Tại sao các tính chất quan trọng nhất của phép toán lượng giác được thực hiện. Lượng giác rất đơn giản và rõ ràng
Sine, cosine, tangent - khi phát âm những từ này trước sự chứng kiến của học sinh trung học, bạn có thể chắc chắn rằng 2/3 trong số họ sẽ mất hứng thú khi trò chuyện thêm. Nguyên nhân nằm ở chỗ, các kiến thức cơ bản về lượng giác ở trường được dạy hoàn toàn tách biệt với thực tế, và do đó học sinh không thấy có ích khi học các công thức và định lý.
Trên thực tế, lĩnh vực kiến thức này, khi xem xét kỹ hơn, hóa ra rất thú vị, cũng như ứng dụng - lượng giác được sử dụng trong thiên văn học, xây dựng, vật lý, âm nhạc và nhiều lĩnh vực khác.
Chúng ta hãy làm quen với các khái niệm cơ bản và nêu một số lý do để nghiên cứu ngành khoa học toán học này.
Câu chuyện
Người ta không biết vào thời điểm nào nhân loại bắt đầu tạo ra lượng giác trong tương lai từ đầu. Tuy nhiên, có tài liệu cho rằng vào thiên niên kỷ thứ hai trước Công nguyên, người Ai Cập đã quen thuộc với những kiến thức cơ bản của khoa học này: các nhà khảo cổ học đã tìm thấy một tờ giấy cói với nhiệm vụ là tìm góc nghiêng của kim tự tháp trên hai mặt đã biết.
Các nhà khoa học của Babylon Cổ đại đã đạt được những thành công nghiêm trọng hơn. Tham gia vào lĩnh vực thiên văn học trong nhiều thế kỷ, họ nắm vững một số định lý, đưa ra các phương pháp đo góc đặc biệt mà ngày nay chúng ta sử dụng: độ, phút và giây được khoa học châu Âu mượn trong nền văn hóa Hy Lạp-La Mã, trong đó đơn vị đến từ người Babylon.
Người ta cho rằng định lý Pitago nổi tiếng, liên quan đến những điều cơ bản của lượng giác, đã được người Babylon biết đến gần bốn nghìn năm trước.
Tên
Theo nghĩa đen, thuật ngữ "lượng giác" có thể được dịch là "số đo của tam giác." Đối tượng nghiên cứu chính của phần khoa học này trong nhiều thế kỷ là một tam giác vuông, hay đúng hơn, mối quan hệ giữa độ lớn của các góc và độ dài các cạnh của nó (ngày nay, việc nghiên cứu lượng giác bắt đầu từ phần này từ cào). Trong cuộc sống, không hiếm trường hợp không thể đo thực tế tất cả các thông số cần thiết của một đối tượng (hoặc khoảng cách đến đối tượng), và khi đó cần lấy số liệu còn thiếu thông qua tính toán.
Ví dụ, trong quá khứ, một người không thể đo khoảng cách tới các vật thể trong không gian, nhưng những nỗ lực để tính toán những khoảng cách này xảy ra trước thời đại của chúng ta rất lâu. Lượng giác cũng đóng một vai trò quan trọng trong việc điều hướng: với một số kiến thức, thuyền trưởng luôn có thể điều hướng theo các vì sao vào ban đêm và điều chỉnh hướng đi.
Các khái niệm cơ bản
Để thành thạo lượng giác từ đầu, bạn cần hiểu và nhớ một số thuật ngữ cơ bản.
Sin của một góc là tỷ số của chân đối diện với cạnh huyền. Hãy để chúng tôi làm rõ rằng chân đối diện là bên nằm đối diện với góc mà chúng ta đang xem xét. Do đó, nếu góc là 30 độ, sin của góc này, với mọi kích thước của tam giác, sẽ luôn bằng ½. Côsin của một góc là tỷ số của chân kề cạnh cạnh huyền.
Tiếp tuyến là tỷ số của chân đối diện với chân kề (hoặc tương đương, tỷ số giữa sin trên côsin). Cotang là đơn vị chia cho tiếp tuyến.
Điều đáng nói là con số nổi tiếng Pi (3,14 ...), tức là một nửa chiều dài của hình tròn có bán kính là một đơn vị.
Sai lầm phổ biến
Những người học lượng giác từ đầu mắc một số sai lầm - chủ yếu là do không chú ý.
Đầu tiên, khi giải các bài toán về hình học, cần phải nhớ rằng việc sử dụng sin và cosin chỉ có thể thực hiện được trong một tam giác vuông. Điều xảy ra là học sinh “trên máy” lấy cạnh dài nhất của tam giác làm cạnh huyền và nhận được kết quả tính toán không chính xác.
Thứ hai, lúc đầu rất dễ nhầm lẫn giữa các giá trị của sin và cosin cho góc đã chọn: hãy nhớ lại rằng sin 30 độ về mặt số học bằng cosin của 60, và ngược lại. Nếu bạn thay thế số sai, tất cả các phép tính tiếp theo sẽ sai.
Thứ ba, cho đến khi vấn đề được giải quyết hoàn toàn, nó không có giá trị làm tròn bất kỳ giá trị nào, rút gốc, viết một phân số thông thường dưới dạng số thập phân. Thông thường, học sinh cố gắng đạt được một số “đẹp” trong một bài toán lượng giác và ngay lập tức rút ra căn ba, mặc dù sau chính xác một hành động, căn này có thể bị giảm đi.
Từ nguyên của từ "sin"
Lịch sử của từ "sin" thực sự không bình thường. Thực tế là bản dịch theo nghĩa đen của từ này từ tiếng Latinh có nghĩa là "rỗng". Điều này là do sự hiểu biết chính xác của từ đã bị mất khi dịch từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác.
