Cách tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số. b - số cuối cùng

Định lý về giới hạn của hàm đơn điệu. Việc chứng minh định lý được đưa ra bằng hai phương pháp. Các định nghĩa về hàm tăng, không giảm, giảm nghiêm và không tăng cũng được đưa ra. Định nghĩa của một hàm đơn điệu.

Định nghĩa

Định nghĩa của các hàm tăng và giảm
Cho hàm f (x)được xác định trên một số bộ số thực x.
Hàm được gọi là tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm trọng), nếu với mọi x ′, x ′ ′ ∈ X sao cho x ′< x′′ выполняется неравенство:
f (x ′)< f(x′′) (f (x ′)> f (x ′ ′) ) .
Hàm được gọi là không giảm (không tăng), nếu với mọi x ′, x ′ ′ ∈ X sao cho x ′< x′′ выполняется неравенство:
f (x ′) ≤ f (x ′ ′)(f (x ′) ≥ f (x ′ ′) ) .

Điều này ngụ ý rằng một hàm tăng nghiêm ngặt cũng không giảm. Một chức năng giảm nghiêm ngặt cũng không tăng.

Định nghĩa của một hàm đơn điệu
Hàm được gọi là đơn điệu nếu nó không giảm hoặc không tăng.

Để nghiên cứu tính đơn điệu của một hàm trên một số tập X, bạn cần tìm hiệu của các giá trị của nó trong hai điểm tùy ý thuộc bộ này. Nếu, thì hàm đang tăng một cách nghiêm ngặt; nếu, thì hàm không giảm; nếu, sau đó giảm nghiêm ngặt; nếu, sau đó không tăng.

Nếu trên một số tập hợp hàm là số dương :, thì để xác định tính đơn điệu, người ta có thể kiểm tra thương của phép chia các giá trị của nó tại hai điểm tùy ý của tập hợp này. Nếu, thì hàm đang tăng một cách nghiêm ngặt; nếu, thì hàm không giảm; nếu, sau đó giảm nghiêm ngặt; nếu, sau đó không tăng.

Định lý
Cho hàm f (x) không giảm trong khoảng thời gian (a, b), ở đâu .
Nếu nó được giới hạn từ phía trên bởi số M :, thì có giới hạn bên trái hữu hạn tại điểm b :. Nếu f (x) không bị ràng buộc ở trên, sau đó.
Nếu f (x)được giới hạn từ bên dưới bởi số m :, khi đó có giới hạn hữu hạn bên phải tại điểm a:. Nếu f (x) không bị ràng buộc bên dưới, sau đó.

Nếu điểm a và b ở vô cùng thì trong biểu thức dấu giới hạn có nghĩa là.
Định lý này có thể được xây dựng một cách nhỏ gọn hơn.

Cho hàm f (x) không giảm trong khoảng thời gian (a, b), ở đâu . Khi đó các giới hạn một phía tại điểm a và b là:
;
.

Một định lý tương tự cho một hàm không tăng.

Để hàm số không tăng trên khoảng nào, tại đâu. Sau đó, có những giới hạn một phía:
;
.

Hậu quả
Để hàm số đơn điệu trên khoảng. Khi đó, tại bất kỳ thời điểm nào kể từ khoảng thời gian này, có giới hạn hữu hạn một phía của hàm số:
và .

Chứng minh định lý

Chức năng không giảm

b - số cuối cùng

Chức năng giới hạn từ bên trên

1.1.1. Cho hàm có giới hạn từ trên bởi số M: for.

.
;
.

Vì hàm không giảm nên cho. sau đó
tại .
Hãy biến đổi bất đẳng thức cuối cùng:
;
;
.
Bởi vì lúc đó . sau đó
tại .

tại .
"Định nghĩa giới hạn một phía của hàm tại một điểm hữu hạn").

Chức năng không bị giới hạn từ phía trên

1. Để hàm số không giảm trên khoảng.
1.1. Cho số b là hữu hạn:.
1.1.2. Để chức năng không bị ràng buộc từ phía trên.
Hãy để chúng tôi chứng minh rằng trong trường hợp này có một giới hạn.

