Phân loại mô hình toán học. Mô hình toán học

1. Các mô hình kinh tế và toán học được phân loại vì những lý do khác nhau.

Theo mục đích, chúng được chia thành:

Lý thuyết và phân tích - trong việc nghiên cứu các thuộc tính và mẫu chung;

Ứng dụng - trong việc giải quyết các vấn đề kinh tế cụ thể (các mô hình phân tích, dự báo, quản lý kinh tế).

Các mô hình kinh tế và toán học có thể được sử dụng để nghiên cứu các khía cạnh khác nhau của sản xuất và các bộ phận riêng lẻ của nó.

Theo các vấn đề cơ bản được nghiên cứu bởi các quá trình kinh tế, các mô hình kinh tế và toán học được chia thành:

Các mô hình sản xuất nói chung và các hệ thống phụ của nó - ngành, vùng, v.v.;

Sự phức hợp của các mô hình sản xuất, tiêu dùng, hình thành và phân phối thu nhập, nguồn lao động, giá cả, quan hệ tài chính, v.v.

Theo cách phân loại chung của các mô hình toán học, chúng được chia thành:

chức năng;

Cấu trúc;

Cấu trúc và chức năng.

Việc sử dụng các mô hình cấu trúc trong nghiên cứu ở cấp độ kinh tế được chứng minh bởi sự liên kết với nhau của các hệ thống con. Điển hình trong trường hợp này là các mô hình quan hệ liên vùng.

Các mô hình chức năng được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực điều tiết kinh tế. Điển hình trong trường hợp này là các mô hình hành vi của người tiêu dùng trong quan hệ hàng hóa - tiền tệ.

Một và cùng một đối tượng có thể được trình bày dưới dạng mô hình cấu trúc và chức năng cùng một lúc. Vì vậy, ví dụ, một mô hình cấu trúc được sử dụng để hoạch định một hệ thống ngành riêng biệt và một mô hình chức năng được sử dụng ở cấp độ kinh tế.

2. Sự khác biệt giữa mô hình mô tả và mô hình quy chuẩn được bộc lộ khi xem xét cấu trúc và bản chất sử dụng của chúng.

Mô hình mô tả cung cấp câu trả lời cho câu hỏi: "Điều này xảy ra như thế nào?" hoặc “Làm thế nào điều này có nhiều khả năng phát triển hơn nữa?”, nghĩa là, họ giải thích các sự kiện quan sát được hoặc dự đoán khả năng xảy ra của bất kỳ sự kiện nào.

Mục đích của phương pháp mô tả là xác định thực nghiệm các yếu tố phụ thuộc khác nhau trong nền kinh tế. Đây có thể là việc thiết lập các mẫu thống kê về hành vi kinh tế của các nhóm xã hội, nghiên cứu các cách thức phát triển có thể xảy ra của bất kỳ quá trình nào trong điều kiện không thay đổi hoặc không có ảnh hưởng bên ngoài, và các nghiên cứu khác. Một ví dụ ở đây là mô hình nhu cầu của người tiêu dùng được xây dựng trên cơ sở xử lý dữ liệu thống kê.

Các mô hình quy phạm được công nhận để trả lời câu hỏi: "Nó phải như thế nào?", Tức là chúng bao hàm hoạt động có mục đích. Một ví dụ điển hình là mô hình quy hoạch tối ưu.

Mô hình kinh tế-toán học có thể vừa mô tả vừa mang tính quy chuẩn. Do đó, mô hình cân bằng liên ngành mang tính mô tả nếu nó được sử dụng để phân tích các tỷ trọng của thời kỳ vừa qua và có tính quy luật khi tính toán các phương án cân bằng cho sự phát triển của nền kinh tế.

3. Dấu hiệu của mô hình mô tả và mô hình quy chuẩn được kết hợp nếu mô hình quy chuẩn của một cấu trúc phức tạp kết hợp các khối riêng biệt là mô hình mô tả riêng. Do đó, mô hình liên vùng có thể bao gồm các hàm cầu tiêu dùng phản ánh hành vi của người tiêu dùng khi thu nhập thay đổi.

Phương pháp mô tả được sử dụng rộng rãi trong mô hình mô phỏng.

Theo bản chất của việc khám phá các mối quan hệ nguyên nhân và kết quả, có những mô hình và mô hình xác định cứng nhắc bao gồm các yếu tố ngẫu nhiên và không chắc chắn. Cần phải phân biệt giữa độ không đảm bảo dựa trên quy luật lý thuyết xác suất và độ không đảm bảo nằm ngoài ứng dụng của định luật này. Loại thứ hai của sự không chắc chắn gây ra các vấn đề lớn trong mô hình hóa.

4. Theo cách phản ánh yếu tố thời gian, các mô hình kinh tế và toán học được chia thành:

tĩnh tại;

Năng động.

Trong các mô hình tĩnh, tất cả các quy luật của nền kinh tế đều đề cập đến một thời điểm hoặc khoảng thời gian.

Mô hình động đặc trưng cho những thay đổi theo thời gian.

Theo độ dài của khoảng thời gian, các mô hình dự báo và quy hoạch ngắn hạn (đến một năm), trung hạn (đến 5 năm), dài hạn (5 năm trở lên) được phân biệt. Dòng chảy của thời gian trong các mô hình kinh tế và toán học có thể thay đổi liên tục hoặc tùy ý.

Các mô hình của các hiện tượng kinh tế khác nhau ở dạng phụ thuộc toán học.

Loại mô hình tuyến tính thuận tiện nhất cho việc phân tích và tính toán. Nhưng có những yếu tố phụ thuộc sau trong nền kinh tế, là những yếu tố phi tuyến tính:

Hiệu quả sử dụng tài nguyên trong khi tăng sản lượng;

Thay đổi nhu cầu và tiêu dùng của dân cư cùng với sự gia tăng sản xuất;

Thay đổi nhu cầu và tiêu dùng của dân cư cùng với sự gia tăng thu nhập, v.v.

Theo tỷ lệ giữa các biến ngoại sinh và nội sinh có trong mô hình, chúng có thể được chia thành mở và đóng.