Tên của các hàm lượng giác cơ bản có nguồn gốc từ Ấn Độ, nơi khái niệm sin được biểu thị bằng từ "string" trong tiếng Phạn - thực tế là đoạn, cùng với cung của một vòng tròn mà nó nằm trên đó, trông giống như một cái cung. . Trong thời kỳ hoàng kim của nền văn minh Ả Rập, những thành tựu của Ấn Độ trong lĩnh vực lượng giác đã được vay mượn, và thuật ngữ này được chuyển sang ngôn ngữ Ả Rập dưới dạng phiên âm. Tình cờ xảy ra rằng ngôn ngữ này đã có một từ tương tự cho chứng trầm cảm, và nếu người Ả Rập hiểu được sự khác biệt về ngữ âm giữa một từ bản địa và một từ vay mượn, thì người châu Âu, dịch các luận thuyết khoa học sang tiếng Latinh, đã dịch nhầm theo nghĩa đen từ tiếng Ả Rập, điều này không liên quan gì đến khái niệm sin. Chúng tôi sử dụng chúng cho đến ngày nay.
Bảng giá trị
Có các bảng chứa các giá trị số cho sin, cosine và tiếp tuyến của tất cả các góc có thể. Dưới đây chúng tôi trình bày dữ liệu cho các góc 0, 30, 45, 60 và 90 độ, các góc này phải được học như một phần bắt buộc của lượng giác đối với "hình nộm", vì nó khá dễ nhớ.
Nếu đã xảy ra trường hợp giá trị số của sin hoặc côsin của góc "bay ra khỏi đầu tôi", thì có một cách để tự suy ra.
Biểu diễn hình học
Hãy vẽ một đường tròn, vẽ abscissa và sắp xếp các trục qua tâm của nó. Trục abscissa là nằm ngang, trục tọa độ là thẳng đứng. Chúng thường được ký tên tương ứng là "X" và "Y". Bây giờ chúng ta vẽ một đường thẳng từ tâm của vòng tròn sao cho chúng ta có được góc chúng ta cần giữa nó và trục X. Cuối cùng, từ điểm mà đường thẳng cắt đường tròn, chúng ta hạ thấp vuông góc với trục X. Độ dài của đoạn kết quả sẽ bằng giá trị số của sin của góc của chúng ta.
Phương pháp này rất phù hợp nếu bạn quên giá trị mong muốn, chẳng hạn như trong một kỳ thi và không có sách giáo khoa lượng giác trong tay. Bạn sẽ không có được con số chính xác theo cách này, nhưng bạn chắc chắn sẽ thấy sự khác biệt giữa ½ và 1,73 / 2 (sin và cosin của một góc 30 độ).
Ứng dụng
Một trong những chuyên gia đầu tiên sử dụng lượng giác là những thủy thủ không có điểm tham chiếu nào khác trên biển cả ngoài bầu trời trên đầu họ. Ngày nay, thuyền trưởng của các con tàu (máy bay và các phương thức vận tải khác) không tìm kiếm con đường ngắn nhất qua các vì sao, mà chủ động nhờ đến sự trợ giúp của định vị GPS, điều này sẽ không thể thực hiện được nếu không sử dụng lượng giác.
Trong hầu hết các phần vật lý, bạn sẽ tìm thấy các phép tính sử dụng sin và cosin: cho dù đó là ứng dụng của lực trong cơ học, tính toán đường đi của các vật thể trong động học, dao động, truyền sóng, khúc xạ ánh sáng - đơn giản là bạn không thể làm được nếu không có lượng giác cơ bản. trong công thức.
Một nghề khác không thể tưởng tượng được nếu không có lượng giác là nhân viên khảo sát. Sử dụng máy kinh vĩ và một mức, hoặc một thiết bị tinh vi hơn - máy đo tốc độ, những người này đo sự chênh lệch độ cao giữa các điểm khác nhau trên bề mặt trái đất.
Độ lặp lại
Lượng giác không chỉ đề cập đến các góc và các cạnh của một tam giác, mặc dù đây là nơi nó bắt đầu tồn tại. Trong tất cả các lĩnh vực có tính chu kỳ (sinh học, y học, vật lý, âm nhạc, v.v.), bạn sẽ bắt gặp một biểu đồ có tên mà bạn có thể biết - đây là một hình sin.
Biểu đồ như vậy là một vòng tròn mở ra dọc theo trục thời gian và trông giống như một làn sóng. Nếu bạn đã từng làm việc với máy hiện sóng trong một lớp học vật lý, bạn sẽ biết tôi đang nói về điều gì. Cả bộ cân bằng âm nhạc và bộ theo dõi nhịp tim đều sử dụng các công thức lượng giác trong công việc của họ.
Cuối cùng
Khi nghĩ về cách học lượng giác, hầu hết học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông bắt đầu coi đây là một môn khoa học khó và không thực tế, vì họ chỉ làm quen với những thông tin sách giáo khoa nhàm chán.
Về tính phi thực tế, chúng ta đã thấy rằng, ở mức độ này hay mức độ khác, khả năng xử lý các đường sin và tiếp tuyến là cần thiết trong hầu hết mọi lĩnh vực hoạt động. Và đối với sự phức tạp ... Hãy nghĩ xem: nếu người ta sử dụng kiến thức này hơn hai nghìn năm trước, khi một người trưởng thành có ít kiến thức hơn học sinh trung học ngày nay, thì cá nhân bạn có thực sự có thể nghiên cứu lĩnh vực \ u200b này không khoa học \ u200 ở cấp độ cơ bản? Một vài giờ thực hành chu đáo với việc giải quyết vấn đề - và bạn sẽ đạt được mục tiêu của mình bằng cách học khóa học cơ bản, cái gọi là lượng giác cho "hình nộm".
