Vectơ nào được gọi là đơn vị. Vectơ: định nghĩa và các khái niệm cơ bản

Một khái niệm như vectơ được xem xét trong hầu hết các ngành khoa học tự nhiên và nó có thể có những ý nghĩa hoàn toàn khác nhau, do đó không thể đưa ra một định nghĩa rõ ràng về một vectơ cho tất cả các lĩnh vực. Nhưng chúng ta hãy cố gắng tìm ra nó. Vậy, vector - nó là gì?

Khái niệm vectơ trong hình học cổ điển

Vectơ trong hình học là một đoạn mà nó được cho biết điểm nào của nó là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối. Nói một cách đơn giản, một đoạn có hướng được gọi là một vectơ.

Theo đó, một vectơ được chỉ ra (nó là gì - đã thảo luận ở trên), cũng như một phân đoạn, tức là hai chữ cái viết hoa của bảng chữ cái Latinh với việc bổ sung một đường hoặc một mũi tên chỉ về bên phải ở trên cùng. Nó cũng có thể được ký bằng chữ thường (nhỏ) của bảng chữ cái Latinh với dấu gạch ngang hoặc mũi tên. Mũi tên luôn hướng về bên phải và không thay đổi tùy thuộc vào vị trí của vectơ.

Vậy một vectơ có hướng và độ dài.

Việc chỉ định một vectơ cũng chứa hướng của nó. Điều này được thể hiện như trong hình bên dưới.

Thay đổi hướng sẽ đảo ngược giá trị của vectơ.

Độ dài của một vectơ là độ dài của đoạn mà từ đó nó được hình thành. Nó được chỉ định là một mô-đun từ một vector. Điều này được thể hiện trong hình bên dưới.

Theo đó, số không là một vectơ có độ dài bằng không. Do đó, vectơ 0 là một điểm, hơn nữa, điểm đầu và điểm cuối trùng nhau trong đó.

Độ dài của vectơ luôn là một giá trị không âm. Nói cách khác, nếu có một đoạn, thì nó nhất thiết phải có độ dài nhất định hoặc là một điểm, thì độ dài của nó bằng không.

Khái niệm về một điểm là cơ bản và không có định nghĩa.

Thêm vectơ

Có các công thức và quy tắc đặc biệt cho vectơ có thể được sử dụng để thực hiện phép cộng.

Quy tắc tam giác. Để thêm vectơ theo quy tắc này, chỉ cần kết hợp phần cuối của vectơ đầu tiên và phần đầu của vectơ thứ hai, sử dụng phép tịnh tiến song song và kết nối chúng. Vectơ thứ ba thu được sẽ bằng phép cộng của hai vectơ kia.

quy tắc hình bình hành. Để thêm theo quy tắc này, bạn cần vẽ cả hai vectơ từ một điểm, sau đó vẽ một vectơ khác từ cuối mỗi vectơ. Có nghĩa là, cái thứ hai sẽ được rút ra từ cái đầu tiên và cái đầu tiên từ cái thứ hai. Kết quả là sẽ thu được một giao điểm mới và một hình bình hành sẽ được hình thành. Nếu chúng ta kết hợp giao điểm của điểm đầu và điểm cuối của các vectơ, thì vectơ thu được sẽ là kết quả của phép cộng.

Tương tự, có thể thực hiện phép trừ.

Sự khác biệt vectơ

Tương tự với phép cộng các vectơ, có thể thực hiện phép trừ chúng. Nó dựa trên nguyên tắc được hiển thị trong hình bên dưới.

Tức là chỉ cần biểu diễn véc tơ bị trừ là véc tơ ngược chiều với nó là đủ, và tính theo nguyên tắc cộng.

Ngoài ra, hoàn toàn có thể nhân vectơ khác 0 với bất kỳ số k nào, điều này sẽ thay đổi độ dài của nó k lần.

Ngoài những công thức này, còn có các công thức vectơ khác (ví dụ, để biểu thị độ dài của một vectơ dưới dạng tọa độ của nó).

Vị trí của vectơ

Chắc chắn nhiều người đã bắt gặp một khái niệm như một vectơ thẳng hàng. Collinearity là gì?

Tính thẳng hàng của vectơ là tính tương đương của tính song song của các đường thẳng. Nếu hai vectơ nằm trên các đường thẳng song song với nhau hoặc trên cùng một đường thẳng thì các vectơ đó được gọi là thẳng hàng.

Chiều hướng. Tương đối với nhau, các vectơ thẳng hàng có thể đồng hướng hoặc ngược hướng, điều này được xác định bởi hướng của các vectơ. Theo đó, nếu một vectơ đồng hướng với một vectơ khác, thì vectơ đối diện với nó sẽ hướng ngược lại.

Hình đầu tiên cho thấy hai vectơ có hướng đối lập và một vectơ thứ ba không thẳng hàng với chúng.

Sau khi giới thiệu các tính chất trên, cũng có thể định nghĩa các vectơ bằng nhau - đây là các vectơ có hướng cùng hướng và có cùng độ dài của các đoạn mà chúng được hình thành.

Trong nhiều ngành khoa học, khái niệm vectơ bán kính cũng được sử dụng. Một vectơ như vậy mô tả vị trí của một điểm của mặt phẳng so với một điểm cố định khác (thường đây là điểm gốc).

Vectơ trong vật lý

Giả sử rằng khi giải bài toán, một điều kiện nảy sinh: vật chuyển động với vận tốc 3 m / s. Điều này có nghĩa là cơ thể chuyển động với một hướng cụ thể trên một đường thẳng, vì vậy biến này sẽ là một đại lượng vectơ. Để giải nó, điều quan trọng là phải biết cả giá trị và hướng, vì tùy thuộc vào việc xem xét, tốc độ có thể là 3 m / s hoặc -3 m / s.

Nói chung, vectơ trong vật lý được sử dụng để chỉ hướng của lực tác động lên vật thể và xác định kết quả.

Khi các lực này được chỉ ra trong hình, chúng được biểu thị bằng các mũi tên có nhãn vectơ phía trên nó. Về mặt cổ điển, độ dài của mũi tên cũng quan trọng không kém, với sự trợ giúp của nó, chúng cho biết lực nào mạnh hơn, nhưng tính chất này chỉ là thứ yếu, bạn không nên dựa vào nó.

Véc tơ trong đại số tuyến tính và giải tích

Các phần tử của không gian tuyến tính cũng được gọi là vectơ, nhưng trong trường hợp này chúng là một hệ thống số có thứ tự mô tả một số phần tử. Do đó, hướng đi trong trường hợp này không còn quan trọng nữa. Định nghĩa của một vectơ trong hình học cổ điển và trong phân tích toán học là rất khác nhau.

Phép chiếu vectơ

Vectơ chiếu - nó là gì?

Thông thường, để tính toán chính xác và thuận tiện, cần phải phân tích một vectơ nằm trong không gian hai chiều hoặc ba chiều dọc theo các trục tọa độ. Thao tác này là cần thiết, ví dụ, trong cơ học khi tính toán các lực tác dụng lên cơ thể. Vector trong vật lý được sử dụng khá thường xuyên.

Để thực hiện phép chiếu, chỉ cần hạ các đường vuông góc từ đầu và cuối của véctơ xuống từng trục tọa độ là đủ, các đoạn thu được trên chúng sẽ được gọi là hình chiếu của véctơ lên ​​trục.

Để tính độ dài hình chiếu, chỉ cần nhân độ dài ban đầu của nó với một hàm lượng giác nào đó, thu được bằng cách giải một bài toán nhỏ là đủ. Trong thực tế, có một tam giác vuông trong đó cạnh huyền là vectơ ban đầu, một trong các chân là hình chiếu, và chân kia là vuông góc thả xuống.

Cuối cùng, tôi đã bắt tay vào một chủ đề mở rộng và được chờ đợi từ lâu hình học phân tích. Đầu tiên, một chút về phần này của toán học cao hơn…. Chắc chắn bây giờ bạn đã nhớ đến khóa học hình học ở trường với vô số định lý, cách chứng minh, hình vẽ, v.v. Phải giấu giếm, một môn học không được yêu thích và thường ít người biết đến đối với một tỷ lệ đáng kể sinh viên. Hình học giải tích, kỳ lạ thay, có vẻ thú vị và dễ tiếp cận hơn. Tính từ "phân tích" có nghĩa là gì? Hai biến toán học được đóng dấu ngay lập tức xuất hiện trong tâm trí anh: "phương pháp đồ họa của giải pháp" và "phương pháp phân tích của giải pháp". Phương pháp đồ họa, tất nhiên, gắn liền với việc xây dựng các đồ thị, hình vẽ. Phân tích giống nhau phương pháp liên quan đến giải quyết vấn đề chủ yếu thông qua các phép toán đại số. Về mặt này, thuật toán để giải hầu hết các vấn đề của hình học giải tích là đơn giản và minh bạch, thường là đủ để áp dụng chính xác các công thức cần thiết - và câu trả lời đã sẵn sàng! Không, tất nhiên, nó sẽ không làm gì nếu không có bản vẽ, ngoài ra, để hiểu rõ hơn về tài liệu, tôi sẽ cố gắng mang chúng vượt quá nhu cầu.

Quá trình mở của các bài học về hình học không đòi hỏi tính hoàn chỉnh về mặt lý thuyết, mà nó tập trung vào việc giải quyết các vấn đề thực tế. Tôi sẽ chỉ đưa vào bài giảng của mình những gì, theo quan điểm của tôi, là quan trọng về mặt thực tế. Nếu bạn cần một tài liệu tham khảo đầy đủ hơn về bất kỳ tiểu mục nào, tôi giới thiệu tài liệu khá dễ tiếp cận sau đây:

1) Một điều mà, không phải chuyện đùa, đã quen thuộc với nhiều thế hệ: Sách giáo khoa về hình học, các tác giả - L.S. Atanasyan và Công ty. Chiếc móc treo trong phòng thay đồ của trường học này đã chịu được 20 (!) Được phát hành lại, tất nhiên, đây không phải là giới hạn.

