Giá trị vô hướng trong các ví dụ vật lý. Giữa cái búa và cái đe

Đại lượng vectơ (vectơ) là một đại lượng vật lý có hai đặc điểm - môđun và hướng trong không gian.

Ví dụ về các đại lượng vectơ: tốc độ (), lực (), gia tốc (), v.v.

Về mặt hình học, một vectơ được mô tả như một đoạn thẳng có hướng của một đoạn thẳng, độ dài của nó trên một thang chia độ là môđun của vectơ.

Bán kính vector(thường được ký hiệu hoặc đơn giản) - một vectơ chỉ định vị trí của một điểm trong không gian so với một điểm cố định trước nào đó, được gọi là điểm gốc.

Vì điểm tùy ý trong không gian, vectơ bán kính là vectơ từ gốc tọa độ đến điểm đó.

Chiều dài của vectơ bán kính, hoặc môđun của nó, xác định khoảng cách tại đó điểm đó tính từ điểm gốc và mũi tên chỉ hướng đến điểm này trong không gian.

Trên một mặt phẳng, góc của vectơ bán kính là góc mà vectơ bán kính quay so với trục abscissa theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.

đường mà cơ thể di chuyển được gọi là quỹ đạo của chuyển động. Tùy thuộc vào hình dạng của quỹ đạo, tất cả các chuyển động có thể được chia thành tuyến tính và đường cong.

Mô tả chuyển động bắt đầu bằng câu trả lời cho câu hỏi: vị trí của cơ thể trong không gian đã thay đổi như thế nào trong một khoảng thời gian nhất định? Sự thay đổi vị trí của vật trong không gian được xác định như thế nào?

động- đoạn có hướng (vectơ) nối vị trí ban đầu và vị trí cuối cùng của cơ thể.

Tốc độ(thường được ký hiệu, từ tiếng Anh. vận tốc hoặc fr. vitesse) - đại lượng vật lý vectơ đặc trưng cho tốc độ chuyển động và hướng chuyển động điểm vật liệu trong không gian so với hệ quy chiếu đã chọn (ví dụ, vận tốc góc). Cùng một từ có thể được vô hướng, chính xác hơn là môđun của đạo hàm của vectơ bán kính.

Khoa học cũng sử dụng tốc độ trong nghĩa rộng, như tốc độ thay đổi của một số đại lượng (không nhất thiết là vectơ bán kính) phụ thuộc vào một đại lượng khác (thường thay đổi theo thời gian, nhưng cũng thay đổi theo không gian hoặc bất kỳ đại lượng nào khác). Vì vậy, ví dụ, họ nói về tốc độ thay đổi nhiệt độ, tốc độ phản ứng hóa học, vận tốc nhóm, vận tốc nối, vận tốc góc, v.v ... Đặc trưng về mặt toán học bằng đạo hàm của hàm số.

Sự tăng tốc(thường được ký hiệu, trong cơ học lý thuyết), đạo hàm theo thời gian của vận tốc là đại lượng vectơ cho biết vectơ vận tốc của một điểm (vật) thay đổi bao nhiêu khi nó chuyển động trong một đơn vị thời gian (tức là, gia tốc không chỉ tính đến sự thay đổi độ lớn của vận tốc mà còn cũng là hướng của nó).

Ví dụ, ở gần Trái đất, một vật thể rơi xuống Trái đất, trong trường hợp có thể bỏ qua lực cản của không khí, làm tăng tốc độ của nó khoảng 9,8 m / s mỗi giây, tức là, gia tốc của nó là 9,8 m / s².

Một nhánh của cơ học nghiên cứu chuyển động trong không gian Euclide ba chiều, việc ghi lại nó, cũng như việc ghi lại các vận tốc và gia tốc trong các hệ thống khác nhau tham chiếu được gọi là động học.

Đơn vị của gia tốc là mét trên giây trên giây ( m / s 2, m / s 2), còn có một đơn vị ngoài hệ thống là Gal (Gal), được sử dụng trong phép đo trọng lực và bằng 1 cm / s 2.

Đạo hàm của gia tốc theo thời gian, tức là Giá trị đặc trưng cho tốc độ thay đổi của gia tốc theo thời gian được gọi là độ giật.

Chuyển động đơn giản nhất của cơ thể là chuyển động trong đó tất cả các điểm của cơ thể chuyển động theo cùng một cách, mô tả những quỹ đạo giống nhau. Một chuyển động như vậy được gọi là cấp tiến. Chúng ta có được kiểu chuyển động này bằng cách di chuyển chiếc dằm sao cho nó luôn song song với chính nó. Với chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo có thể là đường thẳng (Hình 7, a) và đường cong (Hình 7, b).
Có thể chứng minh rằng trong quá trình chuyển động tịnh tiến, mọi đường thẳng vẽ trong vật vẫn song song với chính nó. Cái này dấu hiệu nó rất tiện lợi khi sử dụng để trả lời câu hỏi liệu một chuyển động nhất định của cơ thể có phải là tịnh tiến hay không. Ví dụ, khi một hình trụ lăn dọc theo một mặt phẳng, các đường thẳng cắt trục không song song với nhau: lăn không phải là chuyển động tịnh tiến. Khi hình vuông chữ T và hình vuông di chuyển dọc theo bảng vẽ, bất kỳ đường thẳng nào được vẽ trên chúng vẫn song song với chính nó, có nghĩa là chúng di chuyển về phía trước (Hình 8). Kim của máy may chuyển động tịnh tiến, pít-tông trong xi-lanh của động cơ hoặc động cơ hơi nước đốt trong, thùng xe (chứ không phải bánh xe!) khi lái xe trên đường thẳng, v.v.

Một loại chuyển động đơn giản khác là chuyển động quay cơ thể, hoặc xoay. Trong quá trình chuyển động quay, tất cả các điểm của cơ thể chuyển động dọc theo những đường tròn có tâm nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là trục quay (đường thẳng 00 "trong hình 9). Các đường tròn nằm trong các mặt phẳng song song vuông góc với trục quay. Các điểm của cơ thể nằm trên trục quay thì bất động. Chuyển động quay thì không phong trào tiến bộ: khi trục quay OO ”. Các đường biểu diễn vẫn song song chỉ có các đường thẳng song song với trục quay.

Cơ thể hoàn toàn cứng nhắc- đối tượng tham chiếu thứ hai của cơ học cùng với điểm vật chất.

Có một số định nghĩa:

1. Vật thể cứng tuyệt đối là một khái niệm mô hình của cơ học cổ điển, biểu thị một tập hợp các điểm vật chất, khoảng cách giữa các điểm này được bảo toàn trong quá trình thực hiện bất kỳ chuyển động nào của vật thể này. Nói cách khác, một vật thể cứng tuyệt đối không những không thay đổi hình dạng, mà còn giữ cho sự phân bố khối lượng bên trong không thay đổi.

