Hàm lẻ chẵn như. Các hàm chẵn và lẻ

Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ có các đặc điểm sau:

Nếu một hàm số chẵn thì đồ thị của nó đối xứng qua trục y. Nếu một hàm số lẻ thì đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ. Vẽ đồ thị của hàm \ (y = \ left | x \ right | \).

Quyết định. Hãy xem xét hàm: \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) và thay thế \ (x \) cho điều ngược lại \ (- x \). Theo kết quả của các phép biến đổi đơn giản, chúng ta nhận được: $$ f \ left (-x \ right) = \ left | -x \ right | = \ left | x \ right | = f \ left (x \ right) $$ In nói cách khác, nếu thay đối số bằng dấu ngược lại, hàm sẽ không thay đổi.

Điều này có nghĩa là hàm này chẵn và đồ thị của nó sẽ đối xứng qua trục y (trục tung). Đồ thị của hàm này được thể hiện trong hình bên trái. Điều này có nghĩa là khi vẽ biểu đồ, bạn chỉ có thể xây dựng một nửa và phần thứ hai (ở bên trái của trục tung, hãy vẽ đối xứng với bên phải). Bằng cách xác định tính đối xứng của một hàm số trước khi bắt đầu vẽ đồ thị của nó, bạn có thể đơn giản hóa quá trình xây dựng hoặc nghiên cứu một hàm số. Nếu khó thực hiện kiểm tra ở dạng tổng quát, bạn có thể thực hiện dễ dàng hơn: thay các giá trị giống nhau \ u200b \ u200bởi các dấu hiệu khác nhau vào phương trình. Ví dụ -5 và 5. Nếu các giá trị của hàm giống nhau, thì chúng ta có thể hy vọng rằng hàm sẽ là số chẵn. Từ quan điểm toán học, cách tiếp cận này không hoàn toàn đúng, nhưng từ quan điểm thực tế, nó là thuận tiện. Để tăng độ tin cậy của kết quả, bạn có thể thay thế một số cặp giá trị đối lập như vậy.

Ví dụ. Vẽ đồ thị của hàm \ (y = x \ left | x \ right | \).

Quyết định. Hãy kiểm tra tương tự như trong ví dụ trước: $$ f \ left (-x \ right) = x \ left | -x \ right | = -x \ left | x \ right | = -f \ left (x \ right ) $$ Điều này có nghĩa là hàm ban đầu là số lẻ (dấu của hàm bị đảo ngược).

Kết luận: hàm số đối xứng với gốc tọa độ. Bạn chỉ có thể dựng một nửa và vẽ nửa còn lại đối xứng. Đối xứng này khó vẽ hơn. Điều này có nghĩa là bạn đang nhìn biểu đồ từ phía bên kia của trang tính, và thậm chí còn bị lật ngược. Và bạn cũng có thể làm điều này: lấy phần đã vẽ và xoay nó xung quanh gốc 180 độ ngược chiều kim đồng hồ.

Ví dụ. Vẽ đồ thị của hàm \ (y = x ^ 3 + x ^ 2 \).

Quyết định. Hãy thực hiện kiểm tra thay đổi dấu tương tự như trong hai ví dụ trước. $$ f \ left (-x \ right) = \ left (-x \ right) ^ 3 + \ left (-x \ right) ^ 2 = -x ^ 2 + x ^ 2 $$ $$ f \ left ( -x \ right) \ not = f \ left (x \ right), f \ left (-x \ right) \ not = -f \ left (x \ right) $$ Có nghĩa là hàm không chẵn cũng không lẻ .

Kết luận: hàm số không đối xứng cả về gốc tọa độ cũng như về tâm của hệ tọa độ. Điều này xảy ra bởi vì nó là tổng của hai hàm: chẵn và lẻ. Tình huống tương tự sẽ xảy ra nếu bạn trừ hai hàm khác nhau. Nhưng phép nhân hoặc phép chia sẽ dẫn đến một kết quả khác. Ví dụ, tích của một hàm chẵn và một hàm lẻ cho ra một hàm lẻ. Hoặc thương của hai lẻ dẫn đến một hàm chẵn.

Ẩn Hiển thị

Các cách thiết lập một hàm

Cho hàm số đã cho bởi công thức: y = 2x ^ (2) -3. Bằng cách gán bất kỳ giá trị nào cho biến độc lập x, bạn có thể sử dụng công thức này để tính các giá trị tương ứng của biến phụ thuộc y. Ví dụ, nếu x = -0,5, thì sử dụng công thức, chúng ta nhận được giá trị tương ứng của y là y = 2 \ cdot (-0,5) ^ (2) -3 = -2,5.

Với bất kỳ giá trị nào được nhận bởi đối số x trong công thức y = 2x ^ (2) -3, chỉ có thể tính một giá trị hàm tương ứng với nó. Hàm có thể được biểu diễn dưới dạng bảng:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Sử dụng bảng này, bạn có thể tìm ra rằng đối với giá trị của đối số -1, giá trị của hàm -3 sẽ tương ứng; và giá trị x = 2 sẽ tương ứng với y = 0, v.v. Cũng cần biết rằng mỗi giá trị đối số trong bảng chỉ tương ứng với một giá trị hàm.

Nhiều chức năng hơn có thể được thiết lập bằng cách sử dụng đồ thị. Với sự trợ giúp của đồ thị, nó được thiết lập giá trị nào của hàm tương quan với một giá trị nào đó của x. Thông thường, đây sẽ là giá trị gần đúng của hàm.

Hàm chẵn và lẻ

Chức năng là hàm chẵn, khi f (-x) = f (x) với x bất kỳ từ miền. Một hàm số như vậy sẽ đối xứng qua trục Oy.

Chức năng là hàm lẻ khi f (-x) = - f (x) với x bất kỳ trong miền. Một hàm như vậy sẽ đối xứng qua gốc tọa độ O (0; 0).

Chức năng là thậm chí không, cũng không kỳ quặc và được gọi chức năng chung khi nó không có đối xứng về trục hoặc gốc tọa độ.

Chúng tôi kiểm tra hàm sau cho tính chẵn lẻ:

f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7)

D (f) = (- \ infty; + \ infty) với miền xác định đối xứng về gốc tọa độ. f (-x) = 3 \ cdot (-x) ^ (3) -7 \ cdot (-x) ^ (7) = -3x ^ (3) + 7x ^ (7) = - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) = -f (x).

Do đó, hàm f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7) là hàm lẻ.

Chức năng định kỳ

Hàm y = f (x), trong miền mà f (x + T) = f (x-T) = f (x) đúng với mọi x, được gọi là chức năng tuần hoàn với khoảng thời gian T \ neq 0.

Sự lặp lại của đồ thị của hàm số trên một đoạn bất kỳ của trục abscissa, có độ dài T.

Khoảng thời gian mà hàm số dương, nghĩa là, f (x)> 0 - các đoạn của trục abscissa, tương ứng với các điểm của đồ thị hàm số nằm trên trục abscissa.

f (x)> 0 trên (x_ (1); x_ (2)) \ cup (x_ (3); + \ infty)

Khoảng trống trong đó hàm là âm, tức là f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f (x)< 0 на (- \ infty; x_ (1)) \ cup (x_ (2); x_ (3))

Giới hạn chức năng

giới hạn từ bên dưới Thông thường gọi một hàm y = f (x), x \ in X khi tồn tại một số A mà bất đẳng thức f (x) \ geq A áp dụng cho bất kỳ x \ trong X.

Ví dụ về một hàm được giới hạn bên dưới: y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) vì y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ geq 1 cho bất kỳ x nào.

giới hạn từ trên cao một hàm y = f (x), x \ trong X được gọi nếu tồn tại một số B mà bất đẳng thức f (x) \ neq B áp dụng cho bất kỳ x \ trong X.

Ví dụ về một hàm bị giới hạn bên dưới: y = \ sqrt (1-x ^ (2)), x \ in [-1; 1] vì y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ neq 1 cho bất kỳ x \ trong [-1; 1].

Giới hạn Thông thường gọi một hàm y = f (x), x \ in X khi tồn tại một số K> 0 mà bất đẳng thức \ left | f (x) \ right | \ neq K cho bất kỳ x \ trong X.

Ví dụ về hàm có giới hạn: y = \ sin x được giới hạn trên toàn bộ dòng số vì \ trái | \ sin x \ right | \ neq 1.

Tăng và giảm chức năng

Thông thường khi nói về một hàm tăng trên khoảng thời gian được xem xét là tăng chức năng khi giá trị lớn hơn của x sẽ tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm số y = f (x). Từ đây, hóa ra rằng lấy từ khoảng đã xét hai giá trị tùy ý của đối số x_ (1) và x_ (2), và x_ (1)> x_ (2), nó sẽ là y (x_ (1)) > y (x_ (2)).

Một hàm giảm trên khoảng đang xét được gọi là giảm chức năng khi giá trị lớn hơn của x sẽ tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm số y (x). Từ đây, hóa ra rằng lấy từ khoảng đã xét hai giá trị tùy ý của đối số x_ (1) và x_ (2), và x_ (1)> x_ (2), nó sẽ là y (x_ (1))< y(x_{2}) .

Rễ chức năng Theo thông lệ, người ta thường đặt tên cho các điểm mà tại đó hàm F = y (x) giao với trục abscissa (chúng nhận được là kết quả của việc giải phương trình y (x) = 0).

a) Nếu một hàm số chẵn tăng cho x> 0, thì nó giảm cho x< 0

b) Khi một hàm số chẵn giảm cho x> 0, thì nó tăng cho x< 0

c) Khi một hàm lẻ tăng cho x> 0 thì nó cũng tăng cho x< 0

d) Khi hàm số lẻ giảm đối với x> 0 thì hàm số sẽ giảm đối với x< 0

Các cực trị của hàm

Chức năng điểm tối thiểu y = f (x) theo thói quen gọi một điểm như vậy là x = x_ (0), trong đó vùng lân cận của nó sẽ có các điểm khác (ngoại trừ điểm x = x_ (0)), và sau đó là bất đẳng thức f (x) > f (x_ (0)). y_ (min) - chỉ định của hàm tại điểm min.

Chức năng điểm tối đa y = f (x) theo thói quen gọi một điểm như vậy là x = x_ (0), trong đó vùng lân cận của nó sẽ có các điểm khác (ngoại trừ điểm x = x_ (0)), và sau đó là bất đẳng thức f (x) sẽ hài lòng cho họ< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Điều kiện cần thiết

Theo định lý Fermat: f ”(x) = 0 thì khi hàm f (x) khả vi tại điểm x_ (0) thì tại điểm này sẽ xuất hiện một cực trị.

Đủ điều kiện

1. Khi dấu của đạo hàm chuyển từ cộng sang trừ thì x_ (0) sẽ là điểm cực tiểu;
2. x_ (0) - sẽ là điểm cực đại chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng khi đi qua điểm đứng yên x_ (0).

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Các bước tính toán:

1. Tìm đạo hàm f ”(x);
2. Điểm dừng và điểm tới hạn của hàm được tìm thấy và những điểm thuộc khoảng được chọn;
3. Các giá trị của hàm f (x) được tìm thấy tại các điểm đứng yên và tới hạn và cuối đoạn thẳng. Kết quả nhỏ nhất sẽ là giá trị nhỏ nhất của hàm, và hơn thế nữa - vĩ đại nhất.

Lùi về phía trước

Chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không thể hiện toàn bộ phạm vi của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Bàn thắng:

• hình thành khái niệm về hàm chẵn và hàm lẻ, dạy khả năng xác định và sử dụng các tính chất này trong nghiên cứu hàm số, vẽ đồ thị;
• phát triển hoạt động sáng tạo của học sinh, tư duy logic, khả năng so sánh, khái quát hóa;
• trau dồi tính cần cù, văn hóa toán học; phát triển kỹ năng giao tiếp .

Trang thiết bị: cài đặt đa phương tiện, bảng tương tác, tài liệu phát tay.

Hình thức làm việc: trực diện và nhóm với các yếu tố của hoạt động tìm kiếm và nghiên cứu.

Nguồn thông tin:

1. Đại số lớp 9 A.G. Mordkovich. Sách giáo khoa.
2. Đại số lớp 9 A.G. Mordkovich. Sổ nhiệm vụ.
3. Đại số lớp 9. Nhiệm vụ học tập và phát triển của học sinh. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

THỜI GIAN LỚP HỌC

1. Thời điểm tổ chức

Đề ra mục tiêu và mục tiêu của bài học.

2. Kiểm tra bài tập về nhà

Số 10.17 (Sách bài tập lớp 9 A.G. Mordkovich).

một) tại = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D ( f) = [– 2; + ∞)
2. E ( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 cho X ~ 0,4
4. f(X)> 0 lúc X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Hàm tăng với X € [– 2; + ∞)
6. Chức năng bị giới hạn từ bên dưới.
7. tại thuê = - 3, tại naib không tồn tại
8. Hàm liên tục.

(Bạn đã sử dụng thuật toán khám phá tính năng chưa?) Cầu trượt.

2. Hãy kiểm tra bảng mà bạn đã được hỏi trên slide.

Điền vào bảng
	Lãnh địa	Số không của hàm	Khoảng thời gian liên tục		Tọa độ giao điểm của đồ thị với Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5; 3) Ư Ư (2; ∞)	х € (–∞; –5) Ư Ư (–3; 2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5; 3) Ư Ư (2; ∞)	х € (–∞; –5) Ư Ư (–3; 2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) Ư Ư (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Cập nhật kiến ​​thức

- Các chức năng được đưa ra.
- Chỉ rõ miền xác định cho từng hàm.
- So sánh giá trị của từng hàm đối với từng cặp giá trị đối số: 1 và - 1; 2 và - 2.
- Với những hàm số đã cho trong miền xác định thì hàm số nào bằng nhau f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (đưa dữ liệu vào bảng) Cầu trượt

		f(1) và f(– 1)	f(2 và f(– 2)	biểu đồ	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		và không được xác định.

4. Vật liệu mới

- Trong khi thực hiện công việc này, các bạn đã tiết lộ thêm một tính chất của hàm số, tuy lạ lẫm với các bạn nhưng không kém phần quan trọng so với các tính chất khác - đó là tính chẵn và lẻ của hàm số. Ghi chủ đề của bài: “Hàm số chẵn và hàm số lẻ”, nhiệm vụ của chúng ta là học cách xác định hàm số chẵn và hàm số lẻ, tìm hiểu ý nghĩa của tính chất này trong việc học hàm số và vẽ đồ thị.
Vì vậy, chúng ta hãy tìm các định nghĩa trong sách giáo khoa và đọc (tr. 110) . Cầu trượt

Def. một Hàm số tại = f (X) xác định trên tập X được gọi là thậm chí, nếu cho bất kỳ giá trị nào XЄ X đang trong quá trình đẳng thức f (–x) = f (x). Cho ví dụ.

Def. 2 Hàm số y = f (x), xác định trên tập X được gọi là số lẻ, nếu cho bất kỳ giá trị nào XЄ X đẳng thức f (–х) = –f (х) được thỏa mãn. Cho ví dụ.

Chúng ta đã gặp các thuật ngữ "chẵn" và "lẻ" ở đâu?
Bạn nghĩ chức năng nào trong số những chức năng này sẽ là số chẵn? Tại sao? Cái nào là lẻ? Tại sao?
Đối với bất kỳ chức năng nào của biểu mẫu tại= x n, ở đâu N là một số nguyên, có thể lập luận rằng hàm là số lẻ đối với N là lẻ và hàm chẵn cho N- thậm chí.
- Xem các chức năng tại= và tại = 2X- 3 không chẵn cũng không lẻ, bởi vì sự bình đẳng không được đáp ứng f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Nghiên cứu về câu hỏi liệu một hàm là chẵn hay lẻ được gọi là nghiên cứu của một hàm đối với tính chẵn lẻ. Cầu trượt

Định nghĩa 1 và 2 xử lý các giá trị của hàm tại x và - x, do đó giả định rằng hàm cũng được xác định tại giá trị X, và tại - X.

ODA 3. Nếu một tập hợp số cùng với mỗi phần tử của nó x chứa phần tử đối diện x, thì tập Xđược gọi là tập đối xứng.

Ví dụ:

(–2; 2), [–5; 5]; (∞; ∞) là các tập đối xứng, và [–5; 4] là không đối xứng.

- Hàm số chẵn có miền xác định - tập đối xứng không? Những cái lẻ?
- Nếu D ( f) là một tập không đối xứng, sau đó là hàm gì?
- Như vậy, nếu hàm tại = f(X) là chẵn hoặc lẻ, thì miền xác định của nó là D ( f) là một tập đối xứng. Nhưng điều ngược lại có đúng không, nếu miền của một hàm là một tập đối xứng, thì nó là chẵn hay lẻ?
- Vậy sự có mặt của tập đối xứng của miền xác định là điều kiện cần nhưng chưa phải là điều kiện đủ.
- Vậy làm thế nào chúng ta có thể khảo sát hàm đối với tính chẵn lẻ? Hãy thử viết một thuật toán.

Cầu trượt

Thuật toán kiểm tra một hàm tính chẵn lẻ

1. Xác định miền của hàm số có đối xứng không. Nếu không, thì hàm không chẵn cũng không lẻ. Nếu có, hãy chuyển sang bước 2 của thuật toán.

2. Viết biểu thức cho f(–X).

3. So sánh f(–X).và f(X):

• nếu f(–X).= f(X), thì hàm là chẵn;
• nếu f(–X).= – f(X), thì hàm là số lẻ;
• nếu f(–X) ≠ f(X) và f(–X) ≠ –f(X), thì hàm không chẵn cũng không lẻ.

Ví dụ:

Điều tra hàm đối với tính chẵn lẻ a) tại= x 5 +; b) tại=; trong) tại= .

Quyết định.

a) h (x) \ u003d x 5 +,

1) D (h) = (–∞; 0) Ư (0; + ∞), tập đối xứng.

2) h (- x) \ u003d (-x) 5 + - x5 - \ u003d - (x 5 +),

3) hàm h (- x) \ u003d - h (x) \ u003d \ u003e h (x)= x 5 + lẻ.

b) y =,

tại = f(X), D (f) = (–∞; –9)? (–9; + ∞), tập không đối xứng nên hàm số không chẵn cũng không lẻ.

trong) f(X) =, y = f (x),

1) D ( f) = (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Lựa chọn 2

1. Tập hợp đã cho có đối xứng không: a) [–2; 2]; b) (∞; 0], (0; 7)?

một); b) y \ u003d x (5 - x 2). 2. Kiểm tra chức năng chẵn lẻ:

a) y \ u003d x 2 (2x - x 3), b) y \ u003d

3. Trong hình. âm mưu tại = f(X), cho tất cả X, thỏa mãn điều kiện X? 0.
Vẽ đồ thị hàm tại = f(X), nếu tại = f(X) là một hàm chẵn.

3. Trong hình. âm mưu tại = f(X), với mọi x thỏa mãn x? 0.
Vẽ đồ thị hàm tại = f(X), nếu tại = f(X) là một hàm lẻ.

Kiểm tra lẫn nhau về cầu trượt.

6. Bài tập về nhà: №11.11, 11.21,11.22;

Chứng minh ý nghĩa hình học của tính chất chẵn lẻ.

*** (Chỉ định tùy chọn SỬ DỤNG).

1. Hàm lẻ y \ u003d f (x) được xác định trên toàn bộ dòng thực. Với mọi giá trị không âm của biến x thì giá trị của hàm này trùng với giá trị của hàm g ( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). Tìm giá trị của hàm h ( X) = lúc X = 3.

7. Tổng kết

Các hàm chẵn và lẻ là một trong những tính chất chính của nó, và tính chẵn lẻ chiếm một phần ấn tượng trong khóa học toán học ở trường. Nó quyết định phần lớn bản chất của hoạt động của hàm và tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho việc xây dựng đồ thị tương ứng.

Hãy để chúng tôi xác định tính chẵn lẻ của hàm. Nói chung, hàm đang nghiên cứu được coi là ngay cả khi đối với các giá trị đối lập của biến độc lập (x) nằm trong miền xác định của nó, các giá trị tương ứng của y (hàm) bằng nhau.

Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa chặt chẽ hơn. Xét một số hàm f (x), được xác định trong miền D. Nó sẽ là chẵn nếu với bất kỳ điểm x nào nằm trong miền xác định:

• -x (dấu chấm đối diện) cũng nằm trong phạm vi đã cho,

• f (-x) = f (x).

Từ định nghĩa trên, điều kiện cần thiết cho miền xác định của một hàm số như vậy tuân theo, đó là tính đối xứng đối với điểm O, là gốc tọa độ, vì nếu một điểm b nào đó nằm trong miền xác định của một hàm chẵn thì điểm - b tương ứng cũng nằm trong miền này. Từ đó rút ra kết luận sau: một hàm số chẵn có dạng đối xứng với trục hoành (Oy).

Làm thế nào để xác định tính chẵn lẻ của một hàm trong thực tế?

Giả sử nó được cho bằng công thức h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x). Sau thuật toán theo sau trực tiếp từ định nghĩa, trước hết chúng ta nghiên cứu miền định nghĩa của nó. Rõ ràng, nó được xác định cho tất cả các giá trị của đối số, nghĩa là điều kiện đầu tiên được thỏa mãn.

Bước tiếp theo là thay thế đối số (x) bằng giá trị đối lập của nó (-x).
Chúng tôi nhận được:
h (-x) = 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Vì phép cộng thỏa mãn định luật giao hoán (phép dời hình), hiển nhiên h (-x) = h (x) và sự phụ thuộc hàm đã cho là chẵn.

Hãy kiểm tra tính chẵn của hàm h (x) = 11 ^ x-11 ^ (- x). Theo cùng một thuật toán, chúng ta nhận được h (-x) = 11 ^ (- x) -11 ^ x. Lấy ra trừ đi, kết quả là chúng ta có
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (- x)) = - h (x). Do đó h (x) là số lẻ.

Nhân đây, cũng cần nhắc lại rằng có những hàm không thể phân loại theo các tiêu chí này, chúng được gọi là không chẵn cũng không lẻ.

Các hàm chẵn có một số thuộc tính thú vị:

• kết quả của việc bổ sung các chức năng tương tự, một chức năng chẵn thu được;
• kết quả của việc trừ các hàm như vậy, thu được một số chẵn;
• thậm chí, thậm chí thậm chí;
• kết quả của việc nhân hai hàm như vậy, thu được một hàm chẵn;
• kết quả của phép nhân các hàm lẻ và chẵn, thu được một số lẻ;
• kết quả của phép chia các hàm lẻ và hàm chẵn, thu được một hàm lẻ;
• đạo hàm của một hàm như vậy là lẻ;
• Nếu chúng ta bình phương một hàm lẻ, chúng ta nhận được một hàm chẵn.

Tính chẵn lẻ của một hàm có thể được sử dụng để giải phương trình.

Để giải một phương trình như g (x) = 0, trong đó vế trái của phương trình là một hàm chẵn, sẽ khá đủ để tìm nghiệm của nó cho các giá trị không âm của biến. Các nghiệm thu được của phương trình phải được kết hợp với các số đối nhau. Một trong số chúng phải được xác minh.

Tương tự được sử dụng thành công để giải quyết các vấn đề không chuẩn với một tham số.

Ví dụ, có giá trị nào cho tham số a làm cho phương trình 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 có ba nghiệm không?

Nếu chúng ta tính đến rằng biến số đưa vào phương trình theo lũy thừa chẵn, thì rõ ràng rằng việc thay thế x bằng -x sẽ không thay đổi phương trình đã cho. Theo đó, nếu một số nhất định là gốc của nó, thì số ngược lại cũng vậy. Kết luận là hiển nhiên: các nghiệm của phương trình, khác với 0, được bao gồm trong tập các nghiệm của nó theo "cặp".

Rõ ràng là bản thân số 0 thì không, tức là số nghiệm của một phương trình như vậy chỉ có thể là số chẵn và đương nhiên, đối với bất kỳ giá trị nào của tham số, nó không thể có ba nghiệm nguyên.

Nhưng số nghiệm của phương trình 2 ^ x + 2 ^ (- x) = ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 có thể là số lẻ và với bất kỳ giá trị nào của tham số. Thật vậy, dễ dàng kiểm tra rằng tập nghiệm của một phương trình đã cho có chứa các nghiệm theo "cặp" hay không. Hãy kiểm tra xem 0 có phải là một gốc hay không. Khi thay nó vào phương trình, ta được 2 = 2. Như vậy, ngoài "cặp" 0 cũng là một gốc, điều này chứng tỏ số lẻ của chúng.

Nghiên cứu chức năng.

1) D (y) - Miền xác định: tập hợp tất cả các giá trị đó của biến x. theo đó các biểu thức đại số f (x) và g (x) có nghĩa.

Nếu hàm được cho bởi một công thức, thì miền định nghĩa bao gồm tất cả các giá trị của biến độc lập mà công thức có nghĩa.

2) Tính chất của hàm: chẵn / lẻ, tính tuần hoàn:

số lẻ và thậm chíđược gọi là những hàm có đồ thị đối xứng với sự thay đổi dấu của đối số.

hàm lẻ- một hàm số đổi giá trị ngược lại khi dấu của biến số độc lập (đối xứng về tâm tọa độ).

Hàm chẵn- hàm số không đổi giá trị khi dấu của biến số độc lập (đối xứng qua trục y).

Không phải hàm chẵn cũng không phải hàm lẻ (chức năng chung) là một hàm không có đối xứng. Danh mục này bao gồm các chức năng không thuộc 2 danh mục trước.

Các hàm không thuộc bất kỳ loại nào ở trên được gọi là không chẵn cũng không lẻ(hoặc các chức năng chung).

Các chức năng kỳ lạ

Một lũy thừa là một số nguyên tùy ý.

Chức năng chẵn

Một lũy thừa là một số nguyên tùy ý.

Chức năng định kỳ là một hàm lặp lại các giá trị của nó tại một khoảng thời gian đều đặn nào đó của đối số, tức là không thay đổi giá trị của nó khi một số khác không cố định được thêm vào đối số ( giai đoạn = Stage hàm) trên toàn bộ miền định nghĩa.

3) Zeros (gốc) của một hàm là những điểm mà nó biến mất.

Tìm giao điểm của đồ thị với trục Oy. Để làm điều này, bạn cần tính giá trị f(0). Đồng thời tìm các giao điểm của đồ thị với trục Con bò, tại sao phải tìm nghiệm nguyên của phương trình f(x) = 0 (hoặc chắc chắn rằng không có gốc).

Các điểm mà đồ thị giao với trục được gọi là hàm số không. Để tìm các số không của hàm, bạn cần giải phương trình, nghĩa là tìm những giá trị x đó, mà chức năng biến mất.

4) Khoảng không thay đổi của các dấu hiệu, dấu hiệu trong chúng.

Những khoảng mà hàm f (x) giữ nguyên dấu của nó.

Khoảng hằng số là khoảng tại mọi thời điểm chức năng là tích cực hoặc tiêu cực.

TRÊN trục x.

Trục DƯỚI ĐÂY.

5) Tính liên tục (các điểm không liên tục, đặc điểm của sự không liên tục, các dấu hiệu không liên tục).

chức năng liên tục- một hàm không có "jump", nghĩa là một hàm trong đó những thay đổi nhỏ trong đối số dẫn đến những thay đổi nhỏ trong giá trị của hàm.