2) Hình học 2 tập. Các tác giả L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Đây là tài liệu dành cho giáo dục đại học, bạn sẽ cần tập đầu tiên. Các nhiệm vụ xảy ra không thường xuyên có thể nằm ngoài tầm nhìn của tôi, và hướng dẫn sẽ giúp ích vô giá.

Cả hai cuốn sách đều được tải trực tuyến miễn phí. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng kho lưu trữ của tôi với các giải pháp làm sẵn, có thể tìm thấy trên trang Tải xuống các ví dụ toán học cao hơn.

Trong số các công cụ, tôi một lần nữa cung cấp sự phát triển của riêng mình - gói phần mềm về hình học phân tích, điều này sẽ giúp đơn giản hóa cuộc sống và tiết kiệm rất nhiều thời gian.

Giả thiết rằng người đọc đã quen thuộc với các khái niệm và hình học cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, tam giác, hình bình hành, hình bình hành, hình lập phương, v.v. Nên nhớ một số định lý, ít nhất là định lý Pitago, xin chào các bạn lặp lại)

Và bây giờ chúng ta sẽ tuần tự xem xét: khái niệm vectơ, các hành động với vectơ, tọa độ vectơ. Hơn nữa, tôi khuyên bạn nên đọc bài báo quan trọng nhất Tích chấm của vectơ, cũng như Vectơ và tích hỗn hợp của vectơ. Nhiệm vụ cục bộ sẽ không thừa - Phân chia phân khúc về vấn đề này. Dựa trên những thông tin trên, bạn có thể phương trình của một đường thẳng trong một mặt phẳng với các ví dụ đơn giản nhất về các giải pháp, điều này sẽ cho phép học cách giải quyết vấn đề trong hình học. Các bài viết sau đây cũng hữu ích: Phương trình của một mặt phẳng trong không gian, Phương trình của một đường thẳng trong không gian, Các bài toán cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, các phần khác của hình học giải tích. Đương nhiên, các nhiệm vụ tiêu chuẩn sẽ được xem xét trong quá trình thực hiện.

Khái niệm vectơ. vector miễn phí

Đầu tiên, chúng ta hãy lặp lại định nghĩa trường của một vectơ. Véc tơ triệu tập Chỉ đạo một phân đoạn mà phần đầu và phần cuối của nó được biểu thị:

Trong trường hợp này, đầu đoạn là điểm, cuối đoạn là điểm. Vectơ chính nó được ký hiệu là. Chiều hướng là điều cần thiết, nếu bạn sắp xếp lại mũi tên đến đầu kia của đoạn, bạn sẽ nhận được một vectơ và điều này đã vector hoàn toàn khác. Thật thuận tiện khi đồng nhất khái niệm vectơ với chuyển động của một cơ thể vật chất: bạn phải thừa nhận rằng việc bước vào cửa một viện hay ra khỏi cửa một viện là những điều hoàn toàn khác nhau.

Thật tiện lợi khi coi các điểm riêng lẻ của một mặt phẳng, không gian như cái gọi là vectơ không. Một vectơ như vậy có cùng điểm cuối và điểm đầu.

!!! Ghi chú: Ở đây và bên dưới, bạn có thể giả định rằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc bạn có thể giả định rằng chúng nằm trong không gian - bản chất của vật liệu được trình bày có giá trị cho cả mặt phẳng và không gian.

Chỉ định: Nhiều người ngay lập tức chú ý đến một cây gậy không có mũi tên trong tên chỉ định và nói rằng họ cũng đặt một mũi tên ở trên cùng! Đúng vậy, bạn có thể viết bằng một mũi tên:, nhưng có thể chấp nhận được và ghi lại mà tôi sẽ sử dụng sau này. Tại sao? Rõ ràng, thói quen như vậy đã phát triển từ những cân nhắc thực tế, những cảnh quay của tôi ở trường học và trường đại học hóa ra quá đa dạng và xù xì. Trong tài liệu giáo dục, đôi khi họ không bận tâm đến chữ hình nêm mà chỉ tô đậm các chữ cái:, do đó ngụ ý rằng đây là một vectơ.

Đó là phong cách, và bây giờ là về cách viết vectơ:

1) Các vectơ có thể được viết bằng hai chữ cái Latinh viết hoa:
vân vân. Trong khi chữ cái đầu tiên nhất thiết biểu thị điểm bắt đầu của vectơ và chữ cái thứ hai biểu thị điểm cuối của vectơ.

2) Các vectơ cũng được viết bằng các chữ cái Latinh nhỏ:
Đặc biệt, vectơ của chúng tôi có thể được thiết kế lại cho ngắn gọn bằng một chữ cái Latinh nhỏ.

Chiều dài hoặc mô-đun vectơ khác 0 được gọi là độ dài của đoạn thẳng. Độ dài của vectơ null bằng không. Một cách hợp lý.

Độ dài của vectơ được biểu thị bằng dấu môđun:,

Cách tìm độ dài của một vectơ, chúng ta sẽ học (hoặc nhắc lại, cho ai bằng cách nào) một chút sau.

Đó là thông tin cơ bản về véc tơ, quen thuộc với tất cả học sinh. Trong hình học giải tích, cái gọi là vector miễn phí.

Nếu nó khá đơn giản - vector có thể được vẽ từ bất kỳ điểm nào:

Chúng ta thường gọi các vectơ như vậy bằng nhau (định nghĩa của các vectơ bằng nhau sẽ được đưa ra bên dưới), nhưng từ quan điểm toán học thuần túy, đây là VECTOR CÙNG hoặc vector miễn phí. Tại sao miễn phí? Bởi vì trong quá trình giải quyết vấn đề, bạn có thể "đính kèm" một hoặc một vectơ khác vào BẤT KỲ điểm nào của mặt phẳng hoặc không gian mà bạn cần. Đây là một tài sản rất mát mẻ! Hãy tưởng tượng một vectơ có chiều dài và hướng tùy ý - nó có thể được "nhân bản" vô số lần và tại bất kỳ điểm nào trong không gian, trên thực tế, nó tồn tại MỌI NƠI. Có một câu tục ngữ của sinh viên như vậy: Mỗi giảng viên trong f ** u trong vector. Rốt cuộc, không chỉ là một vần điệu dí dỏm, mọi thứ đều chính xác về mặt toán học - một vectơ cũng có thể được đính kèm ở đó. Nhưng đừng vội mừng, bản thân sinh viên còn khổ hơn nữa =)

Cho nên, vector miễn phí- Cái này một loạt các các phân đoạn có hướng giống hệt nhau. Định nghĩa trường của một vectơ, được đưa ra ở đầu đoạn văn: "Một đoạn có hướng được gọi là vectơ ...", ngụ ý cụ thể một đoạn có hướng lấy từ một tập hợp đã cho, được gắn với một điểm nhất định trong mặt phẳng hoặc không gian.

Cần lưu ý rằng theo quan điểm của vật lý, khái niệm vectơ tự do nói chung là không chính xác, và quan điểm ứng dụng của vectơ là vấn đề. Thật vậy, một cú đánh trực tiếp với cùng một lực vào mũi hoặc vào trán cũng đủ để phát triển ví dụ ngu ngốc của tôi kéo theo những hậu quả khác nhau. Tuy nhiên, không miễn phí vectơ cũng được tìm thấy trong quá trình vyshmat (đừng đến đó :)).

Các thao tác với vectơ. Tính cộng đồng của vectơ

Trong khóa học hình học ở trường, một số hành động và quy tắc với vectơ được coi là: phép cộng theo quy tắc tam giác, cộng theo quy tắc hình bình hành, quy tắc hiệu của vectơ, nhân một vectơ với một số, tích vô hướng của vectơ, v.v. Như một hạt giống, chúng tôi nhắc lại hai quy tắc đặc biệt thích hợp để giải các bài toán về hình học giải tích.

Quy tắc cộng vectơ theo quy tắc tam giác

Xét hai vectơ khác 0 tùy ý và:

Yêu cầu tìm tổng của các vectơ này. Do thực tế là tất cả các vectơ đều được coi là tự do, chúng tôi hoãn vectơ từ chấm dứt vectơ:

Tổng các vectơ là vectơ. Để hiểu rõ hơn về quy tắc, bạn nên đặt một ý nghĩa vật lý vào nó: để một số cơ thể tạo một đường đi dọc theo vectơ, và sau đó dọc theo vectơ. Khi đó tổng các vectơ là vectơ của đường dẫn kết quả bắt đầu từ điểm khởi hành và kết thúc tại điểm đến. Một quy tắc tương tự được xây dựng cho tổng của bất kỳ số lượng vectơ nào. Như họ nói, cơ thể có thể đi theo đường ngoằn ngoèo mạnh mẽ, hoặc có thể lái tự động - dọc theo vectơ tổng kết quả.

Nhân tiện, nếu vectơ bị hoãn lại từ khởi đầu vectơ, sau đó chúng tôi nhận được tương đương quy tắc hình bình hành phép cộng vectơ.

Đầu tiên, về tính thẳng hàng của vectơ. Hai vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song. Nói một cách đại khái, chúng ta đang nói về các vectơ song song. Nhưng trong mối quan hệ với họ, tính từ "collinear" luôn được sử dụng.

Hãy tưởng tượng hai vectơ thẳng hàng. Nếu các mũi tên của các vectơ này hướng theo cùng một hướng, thì các vectơ đó được gọi là đồng hướng. Nếu các mũi tên nhìn theo các hướng khác nhau, thì các vectơ sẽ hướng dẫn ngược lại.

