Dấu bất đẳng thức đúng với những số nào? Video bài học “Tính chất của bất đẳng thức số

Khẳng định đã được chứng minh.

Thật vậy, chẳng hạn, 2< 3, но

Tính chất 4. Nếu a> b và c> d thì a + c> b + d.

Bằng chứng. Vì a> b và c> d, các hiệu a-b và c-d là các số dương. Khi đó tổng các số này cũng là một số dương (a-b) + (c-d). Mở rộng dấu ngoặc và nhóm (a-b) + (c-d) = a-b + c-d = (a + c) - (b + d). Theo quan điểm của đẳng thức này, biểu thức kết quả (a + c) - (b + d) sẽ là một số dương. Do đó, a + c> b + d.

Các bất đẳng thức dạng a> b, c> d hoặc a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c

Tính chất 5. Nếu a> b, c> d thì ac> bd, trong đó a, b, c, d là các số dương.

Bằng chứng. Vì a> b và c là một số dương nên sử dụng tính chất 3, ta được ac> bc. Vì c> d và b là một số dương nên bc> bd. Do đó, theo thuộc tính đầu tiên ac> bd. Ý nghĩa của tính chất đã được chứng minh như sau: "Nếu chúng ta nhân số hạng với các bất đẳng thức có cùng nghĩa, trong đó phần bên trái và bên phải là các số dương, thì chúng ta nhận được một bất đẳng thức có cùng nghĩa"

Ví dụ, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Thuộc tính 6. Nếu a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Bằng chứng. Nếu chúng ta nhân số hạng với số hạng n thì bất đẳng thức này a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Ứng dụng của các thuộc tính

Hãy xem xét một ví dụ về ứng dụng của các thuộc tính mà chúng ta đã xem xét.

Hãy để 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Ước lượng tổng a + b. Sử dụng thuộc tính 4, chúng tôi nhận được 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Ước lượng sự khác biệt a - b. Vì không có tính chất nào cho phép trừ nên hiệu a - b sẽ được thay bằng tổng a + (-b). Hãy đánh giá (- b) trước. Để làm điều này, sử dụng thuộc tính 3, cả hai phần của bất đẳng thức 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b ∙ (-1)> 4 ∙ (-1). Chúng tôi nhận được -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Ước lượng tích a ∙ b. Theo tính chất 5, chúng ta nhân các bất đẳng thức cùng dấu

Chúng tôi đã gặp bất bình đẳng ở trường, nơi chúng tôi sử dụng bất bình đẳng số. Trong bài viết này, chúng tôi xem xét các thuộc tính của bất đẳng thức số, một số trong số đó được xây dựng các nguyên tắc để làm việc với chúng.

Các tính chất của bất đẳng thức tương tự như các tính chất của bất đẳng thức số. Các thuộc tính, lý do của nó sẽ được xem xét, chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bất đẳng thức số: định nghĩa, ví dụ

Khi đưa ra khái niệm bất đẳng thức, chúng ta nhận thấy rằng định nghĩa của chúng được thực hiện theo kiểu bản ghi. Có những biểu thức đại số có dấu ≠,< , >≤, ≥. Hãy đưa ra một định nghĩa.

Định nghĩa 1

Bất đẳng thức sốđược gọi là bất đẳng thức trong đó cả hai vế đều có số và biểu thức số.

Bất đẳng thức số được xem xét ở trường sau khi học các số tự nhiên. Các thao tác so sánh như vậy được nghiên cứu từng bước. Nhìn ban đầu giống như 1< 5 , 5 + 7 >3. Sau đó, các quy tắc được bổ sung, và các bất đẳng thức trở nên phức tạp hơn, khi đó ta thu được các bất phương trình có dạng 5 2 3> 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Tính chất của bất đẳng thức số

Để làm việc với các bất đẳng thức một cách chính xác, bạn phải sử dụng các thuộc tính của bất đẳng thức số. Chúng xuất phát từ khái niệm bất bình đẳng. Một khái niệm như vậy được chỉ định bằng cách sử dụng một câu lệnh, được ký hiệu là "lớn hơn" hoặc "nhỏ hơn".

Định nghĩa 2

• số a lớn hơn b khi hiệu a - b là một số dương;
• số a nhỏ hơn b khi hiệu a - b là số âm;
• số a bằng b khi hiệu a - b bằng không.

