Điều kiện đầu tiên cho trạng thái cân bằng của một vật cứng. Tin học

Cân bằng của một hệ thống cơ học là trạng thái trong đó tất cả các điểm của hệ cơ học đều nằm yên so với hệ quy chiếu đang xét. Nếu hệ quy chiếu là quán tính thì cân bằng được gọi là tuyệt đối, nếu không quán tính - liên quan đến.

Để tìm các điều kiện cân bằng cho một vật thể cứng tuyệt đối, cần phải tinh thần chia nó thành một số lượng lớn các phần tử đủ nhỏ, mỗi phần tử có thể được biểu diễn bằng một điểm vật chất. Tất cả các yếu tố này tương tác với nhau - những lực tương tác này được gọi là nội bộ. Ngoài ra, ngoại lực có thể tác động lên một số điểm của cơ thể.

Theo định luật thứ hai của Newton, để gia tốc của một điểm bằng không (và gia tốc của một điểm dừng bằng không), thì tổng hình học của các lực tác dụng lên điểm đó phải bằng không. Nếu cơ thể ở trạng thái nghỉ, thì tất cả các điểm (phần tử) của nó cũng ở trạng thái nghỉ. Do đó, đối với bất kỳ điểm nào trên cơ thể, chúng ta có thể viết:

ở đâu là tổng hình học của tất cả các lực bên ngoài và bên trong tác dụng lên tôi phần tử thứ của cơ thể.

Phương trình có nghĩa là đối với trạng thái cân bằng của một vật, cần và đủ rằng tổng hình học của tất cả các lực tác dụng lên bất kỳ phần tử nào của vật này bằng không.

Từ đó dễ dàng có được điều kiện đầu tiên cho trạng thái cân bằng của một cơ thể (hệ thống các cơ thể). Để làm điều này, chỉ cần tính tổng phương trình trên tất cả các phần tử của phần thân là đủ:

.

Tổng thứ hai bằng không theo định luật thứ ba của Newton: tổng vectơ của tất cả các nội lực của hệ bằng không, vì bất kỳ nội lực nào cũng tương ứng với một lực có giá trị tuyệt đối và ngược hướng.

Vì thế,

.

Điều kiện đầu tiên cho trạng thái cân bằng của một vật cứng(hệ thống cơ thể) là bằng không của tổng hình học của tất cả các lực bên ngoài tác dụng lên vật thể.

Điều kiện này là cần nhưng chưa đủ. Có thể dễ dàng xác minh điều này bằng cách nhớ chuyển động quay của một cặp lực, tổng hình học của lực này cũng bằng không.

Điều kiện thứ hai cho trạng thái cân bằng của một vật cứng là bằng không của tổng các mômen của tất cả các lực bên ngoài tác dụng lên vật thể, so với bất kỳ trục nào.

Do đó, các điều kiện cân bằng của một vật cứng trong trường hợp có một số ngoại lực tùy ý trông như sau:

.

Tin học là một nhánh của cơ học nghiên cứu sự cân bằng của các cơ thể. Tin học cho phép bạn xác định các điều kiện cho trạng thái cân bằng của các cơ thể và trả lời một số câu hỏi liên quan đến chuyển động của các cơ thể, chẳng hạn, đưa ra câu trả lời về hướng chuyển động xảy ra nếu sự cân bằng bị xáo trộn. Điều đáng để quan sát xung quanh và bạn sẽ nhận thấy rằng hầu hết các cơ thể đều ở trạng thái cân bằng - chúng đang chuyển động với tốc độ không đổi hoặc ở trạng thái nghỉ. Kết luận này có thể được rút ra từ các định luật Newton.

Một ví dụ là bản thân người đó, một bức tranh treo trên tường, cần cẩu, các công trình kiến ​​trúc khác nhau: cầu, vòm, tháp, cao ốc. Các cơ quan xung quanh chúng ta chịu tác động của một số loại lực. Một số lực khác nhau tác dụng lên vật thể, nhưng nếu chúng ta tìm được lực tạo thành, đối với vật thể ở trạng thái cân bằng, nó sẽ bằng không.
Phân biệt:

• trạng thái cân bằng tĩnh - cơ thể ở trạng thái nghỉ ngơi;
• cân bằng động - vật chuyển động với tốc độ không đổi.

cân bằng tĩnh. Nếu các lực F1, F2, F3, v.v. tác dụng lên vật thì yêu cầu chính để tồn tại trạng thái cân bằng là (trạng thái cân bằng). Đây là một phương trình vectơ trong không gian 3D và đại diện cho ba phương trình riêng biệt, mỗi phương trình cho mỗi hướng trong không gian. .

Hình chiếu của tất cả các lực tác dụng lên vật theo bất kỳ phương nào đều phải được bù trừ, nghĩa là tổng đại số của các hình chiếu của tất cả các lực theo phương bất kỳ phải bằng 0.

Khi tìm thấy hợp lực, bạn có thể chuyển tất cả các lực và đặt điểm tác dụng của chúng tại tâm khối lượng. Khối tâm là điểm được dùng để mô tả chuyển động của một vật hoặc một hệ thống các hạt nói chung, đặc trưng cho sự phân bố của các khối lượng trong vật thể.

Trong thực tế, chúng ta rất hay gặp trường hợp đồng thời chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay: thùng lăn xuống mặt phẳng nghiêng, đôi nhảy. Với một chuyển động như vậy, một điều kiện cân bằng là không đủ.

Điều kiện cân bằng cần thiết trong trường hợp này sẽ là:

Trong thực tế và cuộc sống đóng một vai trò quan trọng ổn định cơ thểđặc trưng cho sự cân bằng.

Có các loại số dư:

• Cân bằng ổn định;
• Trạng thái cân bằng không ổn định;
• Số dư không quan tâm.

cân bằng bền vững- đây là trạng thái cân bằng, khi, với một độ lệch nhỏ so với vị trí cân bằng, một lực sinh ra làm cho nó trở lại trạng thái cân bằng (con lắc của đồng hồ đang dừng, quả bóng quần vợt lăn vào một lỗ, một con lắc-poly hoặc con lật đật, vải lanh trên một sợi dây đang ở trạng thái cân bằng bền).

Trạng thái cân bằng không ổn định- Đây là trạng thái khi vật sau khi ra khỏi vị trí cân bằng lại càng lệch ra khỏi vị trí cân bằng do lực tác dụng (quả bóng tennis đặt trên mặt phẳng lồi).

Số dư không quan trọng- Ở trạng thái tự nhiên, cơ thể không thay đổi vị trí sau khi rời khỏi trạng thái cân bằng (quả bóng tennis nằm trên bàn, bức tranh trên tường, kéo, thước treo trên hoa cẩm chướng đều ở trạng thái không quan tâm. cân bằng). Trục quay và trọng tâm giống nhau.

Đối với hai cơ thể, cơ thể sẽ ổn định hơn, có dấu chân lớn hơn.

Một vật ở trạng thái dừng (hoặc chuyển động thẳng đều và thẳng hàng) nếu tổng vectơ của tất cả các lực tác dụng lên nó bằng không. Các lực được cho là cân bằng lẫn nhau. Khi chúng ta xử lý một vật thể có hình dạng hình học nhất định, khi tính lực kết quả, tất cả các lực đều có thể tác dụng lên khối tâm của vật thể đó.

Điều kiện cho trạng thái cân bằng của các cơ thể

Để một vật không quay ở trạng thái cân bằng, thì công của tất cả các lực tác dụng lên nó phải bằng không.

F → = F 1 → + F 2 → +. . + F n → = 0.

Hình trên mô tả trạng thái cân bằng của một vật cứng. Khối ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của ba lực tác dụng lên nó. Đường tác dụng của các lực F 1 → và F 2 → cắt nhau tại điểm O. Điểm tác dụng của trọng lực là khối tâm của vật C. Các điểm này nằm trên một đường thẳng, và khi tính lực F 1 →, F 2 → và m g → được giảm xuống điểm C.

Điều kiện là kết quả của tất cả các lực bằng 0 là không đủ nếu vật thể có thể quay quanh một số trục.

Vai của lực d là độ dài của đường vuông góc vẽ từ đường tác dụng của lực đến điểm tác dụng của lực. Mômen của lực M là tích của cánh tay đòn và môđun của nó.

Mômen của lực có xu hướng làm quay vật quanh trục của nó. Những khoảnh khắc làm quay cơ thể ngược chiều kim đồng hồ được coi là tích cực. Đơn vị đo mômen của lực trong hệ SI quốc tế là 1 Newton mét.

Sự định nghĩa. quy tắc thời điểm

Nếu tổng đại số của tất cả các mômen tác dụng lên vật so với trục quay cố định bằng 0 thì vật ở trạng thái cân bằng.

M1 + M2 +. . + M n = 0

Quan trọng!

