Định nghĩa và công thức chuyển động theo đường cong. Tóm tắt bài học "Chuyển động tịnh tiến và chuyển động cong

Chủ đề này sẽ tập trung vào một loại chuyển động phức tạp hơn - CURVILINEAR. Thật dễ dàng để đoán curvilinear là một chuyển động có quỹ đạo là một đường cong. Và, vì chuyển động này phức tạp hơn so với chuyển động thẳng, nên để mô tả nó, không còn đủ các đại lượng vật lý đã được liệt kê trong chương trước.

Để mô tả toán học của chuyển động theo đường cong, có 2 nhóm đại lượng: thẳng và góc.

GIÁ TRỊ TUYẾN TÍNH.

1. động. Trong Phần 1.1, chúng tôi không nêu rõ sự khác biệt giữa khái niệm

Hình. 1.3 đường đi (khoảng cách) và khái niệm về sự dịch chuyển,

bởi vì trong chuyển động thẳng hàng những

sự khác biệt không đóng vai trò cơ bản, và

Các giá trị này được biểu thị bằng cùng một chữ cái

hú S. Nhưng khi xử lý chuyển động cong,

vấn đề này cần được làm rõ. Vậy con đường là gì

(hoặc khoảng cách)? - Đây là chiều dài của quỹ đạo

sự chuyển động. Đó là, nếu bạn theo dõi quỹ đạo

chuyển động của cơ thể và đo nó (theo mét, km, v.v.), bạn sẽ nhận được một giá trị được gọi là đường đi (hoặc khoảng cách) S(xem hình 1.3). Do đó, đường dẫn là một giá trị vô hướng, chỉ được đặc trưng bởi một số.

Hình.1.4 Và độ dịch chuyển là khoảng cách ngắn nhất giữa

điểm đầu của đường dẫn và điểm cuối của đường dẫn. Và bởi vì

chuyển động có một hướng nghiêm ngặt ngay từ đầu

Theo cách kết thúc của nó, thì nó là một đại lượng vectơ

và được đặc trưng không chỉ bởi một giá trị số, mà còn

hướng (hình 1.3). Dễ dàng đoán rằng nếu

cơ thể di chuyển dọc theo một con đường khép kín, sau đó

thời điểm nó trở lại vị trí ban đầu, độ dịch chuyển sẽ bằng không (xem Hình 1.4).

2 . Tốc độ dòng. Trong phần 1.1, chúng tôi đã đưa ra định nghĩa của đại lượng này và nó vẫn có giá trị, mặc dù tại thời điểm đó chúng tôi không chỉ rõ rằng tốc độ này là tuyến tính. Phương của vectơ vận tốc thẳng là gì? Hãy chuyển sang Hình 1.5. Đây là một mảnh

quỹ đạo cong của cơ thể. Bất kỳ đường cong nào là đường nối giữa các cung của các đường tròn khác nhau. Hình 1.5 chỉ cho thấy hai trong số chúng: một đường tròn (O 1, r 1) và một đường tròn (O 2, r 2). Tại thời điểm chuyển động của vật dọc theo cung tròn này, tâm của nó trở thành tâm quay tạm thời có bán kính bằng bán kính của đường tròn này.

Vectơ vẽ từ tâm quay đến điểm hiện tại của vật được gọi là vectơ bán kính. Trong Hình 1.5, các vectơ bán kính được biểu diễn bằng các vectơ và. Hình này cũng cho thấy vectơ vận tốc thẳng: vectơ vận tốc thẳng luôn hướng tiếp tuyến với quỹ đạo theo hướng chuyển động. Do đó, góc giữa véc tơ và véc tơ bán kính vẽ tới một điểm đã cho của quỹ đạo luôn là 90 °. Nếu vật chuyển động với tốc độ thẳng không đổi, thì môđun của vectơ sẽ không thay đổi, trong khi hướng của nó luôn thay đổi tùy thuộc vào hình dạng của quỹ đạo. Trong trường hợp được chỉ ra trong hình 1.5, chuyển động được thực hiện với tốc độ tuyến tính thay đổi, do đó mô-đun của vectơ thay đổi. Nhưng, vì hướng của vectơ luôn thay đổi trong quá trình chuyển động theo đường cong, một kết luận rất quan trọng sau đây là:

Chuyển động cong luôn có gia tốc! (Ngay cả khi chuyển động được thực hiện với tốc độ tuyến tính không đổi.) Hơn nữa, gia tốc được đề cập trong trường hợp này, theo sau chúng ta sẽ gọi là gia tốc tuyến tính.

