Các phương trình vi phân đơn giản nhất của bậc nhất là ví dụ. Phương trình vi phân bậc nhất

Tổ chức giáo dục "Nhà nước Belarus

học viện nông nghiệp "

Khoa Toán cao cấp

ĐƠN HÀNG ĐẦU TIÊN CÁC YÊU CẦU KHÁC BIỆT

Tóm tắt bài giảng dành cho sinh viên kế toán

hình thức giáo dục thư từ (NISPO)

Gorki, 2013

Phương trình vi phân bậc nhất

Khái niệm về một phương trình vi phân. Các giải pháp chung và riêng

Khi nghiên cứu các hiện tượng khác nhau, thường không thể tìm ra quy luật kết nối trực tiếp giữa biến độc lập và hàm mong muốn, nhưng có thể thiết lập mối liên hệ giữa hàm mong muốn và các đạo hàm của nó.

Quan hệ kết nối biến độc lập, hàm mong muốn và các đạo hàm của nó được gọi là phương trình vi phân :

Đây x là một biến độc lập, y là chức năng mong muốn,
là các đạo hàm của hàm mong muốn. Trong trường hợp này, quan hệ (1) yêu cầu sự hiện diện của ít nhất một đạo hàm.

Bậc của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất trong phương trình.

Xét phương trình vi phân

. (2)

Vì phương trình này chỉ bao gồm một đạo hàm của bậc đầu tiên, nên nó được gọi là là một phương trình vi phân cấp một.

Nếu phương trình (2) có thể được giải theo đạo hàm và được viết dưới dạng

, (3)

thì phương trình như vậy được gọi là phương trình vi phân cấp một ở dạng chuẩn.

Trong nhiều trường hợp, việc xem xét một phương trình có dạng

được gọi là một phương trình vi phân bậc nhất được viết dưới dạng vi phân.

Như
, thì phương trình (3) có thể được viết dưới dạng
hoặc
, nơi người ta có thể đếm
và
. Điều này có nghĩa là phương trình (3) đã được chuyển thành phương trình (4).

Ta viết phương trình (4) dưới dạng
. sau đó
,
,
, nơi người ta có thể đếm
, I E. thu được một phương trình có dạng (3). Như vậy, phương trình (3) và (4) là tương đương.

Bằng cách giải phương trình vi phân (2) hoặc (3) bất kỳ hàm nào được gọi
, khi thay nó vào phương trình (2) hoặc (3), biến nó thành một danh tính:

hoặc
.

Quá trình tìm kiếm tất cả các nghiệm của một phương trình vi phân được gọi là hội nhập và đồ thị giải pháp
phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân phương trình này.

Nếu nghiệm của phương trình vi phân nhận được ở dạng ẩn
, sau đó nó được gọi là tích phân phương trình vi phân đã cho.

Giải pháp chung phương trình vi phân bậc nhất là một họ các hàm có dạng
, tùy thuộc vào một hằng số tùy ý Với, mỗi trong số đó là một nghiệm của phương trình vi phân đã cho với bất kỳ giá trị chấp nhận nào của một hằng số tùy ý Với. Như vậy, phương trình vi phân có vô số nghiệm.

Quyết định riêng phương trình vi phân được gọi là nghiệm thu được từ công thức nghiệm tổng quát cho một giá trị cụ thể của một hằng số tùy ý Với, kể cả
.

Bài toán Cauchy và cách giải thích hình học của nó

Phương trình (2) có vô số nghiệm. Để chọn ra một giải pháp từ tập hợp này, được gọi là một giải pháp cụ thể, một số điều kiện bổ sung phải được chỉ định.

Bài toán tìm một nghiệm cụ thể cho phương trình (2) trong các điều kiện đã cho được gọi là Vấn đề Cauchy . Vấn đề này là một trong những vấn đề quan trọng nhất trong lý thuyết về phương trình vi phân.

Bài toán Cauchy được xây dựng như sau: trong số tất cả các nghiệm của phương trình (2) tìm một nghiệm như vậy
, trong đó hàm
nhận một giá trị số nhất định nếu biến độc lập x nhận một giá trị số nhất định , I E.

,
, (5)

ở đâu D là miền của hàm
.

Nghĩa triệu tập giá trị ban đầu của hàm , một – giá trị ban đầu của biến độc lập . Điều kiện (5) được gọi là điều kiện ban đầu hoặc Điều kiện Cauchy .

Từ quan điểm hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân (2) có thể được xây dựng như sau: Từ tập hợp các đường cong tích phân của phương trình (2), hãy chọn một đường đi qua một điểm đã cho
.

Phương trình vi phân với các biến có thể phân tách

Một trong những loại phương trình vi phân đơn giản nhất là phương trình vi phân cấp một không chứa hàm mong muốn:

. (6)

Cho rằng
, chúng tôi viết phương trình dưới dạng
hoặc
. Tích cả hai vế của phương trình cuối cùng, chúng ta nhận được:
hoặc

. (7)

Do đó, (7) là một nghiệm tổng quát của phương trình (6).

ví dụ 1 . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
.

Quyết định . Chúng tôi viết phương trình dưới dạng
hoặc
. Chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình kết quả:
,
. Cuối cùng chúng ta hãy viết ra
.

Ví dụ 2 . Tìm một giải pháp cho phương trình
đưa ra điều đó
.

Quyết định . Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
,
,
,
. Theo điều kiện
,
. Thay thế trong giải pháp chung:
hoặc
. Chúng tôi thay thế giá trị tìm được của một hằng số tùy ý vào công thức cho giải pháp chung:
. Đây là nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương trình

(8)

triệu tập một phương trình vi phân bậc nhất không chứa một biến độc lập . Chúng tôi viết nó dưới dạng
hoặc
. Chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình cuối cùng:
hoặc
- nghiệm tổng quát của phương trình (8).