Định nghĩa được sử dụng khi giải các bất đẳng thức với các quan hệ "nhỏ hơn hoặc bằng", "lớn hơn hoặc bằng". Chúng tôi nhận được điều đó

Định nghĩa 3

• a lớn hơn hoặc bằng b khi a - b là số không âm;
• a nhỏ hơn hoặc bằng b khi a - b là số không dương.

Các định nghĩa sẽ được sử dụng để chứng minh các tính chất của bất đẳng thức số.

Các tính chất cơ bản

Xét 3 bất đẳng thức chính. Sử dụng các dấu hiệu< и >đặc trưng với các thuộc tính:

Định nghĩa 4

• chống phản xạ, nói rằng bất kỳ số a nào từ các bất đẳng thức a< a и a >a được coi là không hợp lệ. Biết rằng với bất kỳ a nào thì đẳng thức a - a = 0 được giữ nguyên, do đó chúng ta nhận được rằng a = a. Vì vậy, một< a и a >a không chính xác. Ví dụ, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 không chính xác.
• không đối xứng. Khi các số a và b sao cho a< b , то b >a, và nếu a> b, thì b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >một. Phần thứ hai được chứng minh theo cách tương tự.

ví dụ 1

Ví dụ, với bất đẳng thức 5< 11 имеем, что 11 >5, thì bất đẳng thức số của nó - 0, 27> - 1, 3 sẽ được viết lại dưới dạng - 1, 3< − 0 , 27 .

Trước khi chuyển sang thuộc tính tiếp theo, chúng ta lưu ý rằng với sự trợ giúp của tính bất đối xứng, người ta có thể đọc bất đẳng thức từ phải sang trái và ngược lại. Do đó, bất đẳng thức số có thể được thay đổi và thay thế cho nhau.

Định nghĩa 5

• sự chuyển giao. Khi các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b và b> c thì a> c.

Bằng chứng 1

Khẳng định đầu tiên có thể được chứng minh. Điều kiện a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Phần thứ hai với thuộc tính độ nhạy được chứng minh theo cách tương tự.

Ví dụ 2

Tính chất đã phân tích được xem xét dựa trên ví dụ về các bất đẳng thức - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 và 1 8> 1 32 nó theo sau rằng 1 2> 1 32.

Các bất đẳng thức số, được viết bằng các dấu bất đẳng thức không nghiêm ngặt, có tính chất phản xạ, vì a ≤ a và a ≥ a có thể có trường hợp đẳng thức a = a. chúng được đặc trưng bởi tính không đối xứng và độ nhạy.

Định nghĩa 6

Các bất đẳng thức có dấu ≤ và ≥ trong ký hiệu có các tính chất sau:

• phản xạ a ≥ a và a ≤ a được coi là bất đẳng thức đúng;
• phản đối xứng khi a ≤ b thì b ≥ a, và nếu a ≥ b thì b ≤ a.
• độ nhạy khi a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c, đồng thời, nếu a ≥ b và b ≥ c thì a ≥ c.

Việc chứng minh được thực hiện theo cách tương tự.

Các tính chất quan trọng khác của bất đẳng thức số

Để bổ sung các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, các kết quả có tầm quan trọng thực tế được sử dụng. Nguyên tắc của phương pháp đánh giá giá trị của biểu thức được áp dụng, trên đó dựa trên các nguyên tắc giải bất phương trình.

Phần này tiết lộ các tính chất của bất đẳng thức đối với một dấu hiệu của bất đẳng thức nghiêm ngặt. Điều tương tự cũng được thực hiện đối với những người không hạn chế. Hãy xem xét một ví dụ, xây dựng bất đẳng thức nếu a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• nếu a> b thì a + c> b + c;
• nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c;
• nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c.

Để trình bày thuận tiện, chúng tôi đưa ra câu lệnh tương ứng, được viết ra và đưa ra các bằng chứng, ví dụ sử dụng được hiển thị.

Định nghĩa 7

Thêm hoặc tính toán một số cho cả hai bên. Nói cách khác, khi a và b tương ứng với bất đẳng thức a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Bằng chứng 2

Để chứng minh điều này, cần phải phương trình thỏa mãn điều kiện a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Ví dụ 3

Ví dụ, nếu cả hai phần của bất đẳng thức 7> 3 đều tăng 15, thì chúng ta nhận được rằng 7 + 15> 3 + 15. Điều này bằng 22> 18.