3 . Gia tốc tuyến tính. Hãy để tôi nhắc bạn rằng gia tốc xảy ra khi tốc độ thay đổi. Theo đó, gia tốc tuyến tính xuất hiện trong trường hợp tốc độ tuyến tính thay đổi. Và tốc độ tuyến tính trong chuyển động cong có thể thay đổi cả mô đun và hướng. Do đó, gia tốc tuyến tính đầy đủ được chia thành hai thành phần, một trong số đó ảnh hưởng đến hướng của vectơ, và thành phần thứ hai ảnh hưởng đến môđun của nó. Hãy xem xét những gia tốc này (Hình 1.6). Trong hình này

cơm. 1,6

một vật thể chuyển động dọc theo một đường tròn với tâm quay tại điểm O.

Một gia tốc làm thay đổi hướng của một vectơ được gọi là thông thường và được ký hiệu. Nó được gọi là pháp tuyến vì nó hướng vuông góc (bình thường) với tiếp tuyến, tức là dọc theo bán kính đến tâm của ngã rẽ . Nó còn được gọi là gia tốc hướng tâm.

Gia tốc làm thay đổi môđun của vectơ được gọi là tiếp tuyến và được ký hiệu. Nó nằm trên tiếp tuyến và có thể hướng cả về hướng của vectơ và ngược chiều với nó. :

Nếu tốc độ dòng tăng, khi đó> 0 và vectơ của chúng là cùng hướng;

Nếu tốc độ dòng giảm, sau đó< 0 и их вектора противоположно

Chỉ đạo.

Do đó, hai gia tốc này luôn tạo thành một góc vuông (90º) với nhau và là thành phần của tổng gia tốc tuyến tính, tức là tổng gia tốc thẳng là tổng vectơ của gia tốc pháp tuyến và tiếp tuyến:

Tôi lưu ý rằng trong trường hợp này chúng ta đang nói về tổng vectơ, nhưng không nói về tổng vô hướng. Để tìm giá trị số, biết và, cần sử dụng định lý Pitago (bình phương cạnh huyền của một tam giác bằng tổng bình phương các chân của tam giác này):

(1.8).

Điều này nghĩa là:

(1.9).

Bằng những công thức nào để tính toán và xem xét một chút sau.

GIÁ TRỊ TÍCH CỰC.

1 . Góc quay φ . Trong chuyển động cong, cơ thể không chỉ đi theo một số đường và thực hiện một số chuyển động, mà còn quay theo một góc nhất định (xem Hình 1.7 (a)). Do đó, để mô tả một chuyển động như vậy, một đại lượng được đưa vào, được gọi là góc quay, ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp φ (đọc là "fi"). Trong hệ SI, góc quay được đo bằng radian (ký hiệu là "rad"). Hãy để tôi nhắc bạn rằng một lượt đầy đủ bằng 2π radian và số π là một hằng số: π ≈ 3,14. trong bộ lễ phục. 1.7 (a) cho thấy quỹ đạo của vật thể dọc theo một đường tròn bán kính r với tâm tại điểm O. Góc quay chính là góc giữa các vectơ bán kính của vật tại một số thời điểm.