2. Vật cứng tuyệt đối là hệ cơ chỉ có các bậc tự do tịnh tiến và quay. "Độ cứng" có nghĩa là vật không thể bị biến dạng, tức là không truyền được năng lượng nào khác cho cơ thể, trừ động năng của phép tịnh tiến hoặc chuyển động quay.

3. Hoàn toàn chất rắn- một cơ thể (hệ thống), vị trí tương hỗ của bất kỳ điểm nào trong đó không thay đổi, bất kể nó tham gia vào quá trình nào.

TẠI không gian ba chiều và khi không có liên kết, một vật hoàn toàn cứng có 6 bậc tự do: ba bậc tịnh tiến và ba bậc quay. Trường hợp ngoại lệ là phân tử tảo cát hay nói theo ngôn ngữ của cơ học cổ điển là một thanh rắn có độ dày bằng không. Một hệ thống như vậy chỉ có hai bậc tự do quay.

Kết thúc công việc -

Chủ đề này thuộc về:

Một giả thuyết chưa được chứng minh và chưa được chứng minh được gọi là một vấn đề mở.

Vật lý liên quan chặt chẽ đến toán học, toán học cung cấp bộ máy thông qua đó luật vật lý có thể được xây dựng chính xác .. lý thuyết gr.

Nếu bạn cần tài liệu bổ sung về chủ đề này, hoặc bạn không tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tìm kiếm trong cơ sở dữ liệu về các tác phẩm của chúng tôi:

Chúng tôi sẽ làm gì với tài liệu nhận được:

Nếu tài liệu này hữu ích cho bạn, bạn có thể lưu nó vào trang của mình trên mạng xã hội:

tiếng riu ríu

Tất cả các chủ đề trong phần này:

Nguyên lý tương đối trong cơ học
Hệ quy chiếu quán tính và nguyên lý tương đối. Phép biến hình Galilê. Biến đổi bất biến. Tốc độ và gia tốc tuyệt đối và tương đối. Định đề của t đặc biệt

Chuyển động quay của một chất điểm.
Chuyển động quay của chất điểm là chuyển động của chất điểm dọc theo một đường tròn. Chuyển động quay - xem chuyển động cơ học. Tại

Mối liên hệ giữa các vectơ của vận tốc góc và pháp tuyến, gia tốc thẳng và góc.
Số đo chuyển động quay: góc φ mà véc tơ bán kính của một điểm quay trên mặt phẳng pháp tuyến với trục quay. Chuyển động quay đều

Vận tốc và gia tốc trong chuyển động cong.
Chuyển động đường cong qua quan điểm phức tạp chuyển động hơn là thẳng tuyến, bởi vì ngay cả khi chuyển động xảy ra trên một mặt phẳng, thì hai tọa độ đặc trưng cho vị trí của vật thể thay đổi. tốc độ và

Gia tốc trong quá trình chuyển động theo đường cong.
Đang cân nhắc chuyển động cong cơ thể, chúng ta thấy rằng tốc độ của nó là khác nhau tại các thời điểm khác nhau. Ngay cả trong trường hợp độ lớn của tốc độ không thay đổi thì vẫn có hướng thay đổi của tốc độ

Phương trình chuyển động của Newton
(1) trong đó lực F trong trường hợp chung

Tâm khối lượng
tâm quán tính, điểm hình học, vị trí đặc trưng cho sự phân bố các khối lượng trong cơ thể hoặc hệ thống cơ học. Tọa độ của C. m. Được xác định bởi các công thức

Định luật chuyển động của khối tâm.
Sử dụng định luật biến thiên động lượng, ta thu được định luật chuyển động của khối tâm: dP / dt = M ∙ dVc / dt = ΣFi

Nguyên lý tương đối của Galilê
Hệ quy chiếu quán tính Hệ quy chiếu quán tính của Galileo

Biến dạng dẻo
Hãy uốn cong một tấm thép nhỏ (ví dụ như một cái cưa sắt), và sau đó để nó tự động sau một thời gian. Chúng ta sẽ thấy rằng chiếc cưa sắt sẽ hoàn toàn (ít nhất là trong nháy mắt) khôi phục lại hình dạng của nó. Nếu chúng ta lấy

LỰC LƯỢNG BÊN NGOÀI VÀ NỘI BỘ
. Trong cơ khí các lực lượng bên ngoài liên quan đến một hệ thống điểm vật chất nhất định (tức là một tập hợp các điểm vật chất trong đó chuyển động của mỗi điểm phụ thuộc vào vị trí hoặc chuyển động của tất cả các trục

Động năng
năng lượng hệ thống cơ khí, phụ thuộc vào vận tốc của các điểm của nó. K. e. T của một chất điểm được đo bằng nửa tích khối lượng m của chất điểm này và bình phương tốc độ của nó

Động năng.
Động năng - năng lượng của một vật chuyển động. (Từ Từ Hy Lạp kinema - phong trào). Theo định nghĩa, động năng của một hệ quy chiếu đứng yên trong một hệ quy chiếu cho trước

Một giá trị bằng nửa tích khối lượng của vật và bình phương tốc độ của nó.
= J. Động năng là một giá trị tương đối, phụ thuộc vào sự lựa chọn của CO, vì tốc độ của cơ thể phụ thuộc vào sự lựa chọn của CO. Điều đó.

Khoảnh khắc của quyền lực
· Khoảnh khắc của quyền lực. Cơm. Khoảnh khắc của quyền lực. Cơm. Mômen của lực, độ lớn

Động năng của một vật quay
Động năng là đại lượng cộng hưởng. Do đó, động năng của một vật chuyển động theo phương tùy ý bằng tổng năng lượng động học tất cả n vật liệu

Làm việc và sức mạnh trong quá trình quay của một cơ thể cứng.
Làm việc và sức mạnh trong quá trình quay của một cơ thể cứng. Hãy tìm một biểu thức để làm việc với

Phương trình cơ bản của động lực học của chuyển động quay
Theo phương trình (5.8), định luật thứ hai của Newton cho chuyển động quay P

Các đại lượng được gọi là vô hướng (vô hướng) nếu sau khi chọn một đơn vị đo, chúng hoàn toàn được đặc trưng bởi một số. Ví dụ về đại lượng vô hướng là góc, bề mặt, thể tích, khối lượng, mật độ, sạc điện, điện trở, nhiệt độ.

Hai loại vô hướng cần được phân biệt: vô hướng thuần túy và giả vô hướng.

3.1.1. Vô hướng thuần túy.

Các đại lượng vô hướng thuần túy được xác định hoàn toàn bởi một số duy nhất, không phụ thuộc vào việc lựa chọn các trục tham chiếu. Nhiệt độ và khối lượng là những ví dụ về chất vô hướng thuần túy.

3.1.2. Pseudoscalars.

Giống như các đại lượng vô hướng thuần túy, các đại lượng giả được xác định bằng một số duy nhất, giá trị tuyệt đối mà không phụ thuộc vào việc lựa chọn các trục tham chiếu. Tuy nhiên, dấu của con số này phụ thuộc vào sự lựa chọn chiều dương trên các trục tọa độ.

Hãy xem xét, chẳng hạn, hình khối, hình chiếu của các cạnh trên các trục tọa độ hình chữ nhật tương ứng bằng nhau. Thể tích của hình bình hành này được xác định bằng cách sử dụng định thức

giá trị tuyệt đối của nó không phụ thuộc vào việc lựa chọn trục tọa độ hình chữ nhật. Tuy nhiên, nếu bạn thay đổi chiều dương trên một trong các trục tọa độ, thì định thức sẽ đổi dấu. Khối lượng là một điểm giả. Pseudoscalars cũng là góc, diện tích, bề mặt. Dưới đây (Phần 5.1.8) chúng ta sẽ thấy rằng một điểm giả thực sự là một tenxơ thuộc một loại đặc biệt.

Số lượng vector

3.1.3. Trục.

Trục là một đường thẳng vô hạn, trên đó chọn chiều dương. Để một đường thẳng như vậy và hướng từ

được coi là tích cực. Hãy xem xét một đoạn trên đường thẳng này và giả sử rằng số đo chiều dài là a (Hình 3.1). Khi đó độ dài đại số của đoạn thẳng bằng a, độ dài đại số của đoạn bằng - a.

Nếu chúng ta lấy một số đường thẳng song song, sau đó, khi đã xác định được chiều dương của một trong số chúng, thì chúng ta sẽ xác định được chiều đó trên phần còn lại. Tình hình sẽ khác nếu các đường thẳng không song song; thì cần phải có những sắp xếp đặc biệt liên quan đến việc chọn chiều dương cho mỗi đường thẳng.

3.1.4. Hướng quay.

Để trục. Chúng ta sẽ gọi chuyển động quay quanh trục là dương hoặc trực tiếp nếu nó được thực hiện đối với một người quan sát đứng dọc theo chiều dương của trục, sang phải và sang trái (Hình 3.2). Nếu không, nó được gọi là âm hoặc nghịch.

3.1.5. Tam diện trực tiếp và nghịch đảo.

Cho một số hình tam diện (hình chữ nhật hoặc không hình chữ nhật). Các hướng dương lần lượt được chọn trên các trục từ O đến x, từ O đến y và từ O đến z.

Trong quá trình vật lý, thường có những đại lượng như vậy, để mô tả về nó, chỉ cần biết các giá trị số là đủ. Ví dụ, khối lượng, thời gian, độ dài.

Các đại lượng chỉ được đặc trưng giá trị số, được gọi là vô hướng hoặc vô hướng.

Ngoài các đại lượng vô hướng, các đại lượng được sử dụng có cả giá trị số và hướng. Ví dụ, tốc độ, gia tốc, lực.

Các đại lượng được đặc trưng bởi một giá trị số và hướng được gọi là vectơ hoặc vectơ.

Các đại lượng vectơ được biểu thị bằng các chữ cái tương ứng có mũi tên ở trên cùng hoặc được đánh dấu in đậm. Ví dụ: vectơ lực được ký hiệu là \ (\ vec F \) hoặc F . Giá trị số của một đại lượng vectơ được gọi là môđun hoặc độ dài của vectơ. Giá trị của vectơ lực được kí hiệu là F hoặc \ (\ left | \ vec F \ right | \).

Hình ảnh vector

Các vectơ được đại diện bởi các phân đoạn có hướng. Điểm đầu của vectơ là điểm mà từ đó đoạn có hướng bắt đầu (điểm NHƯNG trong bộ lễ phục. 1), điểm cuối của vectơ là điểm mà mũi tên kết thúc (điểm B trong bộ lễ phục. một).

Cơm. một.

Hai vectơ được gọi là bình đẳng nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Các vectơ như vậy được đại diện bởi các phân đoạn có hướng có cùng độ dài và chỉ đường. Ví dụ, trong hình. 2 hiển thị các vectơ \ (\ vec F_1 = \ vec F_2 \).

Cơm. 2.

Khi mô tả hai hoặc nhiều vectơ trong một hình, các phân đoạn được xây dựng trên tỷ lệ được chọn trước. Ví dụ, trong hình. Hình 3 cho thấy các vectơ có độ dài \ (\ upsilon_1 \) = 2 m / s, \ (\ upsilon_2 \) = 3 m / s.

Cơm. 3.

Phương pháp đặc tả vectơ

Trên một mặt phẳng, một vectơ có thể được chỉ định theo một số cách:

1. Xác định tọa độ đầu và cuối của vectơ. Ví dụ, vectơ \ (\ Delta \ vec r \) trong Hình. 4 được thiết lập bởi tọa độ điểm đầu của vectơ - (2, 4) (m), điểm cuối - (6, 8) (m).

Cơm. 4.

2. Chỉ định môđun của vectơ (giá trị của nó) và góc giữa hướng của vectơ và một số hướng được chọn trước trên mặt phẳng. Thường cho một hướng như vậy trong mặt tích cực trục 0 X. Các góc được đo ngược chiều kim đồng hồ từ hướng này được coi là dương. Trên hình. 5 vectơ \ (\ Delta \ vec r \) được cho bởi hai số b và \ (\ alpha \), cho biết chiều dài và hướng của vectơ.

Cơm. 5.

Vật lý và toán học không thể làm gì nếu không có khái niệm "đại lượng vectơ". Nó phải được biết đến và công nhận, cũng như có thể hoạt động với nó. Bạn nhất định nên học điều này để không bị nhầm lẫn và không mắc phải những sai lầm ngớ ngẩn.

Làm thế nào để phân biệt một giá trị vô hướng với một vectơ?

Đầu tiên luôn chỉ có một đặc điểm. Đây là giá trị số của nó. Hầu hết các đại lượng vô hướng có thể nhận cả giá trị âm và dương. Ví dụ như điện tích, công việc hoặc nhiệt độ. Nhưng có một số đại lượng vô hướng không thể âm, chẳng hạn như chiều dài và khối lượng.

Số lượng vectơ, ngoại trừ giá trị số, luôn được sử dụng theo mô-đun, cũng được đặc trưng bởi hướng. Do đó, nó có thể được mô tả bằng đồ thị, có nghĩa là, dưới dạng một mũi tên, chiều dài của nó bằng môđun của giá trị được hướng theo một hướng nhất định.

Khi viết, mỗi đại lượng vectơ được biểu thị bằng dấu mũi tên trên chữ cái. Nếu một trong câu hỏi về một giá trị số, thì mũi tên không được viết hoặc nó được lấy theo mô đun.

Những hành động nào thường được thực hiện nhất với vectơ?