Khi thực hiện các phép biến đổi lượng giác, hãy làm theo các mẹo sau:
- Đừng cố nghĩ ra ngay một kế hoạch để giải một ví dụ từ đầu đến cuối.
- Đừng cố gắng chuyển đổi toàn bộ ví dụ cùng một lúc. Tiến lên từng bước nhỏ.
- Hãy nhớ rằng ngoài các công thức lượng giác trong lượng giác, bạn vẫn có thể áp dụng tất cả các phép biến đổi đại số công bằng (phép cộng, rút gọn phân số, công thức nhân viết tắt, v.v.).
- Hãy tin rằng mọi thứ sẽ ổn thôi.
Các công thức lượng giác cơ bản
Hầu hết các công thức trong lượng giác thường được áp dụng cả từ phải sang trái và từ trái sang phải, vì vậy bạn cần học tốt các công thức này để có thể dễ dàng áp dụng một số công thức theo cả hai hướng. Để bắt đầu, chúng tôi viết ra các định nghĩa của các hàm lượng giác. Để có một tam giác vuông:
Sau đó, định nghĩa của sin là:
Định nghĩa của cosine:
Định nghĩa tiếp tuyến:
Định nghĩa cotang:
Nhận dạng lượng giác cơ bản:
Các hệ quả đơn giản nhất từ nhận dạng lượng giác cơ bản:
Công thức góc nhân đôi. Sin của một góc kép:
Cosin của một góc kép:
Tiếp tuyến góc kép:
Cotang góc đôi:
Các công thức lượng giác bổ sung
Các công thức cộng lượng giác. Sine của tổng:
Sine của sự khác biệt:
Cosine của tổng:
Cosine của sự khác biệt:
Tiếp tuyến của tổng:
Tiếp tuyến khác biệt:
Cotangent của tổng:
Sự khác biệt cotang:
Công thức lượng giác để chuyển một tổng thành một tích. Tổng các sin:
Sự khác biệt sin:
Tổng của cosin:
Cosine khác biệt:
tổng các tiếp tuyến:
Sự khác biệt tiếp tuyến:
Tổng của cotang:
Sự khác biệt đồng dạng:
Công thức lượng giác để chuyển một tích thành một tổng. Sản phẩm của sines:
Tích của sin và cosine:
Sản phẩm của cosine:
Các công thức giảm độ.
Công thức nửa góc.
Công thức rút gọn lượng giác
Hàm cosin được gọi là hợp tác hàm sin và ngược lại. Tương tự, các hàm tiếp tuyến và cotang là đồng biến. Các công thức rút gọn có thể được xây dựng theo quy tắc sau:
- Nếu trong công thức rút gọn, góc bị trừ (thêm vào) 90 độ hoặc 270 độ, thì hàm giảm được chuyển thành hàm đồng biến;
- Nếu trong công thức rút gọn, góc bị trừ (cộng) 180 độ hoặc 360 độ, thì tên của hàm số giảm được giữ nguyên;
- Trong trường hợp này, hàm giảm được đặt trước dấu hiệu mà hàm giảm (tức là ban đầu) có trong phần tư tương ứng, nếu chúng ta coi góc bị trừ (thêm vào) là góc nhọn.
Truyền công thứcđược đưa ra dưới dạng một bảng:
Qua vòng tròn lượng giác rất dễ dàng để xác định các giá trị dạng bảng của các hàm lượng giác:
Phương trình lượng giác
Để giải một phương trình lượng giác nào đó, nó phải được rút gọn thành một trong những phương trình lượng giác đơn giản nhất, sẽ được thảo luận dưới đây. Đối với điều này:
- Bạn có thể áp dụng các công thức lượng giác ở trên. Trong trường hợp này, bạn không cần cố gắng chuyển đổi toàn bộ ví dụ cùng một lúc, nhưng bạn cần tiến hành từng bước nhỏ.
- Chúng ta không được quên về khả năng biến đổi một số biểu thức với sự trợ giúp của các phương pháp đại số, tức là ví dụ: đặt một cái gì đó ra khỏi dấu ngoặc hoặc ngược lại, mở dấu ngoặc, rút gọn phân số, áp dụng công thức nhân rút gọn, rút gọn phân số về một mẫu số chung, v.v.
- Khi giải phương trình lượng giác, bạn có thể áp dụng phương pháp phân nhóm. Cần phải nhớ rằng để tích của một số yếu tố bằng 0, thì bất kỳ yếu tố nào trong số đó cũng bằng 0, và phần còn lại tồn tại.
- Đang áp dụng phương pháp thay thế biến, như thường lệ, phương trình sau khi giới thiệu thay thế sẽ trở nên đơn giản hơn và không chứa biến ban đầu. Bạn cũng cần nhớ thực hiện thay thế ngược lại.
- Hãy nhớ rằng đẳng thức thuần nhất cũng thường xảy ra trong lượng giác.
- Khi mở môđun hoặc giải phương trình vô tỷ với hàm lượng giác, người ta phải nhớ và tính đến tất cả các tinh tế của việc giải các phương trình tương ứng với các hàm thông thường.
- Hãy nhớ về ODZ (trong phương trình lượng giác, các hạn chế trên ODZ về cơ bản là do bạn không thể chia hết cho 0, nhưng đừng quên các hạn chế khác, đặc biệt là về tính tích cực của các biểu thức trong lũy thừa hữu tỉ và dưới gốc của bậc chẵn ). Cũng nên nhớ rằng các giá trị sin và cosin chỉ có thể nằm trong khoảng từ trừ một đến cộng một, tính toàn bộ.
