tiên với.
Sự tương đương của các định nghĩa được chứng minh.

Các ví dụ

Ở đây chúng ta xem xét một số ví dụ trong đó nó được yêu cầu để chứng minh rằng một số a cho trước là giới hạn của một dãy số. Trong trường hợp này, cần thiết lập một số dương ε tùy ý và xác định một hàm N thuộc ε sao cho bất đẳng thức thỏa mãn với mọi.

ví dụ 1

Chứng minh rằng .

(1) .
Trong trường hợp của chúng ta ;
.

.
Hãy sử dụng các tính chất của bất đẳng thức. Sau đó, nếu và, sau đó
.

.
sau đó
tại .
Điều này có nghĩa là con số là giới hạn của dãy số đã cho:
.

Ví dụ 2

Sử dụng định nghĩa giới hạn của dãy số, hãy chứng minh rằng
.

Chúng tôi viết ra định nghĩa về giới hạn của một dãy số:
(1) .
Trong trường hợp của chúng ta , ;
.

Chúng tôi nhập các số dương và:
.
Hãy sử dụng các tính chất của bất đẳng thức. Sau đó, nếu và, sau đó
.

Nghĩa là, với bất kỳ số dương nào, chúng ta có thể lấy bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn hoặc bằng:
.
sau đó
tại .
.

Ví dụ 3

.

Chúng tôi giới thiệu ký hiệu ,.
Hãy biến đổi sự khác biệt:
.
Đối với tự nhiên n = 1, 2, 3, ... chúng ta có:
.

Chúng tôi viết ra định nghĩa về giới hạn của một dãy số:
(1) .
Chúng tôi nhập các số dương và:
.
Sau đó, nếu và, sau đó
.

Nghĩa là, với bất kỳ số dương nào, chúng ta có thể lấy bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn hoặc bằng:
.
Trong đó
tại .
Điều này có nghĩa là con số là giới hạn của dãy số:
.

Ví dụ 4

Sử dụng định nghĩa giới hạn của dãy số, hãy chứng minh rằng
.

Chúng tôi viết ra định nghĩa về giới hạn của một dãy số:
(1) .
Trong trường hợp của chúng ta , ;
.

Chúng tôi nhập các số dương và:
.
Sau đó, nếu và, sau đó
.

Nghĩa là, với bất kỳ số dương nào, chúng ta có thể lấy bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn hoặc bằng:
.
sau đó
tại .
Điều này có nghĩa là con số là giới hạn của dãy số:
.

Người giới thiệu:
L.D. Kudryavtsev. Khóa học về phân tích toán học. Tập 1. Matxcova, 2003.
CM. Nikolsky. Khóa học về phân tích toán học. Tập 1. Matxcova, 1983.