Chỉ định: tính thẳng hàng của vectơ được viết bằng biểu tượng song song thông thường:, trong khi chi tiết có thể: (vectơ được hướng cùng chiều) hoặc (các vectơ được hướng ngược nhau).

công việc của một vectơ khác không của một số là một vectơ có độ dài bằng, và các vectơ cùng hướng tới và hướng ngược lại tới.

Quy tắc nhân một vectơ với một số dễ hiểu hơn bằng hình ảnh:

Chúng tôi hiểu chi tiết hơn:

1 hướng. Nếu số nhân là âm, thì vectơ thay đổi hướng ngược lại.

2) Chiều dài. Nếu thừa số được chứa trong hoặc, thì độ dài của vectơ giảm. Vì vậy, độ dài của vectơ nhỏ hơn độ dài của vectơ hai lần. Nếu hệ số môđun lớn hơn một, thì độ dài của vectơ tăngđúng giờ.

3) Xin lưu ý rằng tất cả các vectơ đều thẳng hàng, trong khi một vectơ được biểu diễn thông qua một vectơ khác, chẳng hạn. Điều ngược lại cũng đúng: nếu một vectơ có thể được biểu diễn theo một vectơ khác, thì các vectơ đó nhất thiết phải thẳng hàng. Như vậy: nếu chúng ta nhân một vectơ với một số, chúng ta sẽ nhận được thẳng hàng(liên quan đến bản gốc) vectơ.

4) Các vectơ đều có hướng. Các vectơ và cũng có hướng. Bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ nhất đối nghịch với bất kỳ vectơ nào của nhóm thứ hai.

Những vectơ nào bằng nhau?

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Lưu ý rằng đồng hướng ngụ ý rằng các vectơ thẳng hàng. Định nghĩa sẽ không chính xác (thừa) nếu bạn nói: "Hai vectơ bằng nhau nếu chúng thẳng hàng, đồng hướng và có cùng độ dài."

Theo quan điểm của khái niệm vectơ tự do, các vectơ bằng nhau là cùng một vectơ, điều này đã được thảo luận trong phần trước.

Tọa độ vectơ trên mặt phẳng và trong không gian

Điểm đầu tiên là xem xét các vectơ trên một mặt phẳng. Vẽ một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes và đặt ngoài gốc tọa độ Độc thân vectơ và:

Vectơ và trực giao. Orthogonal = Vuông góc. Tôi khuyên bạn nên từ từ làm quen với các thuật ngữ: thay vì song song và vuông góc, chúng ta sử dụng các từ tương ứng tính thẳng hàng và tính trực giao.

Chỉ định: trực giao của vectơ được viết với dấu vuông góc thông thường, ví dụ:.

Các vectơ được xem xét được gọi là vectơ tọa độ hoặc orts. Các vectơ này tạo thành nền tảng trên bề mặt. Cơ sở là gì, tôi nghĩ, trực quan rõ ràng cho nhiều, thông tin chi tiết hơn có thể được tìm thấy trong bài viết Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ Nói một cách đơn giản, cơ sở và gốc tọa độ xác định toàn bộ hệ thống - đây là một loại nền tảng mà trên đó có một cuộc sống hình học đầy đủ và phong phú.

Đôi khi cơ sở được xây dựng được gọi là chính thống cơ sở của mặt phẳng: "ortho" - bởi vì các vectơ tọa độ là trực giao, tính từ "chuẩn hóa" có nghĩa là đơn vị, tức là độ dài của các vectơ cơ sở bằng một.

Chỉ định: cơ sở thường được viết trong ngoặc đơn, bên trong theo thứ tự nghiêm ngặt vectơ cơ sở được liệt kê, ví dụ:. Vectơ tọa độ nó bị cấmđổi chỗ cho nhau.

Không tí nào vector máy bay cách duy nhấtđược thể hiện như:
, ở đâu - con số, được gọi là tọa độ vector trong cơ sở này. Nhưng biểu hiện của chính nó triệu tập phân hủy vectornền tảng .

Bữa tối được phục vụ:

Hãy bắt đầu với chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái:. Hình vẽ cho thấy rõ ràng rằng khi phân rã vectơ về cơ sở, những vectơ vừa xem xét được sử dụng:
1) quy tắc nhân một vectơ với một số: và;
2) phép cộng các vectơ theo quy tắc tam giác:.

Bây giờ, hãy đặt vectơ sang một bên từ bất kỳ điểm nào khác trên mặt phẳng. Rõ ràng là sự tham nhũng của anh ta sẽ "không ngừng theo anh ta." Đây rồi, tự do của vectơ - vectơ "mang theo mọi thứ bên bạn." Tất nhiên, thuộc tính này đúng với bất kỳ vectơ nào. Thật buồn cười khi bản thân các vectơ cơ sở (miễn phí) không nhất thiết phải đặt ngoài gốc, một vectơ có thể được vẽ, ví dụ, ở phía dưới bên trái, và cái kia ở trên cùng bên phải, và sẽ không có gì thay đổi từ điều này! Đúng, bạn không cần phải làm điều này, bởi vì giáo viên cũng sẽ thể hiện sự độc đáo và vẽ cho bạn một “điểm vượt qua” ở một nơi không mong đợi.

Vectơ, minh họa chính xác quy tắc nhân một vectơ với một số, vectơ cùng hướng với vectơ cơ sở, vectơ ngược hướng với vectơ cơ sở. Đối với các vectơ này, một trong các tọa độ bằng 0, nó có thể được viết tỉ mỉ như sau:


Và các vectơ cơ sở, bằng cách này, là như thế này: (trên thực tế, chúng được thể hiện thông qua chính chúng).

Và cuối cùng: , . Nhân tiện, phép trừ véc tơ là gì, và tại sao tôi không nói với bạn về quy tắc trừ? Ở đâu đó trong đại số tuyến tính, tôi không nhớ ở đâu, tôi lưu ý rằng phép trừ là một trường hợp đặc biệt của phép cộng. Vì vậy, mở rộng của vectơ "de" và "e" được viết dưới dạng tổng: . Sắp xếp lại các số hạng ở vị trí và theo hình vẽ rõ ràng cách cộng các vectơ cũ tốt theo quy tắc tam giác hoạt động như thế nào trong những tình huống này.

Được coi là sự phân rã của biểu mẫu đôi khi được gọi là sự phân rã véc tơ trong hệ thống ort(nghĩa là trong hệ thống các vectơ đơn vị). Nhưng đây không phải là cách duy nhất để viết một vectơ, tùy chọn sau đây là phổ biến:

Hoặc với dấu bằng:

Bản thân các vectơ cơ sở được viết như sau: và

Tức là, tọa độ của vectơ được chỉ định trong dấu ngoặc đơn. Trong các tác vụ thực tế, cả ba tùy chọn ghi đều được sử dụng.

Tôi nghi ngờ không biết có nên nói hay không, nhưng tôi vẫn sẽ nói: Không thể sắp xếp lại tọa độ vectơ. Nghiêm túc ở vị trí đầu tiên viết ra tọa độ tương ứng với vectơ đơn vị, đứng ở vị trí thứ hai viết ra tọa độ tương ứng với véc tơ đơn vị. Thật vậy, và là hai vectơ khác nhau.

Chúng tôi đã tìm ra tọa độ trên máy bay. Bây giờ hãy xem xét các vectơ trong không gian ba chiều, mọi thứ gần như giống nhau ở đây! Chỉ một tọa độ nữa sẽ được thêm vào. Rất khó để thực hiện các bản vẽ ba chiều, vì vậy tôi sẽ giới hạn bản thân ở một vectơ, vì đơn giản, tôi sẽ hoãn lại từ gốc:

Không tí nào Vector không gian 3d cách duy nhất mở rộng theo cơ sở chính thống:
, tọa độ của vectơ (số) ở đâu trong cơ sở đã cho.

Ví dụ từ hình ảnh: . Hãy xem các quy tắc hành động vector hoạt động như thế nào ở đây. Đầu tiên, nhân một vectơ với một số: (mũi tên đỏ), (mũi tên xanh lục) và (mũi tên đỏ tươi). Thứ hai, đây là một ví dụ về việc thêm một số, trong trường hợp này là ba, vectơ:. Vectơ tổng bắt đầu tại điểm bắt đầu đi (đầu của vectơ) và kết thúc ở điểm đến cuối cùng (cuối vectơ).

Tất nhiên, tất cả các vectơ của không gian ba chiều cũng đều tự do, hãy cố gắng trì hoãn vectơ từ bất kỳ điểm nào khác đi, và bạn sẽ hiểu rằng sự mở rộng của nó "vẫn tồn tại với nó."

Tương tự với trường hợp máy bay, ngoài việc viết các phiên bản có dấu ngoặc được sử dụng rộng rãi: một trong hai.

Nếu thiếu một (hoặc hai) vectơ tọa độ trong phần mở rộng, thì các số không sẽ được đặt thay thế. Ví dụ:
vector (tỉ mỉ ) - viết ra;
vector (tỉ mỉ ) - viết ra;
vector (tỉ mỉ ) - viết ra.