Đầu tiên, một so sánh. Chúng có thể bằng nhau hoặc không. Trong trường hợp đầu tiên, các mô-đun của chúng giống nhau. Nhưng đây không phải là điều kiện duy nhất. Chúng cũng phải có cùng hướng hoặc ngược chiều. Trong trường hợp đầu tiên, chúng nên được gọi là các vectơ bằng nhau. Trong trường hợp thứ hai, chúng đối lập nhau. Nếu ít nhất một trong các điều kiện này không được đáp ứng, thì các vectơ không bằng nhau.

Sau đó đến phần bổ sung. Nó có thể được thực hiện theo hai quy tắc: hình tam giác hoặc hình bình hành. Đầu tiên quy định hoãn một vectơ đầu tiên, sau đó từ cuối của nó đến thứ hai. Kết quả của phép cộng sẽ là kết quả cần được rút ra từ đầu của thứ nhất đến cuối của thứ hai.

Quy tắc hình bình hành có thể được sử dụng khi bạn cần thêm các đại lượng vectơ trong vật lý. Không giống như quy tắc đầu tiên, ở đây chúng nên được hoãn lại từ một điểm. Sau đó, xây dựng chúng thành một hình bình hành. Kết quả của hành động nên được coi là đường chéo của hình bình hành được vẽ từ cùng một điểm.

Nếu một đại lượng vectơ bị trừ cho một đại lượng khác, thì chúng lại được vẽ từ một điểm. Chỉ có kết quả sẽ là một vectơ khớp với véc tơ được vẽ từ cuối phần thứ hai đến cuối phần đầu tiên.

Những vectơ nào được nghiên cứu trong vật lý?

Có bao nhiêu trong số chúng là vô hướng. Bạn chỉ cần nhớ những đại lượng vectơ tồn tại trong vật lý. Hoặc biết các dấu hiệu mà chúng có thể được tính toán. Đối với những người thích lựa chọn đầu tiên, một chiếc bàn như vậy sẽ rất hữu ích. Nó chứa vector chính

Bây giờ thêm một chút về một số đại lượng này.

Giá trị đầu tiên là tốc độ

Cần bắt đầu đưa ra các ví dụ về đại lượng vectơ từ nó. Điều này là do thực tế là nó được nghiên cứu trong số những người đầu tiên.

Vận tốc được định nghĩa là một đặc điểm của chuyển động của một vật thể trong không gian. Nó chỉ định một giá trị số và một hướng. Do đó, tốc độ là một đại lượng vectơ. Ngoài ra, theo thông lệ người ta thường chia nó thành các loại. Đầu tiên là tốc độ tuyến tính. Nó được giới thiệu khi xem xét chuyển động thẳng đều. Trong trường hợp này, nó hóa ra bằng tỷ số giữa quãng đường mà cơ thể đi được với thời gian chuyển động.

Công thức tương tự có thể được sử dụng cho chuyển động không đều. Chỉ sau đó nó sẽ là trung bình. Hơn nữa, khoảng thời gian được chọn nhất thiết phải càng ngắn càng tốt. Khi khoảng thời gian có xu hướng bằng không, giá trị vận tốc đã là tức thời.

Nếu coi chuyển động tùy ý thì ở đây tốc độ luôn là một đại lượng vectơ. Rốt cuộc, nó phải được phân rã thành các thành phần được định hướng dọc theo mỗi vectơ chỉ đạo các đường tọa độ. Ngoài ra, nó được định nghĩa là đạo hàm của vectơ bán kính, theo thời gian.

Giá trị thứ hai là sức mạnh

Nó xác định phép đo cường độ của tác động do các cơ quan hoặc lĩnh vực khác tác động lên cơ thể. Vì lực là một đại lượng vectơ nên nó nhất thiết phải có giá trị môđun và hướng riêng của nó. Vì nó tác dụng lên cơ thể, nên điểm mà lực tác dụng cũng rất quan trọng. Để có được đại diện trực quan về vectơ lực, bạn có thể tham khảo bảng sau.

Ngoài ra, lực kết quả cũng là một đại lượng vectơ. Nó được định nghĩa là tổng của tất cả các tác động lên cơ thể lực cơ học. Để xác định được cần thực hiện phép cộng theo nguyên tắc quy tắc tam giác. Chỉ bạn cần hoãn lần lượt các vectơ từ cuối cái trước. Kết quả sẽ là kết nối từ đầu của đầu tiên đến cuối của cuối cùng.

Đại lượng thứ ba là độ dời

Trong khi di chuyển, cơ thể mô tả một đường nhất định. Nó được gọi là một quỹ đạo. Dòng này có thể hoàn toàn khác. Quan trọng hơn không phải là cô ấy xuất hiện, và điểm bắt đầu và điểm kết thúc của chuyển động. Chúng được nối với nhau bằng một đoạn gọi là độ dời. Đây cũng là một đại lượng vectơ. Hơn nữa, nó luôn hướng từ lúc bắt đầu chuyển động đến điểm dừng chuyển động. Nó được chấp nhận để chỉ định nó Chữ cái la tinh r.

Ở đây có thể nảy sinh câu hỏi sau: “Đường đi có phải là một đại lượng vectơ không?”. TẠI trường hợp chung tuyên bố này không đúng. Đường bằng chiều dài quỹ đạo và không có hướng xác định. Một ngoại lệ là tình huống khi nó được xem xét theo một hướng. Khi đó môđun của vectơ độ dời trùng giá trị với đường đi, và hướng của chúng giống nhau. Do đó, khi xét chuyển động dọc theo một đường thẳng mà không làm thay đổi hướng chuyển động thì đường đi có thể được đưa vào các ví dụ về đại lượng vectơ.

Đại lượng thứ tư là gia tốc

Nó là một đặc tính của tốc độ thay đổi của tốc độ. Hơn nữa, gia tốc có thể vừa dương vừa câu khẳng định. Tại chuyển động thẳng nó được hướng theo hướng có tốc độ cao hơn. Nếu chuyển động bằng quỹ đạo cong, khi đó vectơ gia tốc của nó bị phân hủy thành hai thành phần, một trong số đó hướng đến tâm cong dọc theo bán kính.

Phân bổ giá trị trung bình và giá trị tức thời của gia tốc. Đầu tiên phải được tính bằng tỷ số giữa sự thay đổi tốc độ trong một khoảng thời gian nhất định cho đến thời điểm này. Khi khoảng thời gian được coi là có xu hướng bằng không, người ta nói về gia tốc tức thời.

Đại lượng thứ năm là động lượng

Theo một cách khác, nó còn được gọi là lượng chuyển động. Động lượng là đại lượng vectơ do nó liên quan trực tiếp đến tốc độ và lực tác dụng lên vật. Cả hai người đều có định hướng và cho nó theo sự thôi thúc.

Theo định nghĩa, cuối cùng bằng với sản phẩm trọng lượng cơ thể đối với tốc độ. Sử dụng khái niệm động lượng của một vật thể, người ta có thể viết định luật Newton nổi tiếng theo một cách khác. Nó chỉ ra rằng sự thay đổi của động lượng bằng tích của lực và khoảng thời gian.

Trong vật lý vai trò quan trọng có định luật bảo toàn động lượng, trong đó nói rằng trong một hệ kín của các vật thể, tổng động lượng của nó là không đổi.

Chúng tôi đã liệt kê rất ngắn gọn những đại lượng (vectơ) nào được nghiên cứu trong quá trình vật lý.

Vấn đề tác động không co giãn

Điều kiện. Có bệ cố định trên đường ray. Một ô tô đang tiến lại gần nó với vận tốc 4 m / s. và toa xe - lần lượt là 10 và 40 tấn. Chiếc xe chạm vào nền tảng, một bộ ghép nối tự động xảy ra. Cần tính toán tốc độ của hệ thống bệ toa xe sau va chạm.

Quyết định.Đầu tiên, bạn cần nhập kí hiệu: vận tốc của ô tô trước va chạm - v 1, ô tô có bệ sau khi ăn khớp - v, khối lượng của ô tô m 1, bệ - m 2. Theo điều kiện của bài toán, cần tìm ra giá trị của tốc độ v.

Các quy tắc để giải quyết các nhiệm vụ như vậy yêu cầu biểu diễn sơ đồ của hệ thống trước và sau khi tương tác. Hướng trục OX dọc theo đường ray theo hướng ô tô đang chuyển động là hợp lý.

Trong các điều kiện này, hệ thống toa xe có thể được coi là đóng. Điều này được xác định bởi thực tế là các lực bên ngoài có thể bị bỏ qua. Trọng lực và được cân bằng, và ma sát trên đường ray không được tính đến.

Theo định luật bảo toàn động lượng, tổng vectơ của chúng trước tương tác của ô tô và nền bằng tổng vectơ đối với bộ ghép sau va chạm. Lúc đầu, nền tảng không di chuyển, vì vậy động lượng của nó bằng không. Chỉ có ô tô chuyển động, động lượng của nó là tích của m 1 và v 1.

Vì va chạm là không đàn hồi, tức là toa xe bám vào bệ, và sau đó nó bắt đầu cuộn lại với nhau theo cùng một hướng, xung lực của hệ thống không thay đổi hướng. Nhưng ý nghĩa của nó đã thay đổi. Cụ thể là tích của tổng khối lượng của toa xe với bệ và tốc độ mong muốn.

Bạn có thể viết đẳng thức sau: m 1 * v 1 \ u003d (m 1 + m 2) * v. Nó sẽ đúng với hình chiếu của vectơ động lượng trên trục đã chọn. Từ đó dễ dàng suy ra đẳng thức cần thiết để tính tốc độ mong muốn: v \ u003d m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

Theo quy tắc, bạn nên chuyển đổi các giá trị \ u200b \ u200b cho khối lượng từ tấn sang kilôgam. Do đó, khi thay chúng vào công thức, trước tiên bạn nên nhân các giá trị đã biết với một nghìn. Các phép tính đơn giản đưa ra một con số là 0,75 m / s.

Trả lời. Vận tốc của toa xe với bệ là 0,75 m / s.

Chia cơ thể thành các phần

Điều kiện. Tốc độ bay của lựu đạn là 20 m / s. Nó vỡ ra thành hai mảnh. Khối lượng của cái thứ nhất là 1,8 kg. Nó tiếp tục di chuyển theo hướng mà quả lựu đạn đã bay với tốc độ 50 m / s. Mảnh thứ hai có khối lượng 1,2 kg. Tốc độ của nó là gì?

Quyết định. Gọi khối lượng mảnh vỡ được ký hiệu bằng các chữ cái m 1 và m 2. Tốc độ của chúng sẽ lần lượt là v 1 và v 2. tốc độ bắt đầu lựu đạn v. Trong bài toán, bạn cần tính giá trị v 2.

Để mảnh vỡ lớn hơn tiếp tục di chuyển cùng hướng với toàn bộ quả lựu đạn, quả thứ hai phải bay vào mặt trái. Nếu chúng ta chọn hướng của trục thì trục đã có xung động ban đầu, rồi sau khi đứt, mảnh vỡ lớn bay dọc theo trục, và mảnh nhỏ bay ngược lại trục.

Trong bài toán này, cho phép sử dụng định luật bảo toàn động lượng do lựu đạn nổ ngay lập tức. Do đó, mặc dù thực tế là trọng lực tác động lên quả lựu đạn và các bộ phận của nó, nó không có thời gian để tác động và thay đổi hướng của vectơ động lượng với giá trị môđun của nó.

Tổng các giá trị vectơ của động lượng sau khi quả lựu đạn nổ bằng giá trị của động lượng trước nó. Nếu chúng ta viết định luật bảo toàn trong phép chiếu lên trục OX thì nó sẽ có dạng như sau: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 - m 2 * v 2. Có thể dễ dàng thể hiện tốc độ mong muốn từ nó. Nó được xác định theo công thức: v 2 \ u003d ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2. Sau khi thay các giá trị số và phép tính, ta thu được 25 m / s.

Trả lời. Tốc độ của một mảnh nhỏ là 25 m / s.

Sự cố về chụp ở một góc

Điều kiện. Một công cụ được gắn trên một bệ có khối lượng M. Một quả đạn khối lượng m được bắn ra từ nó. Nó cất cánh ở một góc α so với đường chân trời với tốc độ v (cho trước so với mặt đất). Nó được yêu cầu để tìm ra tốc độ của nền tảng sau khi bắn.

Quyết định. Trong bài toán này, bạn có thể sử dụng định luật bảo toàn động lượng trong phép chiếu lên trục OX. Nhưng chỉ trong trường hợp khi hình chiếu của các ngoại lực bằng không.

Đối với hướng của trục OX, bạn cần chọn phía mà đường đạn sẽ bay, và song song với đường nằm ngang. Trong trường hợp này, hình chiếu của lực hấp dẫn và phản lực của gối tựa lên OX sẽ bằng không.

Vấn đề sẽ được giải quyết trong nhìn chung, vì không có dữ liệu cụ thể cho các đại lượng đã biết. Công thức là câu trả lời.

Động lượng của hệ thống trước khi bắn bằng 0, vì bệ và đạn đứng yên. Đặt tốc độ mong muốn của nền tảng được ký hiệu bằng chữ cái Latinh u. Khi đó động lượng của nó sau khi bắn được xác định là tích của khối lượng và hình chiếu của vận tốc. Vì nền tảng quay ngược lại (ngược với hướng của trục OX), giá trị xung lượng sẽ có dấu trừ.

Động lượng của viên đạn là tích của khối lượng của nó và hình chiếu của vận tốc lên trục OX. Do tốc độ hướng tới một góc so với đường chân trời nên hình chiếu của nó bằng tốc độ nhân với cosin của góc. Theo nghĩa đen, nó sẽ giống như sau: 0 = - Mu + mv * cos α. Từ đó, bằng các phép biến đổi đơn giản, ta thu được công thức: u = (mv * cos α) / M.