Vấn đề chính là, nếu bạn không biết phải làm gì, hãy làm ít nhất một điều gì đó, trong khi điều chính là sử dụng các công thức lượng giác một cách chính xác. Nếu những gì bạn nhận được ngày càng tốt hơn, thì hãy tiếp tục với giải pháp, còn nếu nó trở nên tồi tệ hơn, hãy quay lại từ đầu và thử áp dụng các công thức khác, cứ làm như vậy cho đến khi bạn tìm ra giải pháp chính xác.
Các công thức giải phương trình lượng giác đơn giản nhất.Đối với sin, có hai dạng tương đương để viết lời giải:
Đối với các hàm lượng giác khác, ký hiệu là duy nhất. Đối với cosine:
Đối với tiếp tuyến:
Đối với cotangent:
Giải phương trình lượng giác trong một số trường hợp đặc biệt:
Thực hiện thành công, siêng năng và có trách nhiệm với ba điểm này sẽ cho phép bạn thể hiện một kết quả xuất sắc trên CT, tối đa những gì bạn có thể làm được.
Tìm thấy một lỗi?
Nếu bạn, cũng như bạn, tìm thấy lỗi trong tài liệu đào tạo, vui lòng viết thư về lỗi đó qua đường bưu điện. Bạn cũng có thể viết về lỗi trên mạng xã hội (). Trong thư, cho biết chủ đề (vật lý hoặc toán học), tên hoặc số của chủ đề hoặc bài kiểm tra, số nhiệm vụ, hoặc vị trí trong văn bản (trang), theo ý kiến của bạn, có sai sót. Cũng mô tả lỗi bị cáo buộc là gì. Thư của bạn sẽ không được chú ý, lỗi sẽ được sửa hoặc bạn sẽ được giải thích tại sao nó không phải là lỗi.
Ngay từ năm 1905, độc giả Nga đã có thể đọc trên tạp chí Tâm lý học của William James, lý luận của ông về "tại sao lại nhồi nhét một cách học tồi như vậy?"
“Kiến thức có được thông qua việc nhồi nhét đơn thuần gần như chắc chắn bị lãng quên hoàn toàn không dấu vết. Ngược lại, vật chất tinh thần, được trí nhớ tích lũy dần dần, ngày này qua ngày khác, liên quan đến các bối cảnh khác nhau, gắn liền với các sự kiện bên ngoài khác và liên tục được thảo luận, tạo thành một hệ thống như vậy, đi vào mối liên hệ như vậy với các khía cạnh khác của trí tuệ chúng ta. , dễ dàng được tái tạo trong bộ nhớ bởi một loạt các lý do bên ngoài mà vẫn là một sự tiếp thu vững chắc lâu dài.
Hơn 100 năm đã trôi qua kể từ đó, và những từ này vẫn mang tính thời sự một cách đáng kinh ngạc. Bạn thấy điều này hàng ngày khi bạn làm việc với học sinh. Lỗ hổng kiến thức lớn đến mức có thể lập luận rằng một khóa học toán học ở trường về giáo khoa và tâm lý học không phải là một hệ thống, mà là một loại thiết bị khuyến khích trí nhớ ngắn hạn và hoàn toàn không quan tâm đến trí nhớ dài hạn. .
Để biết các khóa học toán học ở trường có nghĩa là phải nắm vững tài liệu của từng lĩnh vực toán học, để có thể cập nhật bất kỳ lĩnh vực nào trong số chúng bất kỳ lúc nào. Để đạt được điều này, bạn cần giải quyết từng vấn đề một cách có hệ thống, điều này đôi khi không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được do khối lượng bài học quá nặng.
Có một cách khác để ghi nhớ lâu dài các dữ kiện và công thức - đây là những tín hiệu tham khảo.
Lượng giác là một trong những chuyên mục lớn của Toán học phổ thông được học trong chương trình hình học lớp 8, lớp 9 và phân tích đại số lớp 9, đầu bài giải tích lớp 10.
Tài liệu lượng giác học lớp 10 nhiều nhất. Phần lớn tài liệu lượng giác này có thể được học và ghi nhớ trên vòng tròn lượng giác(đường tròn bán kính đơn vị có tâm tại gốc của hệ trục tọa độ hình chữ nhật). Application1.ppt
Đây là những khái niệm sau đây về lượng giác:
- định nghĩa sin, côsin, tiếp tuyến và phương trình góc;
- số đo góc rađian;
- miền định nghĩa và phạm vi của các hàm lượng giác
- giá trị của các hàm lượng giác đối với một số giá trị của đối số góc và số;
- tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác;
- hàm lượng giác chẵn và lẻ;
- sự tăng, giảm của các hàm số lượng giác;
- công thức khử;
- giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo;
- nghiệm của các phương trình lượng giác đơn giản nhất;
- nghiệm của các bất phương trình đơn giản nhất;
- các công thức cơ bản của lượng giác.
Hãy xem xét việc nghiên cứu các khái niệm này trên một đường tròn lượng giác.
1) Định nghĩa sin, côsin, tiếp tuyến và cotang.
Sau khi giới thiệu khái niệm đường tròn lượng giác (đường tròn bán kính đơn vị có tâm tại gốc tọa độ), bán kính ban đầu (bán kính đường tròn hướng trục Ox), góc quay, học sinh độc lập nhận định nghĩa sin, côsin. , tiếp tuyến và cotang trên một đường tròn lượng giác, sử dụng các định nghĩa từ hình học khóa học, tức là, xét một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 1.
Côsin của một góc là hoành độ của một điểm trên đường tròn khi bán kính ban đầu quay một góc cho trước.