.

tại .

Hãy biểu thị. Sau đó, cho bất kỳ tồn tại, vì vậy
tại .
Điều này có nghĩa là giới hạn bên trái tại điểm b là (xem "Định nghĩa về giới hạn vô hạn một phía của hàm tại điểm cuối").

b sớm cộng với vô cùng

Chức năng giới hạn từ bên trên

1. Để hàm số không giảm trên khoảng.
1.2.1. Cho hàm có giới hạn từ trên bởi số M: for.
Hãy để chúng tôi chứng minh rằng trong trường hợp này có một giới hạn.

Vì hàm được giới hạn từ phía trên, nên có giới hạn trên hữu hạn
.
Theo định nghĩa của chính xác mặt trên, được thực hiện điều kiện sau:
;
đối với bất kỳ tích cực nào, có một đối số cho
.

Vì hàm không giảm nên cho. Sau đó tại. Hoặc
tại .

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy rằng đối với bất kỳ trường hợp nào tồn tại một số, do đó
tại .
"Định nghĩa của giới hạn một phía ở vô cùng").

Chức năng không bị giới hạn từ phía trên

1. Để hàm số không giảm trên khoảng.
1.2. Cho số b là cộng vô cùng:.
1.2.2. Để chức năng không bị ràng buộc từ phía trên.
Hãy để chúng tôi chứng minh rằng trong trường hợp này có một giới hạn.

Vì hàm không bị giới hạn từ phía trên, nên đối với bất kỳ số M nào cũng có một đối số, cho
.

Vì hàm không giảm nên cho. Sau đó tại.

Vì vậy, đối với bất kỳ có một con số, do đó
tại .
Điều này có nghĩa là giới hạn tại là (xem "Định nghĩa về giới hạn vô hạn một phía ở vô cùng").

Hàm không tăng

Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi hàm không tăng. Như trên, bạn có thể xem xét từng tùy chọn riêng biệt. Nhưng chúng tôi sẽ đề cập đến chúng ngay sau đây. Đối với điều này chúng tôi sử dụng. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng trong trường hợp này có một giới hạn.

Xem xét giới hạn dưới hữu hạn của tập giá trị hàm:
.
Ở đây B có thể là một số hữu hạn hoặc một điểm ở vô cùng. Theo định nghĩa của infimum chính xác, các điều kiện sau được thỏa mãn:
;
đối với bất kỳ vùng lân cận nào của điểm B, có một đối số cho
.
Theo điều kiện của định lý,. Đó là lý do tại sao.

Vì hàm không tăng nên cho. Bởi vì lúc đó
tại .
Hoặc
tại .
Hơn nữa, chúng ta lưu ý rằng bất đẳng thức xác định vùng lân cận bị thủng bên trái của điểm b.

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy rằng đối với bất kỳ vùng lân cận nào của điểm, có vùng lân cận bên trái bị thủng của điểm b đến mức
tại .
Điều này có nghĩa là giới hạn bên trái tại điểm b là:

(xem định nghĩa phổ quát về giới hạn của hàm theo Cauchy).

Giới hạn tại điểm a

Bây giờ hãy chứng minh rằng có một giới hạn tại điểm a và tìm giá trị của nó.

Hãy xem xét một chức năng. Theo điều kiện của định lý, hàm là đơn điệu cho. Hãy thay biến x bằng - x (hoặc thay thế rồi thay biến t bằng x). Sau đó, hàm là đơn điệu cho. Nhân các bất đẳng thức với -1 và thay đổi thứ tự của chúng, chúng tôi kết luận rằng hàm là đơn điệu cho.

Một cách tương tự, dễ dàng cho thấy rằng nếu nó không giảm, sau đó nó không tăng. Sau đó, theo những gì đã được chứng minh ở trên, có một giới hạn
.
Nếu nó không tăng, sau đó nó không giảm. Trong trường hợp này, có một giới hạn
.

Bây giờ nó vẫn còn để chứng minh rằng nếu có giới hạn của hàm tại, thì sẽ có giới hạn của hàm tại và các giới hạn này bằng nhau:
.

