24.1. Khái niệm về một vi phân hàm

Cho hàm số y = ƒ (x) có đạo hàm khác 0 tại điểm x.

Khi đó, theo định lý về liên hệ của một hàm, giới hạn của nó và hàm nhỏ vô hạn, chúng ta có thể viết D y / D x \ u003d ƒ "(x) + α, trong đó α → 0 cho ∆x → 0, hoặc ∆y \ u003d ƒ "(x) ∆х + α ∆х.

Do đó, số gia của hàm ∆у là tổng của hai số hạng ƒ "(х) ∆х và ∆х, chúng có giá trị thập phân tại ∆x → 0. Trong trường hợp này, số hạng đầu tiên là một hàm nhỏ vô hạn của cùng thứ tự với ∆х, vì và số hạng thứ hai là một hàm nhỏ vô hạn của bậc cao hơn ∆x:

Do đó, số hạng đầu tiên ƒ "(x) ∆x được gọi là phần chính của gia số các hàm ∆у.

hàm vi phân y \ u003d ƒ (x) tại điểm x được gọi là phần chính của số gia của nó, bằng tích của đạo hàm của hàm và số gia của đối số, và được ký hiệu là dу (hoặc dƒ (x)):

dy \ u003d ƒ "(x) ∆x. (24,1)

Sự khác biệt dу còn được gọi là vi phân bậc nhất. Chúng ta hãy tìm vi phân của biến độc lập x, tức là vi phân của hàm y = x.

Vì y "= x" = 1 nên theo công thức (24.1), ta có dy = dx = ∆x, tức là vi phân của biến độc lập bằng số gia của biến này: dx = ∆x.

Do đó, công thức (24.1) có thể được viết như sau:

dy \ u003d ƒ "(x) dx, (24,2)

nói cách khác, vi phân của một hàm bằng tích của đạo hàm của hàm này và vi phân của biến độc lập.

Từ công thức (24.2) theo sau đẳng thức dy / dx \ u003d ƒ "(x). Bây giờ là ký hiệu

đạo hàm dy / dx có thể được xem như là tỷ số của vi phân dy và dx.

<< Пример 24.1

Tìm vi phân của hàm số ƒ (x) = 3x 2 -sin (l + 2x).

Lời giải: Theo công thức dy \ u003d ƒ "(x) dx ta tìm được

dy \ u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \ u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.

<< Пример 24.2

Tìm vi phân của một hàm

Tính dy tại x = 0, dx = 0,1.

Quyết định:

Thay x = 0 và dx = 0,1, ta được

24.2. Ý nghĩa hình học của vi phân của một hàm

Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu ý nghĩa hình học của vi phân.

Để thực hiện điều này, chúng ta vẽ tiếp tuyến MT với đồ thị của hàm số y \ u003d ƒ (x) tại điểm M (x; y) và xét hoành độ của tiếp tuyến này đối với điểm x + ∆x (xem Hình 138 ). Trong hình ½ AM½ = ∆x, | AM 1 | = ∆y. Từ tam giác vuông MAB ta có:

Tuy nhiên, theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, tga \ u003d ƒ "(x). Do đó, AB \ u003d ƒ" (x) ∆x.

So sánh kết quả thu được với công thức (24.1), ta được dy = AB, tức là vi phân của hàm số y = ƒ (x) tại điểm x bằng số hoành độ của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại thời điểm này, khi x nhận số gia ∆x.

Đây là ý nghĩa hình học của vi phân.

24.3 Các định lý vi phân cơ bản

Dễ dàng thu được các định lý chính về vi phân bằng cách sử dụng quan hệ giữa vi phân và đạo hàm của hàm số (dy = f "(x) dx) và các định lý tương ứng về đạo hàm.

Ví dụ: vì đạo hàm của hàm y \ u003d c bằng 0 nên vi phân của một giá trị hằng số bằng 0: dy \ u003d c "dx \ u003d 0 dx \ u003d 0.

Định lý 24.1. Vi phân của tổng, tích và thương của hai hàm phân biệt được xác định bằng các công thức sau:

Hãy để chúng tôi chứng minh, ví dụ, công thức thứ hai. Theo định nghĩa của vi phân, chúng ta có:

d (uv) = (uv) "dx = (uv" + vu ") dx = vu" dx + uv "dx = udv + vdu

Định lý 24.2. Vi phân của một hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm này đối với một đối số trung gian và vi phân của đối số trung gian này.

Gọi y = ƒ (u) và u = φ (x) là hai hàm phân biệt tạo thành hàm phức y = ƒ (φ (x)). Bằng định lý về đạo hàm của một hàm hợp, người ta có thể viết

y "x = y" u u "x.

Nhân cả hai phần của đẳng thức này với dx, chúng ta học được y "x dx \ u003d y" u u "x dx. Nhưng y" x dx \ u003d dy và u "x dx \ u003d du. Do đó, đẳng thức cuối cùng có thể được viết lại dưới dạng sau:

dy = y "u du.

So sánh các công thức dy = y "x dx và dy = y" u du, chúng ta thấy rằng vi phân bậc nhất của hàm y = ƒ (x) được xác định theo cùng một công thức, bất kể đối số của nó là một biến độc lập hay là một chức năng của đối số khác.

Tính chất này của vi phân được gọi là tính bất biến (invariance) có dạng của vi phân bậc nhất.

Công thức dy \ u003d y "x dx xuất hiện trùng với công thức dy \ u003d y" u du, nhưng có sự khác biệt cơ bản giữa chúng: trong công thức đầu tiên x là một biến độc lập, do đó, dx \ u003d ∆x, trong công thức thứ hai và có một hàm của x, do đó, nói chung, du ≠ ∆u.

Với sự trợ giúp của định nghĩa vi phân và các định lý cơ bản về vi phân, việc biến đổi một bảng đạo hàm thành một bảng vi phân trở nên dễ dàng.

Ví dụ: d (cosu) = (cosu) "u du = -sinudu

24.4. Bảng vi phân

24,5. Áp dụng vi phân để tính toán gần đúng

Như đã biết, số gia ∆у của hàm số y = ƒ (х) tại điểm x có thể được biểu diễn là ∆у = ƒ "(х) ∆х + α ∆х, trong đó α → 0 là ∆х → 0, hoặc dy + α ∆x Loại bỏ α ∆x thập phân nhỏ hơn ∆x, chúng ta thu được đẳng thức gần đúng

∆у≈dy, (24,3)

hơn nữa đẳng thức này càng chính xác thì ∆x càng nhỏ.

Sự bình đẳng này cho phép chúng tôi tính toán xấp xỉ gia số của bất kỳ hàm có thể phân biệt nào với độ chính xác cao.

Vi phân thường được tìm thấy dễ dàng hơn nhiều so với số gia của một hàm, vì vậy công thức (24.3) được sử dụng rộng rãi trong thực hành tính toán.

<< Пример 24.3

Tìm giá trị gần đúng của số gia của hàm y \ u003d x 3 -2x + 1 cho x \ u003d 2 và ∆x \ u003d 0,001.

Giải: Ta áp dụng công thức (24.3): ∆у≈dy = (х 3 -2х + 1) "∆х = (3х 2 -2) ∆х.

Vì vậy, ∆у »0,01.

Hãy xem lỗi nào đã được tạo ra bằng cách tính toán vi phân của hàm thay vì số gia của nó. Để làm điều này, chúng tôi tìm thấy ∆у:

∆y \ u003d ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \ u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \ u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);

Sai số gần đúng tuyệt đối bằng

| ∆у-dy | = | 0,010006-0,011 = 0,000006.

Thay vào đẳng thức (24,3) các giá trị ∆у và dy, chúng ta thu được

ƒ (х + ∆х) -ƒ (х) ≈ƒ "(х) ∆х

ƒ (х + ∆х) ≈ƒ (х) + ƒ "(х) ∆х. (24,4)

Công thức (24.4) được sử dụng để tính giá trị gần đúng của các hàm.

<< Пример 24.4

Tính gần đúng arctg (1,05).

Giải: Xét hàm ƒ (х) = arctgx. Theo công thức (24.4) ta có:

arctg (x + ∆х) ≈arctgx + (arctgx) "∆х,

I E.

Vì x + ∆x = 1,05 nên với x = 1 và ∆x = 0,05 ta nhận được:

Có thể chỉ ra rằng sai số tuyệt đối của công thức (24.4) không vượt quá giá trị M (∆x) 2, trong đó M là giá trị lớn nhất của | ƒ "(x) | trên đoạn [x; x + ∆x].

<< Пример 24.5

Quãng đường vật đi được khi rơi tự do trên Mặt Trăng trong 10,04 s kể từ lúc bắt đầu rơi. Phương trình rơi tự do của cơ thể

H \ u003d g l t 1/2, g l \ u003d 1,6 m / s 2.

Bài giải: Yêu cầu tìm H (10,04). Chúng tôi sử dụng công thức gần đúng (ΔH≈dH)

H (t + ∆t) ≈H (t) + H "(t) ∆t. Tại t = 10 s và ∆t = dt = 0,04 s, H" (t) = g l t, ta tìm được

Nhiệm vụ (đối với giải pháp độc lập). Một vật khối lượng m = 20 kg chuyển động với vận tốc ν = 10,02 m / s. Tính gần đúng động năng của vật

24,6. Sự khác biệt bậc cao

Gọi y = ƒ (x) là một hàm phân biệt và đối số của nó là biến độc lập. Khi đó vi phân đầu tiên của nó dy = ƒ "(x) dx cũng là một hàm của x; người ta có thể tìm vi phân của hàm này.

Vi phân từ vi phân của hàm y = ƒ (x) được gọi là sự khác biệt thứ hai của cô ấy(hay vi phân cấp hai) và được ký hiệu là d 2 y hoặc d 2 ƒ (x).

Vì vậy, theo định nghĩa d 2 y = d (dy). Hãy để chúng tôi tìm biểu thức cho vi phân cấp hai của hàm y = ƒ (x).

Vì dx = ∆x không phụ thuộc vào x nên ta giả sử rằng dx không đổi khi phân biệt:

d 2 y = d (dy) = d (f "(x) dx) = (ƒ" (x) dx) "dx = f" (x) dx dx = f "(x) (dx) 2 tức là.

d 2 y \ u003d ƒ "(x) dx 2. (24,5)

Ở đây dx 2 là viết tắt của (dx) 2.

Vi phân bậc ba được xác định và tìm thấy tương tự

d 3 y \ u003d d (d 2 y) \ u003d d (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.

Và, nói chung, vi phân của bậc n là vi phân của vi phân bậc (n-1): d n y = d (d n-l y) = f (n) (x) (dx) n.

Do đó, chúng tôi thấy rằng, Đặc biệt, với n = 1,2,3

tương ứng, chúng tôi nhận được:

tức là, đạo hàm của một hàm có thể được xem như là tỷ số giữa vi phân bậc tương ứng của nó với lũy thừa tương ứng của vi phân của biến số độc lập.

Lưu ý rằng tất cả các công thức trên chỉ hợp lệ khi x là một biến độc lập. Nếu hàm y \ u003d ƒ (x), trong đó x - hàm của một số biến độc lập khác, thì vi phân của bậc hai và bậc cao hơn không có thuộc tính bất biến hình thức và được tính bằng các công thức khác. Hãy để chúng tôi chỉ ra điều này bằng ví dụ về vi phân bậc hai.

Sử dụng công thức tích phân (d (uv) = vdu + udv), chúng ta nhận được:

d 2 y \ u003d d (f "(x) dx) \ u003d d (ƒ" (x)) dx + ƒ "(x) d (dx) \ u003d ƒ" (x) dx dx + ƒ "(x) d 2 x, tức là

d 2 y \ u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) d 2 x. (24,6)

So sánh công thức (24.5) và (24.6), ta thấy trong trường hợp hàm phức, công thức vi phân cấp hai thay đổi: số hạng thứ hai xuất hiện ƒ ”(x) d 2 x.

Rõ ràng rằng nếu x là một biến độc lập thì

d 2 x = d (dx) = d (l dx) = dx d (l) = dx 0 = 0

và công thức (24.6) chuyển thành công thức (24.5).

<< Пример 24.6

Tìm d 2 y nếu y = e 3x và x là biến độc lập.

Giải: Vì y "= 3e 3x, y" = 9e 3x nên theo công thức (24.5) ta có d 2 y = 9e 3x dx 2.

<< Пример 24.7

Tìm d 2 y nếu y = x 2 và x = t 3 +1 và t là biến độc lập.

Giải pháp: Chúng ta sử dụng công thức (24.6): kể từ khi

y "= 2x, y" = 2, dx = 3t 2 dt, d 2 x = 6tdt 2,

sau đó d 2 y = 2dx 2 + 2x 6tdt 2 = 2 (3t 2 dt) 2 +2 (t 3 +1) 6tdt 2 = 18t 4 dt 2 + 12t 4 dt 2 + 12tdt 2 = (30t 4 + 12t) dt 2

Cách giải khác: y = x 2, x = t 3 +1. Do đó, y \ u003d (t 3 +1) 2. Sau đó theo công thức (24,5)

d 2 y = y ¢¢ dt 2,

d 2 y = (30t 4 + 12t) dt 2.

Vi phân bậc cao hơn.

Cho hàm số y = ¦ (x) được xác định trong khoảng X nào đó (ví dụ, một khoảng) và có đạo hàm của tất cả các bậc tại mỗi điểm bên trong. Khi đó vi phân của nó là dy = y 1 dx. Chúng ta sẽ gọi nó là vi phân bậc nhất.

Tại mỗi điểm cụ thể, vi phân của hàm là một số. Trên khoảng nó là một nguyên hàm của x. Do đó, chúng ta có thể nói về một vi phân từ vi phân đầu tiên.

Sự định nghĩa: Vi phân của vi phân cấp một của hàm y \ u003d ¦ (x) được gọi là vi phân cấp hai của hàm này và được viết theo ký hiệu là d (dy) \ u003d d 2 y.

Nói chung là: vi phân bậc n của hàm số y \ u003d ¦ (x) được gọi là vi phân bậc n (n-1) của hàm số d n y \ u003d d (d n-1 y).

Các ký hiệu d¦ (x), d 2 ¦ (x), d n ¦ (x) cũng có thể áp dụng

Sự khác biệt của thứ tự cao hơn thứ nhất được gọi là sự khác biệt của những thứ tự cao hơn.

Khi tính vi phân bậc cao phải tính đến dx là số tùy ý không phụ thuộc vào x, khi tính vi phân đối với x thì phải coi là hệ số không đổi.

Do đó, dy \ u003d y 1 dx, d 2 y \ u003d d (dy) \ u003d d (y 1 dx) \ u003d dx d (y 1) \ u003d dx (y 11 dx) \ u003d y 11 (dx) 2 . Thông thường viết bậc của vi phân không có dấu ngoặc (dx) 2 = dx 2.

Do đó, d 2 y \ u003d y '' dx 2, nhưng điều này không nên nhầm lẫn với d (x 2) \ u003d 2xdx

Tương tự: d 3 y \ u003d d (y 11 dx 2) \ u003d dx 2 d (y 11) \ u003d dx 2 (y 111 dx) \ u003d y 111 dx 3; d 3 y \ u003d y 111 dx 3.

Ở đây lại là dx 3 \ u003d dx dx dx chứ không phải d (x 3) \ u003d 3x 2 dx

d n y \ u003d y n dx n

Ở đây dx n = (dx) n như trước đây.

Từ công thức chung cho vi phân bậc n, cụ thể là công thức cho đạo hàm bậc n sau đây.

Y (n) \ u003d d n y / dx n, tức là đạo hàm của bậc n là thương số của vi phân thứ n của hàm và bậc n của sai khác. sống độc lập thay đổi.

Chúng ta đã thấy rằng dạng của vi phân bậc nhất dy = y 1 dx không phụ thuộc vào việc x là một biến độc lập hay bản thân x là một hàm của một biến t nào đó.

Dạng vi phân bậc n = 2 không còn được bảo toàn trong trường hợp này, nó không có tính bất biến.

Trong trường hợp biến độc lập x d 2 y \ u003d y 11 dx 2 là vi phân cấp hai. Bây giờ х =, dу 1 = у 1 dх. Nhưng bây giờ dx không còn là một hằng số tùy ý nữa, dx = dt, tức là dx- là một hàm của t và do đó, khi tìm được d 2 y, chúng ta không thể lấy dx ra khỏi dấu vi phân.

d 2 y \ u003d d (y 1 dx) \ u003d d (y 1) dx + y 1 d (dx) \ u003d y 11 dx 2 + y 1 d 2 x, tức là

d 2 y \ u003d y 11 dx 2 + y 1 d 2 x - dạng của vi phân đã thay đổi, số hạng y 1 d 2 x đã được thêm vào. Hơn nữa, dạng d n y không được bảo toàn. Do đó, trong trường hợp x không phải là một biến độc lập, thì ký hiệu y (n) = d p y / dx p nên được hiểu là một ký hiệu duy nhất, chứ không phải là một tỷ số của vi phân.

Đạo hàm từng phần của hàm hai biến.
Khái niệm và ví dụ về các giải pháp

Trong bài học này, chúng ta sẽ tiếp tục làm quen với hàm hai biến và xem xét, có lẽ, nhiệm vụ chủ đề phổ biến nhất - tìm đạo hàm riêng của cấp một và cấp hai, cũng như vi phân tổng của hàm. Thông thường, sinh viên bán thời gian phải đối mặt với đạo hàm riêng vào năm thứ nhất trong học kỳ thứ hai. Hơn nữa, theo quan sát của tôi, nhiệm vụ tìm đạo hàm riêng hầu như tôi thấy trong đề thi.

Để học hiệu quả tài liệu sau, bạn cần thiếtít nhiều có thể tự tin tìm các đạo hàm "thông thường" của một hàm một biến. Bạn có thể học cách xử lý các dẫn xuất một cách chính xác trong các bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm? và Đạo hàm của một hàm phức. Chúng ta cũng cần một bảng đạo hàm của các hàm cơ bản và các quy tắc phân biệt, nếu có ở dạng in sẵn thì thuận tiện nhất. Bạn có thể tìm tài liệu tham khảo trên trang Công thức toán học và bảng.

Hãy nhanh chóng lặp lại khái niệm về một hàm hai biến, tôi sẽ cố gắng giới hạn bản thân ở mức tối thiểu trần. Một hàm có hai biến thường được viết dưới dạng, với các biến được gọi là biến độc lập hoặc tranh luận.

Ví dụ: - một hàm hai biến.

Đôi khi ký hiệu được sử dụng. Cũng có những nhiệm vụ mà chữ cái được sử dụng thay vì một chữ cái.

Từ quan điểm hình học, một hàm hai biến thường là một bề mặt của không gian ba chiều (một mặt phẳng, một hình trụ, một quả bóng, một paraboloid, một hyperboloid, v.v.). Nhưng, trên thực tế, đây đã là hình học phân tích nhiều hơn, và chúng tôi có phân tích toán học trong chương trình nghị sự, điều mà giáo viên đại học của tôi không bao giờ cho phép tôi viết tắt là “con ngựa” của tôi.

Chúng ta chuyển sang câu hỏi tìm đạo hàm riêng của bậc nhất và bậc hai. Tôi có một số tin tốt cho những bạn đã uống một vài tách cà phê và đang có tâm trạng chờ đợi những tài liệu khó không thể tưởng tượng được: đạo hàm riêng gần giống như đạo hàm "thông thường" của hàm một biến.

Đối với đạo hàm riêng, tất cả các quy tắc phân biệt và bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp đều hợp lệ. Chỉ có một số khác biệt nhỏ mà chúng ta sẽ biết ngay bây giờ:

... vâng, nhân tiện, đối với chủ đề này, tôi đã tạo sách pdf nhỏ, điều này sẽ cho phép bạn "lấp đầy bàn tay của mình" chỉ trong vài giờ. Tuy nhiên, sử dụng trang web, tất nhiên, bạn cũng sẽ nhận được kết quả - có thể chậm hơn một chút:

ví dụ 1

Tìm đạo hàm riêng cấp một và cấp hai của một hàm số

Đầu tiên, chúng ta tìm các đạo hàm riêng của bậc nhất. Có hai trong số họ.

Ký hiệu:
hoặc - đạo hàm riêng đối với "x"
hoặc - đạo hàm riêng đối với "y"

Hãy bắt đầu với . Khi chúng ta tìm đạo hàm riêng đối với "x", thì biến được coi là một hằng số (số không đổi).

Nhận xét về các hành động đã thực hiện:

(1) Điều đầu tiên chúng ta làm khi tìm đạo hàm riêng là kết luận tất cả các hàm trong ngoặc đơn dưới dấu gạch ngang với chỉ số dưới.

Chú ý quan trọng!Đăng ký KHÔNG MẤT trong quá trình giải pháp. Trong trường hợp này, nếu bạn vẽ một "nét" ở đâu đó mà không có, thì ít nhất, giáo viên có thể đặt nó bên cạnh nhiệm vụ (ngay lập tức cắt bỏ một phần của điểm do không chú ý).

(2) Sử dụng các quy tắc phân biệt ,. Đối với một ví dụ đơn giản như sau, cả hai quy tắc có thể được áp dụng trong cùng một bước. Hãy chú ý đến thuật ngữ đầu tiên: kể từ khi được coi là một hằng số, và mọi hằng số có thể lấy ra khỏi dấu của đạo hàm, sau đó chúng tôi lấy nó ra khỏi dấu ngoặc. Đó là, trong tình huống này, nó không tốt hơn một số thông thường. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào thuật ngữ thứ ba: ở đây, ngược lại, không có gì để lấy ra. Vì nó là một hằng số, nó cũng là một hằng số, và theo nghĩa này, nó không tốt hơn thuật ngữ cuối cùng - "bảy".

(3) Chúng tôi sử dụng các dẫn xuất dạng bảng và.

(4) Chúng tôi đơn giản hóa, hoặc, như tôi muốn nói, "kết hợp" câu trả lời.

Bây giờ . Khi chúng ta tìm thấy đạo hàm riêng đối với "y", thì biếnđược coi là một hằng số (số không đổi).

(1) Chúng tôi sử dụng các quy tắc phân biệt giống nhau ,. Trong số hạng đầu tiên chúng ta lấy ra hằng số nằm ngoài dấu của đạo hàm, trong số hạng thứ hai không thể lấy ra được gì vì nó đã là một hằng số.

(2) Ta sử dụng bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp. Thay đổi tinh thần trong bảng tất cả "X" thành "Y". Nghĩa là, bảng này có giá trị như nhau đối với (và thực sự đối với hầu hết mọi chữ cái). Đặc biệt, các công thức chúng tôi sử dụng trông giống như sau: và.

Ý nghĩa của đạo hàm riêng là gì?

Về cốt lõi của chúng, các đạo hàm riêng bậc 1 giống với phái sinh "thông thường":

- Cái này chức năng, đặc trưng cho tỉ giá hối đoái chức năng theo hướng của các trục và tương ứng. Vì vậy, ví dụ, hàm đặc trưng cho độ dốc của "leo" và "dốc" bề mặt theo hướng của trục abscissa, và hàm cho chúng ta biết về "độ nổi" của cùng một bề mặt theo hướng của trục tọa độ.

! Ghi chú : ở đây đề cập đến chỉ đường là song song trục tọa độ.

Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem xét một điểm cụ thể của mặt phẳng và tính giá trị của hàm (“chiều cao”) trong đó:
- và bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn đang ở đây (TRÊN bề mặt RẤT NHIỀU).

Chúng tôi tính đạo hàm riêng đối với "x" tại một điểm đã cho:

Dấu âm của đạo hàm "X" cho chúng ta biết về giảm dần hàm tại một điểm theo hướng của trục x. Nói cách khác, nếu chúng ta tạo ra một (số thập phân) bước về phía đầu của trục (song song với trục này), sau đó đi xuống độ dốc của bề mặt.

Bây giờ chúng ta tìm hiểu bản chất của "địa hình" theo hướng của trục y:

Đạo hàm đối với "y" là dương, do đó, tại một điểm dọc theo trục, hàm tăng. Nếu nó khá đơn giản, thì ở đây chúng ta đang chờ một chuyến leo dốc.

Ngoài ra, đạo hàm riêng tại một điểm đặc trưng cho tỉ giá hối đoái chức năng theo hướng có liên quan. Giá trị kết quả càng lớn modulo- bề mặt càng dốc và ngược lại, càng gần 0, bề mặt càng phẳng. Vì vậy, trong ví dụ của chúng ta, "độ dốc" theo hướng của trục abscissa dốc hơn "núi" theo hướng của trục tọa độ.

Nhưng đó là hai con đường riêng. Rõ ràng là từ thời điểm mà chúng ta đang tồn tại, (và nói chung từ bất kỳ điểm nào của bề mặt đã cho) chúng ta có thể di chuyển theo một số hướng khác. Vì vậy, có một mối quan tâm trong việc biên soạn một "biểu đồ dẫn đường" chung sẽ cho chúng ta biết về "cảnh quan" của bề mặt. nếu có thểở mọi điểm phạm vi của chức năng này bằng tất cả các cách có sẵn. Tôi sẽ nói về điều này và những điều thú vị khác trong một trong những bài học tiếp theo, nhưng bây giờ, chúng ta hãy quay lại khía cạnh kỹ thuật của vấn đề.

Chúng tôi hệ thống hóa các quy tắc áp dụng cơ bản:

1) Khi chúng ta phân biệt bằng, thì biến được coi là một hằng số.

2) Khi phân biệt được thực hiện theo, sau đó được coi là một hằng số.

3) Các quy tắc và bảng đạo hàm của các hàm cơ bản là hợp lệ và có thể áp dụng cho bất kỳ biến nào (hoặc bất kỳ biến nào khác) liên quan đến việc phân biệt được thực hiện.

Bước hai. Chúng tôi tìm các đạo hàm riêng của bậc hai. Có bốn người trong số họ.

Ký hiệu:
hoặc - đạo hàm thứ hai đối với "x"
hoặc - đạo hàm thứ hai đối với "y"
hoặc - Trộnđạo hàm "x theo y"
hoặc - Trộnđạo hàm "Y với X"

Không có vấn đề gì với đạo hàm cấp hai. Nói một cách dễ hiểu, đạo hàm thứ hai là đạo hàm của đạo hàm thứ nhất.

Để thuận tiện, tôi sẽ viết lại các đạo hàm riêng cấp một đã được tìm thấy:

Đầu tiên, chúng tôi tìm các dẫn xuất hỗn hợp:

Như bạn có thể thấy, mọi thứ rất đơn giản: chúng ta lấy đạo hàm riêng và phân biệt nó một lần nữa, nhưng trong trường hợp này, đã là "y".

Tương tự:

Trong các ví dụ thực tế, bạn có thể tập trung vào đẳng thức sau:

Như vậy, thông qua các đạo hàm hỗn hợp bậc hai, rất tiện lợi trong việc kiểm tra xem ta đã tìm đúng các đạo hàm riêng bậc nhất hay chưa.

Chúng tôi tìm đạo hàm cấp hai đối với "x".
Không có phát minh, chúng tôi lấy và phân biệt nó bằng "X" một lần nữa:

Tương tự:

Cần lưu ý rằng khi tìm, bạn cần trình bày tăng sự chú ý, vì không có sự ngang bằng kỳ diệu nào để kiểm tra chúng.

Các đạo hàm thứ hai cũng được ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt, chúng được sử dụng trong bài toán tìm cực trị của một hàm hai biến. Nhưng mọi thứ đều có thời gian của nó:

Ví dụ 2

Tính đạo hàm riêng cấp một của hàm số tại điểm. Tìm đạo hàm bậc hai.

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài). Nếu bạn gặp khó khăn trong việc phân biệt các loại rễ, hãy quay lại bài học Làm thế nào để tìm đạo hàm? Nói chung, bạn sẽ sớm học được cách tìm các dẫn xuất tương tự một cách nhanh chóng.

Chúng tôi điền vào bàn tay của chúng tôi các ví dụ phức tạp hơn:

Ví dụ 3

Kiểm tra xem . Viết tổng vi phân của bậc đầu tiên.

Lời giải: Ta tìm các đạo hàm riêng của bậc nhất:

Hãy chú ý đến chỉ số dưới: bên cạnh "x", không cấm viết trong ngoặc rằng nó là một hằng số. Dấu này có thể rất hữu ích cho những người mới bắt đầu để tìm giải pháp dễ dàng hơn.

Nhận xét thêm:

(1) Chúng ta lấy ra tất cả các hằng số bên ngoài dấu của đạo hàm. Trong trường hợp này, và do đó, sản phẩm của họ được coi là một số không đổi.

(2) Đừng quên cách phân biệt rễ đúng cách.

(1) Chúng tôi lấy tất cả các hằng số ra khỏi dấu của đạo hàm, trong trường hợp này là hằng số.

(2) Dưới nguyên tố, chúng ta có tích của hai hàm, do đó, chúng ta cần sử dụng quy tắc phân biệt tích .

(3) Đừng quên rằng đó là một hàm phức tạp (mặc dù là hàm đơn giản nhất trong số những hàm phức tạp). Chúng tôi sử dụng quy tắc tương ứng: .

Bây giờ chúng ta tìm các dẫn xuất hỗn hợp của bậc hai:

Điều này có nghĩa là tất cả các phép tính đều đúng.

Hãy viết tổng số vi phân. Trong bối cảnh của nhiệm vụ đang được xem xét, không có ý nghĩa gì khi nói tổng vi phân của một hàm hai biến là bao nhiêu. Điều quan trọng là sự khác biệt này rất thường xuyên cần được viết ra trong các bài toán thực tế.

Tổng chênh lệch đơn hàng đầu tiên hàm hai biến có dạng:

Trong trường hợp này:

Có nghĩa là, trong công thức, bạn chỉ cần thay thế một cách ngu ngốc các đạo hàm riêng đã tìm thấy của bậc đầu tiên. Các biểu tượng khác biệt và trong trường hợp này và các tình huống tương tự, nếu có thể, tốt hơn nên viết dưới dạng tử số:

Và theo yêu cầu lặp đi lặp lại của độc giả, vi sai đầy đủ của bậc thứ hai.

Nó trông như thế này:

CẨN THẬN tìm các dẫn xuất "một chữ cái" của bậc 2:

và viết ra "con quái vật", cẩn thận "đính kèm" các ô vuông, tích và không quên nhân đôi đạo hàm hỗn hợp:

Không sao cả nếu điều gì đó có vẻ khó khăn, bạn luôn có thể quay lại các công cụ phái sinh sau đó, sau khi bạn nắm được kỹ thuật phân biệt:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất của một hàm . Kiểm tra xem . Viết tổng vi phân của bậc đầu tiên.

Hãy xem xét một loạt các ví dụ với các hàm phức tạp:

Ví dụ 5

Tìm đạo hàm riêng cấp một của hàm số.

Quyết định:

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất của một hàm .
Viết ra tổng vi sai.

Đây là một ví dụ để bạn tự giải (đáp án ở cuối bài). Tôi sẽ không đăng giải pháp hoàn chỉnh vì nó khá đơn giản.

Khá thường xuyên, tất cả các quy tắc trên được áp dụng kết hợp.

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất của một hàm .

(1) Chúng tôi sử dụng quy tắc phân biệt tổng

(2) Số hạng đầu tiên trong trường hợp này được coi là một hằng số, vì không có gì trong biểu thức phụ thuộc vào "x" - chỉ có "y". Bạn biết đấy, luôn luôn tốt đẹp khi một phân số có thể biến thành không). Đối với kỳ thứ hai, chúng tôi áp dụng quy tắc khác biệt hóa sản phẩm. Nhân tiện, theo nghĩa này, sẽ không có gì thay đổi nếu một hàm được cung cấp thay thế - điều quan trọng là ở đây sản phẩm của hai chức năng, MỖI trong số đó phụ thuộc vào "X", và do đó, bạn cần sử dụng quy tắc phân biệt sản phẩm. Đối với số hạng thứ ba, ta áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức.

(1) Số hạng đầu tiên ở cả tử số và mẫu số đều chứa "y", do đó, bạn cần sử dụng quy tắc để phân biệt thương số: . Số hạng thứ hai CHỈ phụ thuộc vào "x", có nghĩa là nó được coi là một hằng số và biến thành số không. Đối với số hạng thứ ba, chúng ta sử dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức.

Đối với những độc giả đã can đảm đến gần cuối bài học, tôi sẽ kể cho bạn nghe một giai thoại Mekhmatov cũ dành cho người thân yêu:

Một khi một đạo hàm ác xuất hiện trong không gian của các hàm và nó đã phân biệt mọi người như thế nào. Tất cả các chức năng phân tán về mọi hướng, không ai muốn quay! Và chỉ có một chức năng không thoát đi đâu cả. Đạo hàm tiếp cận nó và hỏi:

"Tại sao em không chạy trốn khỏi anh?"

- Ha. Nhưng tôi không quan tâm, bởi vì tôi là "sức mạnh của x", và bạn không thể làm gì tôi!

Cái mà phái sinh tà ác với nụ cười quỷ quyệt trả lời:

- Đây là bạn sai ở chỗ nào, tôi sẽ phân biệt bạn bằng chữ “y”, vì vậy bạn sẽ nhận được số 0.

Ai hiểu được trò đùa, người đó nắm vững các dẫn xuất, ít nhất là đối với "troika").

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm riêng bậc nhất của một hàm .

Đây là một ví dụ tự làm. Lời giải đầy đủ và thiết kế mẫu của bài toán nằm ở cuối bài học.

Chà, đó là gần như tất cả. Cuối cùng, tôi không thể không làm vui lòng các nhà toán học với một ví dụ nữa. Nó thậm chí không phải về những người nghiệp dư, mọi người đều có trình độ đào tạo toán học khác nhau - có những người (và không hiếm) thích cạnh tranh với những nhiệm vụ khó khăn hơn. Mặc dù, ví dụ cuối cùng trong bài học này không quá phức tạp và rườm rà về mặt tính toán.

Gọi y \ u003d f (x) là một hàm phân biệt và đối số của nó x là một biến độc lập. Khi đó vi phân đầu tiên dy = f ′ (x) dx của nó cũng là một hàm otx; tìm vi phân của hàm này.

Vi phân từ vi phân của hàm y \ u003d f (x) được gọi là vi sai thứ hai(hoặc vi phân bậc hai) và được ký hiệu là d 2 y hoặc d 2 f (x):

d 2 y = f ′ ′ (x) dx2

Ở đây dx 2 là viết tắt của (dx) 2.

Vi phân bậc ba được định nghĩa và tìm thấy tương tự: d 3 y = d (d2 y) = d (f ′ ′ (x) dx2) = f ′ ′ ′ (x) dx3.

Nói chung, vi phân bậc n là vi phân của vi phân bậc (n-1): d n y \ u003d d (d n - 1 y) \ u003d f (n) (x) (dx) n.

Từ đây ta thấy rằng f (n) (x) = d n y. Đặc biệt, với n = 1, 2, 3, ta thu được: dx n

f ′ (x) =			f ′ ′ (x) =	d2y		f ′ ′ ′ (x) =	ngày 3 năm	Những thứ kia. Đạo hàm của một hàm có thể được xem như

tỷ số của vi phân bậc tương ứng của nó với bậc tương ứng của vi phân của biến độc lập.

Lưu ý rằng tất cả các công thức trên chỉ hợp lệ khi x là một biến độc lập.

Ví dụ. Tìm d 2 y nếu y = e 3 x their là một biến độc lập Giải: Vì y ′ = 3e 3 x, y ′ ′ = 9e 3 x nên ta có d 2 y = 9e 3 x dx 2.

Quy tắc của L'Hospital

Các quy tắc của L'Hopital được sử dụng để tiết lộ độ không đảm bảo của dạng 0 0 và ∞ ∞, được gọi là cơ bản.

Định lý 3. (Quy tắc L'Hopital dùng để xác định độ bất định có dạng 0 0).

Cho các hàm f (x) và g (x) liên tục và phân biệt trong vùng lân cận của các điểm 0 và

biến mất tại điểm này: f (x 0) = g (x 0) = 0. Gọi g ′ (x) ≠ 0 trong vùng lân cận của điểm x 0. Nếu một

có một giới hạn

f '(x)

L, sau đó

f (x)

f '(x)

g (x)

g (x)

x → x0

x → x0

x → x0

Ví dụ. Tìm lim1 - cos6 x.

x → 0

2x2

Lời giải: lim

1− cos 6x

p. L.

6 giây 6x

p. L.

36 cos 6x

x → 0

x → 0

x → 0

Định lý 4. (Quy tắc L'Hopital cho biết độ bất định có dạng ∞ ∞).

Cho các hàm f (x) và g (x) liên tục và khả vi trong vùng lân cận của các điểm 0 (ngoại trừ,
có thể điểm x 0), trong vùng lân cận này limf (x) = limg (x) = ∞, g ′ (x) ≠ 0. Nếu tồn tại
	f '(x)			f (x)			f '(x)	x → x0	x → x0
giới hạn lim
	g (x)			g (x)
x → x0			x → x0			x → x0	g (x)

tg 3x

Ví dụ. Tìm lim tg 5x

x → π 2

lim tan 3 x =

∞ =

Lim3cos

p. L.

p. L.

x →

tg5x

x →

x →

cos2 5x

lim - 10 cos 5 x sin 5 x

Lim sin10 x

lim 10cos10x

5 x →

- 6 cos 3x sin 3x

x →

sin6x

x →

6cos6x

Các bất định của dạng, [∞ - ∞],, [∞ 0], được rút gọn thành hai cách chính của các phép biến đổi giống hệt nhau.

Cho f (x) → 0, và g (x) → 0 là x → x 0. Khi đó, các phép biến đổi sau là rõ ràng:

lim (f (x) g (x)) = [0 ∞] = lim

f (x)

f (x)

∞ ).

x → x

x → x

x → x

g (x)

g (x)

Tìm lim tg

x

(2 - x).

x → 2

2 - x

0 = lim

−1

limtg π x (2− x) = [∞ 0] = lim

p. L.

x → 2

x → 2

x

ctg 4

x → 2

2 x

Cho f (x) → ∞, và g (x) → ∞ dưới dạng x → x 0. Sau đó, bạn có thể làm điều này:

lim (f (x) −g (x)) = [∞ - ∞] = lim

g (x)

f (x)

x → x0

x → x0

x → x0

f (x)

g (x)

g (x)

f (x)

Cho f (x) → 1 và g (x) → ∞ hoặc f (x) → ∞ và g (x) → 0 hoặc f (x) → 0 và g (x) → 0 với x → x 0.

Để tìm giới hạn của dạng lim f (x) g (x), chúng ta nhớ lại tính chất của lôgarit

x → x0

e lnf (x) g (x) \ u003d f (x) g (x).

Ví dụ. Tìm lim x → 0 (cos2 x) x 2.