Các vectơ cơ sở được viết như sau:

Ở đây, có lẽ, là tất cả những kiến ​​thức lý thuyết tối thiểu cần thiết để giải các bài toán về hình học giải tích. Có lẽ có quá nhiều thuật ngữ và định nghĩa, vì vậy tôi khuyên người dùng nên đọc lại và hiểu thông tin này một lần nữa. Và sẽ hữu ích cho bạn đọc nào có thể thỉnh thoảng tham khảo bài học cơ bản để đồng hóa tài liệu tốt hơn. Tính cộng tuyến, tính trực giao, cơ sở trực chuẩn, sự phân rã véc tơ - những khái niệm này và các khái niệm khác sẽ thường được sử dụng trong những gì sau đây. Tôi lưu ý rằng các tài liệu của trang web không đủ để vượt qua một bài kiểm tra lý thuyết, một bài kiểm tra thông thường về hình học, vì tôi đã cẩn thận mã hóa tất cả các định lý (ngoài ra không có chứng minh) - có hại cho phong cách trình bày khoa học, nhưng một điểm cộng cho sự hiểu biết của bạn của môn học. Để biết thông tin lý thuyết chi tiết, tôi yêu cầu bạn cúi đầu trước Giáo sư Atanasyan.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần thực hành:

Các bài toán đơn giản nhất của hình học giải tích.
Tác vụ với vectơ trong tọa độ

Các nhiệm vụ sẽ được xem xét, rất mong muốn học cách giải chúng hoàn toàn tự động và các công thức ghi nhớ, thậm chí không cố ý nhớ, các em sẽ tự nhớ =) Cái này rất quan trọng, vì các bài toán khác của hình học giải tích đều dựa trên các ví dụ sơ cấp đơn giản nhất, và sẽ rất khó chịu nếu tốn thêm thời gian để ăn những con tốt. Bạn không cần phải cài chặt những chiếc cúc trên cùng của áo sơ mi, nhiều thứ quen thuộc với bạn từ thời đi học.

Việc trình bày tài liệu sẽ theo một quy trình song song - cả đối với mặt phẳng và không gian. Vì lý do gì mà tất cả các công thức ... bạn sẽ tự xem.

Làm thế nào để tìm một vectơ cho trước hai điểm?

Nếu hai điểm thuộc mặt phẳng và đã cho thì vectơ có tọa độ sau:

Nếu hai điểm trong không gian và cho trước thì vectơ có tọa độ sau:

I E, từ tọa độ của điểm cuối của vectơ bạn cần trừ các tọa độ tương ứng vector bắt đầu.

Bài tập:Đối với các điểm giống nhau, hãy viết công thức tìm tọa độ của vectơ. Các công thức ở cuối bài.

ví dụ 1

Cho hai điểm trong mặt phẳng và. Tìm tọa độ vectơ

Quyết định: theo công thức tương ứng:

Ngoài ra, có thể sử dụng ký hiệu sau:

Aesthetes sẽ quyết định như thế này:

Cá nhân tôi đã quen với phiên bản đầu tiên của bản thu âm.

Trả lời:

Theo điều kiện, không bắt buộc phải xây dựng hình vẽ (đặc trưng cho các bài toán hình học giải tích), nhưng để giải thích một số điểm cho hình nộm, tôi sẽ không quá lười biếng:

Phải được hiểu sự khác biệt giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ:

Tọa độ điểm là các tọa độ thông thường trong một hệ tọa độ hình chữ nhật. Tôi nghĩ rằng mọi người đều biết cách vẽ đồ thị điểm trên mặt phẳng tọa độ từ lớp 5-6. Mỗi điểm đều có một vị trí nghiêm ngặt trên máy bay, và chúng không thể di chuyển đi đâu được.

Tọa độ của cùng một vectơ là sự mở rộng của nó đối với cơ sở, trong trường hợp này. Bất kỳ vectơ nào cũng tự do, do đó, nếu cần, chúng ta có thể dễ dàng hoãn nó từ một điểm nào đó khác trong mặt phẳng. Điều thú vị là đối với vectơ, bạn hoàn toàn không thể xây dựng các trục, một hệ tọa độ hình chữ nhật, bạn chỉ cần một cơ sở, trong trường hợp này, một cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng.

Các bản ghi tọa độ điểm và tọa độ vectơ dường như tương tự nhau: và cảm giác về tọa độ chắc chắn rồi khác nhau, và bạn nên biết rõ về sự khác biệt này. Sự khác biệt này, tất nhiên, cũng đúng với không gian.

Thưa quý vị, chúng tôi lấp đầy bàn tay của chúng tôi:

Ví dụ 2

a) Cho điểm và. Tìm vectơ và.
b) Điểm được cho và . Tìm vectơ và.
c) Cho điểm và. Tìm vectơ và.
d) Cho điểm. Tìm vectơ .

Có lẽ là đủ. Đây là những ví dụ cho một quyết định độc lập, cố gắng đừng bỏ qua chúng, nó sẽ được đền đáp ;-). Bản vẽ không bắt buộc. Lời giải và đáp án cuối bài.

Điều gì là quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề của hình học giải tích?Điều quan trọng là phải CẨN THẬN CỰC KỲ để tránh lỗi “hai cộng hai bằng không”. Tôi xin lỗi trước nếu tôi làm sai =)

Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn?

Chiều dài, như đã lưu ý, được biểu thị bằng dấu hiệu mô đun.

Nếu hai điểm của mặt phẳng và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Nếu hai điểm trong không gian và được cho trước, thì độ dài của đoạn thẳng có thể được tính bằng công thức

Ghi chú: Các công thức sẽ vẫn đúng nếu các tọa độ tương ứng được hoán đổi: và, nhưng tùy chọn đầu tiên chuẩn hơn

Ví dụ 3

Quyết định: theo công thức tương ứng:

Trả lời:

Để rõ ràng, tôi sẽ làm một bản vẽ

Đoạn thẳng - nó không phải là một vectơ và bạn không thể di chuyển nó đi bất cứ đâu, tất nhiên. Ngoài ra, nếu bạn hoàn thành bản vẽ để chia tỷ lệ: 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (hai ô tứ phân), thì bạn có thể kiểm tra câu trả lời bằng thước thông thường bằng cách đo trực tiếp độ dài của đoạn thẳng.

Vâng, giải pháp này ngắn gọn, nhưng có một vài điểm quan trọng trong đó mà tôi muốn làm rõ:

Đầu tiên, trong câu trả lời, chúng tôi đặt thứ nguyên: "đơn vị". Điều kiện không cho biết nó là GÌ, milimét, cm, mét hay km. Do đó, công thức tổng quát sẽ là một giải pháp có thẩm quyền về mặt toán học: “đơn vị” - viết tắt là “đơn vị”.

Thứ hai, hãy nhắc lại tài liệu của trường, tài liệu này không chỉ hữu ích cho vấn đề được xem xét:

chú ý đến thủ thuật kỹ thuật quan trọng – lấy hệ số nhân từ dưới gốc. Theo kết quả của các phép tính, chúng tôi nhận được kết quả và kiểu toán học tốt là lấy số nhân ra từ dưới gốc (nếu có thể). Quá trình này sẽ chi tiết hơn: . Tất nhiên, để câu trả lời ở dạng sẽ không phải là một sai lầm - nhưng nó chắc chắn là một thiếu sót và là một lập luận có trọng lượng cho việc phản bác từ phía giáo viên.

Dưới đây là các trường hợp phổ biến khác:

Ví dụ, một số lượng đủ lớn thu được dưới gốc. Làm thế nào để được trong những trường hợp như vậy? Trên que tính, ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho 4 không:. Có, tách hoàn toàn, do đó: . Hoặc có thể là số có thể chia cho 4 một lần nữa? . Như vậy: . Chữ số cuối cùng của con số là số lẻ, vì vậy chia cho 4 lần thứ ba rõ ràng là không thể. Đang cố gắng chia cho chín :. Kết quả là:
Sẵn sàng.

Sự kết luận: nếu dưới gốc chúng ta nhận được một số nguyên mà không thể trích xuất, thì chúng ta thử lấy thừa số từ dưới gốc - trên máy tính, chúng ta kiểm tra xem số đó có chia hết cho: 4, 9, 16, 25, 36, 49 không , vân vân.

Trong quá trình giải các bài toán thường tìm ra gốc rễ, hãy luôn cố gắng rút ra các yếu tố từ gốc rễ để tránh bị điểm thấp hơn và những rắc rối không đáng có khi hoàn thành lời giải theo nhận xét của giáo viên.

Hãy cùng lúc lặp lại bình phương của các gốc và các lũy thừa khác:

Các quy tắc cho các hành động với mức độ ở dạng tổng quát có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa về đại số ở trường học, nhưng tôi nghĩ rằng mọi thứ hoặc hầu hết mọi thứ đều đã rõ ràng từ các ví dụ được đưa ra.

Nhiệm vụ cho một giải pháp độc lập với một phân đoạn trong không gian:

Ví dụ 4

Cho điểm và. Tìm độ dài của đoạn thẳng.

Lời giải và đáp án cuối bài.

Làm thế nào để tìm độ dài của một vectơ?

Nếu cho trước một vectơ mặt phẳng, thì độ dài của nó được tính bằng công thức.

Nếu cho trước một vectơ không gian, thì độ dài của nó được tính bằng công thức .

