Tìm xác suất của sự kiện được chỉ định bằng công thức Bernoulli. Đề án Bernoulli

Chúng ta đừng nghĩ về sự cao cả trong một thời gian dài - chúng ta hãy bắt đầu ngay với một định nghĩa.

là khi n thí nghiệm độc lập cùng loại được thực hiện, trong mỗi thí nghiệm có thể xuất hiện một biến cố A mà chúng ta quan tâm và xác suất của biến cố này là P (A) = p. Yêu cầu xác định xác suất để sự kiện A xảy ra đúng k lần trong n lần thử nghiệm.

Các nhiệm vụ được giải quyết theo sơ đồ Bernoulli vô cùng đa dạng: từ những nhiệm vụ đơn giản (chẳng hạn như “tìm xác suất người bắn trúng 1 lần trong số 10”) đến những nhiệm vụ rất khắc nghiệt (ví dụ: nhiệm vụ tính theo tỷ lệ phần trăm hoặc chơi bài) . Trong thực tế, sơ đồ này thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến kiểm soát chất lượng sản phẩm và độ tin cậy của các cơ chế khác nhau, tất cả các đặc tính của chúng phải được biết trước khi bắt đầu làm việc.

Hãy quay trở lại định nghĩa. Vì chúng ta đang nói về các thử nghiệm độc lập và trong mỗi thử nghiệm, xác suất của sự kiện A là như nhau, nên chỉ có hai kết quả có thể xảy ra:

1. A là lần xuất hiện biến cố A với xác suất p;
2. "not A" - sự kiện A không xuất hiện, xảy ra với xác suất q = 1 - p.

Điều kiện quan trọng nhất mà sơ đồ Bernoulli mất đi ý nghĩa của nó là tính không đổi. Bất kể chúng ta tiến hành bao nhiêu thí nghiệm, chúng ta đều quan tâm đến cùng một sự kiện A, xảy ra với cùng một xác suất p.

Ngẫu nhiên, không phải tất cả các vấn đề trong lý thuyết xác suất đều có thể được rút gọn thành các điều kiện không đổi. Bất kỳ gia sư có năng lực về toán học cao hơn sẽ cho bạn biết về điều này. Ngay cả một việc đơn giản như lấy những quả bóng màu ra khỏi hộp cũng không phải là một thí nghiệm với các điều kiện không đổi. Họ lấy ra một quả bóng khác - tỷ lệ màu sắc trong hộp đã thay đổi. Do đó, các xác suất cũng đã thay đổi.

Nếu các điều kiện không đổi, người ta có thể xác định chính xác xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong số n có thể. Chúng tôi hình thành dữ kiện này dưới dạng một định lý:

Gọi xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi thí nghiệm là không đổi và bằng p. Khi đó xác suất để trong n lần thử độc lập, sự kiện A xuất hiện đúng k lần được tính theo công thức:

trong đó C n k là số tổ hợp, q = 1 - p.

Công thức này được gọi là: Có một điều thú vị là những vấn đề dưới đây hoàn toàn được giải quyết mà không cần sử dụng công thức này. Ví dụ, bạn có thể áp dụng các công thức cộng xác suất. Tuy nhiên, số lượng tính toán sẽ đơn giản là không thực tế.

Nhiệm vụ. Xác suất để trên máy sản xuất ra một phế phẩm là 0,2. Xác định xác suất để một lô gồm mười bộ phận được sản xuất trên một máy đã cho có đúng k không có khuyết tật. Giải bài toán cho k = 0, 1, 10.

Theo giả thiết, chúng ta quan tâm đến trường hợp A phát hành sản phẩm không có khuyết tật, xảy ra mỗi lần với xác suất p = 1 - 0,2 = 0,8. Chúng ta cần xác định xác suất để sự kiện này xảy ra k lần. Sự kiện A đối lập với sự kiện "không phải A", tức là sản xuất một sản phẩm bị lỗi.

Như vậy, ta có: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Vì vậy, chúng tôi tìm xác suất để tất cả các bộ phận trong lô bị lỗi (k = 0), chỉ một bộ phận bị lỗi (k = 1) và không có bộ phận nào bị lỗi (k = 10):

Nhiệm vụ. Đồng xu được tung 6 lần. Việc mất quốc huy và đuôi cũng có thể xảy ra. Tìm xác suất để:

1. quốc huy sẽ rụng ba lần;
2. quốc huy sẽ rụng một lần;
3. quốc huy sẽ xuất hiện ít nhất hai lần.

Vì vậy, chúng tôi quan tâm đến sự kiện A, khi quốc huy rơi ra. Xác suất của biến cố này là p = 0,5. Sự kiện A bị phản lại bởi sự kiện “không phải A”, khi nó xuất hiện các đầu đuôi, xảy ra với xác suất q = 1 - 0,5 = 0,5. Cần xác định xác suất để quốc huy rơi ra k lần.

Như vậy, ta có: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Hãy để chúng tôi xác định xác suất để quốc huy rơi ra ba lần, tức là k = 3:

Bây giờ, hãy xác định xác suất để quốc huy chỉ rơi ra một lần, tức là k = 1:

Việc xác định xem quốc huy sẽ rơi ra ít nhất hai lần với xác suất là bao nhiêu. Điều khó khăn chính là trong cụm từ "không kém". Hóa ra là bất kỳ k nào, ngoại trừ 0 và 1, sẽ phù hợp với chúng ta, tức là bạn cần tìm giá trị của tổng X \ u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Lưu ý rằng tổng này cũng bằng (1 - P 6 (0) - P 6 (1)), tức là trong số tất cả các phương án khả thi, nó đủ để “cắt bỏ” những phương án khi quốc huy rơi ra 1 lần (k = 1) hoặc hoàn toàn không rơi ra (k = 0). Vì P 6 (1) chúng ta đã biết nên vẫn phải tìm P 6 (0):

Nhiệm vụ. Xác suất để một TV có các khuyết tật tiềm ẩn là 0,2. Kho nhận được 20 TV. Sự kiện nào có khả năng xảy ra cao hơn: rằng có hai TV bị lỗi ẩn trong lô hoặc ba chiếc này?

Sự kiện quan tâm A là sự hiện diện của một khuyết tật tiềm ẩn. Tổng số TV n = 20, xác suất để khuyết tật p = 0,2. Theo đó, xác suất để được một chiếc TV không bị khuyết tật ẩn là q = 1 - 0,2 = 0,8.