Trả lời. Tốc độ của bệ được xác định theo công thức u = (mv * cos α) / M.

Vấn đề vượt sông

Điều kiện. Chiều rộng của con sông dọc theo chiều dài của nó bằng nhau và bằng l, hai bờ của nó song song. Biết vận tốc của dòng nước v 1 và vận tốc riêng của ca nô v 2. một). Khi băng qua, mũi thuyền hướng hẳn sang bờ đối diện. Nó sẽ được đưa về phía hạ lưu bao xa? 2). Mũi thuyền phải hướng một góc α nào để nó tới bờ đối diện vuông góc với điểm khởi hành? Sẽ mất bao nhiêu thời gian cho một cuộc vượt biên như vậy?

Quyết định. một). Vận tốc toàn phần của thuyền là tổng vectơ của hai đại lượng. Đầu tiên trong số này là dòng chảy của sông, hướng dọc theo bờ. Thứ hai là tốc độ riêng của thuyền, vuông góc với bờ. Bản vẽ cho thấy hai tam giác đồng dạng. Đầu tiên được hình thành bởi chiều rộng của sông và khoảng cách mà con thuyền mang theo. Thứ hai là các vectơ vận tốc.

Mục nhập sau đây theo sau từ chúng: s / l = v 1 / v 2. Sau khi biến đổi, công thức cho giá trị mong muốn sẽ thu được: s \ u003d l * (v 1 / v 2).

2). Trong phiên bản này của bài toán, tổng vectơ vận tốc vuông góc với bờ. Nó bằng tổng vectơ của v 1 và v 2. Sin của góc mà vectơ vận tốc riêng phải lệch bằng tỉ số giữa môđun v 1 và v 2. Để tính toán thời gian di chuyển, bạn sẽ cần chia chiều rộng của con sông cho tổng tốc độ tính được. Giá trị của giá trị sau được tính bằng định lý Pitago.

v = √ (v 2 2 - v 1 2) thì t = l / (√ (v 2 2 - v 1 2)).

Trả lời. một). s \ u003d l * (v 1 / v 2), 2). sin α \ u003d v 1 / v 2, t \ u003d l / (√ (v 2 2 - v 1 2)).

 Véc tơ- hoàn toàn khái niệm toán học, chỉ được sử dụng trong vật lý hoặc Khoa học được áp dụng và giúp đơn giản hóa giải pháp của một số vấn đề phức tạp.
 Véc tơ- đoạn thẳng có đạo diễn.
Tôi biết vật lý sơ cấp người ta phải hoạt động với hai loại đại lượng - vô hướng và vectơ.
 Vô hướngđại lượng (vô hướng) là đại lượng được đặc trưng bởi một giá trị số và một dấu hiệu. Các đại lượng vô hướng là độ dài - l, khối lượng - m, đường dẫn - S, thời gian - t, nhiệt độ - T, điện tích - q, năng lượng - W, tọa độ, v.v.
Tất cả các phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, v.v.) đều được áp dụng cho các giá trị vô hướng.

 ví dụ 1.
Xác định tổng điện tích của hệ, bao gồm các điện tích có trong nó, nếu q 1 \ u003d 2 nC, q 2 \ u003d -7 nC, q 3 \ u003d 3 nC.
Toàn bộ hệ thống phí
q \ u003d q 1 + q 2 + q 3 \ u003d (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 C.

 Ví dụ 2.
Vì phương trình bậc hai Tốt bụng
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1 / (2a)) × (−b ± √ (b 2 - 4ac)).

 vectơđại lượng (vectơ) là đại lượng, để định nghĩa nó cần phải chỉ ra, ngoài giá trị số, cả hướng. Vectơ - tốc độ v, lực lượng F, Quán tính P, căng thẳng điện trường E, cảm ứng từ B và vân vân.
Giá trị số của vectơ (môđun) được biểu thị bằng một chữ cái không có ký hiệu vectơ hoặc vectơ được bao giữa các đường thẳng đứng r = | r |.
Về mặt đồ họa, vectơ được biểu diễn bằng một mũi tên (Hình 1),

Độ dài của nó trong một tỷ lệ nhất định bằng môđun của nó và hướng trùng với hướng của vectơ.
Hai vectơ bằng nhau nếu môđun và hướng của chúng giống nhau.
Các đại lượng vectơ được cộng về mặt hình học (theo quy tắc đại số vectơ).
Tìm một tổng vectơ các vectơ thành phần đã cho được gọi là phép cộng vectơ.
Phép cộng hai vectơ được thực hiện theo quy tắc hình bình hành hoặc tam giác. Tổng vectơ
c = a + b
bằng đường chéo của hình bình hành dựng trên các vectơ một và b. Mô-đun nó
с = √ (a 2 + b 2 - 2abcosα) (Hình 2).


Với α = 90 °, c = √ (a 2 + b 2) là định lý Pitago.

Vectơ c tương tự có thể nhận được theo quy tắc tam giác nếu từ cuối vectơ một hoãn véc tơ b. Đóng vectơ c (nối đoạn đầu của vectơ một và phần cuối của vectơ b) là tổng vectơ của các số hạng (thành phần của vectơ một và b).
Vectơ kết quả được tìm thấy như là một điểm đóng của đường đứt đoạn, các liên kết của chúng là các vectơ cấu thành (Hình 3).


 Ví dụ 3.
Cộng hai lực F 1 \ u003d 3 N và F 2 \ u003d 4 N, vectơ F1 và F2 tạo các góc tương ứng là α 1 \ u003d 10 ° và α 2 \ u003d 40 ° với đường chân trời
 F = F 1 + F 2(Hình 4).

Kết quả của việc cộng hai lực này là một lực được gọi là kết quả. Véc tơ F hướng dọc theo đường chéo của một hình bình hành được xây dựng trên các vectơ F1 và F2, như các cạnh, và môđun bằng chiều dài của nó.
Mô đun vector F tìm theo định luật cosin
F = √ (F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos (α 2 - α 1)),
F = √ (3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos (40 ° - 10 °)) ≈ 6,8 H.
Nếu một
(α 2 - α 1) = 90 ° thì F = √ (F 1 2 + F 2 2).

Góc vectơ đó F là với trục Ox, chúng tôi tìm thấy bằng công thức
α \ u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan ((3.0,17 + 4.0,64) / (3.0,98 + 4.0,77)) = arctan0,51, α ≈ 0,47 rad.

Hình chiếu của vectơ a lên trục Ox (Oy) là một giá trị vô hướng phụ thuộc vào góc α giữa phương của vectơ một và trục Ox (Oy). (Hình 5)


Phép chiếu vectơ một trên trục Ox và Oy hệ thống hình chữ nhật tọa độ. (Hình 6)


Để tránh những sai lầm khi xác định dấu của hình chiếu của vectơ lên ​​trục, cần nhớ quy tắc sau: nếu hướng của thành phần trùng với hướng của trục thì hình chiếu của vectơ lên ​​trục này trục là dương, nhưng nếu hướng của thành phần ngược với hướng của trục, thì hình chiếu của vectơ là âm. (Hình 7)


Phép trừ vectơ là một phép cộng trong đó một vectơ được thêm vào vectơ đầu tiên, bằng số bằng vectơ thứ hai, có hướng ngược lại
a - b = a + (−b) = d(Hình 8).

Để nó là cần thiết từ vectơ một trừ vectơ b, sự khác biệt của họ - d. Để tìm hiệu của hai vectơ, cần vectơ một thêm vectơ ( −b), nghĩa là, một vectơ d = a - b sẽ là một vectơ hướng từ đầu vectơ một về phía cuối của vectơ ( −b) (Hình 9).

Trong một hình bình hành được xây dựng trên các vectơ một và b cả hai bên, một đường chéo c có nghĩa là tổng, và nghĩa khác d- sự khác biệt vectơ một và b(Hình 9).
Sản phẩm vector một mỗi vô hướng k bằng vectơ b= k một, có mô đun lớn hơn k lần mô đun của vectơ một, và hướng giống với hướng mộtđối với k dương và ngược lại đối với k âm.

 Ví dụ 4.
Xác định động lượng của một vật có khối lượng 2 kg đang chuyển động với vận tốc 5 m / s. (Hình 10)

động lượng cơ thể P= m v; p = 2 kg.m / s = 10 kg.m / s và hướng theo vận tốc v.

 Ví dụ 5.
Điện tích q = −7,5 nC được đặt trong điện trường đều có cường độ E = 400 V / m. Tìm môđun và hướng của lực tác dụng lên điện tích.

Sức mạnh bằng F= q E. Vì điện tích âm nên vectơ lực có hướng ngược chiều với vectơ E. (Hình 11)


 Phân công vectơ một bởi một vô hướng k tương đương với nhân một bằng 1 / k.
 Chấm sản phẩm vectơ một và b gọi vô hướng "c" ngang bằng với sản phẩm môđun của các vectơ này bằng cosin của góc giữa chúng
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (Hình 12)


 Ví dụ 6.
Tìm công của một lực không đổi F = 20 N nếu độ dời S = 7,5 m, và góc α giữa lực và độ dời α = 120 °.

Công của một lực theo định nghĩa sản phẩm chấm lực lượng và chuyển động
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120 ° = −150 × 1/2 = −75 J.

 nghệ thuật vector vectơ một và b gọi vector c, về số bằng tích của môđun của vectơ a và b, nhân với sin của góc giữa chúng:
c = a × b =,
c = ab × sinα.
Véc tơ c vuông góc với mặt phẳng trong đó các vectơ nằm một và b, và hướng của nó liên quan đến hướng của các vectơ một và b quy tắc vít phải (Hình 13).


 Ví dụ 7.
Xác định lực tác dụng lên dây dẫn dài 0,2 m, đặt trong từ trường đều có cảm ứng là 5 T, nếu cường độ dòng điện trong dây dẫn là 10 A và tạo với phương một góc α = 30 ° so với phương của từ trường.

Công suất khuếch đại
dF = I = Idl × B hoặc F = I (l) ∫ (dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

 Cân nhắc giải quyết vấn đề.
1. Hai vectơ có hướng như thế nào thì môđun của chúng giống nhau và bằng a, nếu môđun của tổng của chúng là: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√ (2); e) a√ (3)?

 Quyết định.
a) Hai vectơ cùng hướng cùng một đường thẳng trong cạnh đối diện. Tổng của các vectơ này bằng không.

b) Hai vectơ cùng phương cùng phương thì cùng phương. Tổng của các vectơ này là 2a.

c) Hai vectơ hướng với nhau một góc 120o. Tổng các vectơ bằng a. Vectơ kết quả được tìm thấy bởi định lý cosin:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2,
cosα = −1/2 và α = 120 °.
d) Hai vectơ hướng với nhau một góc 90o. Môđun của tổng là
a 2 + a 2 + 2acosα = 2a 2,
cosα = 0 và α = 90 °.

e) Hai vectơ hướng với nhau một góc 60o. Môđun của tổng là
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2,
cosα = 1/2 và α = 60 °.
 Trả lời: Góc α giữa các vectơ bằng: a) 180 °; b) 0; c) 120 °; d) 90 °; e) 60 °.

2. Nếu a = a1 + a2định hướng của vectơ, điều gì có thể nói về hướng tương hỗ của vectơ một 1 và một 2, nếu: a) a = a 1 + a 2; b) a 2 \ u003d a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 \ u003d a 1 - a 2?

 Quyết định.
a) Nếu tổng các vectơ tìm được là tổng môđun của các vectơ này thì các vectơ cùng hướng trên một đường thẳng, song song với nhau a 1 || a 2.
b) Nếu các vectơ hướng với nhau một góc thì tổng của chúng được tìm thấy theo định luật côsin cho một hình bình hành
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2,
cosα = 0 và α = 90 °.
vectơ vuông góc với nhau a 1 ⊥ a 2.
c) Điều kiện a 1 + a 2 = a 1 - a 2 có thể được thực hiện nếu một 2- vectơ không thì a 1 + a 2 = a 1.
 Câu trả lời. một) a 1 || a 2; b) a 1 ⊥ a 2; trong) một 2- vectơ không.

3. Hai lực 1,42 N tác dụng vào một điểm của vật một góc 60o với nhau. Hai lực 1,75 N tác dụng vào cùng một điểm của vật ở góc nào để tác dụng của chúng cân bằng với tác dụng của hai lực đầu?

Quyết định.
Theo điều kiện của bài toán, hai lực 1,75 N cân bằng hai lực 1,42 N. Điều này có thể xảy ra nếu môđun của các vectơ kết quả của các cặp lực bằng nhau. Vectơ kết quả được xác định bởi định lý cosin cho một hình bình hành. Đối với cặp lực thứ nhất:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \ u003d F 2,
đối với cặp lực thứ hai tương ứng là
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2.
Cân bằng các phần bên trái của các phương trình
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Tìm góc β mong muốn giữa các vectơ
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα - F 2 2 - F 2 2) / (2F 2 F 2).
Sau khi tính toán,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60 ° - 2.1.752) / (2.1.752) = −0.0124,
β ≈ 90,7 °.

 Cách thứ hai để giải quyết.
Xét hình chiếu của vectơ lên ​​trục tọa độ OX (Hình.).

Sử dụng tỷ lệ giữa các bên trong tam giác vuông, chúng tôi nhận được
2F 1 cos (α / 2) = 2F 2 cos (β / 2),
ở đâu
cos (β / 2) = (F 1 / F 2) cos (α / 2) = (1,42 / 1,75) × cos (60/2) và β ≈ 90,7 °.

