Trước hết xét một vật cứng quay quanh một trục OZ cố định với vận tốc góc ω (hình 5.6). Hãy phá vỡ cơ thể thành các khối sơ cấp. Vận tốc thẳng của một khối lượng cơ bản là, khoảng cách của nó từ trục quay là bao nhiêu. Động năng tôi- khối lượng cơ bản đó sẽ bằng

.

Động năng của toàn bộ cơ thể được tạo thành từ động năng của các bộ phận của nó, do đó

.

Xét rằng tổng ở phía bên phải của quan hệ này biểu thị mômen quán tính của vật đối với trục quay, cuối cùng chúng ta thu được

. (5.30)

Các công thức về động năng của một vật quay (5.30) tương tự như các công thức tương ứng cho động năng của chuyển động tịnh tiến của một vật. Chúng có được từ cái sau bằng cách thay thế chính thức .

Trong trường hợp tổng quát, chuyển động của một vật cứng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các chuyển động - tịnh tiến với tốc độ bằng tốc độ của khối tâm và quay với vận tốc góc quanh trục tức thời đi qua khối tâm. Trong trường hợp này, biểu thức động năng của vật có dạng

.

Bây giờ chúng ta hãy tìm công được thực hiện bởi mômen của ngoại lực trong quá trình quay của một vật cứng. Tác dụng cơ bản của ngoại lực trong thời gian dt sẽ bằng với sự thay đổi động năng của vật

Lấy sự khác biệt với động năng của chuyển động quay, chúng ta thấy độ lớn của nó

.

Phù hợp với phương trình cơ bản của động lực học cho chuyển động quay

Khi tính đến các mối quan hệ này, chúng tôi giảm biểu thức cho công việc sơ cấp thành dạng

trong đó là hình chiếu của mômen ngoại lực lên phương của trục quay OZ, là góc quay của vật thể trong khoảng thời gian đã xét.

Tích (5.31), ta có được công thức tính công của ngoại lực tác dụng lên một vật quay

Nếu, thì công thức được đơn giản hóa

Như vậy, công của ngoại lực trong quá trình quay của một vật cứng quanh một trục cố định được xác định bằng tác dụng của hình chiếu mômen của các lực này lên một trục cho trước.

Con quay hồi chuyển

Con quay hồi chuyển là một vật thể đối xứng quay nhanh, trục quay của nó có thể thay đổi hướng trong không gian. Để trục của con quay có thể quay tự do trong không gian, con quay được đặt trong cái gọi là hệ thống treo gimbal (Hình 5.13). Bánh đà của con quay quay trong lồng hình khuyên bên trong quanh trục C 1 C 2 đi qua trọng tâm của nó. Đến lượt lồng trong có thể quay lồng ngoài quanh trục B 1 B 2 vuông góc với C 1 C 2. Cuối cùng, thanh giằng ngoài có thể quay tự do trong các gối thanh chống quanh trục A 1 A 2 vuông góc với các trục C 1 C 2 và B 1 B 2. Cả ba trục cắt nhau tại một điểm O cố định nào đó, gọi là tâm của hệ thống treo hay điểm tựa của con quay. Con quay hồi chuyển trong gimbal có ba bậc tự do và do đó, có thể thực hiện bất kỳ chuyển động quay nào xung quanh tâm của gimbal. Nếu tâm treo của con quay trùng với trọng tâm của nó, thì mômen trọng lực của tất cả các bộ phận của con quay so với tâm treo bằng không. Một con quay hồi chuyển như vậy được gọi là cân bằng.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các đặc tính quan trọng nhất của con quay hồi chuyển, đã được tìm thấy ứng dụng rộng rãi cho nó trong các lĩnh vực khác nhau.

1) Tính bền vững.

Với bất kỳ chuyển động quay nào của giá con quay cân bằng, trục quay của nó vẫn giữ nguyên hướng đối với hệ quy chiếu trong phòng thí nghiệm. Điều này là do mômen của tất cả các lực bên ngoài, bằng mômen của lực ma sát, là rất nhỏ và thực tế không gây ra sự thay đổi mômen động lượng của con quay, tức là.

Vì mômen động lượng hướng dọc theo trục quay của con quay nên hướng của nó phải không đổi.

Nếu ngoại lực tác dụng trong thời gian ngắn thì tích phân xác định độ lớn của momen động lượng sẽ nhỏ

. (5.34)

Điều này có nghĩa là dưới tác động ngắn hạn của lực thậm chí lớn, chuyển động của con quay cân bằng thay đổi rất ít. Con quay hồi chuyển, như vậy, chống lại mọi nỗ lực thay đổi độ lớn và hướng của mômen động lượng của nó. Kết nối với điều này là sự ổn định đáng kể mà chuyển động của con quay hồi chuyển có được sau khi đưa nó quay nhanh. Đặc tính này của con quay hồi chuyển được sử dụng rộng rãi để tự động điều khiển chuyển động của máy bay, tàu thủy, tên lửa và các phương tiện khác.

Tuy nhiên, nếu con quay được tác dụng trong một thời gian dài bởi một mômen ngoại lực không đổi theo hướng, thì trục của con quay cuối cùng cũng được đặt theo hướng của mômen ngoại lực. Hiện tượng này được sử dụng trong con quay hồi chuyển. Thiết bị này là một con quay hồi chuyển, trục của nó có thể quay tự do trong một mặt phẳng nằm ngang. Do sự quay hàng ngày của Trái đất và tác dụng của mômen ly tâm, trục của con quay quay để góc giữa và trở nên nhỏ nhất (Hình 5.14). Điều này tương ứng với vị trí của trục con quay hồi chuyển trong mặt phẳng kinh tuyến.

2). Hiệu ứng con quay hồi chuyển.

Nếu một cặp lực tác dụng vào một con quay quay, có xu hướng quay nó quanh một trục vuông góc với trục quay, thì nó sẽ quay quanh trục thứ ba, vuông góc với hai trục thứ nhất (Hình 5.15). Hành vi bất thường này của con quay hồi chuyển được gọi là hiệu ứng con quay hồi chuyển. Nó được giải thích bởi thực tế rằng mômen của một cặp lực hướng dọc theo trục O 1 O 1 và sự thay đổi của vectơ một giá trị theo thời gian sẽ có cùng phương. Kết quả là vectơ mới sẽ quay quanh trục O 2 O 2. Do đó, hành vi dường như không tự nhiên của con quay hoàn toàn tương ứng với các quy luật về động lực học của chuyển động quay

3). Tuế sai con quay hồi chuyển.

Tuế sai của con quay hồi chuyển là chuyển động hình nón đối với trục của nó. Nó xảy ra khi mômen của ngoại lực, có độ lớn không đổi, quay đồng thời với trục của con quay, tạo thành một góc vuông với nó mọi lúc. Để chứng minh sự tuế sai, một bánh xe đạp có trục kéo dài, được đưa vào quay nhanh (Hình 5.16), có thể phục vụ.

Nếu bánh xe bị treo bởi đầu kéo dài của trục, thì trục của nó sẽ bắt đầu quay quanh trục thẳng đứng dưới trọng lượng của chính nó. Một đỉnh quay nhanh cũng có thể là một minh chứng của tuế sai.

Tìm ra lý do cho sự tuế sai của con quay hồi chuyển. Xét một con quay không cân bằng mà trục của nó có thể quay tự do quanh một điểm O nhất định (Hình 5.16). Mômen của trọng lực tác dụng lên con quay có độ lớn bằng

trong đó là khối lượng của con quay, là khoảng cách từ điểm O đến khối tâm của con quay, là góc tạo bởi trục của con quay với phương thẳng đứng. Vectơ hướng vuông góc với mặt phẳng thẳng đứng đi qua trục của con quay.

Dưới tác dụng của thời điểm này, mômen động lượng của con quay (đầu của nó đặt tại điểm O) sẽ tăng dần theo thời gian và mặt phẳng thẳng đứng đi qua trục của con quay sẽ quay một góc. Vectơ luôn vuông góc với nên không thay đổi về độ lớn, vectơ chỉ thay đổi về phương. Trong trường hợp này, sau một thời gian, vị trí tương đối của các vectơ và sẽ giống như tại thời điểm ban đầu. Kết quả là, trục của con quay sẽ liên tục quay quanh phương thẳng đứng, mô tả một hình nón. Chuyển động này được gọi là tuế sai.

Hãy để chúng tôi xác định vận tốc góc của tuế sai. Theo hình 5.16, góc quay của mặt phẳng đi qua trục của hình nón và trục của con quay hồi chuyển bằng

mômen động lượng của con quay ở đâu và là gia số của nó theo thời gian.

Chia cho, có tính đến các quan hệ và phép biến đổi ở trên, chúng ta thu được vận tốc góc của phép tuế sai

. (5.35)

Đối với con quay hồi chuyển dùng trong công nghệ, vận tốc góc của tuế sai nhỏ hơn hàng triệu lần tốc độ quay của con quay hồi chuyển.

Kết luận, chúng ta lưu ý rằng hiện tượng tuế sai cũng được quan sát thấy trong nguyên tử do quỹ đạo chuyển động của các electron.

Ví dụ về việc áp dụng các định luật động lực học

Khi xoay

1. Hãy xem xét một số ví dụ về định luật bảo toàn momen động lượng, có thể được thực hiện bằng cách sử dụng băng ghế Zhukovsky. Trong trường hợp đơn giản nhất, băng ghế Zhukovsky là một bệ hình đĩa (ghế) có thể tự do quay quanh trục thẳng đứng trên các ổ bi (Hình 5.17). Người biểu tình ngồi hoặc đứng trên băng ghế, sau đó nó được đưa vào chuyển động quay. Do lực ma sát do sử dụng các ổ trục rất nhỏ nên mômen động lượng của hệ gồm một băng ghế và một vật biểu diễn về trục quay không thể thay đổi theo thời gian nếu để hệ tự quay. Nếu người biểu diễn cầm quả tạ nặng trên tay và dang tay sang hai bên thì sẽ làm tăng mômen quán tính của hệ và do đó vận tốc góc của hệ quay phải giảm để mômen động lượng không đổi.

Theo định luật bảo toàn momen động lượng, ta lập phương trình cho trường hợp này

Trong đó là mômen quán tính của người và băng ghế, và là mômen quán tính của quả tạ ở vị trí thứ nhất và thứ hai, và là vận tốc góc của hệ.

Vận tốc góc quay của hệ khi chăn quả tạ sang một bên sẽ bằng

.

Công của một người thực hiện khi chuyển động quả tạ có thể được xác định thông qua sự thay đổi động năng của hệ

2. Hãy thử một lần nữa với băng ghế của Zhukovsky. Người biểu tình ngồi hoặc đứng trên một chiếc ghế dài và được đưa cho một bánh xe quay nhanh với trục hướng thẳng đứng (Hình 5.18). Người biểu tình sau đó quay bánh xe 180 0. Trong trường hợp này, sự thay đổi mômen động lượng của bánh xe được chuyển hoàn toàn vào băng ghế và người biểu diễn. Kết quả là, băng ghế dự bị cùng với người trình diễn chuyển động quay với vận tốc góc được xác định trên cơ sở định luật bảo toàn momen động lượng.

Mômen động lượng của hệ ở trạng thái ban đầu chỉ xác định bằng mômen động lượng của bánh xe và bằng

đâu là mômen quán tính của bánh xe, là vận tốc góc của chuyển động quay của nó.

Sau khi quay bánh xe một góc 180 0, mômen động lượng của hệ sẽ được xác định bằng tổng mômen động lượng của băng ghế với người và mômen động lượng của bánh xe. Tính đến thực tế là vectơ động lượng của bánh xe đã đổi hướng sang hướng ngược lại và hình chiếu của nó trên trục tung trở thành âm, chúng ta thu được

,

đâu là mômen quán tính của hệ "bệ người", là vận tốc góc quay của băng ghế dài với người.

Theo định luật bảo toàn momen động lượng

và .

Kết quả là, chúng tôi tìm thấy tốc độ quay của băng ghế dự bị

3. Khối lượng thanh mỏng m và chiều dài l quay với vận tốc góc ω = 10 s -1 trong mặt phẳng nằm ngang quanh trục thẳng đứng đi qua giữa thanh. Tiếp tục quay trong cùng một mặt phẳng, thanh chuyển động để trục quay lúc này đi qua đầu thanh. Tìm vận tốc góc trong trường hợp thứ hai.

Trong bài toán này, do sự phân bố khối lượng của thanh so với trục quay thay đổi nên mômen quán tính của thanh cũng thay đổi. Theo định luật bảo toàn momen động lượng của một hệ cô lập, ta có

Đây - mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua giữa thanh; - mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua đầu của nó và được tìm thấy bằng định lý Steiner.

Thay các biểu thức này vào định luật bảo toàn momen động lượng, ta thu được

,

.

4. Chiều dài thanh L= 1,5 m và trọng lượng m 1= 10 kg được bản lề ở đầu trên. Một viên đạn chạm vào tâm thanh có khối lượng m2= 10 g, bay theo phương ngang với vận tốc = 500 m / s thì bị mắc vào thanh. Sau va chạm thanh sẽ lệch một góc nào?

Hãy tưởng tượng trong Hình. 5.19. hệ thống các cơ quan tương tác "que-đạn". Mômen của ngoại lực (trọng lực, phản lực trục) tại thời điểm va chạm đều bằng không nên ta có thể sử dụng định luật bảo toàn mômen động lượng.

Mômen động lượng của hệ trước khi va chạm bằng mômen động lượng của viên đạn so với điểm treo.

Mômen động lượng của hệ sau va chạm không đàn hồi được xác định theo công thức

,

Trong đó mômen quán tính của thanh so với điểm treo là mômen quán tính của viên đạn, là vận tốc góc của thanh với viên đạn ngay sau khi va chạm.

Giải phương trình kết quả sau khi thay thế, chúng ta thấy

.

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng định luật bảo toàn cơ năng. Hãy tính động năng của thanh sau khi viên đạn chạm vào nó với thế năng tại điểm cao nhất của thanh đi lên:

,

ở đâu là chiều cao của khối tâm của hệ đã cho.

Sau khi thực hiện các chuyển đổi cần thiết, chúng tôi có được

Góc lệch của thanh liên quan đến giá trị bằng tỷ số

.

Thực hiện các phép tính, ta thu được = 0,1p = 18 0.

5. Xác định gia tốc của các vật và lực căng của chỉ trên máy Atwood, giả sử rằng (Hình 5.20). Mômen quán tính của khối đối với trục quay là Tôi, bán kính khối r. Bỏ qua khối lượng của sợi chỉ.

Hãy sắp xếp tất cả các lực tác dụng lên tải và khối, lập phương trình động lực học cho chúng

Nếu không có sự trượt của sợi dọc theo khối, thì gia tốc thẳng và gia tốc góc có quan hệ với nhau bằng quan hệ

Giải các phương trình này, chúng ta nhận được

Sau đó, chúng tôi tìm thấy T 1 và T 2.

6. Một sợi được gắn vào ròng rọc của chữ thập Oberbeck (Hình 5.21), có một tải trọng khối lượng M= 0,5 kg. Xác định thời gian để một tải vật rơi từ độ cao h= 1 m đến vị trí đáy. Bán kính ròng rọc r\ u003d 3 cm. Bốn quả nặng m= 250g mỗi cái ở một khoảng cách R= 30 cm so với trục của nó. Bỏ mômen quán tính của bản thân chữ thập và ròng rọc so với mômen quán tính của các quả nặng.

Động năng của chuyển động quay

Bài giảng 3. Động lực học của vật cứng

Kế hoạch bài giảng

3.1. Khoảnh khắc của quyền lực.

3.2. Phương trình cơ bản của chuyển động quay. Lực quán tính.

3.3. Động năng của chuyển động quay.

3.4. thời điểm xung động. Định luật bảo toàn momen động lượng.

3.5. Phép tương tự giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.

Khoảnh khắc của quyền lực

Coi chuyển động của một vật cứng quanh một trục cố định. Để một vật cứng có trục quay cố định ОО ( Hình.3.1) và một lực tùy ý được tác dụng lên nó.

Cơm. 3.1

Chúng ta chia lực thành hai thành phần của lực, lực nằm trong mặt phẳng quay, và lực song song với trục quay. Sau đó ta phân lực thành hai thành phần: - tác dụng dọc theo vectơ bán kính và - vuông góc với nó.

Không phải bất kỳ lực nào tác dụng vào một cơ thể cũng sẽ xoay nó. Lực và tạo ra áp lực lên vòng bi, nhưng không làm xoay nó.

Lực có thể làm vật mất cân bằng hoặc không, tùy thuộc vào vị trí tác dụng của lực đó trong vectơ bán kính. Do đó, người ta đưa ra khái niệm mômen của lực đối với trục. Moment của lực so với trục quay gọi là tích vectơ của vectơ bán kính và hợp lực.

Vectơ hướng dọc theo trục quay và được xác định bởi quy tắc tích chéo hoặc quy tắc vít phải hoặc quy tắc gimlet.

Môđun của mômen lực

trong đó α là góc giữa các vectơ và.

Từ Hình.3.1. Rõ ràng là .

r0- khoảng cách ngắn nhất từ ​​trục quay đến đường tác dụng của lực và gọi là vai của lực. Sau đó, mômen của lực có thể được viết

M = F r 0 . (3.3)

Từ hình. 3.1.

ở đâu F là hình chiếu của vectơ lên ​​phương vuông góc với vectơ bán kính. Trong trường hợp này, mômen của lực là

. (3.4)

Nếu một số lực tác dụng lên vật thể, thì mômen lực tạo thành bằng tổng vectơ của các mômen của các lực riêng lẻ, nhưng vì tất cả các mômen đều hướng dọc theo trục nên chúng có thể được thay thế bằng một tổng đại số. Thời điểm sẽ được coi là dương nếu nó quay cơ thể theo chiều kim đồng hồ và âm nếu ngược chiều kim đồng hồ. Nếu tất cả các mômen của các lực đều bằng không () thì vật sẽ ở trạng thái cân bằng.

Khái niệm về một mômen lực có thể được chứng minh bằng cách sử dụng một "cuộn dây thay đổi". Ống chỉ được kéo bởi đầu tự do của chỉ ( cơm. 3.2).

Cơm. 3.2

Tùy theo chiều căng chỉ mà cuộn dây sẽ cuộn theo chiều này hay chiều khác. Nếu bạn kéo ở một góc α , thì mômen của lực đối với trục O(vuông góc với hình vẽ) quay cuộn dây ngược chiều kim đồng hồ và nó cuộn ngược lại. Trong trường hợp lực căng ở một góc β mômen quay ngược chiều kim đồng hồ và cuộn dây chuyển động tịnh tiến.

Sử dụng điều kiện cân bằng (), bạn có thể thiết kế các cơ chế đơn giản là "bộ chuyển đổi" lực, tức là Bằng cách tác dụng ít lực hơn, bạn có thể nâng và di chuyển các vật có trọng lượng khác nhau. Đòn bẩy, xe cút kít, các loại gạch chặn được sử dụng rộng rãi trong xây dựng đều dựa trên nguyên tắc này. Để phù hợp với điều kiện cân bằng trong cầu trục xây dựng để bù mômen lực do trọng lượng của tải trọng gây ra, luôn có một hệ thống các đối trọng tạo ra mômen lực ngược dấu.

3.2. Phương trình quay cơ bản
sự chuyển động. Lực quán tính

Coi một vật hoàn toàn cứng quay quanh một trục cố định OO(Hình.3.3). Hãy tinh thần chia cơ thể này thành các phần tử có khối lượng Δ m 1, Δ m2, …, Δ m n. Trong quá trình xoay, các phần tử này sẽ mô tả các vòng tròn có bán kính r1,r2 , …,rn. Các lực tác động lên từng phần tử F1,F2 , …,F n. Xoay một cơ thể quanh một trục OO xảy ra dưới tác dụng của tổng mômen của các lực M.

M \ u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

ở đâu M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Theo định luật thứ hai của Newton, mỗi lực F, tác dụng lên một phần tử có khối lượng D m, gây ra gia tốc của phần tử đã cho một, I E.

F i = D tôi là tôi (3.5)

Thay các giá trị tương ứng vào (3.4), chúng ta thu được

Cơm. 3,3

Biết mối quan hệ giữa gia tốc góc pháp tuyến ε () và gia tốc góc giống nhau đối với tất cả các phần tử, công thức (3.6) sẽ có dạng

M = (3.7)

=Tôi (3.8)

Tôi là mômen quán tính của vật đối với trục cố định.

Sau đó, chúng tôi sẽ nhận được

M = tôi ε (3.9)

Hoặc ở dạng vector

(3.10)

Phương trình này là phương trình cơ bản cho động lực học của chuyển động quay. Nó có dạng tương tự như Phương trình II của định luật Newton. Từ (3.10) mômen quán tính là

Như vậy, momen quán tính của một vật nhất định là tỉ số giữa momen lực và gia tốc góc do nó gây ra. Từ (3.11) có thể thấy mômen quán tính là đơn vị đo quán tính của cơ thể đối với chuyển động quay. Mômen quán tính đóng vai trò giống như khối lượng trong chuyển động tịnh tiến. Đơn vị SI [ Tôi] = kg m 2. Theo công thức (3.7), mômen quán tính đặc trưng cho sự phân bố khối lượng của các phần tử của vật thể so với trục quay.

Vậy, momen quán tính của một phần tử khối lượng ∆m chuyển động dọc theo đường tròn bán kính r bằng

I = r2 D m (3.12)

Tôi = (3.13)

Trong trường hợp phân bố khối lượng liên tục, tổng có thể được thay thế bằng tích phân

I = ∫ r 2 dm (3.14)

nơi tích hợp được thực hiện trên toàn bộ khối lượng cơ thể.

Điều này cho thấy mômen quán tính của vật phụ thuộc vào khối lượng và sự phân bố của nó so với trục quay. Điều này có thể được chứng minh bằng thực nghiệm Hình.3.4).

Cơm. 3,4

Hai hình trụ tròn, một hình trụ rỗng (ví dụ, kim loại), vật rắn kia (gỗ) có cùng chiều dài, bán kính và khối lượng, bắt đầu lăn xuống đồng thời. Một hình trụ rỗng có momen quán tính lớn sẽ trễ hơn một hình trụ đặc.

Bạn có thể tính được mômen quán tính nếu biết khối lượng m và sự phân bố của nó so với trục quay. Trường hợp đơn giản nhất là một vòng, khi tất cả các phần tử của khối lượng đều nằm cách trục quay như nhau ( cơm. 3.5):

Tôi = (3.15)

Cơm. 3.5

Hãy đưa ra biểu thức mômen quán tính của các vật thể đối xứng khác nhau có khối lượng m.

1. Lực quán tính Nhẫn, hình trụ rỗng thành mỏng về trục quay trùng với trục đối xứng.

, (3.16)

r là bán kính của vòng hoặc hình trụ

2. Đối với hình trụ và đĩa đặc, momen quán tính đối với trục đối xứng

(3.17)

3. Mômen quán tính của quả cầu đối với trục đi qua tâm

(3.18)

r- bán kính bóng

4. Mômen quán tính của một thanh mảnh dài l so với trục vuông góc với thanh và đi qua giữa của nó

(3.19)

l- chiều dài của thanh truyền.

Nếu trục quay không đi qua khối tâm thì mômen quán tính của vật đối với trục này được xác định theo định lý Steiner.

(3.20)

Theo định lý này, mômen quán tính đối với một trục tùy ý О'O '( ) bằng mômen quán tính của một trục song song đi qua khối tâm của vật ( ) cộng với tích của khối lượng cơ thể nhân với bình phương của khoảng cách một giữa các trục ( cơm. 3.6).

Cơm. 3.6

Động năng của chuyển động quay

Coi chuyển động quay của một vật hoàn toàn cứng quanh một trục cố định OO với vận tốc góc là ω (cơm. 3.7). Hãy chia cơ thể cứng nhắc thành N khối lượng sơ cấp ∆ tôi. Mỗi phần tử của khối lượng quay trên một đường tròn bán kính r tôi với tốc độ tuyến tính (). Động năng là tổng động năng của các phần tử riêng lẻ.

(3.21)

Cơm. 3.7

Nhớ lại từ (3.13) rằng là mômen quán tính đối với trục OO.

Như vậy, động năng của một vật quay

E k \ u003d (3.22)

Chúng ta đã coi động năng của chuyển động quay quanh một trục cố định. Nếu vật tham gia vào hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay thì động năng của vật là tổng động năng của chuyển động tịnh tiến và động năng của chuyển động quay.

Ví dụ, một quả bóng khối lượng m lăn; khối tâm của quả cầu chuyển động tịnh tiến với tốc độ u (cơm. 3.8).

Cơm. 3.8

Tổng động năng của quả cầu sẽ bằng

(3.23)

3.4. thời điểm xung động. luật bảo toàn
động lượng góc

Đại lượng vật lý bằng tích của momen quán tính Tôi tốc độ góc ω , được gọi là mômen động lượng (mômen động lượng) L về trục quay.

- Mômen động lượng là đại lượng vectơ và trùng với hướng của vận tốc góc.

Phân biệt phương trình (3.24) theo thời gian, chúng ta thu được

ở đâu, M là tổng mômen của các ngoại lực. Trong một hệ cô lập, không có thời điểm của các lực bên ngoài ( M= 0) và

« Vật lý - Lớp 10 "

Tại sao vận động viên trượt băng kéo dài dọc theo trục quay để tăng vận tốc góc của chuyển động quay.
Máy bay trực thăng có nên quay khi cánh quạt của nó quay không?

Các câu hỏi được đặt ra gợi ý rằng nếu các lực bên ngoài không tác động lên cơ thể hoặc tác động của chúng được bù đắp và một phần của cơ thể bắt đầu quay theo một hướng, thì phần kia phải quay theo hướng khác, giống như khi nhiên liệu được đẩy ra từ một tên lửa, tên lửa tự chuyển động theo hướng ngược lại.

thời điểm xung động.

Nếu chúng ta coi một đĩa quay, hiển nhiên là tổng động lượng của đĩa bằng không, vì bất kỳ hạt nào của vật thể đều tương ứng với một hạt chuyển động với tốc độ bằng nhau về giá trị tuyệt đối, nhưng theo hướng ngược lại (Hình 6.9).

Nhưng đĩa đang chuyển động thì vận tốc góc quay của tất cả các hạt là như nhau. Tuy nhiên, rõ ràng là hạt càng xa trục quay thì động lượng của nó càng lớn. Do đó, đối với chuyển động quay, cần giới thiệu thêm một đặc tính, tương tự như xung lực, - mômen động lượng.

Mômen động lượng của một hạt chuyển động trong một đường tròn là tích của động lượng của hạt và khoảng cách từ nó đến trục quay (Hình 6.10):

Vận tốc thẳng và vận tốc góc liên quan với nhau bởi v = ωr, khi đó

Tất cả các điểm của vật chất cứng chuyển động so với một trục quay cố định với cùng vận tốc góc. Một cơ thể cứng có thể được biểu diễn như một tập hợp các điểm vật liệu.

Mômen động lượng của một vật cứng bằng tích của mômen quán tính và vận tốc góc của chuyển động quay:

Mômen động lượng là một đại lượng vectơ, theo công thức (6.3), mômen động lượng hướng cùng phương với vận tốc góc.

Phương trình cơ bản của động học của chuyển động quay ở dạng xung động.

Gia tốc góc của một vật bằng sự thay đổi của vận tốc góc chia cho khoảng thời gian mà sự thay đổi này xảy ra: Hãy thay biểu thức này thành phương trình cơ bản cho động lực học của chuyển động quay do đó I (ω 2 - ω 1) = MΔt, hoặc IΔω = MΔt.

Vì vậy,

∆L = M∆t. (6,4)

Sự thay đổi mômen động lượng bằng tích tổng mômen của các lực tác dụng lên vật hoặc hệ và thời gian tác dụng của các lực này.

Định luật bảo toàn momen động lượng:

Nếu tổng mômen của các lực tác dụng lên một vật hoặc hệ vật có trục quay cố định bằng 0 thì momen động lượng thay đổi cũng bằng không, tức là momen động lượng của hệ không đổi.

∆L = 0, L = const.

Độ biến thiên động lượng của hệ bằng tổng động lượng của các lực tác dụng lên hệ.

Vận động viên trượt băng quay tròn dang hai tay sang hai bên, do đó làm tăng mômen quán tính để giảm vận tốc góc của chuyển động quay.

Định luật bảo toàn momen động lượng có thể được chứng minh bằng thí nghiệm sau, được gọi là "thí nghiệm với băng ghế Zhukovsky." Một người đứng trên băng ghế có trục quay thẳng đứng đi qua tâm của nó. Người đàn ông cầm tạ trong tay. Nếu băng ghế được tạo ra để xoay, thì một người có thể thay đổi tốc độ quay bằng cách ấn các quả tạ vào ngực hoặc hạ cánh tay xuống, sau đó dang rộng chúng ra. Dang rộng cánh tay, anh ta tăng mômen quán tính và vận tốc góc của chuyển động quay giảm (Hình 6.11, a), hạ tay xuống, anh ta giảm mômen quán tính và vận tốc góc quay của băng ghế tăng lên (Hình. 6.11, b).

Một người cũng có thể làm cho băng ghế quay bằng cách đi dọc theo mép của nó. Trong trường hợp này, băng ghế sẽ quay theo hướng ngược lại, vì tổng mômen động lượng phải bằng không.

Nguyên lý hoạt động của thiết bị gọi là con quay dựa trên định luật bảo toàn momen động lượng. Tính chất chính của con quay hồi chuyển là bảo toàn hướng của trục quay, nếu ngoại lực không tác động lên trục này. Trong thế kỷ 19 con quay hồi chuyển đã được sử dụng bởi các nhà hàng hải để điều hướng trên biển.

Động năng của vật cứng quay.

Động năng của vật rắn quay bằng tổng động năng của các hạt riêng lẻ của nó. Chúng ta hãy chia cơ thể thành các phần tử nhỏ, mỗi phần tử có thể được coi là một điểm vật chất. Khi đó động năng của vật bằng tổng động năng của các chất điểm mà nó gồm:

Do đó, vận tốc góc của chuyển động quay của tất cả các điểm của vật là như nhau

Giá trị trong ngoặc, như chúng ta đã biết, là mômen quán tính của vật cứng. Cuối cùng, công thức tính động năng của vật cứng có trục quay cố định có dạng

Trong trường hợp tổng quát về chuyển động của vật cứng, khi trục quay tự do thì động năng của nó bằng tổng năng lượng của chuyển động tịnh tiến và quay. Vậy động năng của một bánh xe có khối lượng tập trung ở vành, lăn dọc đường với vận tốc không đổi, bằng

Bảng so sánh các công thức của cơ học của chuyển động tịnh tiến của một chất điểm với các công thức tương tự cho chuyển động quay của một vật cứng.

Nhiệm vụ

1. Xác định khối lượng tác dụng lớn gấp bao nhiêu lần khối lượng trọng trường của đoàn tàu có khối lượng 4000 tấn, nếu khối lượng các bánh xe bằng 15% khối lượng của đoàn tàu. Hãy coi các bánh xe như một đĩa có đường kính 1,02 m, câu trả lời sẽ thay đổi như thế nào nếu đường kính của các bánh xe bằng một nửa?

2. Xác định gia tốc để một cặp bánh xe khối lượng 1200 kg lăn xuống một ngọn đồi có độ dốc 0,08. Coi bánh xe như đĩa. Hệ số cản lăn 0,004. Xác định lực bám của bánh xe vào ray.

3. Xác định gia tốc để một cặp bánh xe có khối lượng 1400 kg lăn lên đồi có độ dốc 0,05. Hệ số kéo 0,002. Hệ số bám phải như thế nào để bánh xe không bị trượt. Coi bánh xe như đĩa.

4. Xác định gia tốc để một toa xe có khối lượng 40 tấn lăn xuống một ngọn đồi có độ dốc 0,020 nếu nó có tám bánh xe nặng 1200 kg và đường kính 1,02 m. Xác định lực bám của các bánh xe vào đường ray. Hệ số kéo 0,003.

5. Xác định lực hãm của guốc hãm vào lốp xe, nếu một đoàn tàu khối lượng 4000 tấn chuyển động chậm dần đều với gia tốc 0,3 m / s 2. Mômen quán tính của một bánh xe là 600 kg m 2, số trục là 400, hệ số ma sát trượt của khối là 0,18, hệ số cản lăn là 0,004.

6. Xác định lực hãm tác dụng lên một toa xe bốn trục có khối lượng 60 tấn trên bệ hãm của một bãi tập kết nếu vận tốc trên đường dài 30 m giảm từ 2 m / s đến 1,5 m / s. Mômen quán tính của một bánh xe là 500 kg m 2.

7. Đồng hồ tốc độ của đầu máy cho biết vận tốc của đoàn tàu trong một phút tăng từ 10 m / s đến 60 m / s. Có thể, đã có một sự trượt bánh xe dẫn đầu. Xác định mômen của các lực tác dụng lên phần ứng của động cơ điện. Mômen quán tính của bộ bánh 600 kg m 2, neo 120 kg m 2. Tỷ số truyền 4.2. Lực ép lên ray là 200 kN, hệ số ma sát trượt của các bánh xe dọc ray là 0,10.

11. NĂNG LƯỢNG KINETIC CỦA XOAY CHIỀU

SỰ DI CHUYỂN

Ta suy ra công thức tính động năng của chuyển động quay. Cho vật quay với vận tốc góc ω về trục cố định. Bất kỳ hạt nhỏ nào của cơ thể thực hiện chuyển động tịnh tiến theo đường tròn với tốc độ r tôi - khoảng cách đến trục quay, bán kính quỹ đạo. Động năng của một hạt quần chúng tôi bằng . Tổng động năng của hệ các hạt bằng tổng động năng của chúng. Chúng ta hãy tổng hợp các công thức về động năng của các hạt của vật thể và lấy ra dấu của tổng của một nửa bình phương vận tốc góc, điều này giống nhau đối với tất cả các hạt, . Tổng của tích khối lượng của các hạt và bình phương khoảng cách của chúng đến trục quay là mômen quán tính của vật đối với trục quay. . Cho nên, động năng của vật quay quanh một trục cố định bằng nửa tích mômen quán tính của vật đối với trục và bình phương vận tốc góc của chuyển động quay.:

Vật thể quay có thể tích trữ năng lượng cơ học. Các cơ quan như vậy được gọi là bánh đà. Thông thường đây là những cơ quan của cuộc cách mạng. Việc sử dụng bánh đà trong bánh xe của người thợ gốm đã được biết đến từ thời cổ đại. Trong động cơ đốt trong, trong quá trình hành trình, piston truyền năng lượng cơ học cho bánh đà, sau đó sẽ thực hiện công chuyển động quay của trục động cơ trong ba chu kỳ tiếp theo. Trong máy dập và máy dập, bánh đà được dẫn động bởi một động cơ điện có công suất tương đối thấp, tích lũy năng lượng cơ học trong một vòng quay gần như hoàn toàn, và trong một khoảnh khắc tác động ngắn sẽ tạo ra công việc dập.

Có rất nhiều nỗ lực sử dụng bánh đà quay để lái các phương tiện: ô tô, xe buýt. Chúng được gọi là mahomobiles, tàu sân bay con quay hồi chuyển. Nhiều máy thí nghiệm như vậy đã được tạo ra. Có thể hứa hẹn sẽ sử dụng bánh đà để tích trữ năng lượng trong quá trình phanh của tàu điện nhằm sử dụng năng lượng tích lũy trong quá trình tăng tốc tiếp theo. Lưu trữ năng lượng bánh đà được biết là được sử dụng trên các chuyến tàu điện ngầm của Thành phố New York.

Hãy xác định động năng của một vật cứng quay quanh một trục cố định. Hãy chia cơ thể này thành n điểm vật chất. Mỗi chất điểm chuyển động với tốc độ thẳng υ i = ωr i thì động năng của chất điểm

hoặc

Tổng động năng của một vật cứng đang quay bằng tổng động năng của tất cả các chất điểm của nó:

(3.22)

(J - mômen quán tính của vật đối với trục quay)

Nếu quỹ đạo của tất cả các điểm nằm trong các mặt phẳng song song (giống như một hình trụ lăn xuống một mặt phẳng nghiêng, mỗi điểm chuyển động trong một mặt phẳng riêng của nó), thì đây là chuyển động phẳng. Theo nguyên lý của Euler, chuyển động của mặt phẳng luôn có thể bị phân hủy theo vô số cách thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Nếu quả bóng rơi hoặc trượt dọc theo một mặt phẳng nghiêng, nó chỉ chuyển động về phía trước; khi quả bóng lăn, nó cũng quay.

Nếu một vật thực hiện đồng thời chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay thì tổng động năng của nó bằng

(3.23)

Từ việc so sánh các công thức tính động năng của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay, có thể thấy rằng đơn vị đo quán tính trong quá trình chuyển động quay là mômen quán tính của vật.

§ 3.6 Công của ngoại lực trong quá trình quay của vật cứng

Khi một vật cứng quay, thế năng của nó không thay đổi, do đó, công cơ bản của ngoại lực bằng độ tăng động năng của vật đó:

dA = dE hoặc

Xét rằng Jβ = M, ωdr = dφ, ta có α của vật ở một góc hữu hạn φ bằng

(3.25)

Khi một vật cứng quay quanh một trục cố định, thì công của các lực bên ngoài được xác định bằng tác dụng của mômen của các lực này đối với một trục cho trước. Nếu mômen của các lực đối với trục bằng 0 thì các lực này không sinh công.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Ví dụ 2.1. khối lượng bánh đàm= 5kg và bán kínhr= 0,2 m quay quanh trục hoành với tần sốν 0 = 720 phút -1 và dừng lại khi phanht= 20 giây. Tìm mômen hãm và số vòng quay trước khi dừng.

Để xác định mômen hãm, ta áp dụng phương trình cơ bản về động lực học của chuyển động quay

trong đó I = mr 2 là mômen quán tính của đĩa; Δω \ u003d ω - ω 0 và ω \ u003d 0 là vận tốc góc cuối cùng, ω 0 \ u003d 2πν 0 là vận tốc ban đầu. M là mômen hãm của các lực tác dụng lên đĩa.

Biết tất cả các đại lượng, có thể xác định được mômen hãm

Mr 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Từ động học của chuyển động quay, góc quay trong quá trình đĩa quay dừng lại có thể được xác định theo công thức

(3)

trong đó β là gia tốc góc.

Theo điều kiện của bài toán: ω = ω 0 - βΔt, vì ω = 0 nên ω 0 = βΔt

Khi đó, biểu thức (2) có thể được viết thành:

Ví dụ 2.2. Hai bánh đà ở dạng đĩa có cùng bán kính và khối lượng được quay với tốc độ quayN= 480 vòng / phút và để riêng. Dưới tác dụng của lực ma sát của các trục lên ổ trục, trục đầu tiên dừng lại saut\ u003d 80 giây và giây thứ hai đã làmN= 240 vòng quay để dừng. Ở bánh đà nào, momen lực ma sát của các trục lên ổ lăn lớn hơn bao nhiêu lần.

Chúng ta sẽ tìm mômen của lực gai M 1 của bánh đà thứ nhất bằng cách sử dụng phương trình cơ bản của động lực học của chuyển động quay

M 1 Δt \ u003d Iω 2 - Iω 1

trong đó Δt là thời gian tác dụng của lực ma sát, I \ u003d mr 2 - momen quán tính của bánh đà, ω 1 \ u003d 2πν và ω 2 \ u003d 0 là vận tốc góc ban đầu và cuối cùng của bánh đà

sau đó

Mômen của lực ma sát M 2 của bánh đà thứ hai được biểu thị thông qua mối quan hệ giữa công A của lực ma sát và sự thay đổi động năng ΔE k của nó:

trong đó Δφ = 2πN là góc quay, N là số vòng quay của bánh đà.

Sau đo ở đâu

O tỷ lệ sẽ là

Mômen ma sát của bánh đà thứ hai lớn hơn 1,33 lần.

Ví dụ 2.3. Khối lượng của đĩa rắn đồng chất m, khối lượng của các tải trọng m 1 và M 2 (hình 15). Không có sự trượt và ma sát của ren trong trục của hình trụ. Tìm gia tốc của các khối lượng và tỉ số của lực căng sợitrong quá trình chuyển động.

Không có sự trượt của sợi, do đó, khi m 1 và m 2 chuyển động tịnh tiến, hình trụ sẽ quay quanh trục đi qua điểm O. Hãy giả sử rằng m 2> m 1.

Sau đó hạ tải m 2 và làm cho hình trụ quay theo chiều kim đồng hồ. Hãy viết phương trình chuyển động của các vật trong hệ

Hai phương trình đầu tiên được viết cho các vật có khối lượng m 1 và m 2 thực hiện chuyển động tịnh tiến và phương trình thứ ba là cho một hình trụ quay. Trong phương trình thứ ba, bên trái là tổng mômen của các lực tác dụng lên hình trụ (mômen của lực T 1 lấy dấu trừ, vì lực T 1 có xu hướng làm hình trụ quay ngược chiều kim đồng hồ). Ở bên phải, I là mômen quán tính của hình trụ cách trục O một khoảng bằng

với R là bán kính của hình trụ; β là gia tốc góc của hình trụ.

Vì không có đường trượt,
. Tính đến các biểu thức cho I và β, chúng ta nhận được:

Cộng các phương trình của hệ, chúng ta đi đến phương trình

Từ đây, chúng ta tìm thấy gia tốc một hàng hóa

Có thể thấy từ phương trình kết quả rằng độ căng của sợi sẽ giống nhau, tức là = 1 nếu khối lượng của hình trụ nhỏ hơn khối lượng của các quả nặng.

Ví dụ 2.4. Một quả cầu rỗng khối lượng m = 0,5 kg có bán kính ngoài R = 0,08m và bán kính trong r = 0,06m. Quả cầu quay quanh một trục đi qua tâm của nó. Tại một thời điểm nhất định, một lực bắt đầu tác dụng lên quả bóng, do đó góc quay của quả bóng thay đổi theo quy luật
. Xác định mômen của lực tác dụng.

Chúng tôi giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng phương trình cơ bản của động lực học của chuyển động quay
. Khó khăn chính là xác định mômen quán tính của quả cầu rỗng và gia tốc góc β được tìm thấy là
. Mômen quán tính I của quả cầu rỗng bằng hiệu giữa mômen quán tính của quả cầu bán kính R và quả cầu bán kính r:

trong đó ρ là khối lượng riêng của vật liệu làm bóng. Ta tìm khối lượng riêng, biết khối lượng của một quả bóng rỗng

Từ đây ta xác định được khối lượng riêng của vật liệu của quả bóng

Đối với mômen của lực M ta thu được biểu thức sau:

Ví dụ 2.5. Một thanh mảnh có khối lượng 300 g, dài 50 cm quay với vận tốc góc 10 s -1 trong một mặt phẳng nằm ngang quanh một trục thẳng đứng đi qua giữa thanh. Tìm vận tốc góc nếu trong quá trình quay trong cùng một mặt phẳng, thanh chuyển động sao cho trục quay đi qua đầu thanh.

Ta sử dụng định luật bảo toàn momen động lượng

(1)

(J i - mômen quán tính của thanh so với trục quay).

Đối với một hệ vật cô lập, tổng vectơ của mômen động lượng không đổi. Do sự phân bố khối lượng của thanh so với trục quay thay đổi nên mômen quán tính của thanh cũng thay đổi theo (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2. (2)

Biết rằng mômen quán tính của thanh đối với trục đi qua khối tâm và vuông góc với thanh bằng

J 0 \ u003d mℓ 2/12. (3)

Theo định lý Steiner

J = J 0 + m một 2

(J là mômen quán tính của thanh đối với một trục quay tùy ý; J 0 là mômen quán tính đối với trục song song đi qua khối tâm; một- khoảng cách từ khối tâm đến trục quay đã chọn).

Hãy tìm mômen quán tính của trục đi qua đầu của nó và vuông góc với thanh:

J 2 \ u003d J 0 + m một 2, J 2 = mℓ 2/12 + m (ℓ / 2) 2 = mℓ 2/3. (4)

Hãy để chúng tôi thay thế các công thức (3) và (4) thành (2):

mℓ 2 ω 1/12 = mℓ 2 ω 2/3

ω 2 \ u003d ω 1/4 ω 2 \ u003d 10s-1/4 \ u003d 2,5s -1

Ví dụ 2.6 . người đàn ông đại chúngm= 60 kg, đứng trên mép của bệ có khối lượng M = 120 kg, quay theo quán tính quanh một trục thẳng đứng cố định với tần số ν 1 = 12 phút -1 , đi đến trung tâm của nó. Coi bệ là một đĩa tròn đồng chất và người là một khối điểm, hãy xác định với tần số nào ν 2 nền tảng sau đó sẽ xoay.

Được cho: m = 60kg, M = 120kg, ν 1 = 12phút -1 = 0,2s -1 .

Để tìm: v 1

Quyết định: Theo điều kiện của bài toán, bệ có người quay theo quán tính, tức là mômen kết quả của tất cả các lực tác dụng lên hệ quay bằng không. Do đó, đối với hệ thống "platform-man", định luật bảo toàn động lượng được thực hiện

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

ở đâu
- mômen quán tính của hệ thống khi một người đứng trên mép của bệ (chúng tôi đã tính đến rằng mômen quán tính của hệ bằng (R là bán kính p
bệ), mômen quán tính của một người ở mép bệ là mR 2).

- Mômen quán tính của hệ thống khi một người đứng ở giữa bệ (chúng tôi đã tính đến mômen quán tính của một người đứng ở giữa bệ bằng không). Vận tốc góc ω 1 = 2π ν 1 và ω 1 = 2π ν 2.

Thay các biểu thức đã viết vào công thức (1), chúng ta thu được

khi tốc độ quay mong muốn

Trả lời: v 2 = 24 phút -1.