Định nghĩa 8

Khi nhân hoặc chia cả hai phần của bất đẳng thức với cùng một số c, chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức đúng. Nếu ta lấy số c âm thì dấu sẽ đổi thành ngược lại. Nếu không, nó trông giống như sau: đối với a và b, bất đẳng thức đúng khi a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >bc.

Bằng chứng 3

Khi xảy ra trường hợp c> 0, cần phải phân biệt vế trái và vế phải của bất đẳng thức. Khi đó ta nhận được rằng a · c - b · c = (a - b) · c. Từ điều kiện a< b , то a − b < 0 , а c >0, thì tích (a - b) · c sẽ âm. Điều này ngụ ý rằng a c - b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Trong chứng minh, phép chia cho một số nguyên có thể được thay thế bằng phép nhân với nghịch đảo của số đã cho, nghĩa là 1 c. Hãy xem xét một ví dụ về một thuộc tính trên một số con số nhất định.

Ví dụ 4

Cả hai phần của sự bất bình đẳng đều được phép 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Bây giờ chúng ta hình thành hai kết quả sau được sử dụng để giải bất phương trình:

• Hệ quả 1. Khi thay đổi dấu của các bộ phận của một bất đẳng thức số, bản thân dấu bất đẳng thức sẽ chuyển thành ngược lại, như một< b , как − a >−b. Điều này tương ứng với quy tắc nhân cả hai phần với - 1. Nó có thể áp dụng cho quá trình chuyển đổi. Ví dụ - 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Hệ quả 2. Khi các phần của bất đẳng thức số được thay thế bằng số nghịch biến, dấu của nó cũng thay đổi và bất đẳng thức vẫn đúng. Do đó ta có a và b là các số dương, a< b , 1 a >1b.

Khi chia cả hai phần của bất đẳng thức a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 chúng ta có 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b có thể không chính xác.

Ví dụ 5

Ví dụ, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 là một đẳng thức không hợp lệ.

Tất cả các điểm được thống nhất bởi thực tế là các hành động đối với các phần của sự bất bình đẳng đưa ra sự bất bình đẳng chính xác ở đầu ra. Hãy xem xét các thuộc tính mà ban đầu có một số bất đẳng thức số và kết quả của nó sẽ nhận được bằng cách cộng hoặc nhân các phần của nó.

Định nghĩa 9

Khi các số a, b, c, d có giá trị bất đẳng thức a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Bằng chứng 4

Chúng ta chứng minh rằng (a + c) - (b + d) là một số âm, sau đó chúng ta nhận được rằng a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Thuộc tính được sử dụng để bổ sung theo từng thời kỳ của ba, bốn hoặc nhiều bất đẳng thức số. Các số a 1, a 2,…, a n và b 1, b 2,…, b n tuân theo các bất đẳng thức a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Ví dụ 6

Ví dụ, đã cho ba bất đẳng thức số có cùng dấu - 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Định nghĩa 10

Phép nhân từng phần của cả hai phần cho kết quả là một số dương. Cho một< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Bằng chứng 5

Để chứng minh điều này, chúng ta cần cả hai vế của bất đẳng thức a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Tính chất này được coi là hợp lệ đối với số lượng mà cả hai vế của bất đẳng thức phải được nhân lên. sau đó a 1, a 2,…, a n và b 1, b 2,…, b n là các số dương, trong đó 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2… a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Lưu ý rằng khi viết các bất đẳng thức có các số không dương thì phép nhân từng số hạng của chúng sẽ dẫn đến bất đẳng thức không chính xác.

Ví dụ 7

Ví dụ, bất đẳng thức 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Hậu quả: Phép nhân các bất đẳng thức theo kỳ hạn a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Tính chất của bất đẳng thức số

Hãy xem xét các tính chất sau của bất đẳng thức số.

1. một< a , a >a - bất đẳng thức sai,
   a ≤ a, a ≥ a là các bất đẳng thức đúng.
2. Nếu một< b , то b >a - phản đối xứng.
3. Nếu một< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Nếu một< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Nếu một< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Nếu một< b и c - отрицательное число, то a · c >bc.

