Phương trình vi phân với độ trễ không đổi. Phương trình trạng thái của các đối tượng động có độ trễ

Các vấn đề đối với phương trình có độ trễ. Xem xét một bài toán biến phân trong đó điều khiển xác định quỹ đạo pha của hệ thống bằng bài toán Cauchy cho phương trình có trễ

Trong y văn, những hệ như vậy thường được gọi là hệ phương trình đồng thời, nghĩa là ở đây biến phụ thuộc của một phương trình có thể xuất hiện đồng thời dưới dạng một biến (nhưng đã là một biến độc lập) trong một hoặc nhiều phương trình khác. Trong trường hợp này, sự phân biệt truyền thống giữa các biến phụ thuộc và độc lập mất đi ý nghĩa của nó. Thay vào đó, sự phân biệt được thực hiện giữa hai loại biến. Trước hết, đây là các biến phụ thuộc lẫn nhau (nội sinh), ảnh hưởng của chúng lên nhau phải được khảo sát (ma trận A trong thuật ngữ Ay t) của hệ phương trình trên). Thứ hai, các biến xác định trước được cho là sẽ ảnh hưởng đến những biến đầu tiên, nhưng không bị ảnh hưởng bởi chúng, là các biến trễ, tức là lag (số hạng thứ hai) và các biến ngoại sinh xác định bên ngoài hệ phương trình đã cho.

Tuy nhiên, đối với các phương trình có các dạng trễ tổng quát và đặc điểm kỹ thuật phần dư ít nhiều sâu rộng, vẫn không có kết quả đủ tin cậy về các thuộc tính của ước lượng. Do đó, các ước lượng cho một phương trình hồi quy có dạng đa thức tổng quát của độ trễ chỉ có thuộc tính nhất quán và các ước lượng cho các phương trình có các biến ngoại sinh và nội sinh tụt hậu thu được bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất ba bước (với sự hiện diện của một- trật tự tự tương quan dư Markov) thậm chí không có tính chất này (xem Hình. phân tích các cấp trong).

Do đó, khi tổng hợp các hệ thống tốc độ cao với mức độ ổn định tối đa, trước tiên cần xác định các giá trị tối ưu của bj đảm bảo thỏa mãn điều kiện (4), ng và ω, (1 = 1, n), sau đó tìm с /, tại (10) và cuối cùng, từ điều kiện (12) với một giá trị cho trước của C, chọn dj. Nhận xét. Từ các trường hợp đã xét, ta thấy cấu trúc của các nghiệm tối ưu, tức là số lượng các cặp liên hợp thực và phức của các căn cực biên, tổ hợp của chúng, các phép nhân và hệ quả là các dạng hodograph của các nghiệm tối ưu trong X. mặt phẳng, phụ thuộc vào thứ nguyên của điều khiển m (1.2) và, đối với các bậc đủ cao hơn n (1.1) không phụ thuộc vào giá trị của chính n. Nói cách khác, mỗi m cho trước tương ứng với số cấu trúc xác định rõ của chính nó of tối ưu giải pháp tối ưu mới giải pháp tối ưu. Do đó, đối với n -> QO, khả năng tổng hợp các hệ có mức độ ổn định lớn nhất vẫn còn, cấu trúc của nghiệm tối ưu chỉ được xác định bởi m, có nghĩa là với m bất kỳ, cấu trúc của nghiệm tối ưu cũng được biết đến đối với các đối tượng có trì hoãn.

Câu hỏi đặt ra là làm thế nào để xác định giá trị của độ trễ thời gian cho từng chỉ số Để xác định độ trễ thời gian thích hợp, chúng tôi sử dụng phân tích tương quan của chuỗi dữ liệu theo thời gian. Tiêu chí chính để xác định độ trễ thời gian là giá trị lớn nhất của hệ số tương quan chéo đối với chuỗi thời gian của các chỉ tiêu có thời gian trễ khác nhau về tác động của chúng đến tỷ lệ lạm phát. Kết quả là, phương trình sẽ có dạng sau

Ngoài ra, phương pháp S. d. Cho phép bạn kết nối, trong khuôn khổ của một mô hình, nhiều luồng (vật lý. Kiểm soát và thông tin) và các mức đầu tư vốn và xử lý vốn tích lũy các luồng này với mức cơ bản. vốn, tỷ lệ sinh và tử ở các nhóm tuổi khác nhau với cấu trúc tuổi của dân số, v.v. -rykh cho mình một nghiên cứu thực nghiệm khá đơn giản về tính ổn định phụ thuộc vào các thông số và cấu trúc của chính mô hình.

Các quy tắc cũng có thể được nhóm theo các tiêu chí khác. Ví dụ, theo công cụ chính sách tiền tệ (tỷ giá hối đoái, lãi suất hoặc tổng hợp tiền tệ) theo sự hiện diện của các quan hệ kinh tế đối ngoại (nền kinh tế mở hoặc đóng) theo việc đưa dự báo các biến số kinh tế vào phương trình của quy luật ( các quy tắc tương lai và thích ứng) theo mức độ trễ (có hoặc không có độ trễ), v.v.

Mô hình này, có tính đến thời gian bay của đạn và độ trễ trong việc chuyển lửa, có thể tính đến độ trễ trong hệ thống cảnh báo sớm cuộc tấn công bằng tên lửa của đối phương và hệ thống giám sát vũ trụ đối với tên lửa hạt nhân của nó. các lực lượng. Mô hình này được xác định bởi các phương trình

Khối trì hoãn liên tục BPZ-2M được thiết kế để tái tạo các chức năng với đối số trễ trong các thiết bị tính toán tương tự và có thể được sử dụng trong mô hình điện của các quá trình liên quan đến việc vận chuyển vật chất hoặc truyền năng lượng, khi tính gần đúng các phương trình của các đối tượng đa năng phức tạp bằng phương trình bậc nhất và bậc hai có trễ.

Các chức năng quyết định là một công thức của một đường dẫn xác định cách thức thông tin sẵn có về các mức dẫn đến việc lựa chọn các quyết định liên quan đến các giá trị của tốc độ dòng chảy hiện tại. Hàm nghiệm có thể ở dạng một phương trình đơn giản xác định phản ứng đơn giản nhất của dòng vật chất đối với các trạng thái của một hoặc hai cấp (ví dụ: hiệu suất của hệ thống vận tải thường có thể được biểu thị đầy đủ bằng số lượng hàng hóa đang vận chuyển. , là một mức và một hằng số - độ trễ trung bình cho thời gian vận chuyển). Mặt khác, hàm quyết định có thể là một chuỗi tính toán dài và chi tiết được thực hiện có tính đến những thay đổi trong một số điều kiện bổ sung.

Hiện tại, người ta vẫn chưa hoàn toàn rõ nguyên nhân chính dẫn đến sự vắng mặt của tảo cát ở Baikal trong thời gian lạnh giá. Trong [Grachev và cộng sự, 1997], sự gia tăng độ đục của nước do hoạt động của các sông băng trên núi được coi là quyết định, trong [Gavshin và cộng sự, 1998], nguyên nhân chính là sự giảm nồng độ silic do xói mòn phai màu. trong lưu vực thoát nước Baikal. Việc sửa đổi mô hình (2.6.7), trong đó phương trình đầu tiên mô tả động lực học của nồng độ silic, và phương trình thứ hai - động lực học của quá trình lắng cặn các chất lơ lửng, cho phép chúng tôi đề xuất một cách tiếp cận để xác định yếu tố nào trong hai yếu tố này là chính. . Rõ ràng rằng, do khối lượng nước khổng lồ, quần thể sinh vật của Baikal sẽ phản ứng với biến đổi khí hậu với một số chậm trễ so với phản ứng của các cộng đồng thực vật trong lưu vực thoát nước của hồ. Do đó, tín hiệu tảo cát phải tụt hậu so với tín hiệu palynological. Nếu lý do chính dẫn đến sự biến mất của tảo cát trong thời kỳ lạnh giá là sự giảm nồng độ của silic, thì sự chậm trễ như vậy đối với phản ứng nóng lên sẽ lớn hơn sự chậm trễ đối với việc làm lạnh. Mặt khác, nếu yếu tố chính trong việc ngăn chặn tảo cát là độ đục do các sông băng, thì độ trễ của các phản ứng đối với việc làm lạnh phải xấp xỉ bằng hoặc thậm chí lớn hơn so với sự ấm lên.

Phương trình cuối cùng, như người đọc có thể nhận thấy, mô tả hoạt động của cơ chế tự điều chỉnh đơn giản nhất với độ trễ tương ứng. Phụ lục A cung cấp một sơ đồ khối hiển thị

Thủ tục PERRON97 trong trường hợp này xác định ngày nghỉ là 1999 07, nếu việc lựa chọn ngày nghỉ được thực hiện theo thống kê tối thiểu - của tiêu chí gốc đơn vị ta = i, được tính trên tất cả các điểm ngắt có thể có. Đồng thời, ta = = - 3,341, cao hơn 5% mức tới hạn - 5,59, và giả thuyết căn đơn vị không bị bác bỏ. Độ trễ lớn nhất của các khác biệt nằm trong vế phải của phương trình được chọn là 12 trong khuôn khổ áp dụng quy trình GS để giảm mô hình với mức ý nghĩa 10%.

GIỚI THIỆU

Bộ giáo dục Liên bang Nga

Tổ chức Giáo dục Quốc tế "Open Education"

Đại học Kinh tế, Thống kê và Tin học Moscow State

ANO "Viện mở Á-Âu"

E.A. Gevorkyan

Trì hoãn phương trình vi phân

Sách giáo khoa Hướng dẫn nghiên cứu ngành học

Tuyển tập các nhiệm vụ cho môn học Giáo trình cho môn học

Matxcova 2004

Gevorkyan E.A. CÁC YÊU CẦU KHÁC NHAU VỚI BIỆN LUẬN BỊ TRẢ LỜI: Giáo trình, hướng dẫn nghiên cứu môn học, tuyển tập các nhiệm vụ cho môn học, giáo trình cho môn học / Trường Đại học Kinh tế, Thống kê và Tin học Moscow State - M .: 2004. - 79 tr.

Gevorkyan E.A., 2004

Đại học Kinh tế, Thống kê và Tin học Moscow, 2004

Hướng dẫn
Giới thiệu: ................................................... ...................................................... .............................
1.1 Phân loại phương trình vi phân với
lập luận lệch lạc. Phát biểu vấn đề ban đầu ............................................. ..................
1.2 Phương trình vi phân với đối số chậm. Phương pháp bước. ........
1.3 Phương trình vi phân có phân tách được
các biến và với một đối số trễ ............................................ ..................
1.4 Phương trình vi phân tuyến tính có đối số chậm ..................................
1.5 Phương trình vi phân Bernoulli với đối số chậm. ...............
1.6 Phương trình vi phân trong tổng vi phân
với đối số bị trì hoãn ................................................... .................................. ...................
CHƯƠNG II. Các nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính
với đối số bị trì hoãn ................................................... .................................. ...................
2.1. Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
với hệ số không đổi và với đối số trễ .......................................... ....
2.2. Các giải pháp tuần hoàn của vi phân tuyến tính không đồng nhất
..................
2.3. Dạng phức tạp của chuỗi Fourier ........................................... ... ...
2.4. Tìm một giải pháp định kỳ cụ thể của không đồng nhất tuyến tính
phương trình vi phân với hệ số không đổi và chậm phát triển
biện luận bằng cách khai triển vế phải của phương trình trong một chuỗi Fourier ..................................... ..............................
CHƯƠNG III. Các phương pháp gần đúng để giải phương trình vi phân
với đối số bị trì hoãn ................................................... .................................. ...................
3.1. Phương pháp mở rộng gần đúng cho một hàm không xác định
với đối số bị trì hoãn theo mức độ chậm trễ ........................................... ....................... ........
3.2. Phương pháp Poincaré gần đúng. ... ...............................
CHƯƠNG IV. Trì hoãn phương trình vi phân,
xuất hiện trong giải pháp của một số vấn đề kinh tế
có tính đến độ trễ thời gian .............................................. .................. ................. ...............

4.1. Chu kỳ kinh tế của Koletsky. Phương trình vi phân

với đối số theo sau mô tả sự thay đổi

vốn tiền mặt tồn kho .............................................. .................................. ............... .......
4.2. Phương trình đặc trưng. Trường hợp của thực
nghiệm của phương trình đặc trưng ............................................. .................. ....
4.3. Trường hợp nghiệm nguyên phức của phương trình đặc trưng ......................................... .........
4.4. Phương trình vi phân trễ,
(tỷ trọng tiêu dùng so với thu nhập quốc dân) .......................................... .... ..........
4.5. Phương trình vi phân trễ,
mô tả động lực của thu nhập quốc dân trong các mô hình có độ trễ
(tiêu dùng tăng theo cấp số nhân với tốc độ tăng trưởng) .......................................... ........................ .........
Văn chương................................................. ... .....................

Hướng dẫn Nghiên cứu Kỷ luật
2. Danh sách các chủ đề chính .............................................. ... .. ......
2.1. Chủ đề 1. Các khái niệm và định nghĩa cơ bản. Phân loại
phương trình vi phân với đối số lệch.
Trễ phương trình vi phân. ...
2.2. Chủ đề 2. Nêu vấn đề ban đầu. Phương pháp bước giải pháp
phương trình vi phân với đối số chậm. Các ví dụ ...
2.3. Chủ đề 3. Phương trình vi phân có tách được
các biến và với các đối số bị trì hoãn. Các ví dụ. ... .
2.4. Chủ đề 4. Phương trình vi phân tuyến tính
2.5. Chủ đề 5. Phương trình vi phân Bernoulli
với một đối số trì hoãn. Các ví dụ. ... ..............................
2.6. Chủ đề 6. Phương trình vi phân trong tổng sai phân
với một đối số trì hoãn. Điều kiện cần và đủ. Ví dụ ............
2.7. Chủ đề 7. Nghiệm tuần hoàn của vi phân tuyến tính thuần nhất
phương trình với hệ số không đổi và với một đối số chậm.
2.8. Chủ đề 8. Nghiệm tuần hoàn của vi phân tuyến tính không thuần nhất
phương trình với hệ số không đổi và với một đối số chậm.
Các ví dụ. ... ...................................................... ...............................
2.9. Chủ đề 9. Dạng phức của chuỗi Fourier. Tìm một định kỳ riêng tư
nghiệm của phương trình không thuần nhất tuyến tính với hệ số không đổi và với
lập luận chậm bằng cách mở rộng vế phải của phương trình thành một chuỗi Fourier.
Các ví dụ. ... ...................................................... ...............................
2.10. Chủ đề 10. Nghiệm gần đúng của phương trình vi phân với
phương pháp đối số bị trì hoãn để phân rã một hàm từ độ trễ
theo mức độ chậm trễ. Các ví dụ ... ......................................
2.11. Chủ đề 11. Phương pháp Poincare gần đúng để tìm một tuần hoàn
nghiệm của phương trình vi phân chuẩn tính với một tham số nhỏ và
với một đối số trì hoãn. Các ví dụ. ... ..............................

2.12. Chủ đề 12. Chu kỳ kinh tế của Koletsky. Phương trình vi phân

với đối số trễ cho hàm K (t), hiển thị lượng tiền mặt

vốn cố định tại thời điểm t ... ... ...
2.13. Chủ đề 13. Phân tích phương trình đặc trưng ứng với
phương trình vi phân của hàm K (t). ... ............
2,14. Chủ đề 14. Trường hợp nghiệm phức của phương trình đặc trưng
(ρ = α ± ιω )..................................................................................................................................
2,15. Chủ đề 15. Phương trình vi phân của hàm số y (t), biểu diễn
hàm tiêu dùng có dạng c (t -τ) = (1 - α) y (t -τ), trong đó α là tốc độ không đổi
tích lũy sản xuất ... .............. ............
2,16. Chủ đề 16. Phương trình vi phân của hàm số y (t), biểu diễn
thu nhập quốc dân trong các mô hình có vốn đầu tư chậm, với điều kiện
hàm tiêu dùng có dạng c (t - τ) = c (o) e r (t - τ) ........................... ... .................................
Tổng hợp các nhiệm vụ cho ngành học ............................................ ...
Chương trình giảng dạy theo ngành học ................................................... .................................. ....

Hướng dẫn

GIỚI THIỆU

Giới thiệu

Hướng dẫn này dành cho việc trình bày các phương pháp tích phân phương trình vi phân với đối số chậm gặp trong một số bài toán kinh tế và kỹ thuật.

Các phương trình trên thường mô tả bất kỳ quá trình nào có hậu quả (các quá trình có độ trễ, có thời gian trễ). Ví dụ, khi trong quá trình đang nghiên cứu, giá trị của đại lượng mà chúng ta quan tâm tại thời điểm t phụ thuộc vào giá trị x tại thời điểm t-τ, trong đó τ là độ trễ thời gian (y (t) = f). Hoặc, khi giá trị của đại lượng y tại thời điểm t phụ thuộc vào giá trị của đại lượng đó tại thời điểm

ít hơn t-τ (y (t) = f).

Các quá trình được mô tả bằng phương trình vi phân chậm phát triển được tìm thấy trong cả khoa học kinh tế và tự nhiên. Nói cách thứ hai, điều này là do sự tồn tại của độ trễ thời gian trong hầu hết các mắt xích của chu kỳ sản xuất xã hội và sự hiện diện của độ trễ đầu tư (khoảng thời gian từ khi bắt đầu thiết kế đối tượng đến khi vận hành hết công suất), độ trễ về nhân khẩu học ( giai đoạn từ khi sinh ra đến khi đủ tuổi lao động và bắt đầu có việc làm sau khi tốt nghiệp).

Tính đến độ trễ thời gian trong việc giải quyết các vấn đề kinh tế và kỹ thuật là rất quan trọng, vì độ trễ có thể ảnh hưởng đáng kể đến bản chất của các giải pháp thu được (ví dụ, trong những điều kiện nhất định, nó có thể dẫn đến tính không ổn định của các giải pháp).

Với BIỆN LUẬN CHUNG

CHƯƠNG I. Phương pháp các bước giải phương trình vi phân

với đối số theo sau

1.1. Phân loại phương trình vi phân có đối số lệch. Tuyên bố về vấn đề ban đầu

Định nghĩa 1. Phương trình vi phân có đối số lệch được gọi là phương trình vi phân trong đó hàm chưa biết X (t) nhập vào các giá trị khác nhau của đối số.

X (t) = f (t, x (t), x),

X (t) = f [t, x (t), x (t - τ 1), x (t - τ 2)],
X (t) = f t, x (t), x (t), x [t -τ (t)], x [t - τ
X (t) = f t, x (t), x (t), x (t / 2), x (t / 2).

(t)]

Định nghĩa 2. Phương trình vi phân có đối số chậm là phương trình vi phân có đối số lệch, trong đó đạo hàm bậc cao nhất của hàm chưa biết xuất hiện tại cùng các giá trị của đối số và đối số này không nhỏ hơn tất cả các đối số của hàm chưa biết và các đạo hàm của nó có trong phương trình.

Lưu ý rằng theo Định nghĩa 2, phương trình (1) và (3) trong các điều kiện τ (t) ≥ 0, t - τ (t) ≥ 0 sẽ là phương trình có đối số chậm, phương trình (2) sẽ là phương trình

với đối số trễ, nếu τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, phương trình (4) là phương trình có đối số trễ, vì t ≥ 0.

Định nghĩa 3. Phương trình vi phân có đối số đứng đầu là phương trình vi phân có đối số lệch, trong đó đạo hàm cấp cao nhất của hàm số chưa biết xuất hiện tại cùng các giá trị của đối số và đối số này không lớn hơn phần còn lại của đối số đối số của hàm chưa biết và các đạo hàm của nó trong phương trình.

Ví dụ về phương trình vi phân với đối số đứng đầu:

X (t) =

X (t) =

X (t) =

f (t, x (t), x [t + τ (t)]),

f [t, x (t), x (t + τ 1), x (t + τ 2)],

f t, x (t), x. (t), x [t + τ (t)], x. [t + τ

(t)].

TÔI. PHƯƠNG PHÁP BƯỚC ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC CÂU HỎI KHÁC NHAU

Với BIỆN LUẬN CHUNG

Định nghĩa 4. Phương trình vi phân có đối số lệch không phải là phương trình có đối số chậm hoặc đối số đứng được gọi là phương trình vi phân loại trung tính.

Ví dụ về phương trình vi phân với đối số lệch thuộc loại trung tính:

X (t) = f t, x (t), x (t - τ), x (t - τ)

X (t) = f t, x (t), x [t - τ (t)], x [t - τ (t)], x [t - τ (t)].

Lưu ý rằng cách phân loại tương tự cũng được sử dụng cho các hệ phương trình vi phân có đối số lệch bằng cách thay thế từ "hàm" bằng từ "hàm vectơ".

Hãy xem xét phương trình vi phân đơn giản nhất với một đối số sai lệch:

X (t) = f [t, x (t), x (t - τ)],

trong đó τ ≥ 0 và t - τ ≥ 0 (trên thực tế, chúng ta coi là một phương trình vi phân có đối số chậm). Nhiệm vụ ban đầu chính trong việc giải phương trình (10) như sau: xác định một nghiệm liên tục X (t) của phương trình (10) với t> t 0 (t 0 -

thời gian cố định) với điều kiện X (t) = ϕ 0 (t) khi t 0 - τ ≤ t ≤ t 0, trong đó ϕ 0 (t) là một hàm ban đầu liên tục cho trước. Đoạn [t 0 - τ, t 0] được gọi là tập ban đầu, t 0 gọi là điểm ban đầu. Giả thiết rằng X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0) (Hình 1).

X (t) \ u003d ϕ 0 (t)

	t 0 - τ		t0 + τ		0 + τ
Nếu sự chậm trễ τ		trong phương trình (10) phụ thuộc vào thời gian t		(τ = τ (t)), sau đó là giá trị ban đầu

Bài toán được xây dựng như sau: tìm một nghiệm của phương trình (10) với t> t 0 nếu hàm ban đầu X (t) = ϕ 0 t đã biết với t 0 - τ (t 0) ≤ t ≤ t 0.

Ví dụ. Tìm một nghiệm cho phương trình.

X (t) = f [t, x (t), x (t - cos 2 t)]
cho t> t 0 = 0 nếu hàm ban đầu X (t) = ϕ 0 (t) cho (t 0 - cos2 t 0) |	t ≤ t0
t0 = 0

- 1 ≤ t ≤ 0).

TÔI. PHƯƠNG PHÁP BƯỚC ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC CÂU HỎI KHÁC NHAU

Với BIỆN LUẬN CHUNG

Ví dụ. Tìm một giải pháp cho phương trình

	X (t) = f [t, x (t), x (t / 2)]			tại (t	−t	/ 2) |
	t> t 0 = 1 nếu hàm ban đầu X (t) = ϕ t						≤ t ≤ t
						t = 1			t = 1

1/2 ≤ t ≤ 1).

Lưu ý rằng chức năng ban đầu thường được chỉ định hoặc tìm thấy bằng thực nghiệm (chủ yếu là trong các vấn đề kỹ thuật).

1.2. Trễ phương trình vi phân. Phương pháp bước

Hãy xem xét một phương trình vi phân với một đối số chậm.

Yêu cầu tìm một nghiệm của phương trình (13) với t ≥ t 0.

Để tìm một nghiệm của phương trình (13) với t ≥ t 0, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bước (phương pháp tích phân liên tiếp).

Bản chất của phương pháp bước là đầu tiên chúng ta tìm một nghiệm của phương trình (13) với t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ, sau đó với t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ, v.v. Đồng thời, chúng ta lưu ý, ví dụ, vì trong vùng t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ đối số t - τ thay đổi trong khoảng t 0 - τ ≤ t - τ ≤ t 0, thì trong phương trình

(13) trong vùng này, thay vì x (t - τ), chúng ta có thể nhận hàm ban đầu ϕ 0 (t - τ). sau đó

chúng ta thu được điều đó để tìm một nghiệm của phương trình (13) trong vùng t 0 ≤ t ≤ t 0		+ τ cần tái
may một phương trình vi phân thông thường không có độ trễ ở dạng:
	[t, x (t), ϕ 0 (t - τ)],
X (t) = f
cho t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ	với điều kiện ban đầu X (t 0) = ϕ (t 0) (xem Hình 1).
	tìm lời giải cho bài toán ban đầu này ở dạng X (t) = ϕ 1 (t),	chúng ta có thể đăng-

giải bài toán tìm nghiệm trên đoạn t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ, v.v.

Vì vậy chúng tôi có:

			0 (t - τ)],
	X (t) = f [t, x (t), ϕ
tại t 0	≤ t ≤ t0 + τ, X (t0)		= ϕ 0 (t 0),
	X (t) = f [t, x (t), ϕ 1 (t - τ)],
với t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ,			X (t 0 + τ) = ϕ 1 (t 0 + τ),
	X (t) = f [t, x (t), ϕ 2 (t - τ)],
với t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ,			X (t 0 + 2 τ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ),
	X (t) = f [t, x (t), ϕ n (t - τ)],
với t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1) τ, X (t 0 + n τ) = ϕ n (t 0 + n τ),
	tôi (t) là	giải pháp ban đầu được coi là		nhiệm vụ trên phân đoạn
t 0 + (i −1) ≤ t ≤ t 0 + i τ		(I = 1,2,3… n,…).

TÔI. PHƯƠNG PHÁP BƯỚC ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC CÂU HỎI KHÁC NHAU

Với BIỆN LUẬN CHUNG

Phương pháp này gồm các bước để giải một phương trình vi phân có đối số chậm (13) cho phép chúng ta xác định nghiệm X (t) trên một khoảng thay đổi hữu hạn nào đó của t.

Ví dụ 1. Sử dụng phương pháp bước, tìm nghiệm của phương trình vi phân bậc nhất có đối số chậm

	(t) = 6 X (t - 1)
trong vùng 1 ≤ t ≤ 3 nếu hàm ban đầu cho 0 ≤ t ≤ 1 có dạng X (t) = ϕ 0 (t) = t.
Quyết định. Đầu tiên, chúng ta hãy tìm một nghiệm của phương trình (19) trong vùng 1 ≤ t ≤ 2. Đối với điều này trong
(19) chúng ta thay X (t - 1) bằng ϕ 0 (t - 1), tức là
X (t - 1) = ϕ 0 (t - 1) = t | t → t - 1 = t - 1
và tính đến X (1) = ϕ 0 (1) = t |
Vì vậy, trong vùng 1 ≤ t ≤ 2, chúng ta thu được một phương trình vi phân thông thường có dạng
	(t) = 6 (t - 1)
hoặc dx (t)	6 (t −1).
Giải nó có tính đến (20), chúng ta nhận được nghiệm của phương trình (19) cho 1 ≤ t ≤ 2 ở dạng
X (t) = 3 t 2 - 6 t + 4 = 3 (t - 1) 2 + 1.
Để tìm một nghiệm trong vùng 2 ≤ t ≤ 3 trong phương trình (19), ta thay X (t - 1) bằng
ϕ 1 (t −1) = 3 (t −1) 2 +1 | t → t - 1		3 (t - 2) 2 + 1. Sau đó, chúng tôi nhận được thông thường		sự khác biệt
phương trình:
	(t) = 6 [3 (t - 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 ,
mà giải pháp có dạng (Hình 2)
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 .

Các hệ thống có độ trễ khác với các hệ thống được xem xét trước đó ở chỗ trong một hoặc nhiều liên kết của chúng có độ trễ về thời điểm bắt đầu thay đổi giá trị đầu ra (sau khi bắt đầu thay đổi đầu vào) bằng một giá trị t , được gọi là thời gian trễ và thời gian trễ này không đổi trong suốt quá trình tiếp theo.

Ví dụ: nếu liên kết được mô tả bằng phương trình

(liên kết vô nghiệm của bậc nhất) thì phương trình của liên kết tương ứng có trễ sẽ có dạng

(liên kết không theo chu kỳ của đơn hàng đầu tiên có độ trễ). Loại phương trình này được gọi là phương trình có đối số chậm,

Khi đó phương trình (6.31) sẽ được viết theo cách thông thường

thay đổi đột ngột từ 0 thành 1 (Hình 6.20,

đứng ở phía bên phải của phương trình liên kết,

). Trong trường hợp tổng quát, đối với (6.31), phương trình động lực học của bất kỳ liên kết nào có độ trễ có thể được chia thành hai:

tương ứng với sự phân chia có điều kiện của một liên kết có độ trễ (Hình 6.21, a) thành hai: một liên kết bình thường có cùng bậc và với cùng hệ số và phần tử trễ trước nó (Hình 6.21.6).

nghĩa là thời gian chuyển động của kim loại từ cuộn đến thước đo độ dày. Trong hai ví dụ cuối cùng, giá trị của m được gọi là độ trễ vận chuyển.

Trong phép gần đúng đầu tiên, các đường ống hoặc đường dây điện dài có trong các liên kết của hệ thống có thể được đặc trưng bởi một giá trị trễ nhất định t.

được hiển thị trong hình. 6.22, b, khi đó liên kết này có thể được mô tả gần như là liên kết không tuần hoàn bậc nhất có trễ (6.31), lấy các giá trị của m, r và k từ đường cong thực nghiệm (Hình 6.22, b).

Cũng lưu ý rằng cùng một đường cong thực nghiệm theo đồ thị trong Hình. 6.22, in cũng có thể được hiểu là đặc trưng thời gian của liên kết không tuần hoàn bậc hai thông thường với phương trình

và k có thể được tính toán từ các tỷ lệ được viết trong § 4.5 cho một liên kết nhất định, từ một số phép đo trên đường cong thực nghiệm, hoặc bằng các phương tiện khác.

hàm (6.36) khác một chút so với hàm truyền của một liên kết có độ trễ (6.35).

Phương trình của bất kỳ liên kết tuyến tính nào có độ trễ (6.33) bây giờ sẽ được viết dưới dạng

Hàm truyền của một liên kết tuyến tính có độ trễ sẽ là

chức năng truyền của liên kết thông thường tương ứng không có độ trễ được chỉ ra.

- môđun và pha của hàm truyền tần số của liên kết không có độ trễ.

Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc sau.

Để xây dựng đặc tính pha biên độ của bất kỳ liên kết nào có độ trễ, bạn cần lấy đặc tính của liên kết thông thường tương ứng và dịch chuyển mỗi điểm của nó dọc theo đường tròn theo chiều kim đồng hồ một góc, trong đó w là giá trị của tần số dao động tại một điểm cho trước của đặc tính (Hình 6.23, a).

điểm bắt đầu không thay đổi và điểm cuối của đặc trưng sẽ tiệm cận quanh điểm gốc (nếu bậc của đa thức toán tử B nhỏ hơn bậc của đa thức C).

Ở trên đã nói rằng các quá trình thoáng qua thực sự (đặc điểm thời gian) của dạng trong Hình. 6.22b thường có thể được mô tả với cùng một mức độ gần đúng theo cả phương trình (6.31) và (6.34). Các đặc tính pha biên độ cho các phương trình (6.31) và (6.34) được thể hiện trong hình. 6,23, a và b tương ứng. Sự khác biệt cơ bản giữa liên kết đầu tiên là nó có giao điểm D với trục (/. Khi so sánh cả hai đặc tính với nhau và với đặc tính pha-biên độ thực nghiệm của một liên kết thực, người ta phải tính đến không chỉ hình dạng của đường cong, mà còn là bản chất của sự phân bố các dấu tần số ω dọc theo cô ấy.

Chức năng chuyển giao của một hệ thống mở không có độ trễ.

Phương trình đặc trưng của một hệ kín, như trong Chap. 5 có dạng

Một phương trình có thể có vô số nghiệm nguyên.

Hình dạng của đặc tính pha-biên độ của mạch hở, được cấu tạo nhưng chức năng truyền tần số, thay đổi đáng kể

Hơn nữa, việc mở hệ thống được thực hiện theo một quy tắc nhất định, được đưa ra dưới đây.

Kết quả là, đối với tính ổn định của hệ thống tuyến tính bậc một và bậc hai có trễ, hóa ra chỉ tính tích cực của các hệ số là không còn đủ nữa, và đối với các hệ thống bậc ba trở lên có trễ, tiêu chí ổn định của Vyshnegradsky, Routh và Hurwitz không thể áp dụng được.

Dưới đây chúng ta sẽ xem xét việc xác định độ ổn định chỉ bằng tiêu chí Nyquist, vì việc sử dụng nó cho bài hát này hóa ra là đơn giản nhất.

1 Việc xây dựng đặc tính pha biên độ và nghiên cứu độ ổn định theo tiêu chí Nyquist được thực hiện tốt nhất nếu hàm truyền của hệ thống mạch hở được trình bày dưới dạng (6.38). Để có được điều này, cần phải mở hệ thống đúng cách.

Đối với trường hợp được hiển thị trong Hình. 6.24, a, việc mở có thể được thực hiện ở bất kỳ đâu trong mạch chính, chẳng hạn như được minh họa. Khi đó, hàm truyền của hệ thống mở sẽ trùng với dạng (6.41).

Đối với trường hợp được hiển thị trong Hình. 6.24, b, mở mạch chính cho biểu thức

các chức năng vòng hở, không thuận tiện cho việc nghiên cứu thêm:

Cuối cùng, trong trường hợp được hiển thị trong Hình. 6.24, c, khi hệ thống được mở ở vị trí được chỉ định, chúng tôi nhận được một biểu thức cũng trùng với (6.41):

Chức năng truyền tần số (6.41) có thể được biểu diễn dưới dạng

Do đó, trình bày biểu thức (6.41) dưới dạng

Khóa học đặc biệt

Phân loại phương trình với đối số lệch. Bài toán ban đầu chính cho phương trình vi phân có độ trễ.

Phương pháp tích hợp tuần tự. Nguyên tắc làm mịn các nghiệm của phương trình với trễ.

Nguyên lý của ánh xạ nén. Định lý tồn tại và duy nhất cho nghiệm của bài toán ban đầu cơ bản cho một phương trình có một số trễ gộp. Định lý tồn tại và duy nhất cho nghiệm của bài toán ban đầu chính cho một hệ phương trình có trễ phân phối.

Sự phụ thuộc liên tục của các giải pháp của bài toán ban đầu chính vào các tham số và chức năng ban đầu.

Tính năng cụ thể của các nghiệm của phương trình với trễ. Khả năng tiếp tục giải pháp. Di chuyển điểm xuất phát. Định lý về điều kiện đủ cho khoảng bám. Định lý về điều kiện đủ cho khả năng mở rộng phi địa phương của các giải pháp.

Suy ra công thức nghiệm tổng quát cho một hệ tuyến tính có trễ tuyến tính.

Khảo sát các phương trình với độ trễ để ổn định. Phương pháp phân vùng D.

Ứng dụng của phương pháp hàm số để nghiên cứu độ ổn định. Định lý N. N. Krasovskii về điều kiện cần và đủ để ổn định. Ví dụ về việc xây dựng các hàm.

Ứng dụng của phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu độ ổn định. Định lý Razumikhin về ổn định và tiệm cận ổn định của các nghiệm của phương trình có trễ. Ví dụ về việc xây dựng các hàm Lyapunov.

Xây dựng các điều khiển chương trình có độ trễ trong các hệ thống có thông tin đầy đủ và không đầy đủ. Các định lý của V. I. Zubov. Vấn đề phân phối vốn đầu tư theo ngành.

Xây dựng các điều khiển chương trình tối ưu trong trường hợp tuyến tính và phi tuyến tính. Nguyên tắc tối đa của Pontryagin.

Ổn định hệ phương trình bằng điều khiển với độ trễ liên tục. Ảnh hưởng của độ trễ thay đổi đối với sự ổn định một trục của thân máy cứng.

VĂN CHƯƠNG

1. Zhabko A.P., Zubov N.V., Prasolov A.V. Phương pháp nghiên cứu hệ thống có ảnh hưởng sau. L., 1984. Dep. VINITI, số 2103-84.
2. Zubov V.I. Về lý thuyết hệ thống tĩnh tuyến tính với đối số chậm // Izv. các trường đại học. Người phục vụ. toán học. Năm 1958. Số 6.
3. Zubov V.I. Bài giảng lý thuyết điều khiển. Matxcova: Nauka, 1975.
4. Krasovsky N. N. Một số bài toán về lý thuyết ổn định chuyển động. M., 1959
5. Malkin I. G. Lý thuyết về ổn định chuyển động.
6. Myshkis A. D. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân với đối số chậm // Uspekhi Mat. Khoa học. 1949. V.4, số 5.
7. Prasolov A.V. Các nghiên cứu phân tích và số học của các quá trình động. Petersburg: Nhà xuất bản Đại học Tổng hợp St.Petersburg, 1995.
8. Prasolov A.V. Các mô hình toán học về động lực học trong nền kinh tế. Petersburg: Nhà xuất bản St.Petersburg. Trường Đại học Kinh tế Tài chính, 2000.
9. Chizhova O. N. Xây dựng nghiệm và tính ổn định của hệ phương trình vi phân có lập luận chậm. L., 1988. Dep. tại VINITI, số 8896-B88.
10. Chizhova O. N. Sự ổn định của một vật cứng có tính đến độ trễ tuyến tính // Bản tin của Đại học Bang St. Petersburg. Phục vụ.1. 1995. Phát hành 4, số 22.
11. Chizhova O. N. Về phần mở rộng không cục bộ của phương trình có độ trễ thay đổi // Câu hỏi cơ học và quá trình điều khiển. Phát hành. 18. - St.Petersburg: Nhà xuất bản Đại học Tổng hợp St.Petersburg, 2000.
12. Elsgolts L. E., Norkin S. B. Giới thiệu về lý thuyết của phương trình vi phân với đối số lệch. M., năm 1971.

Hệ thống tuyến tính có độ trễ là các hệ thống tự động, nhìn chung có cấu trúc giống như các hệ thống tuyến tính thông thường (Phần II), khác với hệ thống sau ở chỗ trong một hoặc nhiều liên kết của chúng có độ trễ trong khoảng thời gian bắt đầu thay đổi số lượng đầu ra (sau khi bắt đầu thay đổi đầu vào) bằng một giá trị được gọi là thời gian trễ và thời gian trễ này không đổi trong suốt quá trình tiếp theo của quá trình.

Ví dụ, nếu một liên kết tuyến tính thông thường được mô tả bằng phương trình

(liên kết không tuần hoàn bậc nhất) thì phương trình của liên kết tuyến tính tương ứng có trễ sẽ có dạng

(liên kết không theo chu kỳ của đơn hàng đầu tiên có độ trễ). Các phương trình thuộc loại này được gọi là phương trình có đối số chậm hoặc phương trình vi phân-sai phân.

Ký hiệu Khi đó, phương trình (14.2) sẽ được viết ở dạng thông thường:

Vì vậy, nếu giá trị đầu vào thay đổi đột ngột từ 0 sang 1 (Hình 14.1, a), thì sự thay đổi giá trị đứng ở phía bên phải của phương trình liên kết sẽ được mô tả bằng đồ thị trong Hình. 14.1b (nhảy một giây sau đó). Bây giờ sử dụng phản ứng nhất thời của một liên kết không tuần hoàn thông thường như được áp dụng cho phương trình (14.3), chúng tôi nhận được sự thay đổi trong giá trị đầu ra dưới dạng đồ thị trong Hình. 14.1, c. Đây sẽ là phản ứng nhất thời của liên kết không theo chu kỳ của bậc đầu tiên với độ trễ (thuộc tính "quán tính" không theo chu kỳ của nó được xác định bởi hằng số thời gian T và độ trễ được xác định bởi giá trị

Liên kết tuyến tính với độ trễ. Trong trường hợp tổng quát, như đối với (14.2), phương trình động lực học của bất kỳ liên kết tuyến tính nào có độ trễ có thể là

chia thành hai:

tương ứng với sự phân chia có điều kiện của một liên kết tuyến tính có độ trễ (Hình 14.2, a) thành hai: một liên kết tuyến tính thông thường có cùng bậc và với cùng hệ số và phần tử trễ trước nó (Hình 14.2, b).

Do đó, đặc tính thời gian của bất kỳ liên kết nào có độ trễ sẽ giống như đặc tính của liên kết thông thường tương ứng, nhưng chỉ bị dịch chuyển dọc theo trục thời gian sang phải một.

Một ví dụ về liên kết trễ "thuần túy" là một đường truyền âm thanh - thời gian truyền âm thanh). Các ví dụ khác là hệ thống định lượng tự động một chất di chuyển bằng băng tải - thời gian băng tải di chuyển trong một khu vực nhất định), cũng như hệ thống điều chỉnh độ dày của kim loại cán, trong đó nó có nghĩa là thời gian kim loại di chuyển từ cuộn đến máy đo độ dày

Trong hai ví dụ cuối cùng, số lượng được gọi là độ trễ vận chuyển.

Trong ước lượng gần đúng đầu tiên, các đường ống hoặc đường dây điện dài được bao gồm trong các liên kết của hệ thống có thể được đặc trưng bởi một độ trễ nhất định (để biết thêm chi tiết về chúng, xem § 14.2).

Giá trị của độ trễ trong liên kết có thể được xác định bằng thực nghiệm bằng cách loại bỏ đặc tính thời gian. Ví dụ, nếu, khi một giá trị nhất định, được coi là thống nhất, được áp dụng cho đầu vào của một liên kết, thì đường cong thực nghiệm như trong Hình 2 sẽ thu được ở đầu ra. 14.3, b, thì liên kết này có thể được mô tả gần đúng như một liên kết không theo chu kỳ bậc nhất có thời gian trễ (14.2), lấy các giá trị từ đường cong thực nghiệm (Hình 14.3, b).

Cũng lưu ý rằng cùng một đường cong thực nghiệm theo đồ thị trong Hình. 14.3, c cũng có thể được hiểu là đặc trưng thời gian của liên kết không tuần hoàn bậc hai thông thường với phương trình

hơn nữa, và k có thể được tính toán từ các quan hệ được viết trong § 4.5 cho một liên kết nhất định, theo một số phép đo trên đường cong thực nghiệm, hoặc theo các cách khác.

Vì vậy, theo quan điểm của đặc tính thời gian, một liên kết thực, được mô tả gần đúng bằng phương trình bậc nhất với đối số chậm (14.2), thường có thể được mô tả với cùng một mức độ gần đúng bằng một phương trình vi phân thông thường bậc hai. (14,5). Để quyết định phương trình nào trong số những phương trình này phù hợp nhất với một

liên kết thực, người ta cũng có thể so sánh đặc tính pha biên độ của chúng với đặc tính pha biên độ thực nghiệm của liên kết, biểu thị đặc tính động lực học của nó trong quá trình dao động cưỡng bức. Việc xây dựng các đặc tính pha biên độ của các liên kết có độ trễ sẽ được xem xét dưới đây.

Để thống nhất trong việc viết các phương trình, chúng tôi biểu diễn quan hệ thứ hai (14.4) cho phần tử trễ ở dạng toán tử. Mở rộng mặt phải của nó trong chuỗi Taylor, chúng tôi nhận được

hoặc, trong ký hiệu toán tử tượng trưng được chấp nhận trước đây,

Biểu thức này trùng với công thức của định lý trễ cho ảnh hàm (Bảng 7.2). Do đó, đối với liên kết trễ thuần túy, chúng ta nhận được hàm truyền ở dạng

Lưu ý rằng trong một số trường hợp, sự hiện diện của một số lượng lớn các hằng số thời gian nhỏ trong hệ thống điều khiển có thể được tính đến dưới dạng một độ trễ không đổi bằng tổng của các hằng số thời gian này. Thật vậy, hãy để hệ thống chứa các liên kết không tuần hoàn nối tiếp nhau của bậc đầu tiên với hệ số truyền bằng thống nhất và giá trị của mỗi hằng số thời gian. Khi đó, hàm truyền kết quả sẽ là

Nếu sau đó trong giới hạn chúng tôi nhận được. Chức năng truyền đã sẵn sàng (14.8) khác một chút so với chức năng truyền của liên kết có độ trễ (14.6).

Phương trình của bất kỳ liên kết tuyến tính nào có độ trễ (14.4) bây giờ sẽ được viết dưới dạng

Hàm truyền của một liên kết tuyến tính có độ trễ sẽ là

trong đó biểu thị hàm truyền của liên kết tuyến tính thông thường tương ứng không có độ trễ.

Hàm truyền tần số nhận được từ (14.10) bằng cách thay thế

đâu là môđun và pha của hàm truyền tần số của liên kết không có độ trễ. Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc sau.

Để xây dựng đặc tính pha biên độ của bất kỳ liên kết tuyến tính nào có độ trễ, bạn cần lấy đặc tính của liên kết tuyến tính thông thường tương ứng và dịch chuyển mỗi điểm của nó dọc theo đường tròn theo chiều kim đồng hồ một góc, giá trị của tần số dao động ở một điểm cho trước của đặc tính (Hình 14.4, a).

Vì ở điểm đầu của đặc tính pha biên độ và ở điểm cuối, thì điểm ban đầu không thay đổi và điểm cuối của đặc tính gió tiệm cận với điểm gốc (nếu bậc của đa thức toán tử nhỏ hơn đa thức

Ở trên đã nói rằng các quá trình thoáng qua thực sự (đặc điểm thời gian) của dạng trong Hình. 14.3, b thường có thể được mô tả với cùng một mức độ gần đúng theo cả phương trình (14.2) và (14.5). Các đặc tính pha biên độ cho các phương trình (14.2) và (14.5) được thể hiện trong hình. 14,4, a và tương ứng. Sự khác biệt cơ bản của cái đầu tiên là nó có một điểm D giao với trục

Khi so sánh cả hai đặc tính với nhau và với đặc tính pha biên độ thực nghiệm của một liên kết thực, cần phải tính đến không chỉ hình dạng của đường cong, mà còn tính đến bản chất của sự phân bố các dấu tần số o dọc theo nó.

Hệ thống tuyến tính có độ trễ.

Để hệ thống tự động đơn mạch hoặc đa mạch có một liên kết với độ trễ giữa các liên kết của nó. Khi đó phương trình của liên kết này có dạng (14,9). Nếu có một số liên kết như vậy, thì chúng có thể có các giá trị trễ khác nhau. được thay thế vào các công thức này ở dạng (14.10).

Ví dụ, đối với một mạch hở gồm các liên kết mắc nối tiếp, trong đó có hai liên kết có độ trễ tương ứng, hàm truyền của một hệ thống mở sẽ có dạng

Hàm truyền của một mạch hở ở đâu mà không tính đến độ trễ, bằng tích của các hàm truyền của các liên kết mắc nối tiếp.

Vì vậy, khi nghiên cứu động lực học của một mạch hở của các liên kết mắc nối tiếp, nó là phi quan trọng cho dù toàn bộ độ trễ sẽ tập trung trong một liên kết hay lan truyền trên các liên kết khác nhau. Đối với mạch nhiều vòng sẽ thu được các mối quan hệ phức tạp hơn.

Nếu có một liên kết với phản hồi tiêu cực, có độ trễ, thì nó sẽ được mô tả bằng các phương trình;