Sin của một góc là hoành độ của một điểm trên đường tròn khi bán kính ban đầu quay một góc cho trước.
2) Số đo rađian của các góc trên đường tròn lượng giác.
Sau khi giới thiệu số đo góc rađian (1 radian là góc ở tâm ứng với độ dài cung bằng bán kính đường tròn), học sinh kết luận số đo góc rađian là trị số của góc quay trên đường tròn. , bằng độ dài của cung tương ứng khi bán kính ban đầu quay một góc cho trước. .
Đường tròn lượng giác được chia thành 12 phần bằng nhau bằng các đường kính của đường tròn. Biết rằng một góc là một radian, người ta có thể xác định số đo radian cho các góc là bội số của.
Và các số đo radian của các góc là bội số cũng thu được tương tự:
3) Miền xác định và miền giá trị của các hàm số lượng giác.
Sự tương ứng của các góc quay và các giá trị tọa độ của một điểm trên một đường tròn có phải là một hàm số không?
Mỗi góc quay tương ứng với một điểm duy nhất trên đường tròn, do đó sự tương ứng này là một hàm.
Nhận các chức năng
Có thể thấy trên đường tròn lượng giác, miền xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực và miền giá trị là.
Hãy để chúng tôi giới thiệu các khái niệm về đường của tiếp tuyến và cotang trên một đường tròn lượng giác.
1) Để 
Chúng tôi giới thiệu một đường thẳng phụ song song với trục Oy, trên đó các tiếp tuyến được xác định cho bất kỳ đối số số nào.
2) Tương tự, chúng ta thu được một đường cotang. Cho y = 1, khi đó. Điều này có nghĩa là các giá trị của cotang được xác định trên một đường thẳng song song với trục Ox.
Trên một đường tròn lượng giác, người ta có thể dễ dàng xác định miền xác định và khoảng giá trị của các hàm số lượng giác:
cho tiếp tuyến -
cho cotangent -
4) Giá trị của hàm số lượng giác trên đường tròn lượng giác.
Chân đối diện với một góc ở nửa cạnh huyền, tức là chân kia theo định lý Pitago:
Vì vậy, theo định nghĩa của sin, cosine, tiếp tuyến, cotang, bạn có thể xác định các giá trị cho các góc là bội số hoặc radian. Các giá trị sin được xác định dọc theo trục Oy, giá trị cosin dọc theo trục Ox, và các giá trị tiếp tuyến và tọa độ có thể được xác định từ các trục bổ sung song song với trục Oy và Ox.
Các giá trị dạng bảng của sin và cosine được đặt trên các trục tương ứng như sau: 
Các giá trị dạng bảng của tiếp tuyến và phương - 
5) Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác.
Trên đường tròn lượng giác, có thể thấy rằng các giá trị của sin, cosin được lặp lại trên mỗi radian, và tiếp tuyến và cotang - mọi radian.
6) Hàm số lượng giác chẵn và lẻ.
Tính chất này có thể nhận được bằng cách so sánh các giá trị của góc quay dương và góc quay đối diện của các hàm lượng giác. Chúng tôi nhận được điều đó
Do đó, côsin là một hàm số chẵn, tất cả các hàm số khác là số lẻ.
 |
7) Hàm số lượng giác tăng, giảm.
Đường tròn lượng giác cho thấy hàm số sin tăng 
và giảm dần 
Lập luận tương tự, chúng ta thu được khoảng tăng và giảm của các hàm số cosin, tiếp tuyến và hàm phương.
8) Các công thức tính khử.
Đối với góc ta lấy giá trị nhỏ hơn của góc trên đường tròn lượng giác. Tất cả các công thức có được bằng cách so sánh các giá trị của các hàm lượng giác trên chân của các tam giác vuông đã chọn.
Thuật toán áp dụng các công thức rút gọn:
1) Xác định dấu của hàm số khi quay qua một góc cho trước.
Khi rẽ một góc 
hàm số được bảo toàn, khi quay một góc - một số nguyên, một số lẻ, một hàm số thu được (
9) Giá trị của hàm số lượng giác nghịch đảo.
Chúng tôi giới thiệu các hàm ngược cho các hàm lượng giác bằng cách sử dụng định nghĩa của một hàm.
Mỗi giá trị của sin, côsin, tiếp tuyến và côtang trên một đường tròn lượng giác chỉ ứng với một giá trị của góc quay. Vì vậy, đối với một hàm, miền xác định là, miền giá trị là - Đối với hàm, miền xác định là, miền giá trị là. Tương tự, chúng ta thu được miền định nghĩa và phạm vi của các hàm ngược đối với cosin và cotang.
Thuật toán tìm giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo:
1) Tìm trên trục tương ứng giá trị của đối số của hàm lượng giác nghịch đảo;
2) Tìm góc quay của bán kính ban đầu, có tính đến khoảng giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo.
Ví dụ: 
10) Nghiệm của phương trình đơn giản nhất trên đường tròn lượng giác.
Để giải một phương trình có dạng, chúng ta tìm các điểm trên một đường tròn có hoành độ bằng nhau và viết ra các góc tương ứng, có tính đến chu kỳ của hàm số.
Đối với phương trình, chúng ta tìm các điểm trên đường tròn có hoành độ bằng nhau và viết ra các góc tương ứng, có tính đến chu kỳ của hàm số.
Tương tự đối với các phương trình dạng 
Các giá trị được xác định trên các đường tiếp tuyến và cotang và các góc quay tương ứng được ghi lại.
