Cách tìm ước của một cấp tiến hình học. Khái niệm về tiến trình hình học

Cấp số nhân, cùng với số học, là một chuỗi sốđang được nghiên cứu ở khóa học ở trườngđại số lớp 9. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét mẫu số của một cấp tiến bộ hình học, và giá trị của nó ảnh hưởng như thế nào đến các tính chất của nó.

Định nghĩa của tiến trình hình học

Đầu tiên, hãy xác định điều này dãy số. Một tiến trình hình học là một chuỗi số hữu tỉ, được hình thành bằng cách nhân tuần tự phần tử đầu tiên của nó với số không đổi, được gọi là mẫu số.

Ví dụ, các số trong chuỗi 3, 6, 12, 24, ... là một cấp số nhân hình học, bởi vì nếu chúng ta nhân 3 (phần tử đầu tiên) với 2, chúng ta nhận được 6. Nếu chúng ta nhân 6 với 2, chúng ta nhận được 12, v.v.

Các phần tử của dãy đang xét thường được ký hiệu bằng ký hiệu ai, trong đó i là số nguyên chỉ số phần tử trong dãy.

Định nghĩa trên của một cấp số nhân có thể được viết bằng ngôn ngữ toán học như sau: an = bn-1 * a1, trong đó b là mẫu số. Dễ dàng kiểm tra công thức này: nếu n = 1 thì b1-1 = 1, và ta nhận được a1 = a1. Nếu n = 2, thì an = b * a1, và chúng ta lại đi đến định nghĩa của dãy số đang xét. Lập luận tương tự có thể được tiếp tục cho giá trị lớn N.

Mẫu số của một tiến trình hình học

Số b hoàn toàn quyết định toàn bộ dãy số sẽ có ký tự gì. Mẫu số b có thể là số dương, số âm hoặc lớn hơn hoặc nhỏ hơn một. Tất cả các tùy chọn trên đều dẫn đến các chuỗi khác nhau:

• b> 1. Có một dãy số hữu tỉ tăng dần. Ví dụ, 1, 2, 4, 8, ... Nếu phần tử a1 là âm, thì toàn bộ dãy số sẽ chỉ tăng theo modulo, nhưng giảm theo dấu của các số.
• b = 1. Thường trường hợp như vậy không được gọi là cấp tiến, vì có một dãy số hữu tỉ giống hệt nhau thông thường. Ví dụ, -4, -4, -4.

Công thức tính tổng

Trước khi tiếp tục xem xét các vấn đề cụ thể bằng cách sử dụng mẫu số của loại cấp tiến đang được xem xét, người ta nên đưa công thức quan trọng cho tổng của n phần tử đầu tiên của nó. Công thức là: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Bạn có thể tự mình nhận được biểu thức này nếu bạn xem xét một chuỗi đệ quy của các thành viên của tiến trình. Cũng lưu ý rằng trong công thức trên, chỉ cần biết tử đầu tiên và mẫu số là đủ để tìm tổng của một số hạng tùy ý.

Trình tự giảm vô hạn

Trên đây là lời giải thích về nó là gì. Bây giờ, khi biết công thức của Sn, chúng ta hãy áp dụng nó cho chuỗi số này. Vì bất kỳ số nào có môđun không vượt quá 1, khi được nâng lên bằng cấp tuyệt vời có xu hướng bằng không, tức là b∞ => 0 nếu -1

Vì hiệu (1 - b) sẽ luôn dương, bất kể giá trị của mẫu số là bao nhiêu, dấu của tổng của một cấp hình học giảm vô hạn S∞ được xác định duy nhất bởi dấu của phần tử đầu tiên a1.

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một số vấn đề, nơi chúng ta sẽ chỉ ra cách áp dụng kiến ​​thức thu được vào các con số cụ thể.

Nhiệm vụ số 1. Tính các phần tử chưa biết của cấp tiến và tổng

Cho một cấp tiến bộ hình học, mẫu số của cấp tiến là 2 và phần tử đầu tiên của nó là 3. Số hạng thứ 7 và thứ 10 của nó là bao nhiêu, và tổng của bảy phần tử ban đầu của nó là bao nhiêu?

Điều kiện của bài toán khá đơn giản và liên quan đến việc sử dụng trực tiếp các công thức trên. Vì vậy, để tính phần tử có số n, ta sử dụng biểu thức an = bn-1 * a1. Với phần tử thứ 7 ta có: a7 = b6 * a1, thay vào số liệu đã biết ta được: a7 = 26 * 3 = 192. Ta làm tương tự với phần tử thứ 10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Chúng tôi sử dụng công thức nổi tiếng cho tổng và xác định giá trị này cho 7 phần tử đầu tiên của chuỗi. Ta có: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Nhiệm vụ số 2. Xác định tổng các phần tử tùy ý của tiến trình

Gọi -2 là mẫu số của cấp số nhân bn-1 * 4, với n là số nguyên. Cần phải xác định tổng từ phần tử thứ 5 đến phần tử thứ 10 của chuỗi này, bao gồm cả.

Vấn đề trong tầm tay không thể được giải quyết trực tiếp bằng cách sử dụng công thức đã biết. Bạn có thể giải quyết nó với 2 Các phương pháp khác nhau. Vì lợi ích của sự đầy đủ, chúng tôi trình bày cả hai.