Các điểm ngắt có thể tháo rời

Nếu giới hạn của hàm hiện hữu, nhưng hàm không được xác định tại thời điểm này, hoặc giới hạn không khớp với giá trị của hàm tại thời điểm này:

,

sau đó điểm được gọi là điểm ngắt chức năng (trong phân tích phức tạp, một điểm kỳ dị có thể tháo rời).

Nếu chúng ta "sửa" hàm tại điểm không liên tục có thể tháo rời và đặt , sau đó chúng ta nhận được một hàm liên tục tại thời điểm này. Một hoạt động như vậy trên một hàm được gọi là mở rộng chức năng liên tục hoặc mở rộng chức năng bằng tính liên tục, xác minh tên của điểm, như các điểm dùng một lần lỗ hổng.

Điểm gián đoạn của loại thứ nhất và thứ hai

Nếu hàm số có điểm gián đoạn tại một điểm đã cho (nghĩa là giới hạn của hàm số tại một điểm đã cho không có hoặc không trùng với giá trị của hàm số tại một điểm đã cho), thì đối với hàm số có hai lựa chọn khả thi. liên quan đến sự tồn tại của các hàm số giới hạn đơn phương:

nếu cả hai giới hạn một phía đều tồn tại và hữu hạn, thì điểm như vậy được gọi là điểm phá vỡ của loại đầu tiên. Điểm gián đoạn có thể tháo rời là điểm gián đoạn của loại thứ nhất;

nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía không tồn tại hoặc không phải là một giá trị hữu hạn, thì điểm đó được gọi là điểm phá vỡ của loại thứ hai.

Asymptote - thẳng, có thuộc tính là khoảng cách từ một điểm của đường cong đến điểm này thẳng có xu hướng bằng không khi điểm di chuyển dọc theo nhánh đến vô cùng.

theo chiều dọc

Đường tiệm cận dọc - đường giới hạn .

Theo quy luật, khi xác định tiệm cận đứng, họ không tìm kiếm một giới hạn mà là hai giới hạn một phía (trái và phải). Điều này được thực hiện để xác định chức năng hoạt động như thế nào khi nó tiếp cận tiệm cận đứng từ các hướng khác nhau. Ví dụ:

Nằm ngang

Đường tiệm cận ngang - thẳng các loài, tùy thuộc vào sự tồn tại giới hạn

.

xiên

Đường tiệm cận xiên - thẳng các loài, tùy thuộc vào sự tồn tại Hạn mức

Lưu ý: Một hàm không được có nhiều hơn hai dấu gạch đầu dòng xiên (ngang).

Lưu ý: nếu ít nhất một trong hai giới hạn nói trên không tồn tại (hoặc bằng) thì tiệm cận xiên tại (hoặc) không tồn tại.

nếu trong mục 2.), thì, và giới hạn được tìm thấy bởi công thức tiệm cận ngang, .

6) Tìm khoảng của đơn điệu. Tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số f(x) (nghĩa là khoảng thời gian tăng và giảm). Điều này được thực hiện bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm f(x). Để làm điều này, hãy tìm đạo hàm f(x) và giải quyết bất đẳng thức f(x) 0. Trong khoảng thời gian mà bất đẳng thức này được thỏa mãn, hàm f(x) tăng. Nơi mà sự bất bình đẳng ngược lại nắm giữ f(x) 0, hàm f(x) giảm.

Tìm một điểm cực trị cục bộ. Sau khi tìm thấy các khoảng của tính đơn điệu, chúng ta có thể xác định ngay lập tức các điểm của cực trị cục bộ nơi tăng được thay thế bằng giảm, có cực đại cục bộ và nơi giảm được thay thế bằng tăng, cực tiểu cục bộ. Tính giá trị của hàm số tại các điểm này. Nếu một hàm có các điểm tới hạn không phải là điểm cực trị cục bộ, thì việc tính giá trị của hàm tại các điểm này cũng rất hữu ích.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn(phần tiếp theo)

1. Tìm đạo hàm của một hàm số: f(x). 2. Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Xác định quyền sở hữu điểm X 1 ,X 2 , … bộ phận [ một; b]: để cho được x 1một;b, một x 2một;b .