VECTOR
Trong vật lý và toán học, vectơ là một đại lượng được đặc trưng bởi giá trị số và hướng của nó. Trong vật lý, có nhiều đại lượng quan trọng là vectơ, chẳng hạn như lực, vị trí, tốc độ, gia tốc, mômen, động lượng, điện trường và từ trường. Chúng có thể được đối chiếu với các đại lượng khác, chẳng hạn như khối lượng, thể tích, áp suất, nhiệt độ và mật độ, có thể được mô tả bằng một con số thông thường, và chúng được gọi là "đại lượng vô hướng". Ký hiệu vectơ được sử dụng khi làm việc với các đại lượng không thể xác định đầy đủ bằng các số thông thường. Ví dụ, chúng tôi muốn mô tả vị trí của một đối tượng liên quan đến một số điểm. Chúng ta có thể biết bao nhiêu km từ một điểm đến một vật thể, nhưng chúng ta không thể xác định đầy đủ vị trí của nó cho đến khi chúng ta biết hướng mà nó nằm. Do đó, vị trí của một đối tượng được đặc trưng bởi một giá trị số (khoảng cách tính bằng km) và hướng. Về mặt đồ họa, vectơ được mô tả dưới dạng các đoạn có hướng của một đoạn thẳng có độ dài nhất định, như trong Hình. 1. Ví dụ, để biểu diễn một lực có khối lượng 5 kilôgam bằng đồ thị, bạn cần vẽ một đoạn thẳng dài 5 đơn vị theo hướng của lực. Mũi tên chỉ lực tác dụng từ A đến B; nếu lực tác dụng từ B đến A, thì chúng ta sẽ viết hoặc Để thuận tiện, vectơ thường được ký hiệu bằng chữ in hoa đậm (A, B, C, v.v.); các vectơ A và -A có trị số bằng nhau, nhưng ngược hướng. Giá trị số của vectơ A được gọi là môđun hoặc độ dài và được ký hiệu là A hoặc | A |. Tất nhiên, đại lượng này là một đại lượng vô hướng. Một vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ rỗng và được ký hiệu là O.

Hai vectơ được gọi là bằng nhau (hoặc tự do) nếu môđun và hướng của chúng giống nhau. Tuy nhiên, trong cơ học và vật lý, định nghĩa này phải được sử dụng một cách thận trọng, vì hai lực bằng nhau tác dụng lên các điểm khác nhau của cơ thể nói chung sẽ dẫn đến các kết quả khác nhau. Về vấn đề này, các vectơ được chia thành "liên kết" hoặc "trượt", như sau: Các vectơ được liên kết có các điểm ứng dụng cố định. Ví dụ, vectơ bán kính cho biết vị trí của một điểm so với điểm gốc cố định nào đó. Các vectơ liên quan được coi là bằng nhau nếu chúng không chỉ có cùng môđun và hướng giống nhau mà còn có điểm ứng dụng chung. Vectơ trượt là những vectơ bằng nhau nằm trên cùng một đường thẳng.
Phép cộng vectơ.Ý tưởng của phép cộng vectơ xuất phát từ thực tế là chúng ta có thể tìm thấy một vectơ duy nhất có cùng hiệu với hai vectơ khác với nhau. Nếu, để đến một điểm nào đó, trước tiên chúng ta cần đi bộ A km theo một hướng và sau đó đi B km theo hướng khác, sau đó chúng ta có thể đến điểm cuối bằng cách đi bộ C km theo hướng thứ ba (Hình 2). Theo nghĩa này, người ta có thể nói rằng

A + B = C.
Vectơ C được gọi là "vectơ kết quả" của A và B và được cho bởi cấu trúc như trong hình; một hình bình hành được xây dựng trên các vectơ A và B như trên các cạnh, và C là một đường chéo nối đầu A và cuối B. Từ hình. 2 có thể thấy rằng phép cộng các vectơ là "giao hoán", tức là A + B = B + A. Tương tự, bạn có thể thêm một số vectơ bằng cách nối chúng nối tiếp trong một "chuỗi liên tục", như trong hình. 3 cho ba vectơ D, E và F. Từ hình. 3 cũng cho thấy rằng

(D + E) + F = D + (E + F), tức là phép cộng các vectơ là phép kết hợp. Mọi số vectơ có thể được tính tổng và các vectơ không phải nằm trong cùng một mặt phẳng. Phép trừ vectơ được biểu diễn bằng cách cộng vào một vectơ âm. Ví dụ, A - B = A + (-B), trong đó, như đã định nghĩa trước đó, -B là một vectơ bằng B về giá trị tuyệt đối nhưng ngược hướng. Quy tắc cộng này hiện có thể được sử dụng như một tiêu chí thực để kiểm tra xem một số đại lượng có phải là vectơ hay không. Các chuyển động thường tuân theo các điều khoản của quy tắc này; điều tương tự có thể được nói về tốc độ; lực cộng lại theo cách giống như có thể thấy từ "tam giác lực". Tuy nhiên, một số đại lượng có cả giá trị số và hướng không tuân theo quy tắc này, và do đó không thể được coi là vectơ. Một ví dụ là phép quay hữu hạn.
Nhân một vectơ với một đại lượng vô hướng. Tích mA hoặc Am, trong đó m (m # 0) là một vô hướng và A là một vectơ khác 0, được định nghĩa là một vectơ khác dài hơn A m lần và có cùng hướng với A nếu m là dương, và ngược lại nếu m âm, như trong Hình. 4, trong đó m lần lượt là 2 và -1/2. Ngoài ra, 1A = A, tức là khi nhân với 1, vectơ không thay đổi. Giá trị -1A là một vectơ có độ dài bằng A nhưng ngược hướng, thường được viết là -A. Nếu A là vectơ không và (hoặc) m = 0 thì mA là vectơ không. Phép nhân là phân phối, tức là

Chúng ta có thể thêm bất kỳ số vectơ nào và thứ tự của các số hạng không ảnh hưởng đến kết quả. Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ vectơ nào cũng được phân tách thành hai hoặc nhiều "thành phần", tức là thành hai hoặc nhiều vectơ mà khi cộng lại với nhau, kết quả là vectơ ban đầu. Ví dụ, trong hình. 2, A và B là các thành phần của C. Nhiều phép toán với vectơ được đơn giản hóa nếu vectơ được chia thành ba thành phần theo ba hướng vuông góc với nhau. Hãy chọn đúng hệ tọa độ Descartes với các trục Ox, Oy và Oz như hình bên. 5. Theo hệ tọa độ bên phải, chúng tôi có nghĩa là các trục x, y và z được định vị như ngón cái, ngón trỏ và ngón giữa của bàn tay phải, có thể được định vị tương ứng. Từ một hệ tọa độ đúng, luôn có thể thu được một hệ tọa độ đúng khác bằng một phép quay thích hợp. Trên hình. 5 cho thấy sự phân rã của vectơ A thành ba thành phần và Chúng cộng lại với vectơ A, vì

Vì thế,

Trước tiên, người ta cũng có thể thêm và lấy, sau đó thêm vào Các hình chiếu của vectơ A trên ba trục tọa độ, ký hiệu là Ax, Ay và Az được gọi là "thành phần vô hướng" của vectơ A:

trong đó a, b và g là góc giữa A và ba trục tọa độ. Bây giờ chúng tôi giới thiệu ba vectơ độ dài đơn vị i, j và k (orths) có cùng hướng với các trục x, y và z tương ứng. Sau đó, nếu Ax được nhân với i, thì tích kết quả là một vectơ bằng và

Hai vectơ bằng nhau nếu và chỉ khi các thành phần vô hướng tương ứng của chúng bằng nhau. Như vậy, A = B nếu và chỉ khi Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Có thể thêm hai vectơ bằng cách thêm các thành phần của chúng:

Ngoài ra, theo định lý Pitago:

Các hàm tuyến tính. Biểu thức aA + bB, trong đó a và b là các vô hướng, được gọi là một hàm tuyến tính của các vectơ A và B. Đây là một vectơ nằm trong cùng mặt phẳng với A và B; nếu A và B không song song thì khi a và b thay đổi, vectơ aA + bB sẽ di chuyển trên toàn bộ mặt phẳng (Hình 6). Nếu A, B và C không nằm trong cùng một mặt phẳng thì vectơ aA + bB + cC (a, b và c thay đổi) chuyển động trong không gian. Giả sử A, B và C là các vectơ đơn vị i, j và k. Vectơ ai nằm trên trục x; vectơ ai + bj có thể chuyển động dọc theo toàn bộ mặt phẳng xy; vectơ ai + bj + ck có thể chuyển động trong không gian.

Người ta có thể chọn bốn vectơ vuông góc với nhau i, j, k và l và xác định vectơ bốn chiều là đại lượng A = Axi + Ayj + Azk + Awl
với chiều dài

