Phương trình tổng quát của động lực học. Phân tích động lực học

Phương trình tổng quát của động lực học cho một hệ thống có bất kỳ ràng buộc nào (nguyên lý d'Alembert-Lagrange tham gia hoặc phương trình tổng quát của cơ học):

Lực tác dụng tác dụng lên điểm-thứ của hệ ở đâu; là độ bền của phản ứng liên kết; - lực quán tính điểm; - chuyển động có thể.

Trong trường hợp cân bằng của hệ, khi tất cả các lực quán tính của các điểm của hệ bằng không, nó chuyển thành nguyên lý của các phép dời hình. Nó thường được sử dụng cho các hệ thống có các ràng buộc lý tưởng mà điều kiện

Trong trường hợp này, (229) có một trong các dạng:

. (230)

Vì vậy, Theo phương trình tổng quát của động lực học, tại bất kỳ thời điểm chuyển động nào của hệ có các ràng buộc lý tưởng, tổng công cơ bản của tất cả các lực hoạt động và lực quán tính của các điểm của hệ đều bằng không tại bất kỳ độ dời nào có thể có của hệ. được cho phép bởi các ràng buộc.

Phương trình tổng quát của động lực học có thể được đưa ra các dạng khác tương đương. Mở rộng tích vô hướng của vectơ, nó có thể được biểu thị dưới dạng

tọa độ của điểm-thứ ở đâu của hệ thống. Có tính đến hình chiếu của lực quán tính lên các trục tọa độ thông qua hình chiếu của gia tốc lên các trục này được biểu thị bằng các quan hệ

phương trình tổng quát của động lực học có thể được đưa ra dưới dạng

Ở dạng này, nó được gọi là phương trình tổng quát của động lực học ở dạng phân tích.

Khi sử dụng phương trình tổng quát của động lực học, cần phải tính được công cơ bản của lực quán tính của hệ đối với các chuyển vị có thể xảy ra. Vì vậy, các công thức tương ứng cho công cơ bản thu được đối với lực thông thường được áp dụng. Chúng ta hãy xem xét ứng dụng của chúng đối với các lực quán tính của một vật cứng trong các trường hợp cụ thể của chuyển động của nó.

Với chuyển động về phía trước. Trong trường hợp này, vật thể có ba bậc tự do và do các ràng buộc áp đặt, chỉ có thể thực hiện chuyển động tịnh tiến. Các chuyển động có thể có của cơ thể, cho phép kết nối, cũng là chuyển động tịnh tiến.

Lực quán tính trong chuyển động tịnh tiến được giảm xuống do đó . Đối với tổng công cơ bản của lực quán tính đối với chuyển vị tịnh tiến có thể có của vật, chúng ta thu được

ở đâu là dịch chuyển có thể có của khối tâm và bất kỳ điểm nào của vật, vì chuyển dịch tịnh tiến có thể giống nhau đối với tất cả các điểm của vật: các gia tốc là như nhau, tức là.

Khi một vật cứng quay quanh một trục cố định. Cơ thể trong trường hợp này có một bậc tự do. Nó có thể quay quanh một trục cố định. Chuyển vị có thể có, được cho phép bởi các ràng buộc chồng chất, cũng là chuyển động quay của cơ thể qua một góc cơ bản quanh một trục cố định.

Các lực quán tính, giảm đến một điểm trên trục quay, được giảm thành vectơ chính và mômen chính. Vectơ chính của lực quán tính được áp dụng cho một điểm cố định, và công cơ bản của nó đối với một độ dời có thể có bằng không. Đối với mômen quán tính chính, công cơ bản không bằng 0 sẽ chỉ được thực hiện bằng phép chiếu của nó lên trục quay. Do đó, đối với tổng công của các lực quán tính đối với sự dịch chuyển có thể được coi là, chúng ta có

nếu góc được báo theo hướng của mũi tên cung của gia tốc góc.

trong chuyển động phẳng. Các ràng buộc đặt lên một phần thân cứng trong trường hợp này chỉ cho phép một dịch chuyển mặt phẳng có thể xảy ra. Trong trường hợp tổng quát, nó bao gồm một chuyển động tịnh tiến có thể có cùng với cực, mà chúng ta chọn khối tâm, và chuyển động quay theo một góc cơ bản quanh trục đi qua khối tâm và vuông góc với mặt phẳng, song song với nó. cơ thể có thể thực hiện chuyển động mặt phẳng.

Vì lực quán tính trong chuyển động phẳng của một vật cứng có thể giảm thành vectơ chính và mômen chính (nếu chọn khối tâm làm trọng tâm) nên tổng công cơ bản của các lực của quán tính trên một mặt phẳng có thể dịch chuyển sẽ giảm thành công cơ bản của vectơ lực quán tính đối với độ dời có thể có của khối tâm và công cơ bản của mômen quán tính chính đối với chuyển động quay sơ cấp quanh trục đi qua khối tâm. của khối lượng. Trong trường hợp này, công cơ bản không bằng 0 chỉ có thể được thực hiện bằng hình chiếu của mômen quán tính chính lên trục, tức là . Do đó, trong trường hợp đang xem xét, chúng tôi có

Giới thiệu

Trong động học, việc mô tả các dạng chuyển động cơ học đơn giản nhất được xem xét. Đồng thời, các lý do gây ra sự thay đổi vị trí của cơ thể so với các cơ thể khác không được đề cập và hệ quy chiếu được chọn vì lý do thuận tiện khi giải quyết một vấn đề cụ thể. Trong động lực học, trước hết, mối quan tâm là lý do mà một số vật thể bắt đầu chuyển động so với các vật thể khác, cũng như các yếu tố gây ra sự xuất hiện của gia tốc. Tuy nhiên, các định luật trong cơ học, nói một cách chính xác, có các dạng khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau. Người ta đã thiết lập rằng có những hệ quy chiếu như vậy, trong đó các luật và quy tắc không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu như vậy được gọi là hệ thống quán tính(ISO). Trong các hệ quy chiếu này, giá trị của gia tốc chỉ phụ thuộc vào các lực tác dụng và không phụ thuộc vào việc chọn hệ quy chiếu. Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu nhật tâm, có nguồn gốc ở tâm Mặt trời. Hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến đều so với hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ quy chiếu quán tính và hệ quy chiếu chuyển động với gia tốc so với hệ quy chiếu quán tính là không quán tính. Vì những lý do này, bề mặt trái đất, nói một cách chính xác, là một hệ quy chiếu phi quán tính. Trong nhiều bài toán, hệ quy chiếu gắn với Trái đất có thể được coi là quán tính với mức độ chính xác tốt.

Các định luật cơ bản của động lực học trong quán tính và phi quán tính

hệ quy chiếu

Khả năng của một cơ thể để duy trì trạng thái chuyển động thẳng đều hoặc nghỉ ngơi trong ISO được gọi là quán tính của cơ thể. Phép đo quán tính của cơ thể là trọng lượng. Khối lượng là đại lượng vô hướng, trong hệ SI, khối lượng được đo bằng kilôgam (kg). Phép đo tương tác là một đại lượng được gọi là lực lượng. Lực là một đại lượng vectơ, trong hệ SI, nó được đo bằng Newton (N).

Định luật đầu tiên của Newton. Trong hệ quy chiếu quán tính, một điểm chuyển động thẳng đều trên một đường thẳng hoặc đứng yên nếu tổng của tất cả các lực tác dụng lên nó bằng 0, tức là:

đâu là hợp lực tác dụng lên một điểm cho trước.

Định luật thứ hai của Newton. Trong hệ quán tính, một vật chuyển động với gia tốc nếu tổng của tất cả các lực tác dụng lên nó không bằng 0, và tích của khối lượng của vật và gia tốc của nó bằng tổng các lực này, tức là:

Định luật thứ ba của Newton. Lực mà các vật tác dụng lên nhau có độ lớn bằng nhau và ngược hướng, tức là:.

Các lực lượng, được coi là thước đo của sự tương tác, luôn luôn được sinh ra theo từng cặp.

Để giải quyết thành công hầu hết các vấn đề bằng cách sử dụng các định luật Newton, cần phải tuân thủ một chuỗi hành động nhất định (một loại thuật toán).

Các điểm chính của thuật toán.

1. Phân tích tình trạng của vấn đề và tìm hiểu xem cơ thể được coi là tương tác với những cơ quan nào. Dựa vào đó, xác định số lực tác dụng lên vật thể đang xét. Giả sử số lực tác dụng lên vật là. Sau đó, thực hiện một bản vẽ chính xác về mặt sơ đồ, trên đó xây dựng tất cả các lực tác động lên cơ thể.

2. Sử dụng điều kiện của bài toán, xác định hướng gia tốc của vật được đề cập và mô tả vectơ gia tốc trong hình.

3. Viết dưới dạng vectơ định luật thứ hai của Newton, tức là:

ở đâu các lực tác dụng lên cơ thể.

4. Chọn hệ quy chiếu quán tính. Vẽ một hệ trục tọa độ Descartes hình chữ nhật trong hình bên, trục OX hướng dọc theo vectơ gia tốc, trục OY và OZ hướng vuông góc với trục OX.

5. Sử dụng tính chất chính của sự bằng nhau của vectơ, hãy viết định luật thứ hai của Newton cho hình chiếu của vectơ trên các trục tọa độ, tức là:

6. Nếu trong bài toán, ngoài lực và gia tốc, cần xác định tọa độ và vận tốc, thì ngoài định luật II Newton, cần sử dụng phương trình động học của chuyển động. Khi viết hệ phương trình, cần chú ý rằng số phương trình bằng số ẩn số trong bài toán này.

Coi hệ quy chiếu phi quán tính quay với vận tốc góc không đổi quanh một trục chuyển động tịnh tiến với vận tốc so với hệ quy chiếu quán tính. Trong trường hợp này, gia tốc của một điểm trong hệ thống quán tính () liên hệ với gia tốc trong hệ thống không quán tính () theo quan hệ:

gia tốc của hệ không quán tính so với hệ quán tính là ở đâu, vận tốc thẳng của chất điểm trong hệ không quán tính. Từ quan hệ cuối cùng, thay vì gia tốc, chúng ta thay thế vào đẳng thức (1), chúng ta nhận được biểu thức:

Tỷ lệ này được gọi là Định luật II Newton trong hệ quy chiếu phi quán tính.

Lực quán tính. Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu:

1. – lực quán tính tịnh tiến;

2. – lực Coriolis;

3 – lực ly tâm của quán tính.

Trong các nhiệm vụ, lực quán tính tịnh tiến được mô tả so với vectơ bằng gia tốc của chuyển động tịnh tiến của hệ quy chiếu phi quán tính (), lực quán tính ly tâm - từ tâm quay dọc theo bán kính (); hướng của lực Coriolis được xác định bởi quy tắc khoan cho tích chéo của vectơ.

Nói một cách chính xác, lực quán tính không phải là lực theo nghĩa đầy đủ, bởi vì Định luật thứ ba của Newton không phù hợp với chúng, tức là chúng không được ghép nối.

Lực lượng

Lực hấp dẫn. Lực vạn vật hấp dẫn phát sinh trong quá trình tương tác giữa các vật có khối lượng và được tính theo tỷ lệ:

. (4)

Hệ số tỉ lệ được gọi là hằng số hấp dẫn. Giá trị của nó trong hệ SI là .

Phản lực. Lực phản ứng phát sinh khi một vật thể tương tác với các cấu trúc khác nhau giới hạn vị trí của nó trong không gian. Ví dụ, một vật được treo bằng một sợi chỉ phải chịu một phản lực, thường được gọi là lực căng thẳng. Lực căng chỉ luôn hướng dọc theo sợi chỉ. Không có công thức tính giá trị của nó. Thông thường giá trị của nó được tìm thấy từ định luật thứ nhất hoặc từ định luật thứ hai của Newton. Lực phản ứng cũng bao gồm các lực tác dụng lên một hạt trên bề mặt nhẵn. Họ gọi cô ấy phản lực bình thường, chứng tỏ . Phản lực luôn hướng vuông góc với mặt xét. Lực tác dụng lên bề mặt nhẵn của vật được gọi là lực của áp suất bình thường(). Theo định luật thứ ba của Newton, phản lực có độ lớn bằng lực của áp suất pháp tuyến, nhưng vectơ của các lực này ngược hướng.

Lực đàn hồi. Lực đàn hồi phát sinh trong vật thể nếu vật thể bị biến dạng, tức là nếu hình dạng của cơ thể hoặc thể tích của nó bị thay đổi. Khi dừng biến dạng thì các lực đàn hồi biến mất. Cần lưu ý rằng, mặc dù lực đàn hồi phát sinh trong quá trình biến dạng của vật thể, nhưng không phải lúc nào sự biến dạng cũng dẫn đến sự xuất hiện của lực đàn hồi. Lực đàn hồi phát sinh trong các vật thể có khả năng phục hồi hình dạng của chúng sau khi chấm dứt tác động bên ngoài. Các cơ thể như vậy, và các biến dạng tương ứng của chúng, được gọi là đàn hồi. Với biến dạng dẻo, những thay đổi không hoàn toàn biến mất sau khi chấm dứt tác động bên ngoài. Một ví dụ nổi bật về sự biểu hiện của lực đàn hồi có thể là các lực sinh ra trong lò xo bị biến dạng. Đối với các biến dạng đàn hồi xảy ra ở các vật bị biến dạng, lực đàn hồi luôn tỉ lệ với độ lớn của biến dạng, tức là:

, (5)

trong đó là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng) của lò xo, vectơ biến dạng của lò xo.

Câu lệnh này được gọi là Định luật Hooke.

Lực ma sát. Khi một vật thể di chuyển dọc theo bề mặt của vật thể khác, các lực phát sinh ngăn cản chuyển động này. Những lực như vậy được gọi là lực ma sát trượt. Độ lớn của lực ma sát tĩnh có thể thay đổi tùy thuộc vào ngoại lực tác dụng. Đến một giá trị nào đó của ngoại lực thì lực ma sát tĩnh đạt giá trị cực đại. Sau đó, quá trình trượt của cơ thể bắt đầu. Thực nghiệm người ta đã chứng minh được rằng lực ma sát trượt tỷ lệ thuận với lực ép bình thường của cơ thể lên bề mặt. Theo định luật thứ ba của Newton, lực của áp suất pháp tuyến của một vật lên một bề mặt luôn bằng phản lực mà chính bề mặt đó tác dụng lên một vật chuyển động. Với điều này, công thức tính độ lớn của lực ma sát trượt có dạng:

, (6)

độ lớn của phản lực ở đâu; hệ số ma sát trượt. Lực ma sát trượt tác dụng lên vật chuyển động luôn hướng với vận tốc của nó dọc theo các mặt tiếp xúc.

Sức mạnh của sự phản kháng. Khi các vật chuyển động trong chất lỏng và chất khí, lực ma sát cũng sinh ra, nhưng chúng khác hẳn với lực ma sát khô. Những lực này được gọi là lực ma sát nhớt, hoặc lực lượng kháng chiến. Lực ma sát nhớt chỉ phát sinh khi chuyển động tương đối của các vật. Lực cản phụ thuộc vào nhiều yếu tố, cụ thể là: vào kích thước và hình dạng của vật thể, vào tính chất của môi trường (mật độ, độ nhớt), vào tốc độ chuyển động tương đối. Ở tốc độ thấp, lực cản tỷ lệ thuận với tốc độ của cơ thể so với phương tiện, tức là:

. (7)

Ở tốc độ cao, lực cản tỷ lệ với bình phương tốc độ của cơ thể so với phương tiện, tức là:

, (8)

trong đó một số hệ số tương xứng, được gọi là hệ số kéo.

Phương trình cơ bản của động lực học

Phương trình cơ bản của động lực học của một chất điểm không khác gì một biểu thức toán học của định luật II Newton:

. (9)

Trong hệ quy chiếu quán tính, tổng của tất cả các lực chỉ bao gồm các lực là số đo tương tác; trong hệ quy chiếu không quán tính, tổng của các lực bao gồm cả lực quán tính.

Theo quan điểm toán học, quan hệ (9) là một phương trình vi phân của chuyển động điểm ở dạng vectơ. Giải pháp của nó là vấn đề chính của động lực học của một điểm vật liệu.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Nhiệm vụ số 1. Một tấm kính được đặt trên một tờ giấy. Với gia tốc nào thì tấm giấy phải được đặt trong chuyển động để kéo nó ra khỏi tấm kính, nếu hệ số ma sát giữa tấm kính và tấm giấy là 0,3?

Giả sử rằng đối với một số lực tác dụng lên tờ giấy, thủy tinh sẽ chuyển động cùng với tờ giấy. Chúng ta hãy mô tả riêng các lực tác dụng lên một thủy tinh có khối lượng. Các vật sau đây tác dụng lên kính: Trái đất chịu trọng lực, tờ giấy chịu phản lực, tờ giấy có lực ma sát hướng dọc theo vận tốc của kính. Chuyển động của kính là gia tốc đều, do đó, vectơ gia tốc hướng dọc theo vận tốc của kính.

Hãy mô tả véc tơ gia tốc của kính trong hình. Chúng ta viết định luật II Newton dưới dạng vectơ cho các lực tác dụng lên kính:

Hãy hướng trục OX dọc theo vectơ gia tốc kính và trục OY ¾ theo phương thẳng đứng lên trên. Chúng tôi viết định luật thứ hai của Newton trong các phép chiếu lên các trục tọa độ này, chúng tôi thu được các phương trình sau:

(1.1)

Khi lực tác dụng lên tờ giấy tăng lên thì độ lớn của lực ma sát mà tờ giấy tác dụng lên tấm kính sẽ tăng lên. Đến một giá trị nào đó của lực thì độ lớn của lực ma sát đạt giá trị cực đại bằng độ lớn của lực ma sát trượt. Kể từ thời điểm này, tấm kính bắt đầu trượt so với bề mặt của tờ giấy. Giá trị giới hạn của lực ma sát liên hệ với phản lực tác dụng lên kính theo quan hệ sau:

Từ đẳng thức (1.2), chúng ta biểu thị độ lớn của phản lực, và sau đó chúng ta thay nó vào quan hệ cuối cùng, chúng ta có. Từ hệ thức thu được, ta tìm giá trị của lực ma sát và đưa nó vào phương trình (1.1), ta thu được biểu thức xác định gia tốc cực đại của kính:

Thay giá trị của các đại lượng trong đẳng thức cuối cùng, ta tìm được giá trị của gia tốc cực đại của kính:

Giá trị thu được của gia tốc kính bằng gia tốc nhỏ nhất của một tờ giấy, tại đó nó có thể được "kéo ra" từ dưới kính.

Trả lời: .

Hãy mô tả tất cả các lực tác dụng lên cơ thể. Ngoài ngoại lực, Trái đất tác dụng lên vật thể trọng lực, mặt nằm ngang có phản lực và lực ma sát, hướng với vận tốc của cơ thể. Cơ thể chuyển động với gia tốc đồng đều, và do đó, vectơ gia tốc của nó hướng dọc theo tốc độ chuyển động. Hãy vẽ một vector trong hình. Chọn một hệ tọa độ như trong hình. Chúng tôi viết định luật thứ hai của Newton ở dạng vectơ:

Sử dụng tính chất chính của đẳng thức vectơ, chúng tôi viết ra phương trình cho các hình chiếu của các vectơ có trong đẳng thức vectơ cuối cùng:

Ta viết tỉ số của lực ma sát trượt

Từ đẳng thức (2.2) ta tìm được độ lớn của phản lực

Từ biểu thức thu được, ta thay vào đẳng thức (2.3) thay cho độ lớn của phản lực, ta thu được biểu thức

Thay biểu thức tính lực ma sát vào phương trình (2.1), ta sẽ có công thức tính gia tốc của vật:

Trong công thức cuối cùng, chúng ta thay thế dữ liệu số trong hệ SI, chúng ta tìm thấy giá trị của gia tốc chuyển động của tải:

Trả lời: .

Để có giá trị nhỏ nhất của lực, ta xác định phương của lực ma sát tác dụng lên thanh nghỉ. Hãy tưởng tượng rằng một lực nhỏ hơn lực tối thiểu đủ để giữ cho cơ thể ở trạng thái nghỉ ngơi. Trong trường hợp này, cơ thể sẽ chuyển động xuống dưới và lực ma sát tác dụng lên nó sẽ hướng thẳng đứng lên trên. Để dừng vật, bạn cần phải tăng độ lớn của lực tác dụng. Ngoài ra, vật thể này còn chịu tác động của Trái đất với lực hấp dẫn hướng thẳng đứng xuống dưới, cũng như bức tường với phản lực hướng theo phương ngang sang trái. Hãy mô tả trong hình tất cả các lực tác dụng lên cơ thể. Chúng tôi lấy một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật, các trục mà chúng tôi định hướng như thể hiện trong hình. Đối với một cơ thể ở trạng thái nghỉ, chúng ta viết định luật đầu tiên của Newton ở dạng vectơ:

Đối với đẳng thức vectơ tìm được, chúng ta viết các đẳng thức cho hình chiếu của vectơ trên các trục tọa độ, chúng ta thu được các phương trình sau:

Ở giá trị nhỏ nhất của ngoại lực thì độ lớn của lực ma sát tĩnh đạt giá trị cực đại bằng độ lớn của lực ma sát trượt:

Từ công thức (3.1), chúng ta tìm giá trị của phản lực và thay nó vào phương trình (3.3), chúng ta thu được biểu thức sau cho lực ma sát:

Hãy thay vế phải của quan hệ này thay cho lực ma sát vào phương trình (3.2), chúng ta thu được công thức tính độ lớn của lực tác dụng:

Từ công thức cuối cùng ta tìm được độ lớn của lực:

Trả lời: .

Hãy mô tả tất cả các lực tác dụng lên một quả bóng chuyển động thẳng đứng xuống dưới trong không khí. Nó được tác động bởi Trái đất với lực hấp dẫn và không khí với lực cản. Chúng tôi mô tả các lực được xem xét trong hình. Tại thời điểm ban đầu, hợp của tất cả các lực đều có giá trị cực đại, vì tốc độ của quả bóng bằng không và lực cản cũng bằng không. Lúc này, quả cầu có gia tốc cực đại bằng. Khi quả bóng chuyển động, tốc độ chuyển động của nó tăng lên, và do đó, lực cản của không khí tăng lên. Tại một thời điểm nào đó, lực cản đạt giá trị bằng giá trị của trọng lực. Từ thời điểm này, quả cầu chuyển động thẳng đều. Hãy viết định luật thứ nhất của Newton dưới dạng vectơ cho chuyển động thẳng đều của quả bóng:

Hãy hướng trục OY theo phương thẳng đứng xuống. Đối với đẳng thức vectơ đã cho, chúng ta viết đẳng thức cho hình chiếu của vectơ lên trục OY:

. (4.1)

Lực cản phụ thuộc vào diện tích mặt cắt ngang của quả cầu và độ lớn tốc độ của nó như sau:

, (4.2)

đâu là hệ số tương xứng, được gọi là hệ số cản.

Phương trình (4.1) và (4.2) ngụ ý mối quan hệ sau:

. (4.3)

Chúng tôi biểu thị khối lượng của quả bóng theo mật độ và thể tích của nó, và thể tích, lần lượt, theo bán kính của quả bóng:

. (4.4)

Từ biểu thức này, chúng ta tìm khối lượng và thay nó vào đẳng thức (4.3), chúng ta thu được đẳng thức sau:

. (4.5)

Chúng tôi biểu thị diện tích mặt cắt ngang của quả bóng theo bán kính của nó:

Tính đến quan hệ (4.6), đẳng thức (4.5) có dạng sau:

Ký hiệu là bán kính của quả bóng đầu tiên; như bán kính của quả bóng thứ hai. Hãy viết công thức vận tốc của chuyển động thẳng đều của viên bi thứ nhất và thứ hai:

Từ các cân bằng thu được, chúng tôi tìm thấy tỷ số của tốc độ:

Từ điều kiện của bài toán, tỉ số bán kính của các quả bóng bằng hai. Sử dụng điều kiện này, chúng tôi tìm thấy tỷ lệ của tốc độ:

Trả lời: .

Trên một vật chuyển động lên theo mặt phẳng nghiêng, các ngoại thể có tác dụng: a) Trái đất có trọng lực hướng thẳng đứng xuống dưới; b) mặt phẳng nghiêng có phản lực hướng vuông góc với mặt phẳng nghiêng; c) mặt phẳng nghiêng có lực ma sát hướng vào chuyển động của cơ thể; d) một vật bên ngoài có lực hướng lên dọc theo mặt phẳng nghiêng. Dưới tác dụng của các lực này, vật chuyển động đều với gia tốc lên mặt phẳng nghiêng, và do đó, vectơ gia tốc hướng dọc theo chuyển động của vật. Hãy mô tả véc tơ gia tốc trong hình. Hãy viết định luật II Newton dưới dạng vectơ:

Ta chọn một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật, trục OX hướng dọc theo gia tốc của vật và trục OY vuông góc với mặt phẳng nghiêng. Chúng tôi viết định luật thứ hai của Newton trong các phép chiếu lên các trục tọa độ này, chúng tôi thu được các phương trình sau:

Lực ma sát trượt liên hệ với phản lực theo mối quan hệ sau:

Từ công thức (5.2) ta tìm được độ lớn của phản lực và thay nó vào phương trình (5.3), ta có biểu thức sau cho lực ma sát:

. (5.4)

Ta thay vế phải của phương trình (5.4) thay cho lực ma sát vào phương trình (5.1), ta thu được phương trình sau để tính độ lớn của lực mong muốn:

Hãy tính độ lớn của lực:

Trả lời: .

Hãy mô tả tất cả các lực tác dụng lên cơ thể và khối. Hãy xem xét quá trình chuyển động của các phần được nối với nhau bằng một sợi chỉ ném qua một khối. Sợi không trọng lượng và không kéo dài được, do đó, độ lớn của lực căng trong bất kỳ đoạn nào của sợi sẽ giống nhau, tức là và .

Sự dịch chuyển của các vật thể trong bất kỳ khoảng thời gian nào sẽ giống nhau, và do đó, tại bất kỳ thời điểm nào, các giá trị của vận tốc và gia tốc của các vật thể này sẽ giống nhau. Từ thực tế là khối quay mà không có ma sát và không trọng lượng, thì lực căng của sợi chỉ trên cả hai mặt của khối sẽ như nhau, tức là:.

Điều này ngụ ý sự bằng nhau của lực căng của sợi tác dụng lên thân thứ nhất và thứ hai, tức là . Hãy để chúng tôi mô tả các vectơ gia tốc của vật thể thứ nhất và vật thể thứ hai trong hình. Hãy vẽ hai trục x. Hãy hướng trục thứ nhất dọc theo véc tơ gia tốc của vật thứ nhất, vật thứ hai - dọc theo véc tơ gia tốc của vật thứ hai. Chúng tôi viết định luật thứ hai của Newton cho mỗi vật thể trong phép chiếu lên các trục tọa độ sau:

Tính đến điều đó, và biểu thị từ phương trình đầu tiên, chúng ta thay thế vào phương trình thứ hai, chúng ta nhận được

Từ đẳng thức cuối cùng, chúng ta tìm thấy giá trị của gia tốc:

Từ đẳng thức (1) ta tìm được độ lớn của lực căng dây:

Trả lời: , .

Hai lực tác dụng lên một chiếc vòng nhỏ khi nó quay quanh một vòng tròn: trọng lực hướng thẳng đứng xuống dưới và phản lực hướng vào tâm vòng. Chúng tôi mô tả các lực này trong hình và cũng hiển thị trên đó quỹ đạo của vòng tròn. Vectơ gia tốc hướng tâm của vòng nằm trong mặt phẳng của quỹ đạo và hướng về trục quay. Hãy hiển thị trong hình ảnh. Hãy viết định luật thứ hai của Newton ở dạng vectơ cho một vòng tròn quay:

Chúng ta chọn một hệ tọa độ hình chữ nhật, trục OX sẽ hướng dọc theo gia tốc hướng tâm và trục OY - hướng thẳng đứng lên trên dọc theo trục quay. Chúng tôi viết định luật thứ hai của Newton trong các phép chiếu lên các trục tọa độ sau:

Từ công thức (7.2) ta tìm được độ lớn của phản lực và thay nó vào phương trình (7.1), ta được biểu thức:

. (7.3)

Gia tốc hướng tâm liên quan đến tốc độ quay theo tỷ số: , bán kính quay của vòng nhỏ ở đâu. Hãy thay vế phải của đẳng thức cuối cùng trong công thức (7.3), chúng ta thu được quan hệ sau:

. (7.4)

Từ hình vẽ, chúng ta tìm thấy giá trị của tiếp tuyến của góc alpha . Tính đến biểu thức này, đẳng thức (7.4) có dạng:

Từ phương trình cuối cùng, chúng tôi tìm thấy chiều cao cần thiết:

Trả lời: .

Ba lực tác dụng lên một vật quay cùng đĩa: trọng lực, phản lực và lực ma sát, hướng vào trục quay. Hãy mô tả tất cả các lực trong hình. Hãy chỉ ra trong hình này hướng của vectơ gia tốc hướng tâm. Chúng tôi viết định luật thứ hai của Newton ở dạng vectơ:

Ta chọn hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật như hình bên. Hãy viết định luật thứ hai của Newton trong phép chiếu trên các trục tọa độ:

; (8.1)

. (8.2)

Chúng tôi viết mối quan hệ cho gia tốc hướng tâm:

. (8.3)

Thay vế phải của đẳng thức (8.3) thay vì gia tốc hướng tâm thành đẳng thức (8.1), chúng tôi nhận được:

. (8.4)

Từ phương trình (8.4) có thể thấy rằng giá trị của lực ma sát tỷ lệ thuận với bán kính quay, do đó, khi bán kính quay tăng thì lực ma sát tĩnh tăng, và ở một giá trị nào đó thì tĩnh lực ma sát đạt giá trị cực đại bằng lực ma sát trượt ().

Tính đến đẳng thức (8.2), chúng ta thu được biểu thức cho lực ma sát tĩnh lớn nhất:

Chúng ta thay vế phải của đẳng thức thu được thay cho lực ma sát bằng đẳng thức (4), chúng ta thu được quan hệ sau:

Từ phương trình này, chúng ta tìm được giá trị giới hạn của bán kính quay:

Trả lời: .

Trong quá trình bay của một quả rơi, hai lực tác dụng lên nó: trọng lực và lực cản. Hãy mô tả tất cả các lực trong hình. Hãy chọn một trục hướng thẳng đứng OY, điểm gốc mà chúng ta sẽ đặt trên bề mặt Trái đất. Hãy để chúng tôi viết ra phương trình cơ bản của động lực học:

Chiếu đẳng thức lên trục OY, chúng ta sẽ có quan hệ:

Chúng tôi chia cả hai phần của đẳng thức cuối cùng cho và đồng thời nhân cả hai phần với, có tính đến điều đó, chúng tôi nhận được biểu thức:

Chúng tôi chia cả hai phần của biểu thức này thành , chúng tôi nhận được tỷ lệ:

Chúng tôi tích hợp quan hệ cuối cùng, chúng tôi thu được sự phụ thuộc của tốc độ vào thời gian:.

Chúng tôi tìm thấy hằng số từ các điều kiện ban đầu ( ), chúng tôi thu được sự phụ thuộc mong muốn của tốc độ vào thời gian:

Xác định tốc độ lớn nhất từ điều kiện :

Trả lời: ; .

Hãy để chúng tôi mô tả trong hình các lực tác động lên máy giặt. Chúng tôi viết định luật thứ hai của Newton trong các phép chiếu trên các trục OX, OY và OZ

Tại vì , sau đó đối với toàn bộ quỹ đạo của vòng đệm đối với lực ma sát, công thức là hợp lệ, có tính đến công thức OZ, được chuyển đổi thành dạng:

Có tính đến mối quan hệ này, đẳng thức đối với trục OX có dạng

Chiếu định luật II Newton lên phương tiếp tuyến với quỹ đạo của quả cầu tại điểm đang xét, chúng ta thu được quan hệ:

giá trị của gia tốc tiếp tuyến ở đâu. So sánh các phần bên phải của các bằng nhau cuối cùng, chúng tôi kết luận rằng.

Vì và, xét đến quan hệ trước, chúng ta có đẳng thức, tích phân dẫn đến biểu thức, ở đâu là hằng số tích hợp. Thay thế trong biểu thức cuối cùng , chúng ta thu được sự phụ thuộc của tốc độ vào góc:

Chúng tôi xác định hằng số từ các điều kiện ban đầu (khi . ). Với suy nghĩ này, chúng tôi viết ra sự phụ thuộc cuối cùng

Giá trị vận tốc nhỏ nhất đạt được khi vectơ vận tốc hướng song song với trục OX và giá trị của nó bằng.

Nguyên tắc của các chuyển động có thể: đối với trạng thái cân bằng của một hệ cơ học với các mối liên kết lý tưởng, cần và đủ là tổng các công cơ bản của tất cả các lực tác dụng lên nó đối với mọi chuyển vị có thể có bằng không. hoặc trong các phép chiếu:.

Nguyên lý của các chuyển vị có thể đưa ra ở dạng tổng quát các điều kiện cân bằng cho bất kỳ hệ cơ học nào, đưa ra một phương pháp chung để giải các bài toán về tĩnh học.

Nếu hệ có một số bậc tự do, thì phương trình của nguyên lý về các chuyển vị có thể được lập cho từng chuyển vị độc lập riêng biệt, tức là sẽ có bao nhiêu phương trình khi hệ có bậc tự do.

Nguyên tắc về các chuyển vị có thể xảy ra thuận tiện ở chỗ khi xem xét một hệ thống có các kết nối lý tưởng, các phản ứng của chúng không được tính đến và chỉ cần tác động khi có các lực tác dụng.

Nguyên tắc của các chuyển động có thể được xây dựng như sau:

Đối với người mẹ. hệ thống, chịu sự ràng buộc lý tưởng, đã ở trạng thái nghỉ ngơi, cần và đủ rằng tổng các công trình cơ bản được thực hiện bởi các lực tác dụng lên các chuyển vị có thể có của các điểm của hệ thống là dương.

Phương trình động lực học tổng quát - khi một hệ chuyển động với các liên kết lý tưởng tại bất kỳ thời điểm nhất định nào, thì tổng công trình cơ bản của tất cả các lực hoạt động tác dụng và tất cả các lực quán tính trên mọi chuyển động có thể có của hệ sẽ bằng không. Phương trình sử dụng nguyên lý về các chuyển vị có thể có và nguyên lý d'Alembert và cho phép người ta lập phương trình vi phân chuyển động cho bất kỳ hệ cơ học nào. Đưa ra phương pháp chung để giải các bài toán về động lực học.

Trình tự biên dịch:

a) các lực xác định tác dụng lên nó được tác dụng lên mỗi vật, đồng thời các lực và mômen của các cặp lực quán tính cũng được tác dụng một cách có điều kiện;

b) thông báo cho hệ thống các chuyển động có thể xảy ra;

c) Lập phương trình về nguyên lý của các phép dời hình, coi hệ ở trạng thái cân bằng.

Cần lưu ý rằng phương trình tổng quát của động lực học cũng có thể được áp dụng cho các hệ có liên kết không lý tưởng, chỉ trong trường hợp này các phản ứng của các liên kết không lý tưởng, chẳng hạn như lực ma sát hoặc mômen ma sát lăn, phải được phân loại là lực lượng tại ngũ.

Công về độ dịch chuyển có thể có của cả lực tác dụng và lực quán tính được tìm theo cách giống như công trình cơ bản về độ dời thực tế:

Lực tác dụng có thể xảy ra: .

Công việc có thể xảy ra tại thời điểm này (cặp lực): .

Tọa độ tổng quát của hệ cơ học là các tham số độc lập q 1, q 2,…, q S có chiều bất kỳ, xác định duy nhất vị trí của hệ tại bất kỳ thời điểm nào.

Số tọa độ tổng quát là S - số bậc tự do của hệ cơ. Vị trí của mỗi điểm thứ của hệ, tức là vectơ bán kính của nó, trong trường hợp tổng quát, luôn có thể được biểu thị dưới dạng một hàm của tọa độ tổng quát:

Phương trình tổng quát của động lực học trong hệ tọa độ tổng quát có dạng như một hệ phương trình S như sau:

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

đây là lực tổng quát tương ứng với tọa độ tổng quát:

(26)

a là lực quán tính tổng quát ứng với tọa độ tổng quát:

Số lượng các chuyển vị độc lập có thể có của hệ được gọi là số bậc tự do của hệ này. Ví dụ. quả bóng trên mặt phẳng có thể chuyển động theo bất kỳ hướng nào, nhưng bất kỳ chuyển động nào có thể có được là tổng hình học của hai chuyển động dọc theo hai trục vuông góc với nhau. Một vật cứng tự do có 6 bậc tự do.

Lực lượng tổng quát. Với mỗi tọa độ suy rộng, người ta có thể tính được lực suy ra tương ứng Qk.

Việc tính toán được thực hiện theo quy tắc này.

Để xác định lực tổng quát Qk tương ứng với tọa độ tổng quát q k, bạn cần cung cấp cho tọa độ này một gia số (tăng tọa độ lên một lượng này), giữ nguyên tất cả các tọa độ khác không thay đổi, tính tổng công của tất cả các lực tác dụng lên hệ trên các chuyển vị tương ứng của các điểm và chia nó cho gia số của tọa độ:

(7)

dịch chuyển ở đâu tôi-điểm đó của hệ thống có được bằng cách thay đổi k- tọa độ tổng quát thứ.

Lực lượng tổng quát được xác định bằng cách sử dụng công việc sơ cấp. Do đó, lực này có thể được tính theo cách khác:

Và vì có sự gia tăng của vectơ bán kính do sự gia tăng của tọa độ với các tọa độ còn lại và thời gian không thay đổi t, tỷ số có thể được định nghĩa là một đạo hàm riêng của. sau đó

trong đó tọa độ của điểm là hàm của tọa độ suy rộng (5).

Nếu hệ thống là bảo toàn, nghĩa là, chuyển động xảy ra dưới tác dụng của các lực trường tiềm năng mà các phép chiếu của nó, ở đâu , và tọa độ của điểm là hàm của tọa độ tổng quát, khi đó

Lực tổng quát của hệ bảo toàn là đạo hàm riêng của thế năng đối với tọa độ suy rộng tương ứng với dấu trừ.

Tất nhiên, khi tính toán lực tổng quát này, thế năng cần được xác định là một hàm của tọa độ tổng quát

P = P ( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).

Nhận xét.

Ngày thứ nhất. Khi tính toán các phản lực tổng quát, các liên kết lý tưởng không được tính đến.

Thứ hai. Chiều của lực suy rộng phụ thuộc vào chiều của tọa độ suy rộng.

Phương trình Lagrange thuộc loại thứ 2được suy ra từ phương trình tổng quát của động lực học trong các tọa độ tổng quát. Số phương trình tương ứng với số bậc tự do:

(28)

Để lập phương trình Lagrange của loại thứ 2, các tọa độ tổng quát được chọn và vận tốc tổng quát được tìm thấy . Động năng của hệ được tìm thấy, là một hàm của vận tốc tổng quát , và, trong một số trường hợp, tọa độ tổng quát. Các phép toán phân biệt động năng được thực hiện, được cung cấp bởi vế trái của phương trình Lagrange. giải quyết những vấn đề:

(29)

Trong tử số bên phải của công thức - tổng công cơ bản của tất cả các lực tác dụng lên độ dịch chuyển có thể có của hệ, tương ứng với sự biến thiên của tọa độ tổng quát thứ i -. Với sự dịch chuyển có thể có này, tất cả các tọa độ tổng quát khác không thay đổi. Các phương trình kết quả là phương trình vi phân chuyển động của một hệ cơ học với S bậc tự do.

Lực tác dụng tác dụng lên điểm-thứ của hệ ở đâu; là độ bền của phản ứng liên kết; - lực quán tính điểm; - chuyển động có thể.

Trong trường hợp này, (229) có một trong các dạng:

. (230)

phương trình tổng quát của động lực học có thể được đưa ra dưới dạng

Ở dạng này, nó được gọi là phương trình tổng quát của động lực học ở dạng phân tích.

nếu góc được báo theo hướng của mũi tên cung của gia tốc góc.

Nguyên lý về các phép dời hình cung cấp một phương pháp chung để giải các bài toán về tĩnh học. Mặt khác, nguyên lý d'Alembert cho phép sử dụng các phương pháp tĩnh để giải các bài toán về động lực học. Do đó, bằng cách áp dụng đồng thời hai nguyên lý này, chúng ta có thể có được một phương pháp chung để giải các bài toán động lực học.

Hãy xem xét một hệ thống các điểm vật chất mà trên đó các kết nối lý tưởng được áp đặt. Nếu đối với tất cả các điểm của hệ, ngoại trừ lực chủ động tác dụng lên chúng và phản lực của các liên kết, chúng ta thêm các lực quán tính tương ứng, thì theo nguyên lý d'Alembert, hệ lực sẽ ở trạng thái cân bằng. . Sau đó, áp dụng nguyên lý về các chuyển vị có thể có đối với các lực này, chúng ta thu được

Nhưng tổng cuối cùng theo điều kiện (98) bằng 0 và cuối cùng sẽ là:

Nguyên lý d’Alembert-Lagrange sau đây dựa trên kết quả thu được: khi một hệ cơ học với các ràng buộc lý tưởng chuyển động tại mỗi thời điểm, tổng công trình cơ bản của tất cả các lực tác dụng và tất cả các lực quán tính trên mọi chuyển vị có thể có của hệ sẽ bằng không.

Phương trình (102), thể hiện nguyên lý này, được gọi là phương trình tổng quát của động lực học. Ở dạng phân tích, phương trình (102) có dạng

Phương trình (102) hoặc (103) cho phép người ta lập phương trình vi phân chuyển động của một hệ cơ học.

Trong trường hợp này, nếu hệ là tập hợp của một số vật rắn thì để lập phương trình, cần thêm vào các lực tác dụng lên mỗi vật một lực tác dụng tại một tâm bất kỳ bằng vectơ chính của lực quán tính, và một cặp có mômen bằng mômen quán tính chính liên quan đến tâm này (hoặc một trong các đại lượng này, xem § 134), rồi áp dụng nguyên lý về các chuyển vị có thể có.

Bài 173. Trong bộ điều hoà ly tâm quay đều quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc (Hình 362), trọng lượng của mỗi viên bi và bằng trọng lượng của ly hợp là Q. Bỏ qua trọng lượng của các thanh, xác định góc a, nếu

Quyết định. Ta cộng lực quán tính ly tâm với lực tác dụng (rõ ràng là lực quán tính của ly hợp sẽ bằng 0) và lập phương trình tổng quát của động lực học ở dạng (103). Sau đó, tính toán hình chiếu của tất cả các lực lên các trục tọa độ, chúng ta thu được

Tọa độ của điểm tác dụng của lực bằng:

Phân biệt các biểu thức này, chúng tôi thấy:

Thay tất cả các giá trị tìm được vào phương trình (a), chúng ta thu được

Do đó cuối cùng

Vì các quả bóng sẽ lệch khi. Với việc tăng góc, tăng, có xu hướng 90 ° ở

Bài toán 174. Trong thang máy được hiển thị trong hình. 363, một cơ cấu quay M được đặt vào một bánh răng có trọng lượng và bán kính quán tính quanh trục của nó. Tang trống, trên đó quấn dây, được buộc chặt vào một bánh răng khác; tổng trọng lượng của chúng là và bán kính quán tính so với trục quay. Bán kính của các bánh răng lần lượt bằng nhau và bán kính của tang trống.

Quyết định. Ta mô tả lực tác dụng Q tác dụng lên hệ và mômen M (các lực không tác dụng); chúng ta thêm vào chúng lực quán tính của tải và cặp với các mômen và lực quán tính của các vật thể quay được giảm bớt (xem § 134).