2 . Vận tốc góc ω – đây là giá trị cho biết góc quay thay đổi như thế nào trên một đơn vị thời gian. (ω - Chữ cái Hy Lạp, đọc là "omega".) Trong hình. 1.7 (b) cho biết vị trí của một điểm vật chất chuyển động dọc theo đường tròn có tâm tại điểm O, trong những khoảng thời gian Δt . Nếu các góc mà vật quay trong những khoảng thời gian này là như nhau, thì vận tốc góc là không đổi, và chuyển động này có thể được coi là chuyển động đều. Và nếu các góc quay khác nhau, thì chuyển động là không đồng đều. Và, vì vận tốc góc cho biết có bao nhiêu radian

vật thể quay trong một giây thì đơn vị đo của nó là radian trên giây

(đóng góp bởi " rad / s »).

cơm. 1,7

một). b). Δt

Δt

O φ O Δt

3 . Gia tốc góc ε là một giá trị cho biết nó thay đổi như thế nào trên một đơn vị thời gian. Và kể từ khi gia tốc góc ε xuất hiện khi vận tốc góc thay đổi ω , khi đó chúng ta có thể kết luận rằng gia tốc góc chỉ xảy ra trong trường hợp chuyển động theo đường cong không đều. Đơn vị của gia tốc góc là " rad / s 2 ”(Radian trên giây bình phương).

Do đó, bảng 1.1 có thể được bổ sung với ba giá trị khác:

Bảng 1.2

№	số lượng vật lý	xác định số lượng	chỉ định số lượng	đơn vị
1.	đường	là quãng đường đi được của một vật trong quá trình chuyển động của nó	S	m (mét)
2.	tốc độ	là khoảng cách mà một cơ thể di chuyển trong một đơn vị thời gian (ví dụ: 1 giây)	υ	m / s (mét trên giây)
3.	sự tăng tốc	là lượng mà tốc độ của một cơ thể thay đổi trên một đơn vị thời gian	một	m / s 2 (mét trên giây bình phương)
4.	thời gian		t	s (giây)
5.	góc quay	là góc mà cơ thể quay trong quá trình chuyển động theo đường cong	φ	rad (radian)
6.	vận tốc góc	là góc mà cơ thể quay trong một đơn vị thời gian (ví dụ: trong 1 giây.)	ω	rad / s (radian trên giây)
7.	gia tốc góc	là lượng mà vận tốc góc thay đổi trên một đơn vị thời gian	ε	rad / s 2 (radian trên giây bình phương)

Bây giờ bạn có thể đi thẳng vào việc xem xét tất cả các loại chuyển động cong, và chỉ có ba loại trong số chúng.

Với sự trợ giúp của bài học này, bạn sẽ có thể nghiên cứu một cách độc lập chủ đề “Chuyển động thẳng và đường cong. Chuyển động của một vật trong một đường tròn với vận tốc môđun không đổi. Đầu tiên, chúng ta đặc trưng cho chuyển động thẳng và chuyển động cong bằng cách xem xét trong các loại chuyển động này, vectơ vận tốc và lực tác dụng lên vật thể có mối quan hệ như thế nào. Tiếp theo, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt khi cơ thể chuyển động dọc theo một đường tròn với tốc độ modulo không đổi.

Trong bài trước, chúng ta đã xem xét các vấn đề liên quan đến định luật vạn vật hấp dẫn. Chủ đề của bài hôm nay liên quan mật thiết đến định luật này, chúng ta sẽ chuyển sang chuyển động thẳng đều của vật trong một đường tròn.

Trước đó chúng tôi đã nói rằng cử động -đây là sự thay đổi vị trí của một vật thể trong không gian so với các vật thể khác theo thời gian. Chuyển động và hướng của chuyển động được đặc trưng bởi tốc độ. Bản thân sự thay đổi tốc độ và dạng chuyển động gắn liền với tác dụng của một lực. Nếu một lực tác dụng lên một vật thì vật đó sẽ thay đổi tốc độ của nó.

Nếu lực hướng song song với chuyển động của cơ thể thì chuyển động đó sẽ là thẳng thắn(Hình 1).

Cơm. 1. Chuyển động chỉnh lưu

đường cong Sẽ có một chuyển động như vậy khi tốc độ của vật và lực tác dụng lên vật này hướng tương đối với nhau một góc nhất định (Hình 2). Trong trường hợp này, tốc độ sẽ thay đổi hướng của nó.

Cơm. 2. Chuyển động cong

Vì vậy, tại chuyển động thẳng vectơ vận tốc hướng cùng chiều với lực tác dụng vào vật. NHƯNG chuyển động cong là chuyển động như vậy khi vectơ vận tốc và lực tác dụng lên vật lệch nhau một góc nào đó.