Trong trường hợp tổng quát, để các vật ở trạng thái cân bằng, phải đáp ứng hai điều kiện: lực tác dụng bằng 0 và tuân theo quy luật mômen.

Có nhiều dạng cân bằng khác nhau trong cơ học. Do đó, sự phân biệt được thực hiện giữa ổn định và không ổn định, cũng như trạng thái cân bằng không quan tâm.

Một ví dụ điển hình của trạng thái cân bằng không quan tâm là một bánh xe lăn (hoặc quả bóng), nếu dừng lại ở bất kỳ điểm nào, nó sẽ ở trạng thái cân bằng.

Trạng thái cân bằng ổn định là trạng thái cân bằng của một cơ thể khi với những sai lệch nhỏ của nó, các lực hoặc mômen lực xuất hiện có xu hướng đưa cơ thể trở lại trạng thái cân bằng.

Trạng thái cân bằng không bền - trạng thái cân bằng, với độ lệch nhỏ mà lực và mômen của lực có xu hướng đưa cơ thể mất cân bằng nhiều hơn.

Trong hình trên, vị trí của quả cầu là (1) - trạng thái cân bằng không quan tâm, (2) - trạng thái cân bằng không bền, (3) - trạng thái cân bằng bền.

Một vật có trục quay cố định có thể ở bất kỳ vị trí cân bằng nào đã mô tả. Nếu trục quay đi qua khối tâm thì cân bằng vô cực. Ở trạng thái cân bằng bền và không bền, khối tâm nằm trên đường thẳng đứng đi qua trục quay. Khi khối tâm ở dưới trục quay thì cân bằng bền. Nếu không, ngược lại.

Một trường hợp cân bằng đặc biệt là trạng thái cân bằng của một vật trên một giá đỡ. Trong trường hợp này, lực đàn hồi được phân bổ trên toàn bộ cơ sở của cơ thể, và không truyền qua một điểm. Một vật đang ở trạng thái cân bằng khi một đường thẳng đứng vẽ qua khối tâm cắt khu vực hỗ trợ. Ngược lại, nếu đường từ tâm khối lượng không rơi vào đường bao được tạo thành bởi các đường nối các điểm hỗ trợ, thì cơ thể sẽ bị lật.

Một ví dụ về sự cân bằng của một cơ thể trên một giá đỡ là Tháp nghiêng Pisa nổi tiếng. Theo truyền thuyết, Galileo Galilei đã đánh rơi những quả bóng từ nó khi ông thực hiện thí nghiệm của mình về nghiên cứu sự rơi tự do của các vật thể.

Một đường vẽ từ khối tâm của tháp cắt phần đế cách tâm của nó khoảng 2,3 m.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Tính toán tĩnh của kết cấu kỹ thuật trong nhiều trường hợp được rút gọn thành việc xem xét các điều kiện cân bằng của kết cấu từ một hệ thống các cơ quan được kết nối bằng một số loại liên kết. Các kết nối kết nối các bộ phận của cấu trúc này sẽ được gọi là nội bộ không giống bên ngoài các kết nối gắn chặt cấu trúc với các phần thân không có trong nó (ví dụ: với các giá đỡ).

Nếu, sau khi loại bỏ các liên kết bên ngoài (giá đỡ), kết cấu vẫn cứng, thì các vấn đề về tĩnh điện được giải quyết cho nó như đối với một cơ thể hoàn toàn cứng. Tuy nhiên, có thể có những cấu trúc kỹ thuật như vậy, sau khi loại bỏ các liên kết bên ngoài, nó không còn cứng nhắc. Một ví dụ về thiết kế như vậy là một vòm ba bản lề. Nếu các giá đỡ A và B bị loại bỏ, thì vòm sẽ không cứng: các bộ phận của nó có thể quay xung quanh bản lề C.

Dựa trên nguyên lý đông đặc, hệ thống lực tác dụng lên kết cấu đó ở trạng thái cân bằng phải thỏa mãn các điều kiện cân bằng của vật rắn. Nhưng những điều kiện này, như đã được chỉ ra, trong khi cần thiết, sẽ không đủ; do đó, không thể xác định tất cả các đại lượng chưa biết từ chúng. Để giải quyết vấn đề, cần phải xem xét thêm sự cân bằng của một hoặc nhiều bộ phận của kết cấu.

Ví dụ, biên soạn các điều kiện cân bằng cho các lực tác dụng lên một vòm ba bản lề, chúng ta nhận được ba phương trình với bốn ẩn số X A, Y A, X B, Y B . Sau khi xem xét thêm các điều kiện cân bằng cho nửa bên trái (hoặc bên phải) của nó, chúng ta thu được thêm ba phương trình chứa hai ẩn số mới X C, Y C, trong bộ lễ phục. 61 không được hiển thị. Giải hệ gồm sáu phương trình, chúng ta tìm thấy tất cả sáu ẩn số.

14. Các trường hợp đặc biệt giảm hệ thống lực trong không gian

Nếu khi giảm hệ lực thành trục vít động, mômen chính của lực đẩy biến ra bằng 0 và vectơ chính khác 0, thì điều này có nghĩa là hệ lực giảm xuống thành quả , và trục trung tâm là đường hành động của kết quả này. Chúng ta hãy tìm hiểu điều kiện nào, liên quan đến vectơ chính Fp và mômen chính M 0, điều này có thể là gì. Vì mômen chính M * bằng thành phần của mômen chính M 0 hướng dọc theo vectơ chính, nên trường hợp đang xét M * \ u003d O có nghĩa là mômen chính M 0 vuông góc với vectơ chính, tức là / 2 \ u003d Fo * M 0 \ u003d 0. Điều này trực tiếp ngụ ý rằng nếu vectơ chính F 0 không bằng 0 và bất biến thứ hai bằng 0, Fo ≠ O, / 2 = F 0 * M 0 = 0, (7.9) thì được coi là hệ thống được giảm xuống một kết quả.

Đặc biệt, nếu với bất kỳ tâm giảm nào F 0 ≠ 0, và M 0 = 0, thì điều này có nghĩa là hệ lực bị giảm thành kết quả, đi qua tâm giảm này; Trong trường hợp này, điều kiện (7.9) cũng sẽ được thỏa mãn Chúng ta hãy khái quát định lý về thời điểm của kết quả (định lý Varignon) được trình bày trong Chương V cho trường hợp của một hệ lực trong không gian. Nếu hệ thống không gian. lực giảm xuống thành quả, khi đó mômen của kết quả đối với một điểm tùy ý bằng tổng hình học của các mômen của tất cả các lực đối với cùng một điểm. P
để hệ thống lực có kết quả là R và một điểm O nằm trên dòng hành động của kết quả này. Nếu ta đưa hệ lực đã cho về điểm này thì ta được mômen chính bằng không.
Hãy để chúng tôi lấy một số trung tâm tham chiếu khác O1; (7.10) C
Mặt khác, dựa vào công thức (4.14) ta có Mo1 = Mo + Mo1 (Fo), (7.11) vì М 0 = 0. So sánh biểu thức (7.10) và (7.11) và tính đến trường hợp này là F 0 = R, ta được (7.12).

Vì vậy, các định lý được chứng minh.

Để tại bất kỳ lựa chọn nào của tâm giảm Fo = O, M ≠ 0. Vì vectơ chính không phụ thuộc vào tâm giảm nên nó bằng 0 đối với bất kỳ lựa chọn nào khác về tâm giảm. Do đó, mômen chính cũng không thay đổi cùng với sự thay đổi của tâm giảm, và do đó, trong trường hợp này, hệ lực được giảm thành một cặp lực có mômen bằng M0.

Bây giờ chúng ta hãy lập một bảng về tất cả các trường hợp có thể có của sự giảm hệ thống lực trong không gian:

Nếu tất cả các lực nằm trong cùng một mặt phẳng, ví dụ, trong mặt phẳng Ohu thì các phép chiếu của chúng trên trục G và những khoảnh khắc về các trục X và tại sẽ bằng không. Do đó, Fz = 0; Mox = 0, Moy = 0. Đưa các giá trị này vào công thức (7.5), ta thấy rằng bất biến thứ hai của hệ lực phẳng bằng 0. Ta thu được kết quả tương tự đối với hệ không gian của các lực song song. Thật vậy, cho tất cả các lực song song với trục z. Sau đó, các hình chiếu của chúng trên các trục X và tại và các mô men về trục z sẽ bằng 0. Fx = 0, Fy = 0, Moz = 0

Trên cơ sở những gì đã chứng minh, có thể lập luận rằng hệ lực phẳng và hệ lực song song không giảm thành trục vít động.

11. Cân bằng cơ thể khi có ma sát trượt Nếu hai vật thể / và // (Hình 6.1) tương tác với nhau, chạm vào một điểm NHƯNG, thì luôn luôn là phản ứng R A, tác động, ví dụ, từ phía bên của cơ thể // và được tác động lên cơ thể /, có thể bị phân hủy thành hai thành phần: N.4, hướng dọc theo pháp tuyến chung đến bề mặt của các cơ thể tiếp xúc tại điểm L và T 4, nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến. Thành phần N.4 được gọi là phản ứng bình thường, lực T l được gọi là lực ma sát trượt - nó ngăn chặn "trượt của cơ thể / qua cơ thể //. Phù hợp với tiên đề 4 (Định luật 3 Newton) lên vật // tính từ phía bên của vật / có phản lực có độ lớn bằng nhau và ngược chiều nhau. Thành phần của nó vuông góc với mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là lực của áp suất pháp tuyến. Như đã nói ở trên, lực ma sát T NHƯNG = Ồ, nếu bề mặt giao phối hoàn toàn nhẵn. Trong điều kiện thực tế, bề mặt gồ ghề và trong nhiều trường hợp không thể bỏ qua lực ma sát. 6.2, một.Đối với phần thân 5, nằm trên một tấm cố định D, được gắn một sợi chỉ ném qua khối C, đầu tự do của nó được cung cấp một bệ đỡ NHƯNG. Nếu pad NHƯNG dần dần tải, sau đó với sự tăng lên của tổng trọng lượng của nó, sức căng của chỉ sẽ tăng S, có xu hướng di chuyển cơ thể sang phải. Tuy nhiên, miễn là tổng tải trọng không quá lớn, lực ma sát T sẽ giữ cơ thể TẠIở phần còn lại. Trên hình. 6.2, b mô tả hành động trên cơ thể TẠI lực, và P là trọng lực, và N là phản lực pháp tuyến của tấm D. Nếu tải không đủ để phá vỡ phần còn lại, các phương trình cân bằng sau là hợp lệ: N- P = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2). Từ đây mà N = Pvà T = S. Như vậy, trong khi vật ở trạng thái nghỉ, lực ma sát vẫn bằng lực căng của sợi S. Kí hiệu bằng Tmax lực ma sát tại thời điểm quan trọng của quá trình tải, khi cơ thể TẠI mất thăng bằng và bắt đầu trượt trên tấm sàn D. Do đó, nếu vật ở trạng thái cân bằng thì T≤Tmax. T tối đa phụ thuộc vào các đặc tính của vật liệu mà từ đó các cơ thể được tạo ra, tình trạng của chúng (ví dụ, vào bản chất của việc xử lý bề mặt), cũng như độ lớn của áp suất thông thường. N. Theo kinh nghiệm cho thấy, lực ma sát tối đa tỷ lệ thuận với áp suất thông thường, tức là e. có một sự bình đẳng Tmax= fN. (6.4). Mối quan hệ này được gọi là Định luật Amonton-Coulomb. Hệ số không thứ nguyên / được gọi là hệ số ma sát trượt. Theo kinh nghiệm, nó giá trị trong một phạm vi rộng không phụ thuộc vào diện tích của các bề mặt tiếp xúc, nhưng phụ thuộc vào vật liệu và mức độ gồ ghề của các bề mặt tiếp xúc. Các giá trị của hệ số ma sát được thiết lập theo kinh nghiệm và có thể được tìm thấy trong các bảng tham chiếu. Bất đẳng thức "(6.3) bây giờ có thể được viết là T≤fN (6.5) Trường hợp đẳng thức nghiêm ngặt trong (6.5) tương ứng với giá trị lớn nhất của lực ma sát. Điều này có nghĩa là lực ma sát có thể được tính bằng công thức T = fN chỉ trong những trường hợp được biết trước là có trường hợp nguy cấp. Trong tất cả các trường hợp khác, lực ma sát phải được xác định từ các phương trình cân bằng. Chúng ta sẽ giả định rằng do tác dụng của lực chủ động và phản lực, cơ thể ở trạng thái cân bằng giới hạn. Trên hình. 6,6, một Phản lực giới hạn R và các thành phần N và T max được biểu diễn (ở vị trí như hình vẽ bên, lực tác dụng có xu hướng chuyển vật sang phải, lực ma sát cực đại T max hướng sang trái). Mũi tiêm f giữa phản ứng giới hạn R và pháp tuyến đối với bề mặt được gọi là góc ma sát. Cùng tìm góc này nhé. Từ hình 6.6, nhưng chúng ta có tgφ \ u003d Tmax / N hoặc, sử dụng biểu thức (6.4), tgφ \ u003d f (6-7)

cả hai đại lượng đã cho).