và một người có thể tiếp tục lên đến năm, sáu hoặc bất kỳ số thứ nguyên nào. Mặc dù không thể biểu diễn một vector như vậy một cách trực quan, nhưng không có khó khăn toán học nào ở đây. Một ký hiệu như vậy thường hữu ích; ví dụ: trạng thái của một hạt chuyển động được mô tả bằng vectơ sáu chiều P (x, y, z, px, py, pz), có các thành phần là vị trí của nó trong không gian (x, y, z) và động lượng (px , py, pz). Một không gian như vậy được gọi là "không gian pha"; nếu chúng ta xem xét hai hạt, thì không gian pha là 12 chiều, nếu ba, thì 18, v.v. Số thứ nguyên có thể được tăng lên vô thời hạn; tuy nhiên, các đại lượng mà chúng ta sẽ xử lý hoạt động theo cùng một cách giống như các đại lượng mà chúng ta sẽ xem xét trong phần còn lại của bài viết này, cụ thể là vectơ ba chiều.
Phép nhân hai vectơ. Quy tắc cộng vectơ thu được bằng cách nghiên cứu hành vi của các đại lượng được biểu diễn bởi vectơ. Không có lý do rõ ràng tại sao hai vectơ không thể được nhân theo một cách nào đó, nhưng phép nhân này sẽ chỉ có ý nghĩa nếu nó có thể được chứng minh là có âm thanh toán học; Ngoài ra, điều mong muốn rằng sản phẩm có một ý nghĩa vật lý nhất định. Có hai cách để nhân các vectơ thỏa mãn các điều kiện này. Kết quả của một trong số chúng là một tích vô hướng, một tích như vậy được gọi là "tích vô hướng" hoặc "tích bên trong" của hai vectơ và được viết là ACHB hoặc (A, B). Kết quả của một phép nhân khác là một vectơ được gọi là "tích chéo" hoặc "tích ngoài" và được viết A * B hoặc []. Sản phẩm chấm có ý nghĩa vật lý cho một, hai hoặc ba chiều, trong khi sản phẩm vectơ chỉ được xác định cho ba chiều.
Sản phẩm vô hướng. Nếu dưới tác dụng của lực F nào đó, chất điểm mà nó tác dụng đi được một quãng đường r thì công thực hiện bằng tích của r và thành phần F theo phương r. Thành phần này bằng F cos bF, rc, trong đó bF, rc là góc giữa F và r, tức là Công việc đã làm = Fr cos bF, rc. Đây là một ví dụ về phép biện minh vật lý của tích vô hướng được xác định cho hai vectơ A, B bất kỳ bằng công thức
A * B = AB cos bA, Bs.
Vì tất cả các đại lượng ở vế phải của phương trình đều là vô hướng nên A * B = B * A; do đó, phép nhân vô hướng có tính chất giao hoán. Phép nhân vô hướng cũng có tính chất phân phối: A * (B + C) = A * B + A * C. Nếu các vectơ A và B vuông góc với nhau thì cos bA, Bc bằng 0 và do đó, A * B = 0, ngay cả khi cả A và B đều không bằng 0. Đó là lý do tại sao chúng ta không thể chia cho một vectơ. Giả sử chúng ta chia cả hai vế của phương trình A * B = A * C cho A. Điều này sẽ cho B = C và nếu phép chia có thể được thực hiện, thì đẳng thức này sẽ là kết quả khả thi duy nhất. Tuy nhiên, nếu chúng ta viết lại phương trình A * B = A * C thành A * (B - C) = 0 và nhớ rằng (B - C) là một vectơ, thì rõ ràng (B - C) không nhất thiết phải bằng không và do đó B không được bằng C. Những kết quả mâu thuẫn này cho thấy rằng phép chia véc tơ là không thể. Tích vô hướng đưa ra một cách khác để viết giá trị số (môđun) của vectơ: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
Đó là lý do tại sao

Tích vô hướng cũng có thể được viết theo cách khác. Để làm điều này, hãy nhớ rằng: A = Ax i + Ayj + Azk. thông báo rằng

Sau đó,

Vì phương trình cuối cùng chứa x, y và z dưới dạng các chỉ số con, nên phương trình dường như phụ thuộc vào hệ tọa độ cụ thể được chọn. Tuy nhiên, đây không phải là trường hợp, như có thể thấy từ định nghĩa, điều này không phụ thuộc vào các trục tọa độ đã chọn.
Tác phẩm nghệ thuật vector. Vectơ hoặc tích ngoài của vectơ là vectơ có môđun bằng tích của môđun của chúng và sin của góc vuông góc với vectơ ban đầu và cùng với chúng tạo thành bộ ba bên phải. Sản phẩm này được giới thiệu dễ dàng nhất bằng cách xem xét mối quan hệ giữa vận tốc và vận tốc góc. Đầu tiên là một vectơ; bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng cái sau cũng có thể được hiểu là một vectơ. Vận tốc góc của một vật thể đang quay được xác định như sau: chọn một điểm bất kỳ trên vật thể và kẻ một đường vuông góc từ điểm này đến trục quay. Khi đó vận tốc góc của vật là số radian mà đường này quay được trong một đơn vị thời gian. Nếu vận tốc góc là một vectơ thì nó phải có trị số và hướng. Giá trị số được biểu thị bằng radian trên giây, hướng có thể được chọn dọc theo trục quay, nó có thể được xác định bằng cách hướng vectơ theo hướng mà vít thuận tay phải sẽ di chuyển khi quay với thân máy. Coi chuyển động quay của một vật quanh một trục cố định. Nếu chúng ta lắp trục này vào bên trong một chiếc vòng, trục này được cố định trên một trục lồng vào bên trong một chiếc vòng khác, chúng ta có thể cho phần thân bên trong vòng thứ nhất quay với vận tốc góc w1 và sau đó làm cho vòng trong (và phần thân) quay với một vận tốc góc w2. Hình 7 giải thích bản chất của vấn đề; mũi tên tròn hiển thị hướng quay. Vật thể này là một khối cầu đặc có tâm O và bán kính r.

Cơm. 7. MỘT VẬT CÓ TÂM O, quay với vận tốc góc w1 bên trong vòng BC, quay bên trong vòng DE với vận tốc góc w2. Quả cầu quay với vận tốc góc bằng tổng các vận tốc góc và tất cả các điểm trên đường thẳng POP ”đều ở trạng thái nghỉ tức thời.

Hãy cung cấp cho vật này một chuyển động là tổng của hai vận tốc góc khác nhau. Chuyển động này khá khó hình dung, nhưng rõ ràng là cơ thể không còn quay quanh một trục cố định nữa. Tuy nhiên, bạn vẫn có thể nói rằng nó xoay. Để chỉ ra điều này, chúng ta chọn một số điểm P trên bề mặt của vật thể, tại thời điểm chúng ta đang xem xét nó nằm trên một đường tròn lớn nối các điểm mà tại đó hai trục cắt nhau của bề mặt hình cầu. Hãy để chúng tôi thả các đường vuông góc từ P xuống trục. Các đường vuông góc này lần lượt trở thành bán kính PJ và PK của các đường tròn PQRS và PTUW. Hãy vẽ một đường thẳng POPў đi qua tâm của mặt cầu. Lúc này điểm P, tại thời điểm đang xét, đồng thời chuyển động dọc theo các đường tròn mà tiếp xúc tại điểm P. Trong một khoảng thời gian nhỏ Dt, P chuyển động được một khoảng

Khoảng cách này bằng 0 nếu

Trong trường hợp này, điểm P ở trạng thái nghỉ tức thời, và tương tự như vậy, tất cả các điểm trên đường thẳng POP. Trục quay của quả cầu, giống như một bánh xe lăn trên đường tại mỗi thời điểm quay một khoảng thấp nhất của nó điểm Vận tốc góc của quả cầu là bao nhiêu ?, nó chuyển động trong thời gian Dt đi được quãng đường

Trên đường tròn bán kính r sin w1. Theo định nghĩa, vận tốc góc

Từ công thức và quan hệ (1) này, chúng ta nhận được

Nói cách khác, nếu bạn viết ra một giá trị số và chọn hướng của vận tốc góc như mô tả ở trên, thì những đại lượng này cộng lại dưới dạng vectơ và có thể được coi là như vậy. Bây giờ bạn có thể nhập sản phẩm chéo; coi một vật quay với vận tốc góc w. Ta chọn điểm P bất kỳ trên vật thể và điểm gốc O bất kỳ, nằm trên trục quay. Gọi r là vectơ hướng từ O đến P. Điểm P chuyển động dọc theo đường tròn với vận tốc V = w r sin (w, r). Véc tơ vận tốc V là tiếp tuyến của đường tròn và hướng theo hướng như hình bên. tám.

Phương trình này cho biết sự phụ thuộc của tốc độ V của một điểm vào hợp của hai vectơ w và r. Chúng tôi sử dụng quan hệ này để xác định một loại sản phẩm mới và viết: V = w * r. Vì kết quả của một phép nhân như vậy là một vectơ, nên tích này được gọi là tích vectơ. Với hai vectơ A và B bất kỳ, nếu A * B = C thì C = AB sin bA, Bc và phương của vectơ C sao cho vuông góc với mặt phẳng đi qua A, B và các điểm trong cùng hướng là hướng chuyển động của trục vít chuyển động song song với C và quay từ A đến B. Nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng A, B và C, theo thứ tự đó, tạo thành tập hợp các trục tọa độ đúng. Sản phẩm vectơ là phản biến đổi gen; vectơ B * A có cùng môđun với A * B, nhưng hướng theo hướng ngược lại: A * B = -B * A. Tích này là phân phối, nhưng không liên kết; nó có thể được chứng minh rằng

Hãy xem tích vectơ được viết như thế nào dưới dạng thành phần và vectơ đơn vị. Trước hết, đối với vectơ A bất kỳ, A * A = AA sin 0 = 0.
Do đó, trong trường hợp vectơ đơn vị, i * i = j * j = k * k = 0 và i * j = k, j * k = i, k * i = j. Sau đó,

Đẳng thức này cũng có thể được viết như một định thức:

Nếu A * B = 0, thì A hoặc B là 0, hoặc A và B thẳng hàng. Do đó, như với tích chấm, không thể chia cho một vectơ. Giá trị của A * B bằng diện tích hình bình hành có cạnh A và B. Điều này dễ thấy, vì B sin bA, Bc là chiều cao và A là cơ sở của nó. Có nhiều đại lượng vật lý khác là tích vectơ. Một trong những tích vectơ quan trọng nhất xuất hiện trong lý thuyết điện từ và được gọi là vectơ Poynting P. Vectơ này được cho như sau: P = E * H, trong đó E và H lần lượt là vectơ điện trường và từ trường. Vectơ P có thể được coi là một dòng năng lượng nhất định tính bằng watt trên mét vuông tại bất kỳ điểm nào. Dưới đây là một vài ví dụ khác: mômen của lực F (ngẫu lực) so với gốc tọa độ, tác dụng lên một điểm có vectơ bán kính là r, được xác định là r * F; một hạt nằm tại điểm r, có khối lượng m và vận tốc V, có momen động lượng mr * V so với gốc tọa độ; lực tác dụng lên hạt mang điện tích q qua từ trường B với vận tốc V là qV * B.
Ba công trình. Từ ba vectơ, ta có thể tạo thành các tích ba sau: vectơ (A * B) * C; vectơ (A * B) * C; vô hướng (A * B) * C. Loại đầu tiên là tích của một vectơ C và một vô hướng A * B; chúng tôi đã nói về những tác phẩm như vậy. Loại thứ hai được gọi là sản phẩm chéo kép; vectơ A * B vuông góc với mặt phẳng nơi A và B nằm, và do đó (A * B) * C là vectơ nằm trong mặt phẳng A và B và vuông góc với C. Do đó, nói chung, (A * B) * C không bằng A * (B * C). Bằng cách viết A, B và C dưới dạng tọa độ x, y và z (thành phần) của chúng và nhân lên, chúng ta có thể chỉ ra rằng A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * B). Loại sản phẩm thứ ba xảy ra trong các phép tính mạng tinh thể trong vật lý trạng thái rắn về mặt số học bằng thể tích của một hình bình hành có các cạnh A, B, C. Vì (A * B) * C = A * (B * C), các dấu của phép nhân vô hướng và phép nhân vectơ có thể hoán đổi cho nhau, và tích thường được viết là (A B C). Sản phẩm này bằng với yếu tố quyết định