Ví dụ . Tìm một nghiệm tổng quát cho phương trình
.

Quyết định . Chúng tôi viết phương trình này dưới dạng:
hoặc
. sau đó
,
,
,
. Vì vậy,
là nghiệm tổng quát của phương trình này.

Loại phương trình

(9)

tích hợp bằng cách sử dụng tách các biến. Để làm điều này, chúng tôi viết phương trình dưới dạng
và sau đó, sử dụng các phép toán nhân và chia, chúng tôi đưa nó về dạng sao cho một phần chỉ bao gồm chức năng của X và sự khác biệt dx và trong phần thứ hai - một chức năng của tại và sự khác biệt dy. Để làm điều này, cả hai vế của phương trình phải được nhân với dx và chia cho
. Kết quả là, chúng tôi có được phương trình

, (10)

trong đó các biến X và tại ly thân. Chúng tôi tích hợp cả hai phần của phương trình (10):
. Quan hệ kết quả là tích phân tổng quát của phương trình (9).

Ví dụ 3 . Tích hợp phương trình
.

Quyết định . Biến đổi phương trình và tách các biến:
,
. Hãy tích hợp:
,
hoặc là tích phân tổng quát của phương trình này.
.

Hãy cho phương trình được cho ở dạng

Phương trình như vậy được gọi là phương trình vi phân bậc nhất với các biến có thể phân tách ở dạng đối xứng.

Để tách các biến, cả hai vế của phương trình phải được chia cho
:

. (12)

Phương trình kết quả được gọi là phương trình vi phân tách biệt . Chúng tôi tích phân phương trình (12):

.(13)

Quan hệ (13) là một tích phân tổng quát của phương trình vi phân (11).

Ví dụ 4 . Tích phân của phương trình vi phân.

Quyết định . Chúng tôi viết phương trình dưới dạng

và chia cả hai phần thành
,
. Phương trình kết quả:
là một phương trình biến riêng biệt. Hãy tích hợp nó:

,
,

,
. Đẳng thức cuối cùng là tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho.

Ví dụ 5 . Tìm một nghiệm cụ thể của một phương trình vi phân
, thỏa mãn điều kiện
.

Quyết định . Cho rằng
, chúng tôi viết phương trình dưới dạng
hoặc
. Hãy tách các biến:
. Hãy tích phân phương trình này:
,
,
. Quan hệ kết quả là tích phân tổng quát của phương trình này. Theo điều kiện
. Thay vào tích phân tổng quát và tìm Với:
,Với= 1. Sau đó, biểu thức
là một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân đã cho, được viết dưới dạng một tích phân cụ thể.

Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất

Phương trình

(14)

triệu tập phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất . chức năng không xác định
và đạo hàm của nó nhập vào phương trình này một cách tuyến tính, và các hàm
và
tiếp diễn.

Nếu một
, sau đó phương trình

(15)

triệu tập đồng nhất tuyến tính . Nếu một
, khi đó phương trình (14) được gọi là tuyến tính không đồng nhất .

Để tìm một lời giải cho phương trình (14), người ta thường sử dụng phương pháp thay thế (Bernoulli) , bản chất của nó là như sau.

Nghiệm của phương trình (14) sẽ được tìm dưới dạng tích của hai hàm

, (16)

ở đâu
và
- một số chức năng liên tục. Thay thế
và phái sinh
vào phương trình (14):

Hàm số v sẽ được chọn theo cách mà điều kiện
. sau đó
. Như vậy, để tìm được nghiệm của phương trình (14) thì cần giải hệ phương trình vi phân.

Phương trình đầu tiên của hệ là một phương trình thuần nhất tuyến tính và nó có thể được giải bằng phương pháp tách biến:
,
,
,
,
. Như một chức năng
người ta có thể nhận một trong các nghiệm cụ thể của phương trình thuần nhất, tức là tại Với=1:
. Thay thế vào phương trình thứ hai của hệ thống:
hoặc
.Sau đó
. Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng
.

Ví dụ 6 . giải phương trình
.

Quyết định . Chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình ở dạng
. sau đó
. Thay thế vào phương trình:

hoặc
. Hàm số v chọn theo cách mà sự bình đẳng
. sau đó
. Chúng tôi giải phương trình đầu tiên trong số các phương trình này bằng phương pháp tách biến:
,
,
,
,. Hàm số v Thay thế vào phương trình thứ hai:
,
,
,
. Giải pháp chung cho phương trình này là
.

Câu hỏi để tự kiểm soát kiến ​​thức

Một phương trình vi phân là gì?

Bậc của một phương trình vi phân là gì?

Phương trình vi phân nào được gọi là phương trình vi phân bậc nhất?

Phương trình vi phân bậc nhất được viết dưới dạng vi phân như thế nào?

Nghiệm của một phương trình vi phân là gì?

Đường cong tích phân là gì?

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc nhất là gì?

Một nghiệm cụ thể của một phương trình vi phân là gì?

Bài toán Cauchy được xây dựng như thế nào cho một phương trình vi phân cấp một?

Giải thích hình học của bài toán Cauchy là gì?

Làm thế nào một phương trình vi phân được viết với các biến phân tách ở dạng đối xứng?

Phương trình nào được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một?

Có thể dùng phương pháp nào để giải một phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất và thực chất của phương pháp này là gì?

Nhiệm vụ làm việc độc lập

Giải phương trình vi phân với các biến phân tách:

một)
; b)
;

trong)
; G)
.