Phương pháp 1. Ý tưởng của nó rất đơn giản: bạn cần tính hai tổng tương ứng của các số hạng đầu tiên, rồi lấy số kia trừ đi một. Tính tổng nhỏ hơn: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Bây giờ chúng ta tính tổng lớn: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Lưu ý rằng trong biểu thức cuối cùng, chỉ có 4 số hạng được tính tổng, vì số thứ 5 đã được tính vào tổng cần tính theo điều kiện của bài toán. Cuối cùng, chúng tôi lấy sự khác biệt: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Phương pháp 2. Trước khi thay các số và đếm, bạn có thể nhận được công thức tính tổng giữa các số hạng m và n của dãy số được đề cập. Chúng tôi thực hiện theo cách giống hệt như trong phương pháp 1, chỉ khác là chúng tôi làm việc đầu tiên với biểu diễn tượng trưng của tổng. Ta có: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Trong biểu thức kết quả, bạn có thể thay thế những con số đã biết và tính kết quả cuối cùng: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.

Nhiệm vụ số 3. Mẫu số là gì?

Cho a1 = 2, tìm mẫu số của cấp tiến hình học, với điều kiện tổng vô hạn của nó là 3 và biết rằng đây là một dãy số giảm dần.

Theo điều kiện của bài toán, không khó để đoán được nên sử dụng công thức nào để giải nó. Tất nhiên, đối với tổng của một cấp số tiến giảm vô hạn. Ta có: S∞ = a1 / (1 - b). Từ đó ta biểu thị mẫu số: b = 1 - a1 / S∞. Nó vẫn để thay thế giá trị đã biết và nhận được số cần thiết: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 hoặc -0,333 (3). Chúng ta có thể kiểm tra định tính kết quả này nếu chúng ta nhớ rằng đối với loại dãy số này, môđun b không được vượt quá 1. Như bạn thấy, | -1 / 3 |

Nhiệm vụ số 4. Khôi phục một chuỗi số

Cho 2 phần tử của dãy số, ví dụ: thứ 5 bằng 30 và thứ 10 bằng 60. Cần khôi phục toàn bộ dãy số từ các dữ liệu này, biết rằng nó thỏa mãn các tính chất của một cấp số nhân hình học.

Để giải quyết vấn đề, trước tiên bạn phải viết ra biểu thức tương ứng cho từng thành viên đã biết. Ta có: a5 = b4 * a1 và a10 = b9 * a1. Bây giờ ta chia biểu thức thứ hai cho biểu thức thứ nhất, ta được: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Từ đây ta xác định được mẫu số bằng cách lấy căn bậc 5 của tỉ số các thành viên đã biết từ điều kiện của bài toán, b = 1,148698. Thay số kết quả vào một trong các biểu thức cho một phần tử đã biết, ta được: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966.

Như vậy, chúng ta đã tìm ra mẫu số của cấp lũy tiến bn là gì, và cấp độ hình học bn-1 * 17.2304966 = an, trong đó b = 1.148698.

Các tiến trình hình học được sử dụng ở đâu?

Nếu không có ứng dụng của chuỗi số này trong thực tế, thì nghiên cứu của nó sẽ được thu hẹp thành một quan tâm lý thuyết thuần túy. Nhưng có một ứng dụng như vậy.

3 ví dụ nổi tiếng nhất được liệt kê dưới đây:

• Nghịch lý của Zeno, trong đó Achilles nhanh nhẹn không thể bắt kịp con rùa chậm chạp, được giải quyết bằng cách sử dụng khái niệm về một dãy số giảm vô hạn.
• Nếu các hạt lúa mì được đặt trên mỗi ô của bàn cờ sao cho 1 hạt được đặt trên ô thứ nhất, 2 - trên ô thứ 2, 3 - trên ô thứ 3, v.v. thì 18446744073709551615 hạt sẽ cần để lấp đầy tất cả các ô của bảng!
• Trong trò chơi “Tháp Hà Nội”, để sắp xếp lại các đĩa từ que tính này sang que tính khác, cần thực hiện 2n - 1 phép toán, tức là số lượng đĩa của chúng lớn dần lên theo cấp số nhân từ số đĩa n đã dùng.

Nếu mọi số tự nhiên N xếp hàng số thực một , sau đó họ nói rằng đã cho dãy số :

một 1 , một 2 , một 3 , . . . , một , . . . .

Vì vậy, một dãy số là một hàm của một đối số tự nhiên.

Con số một 1 triệu tập thành viên đầu tiên của chuỗi , con số một 2 — thành viên thứ hai của chuỗi , con số một 3 — ngày thứ ba vân vân. Con số một triệu tập thành viên thứ n trình tự , một số tự nhiên N — số của anh ấy .

Từ hai thành viên lân cận một và một +1 chuỗi thành viên một +1 triệu tập tiếp theo (đối với một ), một một — Trước (đối với một +1 ).

Để chỉ định một chuỗi, bạn phải chỉ định một phương thức cho phép bạn tìm một phần tử của chuỗi với bất kỳ số nào.

Thường thì trình tự được đưa ra với công thức số hạng thứ n , nghĩa là, một công thức cho phép bạn xác định một phần tử của dãy bằng số của nó.