Lưu ý rằng (A B C) = 0 nếu cả ba vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc nếu A = 0 hoặc (và) B = 0 hoặc (và) C = 0.
SỰ KHÁC BIỆT CỦA VECTOR
Giả sử vectơ U là một hàm của một biến vô hướng t. Ví dụ, U có thể là vectơ bán kính được vẽ từ điểm gốc đến điểm chuyển động, và t có thể là thời gian. Đặt t thay đổi một lượng nhỏ Dt sẽ thay đổi U bằng DU. Điều này được thể hiện trong hình. 9. Tỉ số DU / Dt là vectơ cùng phương với DU. Chúng ta có thể xác định đạo hàm của U đối với t là

miễn là tồn tại một giới hạn như vậy. Mặt khác, người ta có thể biểu diễn U là tổng của các thành phần dọc theo ba trục và viết

Nếu U là vectơ bán kính r, thì dr / dt là tốc độ của chất điểm, được biểu thị dưới dạng hàm thời gian. Phân biệt với thời gian một lần nữa, chúng tôi nhận được gia tốc. Giả sử điểm di chuyển dọc theo đường cong được hiển thị trong Hình. 10. Gọi s là quãng đường đi được của một điểm dọc theo đường cong. Trong một khoảng thời gian nhỏ Dt, chất điểm sẽ đi qua quãng đường Ds dọc theo đường cong; vị trí của vectơ bán kính sẽ thay đổi thành Dr. Do đó Dr / Ds là một vector được chỉ thị giống như Dr. Thêm nữa

Dr vector - bán kính-vector thay đổi.

là một vector đơn vị tiếp tuyến của đường cong. Điều này có thể thấy từ thực tế là khi điểm Q tiếp cận điểm P, PQ tiếp cận tiếp tuyến và Dr tiếp cận Ds. Các công thức để phân biệt một sản phẩm tương tự như các công thức để phân biệt một tích của các hàm vô hướng; tuy nhiên, vì sản phẩm chéo là phản nguyên tử, nên thứ tự của phép nhân phải được giữ nguyên. Cho nên,

Do đó, chúng ta thấy rằng nếu vectơ là một hàm của một biến vô hướng, thì chúng ta có thể biểu diễn đạo hàm theo cách giống như trong trường hợp của một hàm vô hướng.
Trường vectơ và vô hướng. Dốc. Trong vật lý, người ta thường phải đối phó với các đại lượng vectơ hoặc vô hướng thay đổi từ điểm này sang điểm khác trong một khu vực nhất định. Những khu vực như vậy được gọi là "lĩnh vực". Ví dụ, một đại lượng vô hướng có thể là nhiệt độ hoặc áp suất; vectơ có thể là vận tốc của chất lỏng chuyển động hoặc trường tĩnh điện của một hệ thống điện tích. Nếu chúng ta đã chọn một hệ trục tọa độ nào đó, thì bất kỳ điểm P (x, y, z) nào trong khu vực đã cho tương ứng với một vectơ bán kính r (= xi + yj + zk) và giá trị của đại lượng vectơ U (r) hoặc vô hướng f (r) liên kết với nó. Giả sử rằng U và f được xác định duy nhất trong miền; những thứ kia. mỗi điểm tương ứng với một và chỉ một giá trị U hoặc f, mặc dù các điểm khác nhau tất nhiên có thể có các giá trị khác nhau. Giả sử chúng ta muốn mô tả tốc độ mà U và f thay đổi khi chúng ta di chuyển qua khu vực này. Các đạo hàm riêng đơn giản, chẳng hạn như dU / dx và df / dy, không phù hợp với chúng ta, vì chúng phụ thuộc vào các trục tọa độ được chọn cụ thể. Tuy nhiên, có thể giới thiệu một toán tử vi phân vectơ độc lập với việc lựa chọn các trục tọa độ; toán tử này được gọi là "gradient". Hãy để chúng tôi giải quyết một trường vô hướng f. Đầu tiên, làm ví dụ, hãy xem xét một bản đồ đường viền của một khu vực của một quốc gia. Trong trường hợp này, f là độ cao trên mực nước biển; các đường đồng mức nối các điểm có cùng giá trị f. Khi di chuyển dọc theo bất kỳ đường nào trong số này, f không thay đổi; nếu chúng ta di chuyển vuông góc với những đường thẳng này, thì tốc độ thay đổi của f sẽ là cực đại. Chúng ta có thể liên kết mỗi điểm với một vectơ chỉ độ lớn và hướng của sự thay đổi lớn nhất của tốc độ f; một bản đồ như vậy và một số vectơ này được thể hiện trong Hình. 11. Nếu chúng ta làm điều này cho mọi điểm của trường, chúng ta sẽ nhận được một trường vectơ liên kết với trường vô hướng f. Đây là trường của một vectơ được gọi là "gradient" f, được viết là grad f hoặc Cf (ký hiệu C còn được gọi là "nabla").

Trong trường hợp ba chiều, các đường đồng mức trở thành bề mặt. Một sự thay đổi nhỏ Dr (= iDx + jDy + kDz) dẫn đến sự thay đổi trong f, được viết là

trong đó các dấu chấm biểu thị các điều khoản thứ tự cao hơn. Biểu thức này có thể được viết dưới dạng sản phẩm dấu chấm

Chia vế phải và vế trái của đẳng thức này cho Ds, và cho Ds có xu hướng bằng không; sau đó

trong đó dr / ds là vectơ đơn vị theo hướng đã chọn. Biểu thức trong ngoặc là một vectơ phụ thuộc vào điểm đã chọn. Vì vậy df / ds có giá trị lớn nhất khi dr / ds hướng theo cùng một hướng, biểu thức trong ngoặc đơn là gradient. Vì vậy,

- vectơ có độ lớn bằng và trùng hướng với tốc độ thay đổi lớn nhất của f so với tọa độ. Gradient f thường được viết là

Điều này có nghĩa là toán tử C tồn tại bởi chính nó. Trong nhiều trường hợp, nó hoạt động giống như một vectơ và trên thực tế là một "toán tử vi phân vectơ" - một trong những toán tử vi phân quan trọng nhất trong vật lý. Mặc dù thực tế là C chứa các vectơ đơn vị i, j và k, ý nghĩa vật lý của nó không phụ thuộc vào hệ tọa độ đã chọn. Mối quan hệ giữa Cf và f là gì? Trước hết, giả sử rằng f xác định thế năng tại một điểm bất kỳ. Đối với bất kỳ chuyển vị nhỏ nào Tiến sĩ, giá trị của f sẽ thay đổi bằng

Nếu q là đại lượng (ví dụ, khối lượng, điện tích) do Dr chuyển động, thì công thực hiện khi chuyển động q theo Dr bằng

Vì Dr là độ dời nên qСf là lực; -F là lực căng (lực trên một đơn vị lượng) liên kết với f. Ví dụ, gọi U là thế tĩnh điện; thì E là cường độ điện trường, được cho bởi công thức E = -СU. Giả sử U được tạo ra bởi một điện tích điểm có khối lượng q đặt tại gốc tọa độ. Giá trị của U tại điểm P (x, y, z) với vectơ bán kính r được cho bởi công thức

Trong đó e0 là hằng số điện môi của không gian tự do. Cho nên

Khi đó E tác dụng theo phương r và độ lớn của nó bằng q / (4pe0r3). Biết được trường vô hướng, người ta có thể xác định được trường vectơ liên kết. Điều ngược lại cũng có thể xảy ra. Từ quan điểm của xử lý toán học, trường vô hướng dễ hoạt động hơn trường vectơ, vì chúng được cung cấp bởi một hàm tọa độ, trong khi trường vectơ yêu cầu ba hàm tương ứng với các thành phần vectơ theo ba hướng. Vì vậy, câu hỏi đặt ra: đã cho một trường vectơ, chúng ta có thể viết ra trường vô hướng liên kết với nó không?
Phân kỳ và rôto. Chúng ta đã thấy kết quả của C hoạt động trên một hàm vô hướng. Điều gì xảy ra nếu C được áp dụng cho một vectơ? Có hai khả năng xảy ra: cho U (x, y, z) là một vectơ; thì chúng ta có thể tạo thành một sản phẩm chéo và chấm như sau:

Biểu thức đầu tiên của những biểu thức này là một đại lượng vô hướng được gọi là phân kỳ của U (ký hiệu là divU); thứ hai là một vectơ được gọi là U rôto (ký hiệu là rotU). Những hàm vi phân, phân kỳ và cuộn tròn, được sử dụng rộng rãi trong vật lý toán học. Hãy tưởng tượng rằng U là một vectơ nào đó và nó và các đạo hàm đầu tiên của nó là liên tục trong một miền nào đó. Gọi P là một điểm trong vùng này được bao quanh bởi một mặt kín nhỏ S giới hạn thể tích DV. Gọi n là vectơ đơn vị vuông góc với bề mặt này tại mọi điểm (n thay đổi hướng khi nó chuyển động quanh bề mặt, nhưng luôn có độ dài đơn vị); để n hướng ra ngoài. Hãy để chúng tôi cho thấy điều đó