Xét một trường hợp đặc biệt của chuyển động theo đường cong, khi vật chuyển động theo đường tròn với tốc độ không đổi có giá trị tuyệt đối. Khi một vật chuyển động tròn đều với vận tốc không đổi thì chỉ có hướng của vận tốc thay đổi. Modulo nó không đổi, nhưng hướng của vận tốc thay đổi. Sự thay đổi tốc độ như vậy dẫn đến sự hiện diện của một gia tốc trong cơ thể, được gọi là hướng tâm.

Cơm. 6. Chuyển động dọc theo đường cong

Nếu quỹ đạo chuyển động của cơ thể là một đường cong, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các chuyển động dọc theo các cung tròn, như thể hiện trong Hình. 6.

Trên hình. 7 cho biết hướng của vectơ vận tốc thay đổi như thế nào. Tốc độ trong một chuyển động như vậy hướng theo phương tiếp tuyến với đường tròn dọc theo cung mà cơ thể chuyển động. Do đó, hướng của nó liên tục thay đổi. Ngay cả khi tốc độ mô-đun không đổi, sự thay đổi tốc độ dẫn đến gia tốc:

Trong trường hợp này sự tăng tốc sẽ hướng về tâm của hình tròn. Đó là lý do tại sao nó được gọi là hướng tâm.

Tại sao gia tốc hướng tâm lại hướng vào tâm?

Nhớ lại rằng nếu một vật chuyển động dọc theo một đường cong thì vận tốc của nó là phương tiếp tuyến. Vận tốc là một đại lượng vectơ. Một vectơ có một giá trị số và một hướng. Tốc độ khi cơ thể chuyển động liên tục thay đổi hướng của nó. Nghĩa là, sự khác biệt về tốc độ tại các điểm khác nhau trong thời gian sẽ không bằng không (), ngược lại với chuyển động thẳng đều.

Vì vậy, chúng ta có sự thay đổi về tốc độ trong một khoảng thời gian nhất định. Liên quan đến là gia tốc. Chúng ta đi đến kết luận rằng, ngay cả khi tốc độ không thay đổi về giá trị tuyệt đối, một vật thực hiện chuyển động thẳng đều trong một đường tròn thì có gia tốc.

Gia tốc này hướng về đâu? Xem xét Hình. 3. Một số cơ thể chuyển động theo đường cong (theo hình vòng cung). Tốc độ của vật tại điểm 1 và 2 là phương tiếp tuyến. Vật chuyển động thẳng đều, tức là môđun của các vận tốc bằng nhau:, nhưng phương của các vận tốc không trùng nhau.

Cơm. 3. Chuyển động của cơ thể theo hình tròn

Trừ tốc độ và lấy véc tơ. Để làm điều này, bạn cần kết nối phần đầu của cả hai vectơ. Song song, ta chuyển vectơ về đầu vectơ. Chúng tôi xây dựng đến một hình tam giác. Cạnh thứ ba của tam giác sẽ là vectơ chênh lệch vận tốc (Hình 4).

Cơm. 4. Vectơ chênh lệch vận tốc

Vectơ có hướng đối với đường tròn.

Xét một tam giác được tạo thành bởi vectơ vận tốc và vectơ hiệu (Hình 5).

Cơm. 5. Tam giác tạo bởi vectơ vận tốc

Tam giác này là cân (môđun vận tốc bằng nhau). Vậy các góc ở đáy bằng nhau. Hãy viết phương trình tổng các góc của một tam giác:

Tìm gia tốc hướng vào một điểm đã cho của quỹ đạo. Để làm điều này, chúng ta bắt đầu đưa điểm 2 gần hơn điểm 1. Với sự siêng năng không giới hạn như vậy, góc sẽ có xu hướng về 0, và góc - tới. Góc giữa vectơ biến đổi vận tốc và chính vectơ vận tốc là. Vận tốc hướng theo phương tiếp tuyến và vectơ thay đổi vận tốc hướng vào tâm của vòng tròn. Điều này có nghĩa là gia tốc cũng hướng về tâm của vòng tròn. Đó là lý do tại sao gia tốc này được gọi là hướng tâm.