Một mô hình phải chứa ít nhất một biến nội sinh, vì vậy không có mô hình nào hoàn toàn mở. Các mô hình không bao gồm các biến ngoại sinh (đóng) là cực kỳ hiếm - việc xây dựng chúng đòi hỏi sự trừu tượng hóa hoàn toàn khỏi "môi trường", nghĩa là, sự tổng hợp nghiêm trọng của các hệ thống kinh tế thực luôn có các kết nối bên ngoài.

Về cơ bản, các mô hình khác nhau về mức độ mở (đóng).

Đối với mô hình cấp doanh nghiệp, việc phân chia thành rất quan trọng. tổng hợp và chi tiết.

Tùy thuộc vào việc các mô hình kinh tế bao gồm các yếu tố không gian và điều kiện hay không bao gồm, các mô hình không gian và điểm được phân biệt.

Với sự phát triển của các thành tựu trong nghiên cứu kinh tế và toán học, vấn đề phân loại các mô hình ứng dụng trở nên phức tạp hơn. Cùng với sự xuất hiện của các loại mô hình mới (đặc biệt là các loại hỗn hợp) và các cơ sở mới để phân loại chúng, quá trình tích hợp các loại mô hình khác nhau thành các công trình mô hình phức tạp hơn đang diễn ra.

Hãy xem xét khái niệm: “Mô hình. Phân loại mô hình ”theo quan điểm khoa học.

Phân loại

Hiện nay, có sự phân chia chúng thành các nhóm riêng biệt. Tùy thuộc vào mục đích dự định, việc phân loại các mô hình kinh tế và toán học sau đây được ngụ ý:

các loại lý thuyết và phân tích gắn với các nghiên cứu về các đặc điểm và mẫu chung;
các mô hình áp dụng nhằm giải quyết các vấn đề kinh tế nhất định. Chúng bao gồm các mô hình dự báo, phân tích kinh tế, quản lý.

Việc phân loại các mô hình kinh tế và toán học cũng liên quan đến phạm vi ứng dụng thực tế của chúng.

Tùy thuộc vào nội dung của vấn đề, các mô hình đó được chia thành các nhóm:

các mô hình sản xuất nói chung;
các tùy chọn riêng cho các khu vực, hệ thống con, ngành công nghiệp;
phức hợp của các mô hình tiêu dùng, sản xuất, phân phối và hình thành nguồn lao động, thu nhập, ràng buộc tài chính.

Việc phân loại các mô hình của các nhóm này ngụ ý phân bổ các hệ thống con cấu trúc.

Khi tiến hành nghiên cứu ở cấp độ kinh tế, các mô hình cấu trúc được giải thích bằng mối quan hệ của các hệ thống con riêng lẻ. Các mô hình của hệ thống liên vùng có thể được phân biệt như là các lựa chọn chung.

Các phương án chức năng được sử dụng để điều tiết kinh tế các quan hệ hàng hóa - tiền tệ. Một và cùng một đối tượng có thể được trình bày dưới dạng chức năng, dạng cấu trúc cùng một lúc.

Sự khác biệt giữa các mô hình

Hãy phân tích các mô hình khác nhau. Việc phân loại các mô hình hiện đang được sử dụng trong nền kinh tế liên quan đến việc phân bổ các phương án quy chuẩn và mô tả. Sử dụng mô hình mô tả, có thể giải thích các sự kiện đã phân tích, dự đoán khả năng tồn tại của một số sự kiện.

Mục đích của chiến dịch mô tả

Nó liên quan đến việc xác định thực nghiệm các yếu tố phụ thuộc khác nhau trong nền kinh tế hiện đại. Ví dụ, các quy tắc thống kê của các nhóm xã hội khác nhau được thiết lập, các cách thức phát triển có thể xảy ra của các quá trình nhất định được nghiên cứu trong những điều kiện không đổi hoặc không có ảnh hưởng bên ngoài. Dựa trên kết quả thu được trong quá trình điều tra xã hội học, có thể xây dựng mô hình nhu cầu tiêu dùng.

Mô hình quy định

Với sự giúp đỡ của họ, có thể thực hiện hoạt động có mục đích. Một ví dụ là mô hình lập lịch tối ưu.

Nó có thể là cả quy chuẩn và mô tả. Nếu mô hình được sử dụng để phân tích các tỷ lệ của giai đoạn trước, thì nó là mô tả. Khi tính toán với sự trợ giúp của nó các cách thức phát triển kinh tế tối ưu, nó là quy luật.

Tính năng mô hình

Việc phân loại các mô hình liên quan đến việc tính đến các chức năng riêng lẻ giúp làm rõ các vấn đề gây tranh cãi. Cách tiếp cận mô tả đã tìm thấy phân phối tối đa của nó trong mô hình mô phỏng.

Tùy thuộc vào bản chất của việc khám phá các mối quan hệ nhân quả, có sự phân loại các mô hình thành các lựa chọn, bao gồm các yếu tố riêng lẻ của tính không chắc chắn và ngẫu nhiên, cũng như các mô hình xác định một cách cứng nhắc. Điều quan trọng là phải phân biệt giữa sự không chắc chắn dựa trên lý thuyết xác suất và sự không chắc chắn, vượt ra ngoài giới hạn của định luật.

Phân chia mô hình theo cách phản ánh yếu tố thời gian

Người ta phải phân loại mô hình theo yếu tố này thành các loại động và tĩnh. Mô hình tĩnh liên quan đến việc xem xét tất cả các quy luật trong một khoảng thời gian nhất định. Các tùy chọn động được đặc trưng bởi những thay đổi theo thời gian. Tùy thuộc vào thời gian sử dụng, cho phép phân loại mô hình thành các tùy chọn sau:

ngắn hạn, thời hạn không quá một năm;
trung hạn, được tính trong khoảng thời gian từ một năm đến năm năm;
dài hạn, được tính trong khoảng thời gian hơn năm năm.

Tùy thuộc vào đặc thù của dự án, cho phép thực hiện các thay đổi trong quá trình sử dụng mô hình.

Theo dạng toán phụ thuộc

Cơ sở để phân loại các mô hình là dạng phụ thuộc toán học được chọn cho công việc. Họ chủ yếu sử dụng lớp mô hình tuyến tính để tính toán và phân tích. Xem xét các loại mô hình kinh tế. Việc phân loại các mô hình kiểu này giúp nghiên cứu sự thay đổi trong tiêu dùng và nhu cầu của dân cư trong trường hợp thu nhập vật chất của họ tăng lên. Ngoài ra, nó còn phân tích những thay đổi trong nhu cầu của dân cư trong trường hợp gia tăng sản lượng và đánh giá hiệu quả của việc sử dụng các nguồn lực trong một tình huống cụ thể.

