Coi chuyển động của một hệ khối lượng vật chất nào đó so với một hệ tọa độ cố định Khi hệ không tự do thì có thể coi là tự do, nếu ta loại bỏ các ràng buộc đặt lên hệ và thay thế tác dụng của chúng bằng các phản ứng tương ứng.

Chúng ta hãy chia tất cả các lực tác dụng lên hệ thống thành các lực bên ngoài và bên trong; cả hai đều có thể bao gồm các phản ứng bị loại bỏ

kết nối. Biểu thị bằng và vectơ chính và điểm chính ngoại lực về điểm A.

1. Định lý về sự thay đổi động lượng. Nếu là động lượng của hệ thống, thì (xem)

tức là, định lý có giá trị: đạo hàm theo thời gian của động lượng của hệ bằng vectơ chính của tất cả các ngoại lực.

Thay vectơ qua biểu thức của nó với khối lượng của hệ là vận tốc của khối tâm, phương trình (4.1) có thể được đưa ra ở dạng khác:

Đẳng thức này có nghĩa là khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ và tác dụng một lực có dạng hình học bằng vectơ chính của tất cả các ngoại lực của hệ. Phát biểu cuối cùng được gọi là định lý về chuyển động của khối tâm (tâm quán tính) của hệ.

Nếu từ (4.1) thì vectơ động lượng không đổi về độ lớn và hướng. Chiếu nó lên trục tọa độ, chúng ta thu được ba tích phân vô hướng bậc nhất của các phương trình vi phân của chuỗi kép của hệ thống:

Các tích phân này được gọi là tích phân động lượng. Khi tốc độ của khối tâm không đổi, tức là nó chuyển động thẳng đều và biến thiên tuần hoàn.

Nếu hình chiếu của vectơ chính của ngoại lực lên bất kỳ một trục nào đó, chẳng hạn trên trục, bằng 0, thì ta có một tích phân đầu tiên, hoặc nếu hai hình chiếu của vectơ chính bằng 0, thì có hai tích phân của động lượng.

2. Định lý về sự thay đổi của mômen động năng. Cho A là một số điểm tùy ý không gian (chuyển động hoặc đứng yên), không nhất thiết trùng với bất kỳ điểm vật chất cụ thể nào của hệ trong toàn bộ thời gian chuyển động. Vận tốc của nó trong một hệ tọa độ cố định sẽ được ký hiệu bằng Định lý về sự thay đổi momen động lượng hệ thống vật chấtđối với điểm A có dạng

Nếu điểm A cố định, thì đẳng thức (4.3) có dạng đơn giản hơn:

Đẳng thức này thể hiện định lý về sự thay đổi momen động lượng của hệ so với một điểm cố định: đạo hàm theo thời gian của momen động lượng của hệ, được tính so với một điểm cố định nào đó, bằng momen chính của tất cả các ngoại lực tương đối. tới thời điểm này.

Nếu theo (4.4) thì vectơ mômen động lượng không đổi về độ lớn và hướng. Chiếu nó lên trục tọa độ, ta thu được tích phân vô hướng bậc nhất của các phương trình vi phân của chuyển động của hệ:

Những tích phân này được gọi là tích phân của mômen động lượng hoặc tích phân của diện tích.

Nếu điểm A trùng với khối tâm của hệ thì số hạng đầu tiên ở vế phải của đẳng thức (4.3) biến mất và định lý về sự thay đổi momen động lượng có dạng (4.4) giống như trong trường hợp cố định. điểm A. Lưu ý (xem 4 § 3) rằng trong trường hợp đang xét, mômen động lượng tuyệt đối của hệ nằm ở phía bên trái của đẳng thức (4.4) có thể được thay thế bằng mômen động lượng bằng nhau của hệ trong chuyển động của nó so với tâm của khối lượng.

Gọi là một trục không đổi hoặc một trục có hướng không đổi đi qua khối tâm của hệ, và gọi là mômen động lượng của hệ so với trục này. Từ (4.4) nó theo sau rằng

mômen của ngoại lực đối với trục là ở đâu. Nếu trong toàn bộ thời gian chuyển động thì ta có tích phân thứ nhất

Trong các công trình của S. A. Chaplygin, một số khái quát của định lý về sự thay đổi momen động lượng đã thu được, sau đó được áp dụng để giải một số bài toán về quả bóng lăn. Các khái quát sâu hơn của định lý về sự thay đổi của mômen kpnetological và ứng dụng của chúng trong các bài toán về động lực học của một vật thể cứng được trình bày trong các tác phẩm. Kết quả chính của các công trình này liên quan đến định lý về sự thay đổi mômen động năng so với chuyển động liên tục đi qua một điểm chuyển động A. Cho - đơn vị véc tơ hướng dọc theo trục này. Nhân tỉ lệ với cả hai vế của đẳng thức (4.3) và thêm số hạng vào cả hai phần của nó, chúng ta thu được

Khi điều kiện động học được đáp ứng

phương trình (4.5) theo sau từ (4.7). Và nếu điều kiện (4.8) được thỏa mãn trong toàn bộ thời gian chuyển động thì tích phân thứ nhất (4.6) tồn tại.

Nếu các mối liên kết của hệ là lý tưởng và cho phép quay của hệ như một vật cứng quanh trục và với số lượng dịch chuyển ảo, thì mômen chính của phản ứng đối với trục và bằng không, và khi đó giá trị trên vế phải của phương trình (4.5) là thời điểm chính của tất cả các lực lượng tích cực về trục i. Sự bằng 0 của thời điểm này và sự thỏa mãn của quan hệ (4.8) sẽ nằm trong trường hợp được xem xét điều kiện đủđối với sự tồn tại của tích phân (4.6).

Nếu hướng của trục và không thay đổi, thì điều kiện (4.8) có thể được viết là

Đẳng thức này có nghĩa là các hình chiếu của vận tốc của khối tâm và vận tốc của điểm A trên trục và trên mặt phẳng vuông góc với nó là song song với nhau. Trong công trình của S. A. Chaplygin, thay vì (4.9), nó được yêu cầu ít hơn điều kiện chung trong đó X là một hằng số tùy ý.

Lưu ý rằng điều kiện (4.8) không phụ thuộc vào việc lựa chọn điểm trên. Thật vậy, cho P là một điểm tùy ý trên trục. sau đó

và do đó

Cuối cùng, chúng tôi lưu ý đến cách giải thích hình học của Resal đối với các phương trình (4.1) và (4.4): các vectơ tốc độ tuyệt đốiđiểm cuối của các vectơ và lần lượt bằng vectơ chính và mômen chính của tất cả các ngoại lực so với điểm A.

Việc sử dụng OZMS trong việc giải quyết vấn đề đi kèm với những khó khăn nhất định. Do đó, các mối quan hệ bổ sung thường được thiết lập giữa các đặc tính của chuyển động và lực, điều này thuận tiện hơn cho ứng dụng thực tế. Các tỷ lệ này là các định lý chung về động lực học. Chúng, là hệ quả của OZMS, thiết lập sự phụ thuộc giữa tốc độ thay đổi của một số biện pháp chuyển động được giới thiệu đặc biệt và các đặc tính của ngoại lực.

Định lý về sự thay đổi động lượng. Hãy giới thiệu khái niệm vectơ động lượng (R. Descartes) của một điểm vật chất (Hình 3.4):

i i = t v G (3.9)

Cơm. 3.4.

Đối với hệ thống, chúng tôi giới thiệu khái niệm vectơ động lượng chính của hệ dưới dạng tổng hình học:

Q \ u003d Y, m "V r

Phù hợp với OZMS: Xu, - ^ \ u003d i) hoặc X

LẠI) .

Tính đến / w, = const, chúng ta nhận được: -Ym,! "= LẠI),

hoặc ở dạng cuối cùng

do / di \ u003d A (E (3.11)

những thứ kia. đạo hàm lần đầu của vectơ động lượng chính của hệ bằng vectơ chính của ngoại lực.

Định lý về chuyển động của khối tâm. Trọng tâm của hệ thống triệu tập điểm hình học, vị trí của ai phụ thuộc vào t, vân vân. trên phân bố khối lượng / r /, trong hệ thống và được xác định bằng biểu thức của vectơ bán kính của khối tâm (Hình 3.5):

ở đâu g s - vectơ bán kính của khối tâm.

Cơm. 3.5.

Hãy gọi = t với khối lượng của hệ. Sau khi nhân biểu thức

(3.12) về mẫu số và phân biệt cả hai phần của bán

sự bình đẳng có giá trị mà chúng ta sẽ có: g s t s = ^ t.U. = 0 hoặc 0 = t s U s.

Như vậy, vectơ động lượng chính của hệ bằng với sản phẩm khối lượng của hệ và vận tốc của khối tâm. Sử dụng định lý thay đổi động lượng (3.11), chúng ta thu được:

t với dU s / dі \ u003d A (E), hoặc

Công thức (3.13) phát biểu định lý về chuyển động của khối tâm: khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm bằng khối lượng của hệ chịu tác dụng của vectơ chính của ngoại lực.

Định lý về sự thay đổi mômen động lượng. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm mômen động lượng của một chất điểm dưới dạng tích vectơ của bán kính-vectơ và động lượng của nó:

k o o = bl X điều đó, (3.14)

ở đâu đến OI - momen động lượng của một chất điểm so với một điểm cố định O(Hình 3.6).

Bây giờ chúng ta xác định mômen động lượng hệ thống cơ khí dưới dạng tổng hình học:

K () \ u003d X ko, \ u003d ShchU ,? O-15>

Phân biệt (3,15), chúng ta nhận được:

Ґ сік--- X t tôi w. + g yu X t tôi

Cho rằng = U G U i X t tôi bạn tôi= 0, và công thức (3.2), chúng ta thu được:

сіК a / с1ї - ї 0.

Dựa vào biểu thức thứ hai trong (3.6), cuối cùng chúng ta sẽ có một định lý về sự thay đổi momen động lượng của hệ:

Đạo hàm lần đầu của mômen động lượng của hệ cơ so với tâm O cố định bằng mômen chính của ngoại lực tác dụng lên hệ này so với cùng tâm.

Khi suy ra quan hệ (3.16), người ta giả định rằng O- điểm cố định. Tuy nhiên, có thể chỉ ra rằng trong một số trường hợp khác, dạng quan hệ (3.16) sẽ không thay đổi, đặc biệt, nếu trong trường hợp chuyển động của mặt phẳng, thời điểm được chọn tại khối tâm, tức là tâm. của vận tốc hoặc gia tốc. Ngoài ra, nếu điểm O trùng với một điểm vật chất chuyển động, đẳng thức (3.16), được viết cho điểm này, sẽ chuyển thành đồng nhất 0 = 0.

Định lý về sự thay đổi của động năng. Khi một hệ thống cơ học chuyển động, cả "bên ngoài" và năng lượng bên trong các hệ thống. Nếu các đặc điểm Nội lực, vectơ chính và mômen chính, không ảnh hưởng đến sự thay đổi trong vectơ chính và mômen chính của số gia tốc, khi đó nội lực có thể được bao gồm trong ước tính quá trình trạng thái năng lượng các hệ thống. Do đó, khi xem xét sự thay đổi năng lượng của hệ, người ta phải xem xét chuyển động của các điểm riêng lẻ, mà nội lực cũng được áp dụng.

Động năng của chất điểm được định nghĩa là đại lượng

T ^ myTsg. (3.17)

Động năng của một hệ cơ bằng tổng động năng của các chất điểm của hệ:

thông báo rằng T> 0.

Ta định nghĩa công suất là tích vô hướng của vectơ lực theo vectơ vận tốc:

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ THỰC PHẨM CỘNG HÒA BELARUS

Tổ chức giáo dục "BELARUSIAN STATE AGRARIAN

ĐẠI HỌC KỸ THUẬT"

Bộ môn Cơ lý thuyết và Lý thuyết Cơ khí và Máy

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

phức hợp phương pháp luận cho sinh viên thuộc nhóm các chuyên ngành

74 06 Cơ khí nông nghiệp

Trong 2 phần Phần 1

UDC 531.3 (07) LBC 22.213ya7 T 33

Tổng hợp bởi:

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học, Phó Giáo sư Yu. S. Biza, ứng cử viên khoa học kỹ thuật, Phó giáo sư N. L. Rakova, Giảng viên chính I. A. Tarasevich

Người đánh giá:

Phòng Cơ lý thuyết của Cơ sở Giáo dục "Quốc gia Belarus Đại học kỹ thuật" (đầu

Khoa Cơ học lý thuyết BNTU Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, Giáo sư A. V. Chigarev);

Nhà nghiên cứu hàng đầu của Phòng thí nghiệm "Bảo vệ rung động của các hệ thống cơ khí" Viện Khoa học Nhà nước "Viện Cơ khí Liên hợp

Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Belarus ”, Ứng viên Khoa học Kỹ thuật, Phó Giáo sư A. M. Goman

Cơ học lý thuyết. Phần "Dynamics": giáo dục

Phương pháp T33. tổ hợp. Trong 2 phần. Phần 1 / biên soạn: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Minsk: BGATU, 2013. - 120 tr.

ISBN 978-985-519-616-8.

TẠI phức hợp giáo dục và phương pháp trình bày tài liệu nghiên cứu phần "Động lực học", phần 1, thuộc chuyên ngành "Cơ học lý thuyết". Bao gồm một quá trình bài giảng, tài liệu cơ bản để thực hiện bài tập thực hành, các nhiệm vụ và các mẫu nhiệm vụ cho công việc độc lập và kiểm soát hoạt động học tập toàn thời gian và hình thức thư từ học hỏi.

UDC 531.3 (07) LBC 22.213ya7

GIỚI THIỆU ................................................. ...
1. NỘI DUNG KHOA HỌC VÀ LÝ LUẬN CỦA GIÁO DỤC
TỔNG HỢP PHƯƠNG PHÁP HỌC ............................................. ..
1.1. Bảng chú giải................................................. ................................
1.2. Các chủ đề của bài giảng và nội dung của chúng .............................................. .. ..
Chương 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản
cơ học cổ điển ... ..................
Chủ đề 1. Động lực học của một chất điểm .......................................... ....
1.1. Định luật động lực học chất điểm
(định luật Galileo - Newton) ........................................... ... ..........
1.2. Phương trình vi phân của chuyển động
1.3. Hai nhiệm vụ chính của động lực học ............................................. .............
Chủ đề 2. Động lực học của chuyển động tương đối
điểm nguyên vật liệu ... ................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 3. Động lực học của một hệ cơ học .......................................... ....
3.1. Hình học khối lượng. Khối tâm của một hệ cơ ......
3.2. Nội lực ................................................ .................. .................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 4. Mômen quán tính của vật cứng .......................................
4.1. Mômen quán tính của một vật cứng
so với trục và cực ............................................ ...................... .....
4.2. Định lý về mômen quán tính của vật cứng
về các trục song song
(Định lý Huygens-Steiner) .............................................. .. ...
4.3. Mômen quán tính ly tâm ............................................. .
Câu hỏi ôn tập ... .................. ............
chương 2 Định lý chungđộng lực điểm vật chất

Chủ đề 5. Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ ...............................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 6. Lượng chuyển động của một chất điểm
và hệ thống cơ khí ... ................
6.1. Số lượng chuyển động của một điểm vật chất 43
6.2. Lực xung kích ...... ... .......................
6.3. Định lý về sự thay đổi động lượng
điểm nguyên vật liệu ... ................
6.4. Định lý thay đổi vectơ chính
Động lượng của một hệ cơ học ..........................................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 7. Mômen động lượng của chất điểm
và hệ thống cơ học so với tâm và trục ..................................
7.1. Mômen động lượng của một chất điểm
so với tâm và trục ... .................. ...........
7.2. Định lý về sự thay đổi momen động lượng
điểm của vật liệu so với tâm và trục ...
7.3. Định lý về sự thay đổi của mômen động học
hệ cơ so với tâm và trục ..................................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 8. Công và công của các lực .......................................... .........
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 9. Động năng của chất điểm
và hệ thống cơ khí ... ................
9.1. Động năng của một chất điểm
và hệ thống cơ khí. Định lý Koenig ...............................
9.2. Động năng của vật cứng
với các chuyển động khác nhau ... ................... .............
9.3. Định lý thay đổi động năng
điểm nguyên vật liệu ... ................

9.4. Định lý thay đổi động năng
hệ thống cơ khí ................................................ .................. ................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Nhiệm vụ tự học ............................................. .......
Chủ đề 10. Trường lực thế
và tiềm năng ................ .................
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
Chủ đề 11. Động lực học của vật cứng .......................................... .......... .......
Câu hỏi ôn tập ... .................. .............
2. VẬT LIỆU ĐỂ KIỂM SOÁT
THEO ĐIỀU HÒA .................................................................. ... ...
CÔNG VIỆC ĐỘC LẬP CỦA SINH VIÊN ..............................
4. YÊU CẦU THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN
CÔNG VIỆC DÀNH CHO SINH VIÊN TOÀN THỜI GIAN VÀ KHẮC PHỤC
HÌNH THỨC ĐÀO TẠO .................
5. DANH SÁCH CÂU HỎI CHUẨN BỊ
ĐẾN BÀI THI (NGHIÊN CỨU) CỦA HỌC SINH
GIÁO DỤC TOÀN THỨ VÀ KHẮC PHỤC ............................................ ......
6. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................. .. ............

GIỚI THIỆU

Cơ học lý thuyết - khoa học về các quy luật chung chuyển động cơ học, trạng thái cân bằng và tương tác của các cơ thể vật chất.

Đây là một trong những ngành khoa học vật lý và toán học đại cương cơ bản. Nó là cơ sở lý thuyết của công nghệ hiện đại.

Việc nghiên cứu cơ học lý thuyết, cùng với các ngành vật lý và toán học khác, góp phần mở rộng chân trời khoa học, hình thành khả năng cụ thể hóa và tư duy trừu tượng và góp phần cải thiện văn hóa kỹ thuật chung của các chuyên gia tương lai.

Cơ học lý thuyết, là cơ sở khoa học của tất cả ngành kỹ thuật, góp phần phát triển các kỹ năng quyết định hợp lý nhiệm vụ kỹ thuật gắn liền với việc vận hành, sửa chữa và thiết kế các máy móc thiết bị nông nghiệp và khai hoang.

Theo bản chất của các nguyên công đang xem xét, cơ học được chia thành tĩnh, động học và động lực học. Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật chất dưới tác dụng của các lực tác dụng.

TẠI giáo dục và phương pháp complex (UMK) trình bày các tài liệu về nghiên cứu phần "Động lực học", phần này bao gồm các bài giảng khóa học, các tài liệu cơ bản để tiến hành công việc thực tế, nhiệm vụ và các mẫu thực thi cho làm việc độc lập và kiểm soát các hoạt động giáo dục của sinh viên bán thời gian toàn thời gian.

TẠI kết quả của việc học phần "Động lực học", học sinh phải học cơ sở lý thuyếtđộng lực học và nắm vững các phương pháp cơ bản để giải các bài toán về động lực học:

Biết phương pháp giải các bài toán về động lực học, các định lý chung về động lực học, các nguyên lý cơ học;

Để có thể xác định quy luật chuyển động của vật phụ thuộc vào các lực tác dụng lên nó; áp dụng các định luật và định lý cơ học để giải quyết vấn đề; xác định phản ứng tĩnh và động của các liên kết giới hạn chuyển động của các vật.

Giáo trình của môn học "Cơ học lý thuyết" cung cấp toàn bộ Số giờ học trên lớp - 136, bao gồm 36 giờ dành cho việc nghiên cứu phần "Động lực học".

1. NỘI DUNG KHOA HỌC VÀ LÝ LUẬN CỦA TỔNG HỢP GIÁO DỤC VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1.1. Bảng chú giải

Tin học là một phần của cơ học trình bày các học thuyết tổng quát về lực, sự giảm được nghiên cứu hệ thống phức tạp lực ở dạng đơn giản nhất và điều kiện cân bằng được thiết lập các hệ thống khác nhau các lực lượng.

Động học là một phần của cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu chuyển động của các đối tượng vật chất, bất kể nguyên nhân nào gây ra chuyển động này, tức là bất kể các lực tác dụng lên các vật này.

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật (chất điểm) dưới tác dụng của lực tác dụng.

Điểm nguyên liệu- một cơ thể vật chất, sự khác biệt trong chuyển động của các điểm là không đáng kể.

Khối lượng của một vật là một giá trị dương vô hướng phụ thuộc vào lượng vật chất chứa trong một vật nhất định và xác định số đo quán tính của nó trong quá trình chuyển động tịnh tiến.

Hệ quy chiếu - một hệ tọa độ liên kết với vật thể, liên quan đến chuyển động của vật thể khác đang được nghiên cứu.

hệ thống quán tính- một hệ thống trong đó các định luật động lực học thứ nhất và thứ hai được đáp ứng.

Động lượng của một lực là một đại lượng véc tơ đo tác dụng của một lực trong một thời gian nào đó.

Số lượng chuyển động của một điểm vật chất là số đo vectơ của chuyển động của nó, ngang bằng với sản phẩm khối lượng của một điểm bằng vectơ vận tốc của nó.

Động năng là một số đo vô hướng của chuyển động cơ học.

Công việc cơ bản của lực lượng là một số thập phân vô hướng tương đương với sản phẩm chấm vectơ của lực đối với vectơ của độ dời tỉ lệ của điểm tác dụng của lực.

Động năng là một số đo vô hướng của chuyển động cơ học.

Động năng của một chất điểm là một chất vô hướng

một giá trị dương bằng nửa tích khối lượng của một chất điểm và bình phương tốc độ của nó.

Động năng của hệ cơ học là một cấp số cộng

tổng động năng của động năng của tất cả các chất điểm của hệ này.

Lực là đại lượng đo tương tác cơ học của các vật thể, đặc trưng cho cường độ và hướng của nó.

1.2. Chủ đề bài giảng và nội dung của chúng

Mục 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản

cơ học cổ điển

Chủ đề 1. Động lực học của một chất điểm

Các định luật động lực học của chất điểm (định luật Galileo - Newton). Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm. Hai nhiệm vụ chính của động lực học đối với một điểm vật chất. Lời giải của bài toán thứ hai về động lực học; các hằng số tích phân và việc xác định chúng từ các điều kiện ban đầu.

Tài liệu tham khảo:, trang 180-196, trang 12-26.

Chủ đề 2. Động lực học chuyển động tương đối của vật

Chuyển động tương đối của một chất điểm. Phương trình vi phân của chuyển động tương đối của một điểm; di động và lực quán tính Coriolis. Nguyên lý tương đối trong cơ học cổ điển. Một trường hợp nghỉ ngơi tương đối.

Tài liệu tham khảo:, trang 180-196, trang 127-155.

Chủ đề 3. Hình học các khối chóp. Khối lượng tâm của một hệ thống cơ học

Khối lượng của hệ thống. Khối tâm của hệ và tọa độ của nó.

Văn học :, trang 86-93, trang 264-265

Chủ đề 4. Mômen quán tính của vật cứng

Mômen quán tính của một vật cứng về trục và cực. Bán kính quán tính. Định lý về mômen quán tính về các trục song song. Mômen quán tính dọc trục của một số vật thể.

Mômen quán tính ly tâm như một đặc trưng của sự bất đối xứng của cơ thể.

Tài liệu tham khảo:, trang 265-271, trang 155-173.

Phần 2. Các định lý chung về động lực học của chất điểm

và hệ thống cơ khí

Chủ đề 5. Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ

Định lý về chuyển động của khối tâm của hệ. Hệ quả từ định lý về chuyển động của khối tâm của hệ.

Tài liệu tham khảo:, trang 274-277, trang 175-192.

Chủ đề 6. Lượng chuyển động của một chất điểm

và hệ thống cơ khí

Lượng chuyển động của một chất điểm và một hệ cơ học. Xung cơ bản và xung lượng của lực đối với khoảng thời gian kết thúc thời gian. Định lý về sự thay đổi động lượng của một điểm và một hệ ở dạng vi phân và tích phân. Định luật bảo toàn động lượng.

Văn học:, trang 280-284,, trang 192-207.

Chủ đề 7. Mômen động lượng của một chất điểm

và hệ thống cơ học so với tâm và trục

Mômen động lượng của một điểm đối với tâm và trục. Định lý về sự thay đổi momen động lượng của một chất điểm. Động năng của một hệ cơ học về tâm và trục.

Mômen động lượng của một vật cứng quay quanh trục quay. Định lý về sự thay đổi mômen động năng của hệ. Định luật bảo toàn động lượng.

Tài liệu tham khảo:, trang 292-298, trang 207-258.

Chủ đề 8. Công và công của các lực

Công cơ bản của lực, biểu thức phân tích của nó. Công việc của lực lượng trên con đường cuối cùng. Công của trọng lực, lực đàn hồi. Bằng tổng công của các nội lực tác dụng lên vật rắn bằng không. Công của các lực tác dụng lên một vật cứng quay quanh một trục cố định. Quyền lực. Hiệu quả.

Tài liệu tham khảo:, trang 208-213, trang 280-290.

Chủ đề 9. Động năng của chất điểm

và hệ thống cơ khí

Động năng của một chất điểm và một hệ cơ học. Tính động năng của vật cứng trong các trường hợp chuyển động của nó. Định lý Koenig. Định lý về sự thay đổi động năng của một điểm ở dạng vi phân và tích phân. Định lý về sự thay đổi động năng của hệ cơ ở dạng vi phân và tích phân.

Tài liệu tham khảo:, trang 301-310, trang 290-344.

Chủ đề 10. Thế năng và trường lực thế

Khái niệm về trường lực. Trường lực thế và cơ năng. Công của một lực đối với độ dời cuối cùng của một điểm trong trường lực thế năng. Năng lượng tiềm năng.

Tài liệu tham khảo:, trang 317-320,, trang 344-347.

Chủ đề 11. Động lực học thân cứng

Phương trình vi phân của chuyển động tịnh tiến của vật cứng. Phương trình vi phân chuyển động quay thân cứng quanh một trục cố định. con lắc vật lý. Phương trình vi phân của chuyển động phẳng của vật cứng.

Tài liệu tham khảo:, trang 323-334,, trang 157-173.

Mục 1. Giới thiệu về động lực học. Các khái niệm cơ bản

cơ học cổ điển

Động lực học là một nhánh của cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các (điểm) vật chất dưới tác dụng của các lực tác dụng.

cơ thể vật chất- một vật có khối lượng.

Điểm nguyên liệu- một cơ thể vật chất, sự khác biệt trong chuyển động của các điểm là không đáng kể. Đây có thể là một vật thể, các kích thước có thể bị bỏ qua trong quá trình chuyển động của nó, hoặc một vật thể có kích thước hữu hạn, nếu nó di chuyển về phía trước.

Các hạt còn được gọi là điểm vật chất, trong đó một vật rắn được phân chia về mặt tinh thần khi xác định một số đặc điểm động lực học của nó. Ví dụ về các điểm vật chất (Hình 1): a - chuyển động của Trái đất quanh Mặt trời. Trái đất là một điểm vật chất; b - chuyển động về phía trước cơ thể cường tráng. Cơ thể rắn chắc là mẹ-

điểm al, vì V B \ u003d V A; a B = a A; c - chuyển động quay của vật quanh trục.

Một hạt cơ thể là một điểm vật chất.

Quán tính là tính chất của các vật chất nhằm thay đổi tốc độ chuyển động của chúng nhanh hơn hoặc chậm hơn dưới tác dụng của các lực tác dụng.

Khối lượng của một vật là một giá trị dương vô hướng phụ thuộc vào lượng vật chất chứa trong một vật nhất định và xác định số đo quán tính của nó trong quá trình chuyển động tịnh tiến. Trong cơ học cổ điển, khối lượng là một hằng số.

Lực lượng - thước đo định lượng tương tác cơ học giữa các vật thể hoặc giữa vật thể (điểm) và trường (điện, từ, v.v.).

Lực là đại lượng vectơ đặc trưng bởi độ lớn, điểm tác dụng và hướng (đường tác dụng) (Hình 2: A - điểm tác dụng; AB - đường tác dụng của lực).

Cơm. 2

Trong động lực học, cùng với các lực không đổi, còn có các lực thay đổi có thể phụ thuộc vào thời gian t, tốc độ ϑ, quãng đường r, hoặc vào sự kết hợp của các đại lượng này, tức là

F = const;

F = F (t);

F = F (ϑ);

F = F (r);

F = F (t, r, ϑ).

	Ví dụ về các lực như vậy được thể hiện trong Hình. 3: a										- trọng lượng cơ thể;
			(ϑ) - lực cản không khí; b -		T =						- lực kéo

đầu máy điện; c - F = F (r) là lực đẩy từ tâm O hoặc lực hút nó.

Hệ quy chiếu - một hệ tọa độ liên kết với vật thể, liên quan đến chuyển động của vật thể khác đang được nghiên cứu.

Hệ thống quán tính là một hệ thống trong đó các định luật thứ nhất và thứ hai của động lực học được thực hiện. Đây là một hệ tọa độ cố định hoặc một hệ thống chuyển động đều và tuyến tính.

Chuyển động trong cơ học là sự thay đổi vị trí của một vật trong không gian và thời gian so với các vật khác.

Không gian trong cơ học cổ điển là không gian ba chiều, tuân theo hình học Euclide.

Thời gian là một đại lượng vô hướng chảy theo cùng một cách trong bất kỳ hệ quy chiếu nào.

Một hệ thống đơn vị là một tập hợp các đơn vị đo lường đại lượng vật lý. Để đo tất cả các đại lượng cơ học, ba đơn vị cơ bản là đủ: đơn vị đo độ dài, thời gian, khối lượng hoặc lực.

Cơ khí	Kích thước		Ký hiệu	Kích thước	Ký hiệu
kích cỡ
				centimet
	kg-

Tất cả các đơn vị đo đại lượng cơ học khác đều là dẫn xuất của các đại lượng này. Hai loại hệ thống đơn vị được sử dụng: hệ thống quốc tếĐơn vị SI (hoặc nhỏ hơn - CGS) và hệ thống kỹ thuật của đơn vị - MKGSS.

Chủ đề1. Động lực điểm vật chất

1.1. Các định luật động lực học của một chất điểm (định luật Galileo - Newton)

Định luật đầu tiên (về quán tính).

bị cô lập từ ảnh hưởng bên ngoài một điểm vật chất duy trì trạng thái nghỉ của nó hoặc chuyển động thẳng đều và tuyến tính cho đến khi các lực tác dụng buộc nó thay đổi trạng thái này.

Chuyển động của một điểm trong trường hợp không có lực hoặc chịu tác dụng của hệ lực cân bằng được gọi là chuyển động theo quán tính.

Ví dụ, chuyển động của một vật dọc theo một mặt phẳng (lực ma sát bằng không) đi-

bề mặt nằm ngang (Hình 4: G - trọng lượng cơ thể; N - phản ứng bình thường máy bay).

Vì G = - N nên G + N = 0.

Khi ϑ 0 ≠ 0 vật chuyển động với cùng tốc độ; tại ϑ 0 = 0 vật đứng yên (ϑ 0 là vận tốc ban đầu).

Định luật thứ hai (định luật cơ bản của động lực học).

Tích của khối lượng của một chất điểm và gia tốc mà nó nhận được dưới tác dụng của một lực cho trước thì lực này có giá trị tuyệt đối bằng giá trị tuyệt đối và hướng của nó trùng với hướng của gia tốc.

a b

Về mặt toán học, định luật này được biểu thị bằng đẳng thức vectơ

Đối với F = const,

a = const - chuyển động của chất điểm là đều. EU-

liệu a ≠ const, α

- chuyển động chậm (Hình 5, nhưng);

a ≠ const,

một -

- chuyển động có gia tốc (Hình 5, b); m - khối lượng chất điểm;

vectơ gia tốc;

- vectơ lực; ϑ 0 là vectơ vận tốc).

Tại F = 0, a 0 = 0 = ϑ 0 = const - chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều và tuần hoàn, hoặc tại ϑ 0 = 0 - chất điểm đứng yên (định luật quán tính). Thứ hai

luật cho phép bạn thiết lập mối quan hệ giữa khối lượng m của một vật thể nằm gần bề mặt trái đất và trọng lượng của nó G .G = mg, trong đó g là

Gia tốc trọng lực.

Định luật thứ ba (quy luật bình đẳng của hành động và phản ứng). Hai chất điểm tác dụng vào nhau những lực có độ lớn bằng nhau và hướng theo đường thẳng nối

những điểm này, theo hướng ngược nhau.

Vì lực F 1 = - F 2 tác dụng lên những điểm khác nhau, khi đó hệ lực (F 1, F 2) không cân bằng, tức là (F 1, F 2) ≈ 0 (Hình 6).

Đến lượt nó

m a = m a

- thái độ

khối lượng của các điểm tương tác tỷ lệ nghịch với gia tốc của chúng.

Định luật thứ tư (quy luật về sự độc lập trong tác dụng của các lực). Gia tốc nhận được của một điểm dưới tác dụng của một

nhưng một số lực lượng tổng hình học những gia tốc mà một điểm sẽ nhận được dưới tác dụng của từng lực riêng biệt lên nó.

Giải thích (Hình 7).

t a n

a 1 a kF n

Kết quả của lực R (F 1, ... F k, ... F n).

Vì ma = R, F 1 = ma 1, ..., F k = ma k, ..., F n = ma n nên

a = a 1 + ... + a k + ... + a n = ∑ a k, tức là luật thứ tư tương đương với

k = 1

quy tắc cộng lực.

1.2. Phương trình vi phân của chuyển động của một chất điểm

Cho một số lực tác dụng đồng thời lên một chất điểm, trong đó có cả hằng số và biến số.

Chúng tôi viết định luật thứ hai của động lực học dưới dạng

= ∑

(t,

k = 1

, ϑ=

r là vectơ bán kính của chuyển động

thì (1.2) chứa các đạo hàm của r và là một phương trình vi phân chuyển động của một điểm vật chất ở dạng vectơ hoặc phương trình cơ bản của động lực học của một điểm vật chất.

Phép chiếu của đẳng thức vectơ (1.2): - trên trục tọa độ Descartes (Hình 8, nhưng)

max = md
					= ∑Fkx;
					k = 1
may = md
					= ∑Fky;	(1.3)
					k = 1
maz = m					= ∑Fkz;
					k = 1

Trên trục tự nhiên (Hình 8, b)

chiếu				= ∑ Fk τ,
				k = 1
				= ∑ F k n;
				k = 1

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

b trên o

Phương trình (1.3) và (1.4) là phương trình vi phân chuyển động của một điểm vật chất theo trục tọa độ Descartes và trục tự nhiên, tức là phương trình vi phân tự nhiên thường được sử dụng cho chuyển động cong của một điểm nếu quỹ đạo của điểm và bán kính cong của nó đã biết.

1.3. Hai vấn đề chính của động lực học đối với một điểm vật liệu và giải pháp của chúng

Nhiệm vụ đầu tiên (trực tiếp).

Biết quy luật chuyển động và khối lượng của chất điểm, xác định được lực tác dụng lên chất điểm.

Để giải quyết vấn đề này, bạn cần biết gia tốc của chất điểm. Trong các bài toán dạng này, nó có thể được xác định trực tiếp, hoặc quy luật chuyển động của một điểm được chỉ định, phù hợp với nó có thể được xác định.

1. Vì vậy, nếu chuyển động của một điểm được cho trong hệ tọa độ Descartes

x \ u003d f 1 (t), y \ u003d f 2 (t) và z \ u003d f 3 (t) thì các hình chiếu của gia tốc được xác định

trên trục tọa độ x =		d2x			d2y			d2z		Và sau đó - dự án-
Các lực F x, F y và F z trên các trục này:
				, k) = F F z. (1.6) 2. Nếu điểm cam kết chuyển động cong và định luật chuyển động đã biết s = f (t), quỹ đạo của điểm và bán kính cong ρ của nó, khi đó thuận tiện khi sử dụng các trục tự nhiên và hình chiếu gia tốc trên các trục này được xác định bằng các công thức nổi tiếng: Trục tiếp tuyến a τ = d ϑ = d 2 2 s - gia tốc tiếp tuyến; dt dt Trang chủ ds 2 a n = ϑ 2 = dt là gia tốc pháp tuyến. Hình chiếu của gia tốc lên đồ thị bằng không. Khi đó hình chiếu của lực lên các trục tự nhiên F = m F = m Môđun và phương của lực được xác định theo công thức: F \ u003d F τ 2 + F n 2; cos ( ; cos ( Nhiệm vụ thứ hai (nghịch đảo). Biết các lực tác dụng lên chất điểm, khối lượng của nó và điều kiện ban đầu chuyển động, xác định quy luật chuyển động của một chất điểm hoặc bất kỳ đặc điểm động học nào của nó. Điều kiện ban đầu cho chuyển động của một điểm trong trục Descartes là tọa độ của điểm x 0, y 0, z 0 và hình chiếu của vận tốc ban đầu ϑ 0 lên các trục ϑ 0 x \ u003d x 0, ϑ 0 y \ u003d y 0 và ϑ 0 z \ u003d z 0 tại thời điểm tương ứng với cho điểm bắt đầu của chuyển động và lấy bằng không. Việc giải quyết các vấn đề thuộc loại này được rút gọn thành việc biên dịch một vi phân phương trình vi phân (hoặc một phương trình) chuyển động của một chất điểm và nghiệm tiếp theo của chúng bằng tích hợp trực tiếp hoặc sử dụng lý thuyết của phương trình vi phân. Xem lại câu hỏi 1. Động lực học nghiên cứu những gì? 2. Loại chuyển động nào được gọi là chuyển động theo quán tính? 3. Trong điều kiện nào thì một điểm vật chất sẽ ở trạng thái nghỉ hoặc chuyển động thẳng đều và tuyến tính? 4. Bản chất của vấn đề chính đầu tiên của động lực học của một điểm vật chất là gì? Nhiệm vụ thứ hai? 5. Viết ra tự nhiên phương trình vi phân chuyển động của một điểm vật chất. Nhiệm vụ tự học 1. Một chất điểm khối lượng m = 4 kg chuyển động dọc theo đường thẳng nằm ngang với gia tốc a = 0,3 t. Xác định môđun của lực tác dụng lên chất điểm theo phương chuyển động của nó tại thời điểm t = 3 s. 2. Một phần khối lượng m = 0,5 kg trượt xuống khay. Ở góc độ nào để mặt phẳng nằm ngang phải đặt khay nào để phần chuyển động với gia tốc a = 2 m / s 2? Góc thể hiện tính bằng độ. 3. Một chất điểm có khối lượng m = 14 kg chuyển động dọc theo trục Ox với gia tốc a x = 2 t. Xác định môđun của lực tác dụng lên chất điểm theo phương chuyển động tại thời điểm t = 5 s.

Định lý chung về động lực học của một hệ vật. Các định lý về chuyển động của khối tâm, về sự thay đổi động lượng, về sự thay đổi mômen chính của động lượng, về sự thay đổi động năng. Các nguyên tắc của d'Alembert, và các chuyển vị có thể xảy ra. Phương trình tổng quát của động lực học. Phương trình Lagrange.

Các định lý chung về động lực học của vật thể cứng và hệ thống của các vật thể

Các định lý chung về động lực học- đây là một định lý về sự chuyển động của khối tâm của một hệ cơ học, một định lý về sự thay đổi động lượng, một định lý về sự thay đổi mômen chính của động lượng (mômen động năng) và một định lý về sự thay đổi trong động năng của một hệ cơ học.

Định lý về chuyển động của khối tâm của một hệ cơ học

Định lý về chuyển động của khối tâm.
Tích của khối lượng của hệ và gia tốc của khối tâm bằng tổng vectơ của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ:
.

Ở đây M là khối lượng của hệ:
;
a C - gia tốc khối tâm của hệ:
;
v C - tốc độ của khối tâm của hệ:
;
r C - vectơ bán kính (tọa độ) của khối tâm của hệ:
;
- tọa độ (đối với tâm cố định) và khối lượng của các điểm tạo nên hệ.

Định lý về sự thay đổi của động lượng (động lượng)

Lượng chuyển động (động lượng) của hệ bằng tích khối lượng của toàn bộ hệ và tốc độ của khối tâm của nó hoặc tổng động lượng (tổng xung động) của các điểm hoặc bộ phận riêng lẻ tạo nên hệ:
.

Định lý về sự thay đổi động lượng ở dạng vi phân.
Đạo hàm theo thời gian của lượng chuyển động (động lượng) của hệ bằng tổng vectơ của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ:
.

Định lý về sự thay đổi động lượng ở dạng tích phân.
Độ thay đổi lượng chuyển động (động lượng) của hệ trong một thời gian nhất định bằng tổng các xung của ngoại lực trong cùng một khoảng thời gian:
.

Định luật bảo toàn động lượng (động lượng).
Nếu tổng tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì vectơ động lượng của hệ không đổi. Có nghĩa là, tất cả các hình chiếu của nó trên các trục tọa độ sẽ giữ nguyên giá trị không đổi.

Nếu tổng các hình chiếu của ngoại lực lên một trục bất kỳ bằng 0 thì hình chiếu của động lượng của hệ lên trục này sẽ không đổi.

Định lý về sự thay đổi mômen động lượng chính (định lý mômen)

Mômen chính của lượng chuyển động của hệ so với tâm O cho trước là giá trị bằng tổng vectơ mômen của các đại lượng chuyển động của tất cả các điểm của hệ so với tâm này:
.
Đây dấu ngoặc vuông biểu thị tích vectơ.

Hệ thống cố định

Định lý sau đây đề cập đến trường hợp khi hệ cơ có điểm cố định hoặc một trục được cố định so với hệ quy chiếu quán tính. Ví dụ, một cơ thể được cố định bằng một ổ đỡ hình cầu. Hoặc một hệ thống các vật thể chuyển động quanh một trung tâm cố định. Nó cũng có thể là một trục cố định mà một cơ thể hoặc một hệ thống các vật thể quay xung quanh. Trong trường hợp này, các mômen nên được hiểu là các mômen động lượng và các lực liên quan đến trục cố định.

Định lý về sự thay đổi mômen động lượng chính (định lý mômen)
Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng chính của hệ đối với một tâm O cố định nào đó bằng tổng mômen của tất cả các ngoại lực của hệ đối với cùng một tâm.

Định luật bảo toàn mômen động lượng chính (mômen động lượng).
Nếu tổng mômen của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ so với tâm O cố định đã cho bằng 0, thì mômen động lượng chính của hệ so với tâm này sẽ không đổi. Có nghĩa là, tất cả các hình chiếu của nó trên các trục tọa độ sẽ giữ nguyên giá trị không đổi.

Nếu tổng mômen của ngoại lực đối với một trục cố định nào đó bằng 0 thì mômen động lượng của hệ đối với trục này sẽ không đổi.

Hệ thống tùy ý

Định lý sau đây có tính chất phổ quát. Nó có thể áp dụng cho cả hệ thống cố định và hệ thống chuyển động tự do. Trong trường hợp hệ thống cố định, cần phải tính đến phản ứng của các liên kết tại các điểm cố định. Nó khác với định lý trước ở chỗ nên lấy khối tâm C của hệ thay vì điểm O cố định.

Định lý mômen về khối tâm
Đạo hàm theo thời gian của mômen động lượng chính của hệ về khối tâm C bằng tổng mômen của tất cả các ngoại lực của hệ về cùng một khối tâm.

Định luật bảo toàn momen động lượng.
Nếu tổng mômen của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ so với khối tâm C bằng 0, thì mômen động lượng chính của hệ so với khối tâm này sẽ không đổi. Có nghĩa là, tất cả các hình chiếu của nó trên các trục tọa độ sẽ giữ nguyên giá trị không đổi.

mômen quán tính của cơ thể

Nếu cơ thể quay quanh trục z với vận tốc gócω z, thì mômen động lượng (mômen động năng) của nó so với trục z được xác định theo công thức:
L z = J z ω z,
trong đó J z là mômen quán tính của vật đối với trục z.

Mômen quán tính của vật đối với trục zđược xác định theo công thức:
,
trong đó h k là khoảng cách từ một chất điểm khối lượng m k đến trục z.
Đối với một vòng mỏng khối lượng M và bán kính R hoặc một hình trụ có khối lượng được phân bố dọc theo vành của nó,
J z = M R 2 .
Đối với một vòng hoặc hình trụ đồng nhất rắn,
.

Định lý Steiner-Huygens.
Gọi Cz là trục đi qua khối tâm, Oz là trục song song với nó. Khi đó mômen quán tính của cơ thể đối với các trục này liên quan với nhau theo quan hệ:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
với M là trọng lượng cơ thể; a - khoảng cách giữa các trục.

Trong nhiều hơn nữa trường hợp chung :
,
đâu là lực căng quán tính của vật.
Đây là một vectơ được vẽ từ khối tâm của vật thể đến một điểm có khối lượng m k.

Định lý thay đổi động năng

Cho một vật khối lượng M thực hiện chuyển động tịnh tiến và quay với vận tốc góc ω quanh trục z nào đó. sau đó động năng cơ thể được xác định theo công thức:
,
trong đó v C là tốc độ chuyển động của khối tâm của vật;
J Cz - mômen quán tính của vật đối với trục đi qua khối tâm của vật song song với trục quay. Chiều của trục quay có thể thay đổi theo thời gian. Công thức cụ thể cho giá trị tức thời của động năng.

Định lý về sự thay đổi động năng của hệ ở dạng vi phân.
Sự chênh lệch (gia số) của động năng của hệ trong một số chuyển vị của nó bằng tổng các vi sai của công đối với sự dịch chuyển này của tất cả các lực bên ngoài và bên trong tác dụng lên hệ:
.

Định lý về sự thay đổi động năng của hệ ở dạng tích phân.
Sự thay đổi động năng của hệ trong một số chuyển dời bằng tổng công của tất cả các lực bên ngoài và bên trong tác dụng lên hệ:
.

Công việc được thực hiện bởi lực lượng, bằng tích vô hướng của vectơ lực và độ dịch chuyển vô hướng của điểm ứng dụng của nó:
,
nghĩa là, tích của môđun của vectơ F và ds và côsin của góc giữa chúng.

Công việc được thực hiện bởi thời điểm buộc, bằng tích vô hướng của vectơ thời điểm và góc quay thập phân:
.

Nguyên tắc d'Alembert

Bản chất của nguyên tắc d'Alembert là giảm các vấn đề của động lực thành các vấn đề của tĩnh. Để làm được điều này, người ta giả định (hoặc đã biết trước) rằng các vật thể của hệ thống có gia tốc (góc) nhất định. Tiếp theo, lực quán tính và (hoặc) mômen quán tính được đưa vào, có độ lớn bằng nhau và biến thiên theo hướng của lực và mômen của lực, theo định luật cơ học, sẽ tạo ra gia tốc hoặc gia tốc góc nhất định.

Hãy xem xét một ví dụ. Cơ thể tạo ra một chuyển động tịnh tiến và các lực bên ngoài tác dụng lên nó. Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng những lực này tạo ra một gia tốc của khối tâm của hệ. Theo định lý về chuyển động của khối tâm, khối tâm của một vật có cùng gia tốc nếu một lực tác dụng lên vật đó. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu về lực quán tính:
.
Sau đó, nhiệm vụ của động lực học là:
.
;
.

Đối với chuyển động quay, tiến hành theo cách tương tự. Cho vật quay quanh trục z và mômen ngoại lực M e zk tác dụng lên nó. Chúng tôi đoán những khoảnh khắc này tạo ra gia tốc góc z. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu mômen quán tính M И = - J z ε z. Sau đó, nhiệm vụ của động lực học là:
.
Chuyển thành một nhiệm vụ tĩnh:
;
.

Nguyên tắc của các chuyển động có thể

Nguyên lý của các phép dời hình được sử dụng để giải các bài toán về tĩnh. Trong một số bài toán, nó đưa ra một giải pháp ngắn hơn là viết các phương trình cân bằng. Điều này đặc biệt đúng đối với các hệ thống có kết nối (ví dụ, hệ thống các phần được kết nối bằng các luồng và khối), bao gồm nhiều phần thân

Nguyên tắc của các chuyển động có thể.
Đối với trạng thái cân bằng của một hệ cơ học với các ràng buộc lý tưởng, cần và đủ rằng tổng các công cơ bản của tất cả các lực tác dụng lên nó đối với bất kỳ có thể tái định cư hệ thống bằng không.

Khả năng di dời hệ thống- đây là một sự dịch chuyển nhỏ, tại đó các kết nối áp đặt lên hệ thống không bị phá vỡ.

Kết nối hoàn hảo- đây là những liên kết không hoạt động khi hệ thống được di chuyển. Chính xác hơn, tổng công việc được thực hiện bởi chính các liên kết khi di chuyển hệ thống bằng không.

Phương trình tổng quát của động lực học (d'Alembert - nguyên lý Lagrange)

Nguyên lý d'Alembert-Lagrange là sự kết hợp của nguyên lý d'Alembert với nguyên lý về các phép dời hình. Tức là, khi giải bài toán động lực học, chúng ta đưa các lực quán tính và giảm bài toán vào bài toán tĩnh, chúng ta giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng nguyên lý của các chuyển vị có thể có.

Nguyên tắc d'Alembert-Lagrange.
Khi một hệ cơ học chuyển động với các ràng buộc lý tưởng tại mỗi thời điểm, thì tổng công cơ bản của tất cả các lực hoạt động tác dụng và tất cả các lực quán tính lên bất kỳ độ dịch chuyển có thể có của hệ đều bằng không:
.
Phương trình này được gọi là phương trình tổng quát diễn giả.

Phương trình Lagrange

Tọa độ tổng quát q 1, q 2, ..., q n là tập hợp n giá trị xác định duy nhất vị trí của hệ.

Số toạ độ suy rộng n trùng với số bậc tự do của hệ.

Tốc độ tổng quát là các đạo hàm của tọa độ suy rộng theo thời gian t.

Lực lượng tổng quát Q 1, Q 2, ..., Q n .
Xét một phép dời hình có thể có của hệ, trong đó tọa độ q k sẽ nhận một độ dời δq k. Phần còn lại của tọa độ không thay đổi. Gọi δA là công do ngoại lực thực hiện trong quá trình dịch chuyển như vậy. sau đó
δA k = Q k δq k, hoặc
.

Nếu, với một sự dịch chuyển có thể của hệ, tất cả các tọa độ đều thay đổi, thì công do ngoại lực thực hiện trong quá trình dịch chuyển đó có dạng:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Khi đó các lực tổng quát là đạo hàm riêng của công chuyển vị:
.

Vì lực lượng tiềm năng với tiềm năng Π,
.

Phương trình Lagrange là phương trình chuyển động của một hệ cơ học trong các tọa độ tổng quát:

Ở đây T là động năng. Nó là một hàm của tọa độ tổng quát, vận tốc và có thể là thời gian. Do đó, đạo hàm riêng của nó cũng là một hàm của tọa độ, vận tốc và thời gian tổng quát. Tiếp theo, bạn cần lưu ý rằng tọa độ và vận tốc là các hàm của thời gian. Vì vậy, để tìm đạo hàm toàn phần theo thời gian, người ta phải áp dụng quy tắc phân biệt chức năng phức tạp:
.

Người giới thiệu:
S. M. Targ, Khóa học ngắn hạn cơ học lý thuyết, trường cao học“, Năm 2010.

Bộ Giáo dục và Khoa học Liên bang Nga

Ngân sách Nhà nước Liên bang Cơ quan Giáo dục Giáo dục Chuyên nghiệp Cao cấp

"Đại học Công nghệ Bang Kuban"

Cơ học lý thuyết

Phần 2 động lực học

Được sự chấp thuận của Tòa soạn và Xuất bản

hội đồng đại học với tư cách là

hướng dẫn học tập

Krasnodar

UDC 531,1 / 3 (075)

Cơ học lý thuyết. Phần 2. Động lực học: SGK / L.I.Draiko; Kuban. trạng thái technol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 tr.

ISBN 5-230-06865-5

Tài liệu lý thuyết được trình bày dưới dạng ngắn gọn, đưa ra các ví dụ về giải quyết vấn đề, hầu hết phản ánh các vấn đề kỹ thuật thực tế, chú ý đến việc lựa chọn phương pháp giải hợp lý.

Được thiết kế cho các cử nhân văn thư và đào tạo từ xa trong các lĩnh vực xây dựng, giao thông và kỹ thuật.

Chuyển hướng. 1 Hình. 68 Thư mục. 20 đầu sách

Chủ biên khoa học Ứng viên KHKT, PGS.TS. V.F. Melnikov

Các phản biện: Trưởng Bộ môn Cơ lý thuyết và Lý thuyết Cơ học và Máy của Đại học Nông nghiệp Kuban prof. F.M. Kanarev; Phó Giáo sư Khoa Cơ học Lý thuyết của Đại học Công nghệ Bang Kuban M.E. Multykh

Được xuất bản theo quyết định của Hội đồng Biên tập và Xuất bản của Đại học Công nghệ Bang Kuban.

Phát hành lại

ISBN 5-230-06865-5 KubGTU 1998

Lời tựa

Giáo trình này dành cho sinh viên bán thời gian của các chuyên ngành xây dựng, giao thông và kỹ thuật, nhưng có thể được sử dụng khi học phần "Động lực học" của khóa học cơ học lý thuyết bởi sinh viên bán thời gian của các chuyên ngành khác, cũng như sinh viên. hình thức hàng ngày vừa học vừa làm việc độc lập.

Sách hướng dẫn được biên soạn phù hợp với chương trình hiện hành của môn học Cơ khí lý thuyết, bao quát tất cả các vấn đề thuộc phần chính của môn học. Mỗi phần chứa một tài liệu lý thuyết ngắn gọn, được cung cấp các hình ảnh minh họa và hướng dẫn sử dụng nó trong việc giải quyết các vấn đề. Sổ tay hướng dẫn phân tích giải pháp của 30 nhiệm vụ phản ánh các vấn đề thực tế của công nghệ và các nhiệm vụ kiểm soát tương ứng đối với quyết định độc lập. Đối với mỗi nhiệm vụ, một sơ đồ tính toán được trình bày minh họa rõ ràng giải pháp. Thiết kế của giải pháp tuân thủ các yêu cầu đối với việc thiết kế các kỳ thi của sinh viên bán thời gian.

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô Bộ môn Cơ lý thuyết và Bộ môn Cơ học và Máy của trường Đại học Nông nghiệp Kuban đã công việc tuyệt vờiđã xem xét sách, cũng như các thầy cô của Khoa Cơ lý thuyết của Đại học Công nghệ Bang Kuban để có những ý kiến ​​đóng góp và lời khuyên quý báu trong việc chuẩn bị xuất bản cuốn sách.

Mọi ý kiến ​​phản biện và mong muốn sẽ được tác giả đón nhận với lòng biết ơn trong thời gian tới.

Giới thiệu

Động lực học là nhánh quan trọng nhất của cơ học lý thuyết. Hầu hết các nhiệm vụ cụ thể xảy ra trong thực hành kỹ thuật liên quan đến động lực học. Sử dụng các kết luận của tĩnh học và động học, động lực học thiết lập các quy luật chung về chuyển động của các cơ thể vật chất dưới tác dụng của các lực tác dụng.

Đối tượng vật chất đơn giản nhất là một điểm vật chất. Đối với một điểm vật chất, người ta có thể coi một vật thể có hình dạng bất kỳ, các kích thước của nó trong bài toán đang xét có thể được bỏ qua. Một vật có kích thước hữu hạn có thể được coi là một điểm vật chất nếu sự khác biệt trong chuyển động của các điểm của nó là không đáng kể đối với một bài toán đã cho. Điều này xảy ra khi kích thước của cơ thể nhỏ so với khoảng cách mà các điểm của cơ thể đi qua. Mỗi hạt của vật thể cứng có thể được coi là một điểm vật chất.

Các lực tác dụng lên một điểm hoặc một vật chất được đánh giá trong động học bằng tác động động của chúng, tức là bằng cách chúng thay đổi các đặc tính của chuyển động của các đối tượng vật chất.

Chuyển động của các đối tượng vật chất theo thời gian diễn ra trong không gian tương đối với một hệ quy chiếu nhất định. Trong cơ học cổ điển, dựa trên tiên đề Newton, không gian được coi là không gian ba chiều, các tính chất của nó không phụ thuộc vào các đối tượng vật chất chuyển động trong nó. Vị trí của một điểm trong không gian như vậy được xác định bởi ba tọa độ. Thời gian không kết nối với không gian và chuyển động của các đối tượng vật chất. Nó được coi là giống nhau đối với tất cả các hệ quy chiếu.

Các định luật động lực học mô tả chuyển động của các đối tượng vật chất liên quan đến các trục tọa độ tuyệt đối, được quy ước là bất động. Gốc của hệ tọa độ tuyệt đối được lấy tại tâm của Mặt trời, và các trục hướng đến các ngôi sao ở xa, đứng yên có điều kiện. Khi giải quyết nhiều vấn đề kỹ thuật, các trục tọa độ liên kết với Trái đất có thể được coi là bất động có điều kiện.

Các tham số của chuyển động cơ học của các đối tượng vật chất trong động lực học được thiết lập bằng các suy luận toán học từ các định luật cơ bản của cơ học cổ điển.

Định luật thứ nhất (định luật quán tính):

Điểm vật liệu duy trì trạng thái nghỉ ngơi hoặc đồng nhất và chuyển động thẳng cho đến khi hành động của bất kỳ thế lực nào sẽ đưa cô ấy ra khỏi trạng thái này.

Chuyển động thẳng đều và thẳng góc của một điểm được gọi là chuyển động theo quán tính. Nghỉ là một trường hợp đặc biệt của chuyển động theo quán tính, khi tốc độ của chất điểm bằng không.

Bất kỳ điểm vật chất nào cũng có quán tính, tức là nó có xu hướng duy trì trạng thái nghỉ hoặc chuyển động thẳng đều. Hệ quy chiếu, liên quan đến định luật quán tính, được gọi là quán tính, và chuyển động quan sát được trong quan hệ với hệ quy chiếu này được gọi là tuyệt đối. Bất kỳ hệ quy chiếu nào thực hiện chuyển động tịnh tiến và chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu quán tính cũng sẽ là hệ quy chiếu quán tính.

Định luật thứ hai (định luật cơ bản của động lực học):

Gia tốc của chất điểm so với hệ quy chiếu quán tính tỉ lệ thuận với lực tác dụng lên chất điểm và trùng với lực theo phương:
.

Nó tuân theo quy luật cơ bản của động lực học mà với một lực
sự tăng tốc
. Khối lượng của một điểm đặc trưng cho mức độ cản trở của một điểm đối với sự thay đổi tốc độ của nó, nghĩa là, nó là đơn vị đo quán tính của một chất điểm.

Luật thứ ba (luật hành động và phản ứng):

Lực mà hai vật tác dụng lên nhau có độ lớn bằng nhau và hướng theo một đường thẳng ngược chiều nhau.

Các lực lượng được gọi là hành động và phản ứng được áp dụng cho cơ thể khác nhau và do đó không tạo thành một hệ thống cân bằng.

Định luật thứ tư (quy luật về sự độc lập của tác dụng của các lực):

Với tác dụng đồng thời của một số lực, gia tốc của một chất điểm bằng tổng hình học của các gia tốc mà chất đó sẽ có khi chịu tác dụng của từng lực riêng biệt:

, ở đâu
,
,…,
.