Tất cả các khái niệm và công thức lượng giác đều được học sinh tự tiếp thu dưới sự hướng dẫn rõ ràng của giáo viên với sự trợ giúp của vòng tròn lượng giác. Trong tương lai, “vòng tròn” này sẽ phục vụ như một tín hiệu tham chiếu cho chúng hoặc một yếu tố bên ngoài để tái tạo trong bộ nhớ các khái niệm và công thức lượng giác.
Việc nghiên cứu lượng giác trên một đường tròn lượng giác góp phần vào:
- lựa chọn phong cách giao tiếp tối ưu cho bài học này, tổ chức hợp tác giáo dục;
- mục tiêu bài học trở nên quan trọng đối với mỗi học sinh;
- tài liệu mới dựa trên kinh nghiệm cá nhân về hành động, suy nghĩ, cảm giác của học sinh;
- bài học bao gồm các dạng bài và cách thu nhận, đồng hóa kiến thức; có yếu tố tự học hỏi lẫn nhau; kiểm soát bản thân và lẫn nhau;
- có phản ứng nhanh chóng đối với sự hiểu lầm và sai sót (thảo luận chung, gợi ý hỗ trợ, tham vấn lẫn nhau).
Trong bài học này, chúng ta sẽ nói về nhu cầu phát sinh của việc giới thiệu các hàm lượng giác và lý do tại sao chúng được nghiên cứu, những gì bạn cần hiểu trong chủ đề này và nơi bạn chỉ cần điền vào tay (đó là một kỹ thuật). Lưu ý rằng kỹ thuật và hiểu biết là hai điều khác nhau. Đồng ý rằng, có một sự khác biệt: để học đi xe đạp, nghĩa là bạn phải hiểu cách thực hiện nó, hoặc để trở thành một tay đua xe đạp chuyên nghiệp. Chúng ta sẽ nói về sự hiểu biết, về lý do tại sao chúng ta cần các hàm lượng giác.
Có bốn hàm lượng giác, nhưng tất cả chúng đều có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm bằng cách sử dụng đồng nhất (các hàm bằng nhau kết nối chúng).
Định nghĩa chính thức của hàm lượng giác đối với góc nhọn trong tam giác vuông (Hình 1).
xoang Góc nhọn của tam giác vuông được gọi là tỉ số của chân đối diện với cạnh huyền.
cô sin Góc nhọn của tam giác vuông được gọi là tỉ số của chân kề cạnh cạnh huyền.
đường tiếp tuyến Góc nhọn của tam giác vuông được gọi là tỷ số của chân đối diện với chân liền kề.
Cotangent Góc nhọn của tam giác vuông được gọi là tỷ số của chân kề với chân đối diện.
Cơm. 1. Định nghĩa các hàm số lượng giác một góc nhọn của tam giác vuông
Những định nghĩa này là chính thức. Nói đúng hơn là chỉ có một hàm, ví dụ, sin. Nếu chúng không quá cần thiết (không thường được sử dụng) trong công nghệ, thì rất nhiều hàm lượng giác khác nhau sẽ không được giới thiệu.
Ví dụ, cosin của một góc bằng sin của cùng một góc với phép cộng (). Ngoài ra, côsin của một góc luôn có thể được biểu thị dưới dạng sin của cùng một góc, tới một dấu, bằng cách sử dụng đồng dạng lượng giác cơ bản (). Tiếp tuyến của một góc là tỷ số giữa sin và côsin hoặc cotang ngược (Hình 2). Một số không sử dụng cotangent, thay thế nó bằng. Vì vậy, điều quan trọng là phải hiểu và có thể làm việc với một hàm lượng giác.
Cơm. 2. Kết nối của các hàm lượng giác khác nhau
Nhưng tại sao bạn lại cần những chức năng như vậy? Chúng được sử dụng cho những vấn đề thực tế nào? Hãy xem một vài ví dụ.
Hai người ( NHƯNG và TẠI) đẩy xe ra khỏi vũng nước (Hình 3). Người đàn ông TẠI có thể đẩy xe sang một bên, trong khi nó không có khả năng giúp đỡ NHƯNG. Mặt khác, hướng nỗ lực của anh ấy có thể dần thay đổi (Hình 4).
Cơm. 3. TẠIđẩy xe vào lề
Cơm. 4. TẠI bắt đầu thay đổi hướng
Rõ ràng là nỗ lực của họ sẽ đạt hiệu quả cao nhất khi họ đẩy xe về một hướng (Hình 5).
Cơm. 5. Hướng nỗ lực chung hiệu quả nhất
Bao nhiêu TẠI giúp đẩy máy, khi hướng của lực của nó gần với hướng của lực mà nó tác dụng NHƯNG, là một hàm của góc và được biểu thị dưới dạng cosin của nó (Hình 6).
Cơm. 6. Cosine như một đặc trưng của hiệu quả của những nỗ lực TẠI
Nếu chúng ta nhân độ lớn của lực với TẠI, trên cosin của góc, chúng ta nhận được hình chiếu của lực của nó lên phương của lực mà nó tác dụng NHƯNG. Góc giữa các phương của lực càng gần nhau thì kết quả của các hoạt động chung sẽ càng hiệu quả. NHƯNG và TẠI(Hình 7). Nếu họ đẩy ô tô với cùng một lực ngược chiều nhau thì ô tô sẽ giữ nguyên vị trí (Hình 8).
Cơm. 7. Hiệu quả của những nỗ lực chung NHƯNG và TẠI
Cơm. 8. Chiều ngược nhau của các lực NHƯNG và TẠI
Điều quan trọng là phải hiểu tại sao chúng ta có thể thay thế góc (đóng góp của nó vào kết quả cuối cùng) bằng cosin (hoặc hàm lượng giác khác của góc). Trên thực tế, điều này xuất phát từ tính chất như vậy của các tam giác đồng dạng. Vì thực tế chúng ta đang nói như sau: góc có thể được thay thế bằng tỷ số của hai số (cạnh huyền hoặc chân-chân). Điều này là không thể nếu, ví dụ, đối với cùng một góc của các tam giác vuông khác nhau, các tỷ lệ này sẽ khác nhau (Hình 9).