Ví dụ,

dãy các số lẻ dương có thể được cho bởi công thức

một= 2N- 1,

và trình tự xen kẽ 1 và -1 - công thức

b N = (-1)N +1 . ◄

Trình tự có thể được xác định công thức lặp lại, nghĩa là, một công thức thể hiện bất kỳ thành viên nào của dãy, bắt đầu bằng một số, thông qua (một hoặc nhiều) thành viên trước đó.

Ví dụ,

nếu một 1 = 1 , một một +1 = một + 5

một 1 = 1,

một 2 = một 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

một 3 = một 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

một 4 = một 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

một 5 = một 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Nếu một một 1= 1, một 2 = 1, một +2 = một + một +1 , sau đó là bảy điều khoản đầu tiên dãy số thiết lập như sau:

một 1 = 1,

một 2 = 1,

một 3 = một 1 + một 2 = 1 + 1 = 2,

một 4 = một 2 + một 3 = 1 + 2 = 3,

một 5 = một 3 + một 4 = 2 + 3 = 5,

một 6 = một 4 + một 5 = 3 + 5 = 8,

một 7 = một 5 + một 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Các chuỗi có thể là cuối cùng và bất tận .

Chuỗi được gọi là tối hậu nếu cô ấy có số giới hạn các thành viên. Chuỗi được gọi là bất tận nếu nó có vô số thành viên.

Ví dụ,

dãy số tự nhiên có hai chữ số:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

cuối cùng.

Dãy số nguyên tố:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

bất tận. ◄

Trình tự được gọi là tăng dần , nếu mỗi thành viên của nó, bắt đầu từ phần thứ hai, lớn hơn phần trước.

Trình tự được gọi là suy tàn , nếu mỗi thành viên của nó, bắt đầu từ thứ hai, ít hơn thành viên trước đó.

Ví dụ,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . là một chuỗi tăng dần;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . là một chuỗi giảm dần. ◄

Một dãy có các phần tử không giảm khi tăng số lượng, hoặc ngược lại, không tăng, được gọi là chuỗi đơn điệu .

Đặc biệt, các trình tự đơn điệu là trình tự tăng và trình tự giảm.

Cấp số cộng

Cấp số cộng một dãy được gọi, mỗi phần tử, bắt đầu từ phần thứ hai, bằng với phần trước đó, cùng một số được thêm vào.

một 1 , một 2 , một 3 , . . . , một, . . .

là một cấp số cộng nếu với bất kỳ số tự nhiên nào N điều kiện được đáp ứng:

một +1 = một + d,

ở đâu d - một số.

Do đó, hiệu số giữa các thành phần tiếp theo và các thành viên trước đó của một cấp số cộng nhất định luôn không đổi:

một 2 - một 1 = một 3 - một 2 = . . . = một +1 - một = d.

Con số d triệu tập sự khác biệt của một cấp số cộng.

Để thiết lập một cấp số cộng, chỉ cần xác định số hạng đầu tiên và hiệu của nó là đủ.

Ví dụ,

nếu một 1 = 3, d = 4 , thì năm số hạng đầu tiên của dãy số được tìm thấy như sau:

một 1 =3,

một 2 = một 1 + d = 3 + 4 = 7,

một 3 = một 2 + d= 7 + 4 = 11,

một 4 = một 3 + d= 11 + 4 = 15,

một 5 = một 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Đối với một cấp số cộng với số hạng đầu tiên một 1 và sự khác biệt d bà ấy N

một = một 1 + (N- 1)d.

Ví dụ,

tìm số hạng thứ ba mươi của một cấp số cộng

1, 4, 7, 10, . . .

một 1 =1, d = 3,

một 30 = một 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

một n-1 = một 1 + (N- 2)d,

một= một 1 + (N- 1)d,

một +1 = một 1 + nd,

sau đó rõ ràng

một=	a n-1 + a n + 1
	2

mỗi thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ cấp thứ hai, bằng trung bình cộng của các cấp số cộng trước và sau đó.

các số a, b và c là thành viên liên tiếp của một cấp số cộng nào đó nếu và chỉ khi một trong hai số đó bằng trung bình cộng của hai số còn lại.

Ví dụ,

một = 2N- 7 , là một cấp số cộng.

Hãy sử dụng câu lệnh trên. Chúng ta có:

một = 2N- 7,

một n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

một n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2N- 5.

Vì thế,

a n + 1 + a n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = một,
2		2

◄

Lưu ý rằng N -thành viên thứ của một cấp số cộng có thể được tìm thấy không chỉ thông qua một 1 , mà còn bất kỳ trước một k

một = một k + (N- k)d.

Ví dụ,

vì một 5 có thể được viết

một 5 = một 1 + 4d,

một 5 = một 2 + 3d,

một 5 = một 3 + 2d,

một 5 = một 4 + d. ◄

một = một n-k + kd,

một = a n + k - kd,

sau đó rõ ràng

một=	một n-k + a n + k
	2

bất kỳ thành viên nào của một cấp số cộng, bắt đầu từ cấp số hai, bằng một nửa tổng các thành viên của cấp số cộng này cách đều nó.

