Cheat sheet: Số thực Phương trình lượng giác và vô tỉ.

Câu trả lời: x = 3.

8 phương pháp. Ứng dụng của đạo hàm trong giải phương trình vô tỷ

Thông thường, khi giải phương trình bằng phương pháp đạo hàm, phương pháp ước lượng được sử dụng.

VÍ DỤ 15:

Giải phương trình: (1)

Giải pháp: Vì https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif "width =" 371 "height =" 29 "> hoặc (2). Hãy xem xét hàm ..gif "width =" 400 "height =" 23 src = ">. gif" width = "215" height = "49"> ở tất cả và do đó đang tăng lên. Do đó, phương trình tương đương với một phương trình có căn là căn của phương trình ban đầu.

Câu trả lời:

VÍ DỤ 16:

Giải phương trình vô tỷ:

Miền xác định của hàm là một đoạn. Tìm lớn nhất và giá trị nhỏ nhất các giá trị của hàm này trên khoảng. Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm của hàm f (x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif "width =" 37 height = 19 "height =" 19 ">. Hãy tìm các giá trị của hàm f (x)ở cuối đoạn và tại điểm: Vì vậy, Nhưng và do đó, chỉ có thể có bình đẳng với điều kiện https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif "width =" 37 " height = "19 src ="> Xác minh cho thấy rằng số 3 là căn của phương trình này.

Câu trả lời: x = 3.

9 phương pháp. Chức năng

Trong các kỳ thi, đôi khi họ đề nghị giải các phương trình có thể viết dưới dạng, đâu là một hàm số nào đó.

Ví dụ, một số phương trình: 1) 2) . Thật vậy, trong trường hợp đầu tiên , trong trường hợp thứ hai . Do đó, hãy giải phương trình vô tỷ bằng cách sử dụng câu lệnh sau: nếu một hàm số đang tăng nghiêm ngặt trên tập X và đối với bất kỳ, thì các phương trình, v.v., tương đương trên tập X .

Giải phương trình vô tỷ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif "width =" 103 "height =" 25 "> tăng nghiêm ngặt trên bộ R, và https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif "width =" 45 "height =" 24 src = "> .. gif" width = "104" height = "24 src =" > có một căn duy nhất Do đó, phương trình tương đương (1) cũng có một căn duy nhất

Câu trả lời: x = 3.

VÍ DỤ 18:

Giải phương trình vô tỷ: (1)

Theo định nghĩa căn bậc hai chúng ta hiểu rằng nếu phương trình (1) có nghiệm nguyên thì chúng thuộc tập https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif "width =" 163 "height =" 47 ">. ( 2)

Hãy xem xét hàm https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif "width =" 35 "height =" 21 "> tăng nghiêm ngặt trên tập hợp này cho bất kỳ ..gif" width = "100" height = "41"> có một gốc duy nhất Do đó, và tương đương với nó trên tập X phương trình (1) có một căn duy nhất

Câu trả lời: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif "width =" 145 "height =" 27 src = ">

Lời giải: Phương trình này tương đương với hệ thống hỗn hợp

Số thực. Tính gần đúng của số thực bằng phân số thập phân hữu hạn.

Số thực hoặc số thực là một phép toán trừu tượng nảy sinh từ nhu cầu đo lường hình học và đại lượng vật lý thế giới xung quanh, cũng như thực hiện các hoạt động như trích xuất một gốc, tính toán logarit, giải phương trình đại số. Nếu một số nguyên nảy sinh trong quá trình đếm, các số hữu tỉ - từ nhu cầu hoạt động với các bộ phận của tổng thể, sau đó các số thực được dùng để đo lường số lượng liên tục. Do đó, việc mở rộng kho số đang xem xét đã dẫn đến tập hợp các số thực, ngoài các số hữu tỉ, còn bao gồm các phần tử khác được gọi là số vô tỉ .

Sai số tuyệt đối và giới hạn của nó.

