Các định lý cơ bản về động lực học. Các định lý chung về động lực học

Bài giảng 3 Các định lý chung về động lực học

Động lực học của hệ thống điểm vật chất là một nhánh quan trọng của cơ học lý thuyết. Ở đây, chúng tôi chủ yếu xem xét các vấn đề về chuyển động của các hệ thống cơ học (hệ thống các điểm vật chất) với số giới hạn bậc tự do - số lượng lớn nhất của các tham số độc lập xác định vị trí của hệ thống. nhiệm vụ chinhđộng lực học hệ thống - nghiên cứu các quy luật chuyển động của một vật thể cứng và các hệ thống cơ học.

Cách tiếp cận đơn giản nhất để nghiên cứu chuyển động của một hệ thống, bao gồm Nđiểm vật chất, được giảm xuống khi xem xét các chuyển động của từng điểm riêng lẻ của hệ thống. Trong trường hợp này, tất cả các lực tác dụng lên mỗi điểm của hệ, bao gồm cả lực tương tác giữa các điểm, phải được xác định.

Xác định gia tốc của mỗi điểm theo định luật II Newton (1.2), chúng ta thu được đối với mỗi điểm ba định luật vi phân vô hướng của chuyển động bậc hai, tức là 3 N luật vi phân của chuyển động đối với toàn bộ hệ thống.

Để tìm phương trình chuyển động hệ thống cơ khí các lực đã cho và các điều kiện ban đầu đối với mỗi điểm của hệ, thu được luật khác biệt cần được tích hợp. Bài toán này khó ngay cả trong trường hợp hai điểm vật chất chỉ chuyển động dưới tác dụng của lực tương tác theo định luật vạn vật hấp dẫn (bài toán hai vật), và cực khó trong trường hợp ba điểm tương tác ( vấn đề của ba thể).

Do đó, cần phải tìm ra các phương pháp giải các bài toán dẫn đến các phương trình có thể giải được và đưa ra ý tưởng về chuyển động của một hệ cơ học. Các định lý tổng quát về động lực học, là hệ quả của các định luật vi phân của chuyển động, làm cho nó có thể tránh được sự phức tạp nảy sinh trong quá trình tích hợp và thu được các kết quả cần thiết.

3.1. Nhận xét chung

Các điểm của hệ thống cơ học sẽ được đánh số bằng các chỉ số tôi, j, k v.v ... chạy qua tất cả các giá trị 1, 2, 3… N, ở đâu N là số điểm hệ thống. Các đại lượng vật lý liên quan đến kđiểm thứ được biểu thị bằng cùng một chỉ số với điểm. Ví dụ, chúng biểu thị tương ứng là vectơ bán kính và tốc độ k-điểm thứ.

Các lực có hai gốc tác dụng lên mỗi điểm của hệ: thứ nhất, các lực có nguồn nằm bên ngoài hệ, được gọi là bên ngoài các lực và được ký hiệu là; thứ hai, lực từ các điểm khác của hệ thống này, được gọi là nội bộ lực và được ký hiệu là. Nội lực thỏa mãn định luật thứ ba của Newton. Xét các tính chất đơn giản nhất của nội lực tác dụng lên toàn bộ hệ cơ ở bất kỳ trạng thái nào của nó.

Tài sản đầu tiên. Tổng hình học của tất cả các nội lực của hệ (vectơ chính của nội lực) bằng không.

Thật vậy, nếu chúng ta xem xét hai điểm tùy ý bất kỳ của hệ thống, chẳng hạn, và (Hình 3.1), sau đó cho họ , tại vì Lực tác dụng và phản lực luôn có giá trị tuyệt đối bằng nhau, chúng tác dụng dọc theo một đường tác dụng theo hướng ngược lại, đường nối các điểm tương tác. Vectơ chính của nội lực bao gồm các cặp lực của các điểm tương tác, do đó

(3.1)

Tài sản thứ hai. Tổng hình học của các mômen của tất cả các nội lực so với một điểm tùy ý trong không gian bằng không.

Xem xét hệ thống các mômen của các lực và đối với chất điểm O(Hình 3.1). Từ (Hình 3.1). Rõ ràng là

,

tại vì cả hai lực có cùng cánh tay và ngược chiều vectơ mômen. Mômen chính của nội lực về chất điểm O bao gồm tổng vectơ của các biểu thức đó và bằng không. Vì thế,

Để bên ngoài và Nội lực hoạt động trên một hệ thống cơ học bao gồm Nđiểm (Hình 3.2). Nếu kết quả của các lực bên ngoài và kết quả của tất cả các lực bên trong được áp dụng cho mỗi điểm của hệ thống, thì đối với bất kỳ kđiểm thứ của hệ, người ta có thể lập phương trình vi phân của chuyển động. Tổng cộng các phương trình như vậy sẽ là N:

và trong các phép chiếu lên các trục tọa độ cố định 3 N:

(3.4)

Phương trình vectơ (3.3) hoặc phương trình vô hướng tương đương (3.4) biểu diễn định luật vi phân chuyển động của các chất điểm của toàn hệ thống. Nếu tất cả các điểm chuyển động song song với một mặt phẳng hoặc một đường thẳng thì số phương trình (3.4) trong trường hợp đầu tiên sẽ là 2 N, trong giây N.

ví dụ 1 Hai tải có khối lượng và được kết nối với nhau bằng một sợi cáp không thể uốn được ném qua một khối (Hình 3.3). Bỏ qua các lực ma sát, cũng như khối lượng của khối và dây cáp, xác định quy luật chuyển động của hàng hóa và lực căng của dây cáp.

Quyết định. Hệ thống bao gồm hai phần thân vật liệu (được kết nối bằng một sợi cáp không kéo dài được) chuyển động song song theo một trục X. Hãy để chúng tôi viết ra các định luật vi phân của chuyển động trong các phép chiếu lên trục X cho tất cả mọi người.

Để quả nặng bên phải hạ xuống với gia tốc, sau đó quả nặng bên trái sẽ tăng lên khi có gia tốc. Chúng tôi giải phóng tinh thần khỏi kết nối (cáp) và thay thế nó bằng các phản ứng và (Hình 3.3). Giả sử rằng các vật thể tự do, chúng ta sẽ biên soạn luật vi phân của chuyển động trong phép chiếu lên trục X(nghĩa là căng ren là lực bên trong và trọng lượng của tải là bên ngoài):

Vì và (các phần thân được kết nối bằng một sợi cáp không thể kéo dài), chúng tôi có được

Giải các phương trình này cho gia tốc và lực căng của sợi dây T, chúng tôi nhận được

.

Lưu ý rằng lực căng của cáp tại không bằng trọng lực của tải tương ứng.

3. 2. Định lý về chuyển động của khối tâm

Được biết, phần thân cứng và hệ thống cơ khí trong máy bay có thể di chuyển khá khó khăn. Định lý đầu tiên về chuyển động của một vật và một hệ cơ học có thể được thành lập theo cách sau: thả vật liệu c.-l. một vật gồm nhiều vật rắn gắn chặt với nhau. Rõ ràng là anh ta sẽ bay trong một đường parabol. Điều này đã được tiết lộ khi nghiên cứu chuyển động của một điểm. Tuy nhiên, bây giờ đối tượng không phải là một điểm. Nó quay, lắc lư trong quá trình bay quanh một số trung tâm hiệu quả, di chuyển dọc theo một đường parabol. Định lý chuyển động đầu tiên những môn học khó nói rằng một tâm hiệu dụng nhất định là khối tâm của một vật chuyển động. Khối tâm không nhất thiết phải nằm trong chính cơ thể, nó có thể nằm ở đâu đó bên ngoài nó.

Định lý. Khối tâm của một hệ cơ học chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn bộ hệ thống mà tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ thống đều được áp dụng.

Để chứng minh định lý, chúng tôi viết lại các định luật vi phân của chuyển động (3.3) trong mẫu sau:

(3.5)

ở đâu N là số điểm hệ thống.

Hãy cộng các phương trình với nhau theo số hạng:

(một)

Vị trí của khối tâm của hệ cơ so với hệ tọa độ đã chọn được xác định theo công thức (2.1): ở đâu M là khối lượng của hệ. Khi đó vế trái của đẳng thức (a) được viết

Tổng đầu tiên, đứng về phía bên phải của đẳng thức (a), bằng vectơ chính của ngoại lực, và tổng cuối cùng, theo tính chất của nội lực, bằng không. Sau đó, đẳng thức (a), có tính đến (b), sẽ được viết lại

, (3.6)

những thứ kia. tích của khối lượng của hệ và gia tốc của khối tâm của nó bằng tổng hình học tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ.

Theo phương trình (3.6), nội lực không ảnh hưởng trực tiếp đến chuyển động của khối tâm. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, chúng lại là nguyên nhân làm xuất hiện các ngoại lực tác dụng lên hệ thống. Như vậy, nội lực làm quay các bánh xe dẫn động của ô tô gây ra tác dụng lên nó một lực bám ngoài tác dụng lên vành bánh xe.

Ví dụ 2 Cơ cấu nằm trong một mặt phẳng thẳng đứng, được lắp đặt trên một mặt phẳng nhẵn nằm ngang và được gắn vào nó bằng các thanh cố định chắc chắn vào bề mặt. Đến và L (Hình 3.4).

Bán kính đĩa 1 R bất động. Đĩa 2 khối lượng m và bán kính r gắn chặt bằng tay quay, chiều dài R+ r tại điểm Từ 2. Tay quay quay không đổi

tốc độ góc. TẠI thời điểm ban đầu tay quay đã chiếm đúng vị trí nằm ngang. Bỏ qua khối lượng của tay quay, hãy xác định lực ngang và lực dọc cực đại tác dụng lên thanh, nếu Tổng khối lượng giường và bánh xe 1 bằng M. Cũng xem xét hành vi của cơ chế trong trường hợp không có thanh.

Quyết định. Hệ thống bao gồm hai khối lượng ( N=2 ): một đĩa cố định 1 với một khung và một đĩa di động 2. Hãy định hướng trục tại qua trọng tâm của đĩa cố định thẳng đứng hướng lên, trục X- dọc theo mặt phẳng nằm ngang.

Ta viết định lý về chuyển động của khối tâm (3.6) dưới dạng tọa độ

Các ngoại lực của hệ này là: trọng lượng của khung và đĩa cố định - mg, trọng lượng đĩa di động mg, - tổng phản lực ngang của bu lông, - tổng phản lực pháp tuyến của mặt phẳng. Vì thế,

Sau đó, các định luật chuyển động (b) được viết lại

Hãy tính tọa độ khối tâm của hệ cơ:

; (G)

như được nhìn thấy từ (Hình 3.4), , , (góc quay của tay quay), . Thay các biểu thức này trong (r) và tính các đạo hàm thứ hai theo thời gian t từ, chúng tôi nhận được điều đó

(e)

Thay (c) và (e) vào (b), chúng ta thấy

Áp suất ngang tác dụng lên thanh có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, khi nào cos = 1 tương ứng, tức là

Áp suất của cơ cấu lên mặt phẳng ngang có giá trị cao nhất và thấp nhất khi tội tương ứng, tức là

Trên thực tế, vấn đề đầu tiên của động lực học đã được giải quyết: theo phương trình chuyển động của khối tâm của hệ đã biết (e), các lực liên quan đến chuyển động được khôi phục.

Trong trường hợp không có thanh K và L (Hình 3.4), cơ chế có thể bắt đầu nảy lên trên mặt phẳng nằm ngang. Điều này sẽ diễn ra khi, tức là Khi vận tốc góc quay của tay quay, tại đó cơ cấu nảy lên, phải thỏa mãn đẳng thức

.

3. 3. Định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm.

Nếu vectơ chính của ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không, tức là , sau đó từ(3.6)nó kéo theo gia tốc của khối tâm bằng không, do đó, vận tốc của khối tâm không đổi về độ lớn và hướng. Đặc biệt, nếu tại thời điểm ban đầu, khối tâm ở trạng thái nghỉ thì trong toàn bộ thời gian nó sẽ dừng lại cho đến khi vectơ chính của ngoại lực bằng không.

Một số hệ quả tuân theo từ định lý này.

· Nội lực không thể thay đổi bản chất chuyển động của khối tâm của hệ.

· Nếu vectơ chính của ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì khối tâm đứng yên hoặc chuyển động thẳng biến đổi đều và tuyến tính.

· Nếu hình chiếu của vectơ chính ngoại lực của hệ lên trục cố định nào đó bằng 0 thì hình chiếu vận tốc của khối tâm của hệ lên trục này không thay đổi.

· Một vài lực tác dụng lên một vật cứng không thể thay đổi chuyển động của khối tâm của nó (nó chỉ có thể làm cho vật quay quanh khối tâm).

Hãy xem một ví dụ minh họa định luật bảo toàn chuyển động của khối tâm.

Ví dụ 3 Hai quả nặng có khối lượng và được nối với nhau bằng một sợi không kéo được ném qua một khối (Hình 3.5), được cố định trên một cái nêm có khối lượng M. Nêm nằm trên một mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu, hệ thống ở trạng thái nghỉ. Tìm độ dịch chuyển của nêm dọc theo mặt phẳng khi hạ tải thứ nhất đến độ cao N. Bỏ qua khối lượng của khối và của sợi.

Quyết định. Các lực bên ngoài tác dụng lên nêm cùng với các quả nặng là lực hấp dẫn, và mg, cũng như phản ứng bình thường bề mặt ngang nhẵn N. Do đó,

Vì hệ thống đã dừng ở thời điểm ban đầu, chúng tôi có.

Hãy tính tọa độ khối tâm của hệ tại thời điểm t 1 khi trọng lượng của tải g hạ xuống một độ cao H.

Một lúc:

,

ở đâu ,, X- lần lượt là tọa độ trọng tâm của các tải trọng g, g và nêm cân Mg.

Giả sử rằng cái nêm tại thời điểm chuyển động theo chiều dương của trục Con bò bằng số tiền L nếu trọng lượng của tải giảm đến độ cao N. Sau đó, trong giây lát

tại vì tải cùng với nêm sẽ di chuyển đến L sang bên phải, một quả nặng sẽ di chuyển lên trên cái nêm. Kể từ đó, sau khi tính toán, chúng tôi nhận được

.

3.4. Số lượng hệ thống chuyển động

3.4.1. Tính toán động lượng của một hệ thống

Động lượng của một chất điểm là một đại lượng vectơ, ngang bằng với sản phẩm khối lượng của một điểm trên vectơ vận tốc của nó

Đơn vị đo lượng chuyển động -

Động lượng của một hệ cơ học được gọi là tổng vectơ của động lượng của các điểm riêng lẻ của hệ, tức là

ở đâu N là số điểm hệ thống.

Động lượng của một hệ cơ học có thể được biểu thị bằng khối lượng của hệ M và tốc độ của khối tâm. Thật sự,

những thứ kia. Động lượng của hệ bằng tích khối lượng của toàn bộ hệ và vận tốc của khối tâm của nó. Hướng giống với hướng (Hình 3.6)

Trong phép chiếu lên các trục hình chữ nhật, chúng ta có

trong đó, - hình chiếu của vận tốc của khối tâm của hệ.

Đây M là khối lượng của hệ cơ; không thay đổi khi hệ thống di chuyển.

Đặc biệt thuận tiện khi sử dụng các kết quả này khi tính mômen của các vật thể cứng.

Từ công thức (3.7) có thể thấy rằng nếu một hệ cơ học chuyển động sao cho khối tâm của nó đứng yên thì động lượng của hệ vẫn bằng không.

3.4.2. Xung lực nguyên tố và toàn lực

Tác dụng của một lực lên một chất điểm theo thời gian dt có thể được đặc trưng bởi một xung cơ bản. Tổng xung lực theo thời gian t, hoặc xung lực, được xác định theo công thức

hoặc trong phép chiếu lên tọa độ của trục

(3,8a)

Đơn vị của xung lực là.

3.4.3. Định lý về sự thay đổi động lượng của hệ

Cho ngoại lực và nội lực tác dụng lên các điểm của hệ. Sau đó, đối với mỗi điểm của hệ thống, chúng ta có thể áp dụng các định luật vi phân của chuyển động (3.3), lưu ý rằng :

.

Tổng hợp tất cả các điểm của hệ thống, chúng tôi thu được

Theo tính chất của nội lực và theo định nghĩa chúng ta có

(3.9)

Nhân cả hai vế của phương trình này với dt, chúng tôi thu được một định lý về sự thay đổi của động lượng trong dạng vi phân:

, (3.10)

những thứ kia. vi phân của động lượng của một hệ cơ học bằng tổng vectơ của các xung cơ bản của tất cả các ngoại lực tác dụng lên các điểm của hệ cơ học.

Tính tích phân của cả hai phần của (3.10) theo thời gian từ 0 đến t, chúng ta thu được định lý ở dạng hữu hạn hoặc tích phân

(3.11)

Trong phép chiếu lên các trục tọa độ, chúng ta sẽ có

Thay đổi động lượng của một hệ thống cơ học theo thời giant, bằng tổng vectơ của tất cả các xung của ngoại lực tác dụng lên các điểm của hệ cơ trong cùng một thời gian.

Ví dụ 4 Tải trọng m đi xuống mặt phẳng nghiêng từ phần còn lại dưới tác động của một lực F, tỷ lệ thuận với thời gian:, ở đâu (Hình 3.7). Tốc độ của vật là bao nhiêu sau t giây sau khi bắt đầu chuyển động, nếu hệ số ma sát trượt của tải trọng trên mặt phẳng nghiêng bằng f.

Quyết định. Hãy mô tả các lực tác dụng lên tải trọng: mg - trọng lực của tải, N là phản lực của mặt phẳng, là lực ma sát trượt của tải trọng trên mặt phẳng, và. Phương của tất cả các lực được biểu diễn trong (Hình 3.7).

Hãy hướng trục X xuống một mặt phẳng nghiêng. Hãy để chúng tôi viết định lý về sự thay đổi của động lượng (3.11) trong hình chiếu lên trục X:

(một)

Theo điều kiện, bởi vì tại thời điểm ban đầu, tải đang ở trạng thái nghỉ. Tổng các hình chiếu xung của tất cả các lực lên trục x là

Vì thế,

,

.

3.4.4. Các định luật bảo toàn động lượng

Các định luật bảo toàn thu được dưới dạng các trường hợp đặc biệt của định lý thay đổi động lượng. Hai trường hợp đặc biệt có thể xảy ra.

· Nếu tổng vectơ của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0, tức là , sau đó nó tuân theo định lý (3.9) , Cái gì ,

những thứ kia. nếu vectơ chính ngoại lực của hệ bằng 0 thì động lượng của hệ không đổi về độ lớn và hướng.

· Nếu hình chiếu của vectơ chính của ngoại lực lên bất kỳ trục tọa độ bằng 0, ví dụ: Oh, tức là , khi đó hình chiếu của lượng chuyển động lên trục này là không đổi.

Xét một ví dụ về áp dụng định luật bảo toàn động lượng.

Ví dụ 5 Một con lắc đạn đạo là một vật khối lượng, được treo trên một sợi dây dài (Hình 3.8).

Một viên đạn khối lượng đang chuyển động với tốc độ V và rơi vào trạng thái bất động, bị kẹt trong đó, và cơ thể bị lệch. Tốc độ của viên đạn là bao nhiêu nếu cơ thể lên đến độ cao h ?

Quyết định. Hãy để cơ thể với viên đạn bị mắc kẹt có được tốc độ. Khi đó, sử dụng định luật bảo toàn động lượng trong tương tác của hai vật, ta có thể viết .

Vận tốc có thể được tính bằng cách sử dụng định luật bảo toàn năng lượng cơ học . Sau đó . Kết quả là, chúng tôi thấy

.

Ví dụ 6. Nước vào một kênh cố định (Hình 3.9) phần biến đổi với tốc độ ở một góc tới đường chân trời; vuông mặt cắt ngang kênh ở cửa ra vào; tốc độ của nước ở đầu ra của kênh và tạo với đường chân trời một góc.

Xác định thành phần nằm ngang của phản lực mà nước tác dụng lên thành kênh. Mật độ của nước .

Quyết định. Chúng tôi sẽ xác định thành phần nằm ngang của phản ứng do thành kênh tác dụng lên nước. Lực này có giá trị tuyệt đối bằng nhau và ngược dấu với lực mong muốn. Theo (3.11a), chúng tôi có

. (một)

Ta tính khối lượng thể tích chất lỏng đi vào kênh trong thời gian t:

Giá trị của rAV 0 được gọi là khối lượng thứ hai - khối lượng chất lỏng chảy qua bất kỳ đoạn ống nào trong một đơn vị thời gian.

Cùng một lượng nước ra khỏi kênh trong cùng một thời điểm. Tốc độ ban đầu và tốc độ cuối cùng được đưa ra trong điều kiện.

Tính toán bên phảiđẳng thức (a) xác định tổng các hình chiếu lên trục hoành của các lực bên ngoài tác dụng lên hệ (nước). Lực ngang duy nhất là thành phần nằm ngang của phản lực kết quả của các bức tường Rx. Lực này không đổi trong quá trình chuyển động đều của nước. Cho nên

. (trong)

Thay (b) và (c) vào (a), ta được

3.5. Mômen động học của hệ thống

3.5.1. Mômen động lượng chính của hệ

Gọi là vectơ bán kính của một điểm có khối lượng của hệ so với điểm A nào đó, được gọi là tâm (Hình 3.10).

Mômen động lượng (mômen động học) của một điểm so với trung tâm A gọi là vectơ , được xác định bởi công thức

. (3.12)

Trong trường hợp này, vectơ hướng vuông góc với mặt phẳng đi qua tâm NHƯNG và vectơ .

Mômen động lượng (mômen động năng) của một chất điểm quanh một trụcđược gọi là hình chiếu lên trục này của mômen động lượng của điểm so với bất kỳ tâm nào được chọn trên trục này.

Mômen động lượng chính (mômen động năng) của hệ so với trọng tâm Ađược gọi là số lượng

(3.13)

Mômen động lượng chính (mômen động học) của hệ đối với trụcđược gọi là hình chiếu lên trục này của mômen chính của động lượng của hệ so với bất kỳ hình chiếu nào được chọn trên trục tâm.

3.5.2. Mômen của một vật cứng quay quanh trục quay

Điểm cố định tương thích O cơ thể nằm trên trục quay Oz, với gốc của hệ tọa độ Ohuz, có trục sẽ quay cùng với cơ thể (Hình 3.11). Gọi là vectơ bán kính của điểm của vật thể so với gốc tọa độ, hình chiếu của nó trên các trục sẽ được ký hiệu là,. Phép chiếu vectơ vận tốc góc các cơ quan trên cùng một trục sẽ được ký hiệu là 0, 0, ().

Thường thì có thể phân biệt được những đặc điểm quan trọng chuyển động của một hệ thống cơ học mà không cần dùng đến tích phân của hệ phương trình vi phân của chuyển động. Điều này đạt được bằng cách áp dụng các định lý chung về động lực học.

5.1. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản

Nội lực và ngoại lực. Mọi lực tác dụng lên một điểm trong hệ cơ học nhất thiết phải là lực lượng hoạt động, hoặc một phản ứng liên kết. Toàn bộ tập hợp các lực tác dụng lên các điểm của hệ có thể được chia thành hai loại khác nhau: thành ngoại lực và nội lực (chỉ số e và i - từ từ tiếng Latin externus - bên ngoài và internus - bên trong). Ngoại lực gọi là lực tác dụng lên các điểm của hệ từ các điểm và vật không thuộc hệ đang xét. Lực tương tác giữa các điểm và các vật của hệ được xem xét được gọi là nội lực.

Sự phân chia này phụ thuộc vào việc nhà nghiên cứu đưa vào những điểm và phần vật chất nào trong hệ thống cơ học được xem xét. Nếu thành phần của hệ thống được mở rộng để bao gồm các điểm và phần bổ sung, thì một số lực bên ngoài đối với hệ thống trước đó có thể trở thành bên trong đối với hệ thống được mở rộng.

Tính chất của nội lực. Vì những lực này là lực tương tác giữa các bộ phận của hệ thống, chúng được bao gồm trong hệ thống hoàn chỉnh của nội lực trong "hai" được tổ chức phù hợp với tiên đề hành động-phản ứng. Mỗi "hai" lực lượng như vậy

vectơ chính và điểm chính so với một tâm tùy ý đều bằng không. Vì hệ thống hoàn chỉnh của nội lực chỉ bao gồm "hai", nên

1) vectơ chính của hệ thống nội lực bằng không,

2) mômen chính của hệ nội lực so với một điểm tùy ý bằng không.

Khối lượng của hệ là tổng số học mk khối lượng của tất cả các chất điểm và vật tạo thành hệ:

Trung tâm của lực hấp dẫn(tâm quán tính) của một hệ cơ học được gọi là điểm hình học C, vectơ bán kính và tọa độ của chúng được xác định bởi các công thức

đâu là các vectơ bán kính và tọa độ của các điểm tạo thành hệ thống.

Đối với một vật thể cứng trong trọng trường đều, vị trí của khối tâm và trọng tâm trùng nhau; trong các trường hợp khác, đây là các điểm hình học khác nhau.

Cùng với hệ quy chiếu quán tính, người ta thường coi đồng thời là hệ quy chiếu phi quán tính chuyển động tịnh tiến. Các trục tọa độ của nó (trục Koenig) được chọn sao cho điểm chuẩn C luôn trùng với khối tâm của hệ cơ. Theo định nghĩa, khối tâm được cố định trong các trục Koenig và nằm tại gốc tọa độ.

Mômen quán tính của hệ về trục được gọi là vô hướng bằng tổng Tích của khối lượng mk của tất cả các điểm trong hệ bằng bình phương khoảng cách của chúng đến trục:

Nếu hệ cơ là một vật cứng, để tìm 12, bạn có thể sử dụng công thức

đâu là mật độ, thể tích chiếm chỗ của cơ thể.

Coi chuyển động của một hệ khối lượng vật chất nào đó so với một hệ tọa độ cố định Khi hệ không tự do thì có thể coi là tự do, nếu ta loại bỏ các ràng buộc đặt lên hệ và thay thế tác dụng của chúng bằng các phản ứng tương ứng.

Chúng ta hãy chia tất cả các lực tác dụng lên hệ thống thành các lực bên ngoài và bên trong; cả hai đều có thể bao gồm các phản ứng bị loại bỏ

kết nối. Kí hiệu bằng vectơ chính và mômen chính của ngoại lực so với điểm A.

1. Định lý về sự thay đổi động lượng. Nếu là động lượng của hệ thống, thì (xem)

tức là, định lý có giá trị: đạo hàm theo thời gian của động lượng của hệ bằng vectơ chính của tất cả các ngoại lực.

Thay vectơ qua biểu thức của nó với khối lượng của hệ là vận tốc của khối tâm, phương trình (4.1) có thể được đưa ra ở dạng khác:

Đẳng thức này có nghĩa là khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ và tác dụng một lực có dạng hình học bằng vectơ chính của tất cả các ngoại lực của hệ. Phát biểu cuối cùng được gọi là định lý về chuyển động của khối tâm (tâm quán tính) của hệ.

Nếu từ (4.1) thì vectơ động lượng không đổi về độ lớn và hướng. Chiếu nó lên trục tọa độ, chúng ta thu được ba tích phân vô hướng bậc nhất của các phương trình vi phân của chuỗi kép của hệ thống:

Các tích phân này được gọi là tích phân động lượng. Khi tốc độ của khối tâm không đổi, tức là nó chuyển động thẳng đều và biến thiên tuần hoàn.

Nếu hình chiếu của vectơ chính của ngoại lực lên bất kỳ một trục nào đó, chẳng hạn trên trục, bằng 0, thì ta có một tích phân đầu tiên, hoặc nếu hai hình chiếu của vectơ chính bằng 0, thì có hai tích phân của động lượng.

2. Định lý về sự thay đổi của mômen động năng. Gọi A là một điểm tùy ý trong không gian (chuyển động hoặc đứng yên), không nhất thiết phải trùng với bất kỳ điểm vật chất cụ thể nào của hệ trong toàn bộ thời gian chuyển động. Vận tốc của nó trong một hệ tọa độ cố định sẽ được ký hiệu bằng Định lý về sự thay đổi momen động lượng hệ thống vật chấtđối với điểm A có dạng

Nếu điểm A cố định, thì đẳng thức (4.3) có dạng đơn giản hơn:

Đẳng thức này thể hiện định lý về sự thay đổi momen động lượng của hệ đối với điểm cố định: đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng của hệ, được tính đối với một điểm cố định nào đó, bằng mômen chính của tất cả các ngoại lực đối với điểm này.

Nếu theo (4.4) thì vectơ mômen động lượng không đổi về độ lớn và hướng. Chiếu nó lên trục tọa độ, ta thu được tích phân vô hướng bậc nhất của các phương trình vi phân của chuyển động của hệ:

Những tích phân này được gọi là tích phân của mômen động lượng hoặc tích phân của diện tích.

Nếu điểm A trùng với khối tâm của hệ thì số hạng đầu tiên ở vế phải của đẳng thức (4.3) biến mất và định lý về sự thay đổi momen động lượng có dạng (4.4) giống như trong trường hợp cố định. điểm A. Lưu ý (xem 4 § 3) rằng trong trường hợp đang xét, mômen động lượng tuyệt đối của hệ nằm ở phía bên trái của đẳng thức (4.4) có thể được thay thế bằng mômen động lượng bằng nhau của hệ trong chuyển động của nó so với tâm của khối lượng.

Gọi là một trục không đổi hoặc một trục có phương không đổi đi qua khối tâm của hệ, và gọi là mômen động lượng của hệ so với trục này. Từ (4.4) nó theo sau rằng

mômen của ngoại lực đối với trục là ở đâu. Nếu trong toàn bộ thời gian chuyển động thì ta có tích phân thứ nhất

Trong các công trình của S. A. Chaplygin, một số khái quát của định lý về sự thay đổi momen động lượng đã thu được, sau đó được áp dụng để giải một số bài toán về quả bóng lăn. Các khái quát sâu hơn của định lý về sự thay đổi của mômen kpnetological và các ứng dụng của chúng trong các bài toán về động lực học của một vật thể cứng được trình bày trong các công trình. Kết quả chính của các công trình này liên quan đến định lý về sự thay đổi mômen động năng so với chuyển động liên tục đi qua một điểm chuyển động A. Cho - đơn vị véc tơ hướng dọc theo trục này. Nhân tỉ lệ với cả hai vế của đẳng thức (4.3) và thêm số hạng vào cả hai phần của nó, chúng ta thu được

Khi điều kiện động học được đáp ứng

phương trình (4.5) theo sau từ (4.7). Và nếu điều kiện (4.8) được thỏa mãn trong toàn bộ thời gian chuyển động thì tích phân thứ nhất (4.6) tồn tại.

Nếu các mối liên kết của hệ là lý tưởng và cho phép quay của hệ như một vật cứng quanh trục và với số lượng dịch chuyển ảo, thì mômen chính của phản ứng đối với trục và bằng 0, và khi đó giá trị trên vế phải của phương trình (4.5) là mômen chính của tất cả các lực tác dụng bên ngoài đối với trục và. Sự bằng 0 của thời điểm này và sự thỏa mãn của quan hệ (4.8) sẽ nằm trong trường hợp được xem xét điều kiện đủđối với sự tồn tại của tích phân (4.6).

Nếu hướng của trục và không thay đổi, thì điều kiện (4.8) có thể được viết là

Đẳng thức này có nghĩa là các hình chiếu của vận tốc của khối tâm và vận tốc của điểm A trên trục và trên mặt phẳng vuông góc với nó là song song với nhau. Trong công trình của S. A. Chaplygin, thay vì (4.9), nó được yêu cầu ít hơn điều kiện chung trong đó X là một hằng số tùy ý.

Lưu ý rằng điều kiện (4.8) không phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm trên. Thật vậy, cho P là một điểm tùy ý trên trục. sau đó

và do đó

Cuối cùng, chúng tôi lưu ý đến cách giải thích hình học của Resal đối với các phương trình (4.1) và (4.4): các vectơ tốc độ tuyệt đốiđiểm cuối của các vectơ và lần lượt bằng vectơ chính và mômen chính của tất cả các ngoại lực so với điểm A.

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ THỰC PHẨM CỘNG HÒA BELARUS

Tổ chức giáo dục "BELARUSIAN STATE AGRARIAN

ĐẠI HỌC KỸ THUẬT"

Bộ môn Cơ lý thuyết và Lý thuyết Cơ khí và Máy

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

phức hợp phương pháp luận cho sinh viên thuộc nhóm các chuyên ngành

74 06 Cơ khí nông nghiệp

Trong 2 phần Phần 1

UDC 531.3 (07) LBC 22.213ya7 T 33

Tổng hợp bởi:

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học, Phó Giáo sư Yu. S. Biza, ứng cử viên khoa học kỹ thuật, Phó giáo sư N. L. Rakova, Giảng viên chính I. A. Tarasevich

Người đánh giá:

Phòng Cơ lý thuyết của Cơ sở Giáo dục "Quốc gia Belarus Đại học kỹ thuật" (đầu

Khoa Cơ học lý thuyết BNTU Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, Giáo sư A. V. Chigarev);

Nhà nghiên cứu hàng đầu của Phòng thí nghiệm "Bảo vệ rung động của các hệ thống cơ khí" Viện Khoa học Nhà nước "Viện Cơ khí Liên hợp

Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Belarus ”, Ứng viên Khoa học Kỹ thuật, Phó Giáo sư A. M. Goman

Cơ học lý thuyết. Phần "Dynamics": giáo dục

Phương pháp T33. tổ hợp. Trong 2 phần. Phần 1 / biên soạn: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Minsk: BGATU, 2013. - 120 tr.

ISBN 978-985-519-616-8.

TẠI phức hợp giáo dục và phương pháp trình bày tài liệu nghiên cứu phần "Động lực học", phần 1, thuộc chuyên ngành "Cơ học lý thuyết". Bao gồm một quá trình bài giảng, tài liệu cơ bản để thực hiện bài tập thực hành, các nhiệm vụ và các mẫu nhiệm vụ cho công việc độc lập và kiểm soát hoạt động học tập toàn thời gian và hình thức thư từ học hỏi.

UDC 531.3 (07) LBC 22.213ya7

GIỚI THIỆU ................................................. ...
1. NỘI DUNG KHOA HỌC VÀ LÝ LUẬN CỦA GIÁO DỤC
TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP HỌC ............................................. ..
1.1. Bảng chú giải................................................. ................................
1.2. Các chủ đề của bài giảng và nội dung của chúng .............................................. .. ..
Chương 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản
cơ học cổ điển ... ..................
Chủ đề 1. Động lực học của một chất điểm .......................................... ....
1.1. Định luật động lực học chất điểm
(định luật Galileo - Newton) ........................................... ... ..........
1.2. Phương trình vi phân sự di chuyển
1.3. Hai nhiệm vụ chính của động lực học ............................................. .............
Chủ đề 2. Động lực học của chuyển động tương đối
điểm nguyên vật liệu ... ................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 3. Động lực học của một hệ cơ học .......................................... ....
3.1. Hình học khối lượng. Khối tâm của một hệ cơ ......
3.2. Nội lực ................................................ .................. .................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 4. Mômen quán tính của vật cứng .......................................
4.1. Mômen quán tính của một vật cứng
so với trục và cực ............................................ ...................... .....
4.2. Định lý về mômen quán tính của vật cứng
về các trục song song
(Định lý Huygens-Steiner) .............................................. .. ...
4.3. Mômen quán tính ly tâm .............................................. .
Câu hỏi ôn tập ... .................. ............
chương 2

Chủ đề 5. Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ ...............................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 6. Lượng chuyển động của một chất điểm
và hệ thống cơ khí ... ................
6.1. Số lượng chuyển động của một điểm vật chất 43
6.2. Lực xung kích ...... ... .......................
6.3. Định lý về sự thay đổi động lượng
điểm nguyên vật liệu ... ................
6.4. Định lý thay đổi vectơ chính
Động lượng của một hệ cơ học ..........................................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 7. Mômen động lượng của một chất điểm
và hệ thống cơ học so với tâm và trục ..................................
7.1. Mômen động lượng của một chất điểm
so với tâm và trục ... .................. ...........
7.2. Định lý về sự thay đổi momen động lượng
điểm của vật liệu so với tâm và trục ...
7.3. Định lý về sự thay đổi của mômen động học
hệ cơ so với tâm và trục ..................................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 8. Công và công của các lực .......................................... .........
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 9. Động năng của chất điểm
và hệ thống cơ khí ... ................
9.1. Động năng của một chất điểm
và hệ thống cơ khí. Định lý Koenig ...............................
9.2. Động năng của vật cứng
với các chuyển động khác nhau ... ................... .............
9.3. Thay đổi định lý động năng
điểm nguyên vật liệu ... ................

9.4. Định lý thay đổi động năng
hệ thống cơ khí ................................................ .................. ................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 10. Trường lực thế
và tiềm năng ................ .................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 11. Động lực học của vật cứng .......................................... .......... .......
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
2. VẬT LIỆU ĐỂ KIỂM SOÁT
THEO ĐIỀU HÒA .................................................................. ... ...
CÔNG VIỆC ĐỘC LẬP CỦA SINH VIÊN ..............................
4. YÊU CẦU THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN
CÔNG VIỆC DÀNH CHO SINH VIÊN TOÀN THỜI GIAN VÀ KHẮC PHỤC
HÌNH THỨC ĐÀO TẠO .................
5. DANH SÁCH CÂU HỎI CHUẨN BỊ
ĐẾN BÀI THI (NGHIÊN CỨU) CỦA HỌC SINH
GIÁO DỤC TOÀN THỨ VÀ KHẮC PHỤC ............................................ ......
6. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................. .. ............

GIỚI THIỆU

Cơ học lý thuyết - khoa học về các quy luật chung chuyển động cơ học, trạng thái cân bằng và tương tác của các cơ thể vật chất.

Đây là một trong những ngành khoa học vật lý và toán học đại cương cơ bản. Nó là cơ sở lý thuyết của công nghệ hiện đại.

Việc nghiên cứu cơ học lý thuyết, cùng với các ngành vật lý và toán học khác, góp phần mở rộng chân trời khoa học, hình thành khả năng cụ thể hóa và tư duy trừu tượng và góp phần cải thiện văn hóa kỹ thuật chung của các chuyên gia tương lai.

Cơ học lý thuyết, là cơ sở khoa học của tất cả ngành kỹ thuật, góp phần phát triển các kỹ năng quyết định hợp lý nhiệm vụ kỹ thuật gắn liền với việc vận hành, sửa chữa và thiết kế các máy móc thiết bị nông nghiệp và khai hoang.

Theo bản chất của các nguyên công đang xem xét, cơ học được chia thành tĩnh, động học và động lực học. Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật chất dưới tác dụng của các lực tác dụng.

TẠI giáo dục và phương pháp complex (UMK) trình bày các tài liệu về nghiên cứu phần "Động lực học", phần này bao gồm các bài giảng khóa học, các tài liệu cơ bản để tiến hành công việc thực tế, nhiệm vụ và các mẫu thực thi cho làm việc độc lập và kiểm soát các hoạt động giáo dục của sinh viên bán thời gian toàn thời gian.

TẠI kết quả của việc học phần "Động lực học", học sinh phải học cơ sở lý thuyếtđộng lực học và nắm vững các phương pháp cơ bản để giải các bài toán về động lực học:

Biết phương pháp giải các bài toán về động lực học, các định lý chung về động lực học, các nguyên lý cơ học;

Để có thể xác định quy luật chuyển động của vật phụ thuộc vào các lực tác dụng lên nó; áp dụng các định luật và định lý cơ học để giải quyết vấn đề; xác định phản ứng tĩnh và động của các liên kết giới hạn chuyển động của các vật.

Chương trình học của môn học "Cơ học lý thuyết" cung cấp tổng số giờ học trên lớp - 136, trong đó có 36 giờ học phần "Động lực học".

1. NỘI DUNG KHOA HỌC VÀ LÝ LUẬN CỦA TỔNG HỢP GIÁO DỤC VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1.1. Bảng chú giải

Tin học là một phần của cơ học trình bày các học thuyết tổng quát về lực, sự giảm được nghiên cứu hệ thống phức tạp lực ở dạng đơn giản nhất và điều kiện cân bằng được thiết lập các hệ thống khác nhau các lực lượng.

Động học là một phần của cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu chuyển động của các đối tượng vật chất, bất kể nguyên nhân nào gây ra chuyển động này, tức là bất kể các lực tác dụng lên các vật này.

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật (chất điểm) dưới tác dụng của lực tác dụng.

Điểm nguyên liệu- một cơ thể vật chất, sự khác biệt trong chuyển động của các điểm là không đáng kể.

Khối lượng của một vật là một giá trị dương vô hướng phụ thuộc vào lượng vật chất chứa trong một vật nhất định và xác định số đo quán tính của nó tại chuyển động về phía trước.

Hệ quy chiếu - một hệ tọa độ liên kết với vật thể, liên quan đến chuyển động của vật thể khác đang được nghiên cứu.

hệ thống quán tính- một hệ thống trong đó các định luật động lực học thứ nhất và thứ hai được đáp ứng.

Động lượng của một lực là một đại lượng véc tơ đo tác dụng của một lực trong một thời gian nào đó.

Số lượng chuyển động của một điểm vật chất là số đo vectơ của chuyển động của nó, bằng tích của khối lượng của chất điểm và vectơ vận tốc của nó.

Động năng là một đại lượng vô hướng của chuyển động cơ học.

Công việc cơ bản của lực lượng là một giá trị vô hướng hệ thập phân vô hướng bằng sản phẩm chấm vectơ của lực đối với vectơ của độ dời tỉ lệ của điểm tác dụng của lực.

Động năng là một đại lượng vô hướng của chuyển động cơ học.

Động năng của một chất điểm là một chất vô hướng

một giá trị dương bằng nửa tích khối lượng của một chất điểm và bình phương tốc độ của nó.

Động năng của hệ cơ học là một cấp số cộng

tổng động năng của động năng của tất cả các chất điểm của hệ này.

Lực là đại lượng đo tương tác cơ học của các vật thể, đặc trưng cho cường độ và hướng của nó.

1.2. Chủ đề bài giảng và nội dung của chúng

Mục 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản

cơ học cổ điển

Chủ đề 1. Động lực học của một chất điểm

Các định luật động lực học của chất điểm (định luật Galileo - Newton). Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Hai nhiệm vụ chính của động lực học đối với một điểm vật chất. Lời giải của bài toán thứ hai về động lực học; các hằng số tích phân và việc xác định chúng từ các điều kiện ban đầu.

Tài liệu tham khảo:, trang 180-196, trang 12-26.

Chủ đề 2. Động lực học chuyển động tương đối của vật

Chuyển động tương đối của một chất điểm. Phương trình vi phân của chuyển động tương đối của một điểm; di động và lực quán tính Coriolis. Nguyên lý tương đối trong cơ học cổ điển. Một trường hợp nghỉ ngơi tương đối.

Tài liệu tham khảo:, trang 180-196, trang 127-155.

Chủ đề 3. Hình học các khối chóp. Khối lượng tâm của một hệ thống cơ học

Khối lượng của hệ thống. Khối tâm của hệ và tọa độ của nó.

Văn học :, trang 86-93, trang 264-265

Chủ đề 4. Mômen quán tính của vật cứng

Mômen quán tính của một vật cứng về trục và cực. Bán kính quán tính. Định lý về mômen quán tính về các trục song song. Mômen quán tính dọc trục của một số vật thể.

Mômen quán tính ly tâm như một đặc trưng của sự bất đối xứng của cơ thể.

Tài liệu tham khảo:, trang 265-271, trang 155-173.

Phần 2. Các định lý chung về động lực học của chất điểm

và hệ thống cơ khí

Chủ đề 5. Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ

Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ. Hệ quả từ định lý về chuyển động của khối tâm của hệ.

Tài liệu tham khảo:, trang 274-277, trang 175-192.

Chủ đề 6. Lượng chuyển động của một chất điểm

và hệ thống cơ khí

Lượng chuyển động của một chất điểm và một hệ cơ học. Xung lực cơ bản và xung lực trong một khoảng thời gian hữu hạn. Định lý về sự thay đổi động lượng của một điểm và một hệ ở dạng vi phân và tích phân. Định luật bảo toàn động lượng.

Văn học:, trang 280-284,, trang 192-207.

Chủ đề 7. Mômen động lượng của một chất điểm

và hệ thống cơ học so với tâm và trục

Mômen động lượng của một điểm đối với tâm và trục. Định lý về sự thay đổi momen động lượng của một chất điểm. Động năng của một hệ cơ học về tâm và trục.

Mômen động lượng của một vật cứng quay quanh trục quay. Định lý về sự thay đổi mômen động năng của hệ. Định luật bảo toàn động lượng.

Tài liệu tham khảo:, trang 292-298, trang 207-258.

Chủ đề 8. Công và công của các lực

Công cơ bản của lực, biểu thức phân tích của nó. Công việc của lực lượng trên con đường cuối cùng. Công của trọng lực, lực đàn hồi. Bằng tổng công của các nội lực tác dụng lên vật rắn bằng không. Công của các lực tác dụng lên một vật cứng quay quanh một trục cố định. Quyền lực. Hiệu quả.

Tài liệu tham khảo:, trang 208-213, trang 280-290.

Chủ đề 9. Động năng của chất điểm

và hệ thống cơ khí

Động năng của một chất điểm và một hệ cơ học. Tính động năng của vật cứng trong các trường hợp chuyển động của nó. Định lý Koenig. Định lý về sự thay đổi động năng của một điểm ở dạng vi phân và tích phân. Định lý về sự thay đổi động năng của hệ cơ ở dạng vi phân và tích phân.

Tài liệu tham khảo:, trang 301-310, trang 290-344.

Chủ đề 10. Thế năng và trường lực thế

Khái niệm về trường lực. Trường lực thế và cơ năng. Công của một lực đối với độ dời cuối cùng của một điểm trong trường lực thế năng. Năng lượng tiềm năng.

Tài liệu tham khảo:, trang 317-320,, trang 344-347.

Chủ đề 11. Động lực học cơ thể cứng

Phương trình vi phân của chuyển động tịnh tiến của vật cứng. Phương trình vi phân chuyển động quay thân cứng quanh một trục cố định. con lắc vật lý. Phương trình vi phân của chuyển động phẳng của vật cứng.

Tài liệu tham khảo:, trang 323-334,, trang 157-173.

Mục 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản

cơ học cổ điển

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật (chất điểm) dưới tác dụng của lực tác dụng.

cơ thể vật chất- một vật có khối lượng.

Điểm nguyên liệu- một cơ thể vật chất, sự khác biệt trong chuyển động của các điểm là không đáng kể. Đây có thể là một vật thể, các kích thước có thể bị bỏ qua trong quá trình chuyển động của nó, hoặc một vật thể có kích thước hữu hạn, nếu nó di chuyển về phía trước.

Các hạt còn được gọi là điểm vật chất, trong đó một vật rắn được phân chia về mặt tinh thần khi xác định một số đặc điểm động lực học của nó. Ví dụ về các điểm vật chất (Hình 1): a - chuyển động của Trái đất quanh Mặt trời. Trái đất là một chất điểm; b là chuyển động tịnh tiến của một vật thể cứng. Chất rắn- mẹ-

điểm al, vì V B \ u003d V A; a B = a A; c - chuyển động quay của vật quanh trục.

Một hạt cơ thể là một điểm vật chất.

Quán tính là tính chất của các vật chất nhằm thay đổi tốc độ chuyển động của chúng nhanh hơn hoặc chậm hơn dưới tác dụng của các lực tác dụng.

Khối lượng của một vật là một giá trị dương vô hướng phụ thuộc vào lượng vật chất chứa trong một vật nhất định và xác định số đo quán tính của nó trong quá trình chuyển động tịnh tiến. Trong cơ học cổ điển, khối lượng là một hằng số.

Lực lượng - thước đo định lượng tương tác cơ học giữa các vật thể hoặc giữa vật thể (điểm) và trường (điện, từ, v.v.).

Lực là đại lượng vectơ đặc trưng bởi độ lớn, điểm tác dụng và hướng (đường tác dụng) (Hình 2: A - điểm tác dụng; AB - đường tác dụng của lực).

Cơm. 2

Trong động lực học, cùng với các lực không đổi, còn có các lực thay đổi có thể phụ thuộc vào thời gian t, tốc độ ϑ, quãng đường r, hoặc vào sự kết hợp của các đại lượng này, tức là

F = const;

F = F (t);

F = F (ϑ);

F = F (r);

F = F (t, r, ϑ).

	Ví dụ về các lực như vậy được thể hiện trong Hình. 3: a										- trọng lượng cơ thể;
			(ϑ) - lực cản không khí; b -		T =						- lực kéo

đầu máy điện; c - F = F (r) là lực đẩy từ tâm O hoặc lực hút nó.

Hệ quy chiếu - một hệ tọa độ liên kết với vật thể, liên quan đến chuyển động của vật thể khác đang được nghiên cứu.

Hệ thống quán tính là một hệ thống trong đó các định luật thứ nhất và thứ hai của động lực học được thực hiện. Đây là một hệ tọa độ cố định hoặc một hệ thống chuyển động đều và tuyến tính.

Chuyển động trong cơ học là sự thay đổi vị trí của một vật trong không gian và thời gian so với các vật khác.

Không gian trong cơ học cổ điển là không gian ba chiều, tuân theo hình học Euclide.

Thời gian là một đại lượng vô hướng chảy theo cùng một cách trong bất kỳ hệ quy chiếu nào.

Một hệ thống đơn vị là một tập hợp các đơn vị đo lường đại lượng vật lý. Để đo tất cả các đại lượng cơ học, ba đơn vị cơ bản là đủ: đơn vị đo độ dài, thời gian, khối lượng hoặc lực.

Cơ khí	Kích thước		Ký hiệu	Kích thước	Ký hiệu
kích cỡ
				centimet
	kg-

Tất cả các đơn vị đo đại lượng cơ học khác đều là dẫn xuất của các đại lượng này. Hai loại hệ thống đơn vị được sử dụng: hệ thống quốc tếĐơn vị SI (hoặc nhỏ hơn - CGS) và hệ thống kỹ thuật của đơn vị - MKGSS.

Chủ đề1. Động lực điểm vật chất

1.1. Các định luật động lực học của một chất điểm (định luật Galileo - Newton)

Định luật đầu tiên (về quán tính).

bị cô lập từ ảnh hưởng bên ngoài một điểm vật chất duy trì trạng thái nghỉ của nó hoặc chuyển động thẳng đều và tuyến tính cho đến khi các lực tác dụng buộc nó thay đổi trạng thái này.

Chuyển động của một điểm trong trường hợp không có lực hoặc chịu tác dụng của hệ lực cân bằng được gọi là chuyển động theo quán tính.

Ví dụ, chuyển động của một vật dọc theo một mặt phẳng (lực ma sát bằng không) đi-

bề mặt nằm ngang (Hình 4: G - trọng lượng cơ thể; N - phản lực pháp tuyến của mặt phẳng).

Vì G = - N nên G + N = 0.

Khi ϑ 0 ≠ 0 vật chuyển động với cùng tốc độ; tại ϑ 0 = 0 vật đứng yên (ϑ 0 là vận tốc ban đầu).

Định luật thứ hai (định luật cơ bản của động lực học).

Tích của khối lượng của một chất điểm và gia tốc mà nó nhận được dưới tác dụng của một lực cho trước thì lực này có giá trị tuyệt đối bằng giá trị tuyệt đối và hướng của nó trùng với hướng của gia tốc.

a b

Về mặt toán học, định luật này được biểu thị bằng đẳng thức vectơ

Đối với F = const,

a = const - chuyển động của chất điểm là đều. EU-

liệu a ≠ const, α

- chuyển động chậm (Hình 5, nhưng);

a ≠ const,

một -

- chuyển động có gia tốc (Hình 5, b); m - khối lượng chất điểm;

vectơ gia tốc;

- vectơ lực; ϑ 0 là vectơ vận tốc).

Tại F = 0, a 0 = 0 = ϑ 0 = const - chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều và tuần hoàn, hoặc tại ϑ 0 = 0 - chất điểm đứng yên (định luật quán tính). Thứ hai

luật cho phép bạn thiết lập mối quan hệ giữa khối lượng m của một vật thể nằm gần bề mặt trái đất và trọng lượng của nó G .G = mg, trong đó g là

Gia tốc trọng lực.

Định luật thứ ba (quy luật bình đẳng của hành động và phản ứng). Hai chất điểm tác dụng vào nhau những lực có độ lớn bằng nhau và hướng theo đường thẳng nối

những điểm này, theo hướng ngược nhau.

Vì lực F 1 = - F 2 tác dụng lên những điểm khác nhau, khi đó hệ lực (F 1, F 2) không cân bằng, tức là (F 1, F 2) ≈ 0 (Hình 6).

Đến lượt nó

m a = m a

- thái độ

khối lượng của các điểm tương tác tỷ lệ nghịch với gia tốc của chúng.

Định luật thứ tư (quy luật về sự độc lập trong tác dụng của các lực). Gia tốc nhận được của một điểm dưới tác dụng của một

nhưng của một số lực, bằng tổng hình học của những gia tốc mà một điểm sẽ nhận được dưới tác dụng của từng lực riêng biệt lên nó.

Giải thích (Hình 7).

t a n

a 1 a kF n

Kết quả của lực R (F 1, ... F k, ... F n).

Vì ma = R, F 1 = ma 1, ..., F k = ma k, ..., F n = ma n nên

a = a 1 + ... + a k + ... + a n = ∑ a k, tức là luật thứ tư tương đương với

k = 1

quy tắc cộng lực.

1.2. Phương trình vi phân của chuyển động của một chất điểm

Cho một số lực tác dụng đồng thời lên một điểm vật chất, trong đó có cả hằng số và biến số.

Chúng tôi viết định luật thứ hai của động lực học dưới dạng

= ∑

(t,

k = 1

, ϑ=

r là vectơ bán kính của chuyển động

thì (1.2) chứa các đạo hàm của r và là một phương trình vi phân chuyển động của một điểm vật chất ở dạng vectơ hoặc phương trình cơ bản của động lực học của một điểm vật chất.

Phép chiếu của đẳng thức vectơ (1.2): - trên trục tọa độ Descartes (Hình 8, nhưng)

max = md
					= ∑Fkx;
					k = 1
may = md
					= ∑Fky;	(1.3)
					k = 1
maz = m					= ∑Fkz;
					k = 1

Trên trục tự nhiên (Hình 8, b)

chiếu				= ∑ Fk τ,
				k = 1
				= ∑ F k n;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

b trên o

Phương trình (1.3) và (1.4) là phương trình vi phân chuyển động của một điểm vật chất theo trục tọa độ Descartes và trục tự nhiên, tức là phương trình vi phân tự nhiên thường được sử dụng cho chuyển động cong của một điểm nếu quỹ đạo của điểm và bán kính cong của nó đã biết.

1.3. Hai vấn đề chính của động lực học đối với một điểm vật liệu và giải pháp của chúng

Nhiệm vụ đầu tiên (trực tiếp).

Biết quy luật chuyển động và khối lượng của chất điểm, xác định được lực tác dụng lên chất điểm.

Để giải quyết vấn đề này, bạn cần biết gia tốc của chất điểm. Trong các bài toán dạng này, nó có thể được xác định trực tiếp, hoặc quy luật chuyển động của một điểm được chỉ định, phù hợp với nó có thể được xác định.

1. Vì vậy, nếu chuyển động của một điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes

x \ u003d f 1 (t), y \ u003d f 2 (t) và z \ u003d f 3 (t) thì các hình chiếu của gia tốc được xác định

trên trục tọa độ x =		d2x			d2y			d2z		Và sau đó - dự án-
Các lực F x, F y và F z trên các trục này:
				, k) = F F z. (1.6) 2. Nếu điểm cam kết chuyển động cong và định luật chuyển động đã biết s = f (t), quỹ đạo của điểm và bán kính cong ρ của nó, khi đó thuận tiện khi sử dụng các trục tự nhiên và hình chiếu gia tốc trên các trục này được xác định bằng các công thức nổi tiếng: Trục tiếp tuyến a τ = d ϑ = d 2 2 s - gia tốc tiếp tuyến; dt dt Trang chủ ds 2 a n = ϑ 2 = dt là gia tốc pháp tuyến. Hình chiếu của gia tốc lên đồ thị bằng không. Khi đó hình chiếu của lực lên các trục tự nhiên F = m F = m Môđun và phương của lực được xác định theo công thức: F \ u003d F τ 2 + F n 2; cos ( ; cos ( Nhiệm vụ thứ hai (nghịch đảo). Biết các lực tác dụng lên chất điểm, khối lượng của nó và điều kiện ban đầu chuyển động, xác định quy luật chuyển động của một chất điểm hoặc bất kỳ đặc điểm động học nào của nó. Điều kiện ban đầu cho chuyển động của một điểm trong trục Descartes là tọa độ của điểm x 0, y 0, z 0 và hình chiếu của vận tốc ban đầu ϑ 0 lên các trục ϑ 0 x \ u003d x 0, ϑ 0 y \ u003d y 0 và ϑ 0 z \ u003d z 0 tại thời điểm tương ứng với cho điểm bắt đầu của chuyển động và lấy bằng không. Việc giải quyết các vấn đề thuộc loại này được rút gọn thành việc biên dịch một vi phân phương trình vi phân (hoặc một phương trình) chuyển động của một chất điểm và nghiệm tiếp theo của chúng bằng tích hợp trực tiếp hoặc sử dụng lý thuyết của phương trình vi phân. Xem lại câu hỏi 1. Động lực học nghiên cứu những gì? 2. Loại chuyển động nào được gọi là chuyển động theo quán tính? 3. Trong điều kiện nào thì một điểm vật chất sẽ ở trạng thái nghỉ hoặc chuyển động thẳng đều và tuyến tính? 4. Bản chất của vấn đề chính đầu tiên của động lực học của một điểm vật chất là gì? Nhiệm vụ thứ hai? 5. Viết phương trình vi phân tự nhiên của chuyển động của một chất điểm. Nhiệm vụ tự học 1. Một chất điểm khối lượng m = 4 kg chuyển động dọc theo đường thẳng nằm ngang với gia tốc a = 0,3 t. Xác định môđun của lực tác dụng lên chất điểm theo phương chuyển động của nó tại thời điểm t = 3 s. 2. Một phần khối lượng m = 0,5 kg trượt xuống khay. Mâm phải đặt ở góc nào so với mặt phẳng ngang để bộ phận chuyển động với gia tốc a = 2 m / s 2? Góc thể hiện tính bằng độ. 3. Một chất điểm có khối lượng m = 14 kg chuyển động dọc theo trục Ox với gia tốc a x = 2 t. Xác định môđun của lực tác dụng lên chất điểm theo phương chuyển động tại thời điểm t = 5 s.

(HỆ THỐNG CƠ KHÍ) - Tùy chọn IV

1. Phương trình cơ bản của động lực học của một chất điểm, như đã biết, được biểu thị bằng phương trình. Phương trình vi phân của chuyển động điểm tùy ý của một hệ cơ học không tự do theo hai cách chia lực có thể viết dưới hai dạng:

(1) , trong đó k = 1, 2, 3,…, n là số điểm của hệ vật chất.

(2)

đâu là khối lượng của chất điểm thứ k; - véc tơ bán kính của điểm thứ k, - lực (chủ động) cho trước tác dụng lên điểm thứ k hoặc là kết quả của tất cả các lực tác dụng lên điểm thứ k. - kết quả của phản lực của các liên kết, tác dụng lên điểm thứ k; - kết quả của nội lực tác dụng lên điểm thứ k; - kết quả của ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ k.

Phương trình (1) và (2) có thể được sử dụng để giải quyết cả vấn đề thứ nhất và thứ hai về động lực học. Tuy nhiên, lời giải của bài toán thứ hai về động lực học cho hệ thống trở nên rất phức tạp không chỉ với điểm toán học tầm nhìn, mà còn vì chúng ta phải đối mặt với những khó khăn cơ bản. Chúng nằm ở thực tế rằng cả đối với hệ (1) và hệ (2) số lượng phương trình là đáng kể ít hơn số không xác định.

Vì vậy, nếu chúng ta sử dụng (1), thì bài toán thứ hai (nghịch đảo) của động lực học sẽ là và, và ẩn số sẽ là và. Phương trình vectơ sẽ là " N", và không xác định -" 2n ".

Nếu ta tiến hành từ hệ phương trình (2) thì ngoại lực đã biết và một phần. Tại sao một phần? Thực tế là số lượng các lực lượng bên ngoài bao gồm phản ứng bên ngoài kết nối không xác định. Ngoài ra, cũng sẽ có những ẩn số.

Như vậy, cả hệ thống (1) và hệ thống (2) đều MỞ. Chúng ta cần thêm các phương trình, tính đến các phương trình của các quan hệ, và có lẽ chúng ta vẫn cần áp đặt một số hạn chế đối với bản thân các quan hệ. Để làm gì?

Nếu chúng ta tiếp tục từ (1), thì chúng ta có thể đi theo con đường biên dịch các phương trình Lagrange của loại đầu tiên. Nhưng cách này không hợp lý vì nhiệm vụ dễ dàng hơn(càng ít bậc tự do) thì càng khó giải nó theo quan điểm của toán học.

Sau đó, hãy chú ý đến hệ thống (2), nơi - luôn luôn là ẩn số. Bước đầu tiên trong việc giải hệ thống là loại bỏ những ẩn số này. Cần lưu ý rằng, theo quy luật, chúng ta không quan tâm đến nội lực trong quá trình chuyển động của hệ, tức là khi hệ chuyển động thì không cần biết từng điểm của hệ chuyển động như thế nào, nhưng nó là đủ để biết toàn bộ hệ thống vận động như thế nào.

Do đó, nếu những cách khác loại trừ khỏi hệ thống (2) lực lượng không xác định, sau đó chúng tôi thu được một số quan hệ, tức là một số Đặc điểm chungđối với hệ thống, kiến ​​thức về nó giúp ta có thể đánh giá cách hệ thống vận động nói chung. Những đặc điểm này được giới thiệu bằng cách sử dụng cái gọi là các định lý chung về động lực học. Có bốn định lý như vậy:

1. Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ cơ học;

2. Định lý về thay đổi động lượng của một hệ thống cơ học;

3. Định lý về thay đổi mômen động lượng của một hệ cơ học;

4. Định lý về thay đổi động năng của một hệ cơ học.