Từ một điểm tùy ý, thiết lập một vectơ bằng một điểm đã cho. Vectơ Vectơ Tài liệu tham khảo lịch sử Khái niệm vectơ Bằng nhau của vectơ Hoãn một vectơ từ một điểm cho trước Tổng của hai vectơ Quy luật cộng Phép trừ

1. Định nghĩa đẳng thức của vectơ hình học.

Hai vector hình họcđược cho là bằng nhau nếu:

chúng thẳng hàng và đơn hướng;

độ dài của chúng giống nhau.

2. Định nghĩa tổng các vectơ và phép nhân một vectơ với một số.

Tổng a + b của hai vectơ a và b là vectơ c được dựng theo quy tắc tam giác sau. Hãy ghép điểm đầu của vectơ b với điểm cuối của vectơ a. Khi đó tổng các vectơ này sẽ là vectơ c, đầu của nó trùng với đầu a và cuối của nó trùng với cuối b.

Cùng với quy tắc tam giác còn có quy tắc hình bình hành. Chọn vectơ a và b khởi đầu chung, chúng ta dựng một hình bình hành trên các vectơ này. Khi đó đường chéo của hình bình hành ra khỏi điểm gốc chung của các vectơ sẽ xác định tổng của chúng.

Khi nhân một vectơ với một số, hướng của vectơ không thay đổi, nhưng độ dài của vectơ nhân với một số.

3. Đưa ra định nghĩa về vectơ thẳng hàng và vectơ đồng phẳng.

Hai vectơ hình học được cho là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song.

Ba vectơ hình học được gọi là đồng phẳng nếu các vectơ này nằm trên các đường thẳng song song với một mặt phẳng nào đó.

4. Định nghĩa phụ thuộc tuyến tính và tuyến tính hệ thống độc lập vectơ.

Các vectơ a 1,…, a n được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu một tập hợp các hệ số α 1 như vậy ,. . . , α n sao cho α 1 a 1 +. . . + α n a n = 0 và hơn nữa, ít nhất một trong các hệ số này khác không.

Nếu bộ hệ số xác định không tồn tại, thì các vectơ được gọi là độc lập tuyến tính.

5. Xây dựng các tiêu chí hình học phụ thuộc tuyến tính 2 và 3 vectơ.

Hai vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi chúng thẳng hàng.

6. Xác định cơ sở và tọa độ của một vectơ.

Cơ sở là tập hợp các vectơ như vậy trong không gian vector rằng bất kỳ vectơ nào của không gian này có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ từ tập các vectơ cơ sở này.

Tọa độ vectơ là hệ số của tổ hợp tuyến tính duy nhất có thể có của các vectơ cơ sở trong hệ tọa độ đã chọn bằng vectơ đã cho.

7. Hình thành định lý về sự khai triển của véc tơ theo cơ sở.

Bất kỳ vectơ nào của không gian vectơ đều có thể được phân tích theo cơ sở của nó và hơn thế nữa, theo một cách duy nhất.

Nếu = (̅		- nền tảng		= (1, 2, 3), thì có một bộ số (	…) như vậy mà

	̅ + + ̅̅, ở đâu (		…) Là tọa độ của vectơ trong cơ sở.

8. Xác định phép chiếu vô hướng trực giao của một vectơ lên một phương.

Hình chiếu trực giao của một vectơ lên phương của vectơ được gọi là vô hướng Pr = | | cos (), trong đó góc là góc giữa các vectơ.

9. Định nghĩa tích vô hướng của vectơ.

Tích vô hướng của hai vectơ được gọi là số bằng cos -

tích của độ dài | | và | | các vectơ này bằng cosin của góc giữa chúng.

10. Hình thành thuộc tính tuyến tính của tích vô hướng.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ c̅ + ̅ c̅.

11. Viết công thức tính tích vô hướng của hai vectơ cho trong cơ sở trực chuẩn.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Viết công thức tính cosin của góc giữa các vectơ đã cho trong cơ sở trực chuẩn.

̅ ̅ cos = ̅ | ̅ || |

13. Định nghĩa bộ ba bên phải và bên trái của vectơ.

Một bộ ba vectơ không đồng phẳng có thứ tự a, b, c được gọi là đúng nếu hướng của vectơ a trùng với hướng của vectơ b bằng chuyển động quay ngắn nhất của vectơ a trong mặt phẳng của các vectơ này, được thực hiện ngược chiều kim đồng hồ từ vectơ ac. Nếu không (quay theo chiều kim đồng hồ), bộ ba này được gọi là trái.

14. Định nghĩa tích vectơ của vectơ.

nghệ thuật vector vectơ không thẳng hàng ̅ và ̅ được gọi là vectơ с̅ thỏa mãn ba điều kiện sau:

vectơ c trực giao với vectơ a và b;

độ dài của vectơ c bằng | с̅ | = | ̅ | | ̅ | sin ϕ, trong đó ϕ là góc giữa các vectơ ̅ và ̅;

bộ ba có thứ tự của vectơ ̅, ̅, с̅ là đúng.

15. Hình thành tính chất giao hoán (đối xứng) của tích vô hướng và tính chất phản nghịch (phản đối xứng) của tích vectơ.

Tích vô hướng có tính chất giao hoán: ̅ ̅ = ̅ ̅.

Tích vectơ là nghịch biến: ̅ x̅ = - ̅ x̅.

16. Hình thành tính chất tuyến tính của tích vectơ của vectơ.

tính chất kết hợp cùng với phép nhân với số (λ ̅) × ̅ = λ (̅ × ̅);

thuộc tính phân phối đối với phép cộng (̅ + ̅) × с̅ = ̅ × с̅ + ̅ × с̅.