Hãy để có một số giá trị số, và giá trị số, được chỉ định cho nó, được coi là chính xác, thì dưới lỗi giá trị gần đúng giá trị số (sai lầm, điều sai, ngộ nhận) hiểu sự khác biệt giữa giá trị chính xác và gần đúng của một giá trị số:. Lỗi có thể là tích cực hoặc câu khẳng định. Giá trị được gọi là xấp xỉ đã biết thành giá trị chính xác của một giá trị số - bất kỳ số nào được sử dụng thay vì giá trị chính xác. Động vật nguyên sinh thước đo định lượng lỗi là lỗi tuyệt đối. Lỗi tuyệt đối Giá trị gần đúng được gọi là giá trị, mà người ta biết rằng: Sai số tương đối và giới hạn của nó.

Chất lượng của phép gần đúng về cơ bản phụ thuộc vào các đơn vị đo lường và thang đại lượng được chấp nhận, do đó nên so sánh sai số của một đại lượng và giá trị của nó, từ đó đưa ra khái niệm sai số tương đối. Sai số tương đối Giá trị gần đúng được gọi là giá trị mà nó được biết rằng: . Sai số tương đối thường được biểu thị dưới dạng phần trăm. Cách sử dụng lỗi tương đốiđặc biệt là tiện lợi vì chúng không phụ thuộc vào các thang đại lượng và đơn vị đo lường.

Phương trình vô tỉ

Một phương trình trong đó một biến được chứa dưới dấu của căn được gọi là vô tỉ. Khi giải phương trình vô tỷ, các nghiệm thu được yêu cầu xác minh, bởi vì, ví dụ, một đẳng thức sai khi bình phương có thể cho đẳng thức đúng. Thật vậy, một đẳng thức sai khi bình phương cho ra đẳng thức đúng 1 2 = (-1) 2, 1 = 1. Đôi khi việc giải các phương trình vô tỉ bằng cách sử dụng các phép chuyển tương đương sẽ thuận tiện hơn.

Hãy bình phương cả hai vế của phương trình này; Sau khi biến đổi, chúng ta đi đến một phương trình bậc hai; và hãy mặc nó vào.

Số phức. Các thao tác trên số phức.

Số phức - một phần mở rộng của tập hợp các số thực, thường được ký hiệu. Bất kỳ số phức nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng chính thức x + iy, ở đâu x và y- số thực, tôi- đơn vị ảo Các số phức tạo thành một trường đóng đại số - điều này có nghĩa là đa thức bậc N với hệ số phức có chính xác N gốc phức, nghĩa là, định lý cơ bản của đại số là đúng. Đây là một trong những lý do chính cho việc sử dụng rộng rãi số phức Trong nghiên cứu toán học. Ngoài ra, việc sử dụng số phức cho phép chúng ta lập công thức nhiều mô hình toán họcáp dụng trong vật lý toán học và trong Khoa học tự nhiên- kỹ thuật điện, thủy động lực học, bản đồ học, cơ lượng tử, lý thuyết về dao động và nhiều lý thuyết khác.

So sánh một + bi = c + di có nghĩa là một = c và b = d(hai số phức bằng nhau nếu và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau).

Phép cộng ( một + bi) + (c + di) = (một + c) + (b + d) tôi .

Phép trừ ( một + bi) − (c + di) = (một − c) + (b − d) tôi .

Phép nhân

Hàm số. Các cách thiết lập một hàm

Trong toán học hàm số là một hàm có miền và giá trị là các tập con bộ số- thường là các tập hợp số thực hoặc tập hợp các số phức.

Bằng lời nói: Sử dụng ngôn ngữ tự nhiên Y bằng Toàn bộ phần từ x. Phân tích: Sử dụng công thức phân tích f (x) = x !

Graphic Via graph Phân mảnh của đồ thị hàm số.

Bảng: Sử dụng bảng giá trị

Các thuộc tính chính của hàm

1) Phạm vi chức năng và phạm vi chức năng . Phạm vi chức năng x(Biến đổi x) mà hàm y = f (x)được xác định.