Hệ quả 1: nếu một< b , то - a >-b.

Hệ quả 2: nếu a và b là các số dương và a< b , то 1 a >1b.

1. Nếu một< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Nếu a 1, a 2 ,. . . , a n, b 1, b 2 ,. . . , b n là các số dương và a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Hệ quả 1: nếu một< b , a và b là các số dương, sau đó là một n< b n .

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Đối với bất kỳ biểu thức số nào, các thuộc tính sau là đúng.

Thuộc tính 1. Nếu chúng ta thêm cùng một biểu thức số vào cả hai phần của bất đẳng thức số đúng, thì chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức số đúng, nghĩa là nó đúng :; .

Bằng chứng. Nếu một . Sử dụng các thuộc tính giao hoán, kết hợp và phân phối của phép toán cộng, chúng ta có:.

Do đó, theo định nghĩa của quan hệ "lớn hơn" .

Thuộc tính 2. Nếu cùng một biểu thức số bị trừ đi cả hai phần của bất đẳng thức số đúng, thì chúng ta thu được bất đẳng thức số đúng, nghĩa là nó đúng :;

Bằng chứng. Theo điều kiện . Sử dụng thuộc tính trước, chúng ta thêm vào cả hai phần của bất đẳng thức này một biểu thức số, chúng ta nhận được:.

Sử dụng thuộc tính liên kết của phép toán cộng, chúng ta có:, do đó , vì thế .

Hậu quả. Bất kỳ số hạng nào cũng có thể được chuyển từ phần này của bất đẳng thức số sang phần khác có dấu ngược lại.

Thuộc tính 3. Nếu chúng ta thêm số hạng chính xác của bất đẳng thức theo số hạng, thì chúng ta sẽ có được bất đẳng thức số đúng, nghĩa là nó đúng:

Bằng chứng. Theo thuộc tính 1, chúng ta có: và, sử dụng thuộc tính chuyển đổi của quan hệ "lớn hơn", chúng ta nhận được: .

Thuộc tính 4. Các bất đẳng thức số đúng có nghĩa ngược lại có thể được trừ đi theo số hạng, giữ lại dấu của bất đẳng thức mà từ đó chúng ta trừ đi, đó là:;

Bằng chứng. Theo định nghĩa của bất đẳng thức số thực . Theo tính chất 3, nếu. Theo hệ quả của tính chất 2 của định lý này, bất kỳ số hạng nào cũng có thể chuyển từ phần này sang phần khác của bất đẳng thức với dấu ngược lại. Vì thế, . Do đó, nếu.

Tài sản được chứng minh tương tự.

Tài sản 5. Nếu cả hai phần của bất đẳng thức số đúng được nhân với cùng một biểu thức số nhận giá trị dương mà không thay đổi dấu của bất đẳng thức, thì chúng ta nhận được bất đẳng thức số đúng, đó là:

Bằng chứng. Từ cái gì . Chúng ta có: sau đó . Sử dụng tính phân phối của phép toán nhân đối với phép trừ, ta có:.

Sau đó, theo định nghĩa của quan hệ "lớn hơn".

Tài sản được chứng minh tương tự.

Tài sản 6. Nếu cả hai phần của bất đẳng thức số đúng được nhân với cùng một biểu thức số nhận giá trị âm, đổi dấu của bất đẳng thức thành ngược lại thì ta được bất đẳng thức số đúng, đó là :;

Tài sản 7. Nếu cả hai phần của bất đẳng thức số đúng được chia cho cùng một biểu thức số nhận giá trị dương mà không thay đổi dấu của bất đẳng thức, thì chúng ta nhận được bất đẳng thức số đúng, đó là:

Bằng chứng. Chúng ta có: . Theo thuộc tính 5, chúng ta nhận được:. Sử dụng tính kết hợp của phép nhân, chúng ta có: vì thế .

Tài sản được chứng minh tương tự.

tài sản 8. Nếu cả hai phần của bất đẳng thức số đúng được chia cho cùng một biểu thức số nhận giá trị âm, đổi dấu của bất đẳng thức thành ngược lại thì ta nhận được bất đẳng thức số đúng, đó là :;

Chúng tôi bỏ qua bằng chứng về tài sản này.

