Ai đó coi từ "tiến triển" một cách thận trọng, như một thuật ngữ rất phức tạp trong các phần toán học cao hơn. Trong khi đó, cấp số cộng đơn giản nhất là công việc của quầy taxi (nơi chúng vẫn còn). Và nắm được ý chính (và không có gì quan trọng trong toán học hơn là "nắm được ý chính") chuỗi số học Không quá khó một khi bạn hiểu một vài khái niệm cơ bản.

Dãy số toán học

Người ta thường gọi một dãy số là một dãy số, mỗi dãy số có một số riêng.

và 1 là thành viên đầu tiên của dãy;

và 2 là thành viên thứ hai của dãy;

và 7 là thành viên thứ bảy của dãy;

và n là thành viên thứ n của dãy;

Tuy nhiên, không phải bất kỳ bộ số liệu và con số tùy tiện nào cũng khiến chúng ta thích thú. Chúng ta sẽ tập trung chú ý vào một dãy số trong đó giá trị của phần tử thứ n có liên quan đến số thứ tự của nó bằng một sự phụ thuộc có thể được công thức hóa một cách rõ ràng về mặt toán học. Nói cách khác: giá trị số của số thứ n là một hàm nào đó của n.

a - giá trị của một phần tử của dãy số;

n - của anh ấy số seri;

f (n) là một hàm trong đó thứ tự trong dãy số n là đối số.

Sự định nghĩa

Một cấp số cộng thường được gọi là một dãy số, trong đó mỗi số hạng tiếp theo lớn hơn (nhỏ hơn) số hạng trước đó bằng cùng một số. Công thức cho phần tử thứ n của một dãy số học như sau:

a n - giá trị của thành viên hiện tại của cấp số cộng;

a n + 1 - công thức của số tiếp theo;

d - chênh lệch (một số nhất định).

Dễ dàng xác định rằng nếu sự khác biệt là dương (d> 0), thì mỗi phần tử tiếp theo của chuỗi đang xét sẽ lớn hơn phần trước và một cấp số cộng như vậy sẽ tăng lên.

Trong biểu đồ bên dưới, có thể dễ dàng hiểu tại sao dãy sốđược gọi là "ngày càng tăng".

Trong trường hợp sự khác biệt là âm (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Giá trị của thành viên được chỉ định

Đôi khi cần xác định giá trị của một số hạng tùy ý a n của một cấp số cộng. Bạn có thể thực hiện việc này bằng cách tính liên tiếp các giá trị của tất cả các phần tử của cấp số cộng, từ giá trị đầu tiên đến giá trị mong muốn. Tuy nhiên, cách này không phải lúc nào cũng được chấp nhận nếu chẳng hạn, cần tìm giá trị của số hạng thứ năm nghìn hoặc thứ tám phần triệu. Cách tính truyền thống sẽ mất nhiều thời gian. Tuy nhiên, một cấp số cộng cụ thể có thể được khảo sát bằng cách sử dụng các công thức nhất định. Cũng có một công thức cho số hạng thứ n: giá trị của bất kỳ phần tử nào của một cấp số cộng có thể được xác định bằng tổng của thành viên đầu tiên của cấp số nhân với hiệu của cấp số nhân, nhân với số thành viên mong muốn, trừ đi một .

Công thức này là phổ quát cho sự tăng dần và giảm dần.

Một ví dụ về tính toán giá trị của một thành viên nhất định

Hãy giải bài toán tìm giá trị của phần tử thứ n của một cấp số cộng sau đây.

Điều kiện: có một cấp số cộng với các tham số:

Thành viên đầu tiên của dãy là 3;

Sự khác biệt trong dãy số là 1,2.

Nhiệm vụ: cần tìm giá trị của 214 số hạng

Giải pháp: để xác định giá trị của một thành viên nhất định, chúng tôi sử dụng công thức:

a (n) = a1 + d (n-1)

Thay dữ liệu từ câu lệnh bài toán vào biểu thức, chúng ta có:

a (214) = a1 + d (n-1)

a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Trả lời: Số hạng thứ 214 của dãy bằng 258,6.