Hãy giới thiệu ký hiệu:
(1) .
Hãy biểu diễn f theo g:
.
Lấy một số dương tùy ý. Giả sử có một vùng lân cận epsilon của điểm A. Vùng lân cận Epsilon được xác định cho cả giá trị hữu hạn và vô hạn của A (xem "Vùng lân cận của một điểm"). Vì có một giới hạn (1), do đó, theo định nghĩa của một giới hạn, đối với bất kỳ giới hạn nào tồn tại như vậy
tại .

Cho một số hữu hạn. Hãy để chúng tôi biểu diễn vùng lân cận bị thủng bên trái của điểm -a bằng cách sử dụng các bất đẳng thức:
tại .
Hãy thay x bằng -x và tính đến điều đó:
tại .
Hai bất đẳng thức cuối cùng xác định vùng lân cận bên phải bị thủng của điểm a. sau đó
tại .

Cho một số vô hạn ,. Chúng tôi nhắc lại cuộc thảo luận.
tại ;
tại ;
tại ;
tại .

Vì vậy, chúng tôi nhận thấy rằng đối với bất kỳ trường hợp nào tồn tại như vậy
tại .
Nó có nghĩa là
.

Định lý đã được chứng minh.

Chúng tôi gặp nhau lần đầu trong giờ học đại số lớp 7. Nhìn vào đồ thị của hàm số, ta loại bỏ các thông tin liên quan: nếu di chuyển dọc theo đồ thị từ trái sang phải, đồng thời ta đang di chuyển từ dưới lên trên (như đang leo đồi) thì ta khai báo hàm tăng ( Hình 124); nếu chúng ta di chuyển từ trên xuống dưới (đi xuống đồi), thì chúng ta đã khai báo hàm đang giảm (Hình. 125).

Tuy nhiên, các nhà toán học không thích cách này để nghiên cứu các tính chất của một hàm. Họ tin rằng các định nghĩa của các khái niệm không nên dựa trên một hình vẽ - một hình vẽ chỉ nên minh họa một hoặc một thuộc tính khác của một hàm trên nó đồ thị. Hãy để chúng tôi đưa ra định nghĩa chặt chẽ về các khái niệm của hàm tăng và giảm.

Định nghĩa 1. Hàm số y \ u003d f (x) được gọi là tăng trên khoảng X, nếu từ bất phương trình x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Định nghĩa 2. Hàm y \ u003d f (x) được gọi là giảm trên khoảng X, nếu từ bất phương trình x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует bất bình đẳng f (x1)> f (x2).

Trong thực tế, sử dụng các công thức sau sẽ thuận tiện hơn:

hàm tăng nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm;
hàm đang giảm nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm.

Sử dụng các định nghĩa này và các thuộc tính được thiết lập trong § 33 bất bình đẳng số, chúng tôi sẽ có thể chứng minh các kết luận về sự tăng hoặc giảm của các chức năng đã nghiên cứu trước đó.

1. Hàm số tuyến tính y = kx + m

Nếu k> 0 thì hàm tăng trên toàn bộ (Hình. 126); nếu k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Bằng chứng. Cho f (x) = kx + m. Nếu x 1< х 2 и k >Vậy thì, theo tính chất 3 của bất đẳng thức số (xem § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Vì vậy, từ bất đẳng thức x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. tuyến tính các hàm y = kx + m.

Nếu x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2, và theo tính chất 2, từ kx 1> kx 2 suy ra kx 1 + m> kx 2 + t.

Vì vậy, từ bất đẳng thức x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2). Điều này có nghĩa là hàm y \ u003d f (x) giảm, tức là hàm tuyến tính y = kx + m.

Nếu một hàm đang tăng (giảm) trong toàn bộ miền xác định của nó, thì nó có thể được gọi là tăng (giảm) mà không xác định khoảng. Ví dụ: về hàm y \ u003d 2x - 3, chúng ta có thể nói rằng nó tăng trên toàn bộ trục số, nhưng chúng ta cũng có thể nói ngắn gọn: y \ u003d 2x - 3 - tăng
hàm số.