Chúng ta nhận được các điều kiện bắt đầu cho lược đồ Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Hãy tìm xác suất để có được hai TV "bị lỗi" (k = 2) và ba (k = 3):

\ [\ begin (array) (l) (P_ (20)) \ left (2 \ right) = C_ (20) ^ 2 (p ^ 2) (q ^ (18)) = \ frac ((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Rõ ràng, P 20 (3)> P 20 (2), tức là xác suất nhận được ba TV có khuyết tật tiềm ẩn nhiều hơn khả năng chỉ nhận được hai TV như vậy. Hơn nữa, sự khác biệt không phải là yếu kém.

Một lưu ý nhỏ về giai thừa. Nhiều người gặp phải cảm giác khó chịu mơ hồ khi nhìn thấy mục nhập "0!" (đọc "giai thừa không"). Vì vậy, 0! = 1 theo định nghĩa.

Tái bút: Và xác suất lớn nhất trong nhiệm vụ cuối cùng là lấy được bốn chiếc TV có khuyết tật ẩn. Làm phép toán và xem cho chính mình.

Xem thêm:

Cảm ơn bạn đã đọc và chia sẻ với những người khác

Khi giải quyết các bài toán xác suất, người ta thường gặp các tình huống trong đó cùng một phiên tòa được lặp lại nhiều lần và kết quả của mỗi phiên tòa độc lập với kết quả của những phiên tòa khác. Thí nghiệm này còn được gọi là sơ đồ các bài kiểm tra độc lập lặp đi lặp lại hoặc Đề án Bernoulli.

Ví dụ về kiểm tra lại:

1) chiết nhiều quả bóng từ bình, với điều kiện quả bóng được lấy ra sau khi đăng ký màu sắc của nó được đưa trở lại bình;

2) lặp lại bởi một người bắn các phát bắn vào cùng một mục tiêu, miễn là xác suất trúng đích thành công của mỗi phát bắn là như nhau (vai trò của bắn không được tính đến).

Vì vậy, hãy để kết quả của bài kiểm tra có thể hai kết quả: một sự kiện sẽ xuất hiện NHƯNG, hoặc sự kiện ngược lại của nó. Hãy thực hiện n thử nghiệm Bernoulli. Điều này có nghĩa là tất cả n thử nghiệm là độc lập; xác suất xuất hiện của sự kiện $ A $ trong từng phép thử riêng lẻ hoặc đơn lẻ là không đổi và không thay đổi từ thử nghiệm này sang thử nghiệm khác (tức là các thử nghiệm được thực hiện trong cùng điều kiện). Hãy để chúng tôi biểu thị xác suất xuất hiện của sự kiện $ A $ trong một thử nghiệm đơn lẻ bằng chữ cái $ p $, tức là $ p = P (A) $, và xác suất của sự kiện ngược lại (sự kiện $ A $ không xảy ra) được cho bởi chữ cái $ q = P (\ overline (A)) = 1-p $.

Sau đó, xác suất để sự kiện NHƯNG sẽ xuất hiện trong những N kiểm tra chính xác k lần, bày tỏ Công thức Bernoulli

$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^ (n-k), \ quad q = 1-p. $$

Sự phân bố số lần thành công (lần xuất hiện của một sự kiện) được gọi là phân phối nhị thức.

Máy tính trực tuyến cho công thức Bernoulli

Một số dạng bài toán phổ biến nhất sử dụng công thức Bernoulli được phân tích trong các bài báo và cung cấp một máy tính trực tuyến, bạn có thể truy cập chúng bằng cách sử dụng các liên kết:

Ví dụ về các giải pháp cho các vấn đề về công thức Bernoulli

Ví dụ. Một bình đựng 20 viên bi trắng và 10 bi đen. 4 viên bi được lấy ra, và mỗi viên bi lấy ra được trả lại vào bình trước khi người tiếp theo được rút ra và các bóng trong bình được trộn lẫn.

Công thức Bernoulli. Giải quyết vấn đề

Tìm xác suất để 2 trong 4 bi rút ra có màu trắng.

Quyết định. Biến cố NHƯNG- có một quả bóng màu trắng. Sau đó, các xác suất
, .
Theo công thức Bernoulli, xác suất yêu cầu là
.

Ví dụ. Xác định xác suất để một gia đình có 5 người con, có không quá 3 bạn gái. Xác suất sinh con trai và con gái được giả định là như nhau.

Quyết định. Xác suất sinh con gái
, sau đó .

Hãy tìm xác suất để trong một gia đình không có con gái nào sinh ra một, hai hoặc ba con gái:

, ,

, .

Do đó, xác suất mong muốn

.

Ví dụ. Trong số các bộ phận do công nhân gia công, có trung bình 4% không đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để hai trong số 30 bộ phận được lấy để kiểm tra không đạt tiêu chuẩn.

Quyết định.Ở đây, kinh nghiệm nằm ở việc kiểm tra chất lượng của từng bộ phận trong số 30 bộ phận.

Sự kiện A là “sự xuất hiện của một bộ phận không chuẩn”, khi đó, xác suất của nó là. Từ đây, theo công thức Bernoulli, chúng ta thấy
.

Ví dụ. Với mỗi lần bắn cá nhân từ súng, xác suất bắn trúng mục tiêu là 0,9. Tìm xác suất để trong 20 lần bắn thì số lần bắn trúng đích ít nhất là 16 và nhiều nhất là 19.

Quyết định. Chúng tôi tính toán theo công thức Bernoulli:

Ví dụ. Các thử nghiệm độc lập tiếp tục cho đến khi sự kiện NHƯNG sẽ không xảy ra k Một lần. Tìm xác suất để điều đó xảy ra N thử nghiệm (n ³ k), nếu trong mỗi thử nghiệm.

Quyết định. Biến cố TẠI- một cách chính xác N kiểm tra trước k-sự xuất hiện lần thứ của sự kiện NHƯNG là sản phẩm của hai sự kiện sau:

D-in N bài kiểm tra thứ NHƯNGđã xảy ra;

C - đầu tiên (n – 1) bài kiểm tra thứ NHƯNGđã xuất hiện (k-1) Một lần.

Định lý nhân và công thức Bernoulli đưa ra xác suất cần thiết:

Cần lưu ý rằng việc sử dụng luật nhị thức thường đi kèm với những khó khăn về tính toán. Do đó, với giá trị ngày càng tăng N và m nó trở nên thích hợp khi sử dụng các công thức gần đúng (Poisson, Moivre-Laplace), sẽ được thảo luận trong các phần sau.

Video hướng dẫn công thức Bernoulli

Đối với những người dễ hình dung hơn trong phần giải thích video tuần tự, một video dài 15 phút:

Công thức xác suất tổng: Lý thuyết và các ví dụ về giải quyết vấn đề

Công thức xác suất tổng và xác suất có điều kiện của các sự kiện

Công thức xác suất tổng là hệ quả của các quy tắc cơ bản của lý thuyết xác suất - quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Công thức xác suất tổng cho phép bạn tìm xác suất của một sự kiện Một, điều này chỉ có thể xảy ra với mỗi N các sự kiện loại trừ lẫn nhau tạo thành một hệ thống hoàn chỉnh nếu xác suất của chúng được biết, và xác suất có điều kiện sự kiện Mộtđối với mỗi sự kiện của hệ thống đều bằng.

Các sự kiện còn được gọi là giả thuyết, chúng loại trừ lẫn nhau. Do đó, trong tài liệu, bạn cũng có thể tìm thấy tên gọi của chúng không phải bằng chữ cái B, nhưng với một lá thư H(giả thuyết).

Để giải quyết các vấn đề với các điều kiện như vậy, cần phải xem xét 3, 4, 5, hoặc trong trường hợp chung N khả năng xảy ra một sự kiện Một với mọi sự kiện.

Sử dụng các định lý cộng và nhân xác suất, chúng ta thu được tổng các tích của xác suất của mỗi biến cố của hệ bằng xác suất có điều kiện sự kiện Một cho mỗi sự kiện trong hệ thống.

21 Thử nghiệm của Bernoulli. Công thức Bernoulli

Đó là, xác suất của một sự kiện Một có thể được tính bằng công thức

hoặc nói chung

,

được gọi là công thức tổng xác suất .

Công thức xác suất tổng: các ví dụ về giải quyết vấn đề

ví dụ 1 Có ba lọ trông giống hệt nhau: trong cái thứ nhất có 2 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen, trong chiếc thứ hai có 4 quả bóng trắng và một chiếc màu đen, trong chiếc thứ ba có ba quả bóng màu trắng. Ai đó ngẫu nhiên đến gần một trong các lọ và lấy một quả bóng ra khỏi nó. Lợi dụng công thức tổng xác suất, tìm xác suất để quả bóng có màu trắng.

Quyết định. Biến cố Một- sự xuất hiện của một quả bóng màu trắng. Chúng tôi đưa ra ba giả thuyết:

- bình đầu tiên được chọn;

- bình thứ hai được chọn;

- chiếc bình thứ ba được chọn.

Xác suất sự kiện có điều kiện Một cho mỗi giả thuyết:

, , .

Kết quả là chúng tôi áp dụng công thức xác suất tổng - xác suất bắt buộc:

.

Ví dụ 2 Tại nhà máy thứ nhất, cứ 100 bóng đèn thì có trung bình 90 bóng đèn đạt tiêu chuẩn được sản xuất, ở nhà máy thứ hai - 95, nhà máy thứ ba - 85 và sản phẩm của các nhà máy này chiếm 50%, 30% và 20%, tương ứng của tất cả các bóng điện cung cấp cho các cửa hàng của một khu vực nhất định. Tìm xác suất để mua được một bóng đèn tiêu chuẩn.

Quyết định. Hãy để chúng tôi biểu thị xác suất có được một bóng đèn tiêu chuẩn là Một, và các sự kiện mà bóng đèn đã mua được sản xuất lần lượt tại các nhà máy thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Theo điều kiện, xác suất của những sự kiện này được biết đến:, và xác suất có điều kiện của sự kiện Một liên quan đến từng người trong số họ: , , . Đây là xác suất để có được một bóng đèn tiêu chuẩn, với điều kiện nó được sản xuất tại nhà máy thứ nhất, thứ hai và thứ ba, tương ứng.

Biến cố Một sẽ xảy ra nếu một sự kiện xảy ra hoặc K- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy đầu tiên và là tiêu chuẩn, hoặc một sự kiện L- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy thứ hai và là tiêu chuẩn, hoặc một sự kiện M- bóng đèn được sản xuất tại nhà máy thứ 3 và đạt tiêu chuẩn.

Các khả năng xảy ra sự kiện khác Một không. Do đó, sự kiện Một là tổng các sự kiện K, L và M không tương thích. Áp dụng định lý cộng xác suất, chúng ta biểu diễn xác suất của một sự kiện Một như

và bằng định lý nhân xác suất, chúng ta nhận được

I E, một trường hợp đặc biệt của công thức xác suất tổng.

Thay xác suất vào vế trái của công thức, chúng ta thu được xác suất của biến cố Một:

Bạn không có thời gian để đi sâu tìm hiểu giải pháp? Bạn có thể đặt hàng một công việc!

Ví dụ 3 Máy bay đang hạ cánh xuống sân bay. Nếu thời tiết cho phép, phi công hạ cánh máy bay, ngoài các dụng cụ, còn có quan sát bằng mắt. Trong trường hợp này, xác suất hạ cánh thành công là. Nếu sân bay u ám với những đám mây thấp, thì phi công sẽ hạ cánh máy bay và chỉ định hướng bằng các thiết bị. Trong trường hợp này, xác suất hạ cánh thành công là; .

Các thiết bị cung cấp hạ cánh mù có độ tin cậy (xác suất hoạt động không xảy ra lỗi) P. Trong điều kiện có mây mù thấp và các thiết bị hạ cánh mù không thành công, xác suất hạ cánh thành công là; . Thống kê cho thấy rằng trong k% đổ bộ, sân bay bị bao phủ bởi những đám mây thấp. Để tìm xác suất đầy đủ của sự kiệnMột- hạ cánh an toàn của máy bay.

Quyết định. Các giả thuyết:

- không có mây thấp;

- Có mây thấp che phủ.

Xác suất của các giả thuyết (sự kiện) này:

;

Xác suất có điều kiện.

Xác suất có điều kiện lại được tìm thấy bằng công thức xác suất tổng với các giả thuyết

- thiết bị hạ cánh mù đang hoạt động;

- thiết bị hạ cánh mù không thành công.

Xác suất của các giả thuyết này là:

Theo công thức xác suất tổng

Ví dụ 4 Thiết bị có thể hoạt động ở hai chế độ: bình thường và bất thường. Chế độ bình thường được quan sát thấy trong 80% tất cả các trường hợp hoạt động của thiết bị và bất thường - trong 20% ​​trường hợp. Xác suất hỏng hóc thiết bị trong một thời gian nhất định t bằng 0,1; trong 0,7 bất thường. Để tìm xác suất đầy đủ lỗi thiết bị trong thời gian t.

Quyết định. Chúng tôi lại biểu thị xác suất hỏng hóc thiết bị là Một. Vì vậy, liên quan đến hoạt động của thiết bị trong mỗi chế độ (sự kiện), xác suất được biết theo điều kiện: đối với chế độ bình thường là 80% (), đối với chế độ bất thường - 20% (). Xác suất sự kiện Một(nghĩa là, sự hỏng hóc của thiết bị) tùy thuộc vào sự kiện đầu tiên (chế độ bình thường) là 0,1 (); tùy thuộc vào sự kiện thứ hai (chế độ bất thường) - 0,7 ( ). Chúng tôi thay thế các giá trị này vào công thức xác suất tổng (nghĩa là tổng các tích của xác suất của từng sự kiện của hệ thống và xác suất có điều kiện của sự kiện Mộtđối với từng sự kiện của hệ thống) và chúng tôi có kết quả theo yêu cầu.

Chúng ta đừng nghĩ về sự cao cả trong một thời gian dài - chúng ta hãy bắt đầu ngay với một định nghĩa.

Lược đồ Bernoulli là khi n thí nghiệm độc lập cùng loại được thực hiện, trong mỗi thí nghiệm có thể xuất hiện một sự kiện A mà chúng ta quan tâm và xác suất của sự kiện này là P (A) \ u003d p. Yêu cầu xác định xác suất để sự kiện A xảy ra đúng k lần trong n lần thử nghiệm.

Các nhiệm vụ được giải quyết theo sơ đồ Bernoulli vô cùng đa dạng: từ những nhiệm vụ đơn giản (chẳng hạn như “tìm xác suất người bắn trúng 1 lần trong số 10”) đến những nhiệm vụ rất khắc nghiệt (ví dụ: nhiệm vụ tính theo tỷ lệ phần trăm hoặc chơi bài) . Trong thực tế, sơ đồ này thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến kiểm soát chất lượng sản phẩm và độ tin cậy của các cơ chế khác nhau, tất cả các đặc tính của chúng phải được biết trước khi bắt đầu làm việc.

Hãy quay trở lại định nghĩa. Vì chúng ta đang nói về các thử nghiệm độc lập và trong mỗi thử nghiệm, xác suất của sự kiện A là như nhau, nên chỉ có hai kết quả có thể xảy ra:

1. A là lần xuất hiện biến cố A với xác suất p;
2. "not A" - sự kiện A không xuất hiện, xảy ra với xác suất q = 1 - p.

Điều kiện quan trọng nhất mà sơ đồ Bernoulli mất đi ý nghĩa của nó là tính không đổi. Bất kể chúng ta tiến hành bao nhiêu thí nghiệm, chúng ta đều quan tâm đến cùng một biến cố A xảy ra với cùng một xác suất p.

Ngẫu nhiên, không phải tất cả các vấn đề trong lý thuyết xác suất đều có thể được rút gọn thành các điều kiện không đổi. Bất kỳ gia sư có năng lực về toán học cao hơn sẽ cho bạn biết về điều này. Ngay cả một việc đơn giản như lấy những quả bóng màu ra khỏi hộp cũng không phải là một thí nghiệm với các điều kiện không đổi. Họ lấy ra một quả bóng khác - tỷ lệ màu sắc trong hộp đã thay đổi. Do đó, các xác suất cũng đã thay đổi.

Nếu các điều kiện không đổi, người ta có thể xác định chính xác xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong số n có thể. Chúng tôi hình thành dữ kiện này dưới dạng một định lý:

Định lý Bernoulli. Gọi xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi thí nghiệm là không đổi và bằng p. Khi đó xác suất để trong n lần thử độc lập, sự kiện A xuất hiện đúng k lần được tính theo công thức:

trong đó C n k là số tổ hợp, q = 1 - p.

Công thức này được gọi là công thức Bernoulli. Có một điều thú vị là những vấn đề dưới đây hoàn toàn được giải quyết mà không cần sử dụng công thức này. Ví dụ, bạn có thể áp dụng các công thức cộng xác suất. Tuy nhiên, số lượng tính toán sẽ đơn giản là không thực tế.

Nhiệm vụ. Xác suất sinh ra phế phẩm của máy là 0,2. Xác định xác suất để trong một lô gồm mười bộ phận được sản xuất trên một máy đã cho có đúng k không có khuyết tật. Giải bài toán cho k = 0, 1, 10.

Theo điều kiện, ta quan tâm đến trường hợp A xuất xưởng sản phẩm không có khuyết tật, xảy ra mọi lúc với xác suất p = 1 - 0,2 = 0,8. Chúng ta cần xác định xác suất để sự kiện này xảy ra k lần. Sự kiện A đối lập với sự kiện “không phải A”, tức là sản xuất một sản phẩm bị lỗi.

Như vậy, ta có: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Vì vậy, chúng tôi tìm xác suất để tất cả các bộ phận trong lô bị lỗi (k = 0), chỉ một bộ phận bị lỗi (k = 1) và không có bộ phận nào bị lỗi (k = 10):

Nhiệm vụ. Đồng xu được tung 6 lần. Việc mất quốc huy và đuôi cũng có thể xảy ra. Tìm xác suất để:

1. quốc huy sẽ rụng ba lần;
2. quốc huy sẽ rụng một lần;
3. quốc huy sẽ xuất hiện ít nhất hai lần.

Vì vậy, chúng tôi quan tâm đến sự kiện A khi quốc huy rơi. Xác suất của biến cố này là p = 0,5. Sự kiện A bị phản lại bởi sự kiện “không phải A”, khi nó xuất hiện các đầu đuôi, xảy ra với xác suất q = 1 - 0,5 = 0,5. Cần xác định xác suất để quốc huy rơi ra k lần.

Như vậy, ta có: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Hãy để chúng tôi xác định xác suất để quốc huy rơi ra ba lần, tức là k = 3:

Bây giờ, hãy xác định xác suất để quốc huy chỉ rơi ra một lần, tức là k = 1:

Việc xác định xem quốc huy sẽ rơi ra ít nhất hai lần với xác suất bao nhiêu. Điều khó khăn chính là trong cụm từ "không kém". Nó chỉ ra rằng bất kỳ k nào sẽ phù hợp với chúng ta, ngoại trừ 0 và 1, tức là bạn cần tìm giá trị của tổng X \ u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Lưu ý rằng tổng này cũng bằng (1 - P 6 (0) - P 6 (1)), tức là trong số tất cả các phương án khả thi, nó đủ để “cắt bỏ” những phương án khi quốc huy rơi ra 1 lần (k = 1) hoặc hoàn toàn không rơi ra (k = 0). Vì P 6 (1) chúng ta đã biết nên vẫn phải tìm P 6 (0):

Nhiệm vụ. Xác suất để một TV có các khuyết tật tiềm ẩn là 0,2. Kho nhận được 20 TV. Sự kiện nào có khả năng xảy ra cao hơn: rằng có hai TV bị lỗi ẩn trong lô hoặc ba chiếc này?

Sự kiện quan tâm A là sự hiện diện của một khuyết tật tiềm ẩn. Tổng số TV n = 20, xác suất để khuyết tật ẩn p = 0,2. Theo đó, xác suất để được một chiếc TV không bị khuyết tật ẩn là q = 1 - 0,2 = 0,8.

Chúng ta nhận được các điều kiện bắt đầu cho lược đồ Bernoulli: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Hãy tìm xác suất để có được hai TV "bị lỗi" (k = 2) và ba (k = 3):

\ [\ begin (array) (l) (P_ (20)) \ left (2 \ right) = C_ (20) ^ 2 (p ^ 2) (q ^ (18)) = \ frac ((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Rõ ràng, P 20 (3)> P 20 (2), tức là xác suất nhận được ba TV có khuyết tật tiềm ẩn nhiều hơn khả năng chỉ nhận được hai TV như vậy. Hơn nữa, sự khác biệt không phải là yếu kém.

Một lưu ý nhỏ về giai thừa. Nhiều người gặp phải cảm giác khó chịu mơ hồ khi nhìn thấy mục nhập "0!" (đọc "giai thừa không"). Vì vậy, 0! = 1 theo định nghĩa.

P. S. Và xác suất lớn nhất trong nhiệm vụ cuối cùng là lấy được bốn chiếc TV có khuyết tật ẩn. Làm phép toán và xem cho chính mình.

Trước khi trình bày câu hỏi thứ ba của bài giảng, giáo viên chỉ ra vấn đề cần xem xét định lý về sự lặp lại của các thí nghiệm, đồng thời lưu ý rằng trong quá trình học lý thuyết xác suất, chỉ một định lý cụ thể sẽ được xem xét liên quan đến sự lặp lại. của các thí nghiệm độc lập, trong mỗi thí nghiệm này, biến cố A xuất hiện với xác suất không đổi.

Sau đó, giáo viên đưa ra cách chứng minh định lý này (hệ thức của công thức Bernoulli).

Để giải thích bản chất vật lý của định lý đang xét, giáo viên sử dụng một máy chiếu trên cao và các slide đã chuẩn bị sẵn.

Cuối bài giảng, giáo viên giải thích lý do tại sao phân bố xác suất của sự xuất hiện của biến cố A trong một chuỗi n phép thử, trong các điều kiện mà chúng không tương thích và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh, được gọi là nhị thức và thu hút sự chú ý về tầm quan trọng. biết phân phối này để giải quyết các vấn đề ứng dụng.

Cho đến nay, chúng tôi đã xem xét các tổ hợp của một số lượng tương đối nhỏ các sự kiện, khi việc áp dụng trực tiếp các quy tắc cộng và nhân xác suất không gây ra khó khăn tính toán lớn. Tuy nhiên, với sự gia tăng số lượng sự kiện hoặc số lần thử nghiệm trong đó sự kiện mà chúng ta quan tâm có thể xuất hiện, phương pháp tính toán đã nghiên cứu trở nên rất cồng kềnh.

Trong trường hợp này, vấn đề được giải quyết khá đơn giản chỉ khi các thí nghiệm là độc lập.

Một số thử nghiệm được gọi là sống độc lập, nếu xác suất của một hoặc kết quả khác của mỗi thử nghiệm không phụ thuộc vào kết quả mà các thử nghiệm khác có.

Trong thực tế, có những trường hợp xác suất sự kiện xảy ra NHƯNG trong tất cả các thử nghiệm độc lập có thể giống nhau hoặc thay đổi từ kinh nghiệm này sang kinh nghiệm khác. Ví dụ, khi điều chỉnh lửa sau mỗi lần bắn, xác suất bắn trúng mục tiêu của mỗi lần bắn sẽ thay đổi.

Trong trường hợp khi trong các thí nghiệm độc lập, xác suất xuất hiện của một sự kiện từ kinh nghiệm này sang kinh nghiệm khác thay đổi, thì định lý chung về sự lặp lại của các thí nghiệm được sử dụng và khi trong các thí nghiệm độc lập, xác suất xuất hiện của một sự kiện từ kinh nghiệm này sang kinh nghiệm khác không thay đổi, định lý cụ thể về sự lặp lại của các thí nghiệm được sử dụng.

Trong quá trình lý thuyết xác suất mà chúng ta đang nghiên cứu, chúng ta sẽ chỉ xem xét một thuật ngữ cụ thể về sự lặp lại của các thí nghiệm, khi cần xác định xác suất của một sự kiện xảy ra. NHƯNG trong một chuỗi n thí nghiệm độc lập, trong đó mỗi biến cố A xảy ra với xác suất như nhau.

Ví dụ, cần phải tính toán xác suất để với năm phát bắn từ một khẩu súng ở cài đặt không đổi, sẽ nhận được chính xác hai phát bắn trúng mục tiêu, nếu các phát bắn là độc lập và xác suất bắn trúng mục tiêu đối với mỗi phát bắn là biết và thực hiện. không thay đổi.

Nếu chúng ta thực hiện các kết hợp có thể xảy ra của sự kiện mà chúng ta quan tâm A 1, thì chúng ta nhận được:

Sẽ có 10 sự kết hợp có thể xảy ra trong đó sự kiện A = (nhận được 2 lượt bắn với năm lượt bắn) sẽ xảy ra.

Áp dụng định lý về tổng và tích của các biến cố độc lập, ta sẽ có:

Sự gia tăng số lượng sự kiện mà chúng ta quan tâm hoặc số lần thử nghiệm sẽ dẫn đến khối lượng các phép tính toán tăng lên thậm chí lớn hơn, do đó, vấn đề nảy sinh là tìm ra các phương pháp tính toán ít tốn thời gian hơn.