Ưu điểm của phương pháp tính toán này là rõ ràng - toàn bộ lời giải không có quá 2 dòng.

Tổng của một số thành viên nhất định

Thông thường, trong một chuỗi số học nhất định, nó được yêu cầu xác định tổng các giá trị của một số phân đoạn của nó. Nó cũng không cần phải tính toán các giá trị của mỗi số hạng và sau đó tổng hợp chúng. Phương pháp này có thể áp dụng nếu số lượng các số hạng có tổng phải tìm là nhỏ. Trong các trường hợp khác, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng công thức sau.

Tổng các phần tử của một cấp số cộng từ 1 đến n bằng tổng các phần tử thứ nhất và thứ n, nhân với số thành phần n rồi chia cho hai. Nếu trong công thức, giá trị của phần tử thứ n được thay thế bằng biểu thức từ đoạn trước của bài viết, chúng ta nhận được:

Ví dụ tính toán

Ví dụ, hãy giải quyết một vấn đề với các điều kiện sau:

Số hạng đầu tiên của dãy là số 0;

Sự khác biệt là 0,5.

Trong bài toán yêu cầu xác định tổng các số hạng của dãy số từ 56 đến 101.

Dung dịch. Hãy sử dụng công thức để xác định tổng của tiến trình:

s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Đầu tiên, chúng tôi xác định tổng các giá trị của 101 phần tử của tiến trình bằng cách thay các điều kiện đã cho của bài toán vào công thức:

s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2 525

Rõ ràng, để tìm tổng các số hạng của cấp số nhân từ thứ 56 đến thứ 101, thì cần phải lấy S 101 trừ đi S 55.

s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5

Vì vậy, tổng của cấp số cộng cho ví dụ này là:

s 101 - s 55 \ u003d 2,525 - 742,5 \ u003d 1,782,5

Ví dụ về ứng dụng thực tế của cấp số cộng

Ở phần cuối của bài viết, chúng ta hãy quay lại ví dụ về dãy số học được đưa ra trong đoạn đầu tiên - một taximeter (đồng hồ xe taxi). Hãy xem xét một ví dụ như vậy.

Đi taxi (bao gồm 3 km) tốn 50 rúp. Mỗi km tiếp theo được trả với mức 22 rúp / km. Quãng đường di chuyển 30 km. Tính chi phí của chuyến đi.

1. Hãy bỏ đi 3 km đầu tiên, giá của nó đã bao gồm chi phí hạ cánh.

30 - 3 = 27 km.

2. Tính toán sâu hơn không gì khác hơn là phân tích một chuỗi số số học.

Số thành viên là số km đã đi (trừ ba số đầu tiên).

Giá trị của thành viên là tổng.

Số hạng đầu tiên trong bài toán này sẽ bằng 1 = 50 rúp.

Hiệu số lũy tiến d = 22 p.

số ta quan tâm đến ta - giá trị của (27 + 1) thành viên cấp số cộng - chỉ số mét ở cuối km 27 - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \ u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \ u003d 644

Tính toán dữ liệu lịch cho một khoảng thời gian dài tùy ý dựa trên các công thức mô tả các chuỗi số nhất định. Trong thiên văn học, chiều dài của quỹ đạo phụ thuộc hình học vào khoảng cách của thiên thể tới điểm sáng. Ngoài ra, các chuỗi số khác nhau được sử dụng thành công trong thống kê và các nhánh ứng dụng khác của toán học.

Một loại dãy số khác là hình học

Một tiến trình hình học được đặc trưng bởi một tốc độ thay đổi lớn, so với một cấp số cộng. Không phải ngẫu nhiên mà trong chính trị học, xã hội học, y học, người ta thường nói rằng quá trình này phát triển theo cấp số nhân với tốc độ lan truyền nhanh chóng của một hiện tượng cụ thể, chẳng hạn như một căn bệnh trong thời kỳ dịch bệnh.