2. Giải phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất:

một)
; b)
; trong)
;

G)
; e)
.

Hoặc đã được giải đối với đạo hàm hoặc chúng có thể được giải đối với đạo hàm .

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân loại trên khoảng X, cái đã cho, có thể được tìm thấy bằng cách lấy tích phân của cả hai vế của đẳng thức này.

Mắc phải .

Nếu chúng ta xem xét các tính chất của tích phân bất định, chúng ta tìm thấy lời giải tổng quát mong muốn:

y = F (x) + C,

ở đâu F (x)- một trong những chất chống nhiễm trùng của hàm f (x)ở giữa X, một Với là một hằng số tùy ý.

Xin lưu ý rằng trong hầu hết các nhiệm vụ, khoảng thời gian X không chỉ ra. Điều này có nghĩa là một giải pháp phải được tìm ra cho tất cả mọi người. x, cho cái nào và chức năng mong muốn y, và phương trình ban đầu có ý nghĩa.

Nếu bạn cần tính một nghiệm cụ thể của một phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y (x0) = y0, sau đó sau khi tính tích phân tổng quát y = F (x) + C, vẫn cần xác định giá trị của hằng số C = C0 sử dụng điều kiện ban đầu. Đó là, một hằng số C = C0 xác định từ phương trình F (x 0) + C = y 0, và nghiệm cụ thể mong muốn của phương trình vi phân sẽ có dạng:

y = F (x) + C0.

Hãy xem xét một ví dụ:

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân, kiểm tra tính đúng đắn của kết quả. Hãy tìm một nghiệm cụ thể của phương trình này thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Quyết định:

Sau khi chúng ta đã tích phân phương trình vi phân đã cho, chúng ta nhận được:

.

Chúng tôi lấy tích phân này theo phương pháp tích phân theo các bộ phận:

Điều đó., là một nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Hãy kiểm tra để đảm bảo kết quả là chính xác. Để làm điều này, chúng tôi thay thế nghiệm mà chúng tôi tìm thấy vào phương trình đã cho:

.

Đó là, tại phương trình ban đầu biến thành một định danh:

do đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã được xác định một cách chính xác.

Giải pháp chúng tôi tìm thấy là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ứng với mỗi giá trị thực của đối số x.

Nó vẫn còn để tính toán một giải pháp cụ thể của ODE sẽ thỏa mãn điều kiện ban đầu. Nói cách khác, cần phải tính giá trị của hằng số Với, tại đó đẳng thức sẽ đúng:

.

.

Sau đó, thay thế C = 2 vào nghiệm tổng quát của ODE, chúng tôi nhận được một nghiệm cụ thể của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu:

.

Phương trình vi phân thường có thể được giải về đạo hàm bằng cách chia 2 phần của phương trình cho f (x). Phép biến đổi này sẽ tương đương nếu f (x) không về 0 cho bất kỳ x từ khoảng tích phân của phương trình vi phân X.

Các tình huống có thể xảy ra khi, đối với một số giá trị của đối số x ∈ X chức năng f (x) và g (x)đồng thời chuyển về 0. Đối với các giá trị tương tự x nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là một hàm bất kỳ y, được định nghĩa trong chúng, bởi vì .

Nếu đối với một số giá trị của đối số x ∈ Xđiều kiện được thỏa mãn, có nghĩa là trong trường hợp này ODE không có giải pháp nào.

Đối với tất cả những người khác x từ khoảng thời gian X nghiệm tổng quát của phương trình vi phân được xác định từ phương trình đã biến đổi.

Hãy xem các ví dụ:

ví dụ 1

Hãy để chúng tôi tìm giải pháp chung của ODE: .

Quyết định.

Từ các tính chất của các hàm cơ bản cơ bản, rõ ràng là hàm logarit tự nhiên được xác định cho các giá trị không âm của đối số, do đó, miền của biểu thức log (x + 3) có một khoảng thời gian x > -3 . Do đó, phương trình vi phân đã cho có ý nghĩa đối với x > -3 . Với các giá trị này của đối số, biểu thức x + 3 không biến mất, vì vậy người ta có thể giải ODE đối với đạo hàm bằng cách chia 2 phần cho x + 3.

Chúng tôi nhận được .

Tiếp theo, chúng tôi tích phân phương trình vi phân kết quả, được giải liên quan đến đạo hàm: . Để lấy tích phân này, chúng ta sử dụng phương pháp cộng dưới dấu của vi phân.

Phương trình vi phân thường được gọi là một phương trình liên quan đến một biến độc lập, một hàm chưa biết của biến này và các đạo hàm (hoặc vi phân) của nó theo các bậc khác nhau.

Bậc của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất chứa trong nó.

Ngoài những cái thông thường, các phương trình đạo hàm riêng cũng được nghiên cứu. Đây là các phương trình liên quan đến các biến độc lập, một hàm chưa biết của các biến này và các đạo hàm riêng của nó đối với các biến giống nhau. Nhưng chúng tôi sẽ chỉ xem xét phương trình vi phân thường và do đó chúng ta sẽ bỏ từ "thông thường" cho ngắn gọn.

Ví dụ về phương trình vi phân:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Phương trình (1) là bậc 4, phương trình (2) là bậc 3, phương trình (3) và (4) là bậc 2, phương trình (5) là bậc nhất.

Phương trình vi phân N thứ tự không nhất thiết phải chứa một hàm, tất cả các dẫn xuất của nó từ đầu tiên đến N thứ tự và một biến độc lập. Nó có thể không chứa các dẫn xuất của một số lệnh, một hàm, một biến độc lập một cách rõ ràng.

Ví dụ, trong phương trình (1) rõ ràng không có đạo hàm của bậc ba và bậc hai, cũng như các hàm; trong phương trình (2) - đạo hàm và hàm số cấp hai; trong phương trình (4) - biến độc lập; trong phương trình (5) - các hàm. Chỉ có phương trình (3) mới chứa tất cả các đạo hàm, hàm và biến độc lập một cách rõ ràng.

Bằng cách giải phương trình vi phân bất kỳ chức năng nào được gọi là y = f (x), thay thế cái nào vào phương trình, nó biến thành một danh tính.

Quá trình tìm kiếm một giải pháp cho một phương trình vi phân được gọi là hội nhập.

ví dụ 1 Tìm một nghiệm của phương trình vi phân.

Quyết định. Chúng tôi viết phương trình này dưới dạng. Giải pháp là tìm hàm bằng đạo hàm của nó. Hàm ban đầu, như được biết đến từ phép tính tích phân, là hàm phản đạo hàm cho, tức là

Đó là những gì nó là nghiệm của phương trình vi phân đã cho . thay đổi trong đó C, chúng tôi sẽ nhận được các giải pháp khác nhau. Chúng tôi phát hiện ra rằng có vô số nghiệm của một phương trình vi phân cấp một.

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân N thứ tự là giải pháp của nó được thể hiện một cách rõ ràng đối với hàm chưa biết và chứa N các hằng số tùy ý độc lập, tức là

Nghiệm của phương trình vi phân trong ví dụ 1 là tổng quát.

Nghiệm một phần của phương trình vi phân nghiệm của nó được gọi là, trong đó các giá trị số cụ thể được trao cho các hằng số tùy ý.

Ví dụ 2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân và nghiệm cụ thể cho .

Quyết định. Chúng ta tích phân cả hai vế của phương trình nhiều lần sao cho bậc của phương trình vi phân là bằng nhau.

,

.

Kết quả là, chúng tôi có giải pháp chung -

phương trình vi phân cấp ba đã cho.

Bây giờ chúng ta hãy tìm một giải pháp cụ thể trong các điều kiện được chỉ định. Để làm điều này, chúng tôi thay thế các giá trị của chúng thay vì các hệ số tùy ý và thu được

.

Nếu, ngoài phương trình vi phân, điều kiện ban đầu được cho ở dạng, thì bài toán như vậy được gọi là Vấn đề Cauchy . Các giá trị và được thay thế vào nghiệm tổng quát của phương trình và giá trị của một hằng số tùy ý được tìm thấy C, và sau đó là một nghiệm cụ thể của phương trình cho giá trị tìm được C. Đây là giải pháp cho vấn đề Cauchy.

Ví dụ 3 Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân từ Ví dụ 1 với điều kiện.

Quyết định. Chúng tôi thay thế vào giải pháp chung các giá trị từ điều kiện ban đầu y = 3, x= 1. Chúng tôi nhận được

Chúng tôi viết ra lời giải của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân bậc nhất đã cho:

Giải các phương trình vi phân, ngay cả những phương trình đơn giản nhất, đòi hỏi kỹ năng tốt trong việc tích phân và lấy đạo hàm, bao gồm cả các hàm phức tạp. Điều này có thể được nhìn thấy trong ví dụ sau.

Ví dụ 4 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Quyết định. Phương trình được viết dưới dạng sao cho có thể tích cả hai vế ngay lập tức.

.

Ta áp dụng phương pháp tích phân bằng cách đổi biến (thay thế). Hãy để, sau đó.

Bắt buộc phải lấy dx và bây giờ - chú ý - chúng tôi làm điều đó theo quy tắc phân biệt của một hàm phức tạp, vì x và có một hàm phức tạp ("apple" - chiết xuất căn bậc hai hoặc, hàm này giống nhau - nâng lên lũy thừa "một giây", và "thịt băm" - chính biểu thức dưới gốc):

Ta tìm tích phân:

Quay lại biến x, chúng tôi nhận được:

.

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một.

Không chỉ các kỹ năng từ các phần trước của toán học cao hơn sẽ được yêu cầu trong việc giải phương trình vi phân, mà còn cả các kỹ năng từ sơ cấp, tức là, toán học phổ thông. Như đã đề cập, trong một phương trình vi phân bậc bất kỳ có thể không có một biến độc lập, tức là một biến x. Những kiến ​​thức về tỉ lệ không bị quên (tuy nhiên, ai cũng có như thế) từ trên ghế nhà trường sẽ giúp giải quyết vấn đề này. Đây là ví dụ tiếp theo.

Nội dung của bài báo

CÁC YẾU TỐ KHÁC NHAU. Nhiều định luật vật lý chi phối một số hiện tượng được viết dưới dạng một phương trình toán học thể hiện mối quan hệ nhất định giữa một số đại lượng. Thông thường chúng ta đang nói về mối quan hệ giữa các giá trị thay đổi theo thời gian, ví dụ, hiệu suất của động cơ, được đo bằng quãng đường mà ô tô đi được trên một lít nhiên liệu, phụ thuộc vào tốc độ của ô tô. Phương trình tương ứng chứa một hoặc nhiều hàm và các đạo hàm của chúng và được gọi là phương trình vi phân. (Tốc độ thay đổi của quãng đường theo thời gian được xác định bởi tốc độ; do đó, tốc độ là đạo hàm của quãng đường; tương tự, gia tốc là đạo hàm của tốc độ, vì gia tốc đặt tốc độ thay đổi của tốc độ theo thời gian.) đối với toán học và đặc biệt là các ứng dụng của nó, được giải thích là do việc nghiên cứu nhiều vấn đề vật lý và kỹ thuật được rút gọn thành việc giải các phương trình như vậy. Phương trình vi phân đóng một vai trò thiết yếu trong các ngành khoa học khác, chẳng hạn như sinh học, kinh tế học và kỹ thuật điện; trên thực tế, chúng phát sinh ở bất cứ nơi nào cần mô tả định lượng (bằng số) các hiện tượng (ngay khi thế giới xung quanh thay đổi theo thời gian, và các điều kiện thay đổi từ nơi này sang nơi khác).

