Tiểu sử Đặc trưng Phân tích
Mở rộng
Trang Chủ ›

Ví dụ về các nhiệm vụ trên quỹ tích của các điểm.

Hình học (Hình học Hy Lạp, từ ge - Earth và metreo - Measure)

nhánh toán học nghiên cứu các quan hệ và hình thức không gian, cũng như các quan hệ và hình thức khác tương tự như các quan hệ không gian trong cấu trúc của chúng.

Nguồn gốc của thuật ngữ "G.", nghĩa đen là "khảo sát trái đất", có thể được giải thích bằng những từ sau đây do nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Eudemus of Rhodes (thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên): "Hình học được phát hiện bởi người Ai Cập và xuất hiện khi đo Trái đất. Phép đo này là cần thiết đối với ông do lũ lụt của sông Nile, liên tục cuốn trôi các biên giới. "Đối với người Hy Lạp cổ đại, trắc địa có nghĩa là một khoa học toán học, trong khi thuật ngữ Trắc địa được dùng để chỉ khoa học đo Trái đất . Đánh giá dựa trên những mảnh vỡ còn sót lại của các tác phẩm Ai Cập cổ đại, lực hấp dẫn phát triển không chỉ từ các phép đo của trái đất, mà còn từ các phép đo thể tích và bề mặt trong quá trình đào đắp và xây dựng, v.v.

Các khái niệm ban đầu về lực hấp dẫn hình thành do sự trừu tượng hóa tất cả các thuộc tính và quan hệ của các vật thể, ngoại trừ vị trí và kích thước tương đối. Đầu tiên được thể hiện ở sự tiếp xúc hoặc tiếp giáp của các cơ thể với nhau, trên thực tế là cơ thể này là một phần của cơ thể khác, ở vị trí “giữa”, “bên trong”, v.v. Cái sau được thể hiện trong các khái niệm "nhiều hơn", "ít hơn", trong khái niệm bình đẳng của các cơ thể.

Cũng bởi sự trừu tượng đó, khái niệm về một chỉnh thể hình học nảy sinh. Một cơ thể hình học là một sự trừu tượng trong đó chỉ hình dạng và kích thước được giữ nguyên trong sự trừu tượng hóa hoàn toàn khỏi tất cả các thuộc tính khác. Đồng thời, hình học, như là điển hình của toán học nói chung, hoàn toàn tự trừu tượng hóa bản thân khỏi tính không xác định và tính di động của các hình dạng và kích thước thực và coi tất cả các mối quan hệ và hình thức mà nó nghiên cứu là hoàn toàn chính xác và xác định. Sự trừu tượng từ phần mở rộng của các cơ thể dẫn đến các khái niệm về bề mặt, đường thẳng và điểm. Điều này được thể hiện rõ ràng, ví dụ, trong các định nghĩa do Euclid đưa ra: "một đường là chiều dài mà không có chiều rộng", "bề mặt là bề mặt có chiều dài và chiều rộng". Một điểm không có bất kỳ phần mở rộng nào là một điểm trừu tượng phản ánh khả năng giảm không giới hạn tất cả các chiều của một vật thể, giới hạn tưởng tượng của sự phân chia vô hạn của nó. Sau đó, có một khái niệm chung về một hình hình học, được hiểu không chỉ là một phần thân, bề mặt, đường thẳng hoặc điểm, mà còn là bất kỳ sự kết hợp nào của chúng.

G. theo nghĩa gốc của nó là khoa học về các hình, sự sắp xếp lẫn nhau và kích thước của các bộ phận của chúng, cũng như sự biến đổi của các hình. Định nghĩa này hoàn toàn phù hợp với định nghĩa hình học là khoa học về các dạng không gian và các mối quan hệ. Thật vậy, hình, như được xem xét trong G., là một dạng không gian; do đó, trong G. họ nói, ví dụ, "quả bóng", chứ không phải "thân hình cầu"; vị trí và kích thước được xác định bởi các mối quan hệ không gian; Cuối cùng, phép biến hình, như được hiểu trong G., cũng là một quan hệ nhất định giữa hai hình - hình đã cho và hình mà nó được biến đổi.

Theo nghĩa hiện đại, tổng quát hơn, hình học bao gồm nhiều lý thuyết toán học khác nhau, những lý thuyết thuộc về hình học không chỉ được xác định bởi sự giống nhau (mặc dù đôi khi rất xa) của chủ thể của chúng với các dạng và mối quan hệ không gian thông thường, mà còn bởi thực tế là chúng đã phát triển trong lịch sử và đang được hình thành trên G. theo ý nghĩa ban đầu của nó và trong cấu trúc của chúng, tiến hành từ việc phân tích, khái quát hóa và sửa đổi các khái niệm của nó. Địa lý theo nghĩa chung này gắn bó chặt chẽ với các nhánh khác của toán học, và ranh giới của nó không chính xác. Xem Đại cương về Hình học và Hình học hiện đại.

Sự phát triển của hình học. Trong quá trình phát triển của địa chất, có thể chỉ ra bốn thời kỳ chính, những giai đoạn chuyển tiếp giữa chúng biểu hiện sự thay đổi về chất của địa chất.

Thời kỳ đầu tiên - thời kỳ khai sinh hình học với tư cách là một khoa học toán học - diễn ra ở Ai Cập cổ đại, Babylon và Hy Lạp cho đến khoảng thế kỷ thứ 5. BC e. Thông tin hình học sơ cấp xuất hiện sớm nhất trong quá trình phát triển của xã hội. Sự khởi đầu của khoa học nên được coi là nơi thiết lập các định luật tổng quát đầu tiên, trong trường hợp này là sự phụ thuộc giữa các đại lượng hình học. Khoảnh khắc này không thể xác định ngày tháng. Tác phẩm đầu tiên chứa đựng những công trình thô sơ của G. đã đến với chúng ta từ thời Ai Cập cổ đại và có niên đại khoảng thế kỷ 17. BC e., nhưng nó chắc chắn không phải là lần đầu tiên. Thông tin hình học của thời kỳ đó không nhiều và chủ yếu được rút gọn trong việc tính toán các diện tích và khối lượng nhất định. Rõ ràng, chúng đã được phát biểu dưới dạng các quy tắc, phần lớn có nguồn gốc thực nghiệm, trong khi các chứng minh logic có lẽ vẫn còn rất sơ khai. Hy Lạp, theo các nhà sử học Hy Lạp, được chuyển đến Hy Lạp từ Ai Cập vào thế kỷ thứ 7. BC e. Ở đây, qua nhiều thế hệ, nó đã phát triển thành một hệ thống nhất quán. Quá trình này diễn ra thông qua việc tích lũy kiến ​​thức hình học mới, làm sáng tỏ mối liên hệ giữa các dữ kiện hình học khác nhau, phát triển các phương pháp chứng minh và cuối cùng là hình thành các khái niệm về một hình, về một câu hình học và về chứng minh.

Quá trình này cuối cùng đã dẫn đến một bước nhảy vọt về chất. Hình học trở thành một môn khoa học toán học độc lập: xuất hiện các phép giải hệ thống của nó, trong đó các mệnh đề của nó được chứng minh một cách nhất quán. Kể từ thời điểm đó, thời kỳ phát triển thứ hai của địa lý học bắt đầu. Có nhiều tài liệu tham khảo được biết đến về các trình bày có hệ thống về địa chất, trong số đó được đưa ra vào thế kỷ thứ 5. BC e. Hippocrates of Chios (Xem Hippocrates of Chios). Chúng sống sót và đóng vai trò quyết định trong tương lai, xuất hiện vào khoảng năm 300 trước Công nguyên. e. "Sự khởi đầu" của Euclid (Xem Sự khởi đầu của Euclid). Ở đây hình học được trình bày theo cách mà ngày nay chúng vẫn được hiểu thông thường, nếu chúng ta tự giới hạn mình trong hình học sơ cấp (xem hình học sơ cấp); đây là khoa học về các dạng và mối quan hệ không gian đơn giản nhất, được phát triển theo một trình tự logic, dựa trên các quy định cơ bản được xây dựng rõ ràng - các tiên đề và các biểu diễn không gian cơ bản. Hình học được phát triển trên cơ sở giống nhau (tiên đề), thậm chí được trau chuốt và phong phú hơn cả về chủ đề và phương pháp điều tra, được gọi là hình học Euclide. Ngay cả ở Hy Lạp, các kết quả mới cũng được thêm vào đó, các phương pháp mới để xác định diện tích và khối lượng phát sinh (Archimedes, thế kỷ 3 trước Công nguyên), học thuyết về phần hình nón (Apollonius của Perga, thế kỷ 3 trước Công nguyên), sự khởi đầu của lượng giác được thêm vào (Hipparchus , 2 trong. BC e.) và G. trên hình cầu (Menelaus, thế kỷ 1 sau Công Nguyên). Sự suy tàn của xã hội cổ đại đã dẫn đến sự trì trệ so sánh trong sự phát triển của gypsy, nhưng nó vẫn tiếp tục phát triển ở Ấn Độ, Trung Á và các nước Đông Ả Rập.

Sự phục hưng của khoa học và nghệ thuật ở châu Âu đã dẫn đến sự phát triển vượt bậc của ngành địa lý. Một bước tiến mới về cơ bản đã được thực hiện vào nửa đầu thế kỷ 17. R. Descartes, người đã đưa phương pháp tọa độ vào hình học. Phương pháp tọa độ làm cho nó có thể liên kết hình học với đại số đang phát triển và phân tích mới nổi. Việc áp dụng các phương pháp của các ngành khoa học này trong địa chất đã tạo ra địa lý giải tích, và sau đó là địa lý vi phân. G. đã chuyển sang một trình độ mới về chất so với G. của người xưa: nó đã xem xét các số liệu tổng quát hơn nhiều và sử dụng các phương pháp mới về cơ bản. Kể từ thời điểm đó, bắt đầu thời kỳ phát triển thứ ba của G. Hình học giải tích nghiên cứu các hình và phép biến hình được đưa ra bởi các phương trình đại số trong hệ tọa độ hình chữ nhật, sử dụng các phương pháp của đại số. Hình học vi phân, xuất hiện vào thế kỷ 18. Là kết quả của công trình nghiên cứu của L. Euler, H. Monge và những người khác, ông đã nghiên cứu bất kỳ đường cong và bề mặt đủ nhẵn nào, họ của chúng (tức là tập hợp liên tục của chúng), và phép biến hình (khái niệm "hình học vi phân" là bây giờ thường được đưa ra ý nghĩa tổng quát hơn, được thảo luận trong phần Hình học hiện đại). Tên của nó được liên kết chủ yếu với phương pháp của nó, xuất phát từ phép tính vi phân. Đến nửa đầu thế kỷ 17. đề cập đến nguồn gốc của hình học xạ ảnh (Xem hình học xạ ảnh) trong các công trình của J. Desargues và B. Pascal (Xem Pascal). Nó nảy sinh từ vấn đề mô tả các cơ thể trên máy bay; Chủ đề đầu tiên của nó là những tính chất của hình phẳng được bảo toàn khi chiếu từ mặt phẳng này sang mặt phẳng khác từ bất kỳ điểm nào. Công thức cuối cùng và sự thể hiện có hệ thống về những xu hướng địa chất mới này đã được đưa ra vào thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19. Euler cho đồ thị phân tích (1748), Monge cho đồ thị vi phân (1795), J. Poncelet cho đồ thị xạ ảnh (1822), và chính học thuyết về biểu diễn hình học (liên quan trực tiếp đến các nhiệm vụ vẽ) đã được phát triển thậm chí sớm hơn (1799) và được Monge đưa vào hệ thống dưới dạng hình học mô tả (Xem phần hình học mô tả). Trong tất cả các môn học mới này, nền tảng (tiên đề, khái niệm ban đầu) của hình học không thay đổi, trong khi phạm vi của các hình được nghiên cứu và tính chất của chúng, cũng như các phương pháp được sử dụng, được mở rộng.

Thời kỳ thứ tư trong sự phát triển của hình học mở ra với việc xây dựng N. I. Lobachevsky (Xem Lobachevsky) năm 1826 một hình học mới, phi Euclid, bây giờ được gọi là hình học Lobachevsky (Xem hình học Lobachevsky). Độc lập với Lobachevsky, năm 1832, J. Bolyai đã xây dựng cùng một hình học (K. Gauss đã phát triển những ý tưởng giống nhau, nhưng ông không công bố chúng). Nguồn gốc, bản chất và tầm quan trọng của những ý tưởng của Lobachevsky tóm lại là những điều sau đây. Trong hình học Euclid, có một tiên đề về song song, trong đó nói rằng: "qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, người ta có thể vẽ nhiều nhất một đường song song với một đường cho trước." Nhiều genometers đã cố gắng chứng minh tiên đề này từ các tiền đề cơ bản khác của hình học Euclid, nhưng không thành công. Lobachevsky đã đi đến kết luận rằng một bằng chứng như vậy là không thể. Phát biểu đối lập với tiên đề của Euclid nói: "Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, người ta có thể vẽ không phải một mà có ít nhất hai đường thẳng song song với nó." Đây là tiên đề của Lobachevsky. Theo Lobachevsky, việc bổ sung quy định này vào các quy định cơ bản khác của G. dẫn đến những kết luận không hoàn hảo về mặt logic. Hệ thống các kết luận này tạo thành một hình học mới, phi Euclid. Công lao của Lobachevsky nằm ở chỗ ông không chỉ thể hiện ý tưởng này mà còn thực sự xây dựng và phát triển toàn diện một hình học mới, về mặt logic cũng hoàn hảo và giàu kết luận như Euclide. , mặc dù nó không phù hợp với các hình ảnh đại diện thông thường. Lobachevsky coi hình học của mình như một lý thuyết khả dĩ về các quan hệ không gian; tuy nhiên, nó vẫn là giả thuyết cho đến khi ý nghĩa thực sự của nó được làm sáng tỏ (năm 1868), và do đó, sự biện minh đầy đủ của nó đã được đưa ra (xem phần Giải thích về Hình học).

Cuộc cách mạng trong hình học do Lobachevsky mang lại có ý nghĩa không thua kém bất kỳ cuộc cách mạng nào trong khoa học tự nhiên, và không phải vô cớ mà Lobachevsky được gọi là "Copernicus của Hình học". Ba nguyên tắc đã được nêu ra trong các ý tưởng của ông, quyết định sự phát triển mới của hình học. Nguyên tắc đầu tiên là không chỉ hình học Euclid có thể hình dung được về mặt logic mà còn là các "hình học" khác. Nguyên tắc thứ hai là nguyên tắc xây dựng chính các lý thuyết hình học mới bằng cách sửa đổi và tổng quát hóa các quy định chính của Euclidean G. Nguyên tắc thứ ba là chân lý của lý thuyết hình học, theo nghĩa tương ứng với các tính chất thực của không gian, có thể chỉ được xác minh bằng nghiên cứu vật lý và có thể nghiên cứu đó xác lập, theo nghĩa này, tính không chính xác của Euclidean G. Vật lý hiện đại đã xác nhận điều này. Tuy nhiên, tính chính xác toán học của hình học Euclide không bị mất đi vì điều này, vì nó được xác định bởi tính nhất quán lôgic (nhất quán) của điều G. Cũng như vậy, trong mối quan hệ với bất kỳ lý thuyết hình học nào, người ta phải phân biệt giữa chân lý vật lý và toán học của chúng; thứ nhất bao gồm sự phù hợp của thực tế được xác minh bằng kinh nghiệm, thứ hai là sự nhất quán logic. Do đó, Lobachevsky đã đưa ra một cách tiếp cận duy vật đối với triết học toán học. Những nguyên tắc chung này đã đóng một vai trò quan trọng không chỉ trong toán học, mà còn trong toán học nói chung, trong sự phát triển của phương pháp tiên đề, và trong sự hiểu biết về mối quan hệ của nó với thực tế.

Đặc điểm chính của thời kỳ mới trong lịch sử hình học, do Lobachevsky bắt đầu, là sự phát triển của các lý thuyết hình học mới - "hình học" mới và trong sự khái quát tương ứng của chủ đề hình học; khái niệm về các loại “không gian” nảy sinh (thuật ngữ “không gian” có hai nghĩa trong khoa học: một mặt, nó là một không gian thực bình thường, mặt khác, nó là một “không gian toán học” trừu tượng). Đồng thời, một số lý thuyết đã hình thành trong hình học Euclid dưới dạng các chương đặc biệt của nó và chỉ sau đó mới có ý nghĩa độc lập. Đây là cách hình thành xạ ảnh, liên kết, hình học và các hình khác, chủ đề của chúng là các thuộc tính của các hình được bảo toàn dưới các phép biến đổi thích hợp (xạ ảnh, liên kết, hình dạng, v.v.). Khái niệm về các không gian xạ ảnh, liên kết, và không gian phù hợp đã nảy sinh; Bản thân địa lý Euclide bắt đầu được coi là người đứng đầu của địa lý xạ ảnh theo một nghĩa nào đó. các lý thuyết, như hình học Lobachevsky, được xây dựng ngay từ đầu trên cơ sở thay đổi và khái quát hóa các khái niệm của hình học Euclide. các công trình đầu tiên liên quan đến nó (G. Grassman và A. Cayley, 1844) đại diện cho sự tổng quát hóa chính thức về trọng lực giải tích thông thường từ ba tọa độ đến N. Một số kết quả của sự phát triển của tất cả các "hình học" mới này đã được F. Klein tổng kết vào năm 1872, chỉ ra nguyên tắc chung của việc xây dựng chúng.

Một bước cơ bản đã được thực hiện bởi B. Riemann (bài giảng 1854, xuất bản 1867). Đầu tiên, ông đã hình thành rõ ràng khái niệm không gian tổng quát như một tập hợp liên tục của bất kỳ đối tượng hoặc hiện tượng đồng nhất nào (xem phần Đại cương của môn học hình học). Thứ hai, ông đưa ra khái niệm không gian với bất kỳ định luật nào để đo khoảng cách trong các bước vô cùng nhỏ (tương tự như đo độ dài của một đoạn thẳng với một tỷ lệ rất nhỏ). Từ đây phát triển vùng rộng lớn của Georgia, cái gọi là. Hình học Riemann và các khái quát của nó, đã được tìm thấy những ứng dụng quan trọng trong lý thuyết tương đối, trong cơ học, v.v.

Một vi dụ khac. Trạng thái của khí trong xi lanh dưới piston được xác định bởi áp suất và nhiệt độ. Do đó, tổng thể của tất cả các trạng thái có thể có của một chất khí có thể được biểu diễn dưới dạng không gian hai chiều. Các "điểm" của "không gian" này là các trạng thái của khí; "điểm" khác nhau ở hai "tọa độ" - áp suất và nhiệt độ, cũng giống như các điểm trên mặt phẳng khác nhau về giá trị tọa độ của chúng. Sự thay đổi liên tục của trạng thái được biểu diễn bằng một dòng trong không gian này.

Xa hơn nữa, người ta có thể hình dung bất kỳ hệ thống vật chất nào - cơ học hay lý hóa. Tổng thể của tất cả các trạng thái có thể có của hệ thống này được gọi là "không gian pha". Các "điểm" của không gian này chính là các trạng thái. Nếu trạng thái của hệ thống được xác định N số lượng, sau đó chúng tôi nói rằng hệ thống có N bậc tự do. Các đại lượng này đóng vai trò là tọa độ của trạng thái điểm, như trong ví dụ về khí, áp suất và nhiệt độ đóng vai trò của tọa độ. Phù hợp với điều này, không gian pha như vậy của hệ thống được gọi là N-không gian. Sự thay đổi trạng thái được biểu diễn bằng một dòng trong không gian này; các vùng riêng lẻ của các trạng thái, được phân biệt bởi một hoặc một đặc điểm khác, sẽ là các vùng của không gian pha, và ranh giới của các vùng sẽ là các bề mặt trong không gian này. Nếu hệ chỉ có hai bậc tự do, thì các trạng thái của nó có thể được biểu diễn bằng các điểm trên mặt phẳng. Do đó, trạng thái của một chất khí có áp suất R và nhiệt độ Tđược biểu diễn bằng một điểm có tọa độ R và T, và các quá trình xảy ra với chất khí sẽ được biểu diễn bằng các đường trên mặt phẳng. Phương pháp biểu diễn đồ họa này nổi tiếng và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và công nghệ để hình dung các quá trình và định luật của chúng. Nhưng nếu số bậc tự do lớn hơn 3, thì một biểu diễn đồ họa đơn giản (ngay cả trong không gian) sẽ trở nên bất khả thi. Sau đó, để bảo tồn các phép loại suy hình học hữu ích, người ta sử dụng khái niệm không gian pha trừu tượng. Do đó, các phương pháp đồ họa trực quan phát triển thành biểu diễn trừu tượng này. Phương pháp không gian pha được sử dụng rộng rãi trong cơ học, vật lý lý thuyết và hóa lý. Trong cơ học, chuyển động của một hệ cơ học được biểu diễn bằng chuyển động của một điểm trong không gian pha của nó. Trong hóa học vật lý, điều đặc biệt quan trọng là phải xem xét hình dạng và sự tiếp giáp lẫn nhau của các vùng đó trong không gian pha của một hệ gồm một số chất tương ứng với các trạng thái khác nhau về chất. Các bề mặt ngăn cách các vùng này là bề mặt chuyển tiếp từ chất lượng này sang chất lượng khác (nóng chảy, kết tinh, v.v.). Trong hình học, không gian trừu tượng cũng được coi là "điểm" của chúng là các hình; đây là cách xác định "không gian" của hình tròn, hình cầu, đường thẳng, v.v. Trong cơ học và lý thuyết tương đối, một không gian bốn chiều trừu tượng cũng được giới thiệu, thêm thời gian vào ba tọa độ không gian là tọa độ thứ tư. Điều này có nghĩa là các sự kiện phải được phân biệt không chỉ theo vị trí trong không gian mà còn theo thời gian.

Do đó, có thể thấy rõ ràng làm thế nào các tập hợp liên tục của các đối tượng, hiện tượng và trạng thái khác nhau có thể được đưa ra dưới khái niệm tổng quát về không gian. Trong một không gian như vậy, có thể vẽ "đường" mô tả chuỗi liên tục của hiện tượng (trạng thái), vẽ "bề mặt" và xác định một cách thích hợp "khoảng cách" giữa các "điểm", từ đó đưa ra biểu thức định lượng về khái niệm vật lý của mức độ khác biệt của các hiện tượng (trạng thái) tương ứng, và v.v. Do đó, bằng cách tương tự với hình học thông thường, "hình học" của không gian trừu tượng nảy sinh; không gian thứ hai thậm chí có thể ít giống với không gian thông thường, chẳng hạn, không đồng nhất về các tính chất hình học của nó và hữu hạn, giống như một bề mặt khép kín cong không đều.

Đối tượng địa chất theo nghĩa khái quát không chỉ là các hình thức và quan hệ không gian, mà là bất kỳ hình thức và quan hệ nào, được trừu tượng hóa từ nội dung của chúng, hóa ra lại giống với các hình thức và quan hệ không gian thông thường. Những dạng thực tế giống như không gian này được gọi là "không gian" và "hình". Không gian theo nghĩa này là một tập hợp liên tục của các đối tượng, hiện tượng, trạng thái đồng nhất đóng vai trò của các điểm trong không gian và trong tập hợp này có các quan hệ tương tự như các quan hệ không gian thông thường, chẳng hạn như khoảng cách giữa các điểm, đẳng thức. số liệu, v.v. (một hình nói chung là một phần của không gian). G. coi các dạng hiện thực này là trừu tượng khỏi nội dung cụ thể, trong khi việc nghiên cứu các hình thức và quan hệ cụ thể gắn với nội dung độc đáo về chất của chúng là chủ đề của các khoa học khác, và G. là phương pháp nghiên cứu chúng. Bất kỳ ứng dụng nào của hình học trừu tượng đều có thể làm ví dụ, ngay cả khi ứng dụng trên N-không gian chiều trong hóa lý. G. được đặc trưng bởi cách tiếp cận đối tượng như vậy, bao gồm việc khái quát hóa và chuyển giao cho các đối tượng mới các khái niệm hình học thông thường và các biểu diễn trực quan. Đây chính xác là những gì được thực hiện trong các ví dụ trên về không gian của màu sắc, v.v ... Cách tiếp cận hình học này hoàn toàn không phải là một quy ước thuần túy, mà tương ứng với chính bản chất của hiện tượng. Nhưng thường thì các dữ kiện thực tế giống nhau có thể được biểu diễn bằng giải tích hoặc hình học, giống như sự phụ thuộc giống nhau có thể được đưa ra bởi một phương trình hoặc một đường trên đồ thị.

Tuy nhiên, người ta không nên biểu diễn sự phát triển của hình học theo cách mà nó chỉ ghi lại và mô tả bằng ngôn ngữ hình học các dạng và mối quan hệ đã gặp trong thực tế, tương tự như các dạng không gian. Trên thực tế, hình học xác định các lớp rộng của không gian và hình mới trong đó, tiến hành từ việc phân tích và tổng quát hóa dữ liệu của hình học trực quan và các lý thuyết hình học đã được thiết lập. Trong định nghĩa trừu tượng, những không gian và hình này xuất hiện như những dạng thực tế có thể có. Do đó, chúng không hoàn toàn là những công trình suy đoán, mà cuối cùng phải dùng như một phương tiện nghiên cứu và mô tả các sự kiện thực tế. Lobachevsky, người tạo ra hình học của mình, coi nó là một lý thuyết có thể có về các quan hệ không gian. Và cũng giống như hình học của ông đã được chứng minh theo nghĩa là tính nhất quán logic và khả năng ứng dụng của nó đối với các hiện tượng tự nhiên, nên bất kỳ lý thuyết hình học trừu tượng nào cũng vượt qua cùng một bài kiểm tra kép. Để kiểm tra tính nhất quán logic, phương pháp xây dựng mô hình toán học về không gian mới là rất cần thiết. Tuy nhiên, chỉ những khái niệm trừu tượng cuối cùng mới bắt nguồn từ khoa học được chứng minh bằng cả việc xây dựng một mô hình nhân tạo và bằng các ứng dụng, nếu không trực tiếp trong khoa học tự nhiên và công nghệ, thì ít nhất là trong các lý thuyết toán học khác mà thông qua đó các khái niệm này được liên kết với thực tế. Sự dễ dàng mà các nhà toán học và vật lý học hiện nay vận hành với các "không gian" khác nhau đã đạt được là kết quả của sự phát triển lâu dài của hình học gắn liền với sự phát triển của toán học nói chung và các ngành khoa học chính xác khác. Chính nhờ kết quả của sự phát triển này mà mặt thứ hai của địa lý, được chỉ ra trong định nghĩa chung được đưa ra ở đầu bài báo, đã hình thành và có ý nghĩa to lớn: đưa vào địa lý nghiên cứu các dạng và các mối quan hệ tương tự với các dạng và quan hệ trong không gian thông thường.

Là một ví dụ của lý thuyết hình học trừu tượng, người ta có thể coi G. N-không gian Ơclit. Nó được xây dựng bằng cách tổng quát hóa đơn giản các quy định chính của hình học thông thường, và có một số khả năng cho điều này: ví dụ, người ta có thể tổng quát hóa các tiên đề của hình học thông thường, nhưng người ta cũng có thể tiến hành xác định các điểm bằng tọa độ. Với cách tiếp cận thứ hai N-không gian chiều được định nghĩa là một tập hợp bất kỳ-điểm phần tử nào được cho bởi (mỗi) N con số x 1, x2,…, xn, nằm trong một thứ tự nhất định, - tọa độ của các điểm. Hơn nữa, khoảng cách giữa các điểm X \ u003d (x 1, x 2, ..., xn) và X "= (x’ 1, x ’2,…, x’ n)được xác định theo công thức:

là sự tổng quát hóa trực tiếp của công thức nổi tiếng về khoảng cách trong không gian ba chiều. Chuyển động được định nghĩa là một sự biến đổi của một hình mà không làm thay đổi khoảng cách giữa các điểm của nó. Sau đó, chủ đề N Hình học không chiều được định nghĩa là môn học nghiên cứu những tính chất của các hình không thay đổi trong quá trình chuyển động. Trên cơ sở này, các khái niệm về một đường thẳng, về các mặt phẳng có nhiều kích thước khác nhau từ hai đến N-1, về quả bóng, v.v. Điều đó. một lý thuyết giàu nội dung đang xuất hiện, ở nhiều khía cạnh tương tự như hình học Euclid thông thường, nhưng ở nhiều khía cạnh cũng khác với nó. Thường xảy ra rằng các kết quả thu được cho không gian ba chiều được chuyển dễ dàng, với những thay đổi thích hợp, sang một không gian có số chiều bất kỳ. Ví dụ, định lý rằng trong số tất cả các vật thể có cùng thể tích, quả bóng có diện tích bề mặt nhỏ nhất, được đọc nguyên văn theo cùng một cách trong không gian với bất kỳ số chiều nào [bạn chỉ cần ghi nhớ N-khối lượng chiều, ( N-1)-diện tích không gian và N- bóng không chiều, được định nghĩa tương tự với các khái niệm tương ứng về trọng lực thông thường]. Tiếp theo, trong N-Không gian chiều, thể tích của hình lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao, và thể tích của hình chóp bằng tích đó chia cho N. Những ví dụ như vậy có thể được tiếp tục. Mặt khác, các dữ kiện mới về chất lượng cũng được tìm thấy trong không gian đa chiều.

Giải thích về hình học. Cùng một lý thuyết hình học cho phép các ứng dụng khác nhau, các cách diễn giải khác nhau (hiện thực hóa, mô hình hoặc cách diễn giải). Bất kỳ ứng dụng nào của một lý thuyết không là gì khác ngoài việc thực hiện một số kết luận của nó trong lĩnh vực hiện tượng tương ứng.

Khả năng triển khai khác nhau là đặc tính chung của bất kỳ lý thuyết toán học nào. Do đó, các quan hệ số học được thực hiện trên các tập hợp đa dạng nhất của các đối tượng; cùng một phương trình thường mô tả các hiện tượng hoàn toàn khác nhau. Toán học chỉ xem xét hình thức của một hiện tượng, trừu tượng khỏi nội dung, và từ quan điểm hình thức, nhiều hiện tượng khác nhau về mặt chất lượng thường giống nhau. Sự đa dạng của các ứng dụng của toán học và đặc biệt là hình học được đảm bảo chính xác bởi đặc tính trừu tượng của nó. Người ta tin rằng một hệ thống các đối tượng nhất định (một lĩnh vực hiện tượng) cung cấp sự hiện thực hóa một lý thuyết nếu các mối quan hệ trong lĩnh vực đối tượng này có thể được mô tả bằng ngôn ngữ của lý thuyết theo cách mà mỗi phát biểu của lý thuyết thể hiện một hoặc một thực tế khác diễn ra trong khu vực đang được xem xét. Đặc biệt, nếu một lý thuyết được xây dựng trên cơ sở một hệ thống tiên đề nhất định, thì việc giải thích lý thuyết này bao gồm việc so sánh các khái niệm của nó với các đối tượng nhất định và các quan hệ của chúng, trong đó các tiên đề được thỏa mãn cho các đối tượng này.

Euclidean G. xuất hiện như một sự phản ánh các sự kiện của thực tế. Cách giải thích thông thường của nó, trong đó các sợi bị kéo căng được coi là chuyển động thẳng, chuyển động cơ học, v.v., có trước trọng lực như một lý thuyết toán học. Câu hỏi về các cách giải thích khác đã không được và không thể được đặt ra cho đến khi một sự hiểu biết trừu tượng hơn về hình học xuất hiện. Lobachevsky đã tạo ra hình học phi Euclid như một hình học khả dĩ, và sau đó câu hỏi nảy sinh về cách giải thích thực sự của nó. Bài toán này được giải vào năm 1868 bởi E. Beltrami, người nhận thấy rằng hình học của Lobachevsky trùng với hình học bên trong của các bề mặt có độ cong âm không đổi, tức là, các định lý hình học của Lobachevsky mô tả các dữ kiện hình học trên các bề mặt đó (trong trường hợp này, vai trò của các đường thẳng là được thực hiện bởi các đường trắc địa, và các chuyển động vai trò - uốn cong bề mặt về phía chính nó). Bởi vì, đồng thời, một bề mặt như vậy là một đối tượng của hình học Euclid, hóa ra hình học Lobachevsky được giải thích dưới dạng hình học của Euclid. Do đó, tính nhất quán của hình học Lobachevsky đã được chứng minh, vì một mâu thuẫn trong đó, nhờ cách giải thích này, sẽ dẫn đến mâu thuẫn trong hình học của Euclid.

Do đó, ý nghĩa kép của việc giải thích lý thuyết hình học được làm rõ - vật lý và toán học. Nếu chúng ta đang nói về việc giải thích trên các đối tượng cụ thể, thì chúng ta sẽ nhận được một bằng chứng thực nghiệm về sự thật của lý thuyết (tất nhiên, với độ chính xác thích hợp); nếu bản thân các đối tượng có một đặc điểm trừu tượng (như một bề mặt hình học trong khuôn khổ của hình học Euclid), thì lý thuyết này được liên kết với một lý thuyết toán học khác, trong trường hợp này là hình học Euclid, và thông qua nó với dữ liệu thực nghiệm được tóm tắt trong đó. Việc giải thích một lý thuyết toán học này bằng một lý thuyết khác như vậy đã trở thành một phương pháp toán học để chứng minh các lý thuyết mới, một phương pháp chứng minh tính nhất quán của chúng, vì mâu thuẫn trong lý thuyết mới sẽ dẫn đến mâu thuẫn trong lý thuyết mà nó được giải thích. Nhưng lý thuyết mà việc giải thích được thực hiện, đến lượt nó, cần phải được chứng minh. Do đó, phương pháp toán học xác định không loại bỏ thực tế mà thực tiễn vẫn là tiêu chí cuối cùng của chân lý đối với các lý thuyết toán học. Hiện nay, các lý thuyết hình học thường được giải thích một cách phân tích; ví dụ, các điểm trên mặt phẳng Lobachevsky có thể được liên kết với các cặp số X và tại, đường thẳng - được xác định bằng phương trình, v.v. Kỹ thuật này cung cấp một sự biện minh cho lý thuyết bởi vì bản thân phân tích toán học được chứng minh, trong phân tích cuối cùng, bằng cách thực hành rộng rãi ứng dụng của nó.

hình học hiện đại. Định nghĩa toán học chính thức về các khái niệm không gian và hình được chấp nhận trong toán học hiện đại bắt nguồn từ khái niệm tập hợp (xem lý thuyết tập hợp). Không gian được định nghĩa là một tập hợp bất kỳ phần tử nào ("điểm") với điều kiện trong tập hợp này một số quan hệ được thiết lập tương tự như quan hệ không gian thông thường. Tập hợp màu sắc, tập hợp các trạng thái của hệ thống vật lý, tập hợp các hàm liên tục được xác định trên phân đoạn, v.v. tạo thành không gian mà các điểm sẽ là màu sắc, trạng thái, chức năng. Chính xác hơn, các tập hợp này được hiểu là không gian nếu chỉ có các quan hệ tương ứng được cố định trong chúng, ví dụ, khoảng cách giữa các điểm, các thuộc tính và quan hệ được xác định thông qua chúng. Do đó, khoảng cách giữa các hàm có thể được xác định là giá trị lớn nhất của giá trị tuyệt đối của hiệu số của chúng: max | f(x)-g(x)| . Một hình được định nghĩa là một tập hợp các điểm tùy ý trong một không gian nhất định. (Đôi khi không gian là một hệ thống các tập hợp các phần tử. Ví dụ, trong hình học xạ ảnh, thông thường coi các điểm, đường thẳng và mặt phẳng là các đối tượng hình học ban đầu bằng nhau được kết nối bằng quan hệ "kết nối".)

Các kiểu quan hệ chính, với nhiều cách kết hợp khác nhau, dẫn đến toàn bộ các “không gian” của hình học hiện đại như sau:

1) Các quan hệ tổng quát tồn tại trong bất kỳ tập hợp nào là quan hệ thành viên và quan hệ bao hàm: một điểm thuộc một tập hợp, và một tập hợp này là một phần của tập hợp khác. Nếu chỉ xét đến các quan hệ này, thì không có "hình học" nào được xác định trong tập hợp, nó không trở thành không gian. Tuy nhiên, nếu một số hình đặc biệt (tập hợp các điểm) được chọn, thì "hình học" của không gian có thể được xác định bằng quy luật kết nối của các điểm với các hình này. Một vai trò như vậy được thực hiện bởi các tiên đề kết hợp trong hình học sơ cấp, affine và xạ ảnh; ở đây các đường thẳng và mặt phẳng đóng vai trò là các tập hợp đặc biệt.

Nguyên tắc tương tự của việc chọn một số tập hợp đặc biệt cho phép chúng ta xác định khái niệm về không gian tôpô - một không gian trong đó “vùng lân cận” của các điểm được gọi là tập hợp đặc biệt (với điều kiện là điểm thuộc vùng lân cận của nó và mỗi điểm có tại ít nhất một vùng lân cận; việc đặt ra các yêu cầu khác đối với các vùng lân cận sẽ xác định một hoặc một loại không gian tôpô khác). Nếu bất kỳ vùng lân cận nào của một điểm đã cho có các điểm chung với một tập hợp nào đó, thì một điểm như vậy được gọi là giao điểm của tập hợp này. Hai tập hợp có thể được gọi là chạm nhau nếu ít nhất một trong số chúng chứa các điểm tiếp xúc của bộ kia; một không gian hoặc hình sẽ liên tục, hoặc, như người ta nói, được nối với nhau nếu nó không thể được chia thành hai phần không liền nhau; một sự biến đổi là liên tục nếu nó không phá vỡ sự tiếp xúc. Do đó, khái niệm về một không gian tôpô đóng vai trò như một biểu thức toán học cho khái niệm liên tục. [Một không gian tôpô cũng có thể được xác định bởi các tập hợp đặc biệt khác (đóng, mở) hoặc trực tiếp bằng một quan hệ tiếp tuyến, trong đó bất kỳ tập hợp điểm nào cũng được liên kết với các điểm tiếp tuyến của nó.] Không gian tôpô như vậy, các tập hợp trong chúng và các phép biến đổi của chúng là chủ đề của cấu trúc liên kết. Chủ đề của hình học thích hợp (ở một mức độ lớn) là nghiên cứu về các không gian tôpô và các hình trong đó, được ưu đãi với các tính chất bổ sung.

2) Nguyên tắc quan trọng thứ hai để xác định các không gian nhất định và nghiên cứu chúng là giới thiệu các tọa độ. Đa tạp là một không gian tôpô (được kết nối) trong vùng lân cận của mỗi điểm trong đó người ta có thể giới thiệu các tọa độ bằng cách đặt các điểm của vùng lân cận trong sự tương ứng một đối một và liên tục lẫn nhau với các hệ thống từ N số thực x 1, x 2,(, xn. Con số N là số kích thước của đa tạp. Không gian được nghiên cứu trong hầu hết các lý thuyết hình học là đa tạp; các hình hình học đơn giản nhất (các đoạn, các phần của bề mặt được giới hạn bởi các đường cong, v.v.) thường là các phần của đa tạp. Nếu trong số tất cả các hệ tọa độ có thể được đưa vào trong các phần của đa tạp, các hệ tọa độ thuộc loại như vậy được phân biệt rằng một số tọa độ được biểu thị theo các hệ tọa độ khác bằng các hàm phân tích (một hoặc một số lần khác), thì chúng ta có được cái gọi là. ống góp trơn (phân tích). Khái niệm này khái quát sự thể hiện trực quan của một bề mặt nhẵn. Các đa tạp trơn như vậy là chủ đề của cái gọi là. tôpô vi phân. Trong G. thích hợp, chúng được ưu đãi với các đặc tính bổ sung. Các tọa độ với điều kiện phân biệt được chấp nhận của các phép biến đổi tạo cơ sở cho việc sử dụng rộng rãi các phương pháp phân tích - phép tính vi phân và tích phân, cũng như phân tích vectơ và tensor (xem Phép tính vectơ, Phép tính Tensor). Tổng thể của các lý thuyết về địa chất được phát triển bởi các phương pháp này tạo thành một địa lý vi phân chung; trường hợp đơn giản nhất của nó là lý thuyết cổ điển về các đường cong và bề mặt nhẵn, không là gì khác ngoài các đa tạp có thể phân biệt một và hai chiều.

3) Việc khái quát hóa khái niệm chuyển động như một phép biến hình này thành một hình khác dẫn đến một nguyên tắc chung để xác định các không gian khác nhau, khi một không gian là một tập hợp các phần tử (điểm) trong đó một nhóm các phép biến hình 1-1 của tập hợp này vào chính nó được đưa ra. "Hình học" của một không gian như vậy bao gồm việc nghiên cứu các tính chất của các hình được bảo toàn dưới các phép biến đổi từ nhóm này. Vì vậy, từ quan điểm của một hình học như vậy, các hình có thể được coi là "bằng nhau" nếu một hình chuyển sang hình kia thông qua một phép biến đổi từ một nhóm nhất định. Ví dụ, hình học Euclide nghiên cứu các tính chất của các hình được bảo toàn dưới các chuyển động, hình học affine nghiên cứu các thuộc tính của các hình được bảo toàn dưới các phép biến đổi affine và tôpô nghiên cứu các thuộc tính của các hình được bảo toàn dưới bất kỳ phép biến đổi một-một và liên tục nào. . Sơ đồ tương tự bao gồm hình học Lobachevsky, hình học xạ ảnh và những hình khác. Trên thực tế, nguyên tắc này được kết hợp với việc giới thiệu các tọa độ. Một không gian được định nghĩa là một đa tạp trơn trong đó các phép biến đổi được xác định bởi các hàm liên quan đến tọa độ của mỗi điểm đã cho và điểm mà nó đi qua (tọa độ của ảnh của một điểm được định nghĩa là hàm của tọa độ của chính điểm đó và các tham số mà phép biến đổi phụ thuộc vào; ví dụ, phép biến đổi affine được định nghĩa là tuyến tính: x "i = a i1 x 1 + a i2 x 2 +… + a in x n, i = 1,…, n). Do đó, bộ máy chung để phát triển các "hình học" đó là lý thuyết về các nhóm biến đổi liên tục. Một quan điểm khác, về cơ bản là tương đương, là có thể, theo đó không chỉ định các phép biến đổi không gian, nhưng các phép biến đổi tọa độ trong đó, và các tính chất của các hình được biểu diễn như nhau trong các hệ tọa độ khác nhau được nghiên cứu. Quan điểm này đã được ứng dụng trong thuyết tương đối, lý thuyết đòi hỏi sự biểu hiện giống nhau của các định luật vật lý trong các hệ tọa độ khác nhau, được gọi là hệ quy chiếu trong vật lý.

4) Một nguyên tắc chung khác cho định nghĩa không gian, được Riemann chỉ ra vào năm 1854, bắt nguồn từ sự khái quát hóa khái niệm khoảng cách. Theo Riemann, không gian là một đa tạp trơn trong đó quy luật đo khoảng cách, chính xác hơn là độ dài, được thiết lập theo các bước vô cùng nhỏ, tức là, vi phân của độ dài cung của đường cong được đặt dưới dạng một hàm của tọa độ điểm của đường cong và vi phân của chúng. Đây là sự tổng quát về dạng hình học bên trong của các bề mặt, được Gauss định nghĩa là nghiên cứu về các thuộc tính của bề mặt, có thể được thiết lập bằng cách đo độ dài của các đường cong trên đó. Trường hợp đơn giản nhất được đại diện bởi cái gọi là. Các không gian Riemann trong đó định lý Pitago nằm trong khoảng nhỏ vô hạn (nghĩa là, trong một vùng lân cận của mỗi điểm, người ta có thể đưa ra các tọa độ theo cách sao cho lúc này bình phương của vi phân độ dài cung sẽ bằng tổng của bình phương của vi phân của các tọa độ; trong các tọa độ tùy ý, nó được biểu thị bằng dạng bậc hai dương tổng quát, xem Hình học Riemann (xem Hình học Riemann)). Do đó, một không gian như vậy là Euclide ở hệ thập phân, nhưng nhìn chung nó có thể không phải là Euclid, cũng như một mặt cong chỉ có thể được thu gọn thành một mặt phẳng ở hệ thập phân với độ chính xác thích hợp. Hình học của Euclid và Lobachevsky hóa ra là một trường hợp đặc biệt của Riemannian G. Sự khái quát rộng nhất của khái niệm khoảng cách đã dẫn đến khái niệm về không gian hệ mét tổng quát, chẳng hạn như một tập hợp các phần tử trong đó "số liệu" được đưa ra, tức là, mỗi cặp phần tử được gán một số - khoảng cách giữa chúng, chỉ phụ thuộc vào các điều kiện rất chung chung. Ý tưởng này đóng một vai trò quan trọng trong phân tích chức năng và làm nền tảng cho một số lý thuyết hình học mới nhất, chẳng hạn như ranh giới nội tại của các bề mặt không răng và các tổng quát hóa tương ứng của ranh giới Riemann.

5) Sự kết hợp giữa ý tưởng của Riemann về định nghĩa "hình học" trong các vùng nhỏ vô hạn của một đa tạp với định nghĩa "hình học" bằng một nhóm các phép biến đổi đã dẫn (E. Cartan, 1922-25) đến khái niệm không gian trong đó các phép biến hình chỉ được đưa ra trong các vùng nhỏ vô hạn; nói cách khác, ở đây các phép biến đổi thiết lập mối liên hệ chỉ giữa các mảnh gần nhau vô hạn của đa tạp: một mảnh được biến đổi thành một mảnh khác, một mảnh gần vô hạn. Do đó, người ta nói về các không gian có "kết nối" kiểu này hay kiểu khác. Đặc biệt, các không gian có "kết nối Euclid" là Riemann. Các khái niệm tổng quát hơn quay trở lại khái niệm không gian như một đa tạp trơn, trên đó "trường" của một số "đối tượng" được đưa ra nói chung, có thể là một dạng bậc hai, như trong hình học Riemann, một tập hợp các đại lượng xác định một kết nối , một hoặc một tensor khác, v.v. Điều này cũng bao gồm cái gọi là được giới thiệu gần đây. không gian nhiều lớp. Đặc biệt, những khái niệm này bao gồm sự tổng quát của hình học Riemann liên quan đến thuyết tương đối, khi các không gian được coi là nơi mà số liệu không còn được cho bởi một số dương, mà bởi một dạng bậc hai xen kẽ (những không gian như vậy còn được gọi là Riemannian, hoặc giả -Riemannian, nếu muốn phân biệt chúng với Riemannian theo nghĩa gốc). Các không gian này là các không gian có mối liên hệ được xác định bởi nhóm tương ứng, khác với nhóm chuyển động Ơclit.

Trên cơ sở lý thuyết tương đối, một lý thuyết về không gian đã hình thành trong đó khái niệm liên tiếp của các điểm được định nghĩa, do đó mỗi điểm X câu trả lời được thiết lập V (X)điểm sau nó. (Đây là một tổng quát toán học tự nhiên của chuỗi các sự kiện, được xác định bởi sự kiện Y theo dõi sự kiện x, nếu Xảnh hưởng đến Y, và sau đó Y theo sau X trong thời gian trong bất kỳ hệ quy chiếu nào.) Vì việc gán các bộ V xác định các điểm sau x, như thuộc về bộ V (X), thì định nghĩa của loại không gian này hóa ra là ứng dụng của nguyên tắc đầu tiên trong số các nguyên tắc được liệt kê ở trên, khi "hình học" của không gian được xác định bằng cách lựa chọn các tập hợp đặc biệt. Tất nhiên, trong khi nhiều V phải tuân theo các điều kiện liên quan; trong trường hợp đơn giản nhất, đây là những hình nón lồi. Lý thuyết này bao gồm lý thuyết về các không gian giả Riemannian tương ứng.

6) Phương pháp tiên đề ở dạng thuần túy của nó giờ đây phục vụ cho việc xây dựng các lý thuyết có sẵn, hoặc để xác định các dạng không gian tổng quát với các tập đặc biệt phân biệt. Nếu một hoặc một loại không gian cụ thể hơn được xác định bằng cách xây dựng các thuộc tính của chúng dưới dạng tiên đề, thì tọa độ hoặc số liệu được sử dụng, v.v. Tính nhất quán và do đó ý nghĩa của lý thuyết tiên đề được kiểm tra bằng cách chỉ ra mô hình mà nó được triển khai , như lần đầu tiên được thực hiện cho hình học Lobachevsky. Bản thân mô hình được xây dựng từ các đối tượng toán học trừu tượng, do đó, "sự biện minh cuối cùng" của bất kỳ lý thuyết hình học nào cũng đi vào lĩnh vực cơ sở của toán học nói chung, không thể là cuối cùng theo nghĩa đầy đủ, mà đòi hỏi phải được đào sâu (xem Toán học, Phương pháp tiên đề ).

Những nguyên tắc này trong sự kết hợp và biến thể khác nhau đã làm phát sinh nhiều lý thuyết hình học. Tầm quan trọng của mỗi vấn đề và mức độ chú ý đến các vấn đề của nó được xác định bởi nội dung của các vấn đề này và kết quả thu được, mối liên hệ của nó với các lý thuyết hình học khác, với các lĩnh vực toán học khác, với khoa học tự nhiên chính xác và với các vấn đề của Công nghệ. Mỗi lý thuyết hình học nhất định được xác định trong số các lý thuyết hình học khác, trước hết, theo không gian nào hoặc loại không gian mà nó xem xét. Thứ hai, định nghĩa của một lý thuyết bao gồm một chỉ dẫn về các số liệu đang được nghiên cứu. Đây là cách phân biệt các lý thuyết về khối đa diện, đường cong, bề mặt, vật thể lồi, v.v. Mỗi lý thuyết này có thể phát triển trong một không gian cụ thể. Ví dụ, người ta có thể xem xét lý thuyết về khối đa diện trong không gian Euclide thông thường, trong N-không gian Euclide không gian, trong không gian Lobachevsky, v.v. Có thể phát triển lý thuyết thông thường về các bề mặt, xạ ảnh, trong không gian Lobachevsky, v.v. Thứ ba, bản chất của các thuộc tính được xem xét của các số liệu là vấn đề. Như vậy, người ta có thể nghiên cứu các tính chất của bề mặt được bảo toàn dưới những biến đổi nhất định; người ta có thể phân biệt giữa học thuyết về độ cong của các bề mặt, học thuyết về sự uốn cong (tức là các biến dạng không làm thay đổi độ dài của các đường cong trên một bề mặt) và nội dung G. Cuối cùng, trong định nghĩa của một lý thuyết, người ta có thể bao gồm phương pháp cơ bản và bản chất của việc xây dựng các bài toán. G. được phân biệt theo cách này: sơ cấp, phân tích, vi phân; chẳng hạn, người ta có thể nói về hình học cơ bản hoặc hình học giải tích của không gian Lobachevsky. G. được phân biệt "ở dạng nhỏ", chỉ xem xét các thuộc tính của các phần nhỏ tùy ý của một hình ảnh hình học (đường cong, bề mặt, đa tạp), với G. "tổng thể", như đã rõ ràng với tên gọi của nó, hình học hình ảnh tổng thể trong toàn bộ chiều dài của chúng. Một sự khác biệt rất chung chung được thực hiện giữa phương pháp giải tích và phương pháp hình học tổng hợp (hoặc phương pháp hình học chặt chẽ); cái trước sử dụng các phương tiện của phép tính tương ứng: vi phân, tensor, v.v., cái sau hoạt động trực tiếp với các hình ảnh hình học.

Trên thực tế, trong số tất cả các lý thuyết hình học khác nhau, lý thuyết hình học phát triển nhất N- hình học Euclide không chiều và hình học Riemannian (bao gồm cả giả Riemannian). Đặc biệt, trong lý thuyết đầu tiên, lý thuyết về đường cong và bề mặt (và siêu mặt của các số kích thước khác nhau) được phát triển; trơn tru, được nghiên cứu trong hình học vi phân cổ điển; điều này cũng bao gồm đa diện (các bề mặt đa diện). Sau đó, cần phải đặt tên cho lý thuyết về các vật thể lồi, tuy nhiên, phần lớn có thể được quy cho lý thuyết về các bề mặt nói chung, kể từ đó. một cơ thể được xác định bởi bề mặt của nó. Tiếp theo là lý thuyết về các hệ thống số liệu thông thường, tức là những lý thuyết cho phép các chuyển động chuyển toàn bộ hệ thống thành chính nó và bất kỳ số liệu nào của nó thành bất kỳ hình thức nào khác (xem nhóm Fedorov (Xem nhóm Fedorov)). Có thể lưu ý rằng một số lượng đáng kể các kết quả quan trọng nhất trong các lĩnh vực này là do Sov. geometers: sự phát triển rất hoàn chỉnh của lý thuyết về các bề mặt lồi và sự phát triển đáng kể của lý thuyết về các bề mặt không lồi nói chung, các định lý khác nhau về các bề mặt nói chung (sự tồn tại và tính duy nhất của các bề mặt lồi với một số liệu nội tại nhất định hoặc với một số liệu đã cho hay một "hàm cong" khác, một định lý về sự không thể tồn tại của một bề mặt hoàn chỉnh có độ cong, ở mọi nơi nhỏ hơn một số âm, v.v.), nghiên cứu về sự phân chia đúng của không gian, v.v.

Trong lý thuyết về không gian Riemann, các câu hỏi được nghiên cứu liên quan đến kết nối của các thuộc tính hệ mét với cấu trúc tôpô, hành vi của các đường trắc địa (ngắn nhất trên các đoạn nhỏ) nói chung, chẳng hạn như câu hỏi về sự tồn tại của các đường trắc địa kín, câu hỏi về " ngâm mình ", tức là, nhận ra một N-không gian Riemannian có chiều ở dạng N-mặt không gian trong không gian Euclide với bất kỳ số chiều nào, các câu hỏi về hình học giả Riemann liên quan đến lý thuyết tương đối rộng và các câu hỏi khác. g.

Ngoài ra, cần đề cập đến hình học đại số (xem Hình học đại số), được phát triển từ hình học giải tích và nghiên cứu chủ yếu các hình ảnh hình học được xác định bởi các phương trình đại số; nó chiếm một vị trí đặc biệt, bởi vì không chỉ bao gồm các bài toán hình học mà còn bao gồm các bài toán đại số và số học. Ngoài ra còn có một lĩnh vực nghiên cứu sâu rộng và quan trọng về không gian vô hạn chiều, tuy nhiên, không được đưa vào loại không đồng nhất, nhưng được đưa vào phân tích hàm, vì Không gian vô hạn chiều được định nghĩa cụ thể là không gian mà các điểm của nó là một số hàm nhất định. Tuy nhiên, trong lĩnh vực này có nhiều kết quả và bài toán có bản chất hình học thực sự và do đó nên được quy cho G.

Giá trị hình học. Việc sử dụng hình học Euclide là hiện tượng phổ biến nhất ở bất cứ nơi nào xác định được diện tích, thể tích, v.v. Tất cả công nghệ, vì hình dạng và kích thước của các vật thể đều đóng một vai trò trong đó, đều sử dụng con quay hồi chuyển Euclid. Bản đồ, trắc địa, thiên văn học, tất cả các phương pháp đồ họa và cơ học đều không thể tưởng tượng được nếu không có con quay hồi chuyển. Một ví dụ nổi bật là khám phá của I. Kepler về sự thật rằng các hành tinh quay theo hình elip; ông có thể tận dụng thực tế rằng hình elip đã được nghiên cứu bởi các máy đo địa lý cổ đại. Tinh thể học hình học là một ứng dụng sâu sắc của tinh thể học hình học, được dùng như một nguồn và lĩnh vực ứng dụng cho lý thuyết về các hệ thống thông thường của các hình (xem Crystallography).

Các lý thuyết hình học trừu tượng hơn được sử dụng rộng rãi trong cơ học và vật lý, khi tập hợp các trạng thái của một hệ được coi là một không gian nhất định (xem phần Đại cương về Chủ đề Hình học). Vì vậy, tất cả các cấu hình có thể có (sự sắp xếp lẫn nhau của các phần tử) của một hệ thống cơ học tạo thành một "không gian cấu hình"; chuyển động của hệ được biểu diễn bằng chuyển động của một điểm trong không gian này. Tổng tất cả các trạng thái của một hệ vật chất (trong trường hợp đơn giản nhất là vị trí và vận tốc của các điểm vật chất tạo thành hệ, ví dụ, các phân tử khí) được coi là "không gian pha" của hệ. Đặc biệt, quan điểm này tìm thấy ứng dụng trong vật lý thống kê (xem. Vật lý thống kê), v.v.

Lần đầu tiên, khái niệm không gian đa chiều ra đời liên quan đến cơ học sớm nhất là J. Lagrange, khi ba không gian. tọa độ XYZ thời gian chính thức được thêm vào lần thứ tư t. Đây là cách "không-thời gian" bốn chiều xuất hiện, trong đó một điểm được xác định bởi bốn tọa độ x, y, z, t. Mỗi sự kiện được đặc trưng bởi bốn tọa độ này và, một cách trừu tượng, tập hợp tất cả các sự kiện trên thế giới hóa ra là một không gian bốn chiều. Quan điểm này được phát triển trong cách giải thích hình học của thuyết tương đối do H. Minkowski đưa ra (xem Minkowski), và sau đó là sự xây dựng thuyết tương đối rộng của A. Einstein. Trong đó, ông sử dụng hình học Riemannian (pseudo-Riemannian) bốn chiều. Do đó, lý thuyết hình học, được phát triển từ sự tổng quát hóa dữ liệu từ kinh nghiệm không gian, hóa ra lại là một phương pháp toán học để xây dựng lý thuyết sâu hơn về không gian và thời gian. Đổi lại, lý thuyết tương đối đã tạo động lực mạnh mẽ cho sự phát triển của các lý thuyết hình học tổng quát. Phát sinh từ thực tiễn sơ đẳng, địa lý quay trở lại khoa học tự nhiên và thực hành ở trình độ cao hơn như một phương pháp thông qua một loạt các khái niệm trừu tượng và khái quát hóa.

Từ quan điểm hình học, đa tạp không-thời gian thường được coi trong thuyết tương đối rộng là không đồng nhất của kiểu Riemann, nhưng với một số liệu được xác định bằng dạng thay đổi dấu hiệu, được giảm trong một vùng thập phân nhỏ thành dạng

dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2

(với - tốc độ ánh sáng trong chân không). Bản thân không gian, vì nó có thể bị tách rời khỏi thời gian, cũng hóa ra là Riemannian không thuần nhất. Từ quan điểm hình học hiện đại, tốt hơn là nên xem xét lý thuyết tương đối theo cách sau đây. Thuyết tương đối hẹp tuyên bố rằng đa tạp của không - thời gian là một không gian giả Euclid, tức là một trong đó vai trò của "chuyển động" được thực hiện bởi các phép biến đổi bảo toàn dạng bậc hai.

x 2 + y 2 + z 2 - c 2 t 2

chính xác hơn, nó là một không gian với một nhóm các phép biến đổi bảo toàn dạng bậc hai đã chỉ ra. Bất kỳ công thức nào thể hiện một định luật vật lý được yêu cầu không thay đổi theo các phép biến đổi của nhóm không gian này, chúng được gọi là các phép biến đổi Lorentz. Theo thuyết tương đối rộng, đa tạp không-thời gian là không đồng nhất và chỉ trong mỗi vùng "nhỏ vô hạn" mới được giảm xuống thành giả Euclide, tức là không gian kiểu Cartan (xem phần Hình học hiện đại). Tuy nhiên, sự hiểu biết như vậy chỉ trở nên khả thi sau này, bởi vì. chính khái niệm không gian kiểu này xuất hiện sau thuyết tương đối và được phát triển dưới ảnh hưởng trực tiếp của nó.

Trong bản thân toán học, vị trí và vai trò của hình học được xác định chủ yếu bởi thực tế là tính liên tục đã được đưa vào toán học thông qua nó. Toán học, với tư cách là một môn khoa học về các dạng hiện thực, trước hết gặp phải hai dạng tổng quát: tính rời rạc và tính liên tục. Tài khoản của các đối tượng riêng biệt (rời rạc) cung cấp số học, dấu cách. G. nghiên cứu tính liên tục Một trong những mâu thuẫn chính thúc đẩy sự phát triển của toán học là mâu thuẫn giữa cái rời rạc và cái liên tục. Ngay cả việc phân chia các đại lượng liên tục thành các phần và phép đo cũng thể hiện sự so sánh giữa rời rạc và liên tục: ví dụ, thang đo được vẽ dọc theo đoạn đã đo theo các bước riêng biệt. Sự mâu thuẫn được đưa ra ánh sáng. Đặc biệt rõ ràng, khi ở Hy Lạp cổ đại (có thể là vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên), tính bất hợp lý của cạnh và đường chéo của một hình vuông đã được phát hiện: độ dài đường chéo của hình vuông với cạnh 1 không được biểu thị bằng bất kỳ số nào, bởi vì khái niệm về một số vô tỉ đã không tồn tại. Người ta đã khái quát hóa khái niệm số - sự ra đời của khái niệm số vô tỷ (chỉ được thực hiện muộn hơn ở Ấn Độ). Lý thuyết tổng quát về số vô tỷ chỉ được tạo ra vào những năm 70. thế kỉ 19 Đường thẳng (và với nó là bất kỳ hình nào) bắt đầu được coi là một tập hợp các điểm. Bây giờ quan điểm này đang chiếm ưu thế. Tuy nhiên, những khó khăn của lý thuyết tập hợp đã cho thấy những hạn chế của nó. Không thể xóa bỏ hoàn toàn mâu thuẫn giữa cái rời rạc và cái liên tục.

Vai trò chung của hình học trong toán học còn nằm ở chỗ nó gắn liền với tư duy tổng hợp chính xác, tư duy hình thành từ các biểu diễn không gian, và thường làm cho nó có thể bao quát một cách tổng quát những gì đạt được bằng phân tích và tính toán chỉ thông qua một chuỗi dài các bước. . Vì vậy, hình học không chỉ được đặc trưng bởi chủ đề của nó, mà còn bởi phương pháp của nó, hình học thu được từ các biểu diễn trực quan và chứng minh hiệu quả trong việc giải quyết nhiều vấn đề trong các lĩnh vực toán học khác. Đổi lại, G. sử dụng rộng rãi các phương pháp của họ. Do đó, một và cùng một vấn đề toán học thường có thể được xử lý bằng giải tích hoặc hình học, hoặc kết hợp cả hai phương pháp.

Theo một nghĩa nào đó, hầu như tất cả toán học có thể được coi là phát triển từ sự tương tác của đại số (ban đầu là số học) và hình học, và theo nghĩa phương pháp, từ sự kết hợp của các phép tính và biểu diễn hình học. Điều này đã có thể được thấy trong khái niệm tổng của tất cả các số thực như một đường số nối các thuộc tính số học của các số với sự liên tục. Dưới đây là một số điểm nổi bật về ảnh hưởng của G. trong toán học.

1) Cùng với cơ học, hình học có tầm quan trọng quyết định trong sự xuất hiện và phát triển của phép phân tích. Tích hợp đến từ việc tìm kiếm diện tích và thể tích, được bắt đầu bởi các nhà khoa học cổ đại, hơn nữa, diện tích và thể tích như những đại lượng được coi là chắc chắn; không có định nghĩa phân tích nào của tích phân được đưa ra cho đến nửa đầu thế kỷ 19. Vẽ tiếp tuyến là một trong những vấn đề dẫn đến sự khác biệt. Biểu diễn đồ họa của các chức năng đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển các khái niệm phân tích và vẫn giữ được tầm quan trọng của nó. Trong chính thuật ngữ phân tích, nguồn hình học của các khái niệm của nó có thể nhìn thấy được, chẳng hạn như trong các thuật ngữ: “điểm phá vỡ”, “phạm vi thay đổi của một biến số”, v.v. Quá trình phân tích đầu tiên, được viết vào năm 1696 bởi G. Lopital (Xem Lopital), được gọi là: "Phân tích vô cực để tìm hiểu các đường cong." Lý thuyết về phương trình vi phân hầu hết được giải thích bằng hình học (đường cong tích phân, v.v.). Tính toán của các biến thể Nó hình thành và phát triển ở một mức độ lớn về các vấn đề hình học, và các khái niệm của nó đóng một vai trò quan trọng trong đó.

2) Các số phức cuối cùng đã thành lập trong toán học vào đầu thế kỷ 18-19. chỉ là kết quả của việc so sánh chúng với các điểm của mặt phẳng, tức là bằng cách xây dựng một "mặt phẳng phức". Trong lý thuyết về hàm của một biến phức, phương pháp hình học đóng một vai trò thiết yếu. Khái niệm về một hàm giải tích w = f(z) của một biến phức có thể được định nghĩa thuần túy về mặt hình học: một hàm như vậy là một ánh xạ tuân theo mặt phẳng z(hoặc các khu vực của máy bay z) trên máy bay w. Các khái niệm và phương pháp của hình học Riemann được ứng dụng trong lý thuyết về hàm của một số biến phức.

3) Ý tưởng chính của phân tích hàm là các hàm của một lớp nhất định (ví dụ, tất cả các hàm liên tục được xác định trên khoảng) được coi là các điểm của “không gian hàm”, và quan hệ giữa các hàm được hiểu là hình học. quan hệ giữa các điểm tương ứng (ví dụ, sự hội tụ của các chức năng được hiểu là sự hội tụ của các điểm, cực đại của giá trị tuyệt đối của sự khác biệt của các chức năng - như một khoảng cách, v.v.). Sau đó, nhiều câu hỏi phân tích nhận được một xử lý hình học, trong nhiều trường hợp hóa ra rất hiệu quả. Nói chung, việc biểu diễn các đối tượng toán học nhất định (hàm, hình, v.v.) dưới dạng các điểm của một số không gian với cách giải thích hình học tương ứng về các quan hệ của các đối tượng này là một trong những ý tưởng tổng quát và hiệu quả nhất của toán học hiện đại, đã thâm nhập vào hầu hết các tất cả các phần của nó.

4) G. ảnh hưởng đến đại số và thậm chí cả số học - lý thuyết số. Ví dụ, đại số sử dụng khái niệm không gian vectơ. Trong lý thuyết số, một hướng hình học đã được tạo ra để có thể giải quyết nhiều vấn đề khó có thể giải quyết được bằng phương pháp tính toán. Đổi lại, chúng ta cũng nên lưu ý các phương pháp tính toán đồ họa (xem Danh nghĩa) và các phương pháp hình học của lý thuyết tính toán và máy tính hiện đại.

5) Việc cải tiến và phân tích lôgic các tiên đề của một lý thuyết đóng một vai trò quyết định trong việc phát triển một dạng trừu tượng của phương pháp tiên đề với sự trừu tượng hóa hoàn toàn của nó khỏi bản chất của các đối tượng và các quan hệ trong lý thuyết tiên đề. Trên cơ sở của cùng một tài liệu, các khái niệm về tính nhất quán, tính đầy đủ và tính độc lập của các tiên đề đã được phát triển.

Nhìn chung, sự đan xen giữa hình học và các lĩnh vực toán học khác gần nhau đến mức các ranh giới thường trở nên có điều kiện và chỉ gắn với truyền thống. Chỉ những phần như đại số trừu tượng, lôgic toán học và một số phần khác hầu như không có hoặc hoàn toàn không kết nối với hình học.

Lít: Các tác phẩm cổ điển lớn. Euclid, Beginnings, trans. từ tiếng Hy Lạp, sách. 1-15, M. - L., 1948-50; Descartes R., Hình học, trans. từ tiếng Latinh., M. - L., 1938; Monge G., Các ứng dụng của phân tích vào hình học, trans. từ tiếng Pháp, M. - L., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figure, Metz - R., 1822; Gauss KF, Nghiên cứu chung về bề mặt cong, tịnh tiến. từ tiếng Đức, trong bộ sưu tập: Trên nền tảng của hình học, M., 1956; Lobachevsky N.I., Poln. đối chiếu. soch., câu 1-3, M. - L., 1946-51; Bolai Ya., Phụ lục. Ứng dụng, ..., mỗi. từ tiếng Latinh., M. - L., 1950; Riemann B., Về các giả thuyết nền tảng của hình học, trans. từ tiếng Đức, trong bộ sưu tập: Trên nền tảng của hình học, M., 1956; Klein, F., Đánh giá so sánh về Nghiên cứu Hình học Mới nhất ("Chương trình Erlangen"), sđd; E. Kartan, Holonomy các nhóm không gian tổng quát, trans. từ tiếng Pháp, trong cuốn sách: Cuộc thi Quốc tế lần thứ VIII được đặt tên theo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1937), Kazan, 1940; Hilbert D., Cơ sở của Hình học, trans. từ tiếng Đức., M. - L., 1948.

Câu chuyện. Kolman E., Lịch sử toán học thời cổ đại, M., 1961; Yushkevich A. P., Lịch sử toán học thời Trung cổ, M., 1961; Vileitner G., Lịch sử toán học từ Descartes đến giữa thế kỷ 19, trans. từ tiếng Đức, xuất bản lần thứ 2, M., 1966; Cantor M., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, Lpz., 1907-08.

b) Hình học sơ cấp. Hadamard J., Hình học sơ cấp, trans. from French, part 1, 3 ed., M., 1948, part 2, M., 1938; Pogorelov A. V., Hình học sơ cấp, Matxcova, 1969.

trong) Hình học giải tích. Alexandrov P.S., Bài giảng Hình học Giải tích ..., M., 1968; Pogorelov A. V., Hình học phân tích, xuất bản lần thứ 3, M., 1968.

e) Hình học mô tả và xạ ảnh. Glagolev N. A., Hình học mô tả, xuất bản lần thứ 3, M. - L., 1953; Efimov N.V., Hình học cao hơn, xuất bản lần thứ 4, M., 1961.

e) Hình học Riemannian và các khái quát của nó. Rashevsky P.K., Hình học Riemannian và phân tích tensor, xuất bản lần thứ 2, M. - L., 1964; Norden A. P., Không gian kết nối affine, M. - L., 1950; Cartan E., Hình học của không gian Riemann, bản dịch. từ tiếng Pháp, M. - L., 1936; Eisenhart L.P., Hình học Riemann, bản dịch. từ tiếng Anh, M., 1948.

Một số sách chuyên khảo về hình học. Fedorov ES, Tính đối xứng và cấu trúc của tinh thể. Tác phẩm cơ bản, M., 1949; Alexandrov A. D., Khối đa diện lồi, M. - L., 1950; his, Hình học bên trong của các mặt lồi, M. - L., 1948; Pogorelov A. V., Hình học bên ngoài của các mặt lồi, Matxcova, 1969; Buseman G., Hình học trắc địa, trans. từ tiếng Anh, M., 1962; của mình, Các bề mặt lồi, trans. từ tiếng Anh, M., 1964; E. Kartan, Phương pháp khung chuyển động, Lý thuyết về các nhóm liên tục và không gian tổng quát, bản dịch. từ tiếng Pháp, M. - L., 1936; Finikov S. P., Phương pháp Cartan của các dạng bên ngoài trong hình học vi phân, M. - L., 1948; của riêng ông, Hình học vi phân-xạ ảnh, M. - L., 1937; của riêng ông, Lý thuyết về đồng dư, M. - L., 1950; Shouten I. A., Stroik D. J., Giới thiệu về các phương pháp mới của hình học vi phân, phép tịnh tiến. từ tiếng Anh, quyển 1-2, M. - L., 1939-48; Nomizu K., Nhóm Lie và hình học vi phân, trans. từ tiếng Anh, M., 1960; Milnor J., Thuyết Morse, chuyển. từ tiếng Anh, M., 1965.

Từ điển các từ nước ngoài của tiếng Nga


    • 4. Ví dụ về các bài toán về quỹ tích của điểm

    1. Hai bánh xe có bán kính r 1 và r 2 lăn trên một đường thẳng l. Tìm tập hợp các giao điểm M của các tiếp tuyến chung trong của chúng.

    Giải: Gọi O 1 và O 2 lần lượt là tâm của các bánh xe có bán kính r 1 và r 2. Nếu M là giao điểm của các tiếp tuyến trong thì O 1 M: O 2 M = r 1: r 2. Từ điều kiện này ta có thể dễ dàng nhận được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng l bằng 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2). Do đó, tất cả các giao điểm của các tiếp tuyến chung trong nằm trên một đường thẳng song song với đường thẳng l và cách nó một khoảng là 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2).

    2. Tìm quỹ tích các tâm của đường tròn đi qua hai điểm cho trước.

    Giải: Cho đường tròn tâm O đi qua điểm A và B. Vì OA = OB (là bán kính của đường tròn) nên điểm O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ngược lại, mỗi điểm O nằm trên đường trung trực của AB cách đều hai điểm A và B. Do đó, điểm O là tâm của đường tròn đi qua điểm A và B.

    3. Các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD có diện tích S không song song. Tìm HMT X nằm bên trong tứ giác mà S ABX + S CDX = S / 2.

    Giải: Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD. Hãy vẽ các đoạn thẳng OK và OL trên tia OA và OD, lần lượt bằng AB và CD. Khi đó S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ± S KXL. Do đó, diện tích tam giác KXL không đổi, tức là điểm X nằm trên đường thẳng song song với KL.

    4. Các điểm A và B nằm trên mặt phẳng Tìm GMT M để hiệu số bình phương độ dài đoạn AM và BM không đổi.

    Giải: Ta đưa ra một hệ trục tọa độ bằng cách chọn điểm A làm gốc tọa độ và hướng trục Ox dọc theo tia AB. Cho điểm M có tọa độ (x, y). Khi đó AM 2 = x 2 + y 2 và BM 2 = (x - a) 2 + y 2, trong đó a = AB. Do đó AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2. Giá trị này bằng k đối với các điểm M có tọa độ ((a 2 + k) / 2a, y); tất cả các điểm như vậy nằm trên đường vuông góc với AB.

    5. Hình chữ nhật ABCD đã cho. Tìm GMT X mà AX + BX = CX + DX.

    Giải: Gọi l là đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh BC và AD. Giả sử rằng điểm X không nằm trên đường thẳng l, chẳng hạn, điểm A và X nằm trên cùng một phía của đường thẳng l. Sau đó AX< DX и BX < CX, а значит, AX + BX < CX + DX. Поэтому прямая l - искомое ГМТ.

    6. Cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm O. Tìm GMT X mà tổng độ dài các hình chiếu của đoạn thẳng OX lên các đường thẳng này là không đổi.

    Giải: Gọi a, b là các vectơ đơn vị song song với các đường thẳng đã cho; x bằng vectơ x. Tổng độ dài các hình chiếu của vectơ x lên các đoạn thẳng đã cho bằng | (a, x) | + | (b, x) | = | (a ± b, x) |, và sự đổi dấu xảy ra trên các đường vuông góc dựng từ điểm O đến các đường cho trước. Do đó, GMT mong muốn là một hình chữ nhật có các cạnh song song với các đường phân giác của các góc giữa các đường đã cho và có các đỉnh nằm trên các đường vuông góc đã chỉ ra.

    7. Cho đường tròn S và một điểm M nằm ngoài nó. Qua điểm M kẻ được tất cả các đường tròn S 1, cắt đường tròn S; X - giao điểm của tiếp tuyến tại điểm M với đường tròn S 1 với sự tiếp nối của dây cung chung của đường tròn S và S 1. Tìm GMT X.

    Giải: Gọi A và B là giao điểm của hai đường tròn S và S 1. Khi đó XM 2 = XA. XB \ u003d XO 2 - R 2, trong đó O và R là tâm và bán kính của đường tròn S. Do đó, XO 2 - XM 2 \ u003d R 2, nghĩa là điểm X nằm trên vuông góc với đường thẳng OM.

    8. Hai đường tròn không giao nhau đã cho. Tìm quỹ tích của các tâm của các đường tròn phân giác các đường tròn đã cho (tức là cắt chúng tại các điểm đối nhau theo đường kính).

    Giải: Gọi O 1 và O 2 là tâm của các đường tròn này, R 1 và R 2 là bán kính của chúng. Đường tròn bán kính r có tâm X cắt đường tròn thứ nhất tại các điểm đối diện với đường kính khi và chỉ khi r 2 \ u003d XO 1 2 + R 1 2, do đó GMT mong muốn bao gồm các điểm X sao cho XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2, tất cả các điểm đó của X đều nằm trên đường thẳng vuông góc với O 1 O 2.

    9. Điểm A nằm bên trong đường tròn Tìm quỹ tích các giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn vẽ qua các đầu mút của tất cả các dây có thể chứa điểm A.

    Giải: Gọi O là tâm của đường tròn, bán kính R, M là giao điểm của các tiếp tuyến vẽ qua hai đầu của dây có chứa điểm A, P là trung điểm của dây. Khi đó OP * OM = R 2 và OP = OA cos f, trong đó f = AOP. Do đó, AM 2 \ u003d OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f \ u003d OM 2 + OA 2 - 2R 2, nghĩa là giá trị của OM 2 - AM 2 \ u003d 2R 2 - OA 2 là không đổi. Do đó, mọi điểm của M đều nằm trên đường thẳng vuông góc với OA.

    10. Tìm quỹ tích các điểm M nằm bên trong hình thoi ABCD và có tính chất AMD + BMC = 180 o.

    Giải: Gọi N là điểm sao cho vectơ MN = DA. Khi đó NAM = DMA và NBM = BMC nên AMBN là tứ giác nội tiếp. Các đường chéo của tứ giác AMBN nội tiếp bằng nhau nên AM | BN hoặc BM | MỘT. Trong trường hợp đầu tiên AMD = MAN = AMB và trong trường hợp thứ hai BMC = MBN = BMA. Nếu AMB = AMD thì AMB + BMC = 180 o và điểm M nằm trên đường chéo AC, và nếu BMA = BMC thì điểm M nằm trên đường chéo BD. Rõ ràng là nếu điểm M nằm trên một trong các đường chéo thì AMD + BMC = 180 o.

    11. a) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng đại lượng AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 không phụ thuộc vào cách chọn điểm X.

    b) Tứ giác ABCD không phải là hình bình hành. Chứng minh rằng tất cả các điểm của X thỏa mãn quan hệ AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2 nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với đoạn nối trung điểm của các đường chéo.

    Giải: Gọi P và Q là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2/2 và BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2/2, do đó, trong bài toán b), HMT mong muốn bao gồm các điểm X sao cho PX 2 - QX 2 = (BD 2 - AC 2) / 4, và trong bài toán a) P = Q nên đại lượng đang xét bằng (BD 2 - AC 2) / 2.


    Văn chương

    1. Pogorelov A.V. Hình học: Là sách giáo khoa dành cho lớp 7-9 của các cơ sở giáo dục. - M.: Khai sáng, 2000, tr. 61.

    2. Savin A.P. Phương pháp địa vị hình học / Tự chọn môn Toán: Sách giáo khoa lớp 7-9 THPT. Comp. IL. Nikolskaya. - M .: Giáo dục, 1991, tr. 74.

    3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Hình học: Là sách giáo khoa dành cho lớp 7-9 của các cơ sở giáo dục. - M.: Mnemosyne, 2005, tr. 84.

    4. Sharygin I.F. Hình học. Lớp 7-9: Sách giáo khoa dành cho cơ sở giáo dục phổ thông. - M.: Bustard, 1997, tr. 76.

    5. Nguồn Internet: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm





    Quan hệ nhân quả thông tin của các tương tác (trung hòa entropi), gắn liền với các quá trình phản ánh các mức độ của trật tự (kích thích), sở hữu một hệ thống phổ quát các quan hệ không-thời gian, phân bổ “lượng tử tuyệt đối” thành một hiện tượng mang tính chất vật lý. Nó có thể là một hiện thân vật chất bất ngờ của chất hoạt động ban đầu đó, mà chủ nghĩa duy tâm khách quan, ...


    Q (y) của một phần như vậy bằng, trong đó y được giả sử là không đổi trong quá trình tích phân. Khi đó tích phân Q (y) trong phạm vi của y, tức là từ c đến d, chúng ta đi đến biểu thức thứ hai cho tích phân kép (B). Ở đây, tích phân được thực hiện trước tiên trên x và sau đó trên y. Các công thức (A) và (B) cho thấy rằng phép tính tích phân kép được rút gọn thành phép tính liên tiếp của hai ...

    Hình học là một môn khoa học nghiên cứu các mối quan hệ không gian và hình dạng của các đối tượng.

    Hình học Euclide là một lý thuyết hình học dựa trên một hệ thống các tiên đề được đặt ra lần đầu tiên trong Các phần tử của Euclid.

    Hình học Lobachevsky (hình học hyperbolic)- một trong những hình học phi Euclid, một lý thuyết hình học dựa trên những tiền đề cơ bản giống như hình học Euclid thông thường, ngoại trừ tiên đề về đường thẳng song song, được thay thế bằng tiên đề về đường thẳng song song của Lobachevsky.

    Đường thẳng giới hạn ở một đầu và không giới hạn ở đầu kia được gọi là tia.

    Phần của đường thẳng giới hạn ở cả hai phía được gọi là đoạn thẳng.

    Mũi tiêm- Đây là hình hình học được tạo thành bởi hai tia (cạnh của một góc) xuất phát từ một điểm (đỉnh của góc). Hai đơn vị đo góc được sử dụng: radian và độ. Góc 90 ° được gọi là góc vuông; góc nhỏ hơn 90 ° được gọi là góc nhọn; Góc lớn hơn 90 ° được gọi là góc tù.

    Căn góc liền kề là các góc có đỉnh chung và cạnh chung; hai mặt còn lại là phần mở rộng của nhau. Tổng các góc liền kề là 180 °. Góc đứng là hai góc có một đỉnh chung, trong đó cạnh của một cạnh là phần mở rộng của các cạnh còn lại.

    Phân giác góc gọi là tia phân giác một góc.

    Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau, bất kể chúng được tiếp tục trong bao lâu. Tất cả các đường thẳng song song với một đường thẳng thì song song với nhau. Tất cả các đường vuông góc với cùng một đường thẳng thì song song với nhau và ngược lại, một đường vuông góc với một trong những đường thẳng song song thì vuông góc với những đường thẳng kia. Độ dài của đoạn vuông góc nằm giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách giữa chúng. Khi hai đường thẳng song song cắt với đường thẳng thứ ba thì tạo thành tám góc, gọi là các cặp: các góc tương ứng (các góc này là một cặp bằng nhau); các góc nằm chéo trong (chúng bằng nhau từng cặp); các góc nằm chéo ngoài (chúng bằng nhau từng cặp); các góc một phía bên trong (tổng của chúng là 180 °); các góc một phía bên ngoài (tổng của chúng là 180 °).

    Định lý Thales. Khi các cạnh của một góc được cắt bởi các đường thẳng song song thì các cạnh của góc đó được chia thành các đoạn tỉ lệ.

    Tiên đề hình học. Tiên đề về thuộc: qua hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng, người ta có thể vẽ một đường thẳng và hơn nữa, chỉ một đường thẳng. Tiên đề về thứ tự: trong số ba điểm bất kỳ nằm trên một đường thẳng thì có nhiều nhất một điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

    Tiên đề về sự đồng dư (bình đẳng)đoạn và góc: nếu hai đoạn (góc) đồng dư với đoạn thứ ba, thì chúng đồng dư với nhau. Tiên đề về đường thẳng song song: qua một điểm bất kỳ nằm ngoài một đường thẳng, ta có thể vẽ một đường thẳng khác song song với đường thẳng đã cho, và hơn nữa, chỉ một đường thẳng.

    Tiên đề về tính liên tục (Tiên đề của Archimedes): với hai đoạn AB và CD bất kỳ, tồn tại một tập hợp hữu hạn các điểm A1, A2,…, An nằm trên đoạn thẳng AB sao cho các đoạn AA1, A1A2,…, An-1An đồng dư với đoạn thẳng CD và điểm B nằm giữa A và An.

    Một hình phẳng được tạo thành bởi một chuỗi các đoạn khép kín được gọi là một đa giác.
    Tùy thuộc vào số góc, một đa giác có thể là tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, ... Tổng các độ dài được gọi là chu vi và được ký hiệu là p.
    Nếu tất cả các đường chéo nằm bên trong đa giác, nó được gọi là lồi. Tổng các góc trong của một đa giác lồi là 180 ° * (n-2), trong đó n là số góc (hoặc số cạnh) của đa giác.

    Tam giác là một đa giác có ba cạnh (hoặc ba góc). Nếu cả ba góc đều nhọn thì nó là tam giác nhọn. Nếu một trong các góc vuông thì nó là tam giác vuông; các mặt tạo thành một góc vuông gọi là chân; cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền. Nếu một trong các góc là góc tù thì đó là một tam giác tù. Một tam giác là cân nếu hai cạnh của nó bằng nhau. Một tam giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng nhau.

    Trong tam giác vuông, các quan hệ sau là đúng:

    Diện tích tam giác vuông:

    Bán kính của đường tròn nội tiếp:

    Trong một tam giác tùy ý:

    Một hình tròn có thể được nội tiếp trong bất kỳ đa giác đều nào và một hình tròn có thể được mô tả xung quanh nó:

    Trong đó a là cạnh, n là số cạnh của đa giác, R là bán kính đường tròn nội tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp (đa giác đều).

    Diện tích của một đa giác đều:

    Độ dài của các cạnh và đường chéo được liên hệ với nhau theo công thức:

    Các tính chất cơ bản của hình tam giác:

    • đối diện với mặt lớn hơn nằm một góc lớn hơn và ngược lại;
    • các cạnh đối diện bằng nhau là các góc bằng nhau và ngược lại;
    • tổng các góc của một tam giác là 180 °;
    • tiếp tục một trong các cạnh của tam giác, ta được góc ngoài. Góc ngoài của một tam giác bằng tổng các góc trong không kề với nó;
    • Bất kỳ cạnh nào của tam giác đều nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu của chúng.

    Dấu hiệu đồng dạng của tam giác: tam giác đồng dạng nếu chúng bằng nhau:

    • hai cạnh và góc giữa chúng;
    • hai góc và cạnh kề với chúng;
    • Ba cạnh.

    Trắc nghiệm bằng nhau trong tam giác vuông: Hai tam giác vuông đồng dạng nếu một trong các điều kiện sau là đúng:

    • hai chân của chúng bằng nhau;
    • chân và cạnh huyền của một tam giác bằng chân và cạnh huyền của tam giác kia;
    • cạnh huyền và góc nhọn của một tam giác bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác kia;
    • chân và góc cạnh kề của một tam giác bằng chân và góc nhọn liền kề của tam giác kia;
    • chân và góc nhọn đối diện của một tam giác bằng với chân và góc nhọn đối diện của tam giác kia.

    Chiều cao của một tam giác là đường vuông góc hạ xuống từ đỉnh bất kỳ đến cạnh đối diện (hoặc phần mở rộng của nó). Cạnh này được gọi là đáy của tam giác. Ba đường cao của một tam giác luôn cắt nhau tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác. Trực tâm của tam giác nhọn nằm bên trong tam giác và trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài; Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh của góc vuông.

    Công thức về chiều cao của một tam giác là:

    Trung bình là đoạn thẳng nối đỉnh bất kỳ của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Ba trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm luôn nằm bên trong tam giác và là trọng tâm của nó. Điểm này chia mỗi trung vị 2: 1 từ trên xuống.

    Bánh quy- Đây là đoạn đường phân giác của góc từ đỉnh đến giao điểm với cạnh đối diện. Ba đường phân giác của một tam giác cắt nhau tại một điểm luôn nằm bên trong tam giác và là tâm của đường tròn nội tiếp. Đường phân giác chia cạnh đối diện thành các phần tỉ lệ với các cạnh liền kề.
    Công thức đường phân giác của tam giác là:

    Trung vị vuông góc là một vuông góc được vẽ từ trung điểm của đoạn (cạnh). Ba đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm của đường tròn ngoại tiếp. Trong một tam giác nhọn, điểm này nằm bên trong tam giác; trong tù - bên ngoài; trong một hình chữ nhật - ở giữa cạnh huyền. Trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp chỉ trùng trong một tam giác đều.

    Định lý Pythagore. Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài các cạnh: c2 = a2 + b2.

    Trong trường hợp tổng quát (đối với một tam giác tùy ý) ta có: c2 = a2 + b2–2? A? B? CosC, với C là góc giữa các cạnh a và b.

    tứ giác- một hình được tạo thành bởi bốn điểm (đỉnh), không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng và bốn đoạn (cạnh) nối chúng nối tiếp với nhau, không được cắt nhau.

    Hình bình hành là một tứ giác có các cạnh đối diện song song với nhau. Hai cạnh đối diện bất kỳ của hình bình hành được gọi là đáy và khoảng cách giữa chúng được gọi là chiều cao.

    Thuộc tính hình bình hành:

    • các cạnh đối của hình bình hành bằng nhau;
    • các góc đối của một hình bình hành bằng nhau;
    • Các đường chéo của một hình bình hành được chia đôi tại giao điểm của chúng;
    • tổng bình phương các đường chéo của một hình bình hành bằng tổng bình phương bốn cạnh của nó.

    Diện tích hình bình hành:

    Bán kính đường tròn nội tiếp hình bình hành:

    Hình chữ nhật là hình bình hành có tất cả các góc bằng 90 °.

    Các tính chất cơ bản của hình chữ nhật.
    Các cạnh của hình chữ nhật cũng là chiều cao của nó.
    Các đường chéo của hình chữ nhật bằng: AC = BD.

    Bình phương đường chéo của hình chữ nhật bằng tổng bình phương các cạnh của nó (theo định lý Pitago).

    Diện tích hình chữ nhật: S = ab.

    Đường kính hình chữ nhật:

    Bán kính của hình tròn ngoại tiếp một hình chữ nhật:

    Hình thoi là hình bình hành có tất cả các cạnh bằng nhau. Các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau và phân giác các góc của chúng.

    Diện tích của hình thoi được biểu thị dưới dạng các đường chéo:

    Hình vuông là hình bình hành có các góc vuông và các cạnh bằng nhau. Hình vuông là một trường hợp đặc biệt của đồng thời hình chữ nhật và hình thoi, do đó, nó có tất cả các tính chất được liệt kê ở trên.

    Diện tích hình vuông:

    Bán kính của hình tròn ngoại tiếp hình vuông:

    Bán kính của hình tròn nội tiếp hình vuông:

    Đường chéo hình vuông:

    Bẫy là tứ giác có hai cạnh đối song song. Các cạnh song song được gọi là đáy của hình thang và hai cạnh còn lại được gọi là cạnh bên. Khoảng cách giữa các đế là chiều cao. Đoạn nối trung điểm của các cạnh được gọi là đường trung bình của hình thang. Đường trung trực của hình thang bằng nửa tổng của các đáy và song song với chúng. Hình thang có các cạnh bên bằng nhau được gọi là hình thang cân. Trong hình thang cân, các góc ở mỗi đáy bằng nhau.

    Khu vực Trapezium: , trong đó a và b là cơ sở, h là chiều cao.

    Đường trung trực của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh của tam giác. Đường trung trực của tam giác bằng nửa cạnh đáy và song song với nó. Tính chất này xuất phát từ tính chất của hình thang, vì tam giác có thể được coi là một trường hợp suy biến của hình thang, khi một trong các đáy của nó trở thành một điểm.

    Sự giống nhau của các hình máy bay. Nếu bạn thay đổi tất cả các kích thước của một hình phẳng cùng một số lần (tỷ lệ tương tự), thì hình cũ và hình mới được gọi là tương tự. Hai đa giác đồng dạng nếu các góc của chúng bằng nhau và các cạnh của chúng tỉ lệ với nhau.

    Dấu hiệu đồng dạng của tam giác. Hai tam giác đồng dạng nếu:

    • tất cả các góc tương ứng của chúng bằng nhau (hai góc là đủ);
    • tất cả các mặt của chúng đều tỷ lệ thuận;
    • hai cạnh của một tam giác tỷ lệ với hai cạnh của tam giác kia và các góc bao gồm giữa các cạnh này bằng nhau.

    Diện tích của các hình tương tự tỷ lệ với bình phương của các đường tương tự của chúng (ví dụ: cạnh, đường kính).

    Vị trí của các điểm là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước.

    Vòng tròn- Đây là quỹ tích của các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm, gọi là tâm của đường tròn. Đoạn nối tâm của đường tròn với bất kỳ điểm nào của nó được gọi là bán kính và được ký hiệu là - r. Phần của mặt phẳng giới hạn bởi một đường tròn được gọi là đường tròn. Một phần của hình tròn được gọi là cung tròn. Một đường thẳng đi qua hai điểm của một đường tròn được gọi là một đoạn thẳng, và đoạn thẳng của nó nằm bên trong đường tròn được gọi là một đoạn thẳng. Hợp âm đi qua tâm đường tròn được gọi là đường kính và kí hiệu là d. Đường kính là hợp âm lớn nhất, có độ lớn bằng hai bán kính: d = 2r.

    Trong đó a là giá trị thực, b là bán trục ảo.

    Phương trình của một mặt phẳng trong không gian:
    Ax + By + Cz + D = 0,
    trong đó x, y, z là tọa độ hình chữ nhật của một điểm biến đổi trên mặt phẳng, A, B, C là các số không đổi.
    Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn vuông góc với bán kính vẽ tại điểm này được gọi là tiếp tuyến. Điểm này được gọi là điểm tiếp xúc.

    Thuộc tính tiếp tuyến:

    • Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính vẽ tiếp điểm;
    • từ một điểm bên ngoài đường tròn kẻ được hai tiếp tuyến với cùng một đường tròn; các đoạn của chúng bằng nhau.

    Bộ phận- đây là phần của vòng tròn được giới hạn bởi một cung và hợp âm tương ứng. Độ dài của đường vuông góc vẽ từ giữa hợp âm đến giao điểm với dây cung được gọi là độ cao của đoạn.

    Khu vực- đây là một phần của đường tròn giới hạn bởi một cung và hai bán kính được vẽ ở hai đầu của cung này.

    Các góc trong một vòng tròn. Góc ở tâm là góc tạo bởi hai bán kính. Góc nội tiếp là góc tạo bởi hai dây hợp thành từ điểm chung của chúng. Góc được mô tả là góc tạo thành bởi hai tiếp tuyến vẽ từ một điểm chung.

    Công thức này là cơ sở để xác định số đo radian của các góc. Số đo radian của một góc bất kỳ là tỷ số giữa độ dài của một cung được vẽ bởi một bán kính tùy ý và được bao giữa các cạnh của góc này với bán kính của nó.

    Quan hệ giữa các phần tử của đường tròn.

    Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm dựa trên cùng một dây cung. Do đó, tất cả các góc nội tiếp trên cùng một cung đều bằng nhau. Và vì góc ở tâm chứa cùng số độ với cung của nó, nên bất kỳ góc nội tiếp nào cũng được đo bằng nửa cung mà nó nằm trên đó.

    Tất cả các góc nội tiếp dựa trên hình bán nguyệt đều là góc vuông.

    Góc do hai hợp âm tạo thành được đo bằng một nửa tổng số cung bao giữa các cạnh của nó.

    Góc tạo bởi hai mặt cắt được đo bằng nửa chênh lệch của các cung bao giữa các cạnh của nó.

    Góc tạo bởi một tiếp tuyến và một hợp âm được đo bằng một nửa cung bao bên trong nó.

    Góc tạo bởi tiếp tuyến và mặt tiếp tuyến được đo bằng nửa độ chênh lệch của các cung bao giữa các cạnh của nó.

    Góc được mô tả, tạo bởi hai tiếp tuyến, được đo bằng nửa hiệu của các cung bao giữa các cạnh của nó.

    Tích của các đoạn hợp âm mà chúng được chia cho giao điểm là bằng nhau.

    Hình vuông của một tiếp tuyến bằng tích của mặt cắt và phần bên ngoài của nó.

    Một hợp âm vuông góc với đường kính được chia đôi tại giao điểm của chúng.

    Một đa giác được gọi là nội tiếp trong một đường tròn, các đỉnh của chúng nằm trên một đường tròn. Đa giác ngoại tiếp đường tròn là đa giác có các cạnh là tiếp tuyến của đường tròn. Theo đó, một đường tròn đi qua các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác; Đường tròn mà các cạnh của đa giác là tiếp tuyến được gọi là đường tròn nội tiếp. Đối với một đa giác tùy ý, không thể ghi vào nó và mô tả một hình tròn xung quanh nó. Đối với một tam giác, khả năng này luôn tồn tại.

    Một đường tròn có thể nội tiếp một tứ giác nếu tổng các cạnh đối diện của nó bằng nhau. Đối với hình bình hành, điều này chỉ có thể thực hiện được đối với hình thoi (hình vuông). Tâm của đường tròn nội tiếp nằm tại giao điểm của các đường chéo. Một đường tròn có thể ngoại tiếp một tứ giác nếu tổng các góc đối diện của nó bằng 180 °. Đối với hình bình hành, điều này chỉ có thể thực hiện được đối với hình chữ nhật (hình vuông). Tâm của đường tròn ngoại tiếp nằm tại giao điểm của hai đường chéo. Một hình tròn có thể được mô tả xung quanh một hình thang nếu nó là hình cân. Đa giác đều là đa giác có các cạnh và các góc bằng nhau.

    Tứ giác đều là hình vuông; tam giác vuông là tam giác đều. Mỗi góc của một đa giác đều bằng 180 ° (n - 2) / n, với n là số góc của nó. Bên trong một đa giác đều có một điểm O, cách đều tất cả các đỉnh của nó, được gọi là tâm của một đa giác đều. Tâm của một đa giác đều cũng cách đều tất cả các cạnh của nó. Một đường tròn có thể nội tiếp một đa giác đều và một đường tròn có thể ngoại tiếp nó. Tâm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của một đa giác đều. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp là bán kính của một đa giác đều và bán kính của đường tròn nội tiếp là bán kính của nó.

    Tiên đề cơ bản của phép lập thể.

    Dù là mặt phẳng nào, có những điểm thuộc mặt phẳng này và những điểm không thuộc mặt phẳng này.

    Nếu hai mặt phẳng khác nhau có điểm chung thì chúng cắt nhau theo đường thẳng đi qua điểm này.

    Nếu hai đường thẳng phân biệt có điểm chung thì có thể vẽ một và chỉ một mặt phẳng qua chúng.

    Qua ba điểm nằm trên một đường thẳng, người ta có thể vẽ vô số mặt phẳng, trong trường hợp này tạo thành một bó mặt phẳng. Đường thẳng mà mọi mặt phẳng của chùm đi qua được gọi là trục của chùm. Qua bất kỳ đường thẳng và một điểm nằm ngoài đường thẳng này, một và chỉ một mặt phẳng có thể được vẽ. Qua hai đường thẳng không phải lúc nào cũng vẽ được mặt phẳng, khi đó các đường thẳng này được gọi là đường xiên.

    Các đường thẳng chéo nhau không cắt nhau, dù chúng có tiếp tục bao lâu, nhưng chúng không phải là đường thẳng song song, vì chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Chỉ các đường thẳng song song là các đường thẳng không cắt nhau mà qua đó có thể vẽ một mặt phẳng. Sự khác biệt giữa đường xiên và đường thẳng song song là các đường thẳng song song có cùng hướng, nhưng đường xiên thì không. Qua hai đường thẳng cắt nhau luôn vẽ được một và chỉ một mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai đường xiên là độ dài của đoạn thẳng nối các điểm gần nhất nằm trên các đường xiên. Các mặt phẳng không cắt nhau gọi là mặt phẳng song song. Một mặt phẳng và một đường thẳng cắt nhau (tại một điểm) hoặc chúng không cắt nhau. Trong trường hợp sau, đường thẳng và mặt phẳng được cho là song song với nhau.

    Thả vuông góc từ một điểm xuống một mặt phẳng là đoạn thẳng nối điểm đã cho với một điểm trong mặt phẳng và chạy trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

    Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng là đáy của vuông góc thả từ điểm lên mặt phẳng. Hình chiếu của một đoạn lên mặt phẳng P là một đoạn có các đầu là hình chiếu của các điểm thuộc đoạn này.

    Góc nhị diện là hình được tạo bởi hai nửa mặt phẳng có một đường thẳng chung bao quanh chúng. Các nửa mặt phẳng được gọi là mặt, và đường thẳng giới hạn chúng được gọi là cạnh của góc nhị diện. Mặt phẳng vuông góc với cạnh cho một góc tại giao tuyến của nó với các nửa mặt phẳng được gọi là pháp tuyến của góc nhị diện. Góc nhị diện được đo bằng góc pháp tuyến của nó.

    góc đa diện. Nếu ta vẽ một tập hợp các mặt phẳng đi qua một điểm cắt nhau liên tiếp theo các đường thẳng, ta được một hình gọi là góc đa diện. Các mặt phẳng tạo thành một góc đa diện được gọi là các mặt của nó; Các đường mà các mặt liên tiếp cắt nhau được gọi là các cạnh của góc đa diện. Số mặt của một góc đa diện nhỏ nhất là ba.

    Các mặt phẳng song song được cắt ra trên các cạnh của một góc đa diện, các đoạn thẳng tỉ lệ và tạo thành các đa giác đồng dạng.

    Dấu hiệu nhận biết sự song song của đường thẳng và mặt phẳng.

    Nếu một đường thẳng nằm bên ngoài một mặt phẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó thì nó song song với mặt phẳng đó.

    Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

    Dấu hiệu của các mặt phẳng song song:

    • Nếu hai đường thẳng chéo nhau trong một mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau trong một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng này song song với nhau.
    • Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.
    • Dấu hiệu tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
    • Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
    • Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong các đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

    Đường thẳng cắt một mặt phẳng và không vuông góc với nó được gọi là đường xiên với mặt phẳng.

    Định lý ba góc vuông

    Một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với hình chiếu của một mặt phẳng xiên lên mặt phẳng này thì cũng vuông góc với chính đường xiên đó.

    Dấu hiệu của các đường thẳng song song trong không gian:

    • Nếu hai đường thẳng vuông góc với cùng một mặt phẳng thì chúng song song.
    • Nếu một trong hai mặt phẳng cắt nhau chứa một đường thẳng song song với một mặt phẳng khác thì nó song song với đường giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

    Phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng trong hệ tọa độ hình chữ nhật xy:
    ax + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các số không đổi, x và y là tọa độ của điểm M (x, y) trên đường thẳng.

    Dấu hiệu của các đường thẳng song song:

    Dấu hiệu nhận biết tính vuông góc của các mặt phẳng: nếu một mặt phẳng đi qua một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì các mặt phẳng này vuông góc với nhau.

    Định lý về đường vuông góc chung của hai đường xiên.Để hai đường thẳng chéo nhau có một đường vuông góc chung duy nhất.

    Khối đa diện- đây là một cơ thể, ranh giới của nó bao gồm các mảnh của mặt phẳng (đa giác). Các đa giác này được gọi là các mặt, các cạnh của chúng được gọi là các cạnh, các đỉnh của chúng là các đỉnh của hình đa diện. Các đoạn nối hai đỉnh và không nằm trên cùng một mặt được gọi là các đường chéo của hình đa diện. Một hình đa diện là lồi nếu tất cả các đường chéo của nó nằm bên trong nó.

    Khối lập phương- Hình ba chiều có sáu mặt bằng nhau.

    Thể tích và diện tích bề mặt của một khối lập phương:

    Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt (đáy của hình lăng trụ) là các đa giác bằng nhau với các cạnh tương ứng là song song và các mặt còn lại là hình bình hành.

    Các đoạn nối các đỉnh tương ứng được gọi là các cạnh bên. Chiều cao của một hình lăng trụ là một hình vuông góc thả từ bất kỳ điểm nào của mặt đáy xuống mặt phẳng của mặt đáy kia. Tùy thuộc vào hình dạng của đa giác nằm ở đáy mà lăng trụ có thể là tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, ... Nếu các cạnh bên của lăng trụ vuông góc với mặt phẳng đáy thì lăng trụ đó là gọi là đường thẳng; ngược lại, nó là một lăng trụ xiên. Nếu một đa giác đều nằm ở đáy của một hình lăng trụ thẳng thì hình lăng trụ đó cũng được gọi là hình đều. Đường chéo của hình lăng trụ là đoạn nối hai đỉnh của hình lăng trụ không cùng thuộc một mặt.

    Diện tích mặt bên của hình lăng trụ thẳng:
    S bên \ u003d P * H, trong đó P là chu vi của cơ sở và H là chiều cao.

    Song song là một lăng trụ có các đáy là hình bình hành. Do đó, hình bình hành có sáu mặt và tất cả chúng đều là hình bình hành. Các mặt đối diện là các cặp bằng nhau và song song. Hình bình hành có bốn đường chéo; tất cả chúng giao nhau tại một điểm và chia đôi tại đó.

    Nếu bốn mặt bên của một hình bình hành là hình chữ nhật thì nó được gọi là hình thẳng. Hình bình hành bên phải, trong đó cả sáu mặt đều là hình chữ nhật, được gọi là hình chữ nhật. Đường chéo của hình chữ nhật song song d và các cạnh a, b, c của nó liên hệ với nhau bằng quan hệ d2 = a2 + b2 + c2. Một hình chữ nhật có hình bình hành, tất cả các mặt đều là hình vuông, được gọi là hình lập phương. Tất cả các cạnh của hình lập phương đều bằng nhau.

    Thể tích và diện tích bề mặt của một hình chữ nhật có hình bình hành:
    V = a * b * c, S tổng = 2 (ab + ac + bc).

    Kim tự tháp là một hình đa diện trong đó một mặt (đáy của hình chóp) là một đa giác tùy ý, và các mặt còn lại (các mặt bên) là các tam giác có một đỉnh chung, gọi là đỉnh của hình chóp. Đường vuông góc thả từ đỉnh của hình chóp xuống mặt đáy của nó được gọi là đường cao của hình chóp. Tùy thuộc vào hình dạng của đa giác nằm ở đáy mà hình chóp có thể là tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, ... Hình chóp tam giác đều là tứ diện, hình chóp tứ giác đều là hình chóp tứ diện, ... nếu cơ sở là đa giác và chiều cao của nó giảm xuống tâm của đáy. Tất cả các cạnh bên của hình chóp đều; tất cả các mặt bên đều là tam giác cân. Chiều cao của mặt bên được gọi là đỉnh của hình chóp đều.

    Nếu ta vẽ một mặt cắt song song với mặt đáy của hình chóp thì phần nằm giữa hai mặt phẳng này và mặt bên được gọi là hình chóp cụt. Các mặt song song gọi là mặt đáy; khoảng cách giữa chúng là chiều cao. Một kim tự tháp bị cắt ngắn được gọi là đúng nếu kim tự tháp mà nó thu được là đúng. Tất cả các mặt bên của hình chóp cụt đều là hình thang cân.

    Diện tích mặt bên của hình chóp đều:
    , với P là chu vi của cơ sở; h là chiều cao của mặt bên (hình chóp đều).

    Thể tích của hình chóp cụt:

    Diện tích mặt bên của hình chóp cụt đều:
    ,
    trong đó P và P 'là chu vi của các đáy; h là chiều cao của mặt bên (hình chóp cụt đều).

    Một mặt trụ được hình thành bằng cách di chuyển một đường thẳng giữ nguyên hướng của nó và cắt với một đường (đường cong) cho trước. Dòng này được gọi là hướng dẫn. Các đường tương ứng với các vị trí khác nhau của đường khi nó chuyển động được gọi là các đường sinh của mặt trụ.

    Hình trụ là vật được giới hạn bởi mặt trụ có thanh dẫn kín và hai mặt phẳng song song. Các bộ phận của các mặt phẳng này được gọi là đáy của hình trụ. Khoảng cách giữa các đáy là chiều cao của hình trụ. Một hình trụ thẳng nếu các máy phát điện của nó vuông góc với mặt đáy; nếu không thì hình trụ nghiêng. Hình trụ được gọi là hình tròn nếu đáy của nó là hình tròn. Nếu một hình trụ vừa thẳng vừa là hình tròn thì nó được gọi là hình tròn. Hình lăng trụ là một trường hợp đặc biệt của hình trụ.

    Thể tích, diện tích các mặt bên và toàn phần của hình trụ:
    ,
    với R là bán kính của các đáy; H là chiều cao của hình trụ.

    Hình trụ các mặt bên của hình trụ tròn.

    Mặt cắt song song với mặt đáy là những đường tròn có cùng bán kính.

    Các phần song song với các máy phát của hình trụ là các cặp đường thẳng song song.

    Các phần không song song với đế hoặc bộ tạo là hình elip.

    Một mặt nón được hình thành khi một đường thẳng chuyển động, luôn đi qua một điểm cố định và cắt một đường cho trước, được gọi là hướng dẫn. Các đường tương ứng với các vị trí khác nhau của đường khi nó di chuyển được gọi là đường sinh của bề mặt hình nón; điểm là đỉnh của nó. Bề mặt hình nón bao gồm hai phần: một phần được mô tả bằng một tia, phần kia bằng sự tiếp nối của nó.

    Thông thường, một trong những bộ phận của nó được coi là bề mặt hình nón.

    Hình nón- đây là vật được giới hạn bởi một trong các phần của bề mặt hình nón có đường dẫn kín và mặt phẳng cắt mặt hình nón không đi qua đỉnh.

    Phần của mặt phẳng này nằm bên trong mặt nón được gọi là mặt đáy của hình nón. Vuông góc thả từ đỉnh xuống mặt đáy gọi là đường cao của hình nón.

    Hình chóp là một trường hợp đặc biệt của hình nón. Hình nón được gọi là hình tròn nếu đáy của nó là hình tròn. Đường thẳng nối đỉnh của hình nón với tâm của đáy gọi là trục của hình nón. Nếu chiều cao của một hình nón tròn trùng với trục của nó thì một hình nón như vậy được gọi là hình tròn.

    Thể tích, diện tích các mặt bên và toàn phần của hình nón:
    ,
    với r là bán kính; Sosn - khu vực; P là chu vi của cơ sở; L là độ dài của ma trận; H là chiều cao của hình nón.

    Thể tích và diện tích mặt bên của hình nón cụt:

    Các phần conic.

    Các phần của một hình nón tròn song song với đáy của nó là các đường tròn.

    Phần chỉ cắt một phần của hình nón tròn và không song song với bất kỳ phần nào của nó là một hình elip.

    Phần chỉ cắt một phần của hình nón tròn và song song với một trong các đường sinh của nó là một parabol.

    Phần cắt cả hai phần của một hình nón tròn nói chung là một hyperbol bao gồm hai nhánh. Đặc biệt, nếu phần này đi qua trục của hình nón thì ta thu được một cặp đường thẳng cắt nhau (tạo thành một hình nón).

    bề mặt hình cầu- Đây là quỹ tích của các điểm trong không gian, cách đều một điểm gọi là tâm của mặt cầu.

    Quả cầu (quả cầu) là một cơ thể được giới hạn bởi một mặt cầu. Bạn có thể lấy một quả bóng bằng cách xoay một hình bán nguyệt (hoặc hình tròn) xung quanh đường kính. Tất cả các mặt phẳng của hình cầu đều là hình tròn. Đường tròn lớn nhất nằm ở phần đi qua tâm của quả bóng, và được gọi là đường tròn lớn. Bán kính của nó bằng bán kính của mặt cầu. Hai đường tròn lớn bất kỳ cắt nhau theo đường kính của quả bóng. Đường kính này cũng là đường kính của các vòng tròn lớn giao nhau. Qua hai điểm của một mặt cầu nằm ở hai đầu của cùng một đường kính, người ta có thể vẽ vô số đường tròn lớn.

    Thể tích của một hình cầu nhỏ hơn một lần rưỡi so với thể tích của hình trụ được mô tả xung quanh nó, và bề mặt của quả bóng nhỏ hơn một lần rưỡi so với tổng diện tích của cùng một hình trụ.

    Phương trình của mặt cầu trong hệ tọa độ hình chữ nhật là:
    (x-x0) + (y-y) 2+ (z-z0) = R2,
    ở đây x, y, z là tọa độ của một điểm thay đổi trên mặt cầu;
    x0, y0, z0 - tọa độ của tâm;
    R là bán kính của mặt cầu.

    Thể tích khối cầu và diện tích khối cầu:

    Thể tích của hình cầu và diện tích của thiết diện:
    ,
    với h là chiều cao của đoạn hình cầu.

    Thể tích và tổng diện tích bề mặt của khối cầu:
    ,
    trong đó R là bán kính của quả bóng; h là chiều cao của đoạn hình cầu.

    Thể tích và tổng diện tích bề mặt của lớp hình cầu:
    ,
    trong đó h là chiều cao; r1 và r2 là bán kính của các đáy của lớp hình cầu.

    Thể tích và diện tích bề mặt của hình xuyến:
    ,
    với r là bán kính của hình tròn; R là khoảng cách từ tâm đường tròn đến trục quay.

    Độ cong trung bình của bề mặt S tại điểm A0:

    bộ phận bóng. Một phần của quả cầu (hình cầu), cắt khỏi nó bởi một mặt phẳng bất kỳ, được gọi là đoạn hình cầu (hình cầu). Đường tròn được gọi là đáy của đoạn hình cầu. Đoạn vuông góc kẻ từ tâm đường tròn đến giao điểm với mặt cầu được gọi là đường cao của đoạn mặt cầu. Phần mặt cầu nằm giữa hai mặt phẳng song song cắt mặt cầu được gọi là lớp mặt cầu; bề mặt cong của một lớp hình cầu được gọi là vành đai hình cầu (đới). Khoảng cách giữa các đáy của vành đai hình cầu là chiều cao của nó. Phần của quả bóng được giới hạn bởi mặt cong của đoạn cầu và mặt nón, đáy là đáy của đoạn và đỉnh là tâm của quả bóng, được gọi là mặt cầu.

    Đối diện.

    Đối xứng gương. Một hình hình học được cho là đối xứng với mặt phẳng S nếu với mỗi điểm E của hình này có thể tìm được điểm E 'của cùng một hình sao cho đoạn EE' vuông góc với mặt phẳng S và được chia cho máy bay này một nửa. Mặt phẳng S được gọi là mặt phẳng đối xứng. Hình, vật và vật đối xứng không bằng nhau theo nghĩa hẹp của từ này gọi là gương bằng.

    đối xứng trung tâm. Một hình được cho là đối xứng với tâm C nếu với mỗi điểm A của hình này có thể tìm được điểm E của cùng một hình sao cho đoạn thẳng AE đi qua tâm C và là tia phân giác tại điểm này. Điểm C trong trường hợp này được gọi là tâm đối xứng.

    phép quay đối xứng. Một vật có phép quay đối xứng nếu khi quay một góc 360 ° / n (n là số nguyên) quanh một đoạn thẳng AB (trục đối xứng) thì nó hoàn toàn trùng với vị trí ban đầu. Với n = 2 ta có phép đối xứng trục.

    Ví dụ về các loại đối xứng. Một quả cầu (mặt cầu) có cả phép đối xứng tâm và gương và đối xứng quay. Tâm đối xứng là tâm của quả cầu; mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng của bất kỳ đường tròn lớn nào; trục đối xứng là đường kính của quả bóng.

    Hình nón tròn đối xứng trục; trục đối xứng là trục của hình nón.

    Một lăng trụ thẳng có phép đối xứng qua gương. Mặt phẳng đối xứng song song với các đáy của nó và nằm ở cùng một khoảng cách giữa chúng.

    Tính đối xứng của các hình phẳng.

    Phép đối xứng trục gương. Nếu một hình phẳng đối xứng với một mặt phẳng (điều này chỉ có thể xảy ra nếu hình phẳng vuông góc với mặt phẳng đó), thì đường thẳng mà các mặt phẳng này cắt nhau là trục đối xứng bậc hai của hình này. Trong trường hợp này, hình được gọi là đối xứng qua gương.

    đối xứng trung tâm. Nếu một hình phẳng có trục đối xứng bậc hai, vuông góc với mặt phẳng của hình đó thì điểm mà đường thẳng và mặt phẳng của hình đó cắt nhau là tâm đối xứng.

    Các ví dụ về tính đối xứng của các hình phẳng.

    Hình bình hành chỉ có phép đối xứng tâm. Tâm đối xứng của nó là giao điểm của các đường chéo.
    Hình thang cân chỉ có phép đối xứng trục. Trục đối xứng của nó là một đường vuông góc được vẽ qua trung điểm của các đáy của hình thang.

    Hình thoi có cả phép đối xứng tâm và trục. Trục đối xứng của nó là bất kỳ đường chéo nào của nó; tâm đối xứng là giao điểm của chúng.

    Quỹ tích của các điểm (sau đây gọi là GMT) là một hình phẳng bao gồm các điểm có một tính chất nhất định và không chứa một điểm nào không có tính chất này.

    Chúng tôi sẽ chỉ xem xét những HMT có thể được xây dựng bằng cách sử dụng la bàn và thước thẳng.

    Chúng ta hãy xem xét HMT trên mặt phẳng, có các đặc tính đơn giản nhất và được biểu diễn thường xuyên nhất:

    1) HMT, cách điểm O cho trước một khoảng r, là một đường tròn tâm O bán kính r.

    2) GMT của hai điểm A và B cách đều hai điểm đã cho là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng AB và đi qua trung điểm của nó.

    3) GMT cách đều hai đường thẳng chéo nhau đã cho, có một cặp đường thẳng vuông góc với nhau đi qua giao điểm và chia đôi góc giữa hai đường thẳng đã cho.

    4) GMT, cách một đường thẳng h cùng một khoảng h, có hai đường thẳng song song với đường thẳng này và nằm về hai phía đối diện của nó một khoảng h cho trước.

    5) Quỹ tích các tâm của các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng m tại một điểm M cho trước, trên đó vuông góc với AB tại điểm M (trừ điểm M).

    6) Quỹ tích các tâm của đường tròn tiếp xúc với đường tròn tại điểm M cho trước, trên đó là đường thẳng đi qua điểm M và tâm của đường tròn đã cho (trừ các điểm M và O).

    7) HMT, trong đó đoạn này có thể nhìn thấy ở một góc nhất định, là hai cung tròn được mô tả trên một đoạn nhất định và bao quanh một góc nhất định.

    8) GMT, khoảng cách từ đó đến hai điểm A và B đã cho theo tỉ lệ m: n, là một đường tròn (gọi là đường tròn Apollonius).

    9) Quỹ tích của các trung điểm của các hợp âm vẽ từ một điểm của một đường tròn là một đường tròn được dựng trên đoạn nối một điểm đã cho với tâm của một đường tròn đã cho, như trên một đường kính.

    10) Quỹ tích các đỉnh của tam giác bằng một đáy cho trước và có đáy là hai đường thẳng song song với đáy đi qua đỉnh của tam giác đã cho và đối xứng với nó đối với đường thẳng chứa đáy.

    Hãy để chúng tôi đưa ra các ví dụ về cách tìm GMT.

    VÍ DỤ 2.Tìm GMT, là điểm giữa của hợp âm,được vẽ từ một điểm của vòng tròn đã cho(GMT số 9).

    Quyết định . Cho một đường tròn có tâm O và điểm A được chọn trên đường tròn này từ đó các hợp âm được vẽ. Hãy chứng minh rằng HMT mong muốn là một đường tròn được xây dựng trên AO là một đường kính (ngoại trừ điểm A) (Hình 3).

    Gọi AB là một dây cung và M là trung điểm của nó. Hãy nối M và O. Khi đó MO ^ AB (bán kính chia đôi hợp âm vuông góc với hợp âm này). Tuy nhiên, RAMO = 90 0. Vậy M thuộc đường tròn có đường kính AO (GMT số 7). Tại vì đường tròn này đi qua điểm O thì O thuộc GMT của chúng ta.


    Ngược lại, cho M thuộc GMT của chúng ta. Sau đó, vẽ dây AB qua M và nối M và O, chúng ta nhận được rằng РАМО = 90 0, tức là MO ^ AB, và do đó, M là trung điểm của dây AB. Nếu M trùng với O thì O là trung điểm của AC.

    Thường thì phương pháp tọa độ cho phép bạn tìm GMT.

    VÍ DỤ 3.Tìm GMT, khoảng cách từ đó đến hai điểm A và B cho trước theo tỉ lệ m: n (m ≠ n) cho trước.

    Quyết định . Ta chọn hệ trục tọa độ hình chữ nhật sao cho điểm A và điểm B nằm trên trục Ox đối xứng với gốc tọa độ, trục Oy đi qua trung trực của AB (Hình 4). Ta đặt AB = 2a. Khi đó điểm A có tọa độ A (a, 0), điểm B có tọa độ B (-a, 0). Gọi C thuộc HMT, tọa độ C (x, y) và CB / CA = m / n. Nhưng Có nghĩa

    (*)

    Hãy thay đổi phương trình của chúng tôi. Chúng ta có

    Các cơ quan khác nhau về trọng lượng, màu sắc, mật độ, độ cứng, không gian mà chúng chiếm giữ, v.v.

    Những dấu hiệu này được gọi là thuộc tính của cơ thể.

    Các cơ quan có các thuộc tính này được gọi là cơ thể vật lý.

    Giữa các thuộc tính này, thuộc tính của phần thân được gọi là chiều dài.

    Chiều dài có tài sản của một cơ thể để chiếm một vị trí nhất định trong không gian.

    Nó được gọi là thuộc tính hình học của cơ thể. Thuộc tính này xác định hình dạng và kích thước của cơ thể.

    Phần thân chỉ có một thuộc tính mở rộng được gọi là phần thân hình học. Khi xem xét một khối hình học, chỉ chú ý đến hình dạng và kích thước của nó.

    Các thuộc tính còn lại của cơ thể được gọi là vật chất.

    cơ thể hình học có không gian bị chiếm bởi cơ thể vật chất.

    Cơ thể hình học được giới hạn ở tất cả các bên. Nó được ngăn cách với phần còn lại của không gian bằng bề mặt của cơ thể. Để thể hiện điều này, họ nói rằng

    Bề mặt có giới hạn cơ thể.

    Một bề mặt được ngăn cách với bề mặt kia bằng một đường kẻ. Đường xác định bề mặt, vì vậy đường được gọi là đường biên của bề mặt.

    Đường kẻ có giới hạn bề mặt.

    Cuối dòng được gọi là dấu chấm. Một điểm phân định và phân tách một đường này với một đường khác, đó là lý do tại sao một điểm được gọi là đường biên.

    Chấm có giới hạn dòng.

    Hình 1 cho thấy một cơ thể ở dạng hộp đóng ở tất cả các bên. Nó được bao quanh bởi sáu mặt tạo thành bề mặt của hộp. Mỗi mặt của hộp có thể được xem như một bề mặt riêng biệt. Các mặt này được ngăn cách với nhau bằng 12 đường tạo thành các cạnh của hộp. Các đường thẳng cách nhau 8 điểm tạo nên các góc của hộp.

    Cơ thể, bề mặt và đường nét không cùng kích thước. Điều này có nghĩa là chúng chiếm một không gian không bằng nhau, hoặc một mức độ không bằng nhau.

    khối lượng cơ thể. Giá trị của một vật thể hình học được gọi là thể tích hay dung tích của vật thể.

    diện tích bề mặt. Diện tích bề mặt được gọi là diện tích.

    Độ dài dòng. Độ dài của đoạn thẳng được gọi là độ dài.

    Chiều dài, diện tích và thể tích là những đại lượng không đồng nhất. Chúng được đo bằng các đơn vị khác nhau và được sử dụng cho các mục đích khác nhau. Để tìm khoảng cách của hai vật, chiều rộng sải tay, chiều sâu của giếng, chiều cao của tháp, hãy xác định độ dài đoạn thẳng. Đối với điều này, chỉ một phép đo được thực hiện, tức là phép đo được thực hiện theo một hướng. Khi đo, hãy sử dụng các đơn vị đo độ dài. Các đơn vị đo chiều dài này được gọi là versts, sazhens, arshins, feet, mét, v.v. Đơn vị đo chiều dài có một chiều, đó là lý do tại sao họ nói như vậy

    Các dòng có một thứ nguyên. Các dòng không có chiều rộng cũng không có độ dày. Chúng có cùng chiều dài.

    Để có ý tưởng về kích thước của bức tranh, bạn cần biết chiều dài và chiều rộng của nó. Chiều dài và chiều rộng cho ta một ý tưởng về diện tích của bức tranh. Để xác định diện tích, cần phải thực hiện hai phép đo hoặc đo bức tranh theo hai hướng. Để xác định kích thước của khu vực, đơn vị diện tích được sử dụng. Một hình vuông được lấy làm đơn vị diện tích, các cạnh của chúng có một đơn vị độ dài nhất định. Các đơn vị diện tích được gọi là dặm vuông, so với vuông, foot vuông, v.v. Một verst vuông là diện tích của một hình vuông có mỗi cạnh bằng verst, v.v. Một đơn vị diện tích có hai kích thước: chiều dài và chiều rộng. Vì các bề mặt được đo bằng đơn vị diện tích, nên theo nghĩa này, chúng nói rằng

    Các bề mặt có hai chiều. Các bề mặt không có độ dày. Chúng chỉ có thể có chiều dài và chiều rộng.

    Để có ý tưởng về sức chứa của một phòng hoặc hộp, bạn cần biết thể tích của chúng. Để làm được điều này, bạn cần phải biết chiều dài, chiều rộng và chiều cao của căn phòng, tức là thực hiện ba phép đo hoặc đo nó theo ba hướng. Các khối lượng được đo bằng đơn vị thể tích. Một hình lập phương được lấy làm đơn vị thể tích, mỗi cạnh của chúng bằng một. Đơn vị thể tích có ba kích thước: chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Vì khối lượng được đo bằng đơn vị thể tích, chúng tôi nói rằng

    Các cơ quan có ba chiều.

    Các đơn vị thể tích được gọi là đấu khối, foot khối, v.v ... Tùy thuộc vào độ dài của cạnh của hình lập phương.

    Một điểm không có chiều dài, không có chiều rộng, không có chiều cao hoặc một điểm không có thứ nguyên.

    phần mở rộng hình học. Đường thẳng, bề mặt và chất rắn được gọi là phần mở rộng hình học.

    Hình học là khoa học về các thuộc tính và phép đo các phần mở rộng hình học.

    Hình học là khoa học về không gian. Nó đặt ra một tập hợp các mối quan hệ cần thiết liên quan đến bản chất của không gian.

    Hình thành các phạm vi hình học bằng chuyển động

    Một đường có thể được xem theo cách giống như một vết do chuyển động của một điểm để lại, một bề mặt như một vết do chuyển động của một đường để lại và một phần thân như một vết do chuyển động của một bề mặt để lại. Các định nghĩa khác về đường thẳng, bề mặt và chất rắn dựa trên những cân nhắc này.

    Đường kẻ là quỹ tích của điểm chuyển động.

    Bề mặt là quỹ tích của đường chuyển động.

    Thân hình là quỹ tích của bề mặt chuyển động.

    Tất cả các đối tượng được xem xét trong tự nhiên đều có ba chiều. Không có điểm, không có đường thẳng, không có bề mặt trong nó, mà chỉ có các cơ thể tồn tại. Tuy nhiên, trong hình học, các điểm, đường thẳng và bề mặt được coi là riêng biệt với các vật thể. Đồng thời, một lớp vỏ rất mỏng của phần thân cho chúng ta hình ảnh gần đúng về bề mặt, một sợi hoặc sợi tóc rất mỏng cho chúng ta hình ảnh trực quan về đoạn thẳng và phần cuối của sợi về điểm.

    dòng

    Đường được chia thành đường thẳng, đường đứt khúc và đường cong.

    là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm.

    Một sợi chỉ mỏng được kéo căng chặt chẽ cho ta một số hình ảnh về một đường thẳng.

    Bất kỳ dòng nào được biểu thị bằng các chữ cái đặt tại các điểm của nó. Hình 2 vẽ đoạn thẳng AB. Trong mỗi đường thẳng, sự chú ý được thu hút vào chiều hướng và giá trị.

    Hướng của một đường thẳng được xác định bởi vị trí của nó.

    có sự nối tiếp và liên tục của một số đoạn thẳng có hướng khác nhau.

    Đoạn thẳng ABCD (hình 3) tạo bởi các đoạn thẳng AB, BC, CD không trùng phương.

    có một cái không thể được tạo bởi các đoạn thẳng.

    Dòng hiển thị trong Hình. 4, sẽ là một đường cong.

    Một đường bao gồm các đường thẳng và đường cong đôi khi được gọi là đường phức hợp.

    Hình vẽ (4, a) thể hiện một đường tổng hợp như vậy.

    bề mặt

    Các bề mặt được chia thành thẳng hoặc phẳng và cong. Một mặt phẳng được gọi là mặt phẳng.

    chiếc máy bay. Một bề mặt được gọi là mặt phẳng khi mọi đường thẳng vẽ qua hai điểm của bề mặt đều nằm trên nó với tất cả các điểm của nó.

    Bề mặt đường cong có một cái không thể được cấu tạo bởi các mặt phẳng.

    Một đường thẳng được vẽ giữa hai điểm bất kỳ của một mặt cong không khớp với tất cả các điểm trung gian của nó.

    Một số hình ảnh đại diện cho mặt phẳng được cho bởi bề mặt của một chiếc gương được đánh bóng tốt hoặc bề mặt đọng nước. Một ví dụ về các bề mặt cong là bề mặt của một quả bóng bi-a.

    Các phần của hình học

    Hình học được chia thành hình học phẳng và hình học rắn.

    Planimetry nghiên cứu tính chất của các phần mở rộng hình học xét trên mặt phẳng.

    Phép đo lập thể nghiên cứu các tính chất của các phần mở rộng hình học không thể biểu diễn trong một mặt phẳng.

    Planimetry được gọi là hình học trên mặt phẳng, hình học lập thể - hình học trong không gian.

    Hình học được chia thành sơ cấp và cao hơn. Trong tác phẩm hiện tại, chỉ có hình học ban đầu được trình bày.

    Các hình thức biểu thị chân lý hình học khác nhau

    Chân lý hình học được thể hiện dưới dạng tiên đề, định lý, bổ đề và các bài toán hoặc nhiệm vụ.

    Tiên đề có sự thật, nhưng bằng chứng của nó không cần bằng chứng.

    Ví dụ về sự thật không cần chứng minh là các tiên đề sau:

      Tổng thể bằng tổng các bộ phận của nó.

      Tổng thể lớn hơn một phần của nó. Các bộ phận nhỏ hơn toàn bộ.

      Hai đại lượng bằng một phần ba thì bằng nhau.

      Bằng cách cộng hoặc trừ các số lượng bằng nhau, chúng ta thu được các số lượng bằng nhau.

      Bằng cách cộng hoặc trừ các giá trị bằng nhau không bằng nhau, chúng ta thu được các giá trị không bằng nhau.

      Bằng cách cộng hoặc trừ các giá trị không bằng nhau bằng nhau, chúng ta thu được các giá trị không bằng nhau.

      Tổng của những cái lớn hơn là tổng của những cái nhỏ hơn.

      Một đại lượng đồng nhất, không hơn không kém một đại lượng khác, bằng nó, v.v.

    Định lý. Một định lý hoặc giả định là một chân lý cần phải chứng minh..

    Bằng chứng là một tập hợp các đối số làm cho định lý trở nên hiển nhiên.

    Định lý được chứng minh với sự trợ giúp của các tiên đề.

    Thành phần của định lý. Mọi định lý bao gồm một điều kiện và một kết luận.

    Điều kiện đôi khi được gọi là phỏng đoán, giả định và kết luận đôi khi được gọi là hậu quả. Điều kiện được đưa ra và do đó đôi khi có tên được cho.

    Một định lý được gọi là nghịch đảo nếu kết luận trở thành điều kiện, và điều kiện hoặc giả thiết trở thành kết luận. Trong trường hợp này, định lý này được gọi là một định lý trực tiếp. Không phải mọi định lý đều có nghịch đảo của nó.

    Vấn đề hoặc thách thức có một câu hỏi có thể được giải quyết với sự trợ giúp của các định lý.

    Bổ đề là một chân lý bổ trợ tạo điều kiện cho việc chứng minh định lý.

    Không tìm thấy câu trả lời cho câu hỏi của bạn? Nhìn vào đây
    Hai đầu và sáu chân; bốn người đi bộ, và hai người nằm yênHai đầu và sáu chân; bốn người đi bộ, và hai người nằm yên
    Lòng tự trọng - nó là gì: khái niệm, cấu trúc, các loại và cấp độLòng tự trọng - nó là gì: khái niệm, cấu trúc, các loại và cấp độ
    Con đường của Cassandra, hoặc Cuộc phiêu lưu Pasta Cuộc chiến trên Trái đất và Dưới lòng đấtCon đường của Cassandra, hoặc Cuộc phiêu lưu Pasta Cuộc chiến trên Trái đất và Dưới lòng đất