Thành phần thứ N của dãy số hình học khác với phần trước ở chỗ nó được nhân với một số không đổi - mẫu số, ví dụ, thành viên đầu tiên là 1, mẫu số là 2, sau đó:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - giá trị của phần tử hiện tại của cấp số nhân hình học;

b n + 1 - công thức của thành phần tiếp theo của cấp số nhân hình học;

q là mẫu số của một cấp tiến hình học (số không đổi).

Nếu đồ thị của một cấp số cộng là một đường thẳng, thì hình học vẽ một hình hơi khác:

Như trong trường hợp số học, một cấp tiến hình học có công thức tính giá trị của một phần tử tùy ý. Số hạng thứ n bất kỳ của một cấp số hạng hình học đều bằng tích của số hạng đầu tiên và mẫu số của cấp số hạng n giảm đi một:

Thí dụ. Ta có một cấp tiến hình học với số hạng đầu bằng 3 và mẫu số của cấp đó bằng 1,5. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân

b 5 \ u003d b 1 ∙ q (5-1) \ u003d 3 ∙ 1,5 4 \ u003d 15,1875

Tổng của một số thành viên nhất định cũng được tính bằng một công thức đặc biệt. Tổng của n phần tử đầu tiên của một cấp tiến bằng hiệu giữa tích của thành phần thứ n của cấp cùng mẫu số của nó và thành phần đầu tiên của cấp, chia cho mẫu số bớt một:

Nếu thay b n bằng công thức đã thảo luận ở trên, giá trị của tổng n phần tử đầu tiên của dãy số được xét sẽ có dạng:

Thí dụ. Cấp hình học bắt đầu với số hạng đầu tiên bằng 1. Mẫu số được đặt bằng 3. Hãy tìm tổng của tám số hạng đầu tiên.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Hay số học - đây là một loại dãy số có thứ tự, các tính chất của chúng được học trong khóa học đại số ở trường. Bài viết này thảo luận chi tiết về câu hỏi làm thế nào để tìm tổng của một cấp số cộng.

Sự tiến triển này là gì?

Trước khi tiếp tục xem xét câu hỏi (cách tìm tổng của một cấp số cộng), cần hiểu những gì sẽ được thảo luận.

Bất kỳ dãy số thực nào có được bằng cách cộng (trừ) một số giá trị từ mỗi số trước đó được gọi là một cấp số cộng (cấp số cộng). Định nghĩa này, được dịch sang ngôn ngữ toán học, có dạng:

Ở đây i là số thứ tự của phần tử của dãy a i. Vì vậy, chỉ cần biết một số ban đầu, bạn có thể dễ dàng khôi phục lại toàn bộ chuỗi. Tham số d trong công thức được gọi là hiệu số lũy tiến.

Có thể dễ dàng chỉ ra rằng đẳng thức sau đây đúng đối với dãy số đang xét:

a n \ u003d a 1 + d * (n - 1).

Nghĩa là, để tìm giá trị của phần tử thứ n theo thứ tự, hãy cộng hiệu số d với phần tử đầu tiên một 1 n-1 lần.

Tổng của một cấp số cộng là gì: công thức

Trước khi đưa ra công thức cho số lượng được chỉ định, cần xem xét một trường hợp đặc biệt đơn giản. Cho một cấp số tự nhiên từ 1 đến 10, bạn cần tìm tổng của chúng. Vì có ít số hạng trong tiến trình (10), nên có thể giải bài toán trực tiếp, tức là tổng tất cả các phần tử theo thứ tự.

S 10 \ u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \ u003d 55.