2. Hàm số y = x2

1. Xét hàm số y \ u003d x 2 trên tia. Lấy hai số không dương x 1 và x 2 sao cho x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Vì các số - x 1 và - x 2 không âm, do đó, bình phương cả hai phần của bất đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được bất đẳng thức có cùng nghĩa (-x 1) 2> (-x 2) 2, tức là Điều này có nghĩa là f (x 1)> f (x 2).

Vì vậy, từ bất đẳng thức x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f (x 2).

Do đó, hàm y \ u003d x 2 giảm trên chùm (- 00, 0] (Hình 128).

1. Xét một hàm số trên khoảng (0, + 00).
Hãy để x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f (x2).

Vì vậy, từ bất đẳng thức x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f (x2). Điều này có nghĩa là hàm giảm trên tia mở (0, + 00) (Hình. 129).

2. Xét một hàm số trên khoảng (-oo, 0). Cho x 1< х 2 , х 1 и х 2 - số âm. Khi đó - x 1> - x 2, và cả hai phần của bất đẳng thức cuối cùng - số dương, và do đó (chúng tôi lại sử dụng bất đẳng thức được chứng minh trong Ví dụ 1 của § 33). Sau đó, chúng tôi có, khi nào chúng tôi nhận được.

Vì vậy, từ bất đẳng thức x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f (x 2) tức là hàm giảm trên chùm mở (- 00, 0)

Thông thường các thuật ngữ "chức năng tăng", "chức năng giảm" kết hợp với nhau tên gọi chung hàm đơn điệu, và việc nghiên cứu một hàm tăng và giảm được gọi là nghiên cứu một hàm cho tính đơn điệu.

Dung dịch.

1) Hãy vẽ đồ thị của hàm y \ u003d 2x 2 và lấy nhánh của parabol này tại x< 0 (рис. 130).

2) Hãy xây dựng và chọn phần của nó trên phân đoạn (Hình. 131).

3) Chúng tôi dựng một hyperbol và chọn phần của nó trên tia mở (4, + 00) (Hình 132).
4) Cả ba "mảnh" sẽ được mô tả trong cùng một hệ tọa độ - đây là đồ thị của hàm y \ u003d f (x) (Hình. 133).

Hãy đọc đồ thị của hàm số y \ u003d f (x).

1. Phạm vi của hàm là toàn bộ dãy số.

2. y \ u003d 0 cho x \ u003d 0; y> 0 với x> 0.

3. Hàm giảm trên tia (-oo, 0], tăng trên đoạn, giảm trên tia, lồi lên trên đoạn, lồi hướng xuống trên tia Xét hàm \ (f (t) = t ^ 3 + t \). Sau đó, phương trình sẽ được viết lại dưới dạng: \ Chúng tôi khảo sát hàm \ (f (t) \). \ Do đó, hàm \ (f (t) \) đang tăng cho tất cả \ (t \). Điều này có nghĩa là mỗi giá trị của hàm \ (f (t) \) tương ứng với chính xác một giá trị của đối số \ (t \). Do đó, để phương trình có nghiệm, bạn cần: \ Để phương trình kết quả có hai nghiệm, nghiệm của nó phải là số dương: \

Câu trả lời:

\ (\ left (- \ infty; \ dfrac1 (12) \ right) \)

Nhiệm vụ 2 # 2653

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị của tham số \ (a \) mà phương trình \

có hai gốc.

(Nhiệm vụ từ người đăng ký.)

Hãy thay thế: \ (ax ^ 2-2x = t \), \ (x ^ 2-1 = u \). Khi đó phương trình sẽ có dạng: \ Hãy xem xét hàm \ (f (w) = 7 ^ w + \ sqrtw \). Khi đó phương trình của chúng ta sẽ có dạng:

Hãy tìm đạo hàm \ Lưu ý rằng đối với tất cả \ (w \ ne 0 \) thì đạo hàm là \ (f "(w)> 0 \), vì \ (7 ^ w> 0 \), \ (w ^ 6> 0 \). Cũng lưu ý rằng bản thân hàm \ (f (w) \) được định nghĩa cho tất cả \ (w \). Hơn nữa, bởi vì \ (f (w) \) là liên tục, chúng ta có thể kết luận rằng \ (f (w) \) là tăng trên tất cả \ (\ mathbb (R) \).
Do đó, đẳng thức \ (f (t) = f (u) \) là khả thi nếu và chỉ khi \ (t = u \). Hãy quay lại các biến ban đầu và giải phương trình kết quả:

\ Để phương trình này có hai nghiệm, nó phải vuông và phân biệt của nó phải là số dương:

\ [\ begin (các trường hợp) a-1 \ ne 0 \\ 4-4 (a-1)> 0 \ end (các trường hợp) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ begin (các trường hợp) a \ ne1 \\ a<2\end{cases}\]

Câu trả lời:

\ ((- \ infty; 1) \ cup (1; 2) \)

Nhiệm vụ 3 # 3921

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị dương của tham số \ (a \) mà phương trình

có ít nhất \ (2 \) giải pháp.

Chúng ta hãy di chuyển tất cả các số hạng chứa \ (ax \) sang bên trái và những số hạng chứa \ (x ^ 2 \) sang bên phải và xem xét hàm
\

Khi đó phương trình ban đầu sẽ có dạng:
\

Hãy tìm đạo hàm:
\

Tại vì \ ((t-2) ^ 2 \ geqslant 0, \ e ^ t> 0, \ 1+ \ cos (2t) \ geqslant 0 \), sau đó \ (f "(t) \ geqslant 0 \) cho bất kỳ \ (t \ in \ mathbb (R) \).

Hơn nữa, \ (f "(t) = 0 \) if \ ((t-2) ^ 2 = 0 \) và \ (1+ \ cos (2t) = 0 \) đồng thời không đúng cho bất kỳ \ (t \) Do đó, \ (f "(t)> 0 \) cho bất kỳ \ (t \ in \ mathbb (R) \).

Do đó, hàm \ (f (t) \) đang tăng mạnh cho tất cả \ (t \ in \ mathbb (R) \).

Vậy phương trình \ (f (ax) = f (x ^ 2) \) tương đương với phương trình \ (ax = x ^ 2 \).

Phương trình \ (x ^ 2-ax = 0 \) với \ (a = 0 \) có một căn \ (x = 0 \) và với \ (a \ ne 0 \) nó có hai gốc khác nhau\ (x_1 = 0 \) và \ (x_2 = a \).
Chúng ta cần tìm các giá trị \ (a \) mà tại đó phương trình sẽ có ít nhất hai nghiệm nguyên, cũng tính đến thực tế là \ (a> 0 \).
Do đó, câu trả lời là: \ (a \ in (0; + \ infty) \).

Câu trả lời:

\ ((0; + \ infty) \).

Nhiệm vụ 4 # 1232

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị của tham số \ (a \), cho mỗi giá trị của phương trình \

có một giải pháp duy nhất.

Nhân các vế phải và trái của phương trình với \ (2 ^ (\ sqrt (x + 1)) \) (bởi vì \ (2 ^ (\ sqrt (x + 1))> 0 \)) và viết lại phương trình dưới dạng : \

Xem xét chức năng \ (y = 2 ^ t \ cdot \ log _ (\ frac (1) (9)) ((t + 2)) \) for \ (t \ geqslant 0 \) (bởi vì \ (\ sqrt (x + 1) \ geqslant 0 \)).

Phát sinh \ (y "= \ left (-2 ^ t \ cdot \ log_9 ((t + 2)) \ right)" = - \ dfrac (2 ^ t) (\ ln9) \ cdot \ left (\ ln 2 \ cdot \ ln ((t + 2)) + \ dfrac (1) (t + 2) \ right) \).

Tại vì \ (2 ^ t> 0, \ \ dfrac (1) (t + 2)> 0, \ \ ln ((t + 2))> 0 \) cho tất cả \ (t \ geqslant 0 \), sau đó \ (y "<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Do đó, đối với \ (t \ geqslant 0 \), hàm \ (y \) giảm đơn điệu.

Phương trình có thể được xem như \ (y (t) = y (z) \), trong đó \ (z = ax, t = \ sqrt (x + 1) \). Từ tính đơn điệu của hàm, chỉ có thể có đẳng thức nếu \ (t = z \).

Điều này có nghĩa là phương trình tương đương với phương trình: \ (ax = \ sqrt (x + 1) \), tương đương với hệ: \ [\ begin (các trường hợp) a ^ 2x ^ 2-x-1 = 0 \\ ax \ geqslant 0 \ end (các trường hợp) \]

Với \ (a = 0 \), hệ thống có một nghiệm \ (x = -1 \), thỏa mãn điều kiện \ (ax \ geqslant 0 \).

Hãy xem xét trường hợp \ (a \ ne 0 \). Phân biệt của phương trình đầu tiên của hệ \ (D = 1 + 4a ^ 2> 0 \) với mọi \ (a \). Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm là \ (x_1 \) và \ (x_2 \) và chúng có dấu khác nhau (vì theo định lý Vieta \ (x_1 \ cdot x_2 = - \ dfrac (1) (a ^ 2)<0\) ).

Điều này có nghĩa là đối với \ (a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0 \) gốc dương phù hợp với điều kiện. Do đó, hệ thống luôn có một giải pháp duy nhất.

Vì vậy, \ (a \ in \ mathbb (R) \).

Câu trả lời:

\ (a \ in \ mathbb (R) \).

Nhiệm vụ 5 # 1234

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị của tham số \ (a \), cho mỗi giá trị của phương trình \

có ít nhất một gốc từ khoảng \ ([- 1; 0] \).

Xem xét chức năng \ (f (x) = 2x ^ 3-3x (ax + x-a ^ 2-1) -3a-a ^ 3 \) cho một số cố định \ (a \). Hãy tìm đạo hàm của nó: \ (f "(x) = 6x ^ 2-6ax-6x + 3a ^ 2 + 3 = 3 (x ^ 2-2ax + a ^ 2 + x ^ 2-2x + 1) = 3 ((x-a) ^ 2 + (x-1) ^ 2) \).

Lưu ý rằng \ (f "(x) \ geqslant 0 \) cho tất cả các giá trị của \ (x \) và \ (a \) và bằng \ (0 \) chỉ cho \ (x = a = 1 \). Nhưng đối với \ (a = 1 \):
\ (f "(x) = 6 (x-1) ^ 2 \ Rightarrow f (x) = 2 (x-1) ^ 3 \ Rightarrow \) phương trình \ (2 (x-1) ^ 3 = 0 \) có một căn duy nhất \ (x = 1 \) không thoả mãn điều kiện. Do đó, \ (a \) không thể bằng \ (1 \).

Do đó, đối với tất cả \ (a \ ne 1 \), hàm \ (f (x) \) đang tăng nghiêm ngặt, do đó phương trình \ (f (x) = 0 \) chỉ có thể có nhiều nhất một gốc. Với các thuộc tính của một hàm bậc ba, đồ thị \ (f (x) \) cho một số \ (a \) cố định sẽ giống như sau:

Vì vậy, để phương trình có căn từ đoạn \ ([- 1; 0] \), cần phải: \ [\ begin (case) f (0) \ geqslant 0 \\ f (-1) \ leqslant 0 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow \ begin (các trường hợp) a (a ^ 2 + 3) \ leqslant 0 \\ ( a + 2) (a ^ 2 + a + 4) \ geqslant 0 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow \ begin (các trường hợp) a \ leqslant 0 \\ a \ geqslant -2 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow -2 \ leqslant a \ leqslant 0 \]

Vì vậy \ (a \ trong [-2; 0] \).

Câu trả lời:

\ (a \ trong [-2; 0] \).

Nhiệm vụ 6 # 2949

Mức độ nhiệm vụ: Tương đương với Kỳ thi Trạng thái Thống nhất

Tìm tất cả các giá trị của tham số \ (a \), cho mỗi giá trị của phương trình \ [(\ sin ^ 2x-5 \ sin x-2a (\ sin x-3) +6) \ cdot (\ sqrt2a + 8x \ sqrt (2x-2x ^ 2)) = 0 \]

có rễ.

(Nhiệm vụ từ người đăng ký)

phương trình odz: \ (2x-2x ^ 2 \ geqslant 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad x \ in \). Do đó, để phương trình có nghiệm nguyên thì cần ít nhất một trong các phương trình \ [\ sin ^ 2x-5 \ sin x-2a (\ sin x-3) + 6 = 0 \ quad (\ small (\ text (hoặc))) \ quad \ sqrt2a + 8x \ sqrt (2x-2x ^ 2) = 0 \]đã có quyết định về ODZ.

1) Xét phương trình đầu tiên \ [\ sin ^ 2x-5 \ sin x-2a (\ sin x-3) + 6 = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left [\ begin (tập hợp) \ begin (căn chỉnh) & \ sin x = 2a + 2 \\ & \ sin x = 3 \\ \ end (căn chỉnh) \ end (tập hợp) \ phải. \ quad \ Left rightarrow \ quad \ sin x = 2a + 2 \] Phương trình này phải có gốc trong \ (\). Hãy xem xét một vòng tròn:

Do đó, chúng ta thấy rằng với bất kỳ \ (2a + 2 \ trong [\ sin 0; \ sin 1] \) thì phương trình sẽ có một nghiệm và đối với tất cả các nghiệm khác, phương trình sẽ không có nghiệm. Do đó, tại \ (a \ in \ left [-1; -1+ \ sin 1 \ right] \) phương trình có nghiệm.

2) Xét phương trình thứ hai \ [\ sqrt2a + 8x \ sqrt (2x-2x ^ 2) = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad 8x \ sqrt (x-x ^ 2) = - a \]

Xét hàm \ (f (x) = 8x \ sqrt (x-x ^ 2) \). Hãy tìm đạo hàm của nó: \ Trên ODZ, đạo hàm có một 0: \ (x = \ frac34 \), cũng là điểm cực đại của hàm \ (f (x) \).
Lưu ý rằng \ (f (0) = f (1) = 0 \). Vì vậy, về mặt sơ đồ, biểu đồ \ (f (x) \) trông như thế này:

Do đó, để phương trình có nghiệm, đồ thị \ (f (x) \) cắt với đường \ (y \ u003d -a \) (một trong các phương án phù hợp được thể hiện trong hình vẽ) . Đó là, nó là cần thiết \ . Với những \ (x \):

Hàm \ (y_1 = \ sqrt (x-1) \) đang tăng mạnh. Đồ thị của hàm \ (y_2 = 5x ^ 2-9x \) là một parabol có đỉnh tại điểm \ (x = \ dfrac (9) (10) \). Do đó, đối với tất cả \ (x \ geqslant 1 \), hàm \ (y_2 \) cũng đang tăng mạnh (nhánh bên phải của parabol). Tại vì tổng các hàm tăng nghiêm ngặt đang tăng một cách nghiêm ngặt, thì \ (f_a (x) \) đang tăng nghiêm ngặt (hằng số \ (3a + 8 \) không ảnh hưởng đến tính đơn điệu của hàm).

Hàm \ (g_a (x) = \ dfrac (a ^ 2) (x) \) cho tất cả \ (x \ geqslant 1 \) là một phần của nhánh bên phải của hyperbol và đang giảm dần.

Giải phương trình \ (f_a (x) = g_a (x) \) nghĩa là tìm giao điểm của các hàm \ (f \) và \ (g \). Từ tính đơn điệu đối lập của chúng, điều đó suy ra rằng phương trình có thể có nhiều nhất một nghiệm nguyên.

Đối với \ (x \ geqslant 1 \) \ (f_a (x) \ geqslant 3a + 4, \ \ \ 0 . Do đó, phương trình sẽ có nghiệm duy nhất nếu:

\\tách

Câu trả lời:

\ (a \ in (- \ infty; -1] \ cup)