Cơm. 9. Tỉ số các cạnh trong tam giác đồng dạng bằng nhau
Ví dụ, nếu tỷ số và tỷ số khác nhau, thì chúng ta sẽ không thể giới thiệu hàm tiếp tuyến, vì đối với cùng một góc trong các tam giác vuông khác nhau thì tiếp tuyến sẽ khác nhau. Nhưng do tỉ số độ dài các chân của các tam giác vuông đồng dạng là như nhau nên giá trị của hàm số sẽ không phụ thuộc vào tam giác, nghĩa là góc nhọn và các giá trị lượng giác của nó. các chức năng là một đối một.
Giả sử chúng ta biết chiều cao của một cái cây nào đó (Hình 10). Làm thế nào để đo chiều cao của một tòa nhà gần đó?
Cơm. 10. Minh họa điều kiện của ví dụ 2
Chúng tôi tìm một điểm sao cho đường thẳng vẽ qua điểm này và đỉnh của ngôi nhà sẽ đi qua ngọn cây (Hình 11).
Cơm. 11. Hình minh họa lời giải của bài toán ví dụ 2
Chúng ta có thể đo khoảng cách từ điểm này đến cây, khoảng cách từ nó đến nhà và chúng ta biết được chiều cao của cây. Từ tỷ lệ, bạn có thể tìm thấy chiều cao của ngôi nhà:.
Tỷ lệ là tỉ số của hai số. Trong trường hợp này, bằng nhau về tỉ số độ dài các cạnh của các tam giác vuông đồng dạng. Hơn nữa, các tỷ số này bằng một số đo góc, được biểu thị dưới dạng một hàm lượng giác (theo định nghĩa, đây là một tiếp tuyến). Chúng tôi nhận được rằng đối với mỗi góc nhọn, giá trị của hàm lượng giác của nó là duy nhất. Nghĩa là, sin, cosin, tiếp tuyến, cotang thực sự là các hàm, vì mỗi góc nhọn tương ứng với chính xác một giá trị của mỗi chúng. Do đó, chúng có thể được khám phá thêm và các thuộc tính của chúng có thể được sử dụng. Giá trị của các hàm lượng giác cho tất cả các góc đã được tính toán sẵn, chúng có thể được sử dụng (có thể tìm thấy chúng từ bảng Bradis hoặc sử dụng bất kỳ máy tính kỹ thuật nào). Nhưng để giải quyết vấn đề nghịch đảo (ví dụ, bằng giá trị của sin để khôi phục số đo của góc tương ứng với nó), chúng ta không thể luôn luôn.
Cho sin của một góc nào đó bằng hoặc xấp xỉ (Hình 12). Góc nào sẽ tương ứng với giá trị này của sin? Tất nhiên, chúng ta có thể sử dụng lại bảng Bradys và tìm một số giá trị, nhưng hóa ra đó không phải là giá trị duy nhất (Hình 13).
Cơm. 12. Tìm một góc bằng giá trị của sin
Cơm. 13. Tính đa thức của hàm lượng giác nghịch đảo
Do đó, khi khôi phục giá trị của hàm lượng giác của góc, ta có thể xuất hiện đa thức của hàm lượng giác nghịch đảo. Nghe thì có vẻ phức tạp nhưng thực tế chúng ta phải đối mặt với những tình huống tương tự hàng ngày.
Nếu bạn kéo rèm cửa sổ và không biết bên ngoài sáng hay tối, hoặc thấy mình đang ở trong hang động, thì khi thức dậy, khó có thể nói được bây giờ là giờ trong ngày, đêm hay. ngày hôm sau (Hình 14). Thực tế, nếu bạn hỏi chúng tôi "Mấy giờ rồi?", Chúng tôi nên thành thật trả lời: "Giờ cộng với nhân với đâu"
Cơm. 14. Minh họa polysemy trên ví dụ về đồng hồ
Chúng ta có thể kết luận rằng - đây là khoảng thời gian (khoảng thời gian mà sau đó đồng hồ sẽ hiển thị cùng thời gian như bây giờ). Các hàm lượng giác cũng có các chu kỳ: sin, cosin, v.v. Nghĩa là, các giá trị của chúng được lặp lại sau một số thay đổi trong đối số.
Nếu hành tinh không có sự thay đổi ngày và đêm hoặc sự thay đổi các mùa, thì chúng ta không thể sử dụng thời gian tuần hoàn. Rốt cuộc, chúng tôi chỉ đánh số năm theo thứ tự tăng dần, và có các giờ trong ngày, và mỗi ngày mới, việc đếm bắt đầu lại một lần nữa. Tình hình tương tự với các tháng: nếu bây giờ là tháng Giêng, thì tháng Giêng sẽ lại đến, v.v. Các điểm tham chiếu bên ngoài giúp chúng ta sử dụng cách đếm thời gian theo chu kỳ (giờ, tháng), ví dụ, chuyển động quay của Trái đất quanh trục của nó và sự thay đổi vị trí của Mặt trời và Mặt trăng trên bầu trời. Nếu Mặt Trời luôn treo ở cùng một vị trí, thì để tính thời gian, chúng ta sẽ đếm số giây (phút) kể từ khi phép tính này xảy ra. Ngày và giờ có thể giống như sau: một tỷ giây.