Làm thế nào để tìm gia tốc hướng tâm?

Xem xét quỹ đạo mà cơ thể chuyển động. Trong trường hợp này, đây là một cung của một đường tròn (Hình 8).

Cơm. 8. Chuyển động của cơ thể theo hình tròn

Hình bên cho thấy hai tam giác: một tam giác được tạo thành bởi các vận tốc và một tam giác tạo bởi bán kính và vectơ độ dời. Nếu điểm 1 và điểm 2 rất gần nhau thì vectơ độ dời sẽ giống vectơ đường đi. Cả hai tam giác đều cân với các góc ở đỉnh bằng nhau. Vậy các tam giác đồng dạng. Điều này có nghĩa là các cạnh tương ứng của các tam giác có cùng tỷ lệ:

Độ dời bằng tích của tốc độ và thời gian:. Thay vào công thức này, bạn có thể nhận được biểu thức sau cho gia tốc hướng tâm:

Vận tốc gócđược ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp omega (ω), nó cho biết vật thể quay ở góc nào trong một đơn vị thời gian (Hình 9). Đây là độ lớn của cung, tính bằng độ, đi ngang qua cơ thể trong một thời gian nào đó.

Cơm. 9. Tốc độ góc

Lưu ý rằng nếu một vật cứng quay, thì vận tốc góc của bất kỳ điểm nào trên vật này sẽ là một giá trị không đổi. Điểm gần tâm quay hơn hay xa hơn - không quan trọng, nghĩa là nó không phụ thuộc vào bán kính.

Đơn vị đo lường trong trường hợp này sẽ là độ trên giây () hoặc radian trên giây (). Thường thì từ "radian" không được viết, mà chỉ được viết đơn giản. Ví dụ, hãy tìm vận tốc góc của Trái đất là bao nhiêu. Trái đất quay hết một vòng trong một giờ, và trong trường hợp này, chúng ta có thể nói rằng vận tốc góc bằng:

Cũng cần chú ý đến mối quan hệ giữa vận tốc góc và vận tốc thẳng:

Tốc độ tuyến tính tỷ lệ thuận với bán kính. Bán kính càng lớn thì tốc độ tuyến tính càng lớn. Do đó, di chuyển ra khỏi tâm quay, chúng ta tăng tốc độ tuyến tính của mình.

Cần lưu ý rằng chuyển động theo đường tròn với tốc độ không đổi là một trường hợp đặc biệt của chuyển động. Tuy nhiên, chuyển động tròn cũng có thể không đều. Tốc độ có thể thay đổi không chỉ theo hướng và giữ nguyên giá trị tuyệt đối, mà còn thay đổi giá trị của nó, tức là ngoài việc thay đổi hướng, còn có sự thay đổi trong mô-đun tốc độ. Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về cái gọi là chuyển động tròn có gia tốc.

Radian là gì?

Có hai đơn vị đo góc: độ và radian. Trong vật lý, như một quy luật, số đo radian của một góc là số đo chính.

Hãy dựng một góc ở giữa dựa vào độ dài cung.

Các khái niệm về tốc độ và gia tốc được tổng quát một cách tự nhiên đối với trường hợp chuyển động của một chất điểm dọc theo quỹ đạo cong. Vị trí của chất điểm chuyển động trên quỹ đạo được cho bởi vectơ bán kính r được vẽ đến thời điểm này từ một số điểm cố định O, ví dụ, nguồn gốc (Hình 1.2). Hãy để vào lúc này tđiểm vật liệu đang ở vị trí M với vector bán kính r = r (t). Sau một thời gian ngắn Đ t, nó sẽ di chuyển đến vị trí M 1 với bán kính - vectơ r 1 = r (t+ D t). Bán kính - vectơ của một điểm vật liệu sẽ nhận được một gia số được xác định bởi sự khác biệt hình học D r = r 1 - r . Tốc độ trung bình theo thời gian D tđược gọi là số lượng

Hướng tốc độ trung bình V Thứ Tư diêm với hướng của vectơ D r .