Cần xem xét một điều thú vị: vì mỗi số hạng khác với số tiếp theo bởi cùng một giá trị d \ u003d 1, nên phép tổng hợp theo cặp của số đầu tiên với số mười, số thứ hai với số chín, v.v. sẽ cho cùng một kết quả . Có thật không:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Như bạn có thể thấy, chỉ có 5 trong số các tổng này, tức là ít hơn chính xác hai lần so với số phần tử trong chuỗi. Sau đó nhân số tổng (5) với kết quả của mỗi tổng (11), bạn sẽ đến kết quả nhận được trong ví dụ đầu tiên.

Nếu chúng ta tổng quát hóa các đối số này, chúng ta có thể viết biểu thức sau:

S n \ u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Biểu thức này cho thấy rằng không cần thiết phải tính tổng tất cả các phần tử trong một hàng, chỉ cần biết giá trị của a 1 đầu tiên và a n cuối cùng, cũng như tổng số số hạng n.

Người ta tin rằng Gauss lần đầu tiên nghĩ đến đẳng thức này khi ông đang tìm kiếm lời giải cho bài toán do giáo viên trường mình đặt ra: tính tổng của 100 số nguyên đầu tiên.

Tổng các phần tử từ m đến n: công thức

Công thức được đưa ra trong đoạn trước trả lời câu hỏi làm thế nào để tìm tổng của một cấp số cộng (của các phần tử đầu tiên), nhưng thường trong các nhiệm vụ cần tính tổng một chuỗi số ở giữa cấp số nhân. Làm thế nào để làm nó?

Cách dễ nhất để trả lời câu hỏi này là xem xét ví dụ sau: giả sử cần tìm tổng các số hạng từ thứ m đến thứ n. Để giải quyết vấn đề, một đoạn cho trước từ m đến n của cấp số tiến phải được biểu diễn dưới dạng một chuỗi số mới. Trong biểu diễn này, phần tử thứ m a m sẽ là phần tử đầu tiên và a n sẽ được đánh số là n- (m-1). Trong trường hợp này, áp dụng công thức chuẩn cho tổng, sẽ thu được biểu thức sau:

S m n \ u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Ví dụ về cách sử dụng công thức

Biết cách tìm tổng của một cấp số cộng, bạn nên xem một ví dụ đơn giản về việc sử dụng các công thức trên.

Dưới đây là một dãy số, bạn sẽ tìm tổng các thành viên của nó, bắt đầu từ thứ 5 và kết thúc bằng thứ 12:

Các số đã cho chỉ ra rằng hiệu số d bằng 3. Sử dụng biểu thức cho phần tử thứ n, bạn có thể tìm giá trị của các phần tử thứ 5 và 12 của cấp tiến. Hóa ra:

a 5 \ u003d a 1 + d * 4 \ u003d -4 + 3 * 4 \ u003d 8;

a 12 \ u003d a 1 + d * 11 \ u003d -4 + 3 * 11 \ u003d 29.

Biết giá trị của các số ở cuối cấp đại số đã xét, và cũng biết chúng chiếm những số nào trong dãy, bạn có thể sử dụng công thức tính tổng thu được trong đoạn trước. Lấy:

S 5 12 \ u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \ u003d 148.

Điều đáng chú ý là giá trị này có thể được lấy theo cách khác: đầu tiên, tìm tổng của 12 phần tử đầu tiên bằng công thức chuẩn, sau đó tính tổng của 4 phần tử đầu tiên bằng cùng một công thức, và sau đó lấy tổng đầu tiên trừ phần tử thứ hai. .

Cấp số cộngđặt tên cho một dãy số (các thành viên của một tiến trình)

Trong đó mỗi số hạng tiếp theo khác với số hạng trước bởi một số hạng thép, còn được gọi là sự khác biệt về bước hoặc tiến trình.

Do đó, bằng cách đặt bước của tiến trình và số hạng đầu tiên của nó, bạn có thể tìm thấy bất kỳ phần tử nào của nó bằng cách sử dụng công thức

Tính chất của một cấp số cộng

1) Mỗi ​​thành viên của cấp số cộng, bắt đầu từ số thứ hai, là trung bình cộng của thành viên trước đó và tiếp theo của cấp số

Các ngược lại cũng đúng. Nếu trung bình cộng của các thành viên lẻ (chẵn) lân cận của cấp số nhân bằng với thành viên đứng giữa chúng, thì dãy số này là một cấp số cộng. Theo khẳng định này, rất dễ dàng để kiểm tra bất kỳ trình tự nào.

Cũng theo tính chất của cấp số cộng, công thức trên có thể được tổng quát thành như sau

Điều này rất dễ xác minh nếu chúng ta viết các điều khoản ở bên phải của dấu bằng

Nó thường được sử dụng trong thực tế để đơn giản hóa các phép tính trong các bài toán.

2) Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng được tính bằng công thức

Nhớ kỹ công thức tính tổng của một cấp số cộng, nó không thể thiếu trong các phép tính và khá phổ biến trong các tình huống đơn giản của cuộc sống.

3) Nếu bạn không cần phải tìm toàn bộ tổng mà là một phần của dãy bắt đầu từ thành viên thứ k của nó, thì công thức tổng sau đây sẽ hữu ích cho bạn

4) Điều quan tâm thực tế là tìm tổng của n phần tử của một cấp số cộng bắt đầu từ số thứ k. Để làm điều này, hãy sử dụng công thức

Đây là lúc tài liệu lý thuyết kết thúc và chúng ta chuyển sang giải quyết các vấn đề thường gặp trong thực tế.

Ví dụ 1. Tìm số hạng thứ bốn mươi của cấp số cộng 4; 7; ...

Dung dịch:

Theo điều kiện, chúng tôi có

Xác định bước tiến triển

Theo công thức nổi tiếng, chúng tôi tìm thấy số hạng thứ bốn mươi của tiến trình

Ví dụ2. Cấp số cộng được cho bởi các thành viên thứ ba và thứ bảy. Tìm số hạng đầu tiên của cấp tiến và tổng của mười.

Dung dịch:

Chúng tôi viết các phần tử đã cho của cấp tiến theo công thức

Chúng tôi trừ phương trình đầu tiên khỏi phương trình thứ hai, kết quả là chúng ta tìm thấy bước lũy tiến

Giá trị tìm được được thay vào bất kỳ phương trình nào để tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Tính tổng của mười số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Không cần áp dụng các phép tính phức tạp, chúng tôi đã tìm thấy tất cả các giá trị cần thiết.

Ví dụ 3. Một cấp số cộng được cho bởi mẫu số và một trong các thành viên của nó. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân, tổng 50 số hạng của nó bắt đầu từ 50 và tổng của 100 số hạng đầu tiên.

Dung dịch:

Hãy viết công thức cho phần tử thứ trăm của cấp số nhân

và tìm cái đầu tiên

Dựa trên số thứ nhất, chúng tôi tìm thấy số hạng thứ 50 của tiến trình

Tìm tổng của một phần của tiến trình

và tổng của 100 đầu tiên

Tổng của lũy tiến là 250.

Ví dụ 4

Tìm số thành viên của một cấp số cộng nếu:

a3-a1 = 8, a2 + a4 = 14, Sn = 111.

Dung dịch:

Chúng tôi viết các phương trình theo số hạng đầu tiên và bước của cấp tiến và xác định chúng

Chúng tôi thay thế các giá trị thu được vào công thức tổng để xác định số lượng các số hạng trong tổng

Đơn giản hóa

và giải phương trình bậc hai

Trong hai giá trị tìm được, chỉ có số 8 là phù hợp với điều kiện của bài toán. Do đó, tổng của tám số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 111.

Ví dụ 5

giải phương trình

1 + 3 + 5 + ... + x = 307.

Giải: Phương trình này là tổng của một cấp số cộng. Chúng tôi viết ra số hạng đầu tiên của nó và tìm sự khác biệt của tiến trình

IV Yakovlev | Tài liệu về toán học | MathUs.ru

Cấp số cộng

Một cấp số cộng là một loại dãy số đặc biệt. Vì vậy, trước khi định nghĩa một cấp số học (và sau đó là hình học), chúng ta cần thảo luận ngắn gọn về khái niệm quan trọng của một dãy số.

Trình tự con

Hãy tưởng tượng một thiết bị trên màn hình có một số số được hiển thị nối tiếp nhau. Giả sử 2; Số 7; 13; một; Số 6; Số 0; 3; ::: Một bộ số như vậy chỉ là một ví dụ về một dãy số.

Sự định nghĩa. Dãy số là một tập hợp các số trong đó mỗi số có thể được gán một số duy nhất (nghĩa là đặt tương ứng với một số tự nhiên duy nhất) 1. Số có số n được gọi là thành viên thứ n của dãy.

Vì vậy, trong ví dụ trên, số đầu tiên có chữ số 2, là thành viên đầu tiên của dãy, có thể được ký hiệu là a1; số năm có số 6 là thành phần thứ năm của dãy, có thể ký hiệu là a5. Nói chung là, kỳ thứ n trình tự được ký hiệu bằng một (hoặc bn, cn, v.v.).

Một tình huống rất thuận tiện là khi thành viên thứ n của dãy có thể được chỉ định bằng một số công thức. Ví dụ, công thức an = 2n 3 xác định dãy số: 1; một; 3; Số 5; Số 7; ::: Công thức an = (1) n xác định dãy số: 1; một; một; một; :::

Không phải mọi bộ số đều là một dãy số. Vì vậy, một phân đoạn không phải là một chuỗi; nó chứa ¾ số nhiều¿ số được đánh số lại. Tập hợp R của tất cả các số thực cũng không phải là một dãy. Những sự kiện này được chứng minh trong quá trình phân tích toán học.

Cấp số học: các định nghĩa cơ bản

Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để xác định một cấp số cộng.

Sự định nghĩa. Một cấp số cộng là một dãy số trong đó mỗi số hạng (bắt đầu từ số thứ hai) bằng tổng của số hạng trước đó và một số cố định (gọi là hiệu của cấp số cộng).

Ví dụ, dãy số 2; Số 5; tám; mười một; ::: là một cấp số cộng có số hạng đầu là 2 và hiệu là 3. Dãy số 7; 2; 3; tám; ::: là một cấp số cộng có số hạng đầu tiên là 7 và hiệu 5. Dãy số 3; 3; 3; ::: là một cấp số cộng có hiệu bằng không.

Định nghĩa tương đương: Một dãy số an được gọi là một cấp số cộng nếu hiệu a + 1 an là một hằng số (không phụ thuộc vào n).

Một cấp số cộng được cho là sẽ tăng nếu hiệu của nó là dương và giảm nếu hiệu là âm.

1 Và đây là một định nghĩa ngắn gọn hơn: dãy là một hàm được xác định trên tập các số tự nhiên. Ví dụ, dãy số thực là hàm f: N! R.

Theo mặc định, các dãy được coi là vô hạn, nghĩa là chứa vô số số. Nhưng không ai bận tâm khi xem xét các chuỗi hữu hạn; trong thực tế, bất kỳ tập hợp số hữu hạn nào cũng có thể được gọi là một dãy số hữu hạn. Ví dụ, dãy số cuối cùng 1; 2; 3; bốn; 5 bao gồm năm số.

Công thức của thành viên thứ n của một cấp số cộng

Có thể hiểu đơn giản rằng một cấp số cộng hoàn toàn được xác định bởi hai số: số hạng đầu và hiệu. Do đó, câu hỏi đặt ra: làm thế nào, khi biết số hạng đầu tiên và hiệu số, tìm một số hạng tùy ý của một cấp số cộng?

Không khó để có được công thức mong muốn cho số hạng thứ n của một cấp số cộng. Hãy để một

Nhiệm vụ 1. Trong cấp số cộng 2; Số 5; tám; mười một; ::: tìm công thức của số hạng thứ n và tính số hạng thứ trăm.

Dung dịch. Theo công thức (1) ta có:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Tính chất và dấu hiệu của cấp số cộng

tính chất của một cấp số cộng. Trong cấp số cộng, an cho bất kỳ

Nói cách khác, mỗi thành viên của cấp số cộng (bắt đầu từ cấp thứ hai) là trung bình cộng của các thành viên lân cận.

đó là những gì được yêu cầu.

Tổng quát hơn, cấp số cộng an thỏa mãn đẳng thức

a n = a n k + a n + k

với n> 2 bất kỳ và k tự nhiên bất kỳ< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Hóa ra công thức (2) không chỉ cần thiết mà còn đủ điều kiện rằng dãy số là một cấp số cộng.

Dấu hiệu của một cấp số cộng. Nếu đẳng thức (2) xảy ra với mọi n> 2 thì dãy an là một cấp số cộng.

Bằng chứng. Hãy viết lại công thức (2) như sau:

a na n 1 = a n + 1a n:

Điều này cho thấy rằng sự khác biệt an + 1 không phụ thuộc vào n và điều này chỉ có nghĩa rằng dãy số an là một cấp số cộng.

Tính chất và dấu của một cấp số cộng có thể được lập thành một câu lệnh; để thuận tiện, chúng tôi sẽ làm điều này cho ba số (đây là tình huống thường xảy ra trong các bài toán).

Đặc điểm của một cấp số cộng. Ba số a, b, c có dạng cấp số cộng nếu và chỉ khi 2b = a + c.

Bài toán 2. (Đại học Tổng hợp Matxcova, Khoa Kinh tế, 2007) Ba số 8x, 3 x2 và 4 theo thứ tự xác định lập thành một cấp số cộng giảm dần. Tìm x và viết công thức của cấp này.

Dung dịch. Theo tính chất của một cấp số cộng, chúng ta có:

2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Nếu x = 1 thì thu được một cấp số giảm dần là 8, 2, 4 thu được hiệu là 6. Nếu x = 5 thì thu được một cấp số tăng dần là 40, 22, 4; trường hợp này không hoạt động.

Đáp số: x = 1, hiệu là 6.

Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Truyền thuyết kể rằng một lần cô giáo bảo lũ trẻ tìm tổng các số từ 1 đến 100 và ngồi đọc báo trong lặng lẽ. Tuy nhiên, trong vòng vài phút, một cậu bé nói rằng cậu đã giải quyết được vấn đề. Đó là Carl Friedrich Gauss, 9 tuổi, sau này là một trong những những nhà toán học vĩ đại nhất trong lịch sử.

Ý tưởng của Gauss nhỏ là thế này. Để cho

S = 1 + 2 + 3 +::: + 98 + 99 + 100:

Hãy viết ra số lượng này theo thứ tự ngược lại:

S = 100 + 99 + 98 +::: + 3 + 2 + 1;

và thêm hai công thức sau:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) +::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Mỗi số hạng trong ngoặc bằng 101 và tổng cộng có 100 số hạng như vậy.

2S = 101 100 = 10100;

Chúng tôi sử dụng ý tưởng này để suy ra công thức tổng

S = a1 + a2 +::: + an + a n n: (3)

Một sửa đổi hữu ích của công thức (3) có được bằng cách thay công thức của số hạng thứ n an = a1 + (n 1) d vào nó:

Nhiệm vụ 3. Tìm tổng của tất cả các số dương có ba chữ số chia hết cho 13.

Dung dịch. Số có ba chữ số, bội của 13, lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là 104 và hiệu 13; Số hạng thứ n của quá trình này là:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Hãy cùng tìm hiểu xem tiến trình của chúng ta có bao nhiêu thành viên. Để làm điều này, chúng tôi giải quyết bất đẳng thức:

một 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Vì vậy, có 69 thành viên trong quá trình phát triển của chúng tôi. Theo công thức (4), chúng tôi tìm thấy số tiền cần thiết:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2