Phạm vi chức năng y mà hàm chấp nhận. Trong toán học sơ cấp, các hàm chỉ được nghiên cứu trên tập các số thực. ) Hàm số không) Tính đơn điệu của hàm . Tăng chức năng Chức năng giảm dần . Hàm chẵn X f (-x) = f (x). hàm lẻ- một hàm có miền xác định là đối xứng với gốc và với bất kỳ X f (-x) = -f (x. Hàm được gọi là giới hạn vô hạn .7) Tính chu kỳ của chức năng. Hàm f (x) - định kỳ thời kỳ chức năng

Các đồ thị hàm số. Các phép biến đổi đơn giản nhất của đồ thị theo một hàm

Đồ thị hàm số- tập hợp các điểm có abscissas là giá trị hợp lệ tranh luận x và các thứ tự là các giá trị tương ứng của hàm y .

Đường thẳng- lịch trình hàm tuyến tính y = ax + b. Hàm y tăng đơn điệu đối với a> 0 và giảm đối với a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabol- đồ thị hàm số tam thức vuông y \ u003d ax 2 + bx + c. Nó có trục đứngđối diện. Nếu a> 0, có giá trị nhỏ nhất nếu a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \ u003d 0

Hyperbola- đồ thị hàm số. Khi a> O nằm trong phần tư I và III, khi a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) hoặc y - x (a< 0).

Hàm logarit y = log a x(a> 0)

hàm lượng giác. Khi xây dựng các hàm lượng giác, chúng ta sử dụng radian số đo các góc. Sau đó, hàm y= tội lỗi xđược biểu diễn bằng biểu đồ (Hình 19). Đường cong này được gọi là hình sin .

Đồ thị hàm số y= cos xđược hiển thị trong hình. hai mươi; nó cũng là một sóng hình sin do di chuyển đồ thị y= tội lỗi x dọc theo trục X còn lại bởi / 2.

Các tính chất cơ bản chức năng. Tính đơn điệu, tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn của hàm số.

Phạm vi chức năng và phạm vi chức năng . Phạm vi chức năng là tập hợp tất cả các giá trị hợp lệ hợp lệ của đối số x(Biến đổi x) mà hàm y = f (x)được xác định.

Phạm vi chức năng là tập hợp của tất cả các giá trị thực y mà hàm chấp nhận.

Trong toán học sơ cấp, các hàm chỉ được nghiên cứu trên tập các số thực. ) Hàm số không- là giá trị của đối số, tại đó giá trị của hàm bằng 0.3 ) Khoảng không thay đổi của hàm- những bộ giá trị đối số mà trên đó giá trị hàm chỉ dương hoặc chỉ âm. ) Tính đơn điệu của hàm .

Tăng chức năng(trong một khoảng thời gian nào đó) - một hàm mà giá trị lớn hơn một đối số từ khoảng này tương ứng với một giá trị lớn hơn của hàm.

Chức năng giảm dần(trong một khoảng nào đó) - một hàm trong đó giá trị lớn hơn của đối số từ khoảng này tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm. ) Các hàm chẵn (lẻ) . Hàm chẵn- một hàm có miền xác định là đối xứng với gốc và với bất kỳ X từ miền định nghĩa sự bình đẳng f (-x) = f (x). Lịch trình hàm chẵnđối xứng qua trục y. hàm lẻ- một hàm có miền xác định là đối xứng với gốc và với bất kỳ X từ miền định nghĩa sự bình đẳng f (-x) = -f (x). Lịch trình hàm lẻđối xứng về nguồn gốc.6 ) Chức năng hạn chế và không giới hạn. Hàm được gọi là giới hạn, nếu tồn tại một số dương M sao cho | f (x) | ≤ M với mọi giá trị của x. Nếu không có số nào như vậy tồn tại, thì hàm là vô hạn .7) Tính chu kỳ của chức năng. Hàm f (x) - định kỳ, nếu tồn tại một số khác không T sao cho bất kỳ x nào thuộc miền của hàm, giá trị sau là: f (x + T) = f (x). Như là số nhỏ nhất gọi là thời kỳ chức năng. Tất cả các hàm lượng giác đều tuần hoàn. (Các công thức lượng giác).

Các chức năng định kỳ. Quy tắc tìm kỳ chính của một hàm số.

Chức năng định kỳ là một hàm lặp lại các giá trị của nó sau một số dấu chấm khác, tức là không thay đổi giá trị của nó khi một số khác không cố định (dấu chấm) được thêm vào đối số. Tất cả các hàm lượng giác đều tuần hoàn. Là sai phát biểu về tổng của hàm số tuần hoàn: Tổng của 2 hàm số với chu kỳ tương xứng (cơ bản chẵn) T 1 và T 2 là một hàm có chu kỳ LCM ( T 1 ,T 2). Số tiền 2 chức năng liên tục với các khoảng thời gian không thể thay đổi được (thậm chí cơ bản) là một hàm không tuần hoàn. Không có chức năng tuần hoàn bằng một hằng số, có chu kỳ là những con số không thể giới thiệu được.

Mưu đồ các chức năng quyền lực.

Chức năng nguồn. Đây là chức năng: y = ax n, ở đâu một- dài hạn. Tại N= 1 chúng tôi nhận được tỷ lệ thuận : y =cây rìu; tại N = 2 - parabol vuông; tại N = 1 - tỷ lệ nghịch hoặc cường điệu hóa. Như vậy, các hàm này là trường hợp đặc biệt của một hàm lũy thừa. Chúng ta biết rằng lũy ​​thừa của bất kỳ số nào khác 0 đều bằng 1, do đó, khi N = 0 chức năng quyền lực trở thành giá trị hiện có: y =một, I E. đồ thị của nó là một đường thẳng song song với trục X, không kể gốc tọa độ (hãy giải thích tại sao?). Tất cả những trường hợp này (với một= 1) được thể hiện trong Hình 13 ( N 0) và Hình 14 ( N < 0). Отрицательные значения x không được xem xét ở đây, bởi vì sau đó một số chức năng:

Chức năng trái ngược

Chức năng trái ngược- một chức năng đảo ngược sự phụ thuộc được thể hiện bởi chức năng này. Hàm này ngược với hàm nếu các đặc điểm sau giữ nguyên: cho tất cả cho tất cả

Giới hạn của một hàm tại một điểm. Các thuộc tính cơ bản của giới hạn.

Căn bậc n và các thuộc tính của nó.

Căn thứ n của một số a là một số có lũy thừa thứ n bằng a.

Định nghĩa: Căn bậc n của số a là một số không âm, lũy thừa thứ n của nó bằng a.

Các đặc tính chính của rễ:

Bằng cấp tùy ý chỉ số thực và các thuộc tính của nó.

Cho một số dương và một số thực tùy ý. Số được gọi là độ, số là cơ số của độ, số là số mũ.

Theo định nghĩa, nó được giả định:

Nếu và - số dương và là bất kỳ số thực nào, sau đó các thuộc tính sau:

.

.

Hàm lũy thừa, các thuộc tính và đồ thị của nó

Chức năng nguồn biến phức tạp f (z) = z n với một số mũ nguyên được xác định bằng cách sử dụng sự tiếp tục giải tích của một hàm tương tự của một đối số thực. Đối với điều này, hình thức viết số phức theo cấp số nhân được sử dụng. một hàm lũy thừa với một số mũ nguyên được giải tích trong toàn bộ mặt phẳng phức, như một tích số giới hạn các trường hợp ánh xạ danh tính f (z) = z. Theo định lý duy nhất, hai tiêu chí này đủ cho tính duy nhất của kết quả phân tích tiếp tục. Sử dụng định nghĩa này, chúng ta có thể kết luận ngay rằng hàm lũy thừa của một biến phức có sự khác biệt đáng kể so với hàm thực của nó.

Đây là một chức năng của biểu mẫu ,. Các trường hợp sau được xem xét:

một). Nếu, sau đó. Sau đó , ; nếu số là số chẵn, thì hàm là số chẵn (tức là cho tất cả ); nếu số là số lẻ, thì hàm là số lẻ (nghĩa là cho tất cả).

Hàm số mũ, các tính chất và đồ thị của nó

Hàm số mũ - hàm toán học.

Trong trường hợp thực, cơ sở của mức độ là một số không âm số thực, và đối số của hàm là một số mũ thực.

Về lý thuyết chức năng phức tạp xem xét nhiều hơn trường hợp chung, khi đối số và số mũ có thể là một số phức tùy ý.

Chớm ban đầu nhìn chung - u v, được giới thiệu bởi Leibniz vào năm 1695.

Trường hợp số e đóng vai trò là cơ sở của mức độ được đặc biệt nhấn mạnh. Một hàm như vậy được gọi là một số mũ (thực hoặc phức).

Đặc tính ; ; .

phương trình mũ.

Hãy để chúng tôi tiến hành trực tiếp đến các phương trình mũ. Để quyết định phương trình mũ cần sử dụng định lý sau: Nếu hoành độ bằng nhau và cơ sở bằng nhau, dương và khác một, thì số mũ của chúng cũng bằng nhau. Hãy chứng minh định lý này: Cho a> 1 và a x = a y.

Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này x = y. Giả định điều ngược lại với những gì được yêu cầu chứng minh, tức là giả sử rằng x> y hoặc x đó<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х một y. Cả hai kết quả này đều mâu thuẫn với giả thuyết của định lý. Do đó, x = y, là điều bắt buộc phải chứng minh.

Định nghĩa 1. Đường vuông góc với một đường thẳng cho trước là một đoạn thẳng vuông góc với một đường thẳng đã cho có một trong các đầu của nó tại giao điểm của chúng. Điểm cuối của một đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng cho trước được gọi là gốc của đường vuông góc.

Định nghĩa 2. Một đường xiên được vẽ từ một điểm cho trước đến một đường cho trước là một đoạn nối điểm đã cho với một điểm bất kỳ của đường thẳng không phải là gốc của đường vuông góc thả từ cùng một điểm xuống đường thẳng đã cho. AB - vuông góc với mặt phẳng α.

AC - đường xiên, CB - hình chiếu.

C - mặt nghiêng, B - mặt phẳng vuông góc.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc bất kỳ giữa một đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng này được gọi là.

Góc nghiêng.

Góc nghiêng- không gian hình học, được tạo thành bởi hai nửa mặt phẳng phát ra từ một đường thẳng, cũng như một phần không gian bị giới hạn bởi các nửa mặt phẳng này. Một nửa mặt phẳng được gọi là những khuôn mặt góc nhị diện và đường thẳng chung của chúng - bờ rìa. Góc nhị diện được đo bằng một góc pháp tuyến, tức là góc tạo thành bởi giao của một góc nhị diện với một mặt phẳng vuông góc với cạnh của nó. Mọi hình đa diện, đều hoặc không đều, lồi hoặc lõm, đều có Góc nghiêng trên mọi góc cạnh.

Tính vuông góc của hai mặt phẳng.

DẤU HIỆU VỀ SỰ PHÙ HỢP CỦA KẾ HOẠCH.

Nếu một mặt phẳng đi qua một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì những mặt phẳng này vuông góc với nhau.

1.1 Phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ thường được tìm thấy trên kỳ thi tuyển sinh trong toán học, vì với sự trợ giúp của họ, thật dễ dàng để chẩn đoán kiến ​​thức về các khái niệm như các phép biến đổi tương đương, miền định nghĩa và các khái niệm khác. Theo quy tắc, các phương pháp giải phương trình vô tỉ dựa trên khả năng thay thế (với sự trợ giúp của một số phép biến đổi) một phương trình vô tỉ bằng một phương trình hữu tỉ, tương đương với phương trình vô tỉ ban đầu hoặc là hệ quả của nó. Thông thường, cả hai vế của phương trình được nâng lên cùng một lũy thừa. Tính tương đương không bị vi phạm khi cả hai phần được nâng lên thành một sức mạnh kỳ lạ. Nếu không, cần phải kiểm tra các nghiệm tìm được hoặc ước lượng dấu của cả hai phần của phương trình. Nhưng có những thủ thuật khác có thể hiệu quả hơn trong việc giải các phương trình vô tỉ. Ví dụ, phương pháp thay thế lượng giác.

Ví dụ 1: Giải phương trình

Kể từ đó. Do đó, người ta có thể đặt . Phương trình sẽ có dạng

Hãy đặt ở đâu, sau đó

.

.

Câu trả lời: .

Giải pháp đại số

Kể từ đó . Có nghĩa, , vì vậy bạn có thể mở rộng mô-đun

.

Câu trả lời: .

Giải một phương trình theo cách đại số đòi hỏi một kỹ năng tốt trong việc thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau và xử lý thành thạo các phép chuyển đổi tương đương. Nhưng nhìn chung, cả hai cách tiếp cận đều tương đương nhau.

Ví dụ 2: Giải phương trình

.

Giải pháp sử dụng phép thay thế lượng giác

Miền của phương trình được cho bởi bất phương trình, khi đó tương đương với điều kiện. Do đó, chúng ta có thể đặt. Phương trình sẽ có dạng

Kể từ đó. Hãy mở mô-đun nội bộ

Chúng ta hãy đặt , sau đó

.

Điều kiện được thỏa mãn bởi hai giá trị và.

.

.

Câu trả lời: .

Giải pháp đại số

.

Hãy bình phương phương trình của hệ thống đầu tiên, chúng ta thu được

Hãy để, sau đó. Phương trình sẽ được viết lại dưới dạng

Bằng cách kiểm tra, chúng ta xác định rằng đó là căn, sau đó bằng cách chia đa thức cho nhị thức, chúng ta thu được sự phân tích vế phải của phương trình thành nhân tử

Hãy chuyển từ biến này sang biến khác, chúng ta nhận được

.

tình trạng thỏa mãn hai giá trị

.

Thay các giá trị này vào phương trình ban đầu, chúng ta nhận được đó là gốc.

Giải phương trình của hệ hai của tổng thể ban đầu một cách tương tự, ta thấy rằng nó cũng là một căn.

Câu trả lời: .

Nếu trong ví dụ trước, giải pháp đại số và giải pháp sử dụng phép thay thế lượng giác là tương đương, thì trong trường hợp này giải pháp thay thế có lợi hơn. Khi giải một phương trình bằng phương pháp đại số, người ta phải giải một bộ hai phương trình, nghĩa là bình phương hai lần. Sau phép biến đổi không tương đương này, ta thu được hai phương trình bậc 4 với hệ số vô tỉ, mà phép thay thế giúp loại bỏ. Một khó khăn khác là việc xác minh các nghiệm tìm được bằng cách thay thế vào phương trình ban đầu.

Ví dụ 3. Giải phương trình

.

Giải pháp sử dụng phép thay thế lượng giác

Kể từ đó. Lưu ý rằng một giá trị âm của ẩn số không thể là một giải pháp cho vấn đề. Thật vậy, chúng ta biến đổi phương trình ban đầu về dạng

.

Hệ số trong ngoặc ở vế trái của phương trình là dương, vế phải của phương trình cũng là số dương, do đó, thừa số ở vế trái của phương trình không thể âm. Đó là lý do tại sao, đó là lý do tại sao bạn có thể đặt Phương trình ban đầu sẽ được viết lại dưới dạng

Kể từ đó, và. Phương trình sẽ có dạng

Để cho . Hãy chuyển từ phương trình sang hệ thống tương đương

.

Các số và là nghiệm của phương trình bậc hai

.

Giải pháp đại số Hãy bình phương cả hai vế của phương trình

Chúng tôi giới thiệu sự thay thế thì phương trình sẽ được viết dưới dạng

Căn thứ hai là thừa, vì vậy hãy xem xét phương trình

.

Kể từ đó.

Trong trường hợp này, phương pháp giải đại số đơn giản hơn về mặt kỹ thuật, nhưng cần phải xem lời giải trên bằng cách sử dụng một phép thay thế lượng giác. Điều này trước hết là do bản chất phi tiêu chuẩn của phép thay thế, điều này phá bỏ định kiến ​​rằng việc sử dụng phép thay thế lượng giác chỉ có thể thực hiện được khi nào. Nó chỉ ra rằng nếu thay thế lượng giác cũng tìm thấy ứng dụng. Thứ hai, việc giải phương trình lượng giác gặp khó khăn nhất định. , được giảm bớt bằng cách đưa vào một sự thay đổi đối với một hệ phương trình. Ở một khía cạnh nào đó, sự thay thế này cũng có thể được coi là không chuẩn, và việc quen thuộc với nó cho phép bạn làm phong phú thêm kho thủ thuật và phương pháp giải phương trình lượng giác.

Ví dụ 4. Giải phương trình

.

Giải pháp sử dụng phép thay thế lượng giác

Vì một biến có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, chúng tôi đặt . sau đó

,

Tại vì .

Phương trình ban đầu, có tính đến các phép biến đổi được thực hiện, sẽ có dạng

Vì chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho, chúng ta nhận được

Để cho , sau đó . Phương trình sẽ có dạng

.

Đưa ra sự thay thế , chúng tôi thu được một bộ hai phương trình

.

Hãy giải từng phương trình đặt riêng biệt.

.

Không thể là giá trị sin, đối với bất kỳ giá trị nào của đối số.

.

Tại vì và vế phải của phương trình ban đầu là dương. Từ đó nó theo sau đó .

Phương trình này không có gốc, kể từ.

Vậy phương trình ban đầu có một căn duy nhất

.

Giải pháp đại số

Phương trình này có thể dễ dàng "biến" thành một phương trình hữu tỉ bậc tám bằng cách bình phương cả hai phần của phương trình ban đầu. Việc tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình hữu tỉ kết quả là khó, và cần phải có một mức độ cao tháo vát để hoàn thành công việc. Vì vậy, nên biết một cách giải khác, ít truyền thống hơn. Ví dụ, sự thay thế do I. F. Sharygin đề xuất.

Chúng ta hãy đặt , sau đó

Hãy biến đổi bên phải phương trình :

Có tính đến các phép biến đổi, phương trình sẽ có hình thức

.

Chúng tôi giới thiệu một sự thay thế, sau đó

.

Do đó, gốc thứ hai là thừa, và .

Nếu không biết trước ý tưởng giải phương trình , thì việc giải theo cách tiêu chuẩn bằng cách bình phương cả hai phần của phương trình là có vấn đề, vì kết quả là một phương trình bậc tám, có nghiệm là cực kỳ khó tìm. Giải pháp sử dụng phép thay thế lượng giác trông rườm rà. Có thể khó tìm ra nghiệm nguyên của phương trình, nếu bạn không nhận thấy rằng nó có tính chất tái diễn. Dung dịch phương trình cụ thể xảy ra bằng cách sử dụng bộ máy của đại số, vì vậy chúng ta có thể nói rằng giải pháp được đề xuất là kết hợp. Trong đó, thông tin từ đại số và lượng giác làm việc cùng nhau vì một mục tiêu - để có được một giải pháp. Ngoài ra, nghiệm của phương trình này cần phải xem xét cẩn thận hai trường hợp. Giải pháp thay thế về mặt kỹ thuật đơn giản và đẹp hơn so với sử dụng phép thay thế lượng giác. Điều mong muốn là học sinh biết phương pháp thay thế này và áp dụng nó để giải các bài toán.

Chúng tôi nhấn mạnh rằng việc sử dụng phép thay thế lượng giác để giải quyết các vấn đề cần có ý thức và hợp lý. Nên sử dụng phương pháp thay thế trong trường hợp giải pháp theo cách khác khó hơn hoặc thậm chí không thể thực hiện được. Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ khác, không giống như ví dụ trước, dễ dàng hơn và nhanh hơn để giải quyết theo cách tiêu chuẩn.