Các ví dụ.

Các ví dụ sau giúp bạn hiểu rõ hơn về cách các bài toán khác nhau được hình thành dưới dạng phương trình vi phân.

1) Quy luật phân rã của một số chất phóng xạ là tốc độ phân rã tỉ lệ thuận với khối lượng sẵn có của chất này. Nếu một x là lượng vật chất tại một thời điểm nhất định t, thì luật này có thể được viết như sau:

ở đâu dx/dt là tốc độ phân rã, và k là một hằng số dương đặc trưng cho chất đã cho. (Dấu trừ ở phía bên phải cho biết rằng x giảm dần theo thời gian; dấu cộng, luôn được ngụ ý khi dấu không được nêu rõ ràng, có nghĩa là x tăng theo thời gian.)

2) Ban đầu thùng chứa 10 kg muối tan trong 100 m 3 nước. Nếu đổ nước nguyên chất vào bình với tốc độ 1 m 3 / phút và được hỗn hợp đều một dung dịch, và dung dịch thu được chảy ra khỏi bình với tốc độ như nhau thì trong bình đó sẽ có bao nhiêu muối. thời điểm tiếp theo trong thời gian? Nếu một x- lượng muối (tính bằng kg) trong thùng tại thời điểm t, sau đó bất cứ lúc nào t 1 m 3 dung dịch trong bình chứa x/ 100 kg muối; nên lượng muối giảm với tốc độ x/ 100 kg / phút, hoặc

3) Để khối lượng trên cơ thể mđược treo vào đầu lò xo một lực hồi phục có tác dụng tỉ lệ với lực căng của lò xo. Để cho được x- lượng lệch của vật khỏi vị trí cân bằng. Sau đó, theo định luật thứ hai của Newton, phát biểu rằng gia tốc (đạo hàm cấp hai của x trong thời gian, biểu thị d 2 x/dt 2) tỷ lệ với sức mạnh:

Vế phải có dấu trừ vì lực phục hồi làm giảm độ dãn của lò xo.

4) Quy luật làm mát cơ thể phát biểu rằng nhiệt lượng vào cơ thể giảm dần tỉ lệ thuận với sự chênh lệch nhiệt độ giữa cơ thể và môi trường. Nếu một tách cà phê được làm nóng đến nhiệt độ 90 ° C trong phòng có nhiệt độ 20 ° C, thì

ở đâu T- nhiệt độ cà phê tại thời điểm đó t.

5) Bộ trưởng Bộ Ngoại giao của bang Blefuscu tuyên bố rằng chương trình vũ khí trang bị mà Lilliput áp dụng đang buộc đất nước của ông ta phải tăng chi tiêu quân sự càng nhiều càng tốt. Bộ trưởng Bộ Ngoại giao Lilliput cũng đưa ra tuyên bố tương tự. Tình huống kết quả (theo cách hiểu đơn giản nhất) có thể được mô tả chính xác bằng hai phương trình vi phân. Để cho được x và y- chi phí trang bị Lilliput và Blefuscu. Giả sử rằng Lilliputia tăng chi tiêu vũ khí của mình với tốc độ tỷ lệ thuận với tốc độ tăng chi tiêu vũ khí của Blefuscu và ngược lại, chúng ta nhận được:

các thành viên ở đâu cây rìu và - qua mô tả chi tiêu quân sự của mỗi quốc gia, k và l là các hằng số dương. (Bài toán này lần đầu tiên được đưa ra theo cách này vào năm 1939 bởi L. Richardson.)

Sau khi bài toán được viết bằng ngôn ngữ của phương trình vi phân, người ta nên cố gắng giải chúng, tức là tìm các đại lượng có tốc độ thay đổi được bao gồm trong phương trình. Đôi khi các giải pháp được tìm thấy ở dạng công thức rõ ràng, nhưng thường thì chúng chỉ có thể được biểu diễn ở dạng gần đúng hoặc thu được thông tin định tính về chúng. Thường rất khó để xác định xem một giải pháp có tồn tại hay không, chứ chưa nói đến việc tìm ra một giải pháp. Một phần quan trọng của lý thuyết phương trình vi phân là cái gọi là "định lý tồn tại", chứng minh sự tồn tại của một nghiệm cho một hoặc một loại phương trình vi phân.

Công thức toán học ban đầu của một vấn đề vật lý thường chứa các giả thiết đơn giản hóa; tiêu chí về tính hợp lý của chúng có thể là mức độ nhất quán của giải pháp toán học với các quan sát có sẵn.

Nghiệm của phương trình vi phân.

Ví dụ: phương trình vi phân dy/dx = x/y, thỏa mãn không phải một số, mà là một hàm, trong trường hợp cụ thể này, sao cho đồ thị của nó tại bất kỳ điểm nào, chẳng hạn, tại một điểm có tọa độ (2,3), có một tiếp tuyến với hệ số góc bằng tỷ số của tọa độ (trong ví dụ của chúng tôi là 2/3). Điều này dễ dàng xác minh nếu một số lượng lớn các điểm được xây dựng và một đoạn ngắn với độ dốc tương ứng được bố trí từ mỗi điểm. Lời giải sẽ là một hàm có đồ thị tiếp xúc với mỗi điểm của nó trên đoạn tương ứng. Nếu có đủ các điểm và phân đoạn, thì chúng ta có thể phác thảo một cách gần đúng quy trình của các đường cong quyết định (ba đường cong như vậy được thể hiện trong Hình 1). Có chính xác một đường cong giải pháp đi qua mọi điểm với y Số 0. Mỗi nghiệm riêng biệt được gọi là một nghiệm riêng của phương trình vi phân; nếu có thể tìm được công thức chứa tất cả các nghiệm cụ thể (trừ một số nghiệm đặc biệt có thể xảy ra), thì ta nói rằng một nghiệm tổng quát đã thu được. Một giải pháp cụ thể là một chức năng đơn lẻ, trong khi một giải pháp chung là cả một nhóm chức năng. Để giải một phương trình vi phân có nghĩa là tìm nghiệm cụ thể hoặc tổng quát của nó. Trong ví dụ của chúng tôi, giải pháp chung có dạng y 2 – x 2 = c, ở đâu c- bất kỳ số nào; giải pháp cụ thể đi qua điểm (1,1) có dạng y = x và có được khi c= 0; nghiệm cụ thể đi qua điểm (2.1) có dạng y 2 – x 2 = 3. Điều kiện yêu cầu đường cong nghiệm đi qua, ví dụ, đi qua điểm (2,1), được gọi là điều kiện ban đầu (vì nó xác định điểm bắt đầu trên đường cong giải pháp).

Có thể chỉ ra rằng ở ví dụ (1) lời giải chung có dạng x = ce –kt, ở đâu c- một hằng số có thể được xác định, ví dụ, bằng cách chỉ ra lượng chất ở t= 0. Phương trình từ ví dụ (2) là một trường hợp đặc biệt của phương trình từ ví dụ (1), tương ứng với k= 1/100. Điều kiện ban đầu x= 10 lúc t= 0 đưa ra một giải pháp cụ thể x = 10e –t/ 100. Phương trình từ ví dụ (4) có một nghiệm tổng quát T = 70 + ce –kt và một giải pháp cụ thể 70 + 130 - kt; để xác định giá trị k, dữ liệu bổ sung là cần thiết.

Phương trình vi phân dy/dx = x/yđược gọi là phương trình bậc nhất, vì nó chứa đạo hàm đầu tiên (thông thường coi bậc của đạo hàm cao nhất có trong nó là bậc của một phương trình vi phân). Đối với hầu hết (mặc dù không phải tất cả) phương trình vi phân loại đầu tiên phát sinh trong thực tế, chỉ có một đường cong nghiệm đi qua mỗi điểm.

Có một số loại phương trình vi phân bậc nhất quan trọng cho phép giải ở dạng công thức chỉ chứa các hàm cơ bản - lũy thừa, số mũ, logarit, sin và cosin, v.v. Những phương trình này bao gồm những điều sau đây.

Phương trình với các biến có thể phân tách.

Các phương trình có dạng dy/dx = f(x)/g(y) có thể được giải quyết bằng cách viết nó dưới dạng vi phân g(y)dy = f(x)dx và tích hợp cả hai phần. Trong trường hợp xấu nhất, lời giải có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân của các hàm đã biết. Ví dụ, trong trường hợp của phương trình dy/dx = x/y chúng ta có f(x) = x, g(y) = y. Bằng cách viết nó trong biểu mẫu ydy = xdx và tích hợp, chúng tôi nhận được y 2 = x 2 + c. Các phương trình với các biến phân tách bao gồm các phương trình từ các ví dụ (1), (2), (4) (chúng có thể được giải bằng phương pháp mô tả ở trên).

Phương trình trong tổng vi phân.

Nếu phương trình vi phân có dạng dy/dx = M(x,y)/N(x,y), ở đâu M và N là hai hàm đã cho, nó có thể được biểu diễn dưới dạng M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Nếu vế trái là vi phân của một số hàm F(x,y), thì phương trình vi phân có thể được viết dưới dạng dF(x,y) = 0, tương đương với phương trình F(x,y) = const. Do đó, đường cong nghiệm phương trình là "đường có mức không đổi" của một hàm, hoặc quỹ tích của các điểm thỏa mãn các phương trình F(x,y) = c. Phương trình ydy = xdx(Hình 1) - với các biến có thể phân tách và nó giống nhau - về tổng số chênh lệch: để xác minh biến sau, chúng tôi viết nó dưới dạng ydy – xdx= 0, tức là d(y 2 – x 2) = 0. Chức năng F(x,y) trong trường hợp này bằng (1/2) ( y 2 – x 2); một số đường mức không đổi của nó được thể hiện trong Hình. một.

Các phương trình tuyến tính.

Phương trình tuyến tính là phương trình "bậc một" - hàm chưa biết và các đạo hàm của nó chỉ được đưa vào các phương trình như vậy ở bậc một. Như vậy, phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng dy/dx + P(x) = q(x), ở đâu P(x) và q(x) là các chức năng chỉ phụ thuộc vào x. Lời giải của nó luôn có thể được viết bằng cách sử dụng tích phân của các hàm đã biết. Nhiều loại phương trình vi phân bậc nhất khác được giải bằng các kỹ thuật đặc biệt.

Phương trình của đơn đặt hàng cao hơn.

Nhiều phương trình vi phân mà các nhà vật lý xử lý là phương trình bậc hai (tức là phương trình chứa đạo hàm bậc hai) Chẳng hạn, như phương trình chuyển động điều hòa đơn giản trong ví dụ (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Nói chung, người ta sẽ mong đợi một phương trình bậc hai có các nghiệm cụ thể thỏa mãn hai điều kiện; ví dụ, người ta có thể yêu cầu rằng đường cong giải pháp đi qua một điểm nhất định theo một hướng nhất định. Trong trường hợp phương trình vi phân có chứa một số tham số (một số có giá trị phụ thuộc vào hoàn cảnh), các nghiệm thuộc loại bắt buộc chỉ tồn tại cho một số giá trị nhất định của tham số này. Ví dụ, hãy xem xét phương trình md 2 x/dt 2 = –kx và chúng tôi yêu cầu điều đó y(0) = y(1) = 0. Chức năng yє 0 chắc chắn là một nghiệm, nhưng nếu là bội số nguyên P, I E. k = m 2 N 2 P 2, ở đâu N là một số nguyên và trên thực tế chỉ trong trường hợp này, có các giải pháp khác, đó là: y= tội lỗi npx. Các giá trị tham số mà phương trình có nghiệm đặc biệt được gọi là giá trị đặc trưng hoặc giá trị riêng; chúng đóng một vai trò quan trọng trong nhiều nhiệm vụ.

Phương trình của chuyển động điều hòa đơn giản thể hiện một loại phương trình quan trọng, đó là phương trình vi phân tuyến tính với hệ số không đổi. Một ví dụ tổng quát hơn (cũng là bậc hai) là phương trình

ở đâu một và b là các hằng số đã cho, f(x) là một hàm đã cho. Những phương trình như vậy có thể được giải theo nhiều cách khác nhau, ví dụ, sử dụng phép biến đổi tích phân Laplace. Điều tương tự cũng có thể nói về phương trình tuyến tính bậc cao với hệ số không đổi. Phương trình tuyến tính với hệ số thay đổi cũng đóng một vai trò quan trọng.

Phương trình vi phân phi tuyến.

Các phương trình chứa các hàm chưa biết và các đạo hàm của chúng cao hơn bậc nhất hoặc theo một số cách phức tạp hơn được gọi là phi tuyến tính. Trong những năm gần đây, chúng ngày càng thu hút nhiều sự chú ý. Vấn đề là các phương trình vật lý thường chỉ tuyến tính trong phép gần đúng đầu tiên; Việc điều tra sâu hơn và chính xác hơn, như một quy luật, yêu cầu sử dụng các phương trình phi tuyến tính. Ngoài ra, nhiều vấn đề vốn là phi tuyến tính. Vì các nghiệm của phương trình phi tuyến thường rất phức tạp và khó biểu diễn bằng các công thức đơn giản, nên một phần quan trọng của lý thuyết hiện đại được dành cho phân tích định tính về hành vi của chúng, tức là sự phát triển của các phương pháp làm cho nó có thể, mà không cần giải phương trình, nói lên điều gì đó có ý nghĩa về bản chất của tổng thể các nghiệm: ví dụ, chúng đều có giới hạn, hoặc có tính chất tuần hoàn, hoặc phụ thuộc vào một cách nhất định các hệ số.

Các nghiệm gần đúng của phương trình vi phân có thể được tìm thấy bằng số, nhưng điều này mất rất nhiều thời gian. Với sự ra đời của máy tính tốc độ cao, thời gian này đã giảm đi rất nhiều, điều này đã mở ra những khả năng mới cho giải pháp số của nhiều bài toán mà trước đây không thể giải được.

Các định lý tồn tại.

Một định lý tồn tại là một định lý nói rằng trong những điều kiện nhất định, một phương trình vi phân đã cho có nghiệm. Có những phương trình vi phân không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm hơn dự kiến. Mục đích của định lý tồn tại là thuyết phục chúng ta rằng một phương trình đã cho có nghiệm và thường là để đảm bảo rằng nó có đúng một nghiệm thuộc loại bắt buộc. Ví dụ, phương trình chúng ta đã gặp dy/dx = –2y có đúng một nghiệm đi qua mọi điểm của mặt phẳng ( x,y), và vì chúng ta đã tìm được một nghiệm như vậy nên chúng ta đã giải được hoàn toàn phương trình này. Mặt khác, phương trình ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 có nhiều giải pháp. Trong số đó trực tiếp y = 1, y= –1 và các đường cong y= sin ( x + c). Giải pháp có thể bao gồm một số đoạn của các đường thẳng và đường cong này, truyền vào nhau tại các điểm tiếp xúc (Hình 2).

Phương trình vi phân từng phần.

Một phương trình vi phân thông thường là một phát biểu về đạo hàm của một hàm chưa biết của một biến. Một phương trình đạo hàm riêng chứa một hàm có hai biến trở lên và các đạo hàm của hàm đó trong ít nhất hai biến khác nhau.

Trong vật lý, các ví dụ về các phương trình như vậy là phương trình Laplace

X, y) bên trong vòng tròn nếu các giá trị uđược cho tại mỗi điểm của vòng tròn giới hạn. Vì các bài toán có nhiều hơn một biến trong vật lý là quy luật chứ không phải là ngoại lệ, nên có thể dễ dàng hình dung chủ đề của lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng rộng lớn như thế nào.

Trong một số bài toán vật lý, không thể thiết lập mối liên hệ trực tiếp giữa các đại lượng mô tả quá trình. Nhưng có khả năng đạt được một đẳng thức chứa các đạo hàm của các hàm đang nghiên cứu. Đây là cách phát sinh các phương trình vi phân và sự cần thiết phải giải chúng để tìm một hàm chưa biết.

Bài viết này dành cho những ai đang phải đối mặt với vấn đề giải một phương trình vi phân trong đó hàm chưa biết là hàm một biến. Lý thuyết được xây dựng theo cách mà bạn có thể thực hiện công việc của mình với sự hiểu biết không về phương trình vi phân.

Mỗi dạng phương trình vi phân đều gắn với phương pháp giải kèm theo lời giải chi tiết và lời giải của các ví dụ, bài toán điển hình. Bạn chỉ cần xác định loại phương trình vi phân của bài toán của bạn, tìm một ví dụ được phân tích tương tự và thực hiện các hành động tương tự.

Để giải thành công các phương trình vi phân, bạn cũng sẽ cần khả năng tìm các tập hợp các đạo hàm (tích phân không xác định) của các hàm khác nhau. Nếu cần, chúng tôi khuyên bạn nên tham khảo phần này.

Đầu tiên, chúng ta xem xét các loại phương trình vi phân thông thường của bậc một có thể giải được đối với đạo hàm, sau đó chúng ta chuyển sang ODE bậc hai, sau đó chúng ta chuyển sang phương trình bậc cao và kết thúc với hệ phương trình vi phân.

Nhớ lại rằng nếu y là một hàm của đối số x.

Phương trình vi phân bậc nhất.

Phương trình vi phân cấp một đơn giản nhất có dạng.

Hãy để chúng tôi viết ra một số ví dụ về DE như vậy .

Phương trình vi phân có thể được giải quyết đối với đạo hàm bằng cách chia cả hai vế của đẳng thức cho f (x). Trong trường hợp này, chúng ta đi đến phương trình, tương đương với phương trình ban đầu cho f (x) ≠ 0. Ví dụ về các ODE như vậy là.

Nếu có các giá trị của đối số x mà hàm f (x) và g (x) biến mất đồng thời, thì các nghiệm bổ sung sẽ xuất hiện. Các giải pháp bổ sung cho phương trình cho trước x là bất kỳ hàm nào được xác định cho các giá trị đối số đó. Ví dụ về các phương trình vi phân như vậy là.

Phương trình vi phân bậc hai.

Phương trình vi phân tuyến tính đồng nhất bậc hai với hệ số không đổi.

LODE với hệ số không đổi là một loại phương trình vi phân rất phổ biến. Giải pháp của họ không phải là đặc biệt khó khăn. Đầu tiên, các gốc của phương trình đặc trưng được tìm thấy . Đối với p và q khác nhau, có thể xảy ra ba trường hợp: nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng có thể thực và khác, thực và trùng hoặc liên hợp phức tạp. Tùy thuộc vào các giá trị của nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng, ​​nghiệm tổng quát của phương trình vi phân được viết dưới dạng , hoặc , hoặc tương ứng.

Ví dụ, xét một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với các hệ số không đổi. Căn của phương trình đặc trưng của anh ta là k 1 = -3 và k 2 = 0. Các gốc là thực và khác nhau, do đó, giải pháp chung cho LDE với hệ số không đổi là


Phương trình vi phân bậc hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi.

Nghiệm tổng quát của LIDE bậc hai với hệ số y không đổi được tìm là tổng nghiệm tổng quát của LODE tương ứng và một nghiệm cụ thể của phương trình không thuần nhất ban đầu, nghĩa là. Đoạn trước được dành để tìm một nghiệm tổng quát cho một phương trình vi phân thuần nhất với hệ số không đổi. Và một nghiệm cụ thể được xác định bằng phương pháp hệ số không xác định cho một dạng nào đó của hàm f (x), đứng ở vế phải của phương trình ban đầu, hoặc bằng phương pháp biến thiên của hằng số tùy ý.

Như ví dụ về các LIDE bậc hai với hệ số không đổi, chúng tôi trình bày


Để hiểu lý thuyết và làm quen với lời giải chi tiết của các ví dụ, chúng tôi cung cấp cho bạn trang phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai với hệ số không đổi.

Phương trình vi phân tuyến tính đồng nhất (LODE) và phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc hai (LNDEs).

Một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân loại này là LODE và LODE với hệ số không đổi.

Nghiệm tổng quát của LODE trên một khoảng nào đó được biểu diễn bằng sự kết hợp tuyến tính của hai nghiệm cụ thể độc lập tuyến tính y 1 và y 2 của phương trình này, nghĩa là, .

Khó khăn chính nằm ở chỗ tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính của loại phương trình vi phân này. Thông thường, các giải pháp cụ thể được chọn từ các hệ thống hàm độc lập tuyến tính sau:


Tuy nhiên, các giải pháp cụ thể không phải lúc nào cũng được trình bày dưới dạng này.

Một ví dụ về LODU là .

Nghiệm tổng quát của LIDE được tìm ở dạng, đâu là nghiệm tổng quát của LODE tương ứng và là nghiệm cụ thể của phương trình vi phân ban đầu. Chúng ta vừa nói về cách tìm, nhưng nó có thể được xác định bằng cách sử dụng phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý.

Một ví dụ về LNDE là .

Phương trình vi phân bậc cao.

Phương trình vi phân thừa nhận giảm bậc.

Thứ tự của phương trình vi phân , không chứa hàm mong muốn và các đạo hàm của nó lên tới bậc k-1, có thể được rút gọn thành n-k bằng cách thay thế.

Trong trường hợp này, và phương trình vi phân ban đầu giảm xuống. Sau khi tìm thấy nghiệm của nó p (x), nó vẫn còn để quay lại thay thế và xác định hàm chưa biết y.

Ví dụ, phương trình vi phân sau khi thay thế trở thành một phương trình có thể phân tách, và thứ tự của nó được giảm từ thứ ba xuống thứ nhất.