Các thuộc tính liên kết và phân phối của tích vectơ kết hợp, tương tự như trường hợp của tích bên trong, thành Thuộc tính tuyến tính sản phẩm vector

đối với yếu tố đầu tiên. Do tính chất chống nghịch biến của tích vectơ, tích vectơ cũng là tuyến tính đối với yếu tố thứ hai:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ × (̅ + ̅s) = - (̅ + ̅s) × ̅ = - (̅ × ̅ + ̅s × ̅) = ̅ × ̅ + ̅ × ̅s.

17. Viết công thức tính tích chéo theo đúng công thức.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Xác định tích hỗn hợp của các vectơ.

sản phẩm hỗn hợp ba vectơ ̅, ̅, c̅ được gọi là một số bằng (̅ × ̅) c̅ - tích vô hướng của tích chéo của hai vectơ đầu và vectơ thứ ba.

19. Lập tính chất hoán vị (đối xứng xiên) của tích hỗn hợp.

Đối với một sản phẩm hỗn hợp, quy tắc hoán vị tuần hoàn:


	̅ с̅ = с̅ ̅		= ̅С ̅ = - ̅с̅	= - с̅ ̅ = - ̅ ̅с.
20. Hình thành tính chất tuyến tính của sản phẩm hỗn hợp.
Sản phẩm hỗn hợp đáp ứng tính chất kết hợp liên quan đến

	phép nhân vectơ với một số: (λ ̅) с̅				= λ (̅ с̅).

	Sản phẩm hỗn hợp đáp ứng thuộc tính phân phối: (̅̅̅ + ̅̅̅) с̅					= ̅̅̅

	̅S + ̅̅̅
	̅S + ̅̅̅	Với.

Các đặc tính này của sản phẩm hỗn hợp được xây dựng cho yếu tố đầu tiên. Tuy nhiên, bằng cách sử dụng một hoán vị tuần hoàn, người ta có thể chứng minh tương tự

câu lệnh cho cả yếu tố thứ hai và thứ ba, tức là bình đẳng là đúng

̅ (λ̅) ̅с = λ (̅ ̅ ̅с), ̅ ̅ (λ̅с) = λ (̅ ̅ ̅с), ̅ (̅̅̅ 1 + ̅̅̅ 2) ̅с = ̅ ̅̅̅ 1 ̅с + ̅ ̅̅̅ 2 ̅с, ̅ ̅ (̅ 1 + ̅ 2) = ̅ ̅ ̅ 1 + ̅ ̅ ̅ 2,

và kết quả là chúng tôi có thuộc tính tuyến tính của sản phẩm hỗn hợp cho mỗi yếu tố.

21. Viết công thức tính tích hỗn hợp theo đúng công thức.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Ghi lại phương trình tổng quát mặt phẳng và phương trình "trong các đoạn". Giải thích ý nghĩa hình học các tham số bao gồm trong các phương trình này.

Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Các hệ số A, B, C cho các ẩn số trong phương trình này có ý nghĩa hình học rõ ràng: vectơ n = (A; B; C) vuông góc với mặt phẳng. Ông được gọi là Vector bình thường máy bay. Nó, giống như phương trình tổng quát của mặt phẳng, được xác định tới một hệ số (khác không).

Phương trình + + = 1 được gọi là phương trình mặt phẳng trong các đoạn, a, b, c ở đâu

tọa độ tương ứng của các điểm lần lượt nằm trên các trục OX, OY và OZ.

23. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm cho trước.

Cho 1 (1, 1, 1), 2 (2, 2, 2), 3 (3, 3, 3) là các điểm đã cho và điểm M (x, y, z) là một điểm thuộc mặt phẳng tạo thành bởi các điểm 1, 2 và 3, khi đó phương trình mặt phẳng có

− 1	− 1	− 1
\| 2 −1	2 − 1	2 −1 \| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1

24. Lập điều kiện để có sự song song và vuông góc của hai mặt phẳng.

hai máy bay vuông góc, nếu các vectơ pháp tuyến của chúng là trực giao.

Hai mặt phẳng song song nếu vectơ pháp tuyến của chúng thẳng hàng.

25. Viết công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát.

Để tìm khoảng cách từ điểm 0 (0, 0, 0) đến mặt phẳng

: + + + = 0 công thức được sử dụng: (,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. Viết ra quy tắc và phương trình tham sốđường thẳng trong không gian. Giải thích ý nghĩa hình học của các tham số có trong các phương trình này.

Phương trình (= 0 +, trong đó (l; m; n) là tọa độ của vectơ chỉ phương̅ của đường thẳng L và

(0 ;0 ;

là toạ độ của điểm 0 L trong một hệ toạ độ hình chữ nhật, được gọi là

phương trình tham số của một đường thẳng trong không gian.

Phương trình

− 0

gọi là phương trình chính tắc dài

không gian.

27. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trong không gian.

Phương trình

− 1

được gọi là phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm

1 (1, 1, 1) và 2 (2, 2, 2).

28. Viết điều kiện để hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng.

Gọi a và b là vectơ chỉ phương của các đường thẳng này, các điểm M1 và M2 lần lượt thuộc các đường thẳng và l 1 và l 2. Khi đó hai đường thẳng sẽ thuộc cùng một mặt phẳng nếu tích hỗn hợp (a, b, M1 M2) bằng 0.

29. Viết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng trong không gian.

Khoảng cách từ điểm 1 đến dòng L có thể được tính bằng công thức:

30. Viết công thức khoảng cách giữa các đường xiên.

Khoảng cách giữa các vạch 1 và 2 có thể được tính theo công thức:

thuộc đường thẳng.

1. Chứng minh tiêu chí hình học của sự phụ thuộc tuyến tính ba vectơ.

Ba vectơ phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi chúng đồng phẳng.

Bằng chứng:

Nếu ba vectơ ̅, ̅, ̅ phụ thuộc tuyến tính thì theo Định lý 2.1 (về sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ), một trong số chúng, ví dụ ̅, là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại: ̅ = β̅ + γ̅. Chúng ta hãy kết hợp các đầu của vectơ ̅ và ̅ tại điểm A. Khi đó các vectơ β̅, γ̅ sẽ có chung gốc tại điểm A và theo quy tắc hình bình hành, tổng của chúng, tức là. vectơ̅, sẽ là một vectơ có đầu A và điểm cuối, là đỉnh của hình bình hành được xây dựng trên các vectơ của số hạng. Do đó, tất cả các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng, tức là đồng phẳng.

Cho các vectơ ̅, ̅, ̅ là đồng phẳng. Nếu một trong những vectơ này bằng 0, thì rõ ràng nó sẽ là một tổ hợp tuyến tính của những vectơ khác. Nó đủ để lấy tất cả các hệ số của tổ hợp tuyến tính bằng không. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng cả ba vectơ đều không bằng không. Hãy để chúng tôi kết hợp đầu của các vectơ này trong điểm chung O. Gọi các đầu mút của chúng lần lượt là các điểm A, B, C (Hình 2.1). Qua điểm C ta kẻ các đường thẳng song song với các đường thẳng đi qua các cặp điểm O, A và O, B. Ký hiệu giao điểm của A ’và B’, ta được


hình bình hành OA'CB ', do đó = ′ + ′. Vectơ ′ và vectơ khác 0̅
thẳng hàng, và do đó có thể thu được giá trị đầu tiên bằng cách nhân số thứ hai với

số thực α: ′ =. Tương tự ′ =, β R. Kết quả là, chúng tôi nhận được, Gì
	̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
= ′ + ′, Tức là vectơ̅ là tổ hợp tuyến tính của vectơ̅ và. Theo định lý
		̅ phụ thuộc tuyến tính.
2.1 (về sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ), vectơ ̅,		̅ phụ thuộc tuyến tính.

2. Chứng minh định lý về sự khai triển của véc tơ theo cơ sở.
Định lý về khai triển của một vectơ theo cơ sở. Nếu = (̅			- nền tảng		= (1, 2, 3), sau đó

có một bộ số (	…) Sao cho ̅ = ̅̅̅	̅ + + ̅ ̅, ở đâu (		…) - tọa độ

vectơ trong cơ sở.

Chứng minh: (cho i = 2)

(̅1, ̅2) - cơ sở 2, ̅2

Theo định nghĩa của không gian V2: x, e1, e2 là đồng phẳng => (tiêu thức phụ thuộc tuyến tính của 3 vectơ) => ̅, ̅ 1, ̅ 2 phụ thuộc tuyến tính => 0, 1, 2.

0 ̅ + 1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅, 0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 trường hợp: 0 \ u003d 0, thì 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅, 1 2 + 2 2 ≠ 0, thì 1, 2 phụ thuộc tuyến tính (̅ 1, ̅ 2) - lin. phụ thuộc. ̅ 1 và ̅ 2 thẳng hàng.

Trường hợp thứ hai: 0 ≠ 0

̅ = (- 1) ̅1 + (−2) ̅2 0 0

Đã chứng minh là tồn tại.

Giả sử có 2 đại diện:

̅ = 1 ̅1 +2 ̅2

Sự khác biệt:

0 ̅ = ̅− ̅ = 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 - 1 ̅ 1 - 2 ̅ 2 = (1 - 1) ̅ 1 + (2 - 2) ̅ 2 => phụ thuộc tuyến tính và điều này mâu thuẫn với định nghĩa của một cơ sở.

3. Chứng minh tính chất tuyến tính của tích vô hướng.

Cùng với phép nhân với một số, phép toán của phép nhân vô hướng là phép kết hợp: (λ̅) ̅ =

λ(̅ ̅ ).

Phép nhân vô hướng và phép cộng vectơ có liên quan với nhau bởi thuộc tính phân phối: (̅ + ̅) с̅

= ̅ c̅ + ̅ c̅.

Q.E.D.

4. Tìm ra công thức tính tích vô hướng của vectơ đã cho theo cơ sở trực chuẩn.

Suy ra công thức tính tích vô hướng của vectơ đã cho theo cơ sở trực chuẩn.

Cho các vectơ ̅ và ̅ từ 3 được cho bởi tọa độ của chúng trong cơ sở trực chuẩn, ̅, ̅ ̅: ̅ = (;;), ̅ = (;;). Điều này có nghĩa là có các mở rộng ̅ = ̅ + ̅ + ̅,

̅ = ̅ + ̅ + ̅. Sử dụng chúng và các thuộc tính của tích vô hướng, chúng tôi tính toán

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ + ̅ ̅ = 2 ̅ + 2 ̅ + ̅ 2 = + +.

Câu trả lời cuối cùng nhận được có tính đến thực tế là tính chính xác của cơ sở, ̅, ̅

̅ có nghĩa là sự thỏa mãn các đẳng thức ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅ = 2 ̅ = 2 = 1. Theo cách này,

̅ ̅ = + +

5. Tìm ra công thức tính tích chéo của các vectơ đã cho theo cơ sở công thức đúng.

Suy ra công thức tính tích chéo của các vectơ được cho trong cơ sở trực chuẩn.

Xét hai vectơ ̅

và, được cung cấp bởi các tọa độ của chúng trong cơ sở trực chuẩn phù hợp

̅ = {

). Khi đó, có các khai triển của các vectơ này ̅ = ̅ + ̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Dựa trên những

đại diện

đại số

phép nhân vector,

chúng tôi nhận được

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

Để đơn giản hóa công thức kết quả, chúng ta lưu ý rằng nó tương tự như công thức khai triển định thức bậc ba ở hàng thứ nhất, chỉ có vectơ được sử dụng thay vì hệ số số. Do đó, bạn có thể viết công thức này như một định thức, được tính theo các quy tắc thông thường. Hai dòng của định thức này sẽ bao gồm các số và một - các vectơ. Vì vậy, công thức tính tích vectơ trong cơ sở trực chuẩn đúng, ̅, ̅ ̅ có thể được viết dưới dạng:

6. Chứng minh tính chất tuyến tính của sản phẩm hỗn hợp.

Sử dụng các thuộc tính của tích hỗn hợp, người ta có thể chứng minh tính tuyến tính của vectơ

sản phẩm theo yếu tố đầu tiên:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Đối với điều này, chúng tôi tìm thấy sản phẩm vô hướng vectơ ở bên trái của đẳng thức và vectơ đơn vị của cơ sở chuẩn. Với mức độ tuyến tính của sản phẩm hỗn hợp đối với yếu tố thứ hai,

chúng tôi nhận được

những thứ kia. abscissa của vector ở phía bên trái của đẳng thức đang được chứng minh bằng abscissa của vector ở phía bên phải của nó. Tương tự, chúng ta chứng minh rằng các thức, cũng như các ứng dụng, của các vectơ trong cả hai phần của đẳng thức tương ứng bằng nhau. Do đó, điều này vectơ bằng nhau, vì tọa độ của chúng đối với cơ sở chuẩn là như nhau.

7. Tìm ra công thức tính hỗn hợp sản phẩm của ba vectơ trong cơ sở trực chuẩn đúng.

Suy ra công thức tính tích hỗn hợp của ba vectơ theo cơ sở trực chuẩn đúng.

Cho các vectơ a, b, c được cho bởi tọa độ của chúng trong cơ sở trực hệ đúng: ̅ = (;

), = (;;), ̅С = (;;). Để tìm sản phẩm hỗn hợp của họ,

chúng ta sẽ sử dụng các công thức để tính tích vô hướng và vectơ:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. Tìm công thức cho khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được đưa ra bởi phương trình tổng quát.

Xét một mặt phẳng π nào đó và một điểm 0 tùy ý trong không gian. Cùng lựa chọn nào

đối với mặt phẳng, một vectơ pháp tuyến đơn vị n có gốc tại một điểm nào đó 1 π, và cho ρ (0,

kể từ khi | ̅ | = 1.

Nếu mặt phẳng π được cho trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ bằng phương trình tổng quát của nó
Ax + By + Cz + D = 0 thì vectơ pháp tuyến của nó là vectơ có tọa độ (A; B; C).
Gọi (0, 0, 0) và (1, 1, 1) là tọa độ của các điểm0				và 1 . Sau đó, bình đẳng
A 1 + B1 + C1 + D = 0, vì điểm M1 thuộc mặt phẳng và người ta có thể tìm được tọa độ
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅					̅̅̅̅̅̅̅̅
Vectơ 1 0:		1 0 = (0 - 1; 0 - 1; 0 - 1). Viết ra tích vô hướng ̅ 1 0
dạng tọa độ và phép biến đổi (5.8), chúng ta thu được
	\| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )\|				\| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )\|

			2 + 2+ 2			2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

kể từ 1 + 1 + 1 = -. Vì vậy, để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, bạn cần thay tọa độ của điểm vào phương trình tổng quát của mặt phẳng, sau đó chia giá trị tuyệt đối của kết quả cho hệ số chuẩn hóa, bằng chiều dài vectơ pháp tuyến tương ứng.

9. Tìm công thức cho khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.

Suy ra công thức cho khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng trong không gian.

Khoảng cách từ điểm 1 (1, 1, 1) đến đường thẳng L cho bởi phương trình chính tắc L: - 0 = - 0 = - 0 có thể được tính bằng cách sử dụng tích chéo. Có thật không,

phương trình chính tắc của đường thẳng cho chúng ta điểm 0 (0, 0, 0) trên đường

và vectơ chỉ phương ̅ = (l; m; n) của đường thẳng này. Hãy dựng một hình bình hành trên các vectơ ̅ và ̅̅̅̅̅̅̅̅.

Khi đó khoảng cách từ điểm 1 đến đường thẳng L sẽ bằng chiều cao h của hình bình hành (Hình 6.6).

Vì vậy, khoảng cách cần thiết có thể được tính bằng công thức

	̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,) =	\| 0 1 × \|

10. Tìm ra công thức cho khoảng cách giữa các đường xiên.

Suy ra một công thức cho khoảng cách giữa các đường xiên.

Khoảng cách giữa các đường xiên có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng hỗn hợp

công việc. Hãy để những dòng 1	và 2		phương trình chính tắc. Kể từ khi họ
			̅̅̅̅̅̅̅̅

cắt nhau thì vectơ chỉ phương của chúng 1; 2 và vectơ 1 2 nối các điểm trên đường thẳng không đồng phẳng. Do đó, một ống song song có thể được xây dựng trên chúng (Hình 6.7).

Khi đó khoảng cách giữa các đường bằng chiều cao h của hình bình hành này. Ngược lại, chiều cao của hình bình hành có thể được tính bằng tỷ số giữa thể tích của hình bình hành với diện tích của đáy của nó. Khối lượng của hộp bằng với modulo sản phẩm hỗn hợp của ba vectơ chỉ định, và diện tích của hình bình hành ở đáy của hình bình hành bằng môđun của tích vectơ của các vectơ chỉ phương của các đường thẳng. Kết quả là, chúng tôi nhận được công thức cho khoảng cách

(1, 2) giữa các dòng:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Kiến thức và kỹ năng có được tại bài học này, sẽ hữu ích cho học sinh không chỉ trong các bài học hình học, mà còn trong các lớp học về các môn khoa học khác. Trong bài học, học sinh sẽ học cách hoãn véc tơ từ điểm đã cho. Nó có thể là một bài học hình học thông thường, cũng như một buổi ngoại khóa hoặc bài học tùy chọn toán học. Sự phát triển này sẽ giúp quý thầy cô giáo tiết kiệm thời gian chuẩn bị cho bài dạy chủ đề "Trắc nghiệm vectơ đối với một điểm cho trước". Nó sẽ là đủ cho anh ta để xem bài học video trên lớp, và sau đó củng cố tài liệu với sự lựa chọn các bài tập của riêng mình.

Thời lượng bài học chỉ mất 1:44 phút. Nhưng điều này đủ để dạy học sinh hoãn véc tơ từ một điểm cho trước.

Bài học bắt đầu bằng việc chứng minh một vectơ có đầu tại một điểm nào đó. Họ nói rằng vector bị hoãn lại từ nó. Sau đó, tác giả đề xuất chứng minh cùng với anh ta phát biểu mà theo đó một vectơ bằng một vectơ đã cho và hơn nữa, duy nhất có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào. Trong quá trình chứng minh, tác giả xem xét cụ thể từng trường hợp. Đầu tiên, nó xảy ra tình huống khi vectơ đã cho bằng 0 và thứ hai, khi vectơ khác 0. Trong quá trình chứng minh, các hình ảnh minh họa được sử dụng dưới dạng các hình vẽ và cấu tạo, ký hiệu toán học, giúp hình thành khả năng hiểu biết về toán học ở học sinh. Tác giả nói chuyện chậm rãi, điều này cho phép học sinh ghi chú song song trong khi bình luận. Việc xây dựng được tác giả thực hiện trong quá trình chứng minh tuyên bố đã lập công thức trước đó cho thấy một vectơ bằng một vectơ đã cho có thể được xây dựng như thế nào từ một số điểm.

Nếu học sinh xem kỹ bài học và ghi chép đồng thời, học sinh sẽ dễ dàng tìm hiểu tài liệu. Hơn nữa, tác giả kể một cách chi tiết, đong đếm và khá đầy đủ. Nếu vì lý do nào đó mà bạn không nghe thấy nội dung nào đó, bạn có thể quay lại và xem lại bài học.

Sau khi xem video hướng dẫn, bạn nên bắt đầu sửa vật liệu. Giáo viên nên chọn các nhiệm vụ về chủ đề này để rèn luyện kỹ năng hoãn lại vectơ từ một điểm cho trước.

Bài học này có thể được sử dụng để tự học chủ đề cho học sinh. Nhưng để củng cố, bạn cần liên hệ với giáo viên để thầy lựa chọn những công việc phù hợp. Thật vậy, nếu không củng cố vật chất thì khó có thể đạt được kết quả khả quan trong huấn luyện.

ov, trước tiên bạn cần hiểu một khái niệm như hoãn một vectơ từ một điểm đã cho.

Định nghĩa 1

Nếu điểm $ A $ là đầu của một số vectơ $ \ overrightarrow (a) $, thì vectơ $ \ overrightarrow (a) $ được cho là tách biệt với điểm $ A $ (Hình 1).

Hình 1. $ \ overrightarrow (a) $ được vẽ từ điểm $ A $

Chúng tôi giới thiệu định lý sau:

Định lý 1

Từ bất kỳ điểm nào $ K $ người ta có thể vẽ một vectơ $ \ overrightarrow (a) $ và chỉ một.

Bằng chứng.

Sự tồn tại: Có hai trường hợp cần xem xét ở đây:

Vectơ $ \ overrightarrow (a) $ bằng không.

Trong trường hợp này, rõ ràng là vectơ mong muốn là vectơ $ \ overrightarrow (KK) $.

Vectơ $ \ overrightarrow (a) $ khác không.

Đặt điểm $ A $ biểu thị phần đầu của vectơ $ \ overrightarrow (a) $ và điểm $ B $ biểu thị phần cuối của vectơ $ \ overrightarrow (a) $. Chúng ta hãy vẽ một đường thẳng $ b $ song song với vectơ $ \ overrightarrow (a) $ qua điểm $ K $. Chúng ta hãy vẽ các đoạn $ \ left | KL \ right | = | AB | $ và $ \ left | KM \ right | = | AB | $ trên đường thẳng này. Hãy xem xét các vectơ $ \ overrightarrow (KL) $ và $ \ overrightarrow (KM) $. Trong số hai vectơ này, vectơ mong muốn sẽ là vectơ sẽ cùng hướng với vectơ $ \ overrightarrow (a) $ (Hình 2)

Hình 2. Minh họa Định lý 1

Tính độc đáo: tính duy nhất ngay sau khi xây dựng được thực hiện trong tiểu mục "sự tồn tại".

Định lý đã được chứng minh.

Phép trừ vectơ. Quy tắc một

Hãy cho chúng ta các vectơ $ \ overrightarrow (a) $ và $ \ overrightarrow (b) $.

Định nghĩa 2

Sự khác biệt của hai vectơ $ \ overrightarrow (a) $ và $ \ overrightarrow (b) $ là một vectơ $ \ overrightarrow (c) $, khi được thêm vào vectơ $ \ overrightarrow (b) $, sẽ cho vectơ $ \ overrightarrow (a) $, nghĩa là

\ [\ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) \]

Chỉ định:$ \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (c) $.

Chúng ta sẽ xem xét việc xây dựng hiệu của hai vectơ bằng cách sử dụng bài toán.

ví dụ 1

Cho các vectơ $ \ overrightarrow (a) $ và $ \ overrightarrow (b) $ được đưa ra. Xây dựng vectơ $ \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) $.

Dung dịch.

Chúng ta hãy dựng một điểm tùy ý $ O $ và vẽ các vectơ $ \ overrightarrow (OA) = \ overrightarrow (a) $ và $ \ overrightarrow (OB) = \ overrightarrow (b) $ từ nó. Nối điểm $ B $ với điểm $ A $, ta được vectơ $ \ overrightarrow (BA) $ (Hình 3).

Hình 3. Hiệu của hai vectơ

Theo quy tắc tam giác để xây dựng tổng của hai vectơ, chúng ta thấy rằng

\ [\ overrightarrow (OB) + \ overrightarrow (BA) = \ overrightarrow (OA) \]

\ [\ overrightarrow (b) + \ overrightarrow (BA) = \ overrightarrow (a) \]

Từ Định nghĩa 2, chúng tôi nhận được rằng

\ [\ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (BA) \]

Câu trả lời:$ \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (BA) $.

Từ bài toán này, chúng ta có được quy tắc sau để tìm hiệu của hai vectơ. Để tìm sự khác biệt $ \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) $, từ một điểm tùy ý $ O $, chúng ta cần loại bỏ các vectơ $ \ overrightarrow (OA) = \ overrightarrow (a) $ và $ \ overrightarrow ( OB) = \ overrightarrow (b) $ và nối phần cuối của vectơ thứ hai với phần cuối của vectơ thứ nhất.

Phép trừ vectơ. Quy tắc hai

Nhắc lại khái niệm chúng ta cần sau đây.

Định nghĩa 3

Vectơ $ \ overrightarrow (a_1) $ được gọi là tùy ý đối với vectơ $ \ overrightarrow (a) $ nếu các vectơ này hướng ngược nhau và có cùng độ dài.

Chỉ định: Vectơ $ (- \ overrightarrow (a)) $ ngược lại với vectơ $ \ overrightarrow (a) $.

Để đưa ra quy tắc thứ hai về hiệu của hai vectơ, trước hết chúng ta phải giới thiệu và chứng minh định lý sau.

Định lý 2

Đối với bất kỳ hai vectơ nào $ \ overrightarrow (a) $ và $ \ overrightarrow (b) $ thì bằng nhau sau:

\ [\ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (a) + (- \ overrightarrow (b)) \]

Bằng chứng.

Theo Định nghĩa 2, chúng ta có

Thêm vào cả hai phần vectơ $ \ left (- \ overrightarrow (b) \ right) $, chúng ta nhận được

Vì các vectơ $ \ overrightarrow (b) $ và $ \ left (- \ overrightarrow (b) \ right) $ ngược nhau nên $ \ overrightarrow (b) + \ left (- \ overrightarrow (b) \ right) = \ overrightarrow (0) $. Chúng ta có

Định lý đã được chứng minh.

Từ định lý này, chúng ta thu được quy tắc sau cho hiệu của hai vectơ: Để tìm hiệu $ \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) $, chúng ta cần hoãn vectơ $ \ overrightarrow (OA) = \ overrightarrow ( a) $ từ một điểm tùy ý $ O $, sau đó, từ điểm thu được $ A $, hoãn véc tơ $ \ overrightarrow (AB) = - \ overrightarrow (b) $ và nối phần đầu của véctơ đầu tiên với phần cuối của vectơ thứ hai.

Một ví dụ về một bài toán về khái niệm hiệu của vectơ

Ví dụ 2

Gọi $ ADCD $ là hình bình hành có các đường chéo cắt nhau tại $ O $. $ \ overrightarrow (AB) = \ overrightarrow (a) $, $ \ overrightarrow (AD) = \ overrightarrow (b) $ (Hình 4). Biểu thị các vectơ sau dưới dạng $ \ overrightarrow (a) $ và $ \ overrightarrow (b) $:

a) $ \ overrightarrow (DC) + \ overrightarrow (CB) $

b) $ \ overrightarrow (BO) - \ overrightarrow (OC) $

Hình 4. Hình bình hành

Dung dịch.

a) Ta cộng theo quy tắc tam giác, ta được

\ [\ overrightarrow (DC) + \ overrightarrow (CB) = \ overrightarrow (DB) \]

Từ quy tắc đầu tiên cho sự khác biệt của hai vectơ, chúng ta thu được

\ [\ overrightarrow (DB) = \ overrightarrow (a) - \ overrightarrow (b) \]

b) Vì $ \ overrightarrow (OC) = \ overrightarrow (AO) $, chúng ta nhận được

\ [\ overrightarrow (BO) - \ overrightarrow (OC) = \ overrightarrow (BO) - \ overrightarrow (AO) \]

Theo Định lý 2, chúng ta có

\ [\ overrightarrow (BO) - \ overrightarrow (AO) = \ overrightarrow (BO) + \ left (- \ overrightarrow (AO) \ right) = \ overrightarrow (BO) + \ overrightarrow (OA) \]

Sử dụng quy tắc tam giác, cuối cùng chúng ta có

\ [\ overrightarrow (BO) + \ overrightarrow (OA) = \ overrightarrow (BA) = - \ overrightarrow (AB) = - \ overrightarrow (a) \]

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng của một đường thẳng trong không gian Euclide, trong đó một đầu (điểm A) được gọi là điểm đầu của vectơ, và đầu kia (điểm B) được gọi là điểm cuối của vectơ (Hình 1) . Các vectơ được ký hiệu:

Nếu đầu và cuối của vectơ giống nhau thì vectơ được gọi là vectơ không và được biểu thị 0 .

Thí dụ. Cho vectơ đầu của vectơ trong không gian hai chiều có tọa độ là Một(12,6), và điểm cuối của vectơ là tọa độ B(12,6). Khi đó vectơ là một vectơ rỗng.

Chiều dài cắt AB gọi là mô-đun (chiều dài, tiêu chuẩn) vectơ và được ký hiệu là | một| vectơ độ dài, bằng một, được gọi là đơn vị véc tơ . Ngoài môđun, một vectơ được đặc trưng bởi một hướng: một vectơ có hướng từ Mộtđến B. Một vectơ được gọi là một vectơ, đối nghịch vectơ.

Hai vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song. Trong bộ lễ phục. 3 vectơ đỏ thẳng hàng kể từ chúng nằm trên cùng một đường thẳng và các vectơ màu xanh lam thẳng hàng, bởi vì chúng nằm trên các đường thẳng song song. Hai vectơ thẳng hàng gọi là đều hướng nếu các đầu của chúng nằm trên cùng một phía của đường nối với các điểm bắt đầu của chúng. Hai vectơ thẳng hàng được gọi là hướng ngược nhau nếu kết thúc của họ nằm dọc các mặt khác nhau từ đường thẳng nối chúng. Nếu hai vectơ thẳng hàng nằm trên cùng một đường thẳng thì chúng được gọi là có hướng bằng nhau nếu một trong các tia tạo bởi một vectơ này hoàn toàn chứa tia tạo bởi vectơ kia. Nếu không, các vectơ được gọi là hướng ngược lại. Trong Hình 3, các vectơ màu xanh là cùng hướng và các vectơ màu đỏ là theo hướng ngược lại.

Hai vectơ được gọi là bình đẳng nếu chúng có các mô-đun bằng nhau và được định hướng như nhau. Trong Hình 2, các vectơ bằng nhau vì môđun của chúng bằng nhau và có cùng phương.

Các vectơ được gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trên cùng một mặt phẳng hoặc trong hai mặt phẳng song song.

TẠI N Trong không gian vectơ có chiều, xét tập hợp tất cả các vectơ có điểm bắt đầu trùng với điểm gốc. Khi đó vectơ có thể được viết dưới dạng sau:

(1)

ở đâu x 1, x 2, ..., x n tọa độ điểm cuối vector x.

Vectơ viết ở dạng (1) được gọi là hàng vector và vectơ được viết là

(2)

gọi là cột vector.

Con số N gọi là kích thước (theo thứ tự) vectơ. Nếu một thì vectơ được gọi là vectơ không(vì điểm bắt đầu của vectơ ). Hai vectơ x và y bằng nhau nếu và chỉ khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.

Vectơ là một trong những khái niệm hình học cơ bản. Một vectơ được đặc trưng bởi một số (độ dài) và một hướng. Trực quan, nó có thể được hình dung như một đoạn có hướng, mặc dù, nói về vectơ, đúng hơn là có nghĩa là một lớp toàn bộ các đoạn có hướng, tất cả đều song song với nhau, có cùng độ dài và cùng hướng (Hình. 1). Ví dụ về các đại lượng vật lý có bản chất là vectơ là tốc độ (của một vật chuyển động tịnh tiến), gia tốc, lực, v.v.

Khái niệm vectơ xuất hiện trong các công trình của nhà toán học người Đức vào thế kỷ 19. G. Grassmann và nhà toán học người Ireland W. Hamilton; sau đó nó đã được nhiều nhà toán học và vật lý học chấp nhận. Trong toán học hiện đại và các ứng dụng của nó, khái niệm này đóng vai trò vai trò thiết yếu. Vectơ được sử dụng trong cơ học Galileo-Newton cổ điển (trong trình bày hiện đại), trong thuyết tương đối, vật lý lượng tử, trong kinh tế toán học và nhiều ngành khác của khoa học tự nhiên, chưa kể đến việc sử dụng vectơ trong các lĩnh vực toán học khác nhau.

Mỗi đoạn có hướng tạo nên vectơ (Hình 1) có thể được gọi là đại diện của vectơ này. Một vectơ có đại diện là một đoạn thẳng đi từ điểm này đến điểm khác được ký hiệu là. Trên hình. 1 chúng tôi có, tức là và là cùng một vectơ (được biểu thị bằng cả hai đoạn có hướng được đánh dấu trong Hình 1). Đôi khi một vectơ được biểu thị bằng một chữ cái nhỏ có mũi tên:,.

Một vectơ được đại diện bởi một "đoạn" có hướng mà điểm đầu và điểm cuối của nó trùng nhau được gọi là không; nó được biểu thị bằng, tức là . Hai vectơ song song có cùng độ dài nhưng ngược chiều nhau được gọi là ngược chiều nhau. Nếu một vectơ được ký hiệu là, thì vectơ đối nghịch với nó được ký hiệu là.

Hãy kể tên các phép toán chính liên quan đến vectơ.

I. Hoãn một vectơ đối với một điểm. Cho là một số vectơ và là một điểm. Trong số các đoạn có hướng là đại diện của vectơ, có một đoạn có hướng bắt đầu tại điểm. Điểm cuối của đoạn có hướng này được gọi là một điểm, do sự hoãn lại của vectơ từ điểm (Hình 2). Thao tác này có thuộc tính sau:

I1. Đối với bất kỳ điểm nào và bất kỳ vectơ nào, tồn tại và chỉ một điểm cho điểm đó.

Phép cộng vectơ. Cho và là hai vectơ. Hãy lấy một điểm tùy ý và đặt vectơ khỏi điểm, tức là tìm một điểm sao cho (Hình 3). Sau đó, chúng ta loại bỏ vectơ khỏi điểm, tức là, chúng ta tìm thấy một điểm sao cho. Vectơ được gọi là tổng của các vectơ và và được ký hiệu là. Có thể chứng minh rằng tổng không phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm, tức là nếu chúng ta thay thế bằng một điểm khác, thì chúng ta nhận được một vectơ bằng (Hình 3). Từ định nghĩa của tổng các vectơ, theo đó, đối với ba điểm bất kỳ thì đẳng thức

I2:

(quy tắc ba điểm). Nếu các vectơ khác 0 và không song song, thì sẽ thuận tiện để tìm tổng của chúng bằng cách sử dụng quy tắc hình bình hành (Hình 4).

II. Các tính chất chính của tổng vectơ thể hiện 4 bằng nhau sau (hợp lệ với bất kỳ vectơ nào,):

II2. .

Cũng lưu ý rằng tổng của một số vectơ được tìm thấy bằng cách tìm liên tiếp tổng của hai trong số chúng. Ví dụ: .

Đồng thời, theo bất kỳ thứ tự nào, chúng tôi thêm vectơ đã cho, kết quả (như sau từ các thuộc tính có tên trong mục II1 và II2) sẽ luôn giống nhau. Ví dụ:

Hơn nữa, về mặt hình học, tổng của một số vectơ có thể thu được như sau: cần phải đặt các đoạn có hướng, là đại diện của các vectơ này, nối tiếp nhau (tức là, sao cho đầu đoạn có hướng thứ hai trùng với cuối phần thứ nhất, phần đầu phần thứ ba - với phần cuối của phần thứ hai, v.v.); sau đó là vectơ như đại diện của nó là một phân đoạn được định hướng "đóng", đi từ đầu của phần đầu tiên đến phần cuối của phần cuối cùng (Hình 5). (Lưu ý rằng nếu việc trì hoãn liên tiếp như vậy dẫn đến "đường đứt đoạn vectơ đóng", thì .)

III. Nhân một vectơ với một số. Cho là một vectơ khác 0 và là một số khác 0. Một vectơ được kí hiệu theo hai điều kiện sau: a) Độ dài của vectơ là; b) vectơ song song với vectơ và hướng của nó trùng với hướng của vectơ tại và ngược chiều với nó tại (Hình 6). Nếu ít nhất một trong các giá trị bằng nhau, là đúng, thì tích được coi là bằng. Do đó, sản phẩm được xác định cho bất kỳ vectơ và bất kỳ số nào.

4 đẳng thức sau (hợp lệ với bất kỳ vectơ và bất kỳ số nào) biểu thị các tính chất cơ bản của phép nhân một vectơ với một số:

III2. .

III3. .

Từ các thuộc tính này theo sau một loạt sự thật khác liên kết với các phép toán đã xét trên vectơ. Hãy để chúng tôi lưu ý một số trong số họ, thường được sử dụng để giải quyết vấn đề.

a) Nếu là một điểm của đoạn thì , thì đối với bất kỳ điểm nào, sự bình đẳng , đặc biệt, nếu là điểm giữa của đoạn, thì .

b) Nếu - giao điểm của các đường trung trực của tam giác thì ; hơn nữa, đối với bất kỳ điểm nào, sự bình đẳng (các định lý nghịch đảo cũng có giá trị).

c) Gọi là một điểm thuộc đường thẳng và là một vectơ khác không song song với đường thẳng này. Một điểm thuộc dòng nếu và chỉ khi (trong đó là một số).

d) Gọi là một điểm của mặt phẳng và, là các vectơ khác không và không song song với mặt phẳng này. Một điểm thuộc mặt phẳng nếu và chỉ khi vectơ được biểu thị theo nghĩa và, tức là .

Cuối cùng, chúng tôi cũng lưu ý đến tính chất của chiều, thể hiện thực tế rằng không gian là ba chiều.

IV. Có ba vectơ,, trong không gian sao cho không vectơ nào trong số chúng có thể được biểu diễn theo hai vectơ kia; bất kỳ vectơ thứ tư nào được biểu thị theo ba vectơ sau: . được xác định bởi đẳng thức: tích vô hướng của vectơ được ký hiệu (và khi đó góc giữa chúng không được xác định).

Các tính chất của phép toán vectơ được liệt kê ở trên về nhiều mặt tương tự như các tính chất của phép cộng và phép nhân các số. Đồng thời, một vectơ là một đối tượng hình học, và trong định nghĩa của các phép toán vectơ, như khái niệm hình học như chiều dài và góc; điều này giải thích sự hữu ích của vectơ đối với hình học (và các ứng dụng của nó đối với vật lý và các lĩnh vực kiến thức khác). Tuy nhiên, để giải quyết vấn đề hình học với sự trợ giúp của vectơ, trước hết cần học cách "chuyển" điều kiện của một bài toán hình học sang một "ngôn ngữ" vectơ. Sau khi “dịch” như vậy, các phép tính đại số với vectơ được thực hiện, và sau đó lời giải vectơ kết quả lại được “dịch” sang một “ngôn ngữ” hình học. Đây là giải pháp vectơ của các bài toán hình học.

Khi trình bày một khóa học hình học ở trường, một vectơ được coi là một khái niệm xác định (xem Định nghĩa), và do đó tiên đề được chấp nhận trong sách giáo khoa ở trường (xem Tiên đề và phương pháp tiên đề) của hình học không nói gì về các tính chất của vectơ, I E. tất cả các tính chất này phải được chứng minh dưới dạng định lý.

Tuy nhiên, có một cách trình bày hình học khác, trong đó vectơ và điểm được coi là các khái niệm ban đầu (không xác định), và các thuộc tính I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 đã được lưu ý ở trên được coi là tiên đề. Cách xây dựng hình học này được đề xuất vào năm 1917 bởi nhà toán học người Đức G. Weil. Ở đây đường thẳng và mặt phẳng là những khái niệm được định nghĩa. Ưu điểm của việc xây dựng như vậy là sự ngắn gọn và kết nối hữu cơ với sự hiểu biết hiện đại về hình học, cả về toán học và các lĩnh vực kiến thức khác. Đặc biệt, các tiên đề II1-II4, III1-III4 giới thiệu cái gọi là không gian vectơ được sử dụng trong toán học hiện đại, vật lý, toán học kinh tế, v.v.