Tùy thuộc vào tỷ lệ giữa các biến nội sinh và ngoại sinh được đưa vào mô hình, việc phân loại các mô hình dạng này thành hệ thống đóng và mở được áp dụng.

Bất kỳ mô hình nào cũng phải bao gồm ít nhất một biến nội sinh, và do đó rất khó tìm ra các hệ thống mở hoàn toàn. Trên thực tế, các mô hình không bao gồm các biến ngoại sinh (biến thể đóng) cũng không phổ biến. Để tạo ra một biến thể như vậy, cần phải hoàn toàn trừu tượng khỏi môi trường, cho phép làm thô một cách nghiêm trọng hệ thống kinh tế thực có các mối quan hệ bên ngoài.

Khi các thành tựu của nghiên cứu toán học và kinh tế ngày càng tăng, việc phân loại các mô hình và hệ thống trở nên phức tạp hơn nhiều. Hiện nay, các loại hỗn hợp được sử dụng, cũng như các thiết kế mô hình phức tạp. Một phân loại thống nhất của các mô hình thông tin vẫn chưa được thiết lập. Đồng thời, khoảng mười tham số có thể được ghi nhận, theo đó các loại mô hình được căn chỉnh.

Các loại mô hình

Mô hình đơn văn hoặc mô hình bằng lời nói liên quan đến việc mô tả một quá trình hoặc hiện tượng. Thường thì chúng ta đang nói về các quy tắc, một định luật, một định lý hoặc sự kết hợp của một số tham số.

Mô hình đồ họa được vẽ dưới dạng hình vẽ, bản đồ địa lý, hình ảnh. Ví dụ, mối quan hệ giữa nhu cầu của người tiêu dùng và giá thành sản phẩm có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các trục tọa độ. Biểu đồ thể hiện rõ mối quan hệ giữa hai đại lượng.

Các mô hình thực hoặc vật lý được tạo ra cho các đối tượng chưa tồn tại trong thực tế.

Mức độ tập hợp đối tượng

Có một sự phân loại các mô hình thông tin trên cơ sở này thành:

địa phương, với sự trợ giúp của việc phân tích và dự báo một số chỉ tiêu về sự phát triển của ngành được thực hiện;
về kinh tế vi mô, nhằm phân tích nghiêm túc cơ cấu sản xuất;
kinh tế vĩ mô, dựa trên nghiên cứu của nền kinh tế.

Ngoài ra còn có sự phân loại riêng về các mô hình quản lý cho các loại hình kinh tế vĩ mô. Chúng được chia thành các lựa chọn một, hai, nhiều lĩnh vực.

Tùy theo mục đích tạo và sử dụng mà phân biệt các tùy chọn sau:

xác định, có kết quả duy nhất có thể hiểu được;
ngẫu nhiên, liên quan đến kết quả xác suất.

Trong nền kinh tế hiện đại, các mô hình cân bằng được phân biệt, phản ánh yêu cầu phù hợp với cơ sở nguồn lực và ứng dụng của chúng. Chúng được viết dưới dạng các ma trận cờ vuông.

Ngoài ra còn có các loại toán kinh tế để đánh giá phương pháp thống kê toán học nào được sử dụng. Các mô hình như vậy thể hiện sự phát triển của các chỉ số chính của hệ thống kinh tế được tạo ra thông qua một xu hướng (xu hướng) dài. Họ có nhu cầu trong việc phân tích và dự báo các tình huống kinh tế nhất định gắn với thông tin thống kê thực tế.

Các mô hình tối ưu hóa giúp bạn có thể chọn phương án sản xuất, tiêu thụ hoặc phân phối tài nguyên tối ưu từ nhiều phương án thay thế (có thể có) khác nhau. Việc sử dụng các nguồn lực hạn chế trong tình huống như vậy sẽ là phương tiện hữu hiệu nhất để đạt được mục tiêu.

Giả sử sự tham gia vào dự án không chỉ của một chuyên gia mà còn của phần mềm chuyên dụng, máy tính. Cơ sở dữ liệu chuyên gia thu được nhằm giải quyết một hoặc nhiều nhiệm vụ bằng cách mô phỏng hoạt động của con người.

Mô hình mạng là một tập hợp các hoạt động và sự kiện được kết nối với nhau trong thời gian. Thông thường, một mô hình như vậy nhằm mục đích thực hiện công việc theo một trình tự sao cho đạt được thời gian tối thiểu cho dự án.

Tùy thuộc vào loại thiết bị toán học đã chọn, các mô hình được phân biệt:

ma trận;
tương quan-hồi quy;
mạng;
quản lý hàng tồn kho;
dịch vụ đại chúng.

Các giai đoạn của mô hình kinh tế và toán học

Quá trình này là có mục đích, nó tuân theo một chương trình hành động logic nhất định. Trong số các giai đoạn chính của việc tạo ra một mô hình như vậy là:

hình thành vấn đề kinh tế và phân tích định tính của nó;
phát triển một mô hình toán học;
chuẩn bị thông tin ban đầu;
giải số;
phân tích các kết quả thu được, việc sử dụng chúng.

Khi đặt ra một bài toán kinh tế, cần xác định rõ thực chất của vấn đề, lưu ý những đặc điểm, thông số quan trọng của đối tượng được mô hình hóa, phân tích mối quan hệ của các yếu tố riêng lẻ để lý giải sự phát triển và hành vi của đối tượng đang xét.

Khi phát triển một mô hình toán học, mối quan hệ giữa các phương trình, bất phương trình và hàm số được bộc lộ. Trước hết, loại mô hình được xác định, khả năng ứng dụng của nó trong một vấn đề cụ thể được phân tích, và một danh sách cụ thể các tham số và biến số được hình thành. Khi xem xét các đối tượng phức tạp, các mô hình đa chiều được xây dựng để mỗi mô hình đặc trưng cho các khía cạnh riêng lẻ của đối tượng.

Sự kết luận

Hiện tại, không có khái niệm riêng về mô hình. Việc phân loại các mô hình là có điều kiện, nhưng điều này không làm giảm mức độ liên quan của chúng.

Tính toán trạng thái ứng suất-biến dạng của dầm

Thực hiện bởi học sinh gr. 6-Sm-1 Melnikov R.V.

Người đứng đầu Semenov A.A.

St.Petersburg

Giới thiệu ………………………………………………………………………………………………………… .2

1. Phân loại mô hình toán học ………………………………………………… 3

2. Phương pháp Ritz ……………………………………………………………………………………… .. …… 5

3. Tính trạng thái ứng suất - biến dạng của dầm …………. …… .7

3.1. Tính toán bài toán đàn hồi tuyến tính cho dầm thép ……………. …… .7

3.2. Tính toán bài toán đàn hồi phi tuyến cho dầm thép ……….….… ..9

3.3. Tính toán bài toán đàn hồi tuyến tính cho dầm bê tông …………. …… .12

3.4. Tính toán bài toán dão cho dầm bê tông ………………………… .13

Kết luận ……………………………………………………………………………… .. ………………… .15

Danh sách các tài liệu đã sử dụng ……………………………………………………………… .16

Giới thiệu

Với sự ra đời của máy tính điện tử, một phương pháp mới đã được phát triển để nghiên cứu lý thuyết về các quá trình phức tạp, tức là nghiên cứu các vấn đề khoa học tự nhiên bằng phương pháp toán học tính toán.

Bản chất của thực nghiệm tính toán là biên dịch một mô hình toán học của quá trình hoặc hiện tượng đang nghiên cứu, đó là một số phương trình toán học, sau đó một thuật toán tính toán được phát triển để giải các phương trình này, một chương trình máy tính được biên soạn và các tùy chọn cụ thể cho trạng thái của đối tượng được tính toán khi các tham số bao gồm trong phương trình thay đổi. Điều đó. cơ sở để nghiên cứu các đối tượng khác nhau là việc xây dựng một mô hình toán học về hoạt động của chúng.

Mục đích của môn học là phát triển các mô hình toán học về biến dạng của các phần tử của kết cấu công trình, xây dựng phương pháp luận để nghiên cứu trạng thái ứng suất của dầm thép và bê tông.

Phân loại mô hình toán học

Mô hình toán học là một biểu diễn toán học của thực tế, một trong những biến thể của mô hình như một hệ thống, nghiên cứu về mô hình đó cho phép thu thập thông tin về một số hệ thống khác.

Quá trình xây dựng và nghiên cứu các mô hình toán học được gọi là mô hình toán học.

Các mô hình toán học có thể được phân loại theo một số tính năng chính.

1. Mô hình tĩnh và mô hình động

Một mô hình được gọi là tĩnh nếu giá trị của đầu ra phụ thuộc vào giá trị của đầu vào tại cùng một thời điểm. Trong các mô hình động, giá trị đầu ra có thể phụ thuộc vào toàn bộ quá trình đầu vào trong quá khứ. Đối với mô hình động, đối tượng nghiên cứu là sự thay đổi của đối tượng được nghiên cứu trong thời gian.

2. Mô hình xác định và xác suất.

Nếu mô hình toán học bao gồm các biến ngẫu nhiên tuân theo các quy luật thống kê, thì nó được gọi là xác suất hoặc ngẫu nhiên. Một mô hình toán học không chứa các thành phần ngẫu nhiên được gọi là xác định.

3. Mô hình rời rạc và liên tục.

Giá trị có thể có hai loại - rời rạc, tức là, lấy các giá trị riêng lẻ, cho phép đánh số tự nhiên và liên tục, lấy tất cả các giá trị từ một khoảng nhất định. Một trường hợp hỗn hợp cũng có thể xảy ra, ví dụ, khi một giá trị hoạt động như một giá trị rời rạc trên một khoảng và liên tục trên một khoảng khác. Tương tự, các mô hình toán học có thể là rời rạc, hoặc liên tục, hoặc hỗn hợp. Cần phải tính đến khả năng sử dụng các thiết bị rời rạc hoặc liên tục trong việc xây dựng mô hình toán học và phương pháp nghiên cứu mô hình đó.

4. Mô hình tuyến tính và phi tuyến tính.

Sự phụ thuộc tuyến tính của một đại lượng này vào một đại lượng khác là tỷ lệ thuận của số gia của chúng, tức là sự phụ thuộc có dạng y = ax + b, từ đó ta nhận được △ y = a △ x. Tương tự, khái niệm mô hình tuyến tính cũng được định nghĩa. Nếu mô hình được coi là một bộ chuyển đổi, mà mỗi đầu vào tương ứng với một số đầu ra. Sau đó, mô hình được gọi là tuyến tính nếu nguyên tắc chồng chất được thỏa mãn trong đó, tức là khi thêm các đầu vào, các đầu ra được cộng vào, khi nhân đầu vào với một số bất kỳ, đầu ra sẽ được nhân với cùng một số. Sử dụng nguyên tắc chồng chất, không khó, khi đã tìm ra giải pháp trong mọi trường hợp, để đưa ra giải pháp trong một tình huống tổng quát hơn. Do đó, các tính chất định tính của trường hợp chung có thể được đánh giá bằng các tính chất của trường hợp riêng - sự khác biệt giữa hai nghiệm pháp chỉ là định lượng.

Một trong những tính chất quan trọng nhất của mô hình toán học là tính phổ quát của chúng. Bản chất của nó nằm ở chỗ, các mô hình toán học giống nhau có thể mô tả các quá trình hoàn toàn khác nhau về bản chất, tức là cùng các kỹ thuật và phương pháp xây dựng và nghiên cứu các mô hình toán học phù hợp với các bài toán khác nhau.

Tuy nhiên, lời giải của những vấn đề này đòi hỏi sự tích hợp của một hệ phương trình đạo hàm riêng phức tạp và có liên quan đến những khó khăn toán học đáng kể. Do đó, khi giải một bài toán trực tiếp, các phương pháp gần đúng thường được sử dụng, ví dụ, phương pháp trực tiếp của các bài toán biến phân (phương pháp Ritz), cũng như phương pháp phần tử hữu hạn.

Phương pháp Ritz

Phương pháp Ritz là một phương pháp trực tiếp để tìm ra lời giải gần đúng cho các bài toán giá trị biên trong phép tính các biến thể.