4. Véc tơ a = 3i - 4j. Giá trị vô hướng c phải là gì để | c một| = 7,5?
 Quyết định.
c một= c ( 3i - 4j) = 7,5
Mô đun vector một sẽ bằng
a 2 = 3 2 + 4 2 và a = ± 5,
sau đó từ
c. (± 5) = 7,5,
tìm thấy điều đó
c = ± 1,5.

5. Vectơ một 1 và một 2đi ra khỏi nguồn gốc và có Tọa độ Descartes kết thúc lần lượt là (6, 0) và (1, 4). Tìm một vectơ một 3 sao cho: a) một 1 + một 2 + một 3= 0; b) một 1 − một 2 + một 3 = 0.

 Quyết định.
Hãy vẽ các vectơ trong Hệ thống Descartes tọa độ (Hình.)

a) Vectơ tạo thành dọc theo trục Ox là
a x = 6 + 1 = 7.
Vectơ kết quả dọc theo trục Oy là
a y = 4 + 0 = 4.
Để tổng các vectơ bằng 0 thì cần điều kiện
một 1 + một 2 = −một 3.
Véc tơ một 3 modulo sẽ bằng tổng vectơ a1 + a2 nhưng hướng theo hướng ngược lại. Tọa độ vectơ kết thúc một 3 bằng (−7, −4) và môđun
a 3 \ u003d √ (7 2 + 4 2) \ u003d 8.1.

B) Vectơ sinh ra dọc theo trục Ox bằng
a x = 6 - 1 = 5,
và vectơ kết quả dọc theo trục Oy
a y = 4 - 0 = 4.
Khi điều kiện
một 1 − một 2 = −một 3,
vectơ một 3 sẽ có tọa độ của điểm cuối của vectơ a x = -5 và a y = -4, và môđun của nó là
a 3 \ u003d √ (5 2 + 4 2) \ u003d 6.4.

6. Người đưa tin đi 30 m về phía bắc, 25 m về phía đông, 12 m về phía nam, rồi trong tòa nhà đi thang máy lên độ cao 36 m. Quãng đường mà người đó đi được L và độ dời là bao nhiêu? S?

 Quyết định.
Hãy để chúng tôi mô tả tình huống được mô tả trong bài toán trên một mặt phẳng với tỷ lệ tùy ý (Hình.).

Kết thúc vectơ OA có tọa độ 25 m về phía đông, 18 m về phía bắc và cao hơn 36 (25; 18; 36). Con đường mà một người đã đi là
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Môđun của vectơ độ dời được tìm bằng công thức
S = √ ((x - x o) 2 + (y - y o) 2 + (z - z o) 2),
trong đó x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S \ u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2) \ u003d 47,4 (m).
 Trả lời: L = 103 m, S = 47,4 m.

7. Góc α giữa hai vectơ một và b bằng 60 °. Xác định độ dài của vectơ c = a + b và góc β giữa các vectơ một và c. Độ lớn của các vectơ là a = 3.0 và b = 2.0.

 Quyết định.
Chiều dài của vectơ bằng tổng vectơ một và b chúng ta xác định bằng cách sử dụng định lý cosin cho một hình bình hành (Hình.).

с = √ (a 2 + b 2 + 2abcosα).
Sau khi thay thế
c = √ (3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60 °) = 4,4.
Để xác định góc β, chúng ta sử dụng định lý sin cho tam giác ABC:
b / sinβ = a / sin (α - β).
Đồng thời, bạn nên biết rằng
sin (α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ.
Giải quyết đơn giản phương trình lượng giác, chúng tôi đến biểu thức
tgβ = bsinα / (a ​​+ bcosα),
vì thế,
β = arctg (bsinα / (a ​​+ bcosα)),
β = arctg (2.sin60 / (3 + 2.cos60)) ≈ 23 °.
Hãy kiểm tra bằng cách sử dụng định lý côsin cho một tam giác:
a 2 + c 2 - 2ac.cosβ = b 2,
ở đâu
cosβ = (a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)
và
β \ u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \ u003d arccos ((3 2 + 4.4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \ u003d 23 °.
 Trả lời: c ≈ 4,4; β ≈ 23 °.

 Giải quyết vấn đề.
8. Đối với vectơ một và bđược định nghĩa trong ví dụ 7, tìm độ dài của vectơ d = a - b mũi tiêm γ ở giữa một và d.

9. Tìm hình chiếu của vectơ a = 4.0i + 7.0jđến một đường thẳng có phương tạo với trục Ox một góc α = 30 °. Véc tơ một và đường thẳng nằm trong mặt phẳng xOy.

10. Véc tơ một hợp với đường thẳng AB một góc α = 30 °, a = 3,0. Ở góc β nào so với đường thẳng AB nên vectơ có phương b(b = √ (3)) sao cho vectơ c = a + bđã song song với AB? Tìm độ dài của vectơ c.

11. Ba vectơ đã cho: a = 3i + 2j - k; b = 2i - j + k; c = i + 3j. tìm một) a + b; b) a + c; trong) (a, b); G) (a, c) b - (a, b) c.

12. Góc giữa các vectơ một và b bằng α = 60 °, a = 2,0, b = 1,0. Tìm độ dài của các vectơ c = (a, b) a + b và d = 2b - a / 2.

13. Chứng minh rằng các vectơ một và b vuông góc nếu a = (2, 1, −5) và b = (5, −5, 1).

14. Tìm góc α giữa các vectơ một và b, nếu a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Véc tơ một hợp với trục Ox một góc α = 30 ° thì hình chiếu của vectơ này lên trục Oy là y = 2,0. Véc tơ b vuông góc với vectơ một và b = 3.0 (xem hình vẽ).

Véc tơ c = a + b. Tìm: a) các phép chiếu vectơ b trên các trục Ox và Oy; b) giá trị c và góc β giữa vectơ c và trục Ox; taxi); d) (a, c).

 Câu trả lời:
9. a 1 \ u003d a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300 °; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j - 2k; c) 15i - 18j + 9k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4 °.
15. a) b x \ u003d -1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67 °; c) 0; d) 16,0.
Bằng cách nghiên cứu vật lý, bạn có cơ hội tuyệt vời tiếp tục giáo dục của bạn trong Đại học kỹ thuật. Điều này sẽ đòi hỏi một sự đào sâu song song của kiến ​​thức về toán học, hóa học, ngôn ngữ và các môn học khác. Người chiến thắng trong cuộc thi Olympic của Đảng Cộng hòa, Egor Savich, đang tốt nghiệp một trong những khoa của Viện Vật lý và Công nghệ Moscow, nơi có nhu cầu lớn về kiến ​​thức hóa học. Nếu bạn cần sự trợ giúp của GIA trong lĩnh vực hóa học thì hãy liên hệ với những người có chuyên môn, bạn chắc chắn sẽ được cung cấp sự trợ giúp tận tình và kịp thời.

 Xem thêm: