Các hành động với số vô tỉ là ví dụ. Số: tự nhiên, số nguyên, hợp lý, thực

Bài viết này giới thiệu về số vô tỉ. Đầu tiên, chúng tôi sẽ đưa ra định nghĩa về số vô tỉ và giải thích nó. Dưới đây là một số ví dụ về số vô tỉ. Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét một số cách tiếp cận để tìm hiểu xem một số đã cho có phải là số vô tỉ hay không.

Điều hướng trang.

Định nghĩa và ví dụ về số vô tỉ

Trong nghiên cứu về phân số thập phân, chúng tôi đã xem xét một cách riêng biệt các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn. Những phân số như vậy phát sinh trong phép đo thập phân độ dài của các đoạn không thể sử dụng được với một đoạn đơn lẻ. Chúng tôi cũng lưu ý rằng các phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn không thể chuyển đổi thành phân số thông thường (xem phần chuyển đổi phân số thông thường sang số thập phân và ngược lại), do đó, những số này không phải là số hữu tỉ, chúng đại diện cho cái gọi là số vô tỉ.

Vì vậy, chúng tôi đã đến định nghĩa số vô tỉ.

Sự định nghĩa.

Các số trong ký hiệu thập phân đại diện cho phân số thập phân vô hạn không lặp lại được gọi là số vô tỉ.

Định nghĩa âm thanh cho phép mang lại ví dụ về số vô tỉ. Ví dụ, phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn 4.10110011100011110000… (số đơn vị và số không tăng lên mỗi lần một) là một số vô tỉ. Hãy đưa ra một ví dụ khác về số vô tỉ: −22.353335333335 ... (số bộ ba phân cách tám tăng lên hai mỗi lần).

Cần lưu ý rằng số vô tỉ khá hiếm ở dạng phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn. Thông thường chúng được tìm thấy dưới dạng, v.v., cũng như dưới dạng các bức thư được giới thiệu đặc biệt. Các ví dụ nổi tiếng nhất về số vô tỷ trong ký hiệu như vậy là căn bậc hai số học của hai, số "pi" π = 3,141592 ..., số e = 2,718281 ... và số vàng.

Số vô tỉ cũng có thể được định nghĩa dưới dạng số thực, kết hợp số hữu tỉ và số vô tỉ.

Sự định nghĩa.

Số vô tỉ là các số thực không hữu tỉ.

Con số này có phải là vô tỉ không?

Khi một số được cho không phải dưới dạng phân số thập phân mà là một căn nhất định, lôgarit, v.v., thì trong nhiều trường hợp, thật khó để trả lời câu hỏi liệu nó có phải là số vô tỉ hay không.

Không nghi ngờ gì nữa, khi trả lời câu hỏi được đặt ra, sẽ rất hữu ích khi biết những số nào không phải là vô tỉ. Từ định nghĩa về số vô tỉ mà số hữu tỉ không phải là số vô tỉ. Do đó, số vô tỉ KHÔNG phải là:

• phân số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn.

Ngoài ra, bất kỳ thành phần nào của số hữu tỉ được nối với nhau bằng dấu của phép toán số học (+, -, ·, :) không phải là số vô tỉ. Điều này là do tổng, hiệu, tích và thương của hai số hữu tỉ là một số hữu tỉ. Ví dụ, giá trị của các biểu thức và là số hữu tỉ. Ở đây chúng ta lưu ý rằng nếu trong các biểu thức như vậy giữa các số hữu tỉ có một số vô tỉ duy nhất, thì giá trị của toàn bộ biểu thức sẽ là một số vô tỉ. Ví dụ, trong biểu thức, số là số vô tỉ, và phần còn lại của các số là số hữu tỉ, do đó, số vô tỉ. Nếu đó là một số hữu tỉ, thì tính hợp lý của số sẽ theo sau, nhưng nó không phải là số hữu tỉ.

Nếu biểu thức đã cho chứa một số vô tỉ, dấu căn, logarit, hàm lượng giác, các số π, e, ... thì phải chứng minh tính vô tỉ hoặc tính hợp lý của một số đã cho trong từng trường hợp cụ thể. Tuy nhiên, có một số kết quả đã thu được có thể được sử dụng. Hãy liệt kê những cái chính.

Người ta chứng minh rằng căn bậc k của một số nguyên là một số hữu tỉ chỉ khi số dưới căn là lũy thừa bậc k của một số nguyên khác, trong những trường hợp khác căn như vậy xác định một số vô tỉ. Ví dụ, các số và là số vô tỉ, vì không có số nguyên nào có bình phương là 7, và không có số nguyên nào mà việc nâng lên lũy thừa thứ năm cho số 15. Và những con số và không phải là vô tỉ, vì và.

Đối với logarit, đôi khi có thể chứng minh tính bất hợp lý của chúng bằng mâu thuẫn. Ví dụ, hãy chứng minh rằng log 2 3 là một số vô tỉ.

Giả sử rằng log 2 3 là một số hữu tỉ, không phải là một số vô tỉ, nghĩa là nó có thể được biểu diễn dưới dạng một phân số thông thường m / n. và cho phép chúng ta viết chuỗi cân bằng sau:. Sự bình đẳng cuối cùng là không thể, vì ở phía bên trái của nó số lẻ, và thậm chí ở phía bên phải. Vì vậy, chúng tôi đã đi đến một mâu thuẫn, có nghĩa là giả định của chúng tôi hóa ra là sai, và điều này chứng minh rằng log 2 3 là một số vô tỉ.

Lưu ý rằng lna với bất kỳ số hữu tỉ dương và không đơn vị nào là một số vô tỉ. Ví dụ, và là số vô tỉ.

Người ta cũng chứng minh rằng số e a với mọi số hữu tỉ khác 0 là vô tỉ và số π z với mọi số nguyên khác không z là vô tỉ. Ví dụ, các số là vô tỉ.

Số vô tỉ cũng là các hàm lượng giác sin, cos, tg và ctg với bất kỳ giá trị hữu tỉ nào và khác 0 của đối số. Ví dụ, sin1, tg (−4), cos5,7, là các số vô tỉ.

Có những kết quả đã được chứng minh khác, nhưng chúng tôi sẽ hạn chế mình ở những kết quả đã được liệt kê. Cũng cần phải nói rằng trong việc chứng minh các kết quả trên, lý thuyết liên kết với số đại số và số siêu việt.

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng không nên đưa ra kết luận vội vàng về tính không hợp lý của các số đã cho. Ví dụ, rõ ràng là một số vô tỉ ở một mức độ vô tỉ là một số vô tỉ. Tuy nhiên, đây không phải là luôn luôn như vậy. Như một xác nhận của thực tế được lên tiếng, chúng tôi trình bày mức độ. Người ta biết rằng - một số vô tỉ, và cũng đã chứng minh rằng - một số vô tỉ, nhưng - một số hữu tỉ. Bạn cũng có thể đưa ra các ví dụ về số vô tỉ, tổng, hiệu, tích và thương của chúng là số hữu tỉ. Hơn nữa, tính hợp lý hay không hợp lý của các số π + e, π − e, π e, π π, π e và nhiều số khác vẫn chưa được chứng minh.

Thư mục.

• Toán học. Lớp 6: SGK. cho giáo dục phổ thông các cơ sở / [N. Ya. Vilenkin và những người khác]. - Xuất bản lần thứ 22, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p: bệnh. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Đại số học: sách giáo khoa cho 8 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ấn bản thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : tôi sẽ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán học (sách hướng dẫn cho người nộp đơn vào các trường kỹ thuật): Proc. trợ cấp.- M.; Cao hơn school, 1984.-351 p., ill.

Số vô tỉ là gì? Tại sao chúng được gọi như vậy? Chúng được sử dụng ở đâu và chúng là gì? Ít ai có thể trả lời những câu hỏi này mà không do dự. Nhưng trên thực tế, câu trả lời cho chúng khá đơn giản, mặc dù không phải ai cũng cần và trong những tình huống rất hiếm.

Bản chất và chỉ định

Số vô tỉ là số vô hạn không tuần hoàn Sở dĩ phải đưa ra khái niệm này là do để giải các bài toán mới nảy sinh, các khái niệm về số thực hoặc số thực, số nguyên, số tự nhiên và số hữu tỉ đã có trước đây không còn đủ nữa. Ví dụ, để tính bình phương của 2 là bao nhiêu, bạn cần sử dụng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ngoài ra, nhiều phương trình đơn giản nhất cũng không có nghiệm nếu không đưa ra khái niệm số vô tỉ.

Tập hợp này được ký hiệu là I. Và, như đã rõ, các giá trị này \ u200b \ u200b không thể được biểu diễn dưới dạng một phân số đơn giản, trong tử số sẽ có một số nguyên và ở mẫu số -

Lần đầu tiên, bằng cách này hay cách khác, các nhà toán học Ấn Độ gặp phải hiện tượng này vào thế kỷ thứ 7, khi người ta phát hiện ra rằng căn bậc hai của một số đại lượng không thể được chỉ ra một cách rõ ràng. Và bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của những con số như vậy là do Pythagorean Hippasus, người đã thực hiện điều này trong quá trình nghiên cứu một tam giác vuông cân. Một số nhà khoa học khác sống trước thời đại của chúng ta đã có một đóng góp nghiêm túc cho việc nghiên cứu bộ này. Sự ra đời của khái niệm số vô tỷ đã kéo theo một sự sửa đổi của hệ thống toán học hiện có, đó là lý do tại sao chúng lại quan trọng như vậy.

nguồn gốc của tên

Nếu tỷ lệ trong tiếng Latinh là "fraction", "ratio", thì tiền tố "ir"
cung cấp cho từ có nghĩa ngược lại. Vì vậy, tên của tập hợp những con số này chỉ ra rằng chúng không thể được tương quan với một số nguyên hoặc phân số, chúng có một vị trí riêng biệt. Điều này xuất phát từ bản chất của chúng.

Xếp vào bảng phân loại chung

Số vô tỉ, cùng với số hữu tỉ, thuộc nhóm các số thực hoặc số thực, lần lượt là số phức. Không có tập hợp con nào, tuy nhiên, có những giống đại số và siêu việt, sẽ được thảo luận dưới đây.

Tính chất

Vì số vô tỉ là một phần của tập hợp các số thực, nên tất cả các tính chất của chúng được nghiên cứu trong số học (chúng còn được gọi là các định luật đại số cơ bản) đều áp dụng cho chúng.

a + b = b + a (tính giao hoán);

(a + b) + c = a + (b + c) (tính kết hợp);

a + (-a) = 0 (sự tồn tại của số đối);

ab = ba (luật chuyển vị);

(ab) c = a (bc) (phân phối);

a (b + c) = ab + ac (luật phân phối);

a x 1 / a = 1 (sự tồn tại của một số nghịch đảo);

Việc so sánh cũng được thực hiện theo các nguyên tắc và luật chung:

Nếu a> b và b> c thì a> c (tính chuyển của quan hệ) và. vân vân.

Tất nhiên, tất cả các số vô tỉ có thể được chuyển đổi bằng cách sử dụng số học cơ bản. Không có quy tắc đặc biệt cho điều này.

Ngoài ra, hành động của tiên đề Archimedes mở rộng đến các số vô tỉ. Nó nói rằng với hai đại lượng a và b bất kỳ, phát biểu đúng là bằng cách lấy a làm số hạng đủ lần, bạn có thể đánh bại b.

Cách sử dụng

Mặc dù thực tế là trong cuộc sống bình thường bạn không thường xuyên phải đối mặt với chúng, nhưng những con số vô tỉ không thể đếm được. Có rất nhiều trong số chúng, nhưng chúng hầu như vô hình. Chúng ta bị bao quanh bởi những con số vô tỉ ở khắp mọi nơi. Ví dụ quen thuộc với mọi người là số pi, bằng 3,1415926 ..., hoặc e, về cơ bản là cơ số của lôgarit tự nhiên, 2,718281828 ... Trong đại số, lượng giác và hình học, chúng phải được sử dụng mọi lúc. Nhân tiện, ý nghĩa nổi tiếng của "phần vàng", tức là tỷ lệ của cả phần lớn hơn và phần nhỏ hơn, và ngược lại, cũng

thuộc bộ này. "Bạc" ít được biết đến - quá.

Trên trục số, chúng nằm rất dày đặc, do đó giữa hai đại lượng bất kỳ liên quan đến tập hợp các số hữu tỉ, một đại lượng vô tỉ chắc chắn xảy ra.

Vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết liên quan đến bộ này. Có những tiêu chí như thước đo tính bất hợp lý và tính bình thường của một số. Các nhà toán học tiếp tục xem xét các ví dụ quan trọng nhất cho việc họ thuộc nhóm này hay nhóm khác. Ví dụ, người ta coi e là một số bình thường, tức là xác suất các chữ số khác nhau xuất hiện trong mục nhập của nó là như nhau. Đối với số pi, nghiên cứu vẫn đang được tiến hành liên quan đến nó. Một giá trị đo lường tính vô tỉ là một giá trị cho thấy một số cụ thể có thể được ước lượng gần đúng như thế nào với các số hữu tỉ.

Đại số và siêu nghiệm

Như đã đề cập, số vô tỉ được chia có điều kiện thành đại số và siêu việt. Về mặt điều kiện, nói một cách chính xác, sự phân loại này được sử dụng để chia tập C.

Dưới sự chỉ định này, các số phức được ẩn đi, bao gồm số thực hoặc số thực.

Vì vậy, một giá trị đại số là một giá trị là căn của một đa thức không đồng nhất bằng không. Ví dụ, căn bậc hai của 2 sẽ thuộc loại này vì nó là nghiệm của phương trình x 2 - 2 = 0.

Tất cả các số thực khác không thỏa mãn điều kiện này được gọi là siêu việt. Sự đa dạng này cũng bao gồm các ví dụ nổi tiếng nhất và đã được đề cập - số pi và cơ số của lôgarit tự nhiên e.

Điều thú vị là không phải cái nào cũng như cái thứ hai ban đầu được các nhà toán học suy luận theo khả năng này, tính phi lý và tính siêu việt của chúng đã được chứng minh nhiều năm sau khi phát hiện ra. Đối với số pi, bằng chứng được đưa ra vào năm 1882 và được đơn giản hóa vào năm 1894, chấm dứt cuộc tranh cãi kéo dài 2.500 năm về vấn đề bình phương đường tròn. Nó vẫn chưa được hiểu đầy đủ, vì vậy các nhà toán học hiện đại có một cái gì đó để làm việc. Nhân tiện, tính toán đủ chính xác đầu tiên của giá trị này đã được thực hiện bởi Archimedes. Trước anh ta, mọi tính toán đều quá gần đúng.

Đối với e (số Euler hoặc Napier), một bằng chứng về tính siêu việt của nó đã được tìm thấy vào năm 1873. Nó được sử dụng để giải phương trình logarit.

Các ví dụ khác bao gồm các giá trị sin, cosine và tiếp tuyến cho bất kỳ giá trị nào khác không của đại số.

Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu bằng chữ N. Số tự nhiên là những số mà chúng ta dùng để đếm các đối tượng: 1,2,3,4, ... Trong một số nguồn, số 0 còn được gọi là số tự nhiên.

Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu bằng chữ Z. Các số nguyên là tất cả các số tự nhiên, số 0 và số âm:

1,-2,-3, -4, …

Bây giờ chúng ta hãy thêm vào tập hợp tất cả các số nguyên tập hợp tất cả các phân số thông thường: 2/3, 18/17, -4/5, v.v. Sau đó, chúng tôi nhận được tập hợp tất cả các số hữu tỉ.

Tập hợp các số hữu tỉ

Tập hợp tất cả các số hữu tỉ được kí hiệu là chữ Q. Tập hợp tất cả các số hữu tỉ (Q) là tập hợp gồm các số có dạng m / n, -m / n và chữ số 0. Mọi số tự nhiên đều có thể dùng được. như n, m. Cần lưu ý rằng tất cả các số hữu tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân PERIODIC hữu hạn hoặc vô hạn. Điều ngược lại cũng đúng, rằng bất kỳ phân số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn nào đều có thể được viết dưới dạng số hữu tỉ.

Nhưng ví dụ, số 2.0100100010… thì sao? Nó là một số thập phân vô hạn KHÔNG CÓ KỲ HẠN. Và nó không áp dụng cho số hữu tỉ.

Trong khóa học đại số ở trường, chỉ các số thực (hoặc số thực) mới được học. Tập hợp tất cả các số thực được ký hiệu là chữ R. Tập hợp R gồm tất cả các số hữu tỉ và tất cả các số vô tỉ.

Khái niệm số vô tỉ

Số vô tỉ là tất cả các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn. Số vô tỉ không có ký hiệu đặc biệt.

Ví dụ, tất cả các số thu được bằng cách rút ra căn bậc hai của số tự nhiên không phải là bình phương của số tự nhiên sẽ là số vô tỷ. (√2, √3, √5, √6, v.v.).

Nhưng đừng nghĩ rằng số vô tỉ chỉ thu được bằng cách rút ra căn bậc hai. Ví dụ, số "pi" cũng là số vô tỷ, và nó có được bằng phép chia. Và dù bạn có cố gắng đến đâu, bạn cũng không thể đạt được nó bằng cách lấy căn bậc hai của bất kỳ số tự nhiên nào.

Hiểu các con số, đặc biệt là số tự nhiên, là một trong những "kỹ năng" toán học lâu đời nhất. Nhiều nền văn minh, thậm chí cả những nền văn minh hiện đại, gán một số thuộc tính thần bí cho các con số do tầm quan trọng của chúng trong việc mô tả tự nhiên. Mặc dù khoa học và toán học hiện đại không xác nhận những tính chất “kỳ diệu” này, nhưng ý nghĩa của lý thuyết số là không thể phủ nhận.

Trong lịch sử, nhiều số tự nhiên lần đầu tiên xuất hiện, sau đó khá sớm các phân số và số vô tỷ dương được thêm vào chúng. Các số không và số âm được giới thiệu sau các tập con này của tập các số thực. Tập hợp cuối cùng, tập hợp các số phức, chỉ xuất hiện với sự phát triển của khoa học hiện đại.

Trong toán học hiện đại, các con số được giới thiệu không theo thứ tự lịch sử, mặc dù khá gần với nó.

Số tự nhiên $ \ mathbb (N) $

Tập hợp các số tự nhiên thường được ký hiệu là $ \ mathbb (N) = \ lbrace 1,2,3,4 ... \ rbrace $ và thường được đệm bằng số 0 để biểu thị $ \ mathbb (N) _0 $.

$ \ mathbb (N) $ xác định các phép toán cộng (+) và nhân ($ \ cdot $) với các thuộc tính sau cho bất kỳ $ a, b, c \ in \ mathbb (N) $:

1. $ a + b \ in \ mathbb (N) $, $ a \ cdot b \ in \ mathbb (N) $ tập hợp $ \ mathbb (N) $ được đóng dưới phép cộng và phép nhân
2. $ a + b = b + a $, $ a \ cdot b = b \ cdot a $ tính giao hoán
3. $ (a + b) + c = a + (b + c) $, $ (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) $ kết hợp
4. $ a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c $ phân phối
5. $ a \ cdot 1 = a $ là phần tử trung lập cho phép nhân

Vì tập hợp $ \ mathbb (N) $ chứa một phần tử trung tính cho phép nhân nhưng không cho phép cộng, việc thêm số 0 vào tập hợp này đảm bảo rằng nó bao gồm một phần tử trung tính cho phép cộng.

Ngoài hai phép toán này, trên tập hợp $ \ mathbb (N) $ các quan hệ "nhỏ hơn" ($

1. $ a b $ trichotomy
2. nếu $ a \ leq b $ và $ b \ leq a $, thì $ a = b $ là một phản đối xứng
3. nếu $ a \ leq b $ và $ b \ leq c $, thì $ a \ leq c $ là bắc cầu
4. nếu $ a \ leq b $, thì $ a + c \ leq b + c $
5. nếu $ a \ leq b $, thì $ a \ cdot c \ leq b \ cdot c $

Số nguyên $ \ mathbb (Z) $

Ví dụ về số nguyên:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Nghiệm của phương trình $ a + x = b $, trong đó $ a $ và $ b $ là các số tự nhiên đã biết và $ x $ là số tự nhiên chưa biết, yêu cầu giới thiệu một phép toán mới - phép trừ (-). Nếu có một số tự nhiên $ x $ thỏa mãn đẳng thức này thì $ x = b-a $. Tuy nhiên, phương trình cụ thể này không nhất thiết phải có nghiệm trên tập $ \ mathbb (N) $, vì vậy các cân nhắc thực tế đòi hỏi phải mở rộng tập hợp các số tự nhiên theo cách bao gồm các nghiệm cho một phương trình như vậy. Điều này dẫn đến việc giới thiệu một tập hợp các số nguyên: $ \ mathbb (Z) = \ lbrace 0,1, -1,2, -2,3, -3 ... \ rbrace $.

Vì $ \ mathbb (N) \ subset \ mathbb (Z) $, thật hợp lý khi giả sử rằng các phép toán đã giới thiệu trước đó $ + $ và $ \ cdot $ và quan hệ $ 1. $ 0 + a = a + 0 = a $ có một yếu tố trung lập để bổ sung
2. $ a + (- a) = (- a) + a = 0 $ có một số đối nhau $ -a $ với $ a $

5. Tài sản:
5. nếu $ 0 \ leq a $ và $ 0 \ leq b $, thì $ 0 \ leq a \ cdot b $

Tập hợp $ \ mathbb (Z) $ cũng được đóng dưới phép trừ, nghĩa là $ (\ forall a, b \ in \ mathbb (Z)) (a-b \ in \ mathbb (Z)) $.

Số hữu tỉ $ \ mathbb (Q) $

Ví dụ về số hữu tỉ:
$ \ frac (1) (2), \ frac (4) (7), - \ frac (5) (8), \ frac (10) (20) ... $

Bây giờ hãy xem xét các phương trình có dạng $ a \ cdot x = b $, trong đó $ a $ và $ b $ là các số nguyên đã biết và $ x $ chưa biết. Để làm cho giải pháp khả thi, cần phải giới thiệu phép toán chia ($: $) và giải pháp trở thành $ x = b: a $, nghĩa là $ x = \ frac (b) (a) $. Một lần nữa, vấn đề nảy sinh là $ x $ không phải lúc nào cũng thuộc $ \ mathbb (Z) $, vì vậy tập các số nguyên phải được mở rộng. Do đó, chúng tôi giới thiệu tập hợp các số hữu tỉ $ \ mathbb (Q) $ với các phần tử $ \ frac (p) (q) $, trong đó $ p \ in \ mathbb (Z) $ và $ q \ in \ mathbb (N) $. Tập hợp $ \ mathbb (Z) $ là một tập hợp con trong đó mỗi phần tử $ q = 1 $, do đó $ \ mathbb (Z) \ subset \ mathbb (Q) $ và các phép toán cộng và nhân cũng áp dụng cho tập hợp này theo các quy tắc sau, bảo toàn tất cả các thuộc tính trên cũng trên tập hợp $ \ mathbb (Q) $:
$ \ frac (p_1) (q_1) + \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot q_2 + p_2 \ cdot q_1) (q_1 \ cdot q_2) $
$ \ frac (p-1) (q_1) \ cdot \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1 \ cdot p_2) (q_1 \ cdot q_2) $

Sự phân chia được nhập như thế này:
$ \ frac (p_1) (q_1): \ frac (p_2) (q_2) = \ frac (p_1) (q_1) \ cdot \ frac (q_2) (p_2) $

Trên tập $ \ mathbb (Q) $, phương trình $ a \ cdot x = b $ có nghiệm duy nhất cho mỗi $ a \ neq 0 $ (không xác định phép chia cho 0). Điều này có nghĩa là có một phần tử nghịch đảo $ \ frac (1) (a) $ hoặc $ a ^ (- 1) $:
$ (\ forall a \ in \ mathbb (Q) \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace) (\ tồn tại \ frac (1) (a)) (a \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a) \ cdot a = a) $

Thứ tự của tập hợp $ \ mathbb (Q) $ có thể được mở rộng theo cách này:
$ \ frac (p_1) (q_1)

Tập hợp $ \ mathbb (Q) $ có một tính chất quan trọng: giữa hai số hữu tỉ bất kỳ có vô số số hữu tỉ khác, do đó, không có hai số hữu tỉ lân cận, ngược lại với tập hợp các số tự nhiên và số nguyên.

Số vô tỉ $ \ mathbb (I) $

Ví dụ về số vô tỉ:
$0.333333...$
$ \ sqrt (2) \ khoảng 1.41422135 ... $
$ \ pi \ khoảng 3,1415926535 ... $

Vì có vô số số hữu tỉ khác giữa hai số hữu tỉ bất kỳ, nên ta dễ dàng kết luận sai rằng tập hợp các số hữu tỉ dày đặc đến mức không cần mở rộng thêm. Ngay cả Pythagoras cũng từng mắc sai lầm như vậy. Tuy nhiên, những người cùng thời với ông đã bác bỏ kết luận này khi nghiên cứu các nghiệm của phương trình $ x \ cdot x = 2 $ ($ x ^ 2 = 2 $) trên tập các số hữu tỉ. Để giải một phương trình như vậy, cần phải đưa ra khái niệm căn bậc hai, khi đó nghiệm của phương trình này có dạng $ x = \ sqrt (2) $. Phương trình dạng $ x ^ 2 = a $, trong đó $ a $ là một số hữu tỉ đã biết và $ x $ là một ẩn số, không phải lúc nào cũng có nghiệm trên tập hợp các số hữu tỉ và một lần nữa cần để mở rộng tập hợp. Tập hợp các số vô tỉ phát sinh và các số như $ \ sqrt (2) $, $ \ sqrt (3) $, $ \ pi $ ... thuộc tập hợp này.

Số thực $ \ mathbb (R) $

Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và vô tỉ là tập hợp các số thực. Vì $ \ mathbb (Q) \ subset \ mathbb (R) $, một lần nữa hợp lý khi giả sử rằng các phép toán và quan hệ số học đã giới thiệu vẫn giữ nguyên các thuộc tính của chúng trên tập hợp mới. Việc chứng minh chính thức điều này là rất khó, vì vậy các tính chất nêu trên của phép toán số học và quan hệ trên tập các số thực được giới thiệu dưới dạng tiên đề. Trong đại số, một đối tượng như vậy được gọi là một trường, vì vậy tập các số thực được cho là một trường có thứ tự.

Để định nghĩa về tập hợp các số thực được hoàn chỉnh, cần phải giới thiệu thêm một tiên đề phân biệt các tập $ \ mathbb (Q) $ và $ \ mathbb (R) $. Giả sử rằng $ S $ là một tập con không rỗng của tập các số thực. Phần tử $ b \ in \ mathbb (R) $ được gọi là giới hạn trên của $ S $ nếu $ \ forall x \ in S $ thỏa mãn $ x \ leq b $. Sau đó, tập hợp $ S $ được cho là được giới hạn từ phía trên. Giới hạn trên nhỏ nhất của một tập hợp $ S $ được gọi là giới hạn tối cao và được ký hiệu là $ \ sup S $. Các khái niệm về giới hạn dưới, tập hợp giới hạn bên dưới và thông tin $ \ inf S $ được giới thiệu tương tự. Bây giờ tiên đề bị thiếu được xây dựng như sau:

Bất kỳ tập con nào khác rỗng và có giới hạn từ tập con trên của tập các số thực đều có giá trị tối đa.
Cũng có thể chứng minh rằng trường các số thực xác định ở trên là duy nhất.

Số phức $ \ mathbb (C) $

Ví dụ về số phức:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$ 1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i ... $ trong đó $ i = \ sqrt (-1) $ hoặc $ i ^ 2 = -1 $

Tập hợp các số phức là tất cả các cặp số thực có thứ tự, tức là $ \ mathbb (C) = \ mathbb (R) ^ 2 = \ mathbb (R) \ times \ mathbb (R) $, trên đó các phép toán cộng và phép nhân được định nghĩa theo cách sau:
$ (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d) $
$ (a, b) \ cdot (c, d) = (ac-bd, ad + bc) $

Có một số cách viết số phức, trong đó phổ biến nhất là $ z = a + ib $, trong đó $ (a, b) $ là một cặp số thực và số $ i = (0,1) $ được gọi là đơn vị ảo.

Dễ dàng chứng minh rằng $ i ^ 2 = -1 $. Phần mở rộng của tập hợp $ \ mathbb (R) $ thành tập hợp $ \ mathbb (C) $ giúp xác định căn bậc hai của các số âm, đó là lý do để giới thiệu tập hợp các số phức. Cũng dễ dàng chứng minh rằng một tập con của tập $ \ mathbb (C) $ đã cho là $ \ mathbb (C) _0 = \ lbrace (a, 0) | a \ in \ mathbb (R) \ rbrace $ thỏa mãn tất cả tiên đề cho các số thực, do đó $ \ mathbb (C) _0 = \ mathbb (R) $, hoặc $ R \ subset \ mathbb (C) $.

Cấu trúc đại số của tập hợp $ \ mathbb (C) $ liên quan đến các phép toán cộng và nhân có các tính chất sau:
1. tính giao hoán của phép cộng và phép nhân
2. tính kết hợp của phép cộng và phép nhân
3. $ 0 + i0 $ - phần tử trung lập để bổ sung
4. $ 1 + i0 $ - phần tử trung tính cho phép nhân
5. phép nhân là phân phối đối với phép cộng
6. Có một yếu tố nghịch đảo duy nhất cho cả phép cộng và phép nhân.

Không phải tất cả các phép toán được xét trong đại số đều khả thi trong lĩnh vực số hữu tỉ. Một ví dụ là phép toán căn bậc hai. Vì vậy, nếu đẳng thức đúng với các giá trị, thì đẳng thức không áp dụng cho bất kỳ giá trị hợp lý nào Hãy chứng minh điều đó. Đầu tiên, chúng ta lưu ý rằng số nguyên không thể có bình phương bằng 2: vì chúng ta có và for chắc chắn lớn hơn 2. Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng phân số: (phân số được coi là bất khả quy) và

Do đó, chúng ta phải là một số chẵn (nếu không hình vuông sẽ không phải là số chẵn). Cho phép .

Bây giờ nó chỉ ra rằng và là chẵn, mâu thuẫn với giả định rằng phân số là bất khả quy

Điều này cho thấy rằng trong lĩnh vực số hữu tỉ, căn bậc hai của số 2 không thể chiết xuất được, ký hiệu không có ý nghĩa trong lĩnh vực số hữu tỉ. Trong khi đó, nhiệm vụ: "tìm cạnh của một hình vuông, biết rằng diện tích của nó bằng S" - là điều đương nhiên đối với cũng như đối với. Cách giải quyết vấn đề này và những khó khăn tương tự khác là mở rộng hơn nữa khái niệm về số, để giới thiệu một loại số mới - số vô tỉ.

Chúng tôi sẽ chỉ ra cách các số vô tỉ được giới thiệu bằng cách sử dụng ví dụ về bài toán rút ra căn bậc hai của số 2; Vì đơn giản, chúng ta tự giới hạn mình trong giá trị tích cực của gốc.

Đối với mỗi số hữu tỉ dương, một trong các bất đẳng thức hoặc sẽ xảy ra. Sau đó, chúng ta xem xét các số và tìm hai cái lân cận trong số chúng với tính chất là cái thứ nhất có một hình vuông nhỏ hơn hai và cái thứ hai có một hình vuông lớn hơn hai. Cụ thể là, Tương tự, tiếp tục quá trình này, chúng ta thu được một loạt các bất đẳng thức (để có được các phân số thập phân được viết ở đây, bạn cũng có thể sử dụng thuật toán nổi tiếng để trích xuất gần đúng căn bậc hai, mục 13):

So sánh đầu tiên các phần số nguyên và sau đó là các chữ số đầu tiên, thứ hai, thứ ba, v.v. sau dấu thập phân của các số hữu tỉ giữa các ô vuông có 2, chúng ta có thể viết ra các chữ số thập phân này liên tiếp:

Quá trình tìm các cặp số hữu tỉ (biểu thị dưới dạng phân số thập phân hữu hạn) khác nhau theo chiều tăng m có thể được tiếp tục vô thời hạn. Do đó, chúng ta có thể coi phân số (6.1) là một phân số thập phân vô hạn tuần hoàn (không tuần hoàn, vì trong trường hợp tuần hoàn, nó sẽ biểu diễn một số hữu tỉ).

Phân số vô hạn không tuần hoàn này, mà chúng ta có thể viết ra bất kỳ số chữ số thập phân nào, nhưng không thể ghi tất cả các dấu cùng một lúc, được coi là một số bằng (tức là một số có bình phương là 2).

Chúng ta sẽ biểu diễn giá trị âm của căn bậc hai của hai ở dạng

hoặc, sử dụng một dạng viết số nhân tạo, dưới dạng

Bây giờ chúng tôi giới thiệu định nghĩa sau: một số vô tỷ là bất kỳ phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn

trong đó a - tạo thành một phần của số (nó có thể là số dương, bằng 0 hoặc âm), a - vị trí thập phân (số) của phần phân số của nó.

Một số vô tỉ được cho bởi một phân số vô hạn không tuần hoàn xác định hai dãy các phân số thập phân hữu hạn, được gọi là các xấp xỉ thập phân a theo thiếu và dư:

Ví dụ, chúng tôi viết

v.v ... Ở đây, ví dụ, 1,41 là một xấp xỉ thập phân với độ chính xác là 0,01 về thiếu và 1,42 là thừa.

Bản ghi về bất đẳng thức giữa một số vô tỷ và các xấp xỉ thập phân của nó được đưa vào định nghĩa khái niệm số vô tỷ và có thể được sử dụng làm cơ sở để xác định tỷ số "lớn hơn" và "nhỏ hơn" đối với số vô tỷ.

Khả năng biểu diễn các số vô tỉ bằng các xấp xỉ thập phân ngày càng chính xác của chúng cũng làm cơ sở cho định nghĩa của các phép toán số học trên các số vô tỉ, thực tế được thực hiện trên các phép tính gần đúng vô tỉ của chúng bằng cách thiếu hoặc thừa.

Nhiều hành động dẫn đến số vô tỉ, chẳng hạn như hành động rút căn bậc từ một số hữu tỉ (nếu nó không phải là lũy thừa của một số hữu tỉ khác), lấy logarit, v.v. Một số vô tỉ bằng tỉ số giữa chu vi hình tròn với đường kính của nó (tr. 229).

Tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ cùng tạo thành một tập hợp các số thực (hoặc thực). Do đó, bất kỳ phân số thập phân nào, hữu hạn hoặc vô hạn (tuần hoàn hoặc không tuần hoàn), luôn xác định một số thực.

Mọi số thực khác 0 đều là số dương hoặc số âm.

Trong mối liên hệ này, chúng ta nhớ lại định nghĩa sau đây. Giá trị tuyệt đối hoặc môđun của một số thực a là số được xác định bởi các giá trị bằng a, nếu

Do đó, môđun của một số không âm bằng chính số đó (dòng trên cùng của đẳng thức); giá trị tuyệt đối của một số âm bằng số này, lấy với dấu ngược lại (dòng dưới cùng). Ví dụ,

Theo định nghĩa của môđun thì môđun của bất kỳ số nào cũng là một số không âm; nếu môđun của một số bằng 0, thì bản thân số đó bằng 0, ngược lại thì môđun là số dương.

Số thực tạo thành một trường số - trường số thực: kết quả của các phép toán hữu tỉ trên số thực lại được biểu diễn bằng một số thực. Lưu ý rằng được lấy riêng biệt, các số vô tỉ không tạo thành một trường hoặc thậm chí một vành: ví dụ, tổng của hai số vô tỉ bằng số hữu tỉ 3.

Đề cương ngắn gọn của chúng tôi về sự phát triển của khái niệm số, được xây dựng theo sơ đồ

chúng tôi kết luận bằng cách chỉ ra các tính chất quan trọng nhất của tập hợp các số thực.

1. Các số thực tạo thành một trường.

2. Các thao tác trên số thực tuân theo các quy luật thông thường (ví dụ, cộng và nhân - các quy luật giao hoán, kết hợp, phân phối, mục 1).

3. Với hai số thực a và b bất kỳ, một và chỉ một trong ba quan hệ giữ: a lớn hơn b (a> b), a nhỏ hơn và bằng. Do đó, tập hợp các số thực được cho là có thứ tự.

4. Cuối cùng, người ta thường nói rằng tập hợp các số thực có tính chất liên tục. Ý nghĩa của biểu thức này được giải thích trong Phần 8. Tính chất này về cơ bản phân biệt trường số thực với trường số hữu tỉ.