Phương pháp này cung cấp cho việc lựa chọn một hàm kiểm tra, hàm này sẽ tối thiểu hóa một hàm nhất định, dưới dạng chồng chất của các hàm đã biết thỏa mãn các điều kiện biên. Trong trường hợp này, vấn đề được rút gọn thành việc tìm các hệ số chồng chất chưa biết. Toán tử không gian trong phương trình toán tử mô tả vấn đề giá trị biên phải là tuyến tính, đối xứng và xác định dương.

Phương pháp Ritz cho phép người ta tìm các hàm dịch chuyển chưa biết từ điều kiện nhỏ nhất của hàm tổng năng lượng biến dạng.

Hãy xem xét chức năng năng lượng:

Nó được yêu cầu để tìm mức tối thiểu của chức năng (3.1), tức là, để tìm các chức năng u(x, y), v(x, y) , w(x, y), được đưa ra trong một số lĩnh vực D= {0 ≤ x≤ một; 0 ≤ y≤ b) thỏa mãn một số điều kiện biên thuần nhất trên biên Γ, theo đó hàm (1) có giá trị nhỏ nhất. Chúng tôi sẽ tìm kiếm lời giải gần đúng của bài toán dưới dạng:

u (x, y) = u N = ,

v (x, y) = v N = ,

w (x, y) = w N = .

Để tránh hai chỉ số, chúng tôi đại diện cho các động thái như:

Đây U(Tôi), V(Tôi), W(Tôi) là các tham số số chưa biết; X 1(Tôi), X 2(Tôi), X 3(Tôi) là các hàm xấp xỉ đã biết của biến x, hài lòng tại x= 0, x= mộtđiều kiện biên cho trước; Y 1(Tôi), Y 2(Tôi), Y 3(Tôi) là các hàm xấp xỉ đã biết của biến y, hài lòng tại y= 0, y= bđiều kiện biên cho trước. Chức năng X 1(Tôi) − X 3(Tôi) , Y 1(Tôi) − Y 3(Tôi) được gọi là các hàm cơ sở.

Thay thế (2) thành (1) và tích hợp từ các hàm đã biết, chúng ta giảm hàm (1) thành hàm:

J = J (U (I), V (I), W (I)) (3)

thông số U(Tôi), V(Tôi), W(Tôi), Tôi=1,…,N.

Để hàm (3.3) có cực tiểu, các đạo hàm riêng của nó đối với các biến U(l),V(l),W(l), l=1,.., N phải biến mất:

Hệ (4) là một hệ phương trình đại số tuyến tính, có thể được giải bằng phương pháp Gauss. Giá trị thông số tìm thấy U(Tôi), V(Tôi), W(Tôi) được thay thế thành các khai triển (2) và chúng tôi thu được một giải pháp gần đúng của bài toán được đặt ra. Sự tồn tại tối thiểu của các hàm của tổng năng lượng biến dạng của các phần tử của kết cấu công trình (thanh, tấm, vỏ) đã được chứng minh.

Mô hình toán học là sự đơn giản hóa một tình huống thực tế và là một đối tượng trừu tượng, được mô tả chính thức, việc nghiên cứu nó có thể thực hiện được bằng nhiều phương pháp toán học khác nhau.

Coi như phân loại các mô hình toán học.

Các mô hình toán học được chia thành:

1. Tùy thuộc vào bản chất của các thuộc tính đối tượng được hiển thị:

· chức năng;

· cấu trúc.

Mô hình toán học chức năngđược thiết kế để hiển thị thông tin, các quá trình vật lý, thời gian xảy ra trong thiết bị vận hành, trong quá trình công nghệ, v.v.

Vì vậy, mô hình chức năng- hiển thị các quá trình hoạt động của đối tượng. Chúng thường có dạng một hệ phương trình.

Mô hình cấu trúc- Có thể có dạng ma trận, đồ thị, danh sách các vectơ và biểu thị vị trí tương đối của các phần tử trong không gian. Các mô hình này thường được sử dụng trong trường hợp các vấn đề của tổng hợp cấu trúc có thể được đặt ra và giải quyết, trừu tượng hóa các quá trình vật lý trong đối tượng. Chúng phản ánh các đặc tính cấu trúc của đối tượng được thiết kế.

Để có được một biểu diễn tĩnh của đối tượng được mô hình hóa, một nhóm các phương pháp có thể được sử dụng, được gọi là mô hình giản đồ - đây là các phương pháp phân tích, bao gồm biểu diễn bằng đồ thị về hoạt động của hệ thống. Ví dụ: lưu đồ, sơ đồ, sơ đồ hoạt động đa chức năng và lưu đồ.

2. Theo các phương pháp thu được mô hình toán học hàm số:

· lý thuyết;

· chính thức;

· theo kinh nghiệm.

Lý thuyết thu được trên cơ sở nghiên cứu các quy luật vật lý. Cấu trúc của các phương trình và các tham số của mô hình có một cách giải thích vật lý nhất định.

Chính thứcđược thu được dựa trên biểu hiện của các thuộc tính của đối tượng được mô hình hóa trong môi trường bên ngoài, tức là coi đối tượng như một "hộp đen" điều khiển học.

Cách tiếp cận lý thuyết giúp có thể thu được các mô hình phổ quát hơn, có giá trị đối với phạm vi rộng hơn của các tham số bên ngoài.

Chính thức - chính xác hơn tại điểm trong không gian tham số mà tại đó các phép đo được thực hiện.

Các mô hình toán học thực nghiệmđược tạo ra từ kết quả của các thí nghiệm (nghiên cứu các biểu hiện bên ngoài của các thuộc tính của một đối tượng bằng cách đo các thông số của nó ở đầu vào và đầu ra) và xử lý kết quả của chúng bằng phương pháp thống kê toán học.

3. Tùy thuộc vào tính tuyến tính và phi tuyến tính của các phương trình:

· tuyến tính;

· phi tuyến tính.

4. Tùy thuộc vào tập các miền và giá trị của các biến mô hình, có:

· tiếp diễn

· rời rạc (các miền định nghĩa và giá trị là liên tục);

· liên tục-rời rạc (miền xác định là liên tục và miền giá trị là rời rạc). Những mô hình này đôi khi được gọi là lượng tử hóa;

· rời rạc-liên tục (miền định nghĩa là rời rạc và miền giá trị là liên tục). Những mô hình này được gọi là rời rạc;

· điện tử (các miền của định nghĩa và giá trị là rời rạc)

5. Theo hình thức liên kết giữa các thông số đầu ra, bên trong và bên ngoài:

· thuật toán;

· phân tích;

· số.

thuật toánđược gọi là các mô hình được trình bày dưới dạng thuật toán mô tả một chuỗi các hoạt động được diễn giải rõ ràng được thực hiện để thu được kết quả mong muốn.

Mô hình toán học thuật toán thể hiện mối quan hệ giữa các tham số đầu ra với các tham số đầu vào và bên trong dưới dạng một thuật toán.

Các mô hình toán học giải tích như một mô tả chính thức hóa của một đối tượng (hiện tượng, quá trình) được gọi là một biểu thức toán học rõ ràng của các tham số đầu ra dưới dạng hàm của tham số đầu vào và tham số bên trong.

Mô hình phân tích dựa trên mô tả gián tiếp về đối tượng được mô hình hóa bằng cách sử dụng một tập hợp các công thức toán học. Ngôn ngữ mô tả phân tích chứa các nhóm yếu tố ngữ nghĩa chính sau: tiêu chí (tiêu chí), ẩn số, dữ liệu, phép toán, hạn chế. Đặc điểm quan trọng nhất của các mô hình phân tích là mô hình không tương đồng về cấu trúc với đối tượng được mô hình hóa. Sự tương đồng về cấu trúc ở đây có nghĩa là sự tương ứng 1-1 giữa các phần tử và liên kết của mô hình với các phần tử và liên kết của đối tượng được mô hình hóa. Mô hình phân tích bao gồm các mô hình được xây dựng trên cơ sở bộ máy lập trình toán học, phân tích tương quan, hồi quy. Mô hình phân tích luôn là một cấu trúc có thể được phân tích và giải quyết bằng toán học. Vì vậy, nếu sử dụng bộ máy lập trình toán học, thì mô hình về cơ bản bao gồm một hàm mục tiêu và một hệ thống các hạn chế về các biến. Hàm mục tiêu, với tư cách là một quy luật, thể hiện đặc tính của đối tượng (hệ thống) cần được tính toán hoặc tối ưu hóa. Đặc biệt, nó có thể là hiệu suất của hệ thống công nghệ. Các biến thể hiện các đặc tính kỹ thuật của đối tượng (hệ thống), bao gồm các biến số, các hạn chế - giá trị giới hạn cho phép của chúng.

Mô hình phân tích là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các vấn đề về tối ưu hóa các quá trình xảy ra trong hệ thống công nghệ, cũng như tối ưu hóa và tính toán các đặc tính của chính hệ thống công nghệ.

Một điểm quan trọng là kích thước của một mô hình phân tích cụ thể. Thông thường, đối với các hệ thống công nghệ thực (dây chuyền tự động, hệ thống sản xuất linh hoạt), kích thước của các mô hình phân tích của chúng rất lớn nên việc thu được giải pháp tối ưu trở nên rất khó khăn theo quan điểm tính toán. Để cải thiện hiệu quả tính toán trong trường hợp này, các kỹ thuật khác nhau được sử dụng. Một trong số đó là liên quan đến việc chia bài toán có chiều cao thành các bài toán con có chiều nhỏ hơn để các bài toán con có lời giải theo một trình tự nhất định đưa ra lời giải cho bài toán chính. Trong trường hợp này, các vấn đề nảy sinh trong việc tổ chức sự tương tác của các nhiệm vụ con, không phải lúc nào cũng đơn giản. Một kỹ thuật khác liên quan đến việc giảm độ chính xác của các phép tính, do đó có thể giảm thời gian giải bài toán.

Mô hình phân tích có thể được khảo sát bằng các phương pháp sau:

· phân tích, khi họ tìm cách thu được ở dạng tổng quát các phụ thuộc cho các đặc tính mong muốn;

· số, khi họ tìm cách thu được kết quả số với dữ liệu ban đầu cụ thể;

· định tính, khi, có các giải pháp ở dạng tường minh, bạn có thể tìm thấy một số tính chất của giải pháp (ước tính độ ổn định của giải pháp).

Tuy nhiên, mô hình phân tích cho kết quả tốt trong trường hợp hệ thống khá đơn giản. Trong trường hợp hệ thống phức tạp, cần phải đơn giản hóa đáng kể mô hình ban đầu để nghiên cứu ít nhất các thuộc tính chung của hệ thống. Điều này cho phép bạn nhận được kết quả gần đúng và để xác định các ước tính chính xác hơn, hãy sử dụng các phương pháp khác, ví dụ: mô hình hóa mô phỏng.

Mô hình sốđược đặc trưng bởi sự phụ thuộc của dạng như vậy cho phép chỉ các giải pháp thu được bằng phương pháp số đối với các điều kiện ban đầu cụ thể và các tham số định lượng của mô hình.

6. Tùy thuộc vào việc các phương trình mô hình có tính đến quán tính của các quá trình trong đối tượng hay không tính đến:

· năng động hoặc mô hình quán tính(được viết dưới dạng phương trình vi phân hoặc tích phân hoặc hệ phương trình) ;

· tĩnh hoặc mô hình phi quán tính(viết dưới dạng phương trình đại số hoặc hệ phương trình đại số).

7. Tùy thuộc vào sự hiện diện hoặc không có độ không đảm bảo và loại độ không đảm bảo, các mô hình là:

· xác định e (không có bất trắc);

· ngẫu nhiên (có sự không chắc chắn dưới dạng các biến ngẫu nhiên hoặc các quá trình được mô tả bằng phương pháp thống kê dưới dạng luật hoặc hàm phân phối, cũng như các đặc trưng số);

· mờ (để mô tả độ không đảm bảo, bộ máy của lý thuyết tập mờ được sử dụng);

· kết hợp (có sự không chắc chắn của cả hai loại).

Trong trường hợp tổng quát, loại mô hình toán học không chỉ phụ thuộc vào bản chất của đối tượng thực, mà còn phụ thuộc vào các nhiệm vụ mà nó được tạo ra và độ chính xác cần thiết của giải pháp của chúng.

Các loại mô hình chính được trình bày trong Hình 2.5.

Hãy xem xét một phân loại khác của các mô hình toán học. Sự phân loại này dựa trên khái niệm về khả năng kiểm soát của đối tượng kiểm soát. Theo điều kiện, chúng tôi sẽ chia tất cả MMs thành bốn nhóm.1. Các mô hình dự báo (mô hình tính toán không điều khiển). Chúng có thể được chia thành tĩnh và năng động Mục đích chính của các mô hình này: biết trạng thái ban đầu và thông tin về hành vi ở ranh giới, để đưa ra dự đoán về hành vi của hệ thống theo thời gian và không gian. Các mô hình như vậy cũng có thể là ngẫu nhiên. Theo quy luật, các mô hình dự báo được mô tả bằng các phương trình và bất phương trình đại số, siêu nghiệm, vi phân, tích phân, tích phân-vi phân. Ví dụ như các mô hình phân bố nhiệt, điện trường, động học hóa học, thủy động lực học, khí động học, v.v. 2. Các mô hình tối ưu hóa. Các mô hình này cũng có thể được chia thành tĩnh và năng động. Mô hình tĩnh được sử dụng ở cấp độ thiết kế của các hệ thống công nghệ khác nhau. Năng động - cả ở cấp độ thiết kế và chủ yếu là để kiểm soát tối ưu các quá trình khác nhau - công nghệ, kinh tế, v.v. Có hai hướng trong các bài toán tối ưu hóa. Cái đầu tiên bao gồm nhiệm vụ xác định. Tất cả thông tin đầu vào trong chúng hoàn toàn có thể xác định được. Hướng thứ hai đề cập đến Các quy trình ngẫu nhiên. Trong các nhiệm vụ này, một số tham số là ngẫu nhiên hoặc chứa yếu tố không chắc chắn. Ví dụ, nhiều bài toán tối ưu hóa cho các thiết bị tự động chứa các tham số ở dạng nhiễu ngẫu nhiên với một số đặc tính xác suất. Các bài toán lập trình toán học là một trong những bài toán tối ưu hóa quan trọng. Trong lập trình toán học, các phần chính sau đây được phân biệt.· Lập trình tuyến tính . Hàm mục tiêu là tuyến tính và tập hợp cực trị của hàm mục tiêu được cho bởi một hệ thống bất đẳng thức và bất đẳng thức tuyến tính.· Lập trình phi tuyến . Hàm mục tiêu là các ràng buộc phi tuyến tính và phi tuyến tính.· Lập trình lồi . Hàm mục tiêu là một tập lồi và tập lồi mà trên đó bài toán cực trị được giải quyết.· Lập trình bậc hai . Hàm mục tiêu là bậc hai và các ràng buộc là tuyến tính.· Các bài toán đa cực. Các vấn đề trong đó hàm mục tiêu có một số cực trị cục bộ. Những nhiệm vụ như vậy dường như rất có vấn đề.· Lập trình số nguyên. Trong các bài toán như vậy, các điều kiện số nguyên được áp đặt cho các biến.

Cơm. 4.8. Phân loại mô hình toán học

Theo quy luật, các phương pháp phân tích cổ điển để tìm cực trị của một hàm một số biến không thể áp dụng cho các bài toán lập trình toán học. Mô hình của lý thuyết điều khiển tối ưu là một trong những mô hình quan trọng nhất trong các mô hình tối ưu hóa. Lý thuyết toán học về điều khiển tối ưu là một trong những lý thuyết có ứng dụng thực tế quan trọng, chủ yếu để điều khiển tối ưu các quá trình. Có ba loại mô hình toán học của lý thuyết điều khiển tối ưu.· Các mô hình điều khiển tối ưu rời rạc. Theo truyền thống, các mô hình như vậy được gọi là mô hình lập trình động, vì phương pháp chính để giải quyết các vấn đề đó là phương pháp lập trình động Bellman.· Các mô hình liên tục của điều khiển tối ưu hệ thống với các tham số gộp (được mô tả bằng các phương trình trong đạo hàm thông thường).· Các mô hình liên tục của điều khiển tối ưu cho hệ thống có tham số phân tán (được mô tả bằng phương trình đạo hàm riêng).3. Mô hình điều khiển từ (game). Mô hình điều khiển từ tính được sử dụng để phân tích các tình huống xung đột. Giả định rằng quá trình động được xác định bởi một số đối tượng có một số tham số kiểm soát theo ý của họ. Cả một nhóm đối tượng với lợi ích riêng của họ đều gắn liền với hệ thống điều khiển học. 4. Mô phỏng . Các loại mô hình trên không bao gồm một số lượng lớn các tình huống khác nhau, như vậy có thể được chính thức hóa đầy đủ. Để nghiên cứu các quá trình như vậy, cần phải đưa một liên kết “sinh học” đang hoạt động, một con người, vào mô hình toán học. Trong những tình huống như vậy, mô phỏng được sử dụng, cũng như các phương pháp chuyên môn và thủ tục thông tin.

Mô hình hóa, các khái niệm chung

Nhiệm vụ của mô hình hóa là nghiên cứu các đối tượng hoặc quá trình phức tạp trên các mô hình vật lý hoặc toán học của chúng. Mục đích của việc lập mô hình là tìm ra giải pháp kỹ thuật tối ưu (tốt nhất theo một số tiêu chí). Các loại mô hình:

Ø vật lý;

Ø toán học;

Ø đồ họa (hình học).

Khi mô hình hóa, các thuộc tính quan trọng nhất của hệ thống đang nghiên cứu được thay thế bằng các tính chất chặt chẽ, nhưng được đơn giản hóa liên quan đến hiện tượng tự nhiên ban đầu, các công thức khoa học - mô hình. Mô hình cung cấp khả năng mô tả và dự đoán chính xác hành vi của hệ thống, nhưng chỉ trong một lĩnh vực ứng dụng hạn chế nghiêm ngặt - cho đến nay, những đơn giản hóa ban đầu trên cơ sở mà mô hình được xây dựng là có giá trị.

Ví dụ, khi mô phỏng hành trình bay của một vệ tinh quanh Trái đất, các bức tường của nó có thể được coi là hoàn toàn vững chắc, và khi mô phỏng một vụ va chạm của cùng một vệ tinh với một vi thiên thạch, thậm chí sắt siêu cứng có thể được mô tả với độ chính xác rất cao như một chất lỏng không nén được lý tưởng. . Đây là đặc điểm nghịch lý của mô hình hóa - tính chính xác của nó, được đưa vào cuộc sống bởi về cơ bản là không chính xác, về bản chất gần đúng của nó, chỉ phù hợp trong một lĩnh vực hiện tượng nhất định, mô hình của một hệ thống thực.

Các quá trình hoạt động và cấu trúc của hệ thống có thể được mô tả bằng mô hình toán học. Mô hình toán học là quá trình tạo ra một mô hình toán học và tác động lên nó để thu được thông tin về một hệ thống thực. Mô hình toán học là một tập hợp các đối tượng toán học và các mối quan hệ giữa chúng phản ánh đầy đủ các thuộc tính quan trọng nhất của hệ thống. Đối tượng toán học - số, biến, ma trận, v.v. Kết nối giữa các đối tượng toán học - phương trình, bất phương trình, v.v. Bất kỳ tính toán khoa học và kỹ thuật nào đều là các loại mô hình toán học chuyên biệt.

Hệ thống là một tập hợp các yếu tố được kết nối tự nhiên với nhau, tạo thành một thể thống nhất, chỉ ra các mối liên kết giữa chúng và mục đích hoạt động. Các thuộc tính của một hệ thống khác với tổng các thuộc tính của các phần tử của nó. Ví dụ: Máy ¹ å (bộ phận + cụm); Con người ¹ å (não + gan + cột sống).

Phân loại mô hình toán học

Theo phương pháp phân tích, mô hình toán học được chia thành phân tích, thuật toán và mô phỏng.

Các mô hình phân tích có thể là:

1) định tính, khi bản chất của sự phụ thuộc của các tham số đầu ra vào các tham số đầu vào, sự tồn tại của giải pháp, v.v. được xác định. Ví dụ, lực cắt có tăng hay giảm khi tốc độ tăng không, có thể chuyển động với tốc độ lớn hơn tốc độ ánh sáng không, v.v. Việc xây dựng một mô hình như vậy là một bước cần thiết trong quá trình nghiên cứu một hệ thống phức tạp.

2) mô hình đếm (phân tích) là các mối quan hệ toán học rõ ràng giữa các đặc tính đầu vào, bên trong và đầu ra của hệ thống. Các mô hình như vậy luôn được ưu tiên sử dụng, vì chúng hiệu quả nhất trong việc phân tích các quy luật hoạt động của hệ thống, tối ưu hóa, v.v. Thật không may, không phải lúc nào cũng có thể lấy được chúng và chỉ với sự đơn giản hóa đáng kể của hệ thống đang nghiên cứu. Ngoài các mô hình tính toán (phân tích) được xây dựng trên cơ sở tìm hiểu các quá trình xảy ra trong hệ thống, đây cũng có thể là các mô hình được xây dựng trên cơ sở phân tích kết quả của các thí nghiệm bằng “hộp đen”. Một ví dụ là sự phụ thuộc của lực cắt vào tốc độ, tiến dao và độ sâu của vết cắt.

3) số, khi các giá trị số của các tham số đầu ra thu được đối với các giá trị đầu vào đã cho. Một ví dụ là tính toán phần tử hữu hạn. Các mô hình số là phổ quát, nhưng chúng chỉ cho kết quả một phần, từ đó khó đưa ra kết luận tổng quát.

Mô hình thuật toán được trình bày dưới dạng một thuật toán tính toán. Không giống như các mô hình phân tích, tiến độ tính toán phụ thuộc vào các kết quả trung gian.

Mô hình hóa mô phỏng dựa trên mô tả trực tiếp của đối tượng được mô hình hóa. Khi xây dựng mô hình mô phỏng, họ mô tả các quy luật hoạt động của từng phần tử một cách riêng biệt và mối quan hệ giữa chúng. Không giống như phân tích, nó được đặc trưng bởi sự giống nhau về cấu trúc giữa đối tượng và mô hình. Thông thường, mô hình mô phỏng được sử dụng trong nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên phức tạp. Ví dụ: các khoảng trống được đưa vào đầu vào của mô hình đường tự động (AL), các kích thước của chúng có sự chênh lệch ngẫu nhiên. Đồng thời, mô hình gia công trên mỗi máy AL nhạy cảm với kích thước thực tế của phôi. Sau khi "xử lý" ảo hàng trăm nghìn khoảng trống, có thể tìm thấy sự kết hợp của các trường hợp mà AL sẽ dừng lại và tránh nó ngay cả trong quá trình thiết kế.

Theo bản chất của hoạt động và loại tham số hệ thống, các mô hình toán học cũng được chia thành

liên tục và rời rạc;

tĩnh và động;

xác định và ngẫu nhiên (xác suất).

Trong các hệ thống liên tục, các tham số thay đổi dần dần, trong các hệ thống rời rạc - đột ngột, bốc đồng. Ví dụ, trong mô hình của một công cụ tiện, sự mài mòn liên tục gia tăng và việc gãy (sứt mẻ miếng chèn) xảy ra ngay lập tức - một cách riêng lẻ.

Trong mô hình tĩnh, tất cả các tham số đưa vào mô hình có giá trị không đổi, và các tham số tính toán ở đầu ra của hệ thống thay đổi đồng thời với sự thay đổi của các tham số ở đầu vào. Các mô hình như vậy mô tả các hệ thống có quá độ phân rã nhanh chóng.

Mô hình động có tính đến quán tính của hệ thống. Kết quả là, sự thay đổi trong tham số đầu ra chậm hơn sự thay đổi trong đầu vào. Các mô hình như vậy mô tả chính xác hơn hệ thống thực, nhưng khó thực hiện hơn.

Đầu ra của các hệ thống xác định được xác định duy nhất bởi đầu vào và trạng thái hiện tại của chúng. Các thay đổi ngẫu nhiên có thể xảy ra trong các tham số hệ thống hoặc các tham số đầu vào bị bỏ qua. Ngược lại, trong các hệ ngẫu nhiên, tính chất xác suất của sự thay đổi các tham số của hệ, vốn nhận các giá trị ngẫu nhiên phù hợp với một số luật phân phối, được tính đến.