Tài sản 9. Nếu chúng ta nhân số hạng với số hạng của các bất đẳng thức số đúng cùng nghĩa với phần âm, đổi dấu của bất đẳng thức thành số đối, thì chúng ta nhận được bất đẳng thức số đúng, đó là:

Chúng tôi bỏ qua bằng chứng về tài sản này.

Tài sản 10. Nếu chúng ta nhân số hạng với số hạng của các bất đẳng thức số đúng cùng nghĩa với các phần dương, mà không thay đổi dấu của bất đẳng thức, thì chúng ta nhận được bất đẳng thức số đúng, đó là:

Chúng tôi bỏ qua bằng chứng về tài sản này.

Tài sản 11. Nếu chúng ta chia số hạng cho số hạng của bất đẳng thức số đúng có nghĩa ngược lại với phần dương, giữ lại dấu của bất đẳng thức đầu tiên, thì chúng tôi nhận được bất đẳng thức số đúng, đó là:

;

.

Chúng tôi bỏ qua bằng chứng về tài sản này.

ví dụ 1 Là bất bình đẳng và tương đương?

Quyết định. Bất đẳng thức thứ hai nhận được từ bất đẳng thức thứ nhất bằng cách thêm vào cả hai phần của nó cùng một biểu thức, biểu thức này không được xác định cho. Điều này có nghĩa là số không thể là nghiệm của bất phương trình đầu tiên. Tuy nhiên, nó là một giải pháp cho bất bình đẳng thứ hai. Vì vậy, có một lời giải cho bất phương trình thứ hai, mà không phải là một lời giải cho bất phương trình thứ nhất. Do đó, các bất đẳng thức này không tương đương. Bất đẳng thức thứ hai là hệ quả của bất đẳng thức thứ nhất, vì bất kỳ nghiệm nào cho bất đẳng thức thứ nhất đều là nghiệm của bất đẳng thức thứ hai.

Các loại bất đẳng thức chính được trình bày, bao gồm bất đẳng thức Bernoulli, Cauchy-Bunyakovsky, Minkovsky, Chebyshev. Các thuộc tính của bất bình đẳng và các hành động đối với chúng được xem xét. Các phương pháp chính để giải bất phương trình được đưa ra.

Công thức cho các bất đẳng thức cơ bản

Công thức cho các bất đẳng thức phổ quát

Các bất đẳng thức phổ quát được thỏa mãn với bất kỳ giá trị nào của các đại lượng có trong chúng. Các dạng bất bình đẳng phổ quát chính được liệt kê dưới đây.

1) | a b | ≤ | a | + | b | ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ | a 1 | + | a 2 | + ... + | a n |

2) | a | + | b | ≥ | a-b | ≥ | | a | - | b | |

3)
Đẳng thức chỉ diễn ra khi a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky

Đẳng thức đúng nếu và chỉ khi α a k = β b k với mọi k = 1, 2, ..., n và một số α, β, | α | + | β | > 0.

5) Bất đẳng thức Minkowski, cho p ≥ 1

Công thức cho các bất đẳng thức thỏa mãn

Các bất đẳng thức thỏa mãn được thỏa mãn đối với các giá trị nhất định của các đại lượng có trong chúng.

1) Bất đẳng thức Bernoulli:
.
Tổng quát hơn:
,
trong đó, các số cùng dấu và lớn hơn -1 : .
Bổ đề Bernoulli:
.
Xem "Chứng minh bất đẳng thức và bổ đề Bernoulli".

2)
cho a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n).

3) Bất bình đẳng Chebyshev
tại 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n và 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Tại 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n và b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n> 0
.

4) Các bất đẳng thức Chebyshev tổng quát
tại 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n và 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n và k tự nhiên
.
Tại 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n và b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n> 0
.

Tính chất của bất đẳng thức

Các thuộc tính của bất đẳng thức là một tập hợp các quy tắc đó được thực hiện khi chúng được biến đổi. Dưới đây là các tính chất của bất đẳng thức. Điều này được hiểu rằng các bất đẳng thức ban đầu được thỏa mãn với các giá trị x i (i = 1, 2, 3, 4) thuộc một khoảng xác định trước nào đó.