Giới hạn tốc độ trung bình tại D t® 0, tức là đạo hàm của bán kính - vectơ r theo thời gian

(1.9)

triệu tập THÀNH THẬT hoặc lập tức tốc độ điểm vật liệu. Véc tơ V Chỉ đạo tiếp tuyếnđến quỹ đạo của chất điểm chuyển động.

sự tăng tốc một được gọi là vectơ bằng đạo hàm bậc nhất của vectơ vận tốc V hoặc đạo hàm cấp hai của bán kính - vectơ r theo thời gian:

(1.10)

(1.11)

Lưu ý sự tương tự chính thức sau đây giữa vận tốc và gia tốc. Từ một điểm cố định tùy ý O 1 ta sẽ vẽ véc tơ vận tốc V điểm chuyển động tại mọi thời điểm có thể (Hình 1.3).

Kết thúc vectơ V triệu tập điểm tốc độ. Quỹ tích của các điểm vận tốc là một đường cong được gọi là tốc độ hodograph. Khi một điểm vật chất mô tả một quỹ đạo, điểm tốc độ tương ứng với nó sẽ di chuyển dọc theo hình ảnh ba chiều.

Cơm. 1.2 khác với vả. 1,3 chỉ theo chỉ định. Bán kính - vectơ r được thay thế bằng vectơ vận tốc V , điểm vật chất - đến điểm vận tốc, quỹ đạo - tới hình ảnh ba chiều. Các phép toán trên một vectơ r khi tìm tốc độ và trên vectơ V khi tìm thấy gia tốc hoàn toàn giống nhau.

Tốc độ V hướng theo một đường tiếp tuyến. Cho nên sự tăng tốcmột sẽ được hướng theo phương tiếp tuyến với hodograph vận tốc. Có thể nói rằng gia tốc là tốc độ chuyển động của điểm tốc độ cao dọc theo hình ảnh ba chiều. Vì thế,

Tùy thuộc vào hình dạng của quỹ đạo, chuyển động được chia thành tuyến tính và đường cong. Trong thế giới thực, chúng ta thường xử lý chuyển động theo đường cong, khi quỹ đạo là một đường cong. Ví dụ về chuyển động như vậy là quỹ đạo của một vật thể bị ném nghiêng một góc so với đường chân trời, chuyển động của Trái đất quanh Mặt trời, chuyển động của các hành tinh, điểm kết thúc của kim đồng hồ trên mặt số, v.v.

Hình 1. Quỹ đạo và độ dịch chuyển trong chuyển động cong

Sự định nghĩa

Chuyển động theo đường cong là chuyển động có quỹ đạo là một đường cong (ví dụ: đường tròn, hình elip, hyperbol, parabol). Khi di chuyển dọc theo một quỹ đạo cong, vectơ dịch chuyển $ \ overrightarrow (s) $ hướng dọc theo dây cung (Hình 1) và l là chiều dài của quỹ đạo. Tốc độ tức thời của cơ thể (nghĩa là tốc độ của cơ thể tại một điểm nhất định của quỹ đạo) hướng theo phương tiếp tuyến tại điểm đó của quỹ đạo mà cơ thể đang chuyển động (Hình 2).

Hình 2. Vận tốc tức thời trong quá trình chuyển động theo đường cong

Tuy nhiên, cách làm sau tiện lợi hơn. Bạn có thể hình dung chuyển động này là sự kết hợp của một số chuyển động dọc theo các cung tròn (xem Hình 4). Sẽ có ít phân vùng như vậy hơn trong trường hợp trước, ngoài ra, chuyển động dọc theo đường tròn tự nó là đường cong.

Hình 4. Phân vùng chuyển động theo đường cong thành chuyển động dọc theo cung tròn

Sự kết luận

Để mô tả chuyển động theo đường cong, người ta phải học cách mô tả chuyển động dọc theo một đường tròn, và sau đó biểu diễn một chuyển động tùy ý dưới dạng một tập hợp các chuyển động dọc theo các cung của đường tròn.

Nhiệm vụ của việc nghiên cứu chuyển động cong của một chất điểm là lập một phương trình động học mô tả chuyển động này và cho phép, theo các điều kiện ban đầu đã cho, xác định tất cả các đặc tính của chuyển động này.