Công thức của vấn đề:

Giả sử trong cùng một điều kiện để thực hiện n phép thử độc lập, kết quả của mỗi phép thử có thể là sự khởi đầu hoặc sự kiện NHƯNG, hoặc ngược lại .

Biểu thị bởi NHƯNG 1 sự xuất hiện của một sự kiện NHƯNG trong bài kiểm tra đầu tiên, NHƯNG 2 - ở bài kiểm tra thứ hai, NHƯNG N- ở lần kiểm tra cuối cùng.

Do các điều kiện thử nghiệm không đổi:

P (A 1 ) = P (A 2 ) =… P (A N ) = p

Chúng tôi quan tâm đến xác suất sự kiện A sẽ xảy ra chính xác một lần trong n lần thử nghiệm và sẽ không xảy ra trong n lần thử nghiệm còn lại (tức là sự kiện ngược lại với sự kiện A sẽ xảy ra - ).

Hãy để chúng tôi giả định rằng sự kiện mà chúng tôi quan tâm NHƯNG xảy ra liên tiếp m lần, bắt đầu từ lần đầu tiên, tức là một sự kiện diễn ra E.

E = A 1 NHƯNG 2 … NHƯNG m -1 NHƯNG m 
(1)

m N- m

Theo điều kiện lặp lại thử nghiệm, các sự kiện bao gồm trong tổ hợp này là độc lập, trong khi xác suất xuất hiện của các sự kiện A 1, NHƯNG 2 ,… NHƯNG m -1 , NHƯNG m giống nhau và bằng nhau p: P ​​(A 1 ) = P (A 2 ) =… = P (A m ) = p, và xác suất không xảy ra các sự kiện
giống nhau và bình đẳng q= 1-r:.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất cho các biến cố độc lập với biểu thức 1, ta được:

P (E) = P (A 1 ) P (A 2 )… P (A m -1 ) P (A m ) R (
= p m (1-p) N  - m = p m q N - m

Do các điều kiện thử nghiệm không đổi, chúng tôi giả định rằng sự kiện mà chúng tôi quan tâm NHƯNG xảy ra liên tiếp m lần, bắt đầu từ lần đầu tiên. Nhưng sự kiện NHƯNG trong N thử nghiệm có thể đến chính xác m thời gian theo nhiều trình tự hoặc kết hợp khác nhau. Đồng thời, chúng tôi không quan tâm sự kiện A xuất hiện chính xác theo trình tự cụ thể nào m Một lần.

Số tổ hợp như vậy bằng số tổ hợp từ n phần tử bởi m.

Vì các tổ hợp sự kiện này (như tổ hợp E) không tương thích và chúng tôi không quan tâm đến trình tự xuất hiện của sự kiện NHƯNG chính xác trong bài kiểm tra m lần, sau đó biểu thị xác suất mà chúng tôi quan tâm thông qua R m, chúng tôi nhận được:

R m =
R m (1-p) N - m =
=

ở đâu
- số lượng kết hợp của N các yếu tố của m.

Công thức này được đặt tên theo công thức của Bernoulli.

Công thức Bernoulli cho phép bạn có câu trả lời cho câu hỏi: xác suất mà khi lặp lại n phép thử độc lập, một sự kiện nào đó xảy ra NHƯNGđến chính xác m lần nếu trong mỗi thử nghiệm này, xác suất của sự kiện xảy ra là NHƯNG không đổi và bằng nhau P (A) = p.

Công thức Bernoulli ở trên có tầm quan trọng đặc biệt trong lý thuyết xác suất vì nó có liên quan đến việc lặp lại các thử nghiệm trong cùng điều kiện, tức là với các điều kiện như vậy, trong đó các định luật của lý thuyết xác suất tự biểu hiện.

Kết luận bài giảng:

Trong bài giảng, chúng tôi xem xét các vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất trong mối quan hệ với các biến ngẫu nhiên, giới thiệu bộ máy khái niệm cơ bản cần thiết để nghiên cứu sâu hơn về chuyên ngành: định nghĩa của một biến ngẫu nhiên, phân loại của chúng; các khái niệm về luật phân phối và dạng của nó đối với các loại biến ngẫu nhiên.

Để chuẩn bị cho các bài giảng và bài tập thực hành tiếp theo, bạn phải độc lập bổ sung các ghi chú bài giảng của mình với việc nghiên cứu sâu các tài liệu được đề xuất và giải quyết các vấn đề được đề xuất.

Ngoài ra, trong các bài học tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các định lý và sự phụ thuộc cho phép chúng ta xác định xác suất của một biến ngẫu nhiên xuất hiện một số lần cần thiết hoặc trong một khoảng thời gian nhất định, ví dụ, xác suất bắn trúng mục tiêu.

Khám phá:

Wentzel E.S. Lý thuyết xác suất. Sách giáo khoa. Phiên bản thứ tám, khuôn mẫu. - M .: Trường Cao đẳng, 2002 - 575 tr. - trang 67-78, 80-84

Venttsel E.S., Ovcharov L.A. Lý thuyết xác suất và các ứng dụng kỹ thuật của nó. Hướng dẫn. Tái bản lần thứ ba, sửa đổi và phóng to. - M .: "Học viện", 2003 - 464 tr. - trang 73-93

Gmurman V.E. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học. Hướng dẫn. Tái bản lần thứ mười, khuôn mẫu.-M.: Trường trung học, 2004 - 480 tr. trang 64-73

Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm xác suất của một sự kiện xảy ra trong các thử nghiệm độc lập khi các thử nghiệm được lặp lại. . Các thử nghiệm được gọi là độc lập nếu xác suất của một hoặc kết quả khác của mỗi thử nghiệm không phụ thuộc vào kết quả của các thử nghiệm khác. . Các thử nghiệm độc lập có thể được thực hiện trong cùng một điều kiện và các điều kiện khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, xác suất của một sự kiện xảy ra trong tất cả các thử nghiệm là như nhau; trong trường hợp thứ hai, nó thay đổi theo từng phiên tòa.

Ví dụ về các thử nghiệm độc lập :

• một trong các nút thiết bị hoặc hai hoặc ba nút sẽ bị lỗi, và lỗi của mỗi nút không phụ thuộc vào nút còn lại, và xác suất thất bại của một nút là không đổi trong tất cả các thử nghiệm;
• một bộ phận được sản xuất trong những điều kiện công nghệ không đổi nhất định, hoặc ba, bốn, năm bộ phận, sẽ trở thành không đạt tiêu chuẩn và một bộ phận có thể trở thành không đạt tiêu chuẩn bất kể bộ phận nào khác và xác suất bộ phận đó sẽ hóa ra phi tiêu chuẩn là không đổi trong tất cả các thử nghiệm;
• trong số một số phát bắn trúng mục tiêu, một, ba hoặc bốn phát bắn trúng mục tiêu bất kể kết quả của các phát bắn khác và xác suất bắn trúng mục tiêu là không đổi trong tất cả các thử nghiệm;
• khi một đồng xu được đưa vào, máy sẽ hoạt động chính xác một, hai hoặc một số lần khác, bất kể các đồng xu khác đã được đưa vào là bao nhiêu và xác suất để máy hoạt động chính xác là không đổi trong tất cả các lần thử nghiệm.

Những sự kiện này có thể được mô tả bằng một lược đồ. Mỗi sự kiện xảy ra trong mỗi thử nghiệm với cùng một xác suất, không thay đổi nếu biết kết quả của các thử nghiệm trước đó. Các bài kiểm tra như vậy được gọi là độc lập và kế hoạch được gọi là Đề án Bernoulli . Giả thiết rằng các thử nghiệm như vậy có thể được lặp lại nhiều lần như mong muốn.

Nếu xác suất P Sự kiện Một là không đổi trong mỗi lần thử, thì xác suất trong N sự kiện thử nghiệm độc lập Một sẽ đến m thời gian, nằm trên Công thức Bernoulli :

(ở đâu q= 1 – P- xác suất mà sự kiện sẽ không xảy ra)

Hãy đặt nhiệm vụ - để tìm xác suất để một sự kiện thuộc loại này xảy ra N các thử nghiệm độc lập sẽ đến m Một lần.

Công thức Bernoulli: các ví dụ về giải quyết vấn đề

ví dụ 1 Tìm xác suất để trong năm bộ phận được chọn ngẫu nhiên có hai bộ phận là tiêu chuẩn, nếu xác suất để mỗi bộ phận đạt tiêu chuẩn là 0,9.

Quyết định. Xác suất sự kiện NHƯNG, bao gồm thực tế là một phần được lấy ngẫu nhiên là tiêu chuẩn, là P= 0,9 và xác suất nó không phải là tiêu chuẩn là q=1–P= 0,1. Sự kiện được chỉ ra trong điều kiện của vấn đề (chúng tôi biểu thị nó bằng TẠI) xảy ra nếu, ví dụ, hai phần đầu tiên là tiêu chuẩn và ba phần tiếp theo là không tiêu chuẩn. Nhưng sự kiện TẠI cũng xảy ra nếu phần đầu tiên và phần thứ ba là tiêu chuẩn và phần còn lại là không tiêu chuẩn, hoặc nếu phần thứ hai và thứ năm là tiêu chuẩn và phần còn lại là không tiêu chuẩn. Có những khả năng khác để sự kiện xảy ra. TẠI. Bất kỳ phần nào trong số chúng đều có đặc điểm là trong số năm phần được lấy, thì hai phần, chiếm bất kỳ vị trí nào trong số năm phần, sẽ trở thành tiêu chuẩn. Do đó, tổng số các khả năng xảy ra một sự kiện khác nhau TẠI bằng số khả năng đặt hai bộ phận tiêu chuẩn ở năm vị trí, tức là bằng với số lượng kết hợp của năm phần tử của hai, và.

Xác suất của mỗi khả năng, theo định lý nhân xác suất, bằng tích của năm yếu tố, trong đó hai yếu tố, tương ứng với sự xuất hiện của các bộ phận tiêu chuẩn, bằng 0,9, và ba yếu tố còn lại, tương ứng với sự xuất hiện của không -phần tiêu chuẩn, bằng 0,1, tức là xác suất này là. Vì mười khả năng này là các sự kiện không tương thích, nên theo định lý cộng, xác suất của một sự kiện TẠI, mà chúng tôi biểu thị

Ví dụ 2 Xác suất để máy cần sự chú ý của công nhân trong vòng một giờ là 0,6. Giả sử rằng các hư hỏng trên các máy là độc lập, hãy tìm xác suất để một trong bốn máy do anh ta bảo dưỡng trong một giờ, sự chú ý của công nhân sẽ được thực hiện.

Quyết định. Sử dụng Công thức Bernoulli tại N=4 , m=1 , P= 0,6 và q=1–P= 0,4, chúng tôi nhận được

Ví dụ 3Để hoạt động bình thường của kho xe, phải có ít nhất tám xe trực tuyến và có mười xe trong số đó. Xác suất để mỗi ô tô không thoát ra khỏi hàng đều bằng 0,1. Tìm xác suất để tổng kho hoạt động bình thường trong ngày hôm sau.

Quyết định. Autobase sẽ hoạt động tốt (sự kiện F) nếu một trong hai hoặc tám sẽ vào dòng (sự kiện NHƯNG), hoặc chín (sự kiện TẠI), hoặc tất cả mười sự kiện ô tô (sự kiện C). Theo định lý cộng xác suất,

Chúng tôi tìm thấy từng thuật ngữ theo công thức Bernoulli. Đây N=10 , m= 8; 10 và P\ u003d 1-0,1 \ u003d 0,9, kể từ P phải có nghĩa là xác suất để một chiếc ô tô đi vào hàng; sau đó q= 0,1. Kết quả là, chúng tôi nhận được

Ví dụ 4 Gọi xác suất khách hàng cần một đôi giày nam cỡ 41 là 0,25. Tìm xác suất để trong sáu người mua có ít nhất hai người cần đôi giày cỡ 41.

Cho n phép thử được thực hiện đối với sự kiện A. Hãy giới thiệu các sự kiện sau: Аk - sự kiện А được thực hiện trong bài kiểm tra thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $. Khi đó $ \ bar (A) _ (k) $ là sự kiện ngược lại (sự kiện A không xảy ra trong lần thử thứ k, $ k = 1,2, \ dot, n $).

Thử nghiệm đồng đẳng và độc lập là gì

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là cùng loại đối với sự kiện A nếu xác suất của các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ là như nhau: $ P (A1) = P (A2) = \ dot = P (An) $ (nghĩa là xác suất xảy ra sự kiện A trong một lần thử là không đổi trong tất cả các lần thử).

Rõ ràng, trong trường hợp này, xác suất của các sự kiện ngược lại cũng trùng khớp: $ P (\ bar (A) _ (1)) = P (\ bar (A) _ (2)) = ... = P (\ bar ( A) _ (n)) $.

Sự định nghĩa

Các thử nghiệm được gọi là độc lập đối với sự kiện A nếu các sự kiện $ A1, A2, \ dot, An $ độc lập.

Trong trường hợp này

Trong trường hợp này, quyền bình đẳng được bảo toàn khi bất kỳ sự kiện nào Ak được thay thế bằng $ \ bar (A) _ (k) $.

Cho một loạt n thử nghiệm độc lập tương tự được tiến hành đối với sự kiện A. Ta ký hiệu: p - xác suất của biến cố A trong một phép thử; q là xác suất của biến cố ngược lại. Do đó P (Ak) = p, $ P (\ bar (A) _ (k)) = q $ với k bất kỳ và p + q = 1.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử, sự kiện A sẽ xảy ra đúng k lần (0 ≤ k ≤ n) được tính theo công thức:

$ P_ (n) (k) = C_ (n) ^ (k) p ^ (k) q ^ (n-k) $ (1)

Đẳng thức (1) được gọi là công thức Bernoulli.

Xác suất để trong một chuỗi n phép thử độc lập của cùng một loại sự kiện A sẽ xảy ra ít nhất k1 lần và nhiều nhất k2 lần được tính bằng công thức:

$ P_ (n) (k_ (1) \ le k \ le k_ (2)) = \ sum \ limit _ (k = k_ (1)) ^ (k_ (2)) C_ (n) ^ (k) p ^ (k) q ^ (n-k) $ (2)

Việc áp dụng công thức Bernoulli cho các giá trị lớn của n dẫn đến các phép tính phức tạp, vì vậy trong những trường hợp này tốt hơn nên sử dụng các công thức khác - các công thức tiệm cận.

Tổng quát về lược đồ Bernoulli

Hãy xem xét một bản tổng quát của lược đồ Bernoulli. Nếu trong một chuỗi n phép thử độc lập, mỗi phép thử có m kết quả không tương thích từng cặp và có thể có kết quả Ak với xác suất tương ứng Рk = рk (Аk). Khi đó công thức phân phối đa thức là hợp lệ:

ví dụ 1

Xác suất mắc bệnh cúm trong thời kỳ có dịch là 0,4. Tìm xác suất để trong 6 nhân viên của công ty bị ốm.

1. chính xác là 4 nhân viên;
2. không quá 4 nhân viên.

Quyết định. 1) Rõ ràng, để giải quyết vấn đề này, công thức Bernoulli có thể áp dụng được, trong đó n = 6; k = 4; p = 0,4; q = 1-p = 0,6. Áp dụng công thức (1), ta nhận được: $ P_ (6) (4) = C_ (6) ^ (4) \ cdot 0,4 ^ (4) \ cdot 0,6 ^ (2) \ khoảng 0,138 $.

Để giải quyết vấn đề này, có thể áp dụng công thức (2), trong đó k1 = 0 và k2 = 4. Chúng ta có:

\ [\ begin (array) (l) (P_ (6) (0 \ le k \ le 4) = \ sum \ limit _ (k = 0) ^ (4) C_ (6) ^ (k) p ^ ( k) q ^ (6-k) = C_ (6) ^ (0) \ cdot 0,4 ^ (0) \ cdot 0,6 ^ (6) + C_ (6) ^ (1) \ cdot 0,4 ^ (1) \ cdot 0,6 ^ (5) + C_ (6) ^ (2) \ cdot 0,4 ^ (2) \ cdot 0,6 ^ (4) +) \\ (+ C_ (6) ^ (3) \ cdot 0,4 ^ (3) \ cdot 0,6 ^ (3) + C_ (6) ^ (4) \ cdot 0,4 ^ (4) \ cdot 0,6 ^ (2) \ khoảng 0,959.) \ end (mảng) \]

Cần lưu ý rằng nhiệm vụ này dễ giải quyết hơn khi sử dụng sự kiện ngược lại - hơn 4 nhân viên bị ốm. Sau đó, tính đến công thức (7) về xác suất của các sự kiện ngược lại, chúng ta thu được:

Trả lời: $ \ $ 0,959.

Ví dụ 2

Một bình đựng 20 viên bi trắng và 10 bi đen. 4 viên bi được lấy ra, và mỗi viên bi lấy ra được trả lại vào bình trước khi người tiếp theo được rút ra và các bóng trong bình được trộn lẫn. Tìm xác suất để trong 4 bi rút ra có 2 bi trắng như hình 1.

Bức tranh 1.

Quyết định. Giả sử biến cố A - một quả bóng màu trắng được rút ra. Khi đó các xác suất $ D (A) = \ frac (2) (3), \, \, D (\ overline (A)) = 1- \ frac (2) (3) = \ frac (1) (3) $.

Theo công thức Bernoulli, xác suất bắt buộc là $ D_ (4) (2) = N_ (4) ^ (2) \ left (\ frac (2) (3) \ right) ^ (2) \ left (\ frac (1) (3) \ right) ^ (2) = \ frac (8) (27) $.

Trả lời: $ \ frac (8) (27) $.

Ví dụ 3

Xác định xác suất để một gia đình có 5 người con, có không quá 3 bạn gái. Xác suất sinh con trai và con gái được giả định là như nhau.

Quyết định. Xác suất sinh con gái $ \ part = \ frac (1) (2), \, q = \ frac (1) (2) $ -xác suất sinh con trai. Trong một gia đình có không quá ba bé gái, nghĩa là một hoặc hai hoặc ba bé gái được sinh ra hoặc tất cả các bé trai trong gia đình.

Tìm xác suất để trong gia đình không có con gái nào sinh ra một, hai hoặc ba con gái: $ D_ (5) (0) = q ^ (5) = \ frac (1) (32) $,

\ \ \

Do đó, xác suất yêu cầu là $ D = D_ (5) (0) + D_ (5) (1) + D_ (5) (2) + D_ (5) (3) = \ frac (13) (16) $ .

Trả lời: $ \ frac (13) (16) $.

Ví dụ 4

Người bắn đầu tiên với một lần bắn có thể trúng tốp 10 với xác suất 0,6, chín với xác suất 0,3 và tốp tám với xác suất 0,1. Xác suất để với 10 lần bắn, anh ta bắn trúng mười sáu lần, chín ba lần và tám lần tám?