1) Khi thay đổi thứ tự của các vế, dấu bất đẳng thức bị đảo ngược.
Nếu x 1< x 2 , то x 2 >x 1.
Nếu x 1 ≤ x 2 thì x 2 ≥ x 1.
Nếu x 1 ≥ x 2 thì x 2 ≤ x 1.
Nếu x 1> x 2 thì x 2< x 1 .

2) Một đẳng thức tương đương với hai bất đẳng thức khác dấu.
Nếu x 1 = x 2 thì x 1 ≤ x 2 và x 1 ≥ x 2.
Nếu x 1 ≤ x 2 và x 1 ≥ x 2 thì x 1 = x 2.

3) Tính chất chuyển giao
Nếu x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Nếu x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Nếu x 1 ≤ x 2 và x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Nếu x 1 ≤ x 2 và x 2 ≤ x 3 thì x 1 ≤ x 3.

4) Bạn có thể cộng (trừ) cùng một số vào cả hai phần của bất đẳng thức.
Nếu x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Nếu x 1 ≤ x 2 thì x 1 + A ≤ x 2 + A.
Nếu x 1 ≥ x 2 thì x 1 + A ≥ x 2 + A.
Nếu x 1> x 2 thì x 1 + A> x 2 + A.

5) Nếu có hai hay nhiều bất phương trình cùng dấu thì có thể cộng thêm phần bên trái và phần bên phải của chúng.
Nếu x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nếu x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nếu x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Nếu x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 thì x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Các biểu thức tương tự cũng diễn ra đối với các dấu hiệu ≥,>.
Nếu các bất đẳng thức ban đầu chứa các dấu hiệu của bất đẳng thức không nghiêm ngặt và ít nhất một bất đẳng thức nghiêm ngặt (nhưng tất cả các dấu hiệu đều có cùng hướng) thì phép cộng dẫn đến một bất đẳng thức nghiêm ngặt.

6) Cả hai phần của bất đẳng thức đều có thể nhân (chia) với một số dương.
Nếu x 1< x 2 и A >0, sau đó A x 1< A · x 2 .
Nếu x 1 ≤ x 2 và A> 0 thì A x 1 ≤ A x 2.
Nếu x 1 ≥ x 2 và A> 0 thì A x 1 ≥ A x 2.
Nếu x 1> x 2 và A> 0 thì A x 1> A x 2.

7) Cả hai phần của bất đẳng thức đều có thể nhân (chia) với một số âm. Trong trường hợp này, dấu bất đẳng thức sẽ đổi thành ngược lại.
Nếu x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A · x 2.
Nếu x 1 ≤ x 2 và A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Nếu x 1 ≥ x 2 và A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Nếu x 1> x 2 và A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Nếu có từ hai bất đẳng thức trở lên có số hạng dương, cùng dấu thì nhân với phần trái và phần phải của chúng với nhau.
Nếu x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 thì x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nếu x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 thì x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nếu x 1 ≤ x 2, x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 thì x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Nếu x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4> 0 thì x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Các biểu thức tương tự cũng diễn ra đối với các dấu hiệu ≥,>.
Nếu các bất đẳng thức ban đầu chứa các dấu hiệu của bất đẳng thức không nghiêm ngặt và ít nhất một bất đẳng thức nghiêm ngặt (nhưng tất cả các dấu hiệu đều có cùng hướng), thì phép nhân sẽ dẫn đến một bất đẳng thức nghiêm ngặt.

9) Cho f (x) là một hàm tăng đơn điệu. Nghĩa là, với bất kỳ x 1> x 2, f (x 1)> f (x 2). Khi đó, hàm này có thể được áp dụng cho cả hai phần của bất đẳng thức, từ đó dấu của bất đẳng thức không thay đổi.
Nếu x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Nếu x 1 ≤ x 2 thì f (x 1) ≤ f (x 2).
Nếu x 1 ≥ x 2 thì f (x 1) ≥ f (x 2).
Nếu x 1> x 2 thì f (x 1)> f (x 2).

10) Cho f (x) là một hàm giảm đơn điệu, nghĩa là, với bất kỳ x 1> x 2, f (x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Nếu x 1< x 2 , то f(x 1) >f (x2).
Nếu x 1 ≤ x 2 thì f (x 1) ≥ f (x 2).
Nếu x 1 ≥ x 2 thì f (x 1) ≤ f (x 2).
Nếu x 1> x 2 thì f (x 1)< f(x 2) .