Kết luận: không có khó khăn nào về sự mơ hồ của các hàm nghịch đảo. Thật vậy, có thể có các tùy chọn khi đối với cùng một sin có các giá trị góc khác nhau (Hình 15).
Cơm. 15. Phục hồi một góc bằng giá trị sin của nó
Thông thường, khi giải quyết các vấn đề thực tế, chúng tôi luôn làm việc trong phạm vi tiêu chuẩn từ đến. Trong khoảng này, với mỗi giá trị của hàm số lượng giác chỉ có hai giá trị tương ứng của số đo góc.
Coi một dây đai chuyển động và một con lắc dưới dạng một cái xô có lỗ để cát rơi ra. Con lắc dao động, băng chuyển động (Hình 16). Kết quả là cát sẽ để lại dấu vết dưới dạng đồ thị của hàm sin (hoặc côsin), được gọi là sóng hình sin.
Trên thực tế, đồ thị sin và côsin chỉ khác nhau ở điểm tham chiếu (nếu bạn vẽ một trong số chúng và sau đó xóa các trục tọa độ, thì bạn sẽ không thể xác định được đồ thị nào đã được vẽ). Do đó, không có ý nghĩa gì khi gọi là đồ thị cosin (tại sao lại có một cái tên riêng cho cùng một đồ thị)?
Cơm. 16. Minh họa câu lệnh bài toán trong ví dụ 4
Từ đồ thị của hàm số, bạn cũng có thể hiểu tại sao hàm số nghịch biến sẽ có nhiều giá trị. Nếu giá trị của sin là cố định, tức là kẻ một đường thẳng song song với trục x thì tại giao điểm ta lấy được tất cả các điểm mà sin của góc bằng a đã cho. Rõ ràng là sẽ có vô số điểm như vậy. Như trong ví dụ với đồng hồ, trong đó giá trị thời gian khác nhau, chỉ ở đây giá trị góc sẽ khác một lượng (Hình 17).
Cơm. 17. Minh họa polysemy cho sin
Nếu chúng ta xem xét ví dụ về đồng hồ, thì điểm (cuối kim giờ) chuyển động quanh một vòng tròn. Theo cách tương tự, các hàm lượng giác có thể được xác định - không coi là các góc trong tam giác vuông, mà là góc giữa bán kính của đường tròn và chiều dương của trục. Số vòng tròn mà điểm sẽ đi qua (chúng tôi đồng ý đếm chuyển động theo chiều kim đồng hồ bằng dấu trừ và ngược chiều kim đồng hồ bằng dấu cộng), đây là khoảng thời gian (Hình 18).
Cơm. 18. Giá trị của sin trên đường tròn
Vì vậy, hàm ngược được xác định duy nhất trên một khoảng nào đó. Đối với khoảng thời gian này, chúng ta có thể tính toán các giá trị của nó và lấy tất cả phần còn lại từ các giá trị tìm được bằng cách cộng và trừ chu kỳ của hàm.
Hãy xem xét một ví dụ khác về một khoảng thời gian. Chiếc xe đang chuyển động trên đường. Hãy tưởng tượng rằng bánh xe của cô ấy lái vào sơn hoặc vào một vũng nước. Thỉnh thoảng bạn có thể nhìn thấy những vết sơn hoặc vũng nước trên đường (Hình 19).
Cơm. 19. Hình minh họa thời kỳ
Có rất nhiều công thức lượng giác trong khóa học ở trường, nhưng dù lớn thì chỉ cần nhớ một là đủ (Hình 20).
Cơm. 20. Công thức lượng giác
Công thức góc kép cũng dễ dàng suy ra từ sin của tổng bằng cách thay thế (tương tự đối với côsin). Bạn cũng có thể lấy công thức sản phẩm.
Trên thực tế, bạn cần nhớ rất ít, vì với lời giải của các bài toán, các công thức này sẽ tự ghi nhớ. Tất nhiên, ai đó sẽ quá lười biếng để quyết định rất nhiều, nhưng sau đó anh ta sẽ không cần đến kỹ thuật này, và do đó tự công thức.
Và vì các công thức không cần thiết, nên không cần phải ghi nhớ chúng. Bạn chỉ cần hiểu ý tưởng rằng các hàm lượng giác là các hàm mà ví dụ, các cầu được tính toán. Hầu như không có cơ chế nào có thể làm được nếu không sử dụng và tính toán chúng.
1. Câu hỏi thường đặt ra là liệu dây có thể song song tuyệt đối với đất hay không. Trả lời: không, chúng không thể, vì một lực tác động xuống, trong khi các lực khác tác động song song - chúng sẽ không bao giờ cân bằng (Hình 21).
2. Thiên nga, tôm càng và pike kéo xe trên cùng một mặt phẳng. Thiên nga bay về một hướng, tôm càng kéo theo hướng khác, và chọc ngoáy ở hướng thứ ba (Hình 22). Quyền hạn của họ có thể cân bằng. Bạn có thể tính toán số dư này chỉ với sự trợ giúp của các hàm lượng giác.
3. Cầu dây văng (Hình 23). Các hàm lượng giác giúp tính toán số lượng vải liệm, cách chúng được định hướng và căng như thế nào.
Cơm. 23. Cầu dây văng
Cơm. 24. "Cầu dây"
Cơm. 25. Cầu Obukhovsky lớn
Liên kết đến trang web ma-te-ri-a-lyInternetUrok
Toán lớp 6:
Hình học lớp 8:
Hai đầu và sáu chân; bốn người đi bộ, và hai người nằm yên
Lòng tự trọng - nó là gì: khái niệm, cấu trúc, các loại và cấp độ
Con đường của Cassandra, hoặc Cuộc phiêu lưu Pasta Cuộc chiến trên Trái đất và Dưới lòng đất