Ngoài ra, đối với bất kỳ cấp số cộng nào, đẳng thức là đúng:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Ví dụ,

trong cấp số cộng

1) một 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (một 9 + một 11 )/2;

2) 28 = một 10 = một 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) một 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, như

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ một,

Đầu tiên N Các thành viên của một cấp số cộng bằng tích của một nửa tổng các số hạng cực trị với số số hạng:

Đặc biệt, từ điều này, điều này dẫn đến việc nếu cần phải tính tổng các điều khoản

một k, một k +1 , . . . , một,

thì công thức trước đó vẫn giữ nguyên cấu trúc của nó:

Ví dụ,

trong cấp số cộng 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Nếu cho cấp số cộng, sau đó là số lượng một 1 , một, d, N vàS N được liên kết bởi hai công thức:

Do đó, nếu số ba của các đại lượng này đã cho, sau đó giá trị tương ứng của hai đại lượng kia được xác định từ các công thức này kết hợp thành một hệ hai phương trình với hai ẩn số.

Một cấp số cộng là một dãy đơn điệu. Trong đó:

• nếu d > 0 , sau đó nó đang tăng lên;
• nếu d < 0 , sau đó nó đang giảm;
• nếu d = 0 , sau đó chuỗi sẽ đứng yên.

Cấp số nhân

cấp số nhân một dãy được gọi, mỗi số hạng trong đó, bắt đầu từ số thứ hai, bằng số hạng trước, nhân với cùng một số.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

là một cấp số nhân hình học nếu với bất kỳ số tự nhiên nào N điều kiện được đáp ứng:

b n +1 = b n · q,

ở đâu q ≠ 0 - một số.

Do đó, tỷ số của số hạng tiếp theo của cấp tiến hình học này với số hạng trước đó là một số không đổi:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Con số q triệu tập mẫu số của một tiến trình hình học.

Để thiết lập một cấp số nhân hình học, chỉ cần xác định số hạng đầu tiên và mẫu số của nó là đủ.

Ví dụ,

nếu b 1 = 1, q = -3 , thì năm số hạng đầu tiên của dãy số được tìm thấy như sau:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

B 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 và mẫu số q bà ấy N số hạng thứ có thể được tìm thấy bằng công thức:

b n = b 1 · q n -1 .

Ví dụ,

tìm số hạng thứ bảy của một tiến trình hình học 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

sau đó rõ ràng

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

mỗi phần tử của tiến trình hình học, bắt đầu từ bậc thứ hai, bằng giá trị trung bình hình học (tỷ lệ) của các phần tử trước đó và tiếp theo.

Vì điều ngược lại cũng đúng, khẳng định sau đây đúng:

các số a, b và c là thành viên liên tiếp của một số cấp hình học nếu và chỉ khi bình phương của một trong số chúng bằng với sản phẩm hai số còn lại, tức là một trong các số là trung bình hình học của hai số kia.

Ví dụ,

hãy để chúng tôi chứng minh rằng dãy được cho bởi công thức b n= -3 2 N , là một tiến trình hình học. Hãy sử dụng câu lệnh trên. Chúng ta có:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Vì thế,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

điều đó chứng minh khẳng định bắt buộc. ◄

Lưu ý rằng N thuật ngữ thứ của một tiến trình hình học có thể được tìm thấy không chỉ thông qua b 1 , mà còn bất kỳ thuật ngữ nào trước đó b k , mà nó đủ để sử dụng công thức

b n = b k · q n - k.

Ví dụ,

vì b 5 có thể được viết

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = B 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

sau đó rõ ràng

b n 2 = b n - k· b n + k

Bình phương của bất kỳ thành viên nào của một cấp tiến hình học, bắt đầu từ cấp thứ hai, bằng tích của các thành viên của cấp tiến này cách đều nó.

Ngoài ra, đối với bất kỳ tiến trình hình học nào, đẳng thức là đúng:

b m· b n= b k· b l,

m+ N= k+ l.

Ví dụ,

nhanh chóng

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , như

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Đầu tiên N các thành viên của một tiến trình hình học với một mẫu số q ≠ 0 được tính theo công thức:

Và khi q = 1 - theo công thức

S n= n.b. 1

Lưu ý rằng nếu chúng ta cần tổng hợp các điều khoản

b k, b k +1 , . . . , b n,

thì công thức được sử dụng:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Ví dụ,

nhanh chóng 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Nếu một cấp tiến bộ hình học được đưa ra, thì các đại lượng b 1 , b n, q, N và S n được liên kết bởi hai công thức:

Do đó, nếu cho giá trị của ba đại lượng bất kỳ thì giá trị tương ứng của hai đại lượng còn lại được xác định từ các công thức này gộp lại thành một hệ hai phương trình với hai ẩn số.

Đối với một tiến trình hình học với số hạng đầu tiên b 1 và mẫu số q sau đây diễn ra tính chất đơn điệu :

• tiến trình sẽ tăng lên nếu một trong các điều kiện sau được đáp ứng:

b 1 > 0 và q> 1;

b 1 < 0 và 0 < q< 1;

• Tiến trình giảm dần nếu một trong các điều kiện sau được đáp ứng:

b 1 > 0 và 0 < q< 1;

b 1 < 0 và q> 1.

Nếu một q< 0 , thì tiến trình hình học là dấu-xen kẽ: các số hạng lẻ của nó có cùng dấu với số hạng đầu tiên của nó, và các số hạng chẵn có dấu ngược lại. Rõ ràng rằng một tiến trình hình học xen kẽ không phải là đơn điệu.

Sản phẩm đầu tiên N số hạng của một tiến trình hình học có thể được tính bằng công thức:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Ví dụ,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Tiến trình hình học giảm vô hạn

Tiến trình hình học giảm vô hạn được gọi là một cấp tiến hình học vô hạn có môđun mẫu số nhỏ hơn 1 , I E

|q| < 1 .

Lưu ý rằng một cấp độ hình học giảm vô hạn có thể không phải là một chuỗi giảm dần. Điều này phù hợp với trường hợp

1 < q< 0 .

Với mẫu số như vậy, dãy có dấu xen kẽ. Ví dụ,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Tổng của một tiến trình hình học giảm vô hạn đặt tên cho số mà tổng của số đầu tiên N điều kiện của sự tiến triển với sự gia tăng không giới hạn về số lượng N . Con số này luôn hữu hạn và được biểu thị bằng công thức

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Ví dụ,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Mối quan hệ giữa các cấp số học và hình học

Các cấp số học và hình học có quan hệ mật thiết với nhau. Hãy xem xét hai ví dụ.

một 1 , một 2 , một 3 , . . . d , sau đó

ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .

Ví dụ,

1, 3, 5, . . . - cấp số cộng với hiệu 2 và

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . là một tiến trình hình học với một mẫu số 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . là một tiến trình hình học với một mẫu số q , sau đó

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - cấp số cộng với hiệu log aq .

Ví dụ,

2, 12, 72, . . . là một tiến trình hình học với một mẫu số 6 và

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - cấp số cộng với hiệu lg 6 . ◄

Hướng dẫn

10, 30, 90, 270...

Nó được yêu cầu để tìm mẫu số của một cấp tiến bộ hình học.
Quyết định:

1 tùy chọn. Hãy lấy một thành viên bất kỳ của cấp số nhân (ví dụ: 90) và chia nó cho cấp số trước (30): 90/30 = 3.

Nếu biết tổng của một số phần tử của một cấp tiến hình học hoặc tổng của tất cả các thành phần của một cấp tiến hình học giảm dần, thì để tìm mẫu số của cấp tiến, hãy sử dụng các công thức thích hợp:
Sn = b1 * (1-q ^ n) / (1-q), trong đó Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của tiến trình hình học và
S = b1 / (1-q), trong đó S là tổng của một cấp tiến hình học giảm vô hạn (tổng của tất cả các thành phần của cấp tiến có mẫu số nhỏ hơn một).
Ví dụ.

Số hạng đầu tiên của một tiến trình hình học giảm dần bằng một, và tổng tất cả các số hạng của nó bằng hai.

Nó được yêu cầu để xác định mẫu số của sự tiến triển này.
Quyết định:

Thay thế dữ liệu từ nhiệm vụ vào công thức. Mắc phải:
2 = 1 / (1-q), khi đó - q = 1/2.

Một cấp tiến là một dãy số. Trong một cấp tiến hình học, mỗi số hạng tiếp theo thu được bằng cách nhân số hạng trước đó với một số q nhất định, được gọi là mẫu số của cấp số hạng.

Hướng dẫn

Nếu biết hai thành phần lân cận của hình học b (n + 1) và b (n), để được mẫu số thì phải chia số có số lớn cho trước nó: q = b (n +1) / b (n). Điều này dựa trên định nghĩa của lũy tiến và mẫu số của nó. Một điều kiện quan trọng là số 0 bất đẳng thức của số hạng đầu tiên và mẫu số của cấp tiến, nếu không nó được coi là vô định.

Do đó, các quan hệ sau được thiết lập giữa các thành viên của cấp tiến: b2 = b1 q, b3 = b2 q,…, b (n) = b (n-1) q. Bằng công thức b (n) = b1 q ^ (n-1) bất kỳ phần tử nào của một cấp tiến hình học đều có thể được tính, trong đó mẫu số q và phần tử b1 đã biết. Ngoài ra, mỗi modulo lũy tiến bằng giá trị trung bình của các thành viên lân cận của nó: | b (n) | = √, do đó lũy tiến có giá trị.

Tương tự của một tiến trình hình học là đơn giản nhất hàm số mũ y = a ^ x, trong đó x là số mũ, a là một số nào đó. Trong trường hợp này, mẫu số của cấp tiến giống với số hạng đầu tiên và bằng số một. Giá trị của hàm y có thể được hiểu là kỳ thứ n lũy tiến, nếu đối số x được coi là số tự nhiên n (bộ đếm).

Tồn tại cho tổng của n phần tử đầu tiên của một cấp hình học: S (n) = b1 (1-q ^ n) / (1-q). Công thức này hợp lệ với q ≠ 1. Nếu q = 1, thì tổng của n số hạng đầu tiên được tính theo công thức S (n) = n b1. Nhân tiện, cấp số tiến sẽ được gọi là tăng đối với q lớn hơn một và dương b1. Khi mẫu số của cấp tiến, modulo không vượt quá một, cấp tiến sẽ được gọi là giảm dần.

trương hợp đặc biệt tiến trình hình học - một tiến trình hình học giảm vô hạn (b.u.g.p.). Thực tế là các phần tử của một tiến trình hình học giảm dần sẽ giảm đi nhiều lần, nhưng sẽ không bao giờ đạt đến không. Mặc dù vậy, có thể tìm thấy tổng của tất cả các số hạng của một tiến trình như vậy. Nó được xác định bởi công thức S = b1 / (1-q). Toàn bộ n thành viên là vô hạn.

Để hình dung cách bạn có thể thêm một số vô hạn và không nhận được vô cùng, hãy nướng một chiếc bánh. Cắt bỏ một nửa của nó. Sau đó, cắt 1/2 trái và cứ tiếp tục như vậy. Các mảnh mà bạn sẽ nhận được không hơn gì các thành viên của một tiến trình hình học giảm vô hạn với mẫu số là 1/2. Nếu bạn đặt tất cả những phần này lại với nhau, bạn sẽ có được chiếc bánh ban đầu.

Vấn đề hình học là sự đa dạng đặc biệt các bài tập yêu cầu tư duy không gian. Nếu bạn không thể giải được hình học nhiệm vụ cố gắng làm theo các quy tắc dưới đây.

Hướng dẫn

Đọc kỹ điều kiện của vấn đề, nếu bạn không nhớ hoặc không hiểu điều gì đó, hãy đọc lại lần nữa.

Cố gắng tìm ra loại vấn đề hình họcđó là, ví dụ: tính toán, khi bạn cần tìm ra giá trị nào đó, các nhiệm vụ đòi hỏi một chuỗi suy luận logic, các nhiệm vụ để xây dựng bằng cách sử dụng la bàn và thước kẻ. Nhiệm vụ khác loại hỗn hợp. Khi bạn đã tìm ra loại vấn đề, hãy cố gắng suy nghĩ một cách logic.

Áp dụng định lý cần thiết cho vấn đề này, nếu có nghi ngờ hoặc không có lựa chọn nào cả, hãy cố gắng nhớ lại lý thuyết mà bạn đã nghiên cứu về chủ đề liên quan.

Lập bản thảo của vấn đề là tốt. Cố gắng áp dụng những cách đã biết kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp của bạn.

Hoàn thành lời giải của bài toán một cách gọn gàng trong một cuốn sổ, không có dấu gạch ngang và gạch ngang, và quan trọng nhất là -. Có lẽ sẽ mất thời gian và công sức để giải những bài toán hình học đầu tiên. Tuy nhiên, khi bạn hiểu được quá trình này, bạn sẽ bắt đầu nhấp vào các nhiệm vụ như các loại hạt và vui vẻ khi thực hiện nó!

Cấp hình học là một dãy số b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n) sao cho b2 = b1 * q, b3 = b2 * q, ..., b (n ) = b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Nói cách khác, mỗi thành viên của cấp tiến được lấy từ cấp trước đó bằng cách nhân nó với mẫu số khác 0 của cấp tiến q.

Hướng dẫn

Các vấn đề về một cấp tiến thường được giải quyết bằng cách biên dịch và tuân theo một hệ thống đối với số hạng đầu tiên của cấp tiến b1 và mẫu số của cấp tiến q. Để viết phương trình, sẽ rất hữu ích khi nhớ một số công thức.

Cách biểu diễn thành viên thứ n của cấp tiến thông qua thành viên thứ nhất của cấp tiến và mẫu số của cấp tiến: b (n) = b1 * q ^ (n-1).

Xét riêng trường hợp | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Hãy xem xét một loạt.

7 28 112 448 1792...

Rõ ràng là giá trị của bất kỳ phần tử nào của nó lớn hơn chính xác bốn lần so với phần tử trước đó. Vì vậy, loạt bài này là một sự tiến triển.

Cấp tiến hình học là một dãy số vô hạn, đặc điểm chính của nó là số tiếp theo nhận được từ số trước bằng cách nhân với một số cụ thể. Điều này được thể hiện bằng công thức sau.

a z +1 = a z q, với z là số phần tử được chọn.

Theo đó, z ∈ N.

Giai đoạn mà một tiến trình hình học được học ở trường là lớp 9. Các ví dụ sẽ giúp bạn hiểu khái niệm:

0.25 0.125 0.0625...

Dựa trên công thức này, mẫu số của cấp số tiến có thể được tìm thấy như sau:

Cả q và b z đều không thể bằng không. Ngoài ra, mỗi phần tử của tiến trình không được bằng 0.

Theo đó, để tìm ra số tiếp theo trong dãy số, bạn cần nhân số cuối cùng với q.

Để chỉ định tiến trình này, bạn phải chỉ định phần tử và mẫu số đầu tiên của nó. Sau đó, có thể tìm thấy bất kỳ số hạng nào tiếp theo và tổng của chúng.

Đẳng cấp

Tùy thuộc vào q và a, sự tiến triển này được chia thành nhiều loại:

• Nếu cả 1 và q đều lớn hơn một, thì một dãy như vậy là một cấp số nhân hình học tăng dần với mỗi phần tử tiếp theo. Một ví dụ về điều đó được trình bày dưới đây.

Ví dụ: a 1 = 3, q ​​= 2 - cả hai tham số đều lớn hơn một.

Sau đó, dãy số có thể được viết như thế này:

3 6 12 24 48 ...

• Nếu | q | nhỏ hơn một, nghĩa là, phép nhân với nó tương đương với phép chia, thì một cấp với các điều kiện tương tự là một cấp hình học giảm dần. Một ví dụ về điều đó được trình bày dưới đây.

Ví dụ: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 lớn hơn một, q nhỏ hơn.

Sau đó, dãy số có thể được viết như sau:

6 2 2/3 ... - phần tử nào lớn gấp 3 lần phần tử theo sau nó.

• Dấu-biến. Nếu q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Ví dụ: a 1 = -3, q = -2 - cả hai tham số đều nhỏ hơn 0.

Sau đó, trình tự có thể được viết như thế này:

3, 6, -12, 24,...

Công thức

Để sử dụng thuận tiện các tiến trình hình học, có nhiều công thức:

• Công thức của thành viên thứ z. Cho phép bạn tính phần tử dưới một số cụ thể mà không cần tính các số trước đó.

Ví dụ:q = 3, một 1 = 4. Yêu cầu tính phần tử thứ tư của cấp tiến.

Quyết định:một 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Tổng của các phần tử đầu tiên có số là z. Cho phép bạn tính tổng của tất cả các phần tử của một chuỗi lên đếna zbao gồm.

Kể từ (1-q) ở mẫu số, thì (1 - q)≠ 0, do đó q không bằng 1.

Lưu ý: nếu q = 1, thì cấp số nhân sẽ là một dãy số lặp lại vô hạn.

Tổng của một tiến trình hình học, ví dụ:một 1 = 2, q= -2. Tính S 5.

Quyết định:S 5 = 22 - tính theo công thức.

• Số tiền nếu |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Ví dụ:một 1 = 2 , q= 0,5. Tìm số tiền.

Quyết định:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Một số thuộc tính:

• tính chất đặc trưng. Nếu điều kiện sau thực hiện cho bất kỳz, thì dãy số đã cho là một cấp số nhân:

a z 2 = a z -1 · mộtz + 1

• Ngoài ra, bình phương của bất kỳ số nào của một cấp tiến bộ hình học được tìm thấy bằng cách cộng các bình phương của bất kỳ hai số nào khác trong một chuỗi nhất định, nếu chúng cách đều phần tử này.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , ở đâutlà khoảng cách giữa những con số này.

• Các yếu tốkhác nhau ở qMột lần.
• Lôgarit của các phần tử cấp tiến cũng tạo thành một cấp số nhân, nhưng đã là cấp số cộng, tức là mỗi phần tử trong số chúng lớn hơn phần tử trước đó một số nhất định.

Ví dụ về một số bài toán cổ điển

Để hiểu rõ hơn một tiến trình hình học là gì, các ví dụ kèm theo lời giải cho lớp 9 có thể giúp ích cho bạn.

• Điều kiện:một 1 = 3, một 3 = 48. Tìmq.

Giải pháp: mỗi phần tử tiếp theo lớn hơn phần tử trước đó trongq Một lần.Nó là cần thiết để biểu thị một số yếu tố thông qua những yếu tố khác bằng cách sử dụng một mẫu số.

Vì thế,một 3 = q 2 · một 1

Khi thay thếq= 4

• Điều kiện:một 2 = 6, một 3 = 12. Tính S 6.

Quyết định:Để làm điều này, chỉ cần tìm q, phần tử đầu tiên và thay thế nó vào công thức.

một 3 = q· một 2 , vì thế,q= 2

a 2 = q một 1,Đó là lý do tại sao a 1 = 3

S 6 = 189

• · một 1 = 10, q= -2. Tìm phần tử thứ tư của tiến trình.

Giải pháp: để làm được điều này, chỉ cần biểu thị yếu tố thứ tư thông qua mẫu số đầu tiên và thông qua mẫu số là đủ.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Ví dụ ứng dụng:

• Khách hàng của ngân hàng đã gửi một khoản tiền 10.000 rúp, theo các điều kiện mà hàng năm khách hàng sẽ cộng 6% số đó vào số tiền gốc. Sau 4 năm nữa sẽ có bao nhiêu tiền trong tài khoản?

Giải pháp: Số tiền ban đầu là 10 nghìn rúp. Vì vậy, một năm sau khi đầu tư, tài khoản sẽ có số tiền bằng 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Theo đó, số tiền trong tài khoản sau một năm nữa sẽ được thể hiện như sau:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Tức là mỗi năm số tiền tăng lên 1,06 lần. Điều này có nghĩa là để tìm số tiền trong tài khoản sau 4 năm, thì chỉ cần tìm phần tử thứ tư của lũy tiến là phần tử thứ nhất bằng 10 nghìn và mẫu số bằng 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Ví dụ về các nhiệm vụ để tính tổng:

Trong các bài toán khác nhau, một tiến trình hình học được sử dụng. Một ví dụ để tìm tổng có thể được đưa ra như sau:

một 1 = 4, q= 2, tính toánS5.

Giải pháp: tất cả các dữ liệu cần thiết cho phép tính đều đã biết, bạn chỉ cần thay chúng vào công thức.

S 5 = 124

• một 2 = 6, một 3 = 18. Tính tổng của sáu phần tử đầu tiên.

Quyết định:

Geom. lũy tiến, mỗi phần tử tiếp theo lớn hơn phần tử trước q lần, nghĩa là, để tính tổng, bạn cần biết phần tửmột 1 và mẫu sốq.

một 2 · q = một 3

q = 3

Tương tự, chúng ta cần tìmmột 1 , biếtmột 2 vàq.

một 1 · q = một 2

a 1 =2

S 6 = 728.

CÁC DÒNG SỐ VI

§ l48. Tổng của một tiến trình hình học giảm vô hạn

Từ trước đến nay, nói về tổng, chúng ta luôn cho rằng số hạng trong các tổng này là hữu hạn (ví dụ: 2, 15, 1000, v.v.). Nhưng khi giải một số bài toán (đặc biệt là toán cao hơn), người ta phải xử lý tổng của vô số số hạng

S = một 1 + một 2 + ... + một N + ... . (1)

Những số tiền này là gì? A-priory tổng của vô số số hạng một 1 , một 2 , ..., một N , ... được gọi là giới hạn của tổng S N Đầu tiên P những con số khi P -> ∞ :

S = S N = (một 1 + một 2 + ... + một N ). (2)

Tất nhiên, giới hạn (2) có thể tồn tại hoặc không. Theo đó, tổng (1) được cho là tồn tại hoặc không tồn tại.

Làm thế nào để tìm xem liệu tổng (1) có tồn tại trong từng trường hợp cụ thể hay không? Một giải pháp chung cho câu hỏi này vượt xa phạm vi chương trình của chúng tôi. Tuy nhiên, có một trường hợp đặc biệt quan trọng mà chúng ta phải xem xét bây giờ. Chúng ta sẽ nói về tính tổng của các số hạng của một tiến trình hình học giảm vô hạn.

Để cho được một 1 , một 1 q , một 1 q 2, ... là một cấp hình học giảm vô hạn. Điều này có nghĩa là | q |< 1. Сумма первых P các thành viên của tiến trình này ngang bằng với

Từ các định lý cơ bản về giới hạn của các biến số (xem § 136), chúng ta thu được:

Nhưng 1 = 1, a q n = 0. Do đó

Vì vậy, tổng của một cấp tiến hình học giảm vô hạn bằng số hạng đầu tiên của cấp tiến này chia cho một trừ đi mẫu số của cấp tiến này.

1) Tổng của các cấp hình học 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... là

và tổng của một cấp hình học là 12; -6; 3; - 3/2, ... bằng

2) Một phân số tuần hoàn đơn giản 0,454545 ... biến thành một phân số thường.

Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi biểu diễn phân số này dưới dạng tổng vô hạn:

Vế phải của đẳng thức này là tổng của một cấp số hạng hình học giảm vô hạn, số hạng đầu tiên của nó là 45/100 và mẫu số là 1/100. Cho nên

Theo cách được mô tả, quy tắc chung để chuyển các phân số tuần hoàn đơn giản thành phân số thông thường cũng có thể đạt được (xem Chương II, § 38):

Để chuyển một phân số tuần hoàn đơn giản thành phân số thông thường, bạn cần tiến hành như sau: đặt chu kỳ của phân số thập phân vào tử số và ở mẫu số - một số gồm các số ni được lấy nhiều lần khi có các chữ số trong chu kỳ. của phân số thập phân.

3) Hỗn số tuần hoàn 0,58333 .... biến thành phân số thường.

Hãy biểu diễn phân số này dưới dạng tổng vô hạn:

Ở vế phải của đẳng thức này, tất cả các số hạng, bắt đầu từ 3/1000, tạo thành một cấp tiến hình học giảm vô hạn, số hạng đầu tiên của nó là 3/1000 và mẫu số là 1/10. Cho nên

Theo cách được mô tả, quy tắc chung để chuyển các phân số tuần hoàn hỗn hợp thành phân số thông thường cũng có thể nhận được (xem Chương II, § 38). Chúng tôi cố tình không đưa nó vào đây. Không cần thiết phải ghi nhớ quy tắc rườm rà này. Sẽ hữu ích hơn nhiều nếu biết rằng bất kỳ phân số tuần hoàn hỗn hợp nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một cấp số tiến hình học giảm vô hạn và một số nào đó. Và công thức

đối với tổng của một tiến trình hình học giảm vô hạn, tất nhiên, người ta phải nhớ.

Như một bài tập, chúng tôi đề nghị bạn, ngoài các bài toán số 995-1000 đưa ra dưới đây, một lần nữa chuyển sang bài toán số 301 § 38.

Bài tập

995. Thế nào được gọi là tổng của một cấp tiến hình học giảm vô hạn?

996. Tìm tổng của các lũy tiến hình học giảm vô hạn:

997. Đối với những giá trị nào X sự tiến triển

đang giảm vô hạn? Tìm tổng của một cấp tiến như vậy.

998. Trong một tam giác đều có cạnh một một tam giác mới được nội tiếp bằng cách nối các trung điểm của các cạnh của nó; một tam giác mới được nội tiếp trong tam giác này theo cách tương tự, và cứ tiếp tục như vậy.

a) tổng các chu vi của tất cả các tam giác này;

b) tổng diện tích của chúng.

999. Trong một hình vuông có một cạnh một một hình vuông mới được nội tiếp bằng cách nối các trung điểm của các cạnh của nó; một hình vuông được nội tiếp trong hình vuông này theo cách tương tự, và cứ thế tiếp tục như vậy ad infinitum. Tìm tổng chu vi của tất cả các hình vuông này và tổng diện tích của chúng.

1000. Lập một cấp tiến hình học giảm vô hạn, sao cho tổng của nó bằng 25/4 và tổng bình phương các số hạng của nó bằng 625/24.