Các phương pháp giải bất phương trình

Giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng

Phương pháp khoảng có thể áp dụng nếu bất đẳng thức bao gồm một biến, mà chúng ta ký hiệu là x và nó có dạng:
f (x)> 0
trong đó f (x) là một hàm liên tục với một số hữu hạn các điểm gián đoạn. Dấu bất đẳng thức có thể là bất kỳ thứ gì:>, ≥,<, ≤ .

Phương pháp khoảng thời gian như sau.

1) Tìm miền của hàm số f (x) và đánh dấu nó bằng những khoảng trên trục thực.

2) Tìm điểm gián đoạn của hàm số f (x). Ví dụ, nếu nó là một phân số, thì chúng tôi tìm những điểm mà tại đó mẫu số biến mất. Chúng tôi đánh dấu các điểm này trên trục số.

3) Giải phương trình
f (x) = 0.
Các gốc của phương trình này được đánh dấu trên trục số.

4) Kết quả là, trục số sẽ được chia bởi các điểm thành các khoảng (đoạn). Trong mỗi khoảng được đưa vào miền xác định, chúng ta chọn một điểm bất kỳ và tại thời điểm này, chúng ta tính giá trị của hàm. Nếu giá trị này lớn hơn 0, thì chúng ta đặt dấu “+” trên đoạn (khoảng). Nếu giá trị này nhỏ hơn 0 thì phía trên đoạn (khoảng) ta đặt dấu "-".

5) Nếu bất phương trình có dạng: f (x)> 0 thì chọn các khoảng có dấu “+”. Giải pháp cho sự bất bình đẳng là sự kết hợp của những khoảng không bao gồm ranh giới của chúng.
Nếu bất phương trình có dạng: f (x) ≥ 0 thì ta thêm vào nghiệm những điểm mà f (x) = 0. Tức là một số khoảng có thể có ranh giới đóng (ranh giới thuộc khoảng). phần còn lại có thể có ranh giới mở (ranh giới không thuộc khoảng).
Tương tự, nếu bất đẳng thức là: f (x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Nếu bất phương trình có dạng: f (x) ≤ 0, thì ta thêm vào nghiệm những điểm mà f (x) = 0.

Giải các bất phương trình bằng cách áp dụng các tính chất của chúng

Phương pháp này có thể áp dụng cho các bất đẳng thức ở mọi mức độ phức tạp. Nó bao gồm việc áp dụng các tính chất (đã trình bày ở trên) để rút gọn các bất đẳng thức về dạng đơn giản hơn và thu được một giải pháp. Rất có thể điều này sẽ dẫn đến không phải một mà là một hệ thống các bất đẳng thức. Đây là một phương pháp phổ quát. Nó áp dụng cho bất kỳ sự bất bình đẳng nào.

Người giới thiệu:
TRONG. Bronstein, K.A. Semendyaev, Sổ tay Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên của các Cơ sở Giáo dục Đại học, Lan, 2009.

CỔ PHẦN VÀ CỔ TỨC TUYẾN TÍNH I

§ 10 Tính chất cơ bản của bất đẳng thức số

1. Nếu a> b, sau đó b< а và ngược lại, nếu một< b , sau đó b> a.

Bằng chứng.Để cho được a> b . Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là số ( a - b ) tích cực. Nếu chúng ta đặt một dấu trừ trước nó, thì số kết quả là - ( a - b ) rõ ràng sẽ là tiêu cực. Cho nên - ( a - b ) < 0, или ba < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a .

Chúng tôi mời học sinh tự mình chứng minh câu nói ngược.

Tính chất đã được chứng minh của bất đẳng thức cho phép giải thích hình học đơn giản: nếu điểm A nằm trên đường thực bên phải điểm B thì điểm B nằm bên trái điểm A và ngược lại (xem Hình 20).

2. Nếu a> b, một b> c, sau đó a> c.

Về mặt hình học, tính chất này như sau. Cho điểm A (tương ứng với số một ) nằm bên phải điểm B (tương ứng với số b ), và điểm B lần lượt nằm bên phải điểm C (tương ứng với số với ). Khi đó điểm A sẽ càng nằm bên phải điểm C (Hình 21).

Hãy để chúng tôi đưa ra một chứng minh đại số về tính chất này của bất đẳng thức.

Để cho được a> b , một b> c . Điều này có nghĩa là những con số ( a - b ) và ( b-c ) đều tích cực. Tổng của hai số dương rõ ràng là số dương. Cho nên ( a - b ) + (b-c )> 0 hoặc AC > 0. Nhưng điều này có nghĩa là một > với .

3. Nếu a> b, sau đó cho bất kỳ số nào với a + c> b + c, AC > b - c.

Nói cách khác, nếu cùng một số được cộng hoặc trừ ở cả hai phần của một bất đẳng thức số, thì bất đẳng thức đó sẽ không bị vi phạm.

Bằng chứng.Để cho được a> b . Nó có nghĩa là a - b > 0. Nhưng a - b = (a + c ) - (b + c ). Cho nên ( a + c ) - (b + c )> 0. Và theo định nghĩa, điều này có nghĩa là a + c> b + c . Tương tự, nó được chỉ ra rằng AC > b - c .

Ví dụ, nếu chúng ta thêm 1/2 vào cả hai phần của bất đẳng thức 5> 4, thì chúng ta nhận được
6 1/2> 5 1/2. Trừ số 5 cho cả hai phần của bất đẳng thức này, ta được 0> - 1.

Hậu quả. Bất kỳ số hạng nào của một phần trong bất đẳng thức số đều có thể được chuyển sang phần khác của bất đẳng thức bằng cách đổi dấu của số hạng này thành ngược lại.

Ví dụ, a + b> c . Nó được yêu cầu để chứng minh rằng a> c - b . Để chứng minh từ cả hai phần của bất đẳng thức này, chỉ cần trừ số b .

4. Để cho được a> b. Nếu một c> 0, sau đó ac> bc . Nếu với< 0 , sau đó át chủ< bс .

Nói cách khác, nếu cả hai phần của bất đẳng thức số đều được nhân với một số dương, thì bất đẳng thức đó sẽ không bị vi phạm;
Nếu cả hai vế của bất đẳng thức được nhân với một số âm, thì dấu của bất đẳng thức sẽ đổi thành ngược lại.

Tóm lại, thuộc tính này được xây dựng như sau:

Bất đẳng thức được bảo toàn trong phép nhân từng số hạng với một số dương và đảo ngược dấu trong phép nhân từng số hạng với một số âm.

Ví dụ, nhân bất đẳng thức 5> 1 số hạng với 7, ta được 35> 7. Số hạng với số hạng nhân bất đẳng thức với - 7 cho - 35< - 7.

Bằng chứng về tài sản thứ 4.

Để cho được a> b. Điều này có nghĩa là số a - b một cách tích cực. Tích của hai số dương a - b và với rõ ràng là cũng tích cực, tức là ( a - b ) với > 0 hoặc
ac - bc> 0. Do đó ac> bc .

Tương tự, chúng ta xem xét trường hợp khi số với từ chối. Tích của một số dương a - b thành một số âm với rõ ràng là tiêu cực, tức là
(a - b) c< Số 0; Đó là lý do tại sao ac - bc< 0, từ khi nào át chủ< bс .

Hậu quả. Dấu bất đẳng thức được giữ nguyên khi chia số hạng cho một số dương và đảo ngược khi chia số hạng cho một số âm.

Điều này xuất phát từ thực tế là phép chia cho một số với = / = 0 tương đương với nhân với số 1 / c .

Bài tập

81. Bất đẳng thức 2> 1 có thể nhân số hạng với số hạng được không

một) một 2 + 1; b) | một | trong) một ; d) 1 - 2a + một 2

để dấu bất đẳng thức được bảo toàn?

82. Có phải luôn luôn là 5 X trên 4 X , một - tại nhỏ hơn tại ?

83. Những gì có thể là một số X nếu biết rằng - X > 7?

84. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của dãy số: a) a 2, 5a 2, 2a 2; b) 5 một , 2một ; trong) một , một 2 , một 3. 85. Sắp xếp theo thứ tự số lượng giảm dần

a - b , một - 2b , một - 3b .

86. Đưa ra một giải thích hình học về tính chất thứ ba của bất đẳng thức số.