Ở đây S chỉ ra rằng các tích phân này được lấy trên toàn bộ bề mặt, da là một phần tử của bề mặt S. Để đơn giản, chúng ta sẽ chọn dạng thuận tiện của S dưới dạng một hình bình hành nhỏ (như trong hình 12) với các cạnh Dx, Dy và Dz; điểm P là tâm của hình bình hành. Đầu tiên chúng ta tính tích phân từ phương trình (4) trên một mặt của hình bình hành. Đối với mặt trước n = i (véc tơ đơn vị song song với trục x); Da = DyDz. Phần đóng góp vào tích phân từ mặt trước bằng

Ở mặt đối diện n = -i; khuôn mặt này góp phần vào sự tích phân

Sử dụng định lý Taylor, chúng ta nhận được tổng đóng góp của hai mặt

Lưu ý rằng DxDyDz = DV. Tương tự, đóng góp từ hai cặp mặt còn lại có thể được tính toán. Tích phân đầy đủ bằng

và nếu chúng ta đặt DV (r) 0, thì các điều khoản bậc cao hơn sẽ biến mất. Theo công thức (2), biểu thức trong ngoặc là divU, điều này chứng tỏ đẳng thức (4). Đẳng thức (5) có thể được chứng minh theo cách tương tự. Hãy sử dụng Hình. 12; thì phần đóng góp từ mặt trước vào tích phân sẽ bằng

Và, sử dụng định lý Taylor, chúng ta nhận được rằng tổng đóng góp vào tích phân từ hai mặt có dạng

những thứ kia. đây là hai số hạng từ biểu thức cho rotU trong phương trình (3). Bốn điều khoản còn lại sẽ có được sau khi tính đến sự đóng góp của bốn gương mặt còn lại. Những tỷ lệ này thực sự có nghĩa là gì? Xét đẳng thức (4). Giả sử rằng U là tốc độ (của chất lỏng chẳng hạn). Khi đó nЧU da = Un da, trong đó Un là thành phần pháp tuyến của vectơ U đối với bề mặt. Do đó, Un da ​​là thể tích chất lỏng chảy qua da trên một đơn vị thời gian, và là thể tích chất lỏng chảy qua S trong một đơn vị thời gian. Vì thế,

Tốc độ giãn nở của một đơn vị thể tích xung quanh điểm P. Đây là nơi mà sự phân kỳ được đặt tên; nó cho biết tốc độ mà chất lỏng nở ra (tức là tách ra khỏi) P. Để giải thích ý nghĩa vật lý của rôto U, hãy xem xét một tích phân bề mặt khác trên một thể tích hình trụ nhỏ có chiều cao h bao quanh P; mặt phẳng song song có thể được định hướng theo bất kỳ hướng nào chúng ta chọn. Gọi k là vectơ đơn vị vuông góc với mỗi bề mặt và gọi diện tích của mỗi bề mặt là DA; thì tổng khối lượng DV = hDA (Hình 13). Bây giờ hãy xem xét tích phân

Tích phân là tích vô hướng bộ ba đã đề cập trước đây. Tích này sẽ bằng 0 trên các bề mặt phẳng có k và n song song. Trên bề mặt cong

Trong đó ds là phần tử đường cong như trong hình. 13. So sánh các giá trị ngang bằng này với quan hệ (5), chúng tôi nhận được rằng

Chúng tôi vẫn giả định rằng U là tốc độ. Vận tốc góc trung bình của chất lỏng xung quanh k trong trường hợp này sẽ là bao nhiêu? Hiển nhiên là

nếu DA không bằng 0. Biểu thức này đạt cực đại khi k và rotU điểm cùng phương; điều này có nghĩa là rotU là một vectơ bằng hai lần vận tốc góc của chất lỏng tại điểm P. Nếu chất lỏng quay quanh P, thì rotU là # 0 và các vectơ U sẽ quay quanh P. Do đó có tên là rôto. Định lý phân kỳ (định lý Ostrogradsky-Gauss) là một tổng quát của công thức (4) cho các tập hữu hạn. Cô ấy nói rằng đối với một số thể tích V được giới hạn bởi một bề mặt đóng S,

Vectơ là một đối tượng toán học được đặc trưng bởi hướng và độ lớn. Trong hình học, vectơ là một đoạn thẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian, có hướng và độ dài riêng của nó.

Ký hiệu vectơ

Để chỉ định một vectơ, một chữ cái thường hoặc hai chữ cái viết hoa được sử dụng, tương ứng với phần đầu và phần cuối của vectơ, trong khi dấu gạch ngang được hiển thị phía trên các chữ cái. Chữ cái đầu tiên cho biết phần đầu của vector, chữ cái thứ hai - phần cuối (xem Hình 1). Màn hình đồ họa của một vectơ hiển thị một mũi tên chỉ hướng của nó.

Tọa độ của một vectơ trên mặt phẳng và trong không gian là gì?

Tọa độ vectơ là hệ số của tổ hợp tuyến tính duy nhất có thể có của các vectơ cơ sở trong hệ tọa độ đã chọn. Nghe có vẻ phức tạp nhưng thực ra nó khá đơn giản. Hãy lấy một ví dụ.

Giả sử chúng ta cần tìm tọa độ của vectơ a. Hãy đặt nó trong một hệ tọa độ ba chiều (xem Hình 2) và thực hiện các phép chiếu của vectơ trên mỗi trục. Vectơ a trong trường hợp này sẽ được viết như sau: a = a x i + a y j + a z k, trong đó i, j, k là các vectơ cơ sở, a x, a y, a z là các hệ số xác định tọa độ của vectơ a. Biểu thức chính nó sẽ được gọi là một tổ hợp tuyến tính. Trên một mặt phẳng (trong hệ tọa độ chữ nhật), một tổ hợp tuyến tính sẽ bao gồm hai cơ sở và hệ số.

Quan hệ vectơ

Trong lý thuyết vectơ, có một thuật ngữ như là tỷ lệ của vectơ. Khái niệm này xác định vị trí của các vectơ so với nhau trên mặt phẳng và trong không gian. Các trường hợp đặc biệt nổi tiếng nhất của quan hệ vectơ là:

• tính thẳng hàng;
• tính đồng hướng;
• sự đồng đều;
• bình đẳng.

Vectơ thẳng hàng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song với nhau, vectơ đồng phương có cùng phương, vectơ đồng phẳng nằm trong cùng một mặt phẳng hoặc trong hai mặt phẳng song song, các vectơ bằng nhau thì có cùng phương và độ dài.

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng của một đường thẳng trong không gian Euclide, trong đó một đầu (điểm A) được gọi là điểm đầu của vectơ, và đầu kia (điểm B) được gọi là điểm cuối của vectơ (Hình 1) . Các vectơ được ký hiệu:

Nếu đầu và cuối của vectơ giống nhau thì vectơ được gọi là vectơ không và được biểu thị 0 .

Ví dụ. Cho vectơ đầu của vectơ trong không gian hai chiều có tọa độ là Một(12,6), và điểm cuối của vectơ là tọa độ B(12,6). Khi đó vectơ là một vectơ rỗng.

Chiều dài cắt AB triệu tập mô-đun (Dài, tiêu chuẩn) vectơ và được ký hiệu là | một| Một vectơ có độ dài bằng một được gọi là đơn vị véc tơ. Ngoài môđun, một vectơ được đặc trưng bởi một hướng: một vectơ có hướng từ Mộtđến B. Một vectơ được gọi là một vectơ, đối nghịch vectơ.

Hai vectơ được gọi là thẳng hàng nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song. Trong bộ lễ phục. 3 vectơ đỏ thẳng hàng kể từ chúng nằm trên cùng một đường thẳng và các vectơ màu xanh lam thẳng hàng, bởi vì chúng nằm trên các đường thẳng song song. Hai vectơ thẳng hàng được gọi là đều hướng nếu các đầu của chúng nằm trên cùng một phía của đường nối với các điểm bắt đầu của chúng. Hai vectơ thẳng hàng được gọi là hướng ngược nhau nếu các đầu của chúng nằm về phía đối diện của đường nối với phần đầu của chúng. Nếu hai vectơ thẳng hàng nằm trên cùng một đường thẳng thì chúng được cho là có hướng bằng nhau nếu một trong các tia tạo bởi một vectơ hoàn toàn chứa tia tạo bởi vectơ kia. Nếu không, các vectơ được gọi là hướng ngược lại. Trong Hình 3, các vectơ màu xanh là cùng hướng và các vectơ màu đỏ là theo hướng ngược lại.

Hai vectơ được gọi là bình đẳng nếu chúng có các mô-đun bằng nhau và có hướng như nhau. Trong Hình 2, các vectơ bằng nhau vì môđun của chúng bằng nhau và có cùng phương.

Các vectơ được gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trên cùng một mặt phẳng hoặc trong hai mặt phẳng song song.

TẠI N Trong không gian vectơ có chiều, xét tập hợp tất cả các vectơ có điểm bắt đầu trùng với điểm gốc. Khi đó vectơ có thể được viết dưới dạng sau:

(1)

ở đâu x 1, x 2, ..., x n tọa độ điểm cuối vector x.

Vectơ viết ở dạng (1) được gọi là hàng vector và vectơ được viết là

(2)

triệu tập cột vector.

Con số N triệu tập kích thước (theo thứ tự) vectơ. Nếu một thì vectơ được gọi là vectơ không(vì điểm bắt đầu của vectơ ). Hai vectơ x và y bằng nhau nếu và chỉ khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau.