Các mô hình toán học của nhiều tín hiệu được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật vô tuyến không thỏa mãn điều kiện tích phân tuyệt đối, vì vậy phương pháp biến đổi Fourier ở dạng thông thường không thể áp dụng cho chúng. Tuy nhiên, như đã được chỉ ra, người ta có thể nói về mật độ quang phổ của những tín hiệu như vậy, nếu chúng ta giả định rằng những mật độ này được mô tả bằng các hàm tổng quát.

Công thức Rayleigh tổng quát. Hãy để chúng tôi chứng minh một tuyên bố phụ trợ quan trọng liên quan đến các đặc tính phổ của tín hiệu.

Để hai tín hiệu trong trường hợp tổng quát có giá trị phức, được xác định bằng các phép biến đổi Fourier nghịch đảo của chúng:

Hãy tìm tích vô hướng của những tín hiệu này, biểu thị một trong số chúng, chẳng hạn, thông qua mật độ quang phổ của nó:

Ở đây, tích phân bên trong rõ ràng là mật độ phổ của tín hiệu. Cho nên

Quan hệ kết quả là một công thức Rayleigh tổng quát. Một cách giải thích dễ nhớ của công thức này như sau: tích vô hướng của hai tín hiệu, tính đến một hệ số, tỷ lệ với tích vô hướng của mật độ quang phổ của chúng.

Đại cương về khái niệm mật độ quang phổ.

Chúng tôi giả định rằng tín hiệu là một hàm hoàn toàn có thể tích hợp được. Khi đó biến đổi Fourier của nó là hàm tần số cổ điển thông thường. Cùng với điều này, tín hiệu không thỏa mãn điều kiện tích phân tuyệt đối và phép biến đổi Fourier không tồn tại theo nghĩa cổ điển thông thường. Tuy nhiên, người ta có thể mở rộng khái niệm mật độ quang phổ bằng cách giả định rằng nó là một hàm tổng quát theo nghĩa được thiết lập trong § 1.2. Để làm điều này, phù hợp với công thức Rayleigh tổng quát, đủ để giả sử rằng đó là một hàm, hoạt động trên một hàm đã biết, cho kết quả sau:

Nên xem xét các phương pháp tính toán phổ của các tín hiệu không tích hợp bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể.

Mật độ phổ của một tín hiệu không đổi theo thời gian. Tín hiệu không thể tích hợp đơn giản nhất là một giá trị không đổi và. Giả sử đó là một tín hiệu có thể tích hợp hoàn toàn thực tùy ý với mật độ phổ đã biết

Mở rộng công thức (2.43), chúng ta có

Nhưng, dễ dàng nhận thấy,

Do đó, dựa trên thuộc tính lọc của hàm delta, chúng tôi kết luận rằng đẳng thức (2.43) chỉ có thể thực hiện được với điều kiện

Ý nghĩa vật lý của kết quả thu được là rất rõ ràng - một tín hiệu bất biến theo thời gian có thành phần phổ chỉ ở tần số không.

Mật độ phổ của một tín hiệu hàm mũ phức.

Giả sử là một tín hiệu hàm mũ phức với tần số thực cho trước. Tín hiệu này không hoàn toàn có thể tích phân được, vì hàm s (t) không có xu hướng đến bất kỳ giới hạn nào tại. Biến đổi Fourier của tín hiệu này, được xem xét theo nghĩa tổng quát, phải thỏa mãn mối quan hệ

Do đó, mật độ phổ mong muốn S (co), được biểu thị như sau:

Lưu ý những điều dưới đây:

1. Mật độ phổ của một tín hiệu hàm mũ phức bằng 0 ở mọi nơi, ngoại trừ điểm tại đó nó có điểm kỳ dị delta.

2. Phổ của tín hiệu này là không đối xứng về điểm và tập trung trong vùng của tần số dương hoặc âm.

Mật độ quang phổ của dao động điều hòa. Hãy để Theo công thức Euler

Phổ của tín hiệu hàm mũ phức được tìm thấy ở trên, cũng như tính chất tuyến tính của phép biến đổi Fourier, cho phép chúng ta viết ngay biểu thức cho mật độ phổ của tín hiệu cosin:

Người đọc có thể dễ dàng tự kiểm tra xem đối với một tín hiệu hình sin, mối quan hệ

Cần lưu ý rằng biểu thức (2.46) là một hàm chẵn và biểu thức (2.47) là một hàm số lẻ của tần số.

Mật độ phổ của một tín hiệu tuần hoàn tùy ý.

Trước đây, các tín hiệu tuần hoàn được nghiên cứu bằng các phương pháp của lý thuyết chuỗi Fourier. Bây giờ bạn có thể mở rộng hiểu biết của mình về các đặc tính quang phổ của chúng bằng cách mô tả các tín hiệu tuần hoàn bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier.

Một tín hiệu tuần hoàn được cung cấp bởi chuỗi Fourier của nó ở dạng phức tạp. Dựa trên công thức (2.45), có tính đến đặc tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, chúng ta ngay lập tức thu được biểu thức cho mật độ phổ của một tín hiệu như vậy:

Biểu đồ mật độ phổ tương ứng trong cấu hình của nó lặp lại biểu đồ phổ thông thường của một tín hiệu tuần hoàn. Đồ thị được hình thành bởi các xung delta trong miền tần số, được đặt tại các điểm có tọa độ

Mật độ phổ của hàm chuyển mạch.

Hãy để chúng tôi tính toán mật độ phổ của hàm bao gồm, để đơn giản, chúng tôi xác định tại tất cả các điểm, ngoại trừ điểm t = 0 [x. với (1.2)]:

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng chức năng bật tắt có được bằng cách chuyển đến giới hạn từ xung video theo cấp số nhân:

Do đó, người ta có thể cố gắng thu được mật độ phổ của hàm bao gồm bằng cách chuyển đến giới hạn a - 0 trong công thức cho mật độ phổ của một dao động hàm mũ:

Sự chuyển đổi trực tiếp đến giới hạn, theo đó là hợp lệ ở tất cả các tần số, ngoại trừ giá trị của, khi cần xem xét cẩn thận hơn.

Trước hết, chúng tôi tách phần thực và phần ảo trong mật độ phổ của tín hiệu hàm mũ:

Có thể xác minh rằng

Thật vậy, giá trị giới hạn của phân số này biến mất đối với bất kỳ, đồng thời

không phụ thuộc vào giá trị của a, từ đó khẳng định sau.

Vì vậy, chúng tôi đã thu được sự tương ứng 1-1 giữa hàm bao gồm và mật độ phổ của nó:

Điểm kỳ dị delta tại chỉ ra rằng hàm bật có thành phần không đổi bằng 1/2.

Mật độ phổ của một xung vô tuyến.

Như đã biết, một xung vô tuyến được cho là sản phẩm của một số xung video, đóng vai trò của một đường bao và một dao động điều hòa không tích hợp:.

Để tìm mật độ phổ của xung vô tuyến, chúng ta giả sử rằng một hàm đã biết là phổ của đường bao của nó. Phổ của tín hiệu cosin có pha ban đầu tùy ý thu được bằng công thức tổng quát cơ bản (2.46):

Phổ của một xung vô tuyến là một tích chập

Có tính đến thuộc tính lọc của hàm delta, chúng tôi thu được một kết quả quan trọng:

Cơm. 2.8 minh họa sự biến đổi phổ của xung video khi nó được nhân với tín hiệu hài tần số cao.

Cơm. 2.8. Tần số phụ thuộc vào môđun của mật độ phổ: a - xung video; b - xung vô tuyến

Có thể thấy rằng sự chuyển đổi từ xung video sang xung vô tuyến trong phương pháp tiếp cận phổ có nghĩa là chuyển phổ xung video sang vùng tần số cao - thay vì một mật độ quang phổ duy nhất tại, hai cực đại được quan sát tại, các giá trị tuyệt đối của cực đại giảm đi một nửa.

Lưu ý rằng các đồ thị trong Hình. 2,8 tương ứng với các tình huống mà tần số vượt quá đáng kể độ rộng hiệu dụng của phổ xung video (đây là trường hợp thường được thực hiện trong thực tế). Trong trường hợp này, không có sự "chồng chéo" nào đáng chú ý của các phổ tương ứng với tần số âm và dương. Tuy nhiên, có thể do băng thông của phổ xung video quá lớn (đối với một xung ngắn) nên giá trị tần số đã chọn không loại bỏ được hiệu ứng "chồng chéo". Do đó, các cấu hình của phổ của xung video và xung vô tuyến không còn giống nhau.

Ví dụ 2.3. Mật độ phổ của một xung vô tuyến hình chữ nhật.

Để đơn giản, chúng ta đặt pha ban đầu bằng 0 và viết mô hình toán học của xung vô tuyến dưới dạng

Biết phổ của xung video tương ứng [xem công thức (2.20)], dựa trên (2.50), chúng tôi tìm thấy phổ yêu cầu:

Trên hình. 2.9 cho thấy kết quả tính toán mật độ quang phổ sử dụng công thức (2.51) cho hai trường hợp đặc trưng,

Trong trường hợp đầu tiên (Hình 2.9, a), xung phong bì chứa 10 chu kỳ làm đầy tần số cao, tần số ở đây đủ cao để tránh "chồng chéo". Trong trường hợp thứ hai (Hình 2.9, b), xung vô tuyến chỉ bao gồm một chu kỳ làm đầy. Sự chồng chất của các thành phần tương ứng với các vùng của tần số dương và âm dẫn đến sự không đối xứng đặc trưng của cấu trúc cánh hoa của biểu đồ mật độ phổ của xung vô tuyến.

Cơm. 2.9. Đồ thị các mật độ quang phổ của xung vô tuyến có đường bao hình chữ nhật: a - at; con dơi

Trong kỹ thuật vô tuyến thống kê và vật lý, khi nghiên cứu các tín hiệu xác định và các quá trình ngẫu nhiên, biểu diễn phổ của chúng dưới dạng mật độ phổ, dựa trên phép biến đổi Fourier, được sử dụng rộng rãi.

Nếu quá trình có năng lượng hữu hạn và có thể tích phân bậc hai (và đây là quá trình không đứng yên), thì đối với một lần thực hiện quá trình, biến đổi Fourier có thể được định nghĩa là một hàm phức ngẫu nhiên của tần số:

X (f) = ∫ - ∞ ∞ x (t) e - i 2 π f t d t. (\ displaystyle X (f) = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (\ infty) x (t) e ^ (- i2 \ pi ft) dt.)

(1)

Tuy nhiên, nó hóa ra gần như vô dụng để mô tả quần thể. Cách giải quyết tình huống này là loại bỏ một số tham số của phổ, cụ thể là phổ của các pha và xây dựng một hàm đặc trưng cho sự phân bố năng lượng của quá trình dọc theo trục tần số. Sau đó, theo định lý Parseval, năng lượng

E x = ∫ - ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ - ∞ ∞ | X (f) | 2 ngày f. (\ displaystyle E_ (x) = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (\ infty) | x (t) | ^ (2) dt = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (\ infty) | X (f) | ^ (2) df.)

(2)

Hàm số S x (f) = | X (f) | 2 (\ displaystyle S_ (x) (f) = | X (f) | ^ (2)) do đó đặc trưng cho sự phân bố của năng lượng hiện thực dọc theo trục tần số và được gọi là mật độ phổ của hiện thực. Bằng cách lấy trung bình của hàm này trên tất cả các lần thực hiện, người ta có thể thu được mật độ phổ của quá trình.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một quá trình ngẫu nhiên tập trung đứng yên x (t) (\ displaystyle x (t)), mà các thực nghiệm có năng lượng vô hạn với xác suất 1 và do đó, không có phép biến đổi Fourier. Mật độ phổ công suất của một quá trình như vậy có thể được tìm thấy dựa trên định lý Wiener-Khinchin dưới dạng biến đổi Fourier của hàm tương quan:

S x (f) = ∫ - ∞ ∞ k x (τ) e - i 2 π f τ d τ. (\ displaystyle S_ (x) (f) = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (\ infty) k_ (x) (\ tau) e ^ (- i2 \ pi f \ tau) d \ tau.)

(3)

Nếu có một phép biến đổi trực tiếp, thì cũng có một phép biến đổi Fourier ngược, nó xác định từ k x (τ) (\ displaystyle k_ (x) (\ tau)):

k x (τ) = ∫ - ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f. (\ displaystyle k_ (x) (\ tau) = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (\ infty) S_ (x) (f) e ^ (i2 \ pi f \ tau) df.)

(4)

Nếu chúng ta giả sử trong công thức (3) và (4), f = 0 (\ displaystyle f = 0) và τ = 0 (\ displaystyle \ tau = 0), chúng ta có

S x (0) = ∫ - ∞ ∞ k x (τ) d τ, (\ displaystyle S_ (x) (0) = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (\ infty) k_ (x) (\ tau ) d \ tau,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ - ∞ ∞ S x (f) d f. (\ displaystyle \ sigma _ (x) ^ (2) = k_ (x) (0) = \ int \ limit _ (- \ infty) ^ (\ infty) S_ (x) (f) df.)

(6)

Công thức (6), có tính đến (2), cho thấy rằng phương sai xác định tổng năng lượng của một quá trình ngẫu nhiên đứng yên, bằng diện tích dưới đường cong mật độ phổ. Giá trị thứ nguyên S x (f) d f (\ displaystyle S_ (x) (f) df) có thể được hiểu là phần năng lượng tập trung trong một dải tần số nhỏ từ f - d f / 2 (\ displaystyle f-df / 2) trước f + d f / 2 (\ displaystyle f + df / 2). Nếu hiểu bởi x (t) (\ displaystyle x (t)) dòng điện hoặc điện áp ngẫu nhiên (dao động), sau đó là giá trị S x (f) (\ displaystyle S_ (x) (f)) sẽ có thứ nguyên của năng lượng [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Cho nên S x (f) (\ displaystyle S_ (x) (f))đôi khi được gọi quang phổ năng lượng. Bạn thường có thể tìm thấy một cách giải thích khác trong tài liệu: σ x 2 (\ displaystyle \ sigma _ (x) ^ (2))- được coi là công suất trung bình do dòng điện hoặc điện áp giải phóng ở điện trở 1 ohm. Đồng thời, giá trị S x (f) (\ displaystyle S_ (x) (f)) triệu tập năng lượng quang phổ quá trình ngẫu nhiên.

Thuộc tính mật độ phổ

• Phổ năng lượng của một quá trình tĩnh (thực hoặc phức) là một giá trị không âm:

S x (f) ≥ 0 (\ displaystyle S_ (x) (f) \ geq 0).

(7)

• Phổ năng lượng của một vật đứng yên thực theo nghĩa rộng của một quá trình ngẫu nhiên là một hàm số thực và đều của tần số:

S x (- f) = S x (f) (\ displaystyle S_ (x) (- f) = S_ (x) (f)).

(8)

1. Tín hiệu và quang phổ. Cơ sở lý thuyết của truyền thông kỹ thuật số

1. Tín hiệu và quang phổ

1.1. Xử lý tín hiệu trong truyền thông kỹ thuật số

1.1.1. Tại sao lại là "kỹ thuật số"

Tại sao "số" được sử dụng trong các hệ thống thông tin liên lạc quân sự và thương mại? Có rất nhiều lý do. Ưu điểm chính của phương pháp này là dễ dàng tái tạo lại tín hiệu kỹ thuật số so với tín hiệu tương tự. Xem xét Hình. 1.1, cho thấy một xung kỹ thuật số nhị phân lý tưởng lan truyền qua một kênh dữ liệu. Hai cơ chế chính ảnh hưởng đến dạng sóng: (1) do tất cả các kênh và đường truyền có đáp tuyến tần số không lý tưởng, xung lý tưởng bị bóp méo; và (2) nhiễu điện không mong muốn hoặc nhiễu bên ngoài khác làm biến dạng thêm dạng sóng. Kênh càng dài, các cơ chế này càng làm biến dạng xung đáng kể (Hình 1.1). Trong khi xung đã truyền vẫn có thể được phát hiện một cách đáng tin cậy (trước khi nó suy giảm đến trạng thái không rõ ràng), xung được khuếch đại bởi bộ khuếch đại kỹ thuật số, khôi phục lại hình dạng lý tưởng ban đầu của nó. Động lượng được "tái sinh" hoặc phục hồi. Các bộ lặp tái tạo nằm trong kênh liên lạc ở một khoảng cách nhất định với nhau có nhiệm vụ khôi phục tín hiệu.

Các kênh kỹ thuật số ít bị biến dạng và nhiễu hơn các kênh tương tự. Bởi vì các kênh kỹ thuật số nhị phân chỉ cho tín hiệu có ý nghĩa khi hoạt động ở một trong hai trạng thái — bật hoặc tắt — nhiễu phải đủ lớn để di chuyển điểm hoạt động của kênh từ trạng thái này sang trạng thái khác. Chỉ có hai trạng thái tạo điều kiện thuận lợi cho việc khôi phục tín hiệu và do đó ngăn ngừa sự tích tụ của tiếng ồn hoặc các nhiễu khác trong quá trình truyền. Mặt khác, tín hiệu tương tự không phải là tín hiệu hai trạng thái; họ có thể lấy một số vô hạn các hình thức. Trong các kênh tương tự, ngay cả một nhiễu loạn nhỏ cũng có thể làm sai lệch tín hiệu một cách khó nhận biết. Một khi tín hiệu tương tự đã bị méo, nhiễu không thể được loại bỏ bằng cách khuếch đại. Vì sự tích tụ tiếng ồn có liên kết chặt chẽ với các tín hiệu tương tự, do đó, chúng không thể được tái tạo một cách hoàn hảo. Với công nghệ kỹ thuật số, tỷ lệ lỗi rất thấp cộng với việc áp dụng các quy trình phát hiện và sửa lỗi giúp tín hiệu có độ trung thực cao. Chỉ cần lưu ý rằng các quy trình như vậy không khả dụng với các công nghệ tương tự.

Hình.1.1. Biến dạng và phục hồi động lượng

Có những lợi thế quan trọng khác của truyền thông kỹ thuật số. Các kênh kỹ thuật số đáng tin cậy hơn và có thể được sản xuất với giá thấp hơn các kênh tương tự. Ngoài ra, phần mềm kỹ thuật số cho phép nhiều hơn thực hiện linh hoạt hơn tương tự (ví dụ: bộ vi xử lý, chuyển mạch kỹ thuật số và mạch tích hợp quy mô lớn (LSI)). Việc sử dụng tín hiệu kỹ thuật số và ghép kênh phân chia theo thời gian (TDM) đơn giản hơn so với tín hiệu tương tự và ghép kênh phân chia theo tần số (FDM). Trong truyền dẫn và chuyển mạch, các dạng tín hiệu số khác nhau (dữ liệu, điện báo, điện thoại, truyền hình) có thể được coi là giống hệt nhau: xét cho cùng, một bit là một bit. Ngoài ra, để dễ dàng chuyển đổi và xử lý, các thông điệp kỹ thuật số có thể được nhóm lại thành các đơn vị tự trị gọi là gói tin. Công nghệ kỹ thuật số kết hợp một cách tự nhiên các tính năng bảo vệ chống nhiễu và triệt tiêu tín hiệu hoặc cung cấp mã hóa hoặc quyền riêng tư. (Các công nghệ như vậy được thảo luận trong Chương 12 và 14.) Ngoài ra, giao tiếp chủ yếu là giữa hai máy tính, hoặc giữa máy tính và các thiết bị kỹ thuật số hoặc một thiết bị đầu cuối. Các thiết bị đầu cuối kỹ thuật số như vậy được các kênh truyền thông kỹ thuật số phục vụ tốt hơn (và tự nhiên hơn!).

Chúng ta phải trả gì cho những lợi ích của hệ thống truyền thông kỹ thuật số? Hệ thống kỹ thuật số yêu cầu xử lý nhiều hơn hệ thống tương tự. Ngoài ra, các hệ thống kỹ thuật số yêu cầu một lượng tài nguyên đáng kể được cấp phát để đồng bộ hóa ở các cấp độ khác nhau (xem Chương 10). Mặt khác, các hệ thống analog dễ dàng đồng bộ hóa hơn. Một nhược điểm khác của hệ thống truyền thông kỹ thuật số là sự suy giảm chất lượng có tính chất ngưỡng. Nếu tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu giảm xuống dưới một ngưỡng nhất định, chất lượng dịch vụ có thể đột ngột thay đổi từ rất tốt sang rất xấu. Tuy nhiên, trong các hệ thống tương tự, sự suy giảm diễn ra suôn sẻ hơn.

1.1.2. Sơ đồ hình hộp điển hình và các phép biến đổi cơ bản

Sơ đồ khối chức năng được hiển thị trong hình. 1.2 minh họa các bước truyền và xử lý tín hiệu trong một hệ thống truyền thông kỹ thuật số điển hình (DCS). Các khối phía trên - định dạng, mã hóa nguồn, mã hóa, mã hóa kênh, ghép kênh, điều chế xung, điều chế thông dải, trải phổ và đa truy nhập - phản ánh các biến đổi tín hiệu trên đường từ nguồn đến máy phát. Các khối phía dưới của sơ đồ là các phép biến đổi tín hiệu trên đường từ người nhận đến người nhận thông tin, và trên thực tế, chúng ngược lại với các khối phía trên. Các đơn vị điều chế và giải điều chế / phát hiện được gọi chung là một modem. Thuật ngữ "modem" thường kết hợp một số bước xử lý tín hiệu, được hiển thị trong Hình. 1,2; trong trường hợp này, modem có thể được coi là "bộ não" của hệ thống. Bộ phát và bộ thu có thể được xem như những “cơ bắp” của hệ thống. Đối với các ứng dụng không dây, bộ phát bao gồm mạch nâng cấp tần số vô tuyến (RF), bộ khuếch đại công suất và ăng-ten, còn bộ thu bao gồm ăng-ten và bộ khuếch đại tiếng ồn thấp (LNA). Giảm tần số ngược được thực hiện ở đầu ra của máy thu và / hoặc bộ giải điều chế.

Trên hình. 1.2 minh họa sự tương ứng giữa các khối của phần trên (truyền) và phần dưới (nhận) của hệ thống. Các bước xử lý tín hiệu diễn ra trong máy phát chủ yếu là sự ngược lại của các bước máy thu. Trên hình. 1.2 thông tin nguồn được chuyển đổi thành các chữ số nhị phân (bit); các bit sau đó được nhóm lại thành các thông điệp kỹ thuật số hoặc các ký tự thông báo. Mỗi ký tự như vậy (trong đó) có thể được coi là một phần tử của bảng chữ cái hữu hạn chứa M các yếu tố. Do đó, đối với M= 2 ký hiệu thông báo là nhị phân (tức là nó bao gồm một bit). Mặc dù các ký tự nhị phân có thể được phân loại là M-ary (với M = 2), thường là tên " M-ary "được sử dụng cho các trường hợp M> 2; do đó, các ký hiệu như vậy bao gồm một chuỗi hai hoặc nhiều bit. (So ​​sánh bảng chữ cái hữu hạn tương tự của hệ thống DCS với bảng chữ cái chúng ta có trong hệ thống tương tự, trong đó tín hiệu thông báo là một phần tử của tập hợp vô hạn các tín hiệu có thể có.) Đối với hệ thống sử dụng mã hóa kênh (mã sửa lỗi), chuỗi ký hiệu thông báo là được chuyển đổi thành một chuỗi các ký tự ký hiệu kênh) và mỗi ký tự kênh được ký hiệu bằng. Vì các ký hiệu thông báo hoặc ký hiệu kênh có thể bao gồm một bit đơn hoặc một nhóm bit, một chuỗi các ký hiệu như vậy được gọi là dòng bit (Hình 1.2).

Hãy xem xét các khối chính của quá trình xử lý tín hiệu được thể hiện trong Hình. 1,2; chỉ các bước định dạng, điều chế, giải điều chế / phát hiện và đồng bộ hóa là cần thiết cho hệ thống DCS.

Định dạng chuyển đổi thông tin ban đầu thành các bit, do đó đảm bảo rằng các chức năng xử lý thông tin và tín hiệu tương thích với hệ thống DCS. Từ điểm này trong hình và đến khối điều chế xung, thông tin vẫn ở dạng dòng bit.

Cơm. 1.2. Sơ đồ khối của một hệ thống truyền thông kỹ thuật số điển hình

Điều chế là quá trình mà các ký hiệu bản tin hoặc ký hiệu kênh (nếu sử dụng mã hóa kênh) được chuyển đổi thành các tín hiệu tương thích với các yêu cầu mà kênh dữ liệu đặt ra. Điều chế xung là một bước cần thiết khác vì mỗi ký hiệu được truyền đi trước tiên phải được chuyển đổi từ dạng biểu diễn nhị phân (các mức điện áp biểu diễn các số 0 và 1 nhị phân) sang dạng tín hiệu băng hẹp. Thuật ngữ "dải hẹp" (baseband) định nghĩa một tín hiệu có phổ bắt đầu từ (hoặc gần) thành phần không đổi và kết thúc bằng một giá trị cuối cùng nào đó (thường là không quá vài megahertz). Khối PCM thường bao gồm lọc để giảm thiểu băng thông truyền. Khi điều chế xung được áp dụng cho các ký hiệu nhị phân, tín hiệu nhị phân thu được được gọi là tín hiệu được mã hóa PCM (điều chế mã xung). Có một số loại tín hiệu PCM (được mô tả trong Chương 2); trong các ứng dụng điện thoại, những tín hiệu này thường được gọi là mã kênh. Khi điều chế xung được áp dụng cho các ký hiệu không phải nhị phân, tín hiệu thu được được gọi là M-ary xung-điều chế. Có một số loại tín hiệu như vậy, cũng được mô tả trong Chương 2, tập trung vào điều chế biên độ xung (PAM). Sau khi điều chế xung, mỗi ký hiệu bản tin hoặc ký hiệu kênh có dạng tín hiệu thông dải, trong đó. Trong bất kỳ quá trình triển khai điện tử nào, dòng bit trước quá trình điều chế xung được biểu diễn bằng các mức điện áp. Câu hỏi có thể nảy sinh tại sao lại có một khối riêng để điều chế xung, trong khi thực tế các mức điện áp cho các số không nhị phân và các mức điện áp đó đã có thể được coi là các xung hình chữ nhật lý tưởng, thời lượng của mỗi khối bằng thời gian truyền của một bit? Có hai điểm khác biệt quan trọng giữa các mức điện áp này và các tín hiệu thông dải được sử dụng để điều chế. Thứ nhất, khối điều chế xung cho phép sử dụng hệ nhị phân và M-các tín hiệu. Phần 2.8.2 mô tả các tham số hữu ích khác nhau của các loại tín hiệu này. Thứ hai, quá trình lọc được thực hiện trong khối điều chế xung tạo ra các xung có thời gian dài hơn thời gian truyền của một bit. Lọc cho phép bạn sử dụng các xung dài hơn; do đó, các xung được trải rộng trên các khe thời gian bit liền kề. Quá trình này đôi khi được gọi là định hình xung; nó được sử dụng để giữ băng thông truyền dẫn trong một số vùng mong muốn của phổ.

Đối với các ứng dụng liên quan đến truyền tần số vô tuyến, bước quan trọng tiếp theo là điều chế thông dải; nó là cần thiết bất cứ khi nào môi trường truyền dẫn không hỗ trợ việc truyền tín hiệu dạng xung. Trong những trường hợp như vậy, môi trường yêu cầu một tín hiệu thông dải, ở đâu. Thuật ngữ "thông dải" được sử dụng để phản ánh rằng một tín hiệu băng hẹp bị dịch chuyển bởi sóng mang ở tần số lớn hơn nhiều so với các thành phần phổ. Khi tín hiệu truyền qua kênh, nó bị ảnh hưởng bởi các đặc tính của kênh, có thể được biểu thị dưới dạng đáp ứng xung (xem phần 1.6.1). Ngoài ra, tại các điểm khác nhau dọc theo đường dẫn tín hiệu, tạp âm ngẫu nhiên bổ sung làm biến dạng tín hiệu nhận được, do đó việc tiếp nhận phải được thể hiện dưới dạng phiên bản bị hỏng của tín hiệu từ máy phát. Tín hiệu nhận được có thể được biểu thị như sau:

trong đó dấu "*" thể hiện phép toán tích chập (xem Phụ lục A) và là quá trình nhiễu (xem Phần 1.5.5).

Theo hướng ngược lại, đầu cuối của máy thu và / hoặc bộ giải điều chế cung cấp mức giảm tần số cho mỗi tín hiệu thông dải. Để chuẩn bị cho việc phát hiện, bộ giải điều chế sẽ tái tạo lại tín hiệu băng hẹp như một đường bao tối ưu. Thông thường, một số bộ lọc được liên kết với bộ thu và bộ giải điều chế - lọc được thực hiện để loại bỏ các thành phần tần số cao không mong muốn (trong quá trình chuyển đổi tín hiệu thông dải thành dải hẹp) và định hình xung. Cân bằng có thể được mô tả như một loại lọc được sử dụng trong bộ giải điều chế (hoặc sau bộ giải điều chế) để loại bỏ bất kỳ hiệu ứng suy giảm tín hiệu nào có thể do kênh gây ra. Cân bằng là cần thiết nếu phản ứng xung của kênh quá tệ đến mức tín hiệu nhận được bị méo nghiêm trọng. Một bộ cân bằng (bộ cân bằng) được thực hiện để bù cho (tức là loại bỏ hoặc làm suy giảm) bất kỳ sự biến dạng tín hiệu nào gây ra bởi phản hồi không lý tưởng. Cuối cùng, bước lấy mẫu chuyển đổi xung định hình thành một mẫu để khôi phục (gần đúng) ký hiệu kênh hoặc ký hiệu thông báo (nếu không sử dụng mã hóa kênh). Một số tác giả sử dụng các thuật ngữ "giải điều chế" và "phát hiện" thay thế cho nhau. Trong cuốn sách này, giải điều chế đề cập đến việc khôi phục tín hiệu (xung băng thông), và phát hiện đề cập đến việc đưa ra quyết định về giá trị kỹ thuật số của tín hiệu đó.

Các giai đoạn xử lý tín hiệu còn lại trong modem là tùy chọn và nhằm đáp ứng các nhu cầu cụ thể của hệ thống. Mã hóa nguồn là việc chuyển đổi tín hiệu tương tự sang kỹ thuật số (đối với các nguồn tương tự) và loại bỏ thông tin dư thừa (không cần thiết). Lưu ý rằng hệ thống DCS điển hình có thể sử dụng mã hóa nguồn (để số hóa và nén thông tin gốc) hoặc chuyển đổi định dạng đơn giản hơn (chỉ để số hóa). Hệ thống không thể áp dụng đồng thời cả mã hóa và định dạng nguồn, vì hệ thống trước đây đã bao gồm bước số hóa thông tin cần thiết. Mã hóa, được sử dụng để đảm bảo bí mật của thông tin liên lạc, ngăn chặn người dùng trái phép hiểu thông điệp và đưa thông điệp sai vào hệ thống. Mã hóa kênh ở tốc độ dữ liệu nhất định có thể làm giảm xác suất lỗi PE hoặc giảm tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu cần thiết để có được xác suất PE mong muốn bằng cách tăng băng thông truyền hoặc làm phức tạp bộ giải mã. Thủ tục ghép kênh và đa truy nhập kết hợp các tín hiệu có thể có các đặc điểm khác nhau hoặc có thể đến từ các nguồn khác nhau để chúng có thể chia sẻ một số tài nguyên truyền thông (ví dụ: phổ, thời gian). Trải rộng tần số có thể cung cấp một tín hiệu tương đối miễn nhiễm với sự can thiệp (cả tự nhiên và cố ý) và có thể được sử dụng để tăng tính riêng tư của các bên liên lạc. Nó cũng là một công nghệ có giá trị được sử dụng để truy cập nhiều lần.

Các khối xử lý tín hiệu được hiển thị trong hình. 1.2 biểu diễn một sơ đồ điển hình của hệ thống truyền thông số; tuy nhiên, các khối này đôi khi được thực hiện theo một thứ tự hơi khác. Ví dụ, ghép kênh có thể xảy ra trước khi mã hóa hoặc điều chế kênh, hoặc, trong quá trình điều chế hai giai đoạn (sóng mang con và sóng mang), nó có thể xảy ra giữa hai giai đoạn điều chế. Tương tự, khối mở rộng tần số có thể được đặt ở nhiều vị trí khác nhau trong hàng trên cùng của Hình. 1,2; vị trí chính xác của nó phụ thuộc vào công nghệ cụ thể được sử dụng. Đồng bộ hóa và yếu tố quan trọng của nó, tín hiệu đồng bộ hóa, tham gia vào tất cả các giai đoạn xử lý tín hiệu trong hệ thống DCS. Để đơn giản, khối đồng bộ hóa trong Hình. 1.2 được hiển thị mà không liên quan đến bất cứ điều gì, mặc dù trên thực tế, anh ta tham gia vào quy định hoạt động trong hầu hết các khối được thể hiện trong hình.

Trên hình. Hình 1.3 cho thấy các chức năng xử lý tín hiệu chính (có thể coi là các phép biến đổi tín hiệu) được chia thành chín nhóm sau.

Hình 1.3. Chuyển đổi truyền thông kỹ thuật số chính

1. Định dạng và mã hóa nguồn

2. Báo hiệu băng hẹp

3. Báo hiệu băng thông

4. San lấp mặt bằng

5. Mã hóa kênh

6. Niêm phong và nhiều quyền truy cập

7. Trải phổ

8. Mã hóa

9. Đồng bộ hóa

Trên hình. 1.3 Khối báo hiệu băng hẹp chứa danh sách các lựa chọn thay thế nhị phân khi sử dụng điều chế PCM hoặc mã đường truyền. Khối này cũng chỉ định một danh mục tín hiệu không phải nhị phân được gọi là M-điều chế xung nhịp. Một sự biến đổi khác trong Hình. 1.3, có nhãn Báo hiệu băng thông, được chia thành hai khối chính, mạch lạc và không mạch lạc. Giải điều chế thường được thực hiện bằng cách sử dụng các tín hiệu tham chiếu. Bằng cách sử dụng các tín hiệu đã biết làm thước đo tất cả các tham số tín hiệu (đặc biệt là pha), quá trình giải điều chế được cho là mạch lạc; khi thông tin giai đoạn không được sử dụng, quy trình được cho là không mạch lạc.

Mã hóa kênh liên quan đến các kỹ thuật được sử dụng để cải thiện tín hiệu kỹ thuật số, do đó ít bị tổn thương hơn trước các yếu tố suy giảm như nhiễu, mờ dần và triệt tiêu tín hiệu. Trên hình. 1.3, mã hóa kênh được chia thành hai khối, một khối mã hóa dạng sóng và một khối tuần tự có cấu trúc. Mã hóa dạng sóng liên quan đến việc sử dụng các tín hiệu mới mang lại chất lượng phát hiện được cải thiện hơn so với tín hiệu ban đầu. Các chuỗi có cấu trúc bao gồm việc sử dụng các bit bổ sung để xác định xem có lỗi do nhiễu trong kênh hay không. Một trong những công nghệ như vậy, yêu cầu lặp lại tự động (ARQ), chỉ cần nhận ra sự xuất hiện của lỗi và yêu cầu người gửi truyền lại tin nhắn; một kỹ thuật khác, được gọi là sửa lỗi chuyển tiếp (FEC), cho phép sửa lỗi tự động (với một số hạn chế nhất định). Khi xem xét các chuỗi có cấu trúc, chúng ta sẽ thảo luận về ba phương pháp phổ biến - mã hóa khối, chập và tăng áp.

Trong truyền thông kỹ thuật số, thời gian liên quan đến việc tính toán cả thời gian và tần số. Như được hiển thị trong hình. 1.3, đồng bộ hóa được thực hiện ở năm cấp độ. Các tần số tham chiếu của hệ thống kết hợp cần phải được đồng bộ với sóng mang (và có thể là sóng mang con) về tần số và pha. Đối với hệ thống không kết hợp, đồng bộ pha là không cần thiết. Quá trình đồng bộ hóa thời gian cơ bản là đồng bộ hóa ký hiệu (hoặc đồng bộ hóa bit cho các ký hiệu nhị phân). Bộ giải điều chế và bộ dò phải biết khi nào bắt đầu và kết thúc quá trình phát hiện ký hiệu và bit; lỗi đồng bộ hóa dẫn đến giảm hiệu quả phát hiện. Mức độ tiếp theo của đồng bộ hóa thời gian, đồng bộ hóa khung, cho phép các thông điệp được sắp xếp lại. Và cấp độ cuối cùng, đồng bộ hóa mạng, cho phép bạn phối hợp với những người dùng khác để sử dụng tài nguyên một cách hiệu quả.

1.1.3. Thuật ngữ giao tiếp kỹ thuật số cơ bản

Sau đây là một số thuật ngữ chính thường được sử dụng trong lĩnh vực truyền thông kỹ thuật số.

Một nguồn thông tin(nguồn thông tin). Một thiết bị truyền thông tin qua hệ thống DCS. Nguồn thông tin có thể là nguồn tương tự hoặc rời rạc. Đầu ra của nguồn tương tự có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ một dải biên độ liên tục, trong khi đầu ra của nguồn thông tin rời rạc có thể nhận giá trị từ một tập hợp biên độ hữu hạn. Các nguồn thông tin tương tự được chuyển đổi sang kỹ thuật số thông qua lấy mẫu hoặc lượng tử hóa. Phương pháp lấy mẫu và lượng tử hóa được gọi là định dạng và mã hóa nguồn (Hình 1.3).

Tin nhắn văn bản(tin nhắn văn bản). Chuỗi ký tự (Hình 1.4, một). Trong truyền dữ liệu kỹ thuật số, thông điệp là một chuỗi số hoặc ký tự thuộc một bộ ký tự hoặc bảng chữ cái hữu hạn.

Ký tên(Tính cách). Một phần tử của bảng chữ cái hoặc bộ ký tự (Hình 1.4, b). Các ký tự có thể được ánh xạ thành một chuỗi các chữ số nhị phân. Có một số mã tiêu chuẩn hóa được sử dụng để mã hóa ký tự, bao gồm ASCII (American Standard Code for Information Interchange), EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code), mã Hollerith (mã Hollerith), mã Baudot, mã Murray và mã Morse.

Hình 1.4. Minh họa thuật ngữ: a) tin nhắn văn bản; b) các ký hiệu;

c) dòng bit (mã ASCII 7 bit); d) các ký hiệu, ;

e) tín hiệu kỹ thuật số thông dải

chữ số nhị phân(chữ số nhị phân) (bit) (bit). Đơn vị thông tin cơ bản cho tất cả các hệ thống kỹ thuật số. Thuật ngữ "bit" cũng được sử dụng như một đơn vị thông tin, được mô tả trong Chương 9.

dòng bit(dòng bit). Một chuỗi các chữ số nhị phân (số không và số đơn vị). Một dòng bit thường được gọi là tín hiệu băng gốc; điều này ngụ ý rằng các thành phần phổ của nó nằm trong khoảng từ (hoặc xung quanh) DC đến một giá trị hữu hạn nào đó, thường không quá vài megahertz. Trên hình. 1.4, thông báo "HOW" được biểu diễn bằng mã ASCII bảy bit và dòng bit được hiển thị dưới dạng các xung đường mật. Chuỗi xung được mô tả bằng các dạng sóng cách điệu cao (hình chữ nhật hoàn hảo) với khoảng trống giữa các xung lân cận. Trong một hệ thống thực, các xung sẽ không bao giờ giống như thế này, vì những khoảng trống như vậy là hoàn toàn vô dụng. Ở một tốc độ dữ liệu nhất định, các khoảng trống sẽ làm tăng băng thông cần thiết để truyền tải; hoặc, với băng thông, chúng sẽ tăng thời gian trễ cần thiết để nhận được tin nhắn.

Biểu tượng(ký hiệu) (thông điệp kỹ thuật số) (thông điệp kỹ thuật số). Một biểu tượng là một nhóm k các bit được coi là tổng thể. Hơn nữa, chúng tôi sẽ gọi khối này là một ký hiệu thông báo () từ một tập hợp hữu hạn các ký hiệu hoặc bảng chữ cái (Hình 1.4, d.) Kích thước của bảng chữ cái M bằng, ở đâu k là số bit trong một ký tự. Trong truyền dẫn băng hẹp, mỗi ký hiệu sẽ được biểu diễn bằng một trong tập hợp các tín hiệu xung băng hẹp . Đôi khi, khi truyền một chuỗi các xung như vậy, đơn vị baud (baud) được sử dụng để biểu thị tốc độ xung (tốc độ ký hiệu). Đối với truyền thông dải thông thường, mỗi xung sẽ được biểu diễn bằng một trong tập hợp các tín hiệu xung thông dải . Do đó, đối với các hệ thống không dây, một ký hiệu được gửi bằng cách truyền tín hiệu kỹ thuật số cho T giây. Ký tự tiếp theo được gửi trong khoảng thời gian tiếp theo, T. Thực tế là bộ ký tự được truyền bởi hệ thống DCS là hữu hạn là sự khác biệt chính giữa các hệ thống này và hệ thống truyền thông tương tự. Bộ thu DCS chỉ cần xác định M các tín hiệu có thể đã được truyền đi; trong khi bộ thu tín hiệu tương tự phải xác định chính xác giá trị của một dải tín hiệu liên tục.

tín hiệu kĩ thuật số(dạng sóng kỹ thuật số). Được mô tả bằng mức điện áp hoặc dòng điện, một tín hiệu (xung để truyền băng hẹp hoặc sóng sin để truyền thông dải) đại diện cho một ký tự kỹ thuật số. Các đặc tính của tín hiệu (đối với xung - biên độ, thời gian và vị trí, hoặc đối với hình sin - biên độ, tần số và pha) giúp nó có thể được xác định là một trong những ký hiệu của bảng chữ cái hữu hạn. Trên hình. 1,4 d một ví dụ về tín hiệu kỹ thuật số thông dải được hiển thị. Mặc dù tín hiệu có dạng hình sin và do đó có dạng tương tự, nó vẫn được gọi là tín hiệu số vì nó mã hóa thông tin số. Trong hình này, giá trị kỹ thuật số được biểu thị bằng cách truyền trong mỗi khoảng thời gian T tín hiệu của một tần số nhất định.

Tốc độ truyền tải(tốc độ dữ liệu). Giá trị này tính bằng bit trên giây (bps) được cung cấp bởi (bps) trong đó k các bit xác định một ký tự từ bảng chữ cái - ký tự, và T là khoảng thời gian đến-ký tự bit.

1.1.4. Điểm chuẩn hiệu suất kỹ thuật số và tương tự

Sự khác biệt cơ bản giữa hệ thống truyền thông tương tự và kỹ thuật số liên quan đến phương pháp đánh giá hiệu suất của chúng. Tín hiệu hệ thống tương tự là một liên tục, vì vậy bộ thu phải làm việc với vô số tín hiệu có thể. Phép đo hiệu suất của các hệ thống truyền thông tương tự là độ chính xác, chẳng hạn như tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu, độ méo phần trăm hoặc lỗi RMS dự kiến ​​giữa tín hiệu truyền và nhận.

Không giống như tương tự, các hệ thống truyền thông kỹ thuật số truyền tín hiệu đại diện cho các con số. Những chữ số này tạo thành một tập hợp hữu hạn hoặc bảng chữ cái, và tập hợp này được biết là tiên nghiệm đối với người nhận. Tiêu chí cho chất lượng của hệ thống truyền thông số là xác suất phát hiện sai một chữ số hoặc xác suất lỗi ().

1.2. Phân loại tín hiệu

1.2.1. Tín hiệu xác định và ngẫu nhiên

Một tín hiệu có thể được phân loại là xác định (khi không có sự không chắc chắn về giá trị của nó tại bất kỳ thời điểm nào) hoặc ngẫu nhiên nếu không. Các tín hiệu xác định được mô hình hóa bằng một biểu thức toán học. Không thể viết một biểu thức như vậy cho một tín hiệu ngẫu nhiên. Tuy nhiên, khi quan sát một tín hiệu ngẫu nhiên (còn gọi là quá trình ngẫu nhiên) trong một khoảng thời gian đủ dài, có thể quan sát thấy một số mẫu có thể được mô tả dưới dạng xác suất và trung bình thống kê. Một mô hình như vậy, dưới dạng mô tả xác suất của một quá trình ngẫu nhiên, đặc biệt hữu ích để mô tả các đặc tính của tín hiệu và nhiễu trong hệ thống thông tin liên lạc.

1.2.2. Tín hiệu định kỳ và không định kỳ

Một tín hiệu được cho là tuần hoàn trong thời gian nếu tồn tại một hằng số, sao cho

cho (1.2)

qua đâu t thời gian được đánh dấu. Giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này được gọi là chu kỳ của tín hiệu. Khoảng thời gian xác định khoảng thời gian của một chu kỳ đầy đủ của hàm. Tín hiệu mà không có giá trị nào thỏa mãn phương trình (1.2) được gọi là không tuần hoàn.

1.2.3. Tín hiệu tương tự và tín hiệu rời rạc

Tín hiệu tương tự là một hàm liên tục của thời gian, tức là được xác định duy nhất cho tất cả t. Tín hiệu tương tự điện xảy ra khi một tín hiệu vật lý (chẳng hạn như lời nói) được chuyển đổi thành tín hiệu điện bởi một số thiết bị. Trong khi đó, một tín hiệu rời rạc là một tín hiệu tồn tại trong những khoảng thời gian rời rạc; nó được đặc trưng bởi một dãy số được xác định cho từng thời điểm, kT, ở đâu k là một số nguyên và T- một khoảng thời gian cố định.

1.2.4. Tín hiệu thể hiện dưới dạng năng lượng hoặc công suất

Một tín hiệu điện có thể được coi là sự thay đổi điện áp hoặc dòng điện với công suất tức thời được đặt vào điện trở R:

Trong các hệ thống thông tin liên lạc, công suất thường được chuẩn hóa (người ta cho rằng điện trở R bằng 1 Ohm, mặc dù trong một kênh thực, nó có thể là bất kỳ thứ gì). Nếu được yêu cầu xác định giá trị công suất thực tế, nó có được bằng cách "không chuẩn hóa" giá trị chuẩn hóa. Trong trường hợp chuẩn hóa, các phương trình (1.3.a) và (1.3.6) có cùng dạng. Do đó, bất kể tín hiệu được biểu thị bằng điện áp hay dòng điện, dạng chuẩn hóa cho phép chúng ta biểu diễn công suất tức thời như

điện áp hoặc dòng điện ở đâu. Sự tiêu tán năng lượng trong khoảng thời gian () của tín hiệu thực với công suất tức thời thu được theo phương trình (1.4) có thể được viết như sau.

(1.5)

Công suất trung bình do tín hiệu tiêu tán trong khoảng thời gian này như sau.

(1.6)

Hiệu suất của một hệ thống thông tin liên lạc phụ thuộc vào năng lượng của tín hiệu nhận được; tín hiệu có năng lượng cao hơn được phát hiện một cách đáng tin cậy hơn (với ít lỗi hơn) - công việc phát hiện được thực hiện bởi năng lượng nhận được. Mặt khác, công suất là tỷ lệ năng lượng đầu vào. Điểm này quan trọng vì một số lý do. Công suất xác định điện áp đặt vào máy phát và cường độ của trường điện từ được xem xét trong hệ thống vô tuyến (tức là trường trong ống dẫn sóng nối máy phát với ăng ten và trường xung quanh các phần tử bức xạ của ăng ten).

Khi phân tích tín hiệu truyền thông, người ta thường mong muốn làm việc với năng lượng tín hiệu. Chúng tôi sẽ gọi nó là tín hiệu năng lượng nếu và chỉ khi nó có năng lượng hữu hạn khác 0 tại bất kỳ thời điểm nào (), trong đó

(1.7)

Trong một tình huống thực tế, chúng ta luôn truyền tín hiệu với năng lượng hữu hạn (). Tuy nhiên, để mô tả các tín hiệu tuần hoàn, theo định nghĩa (Phương trình (1.2)) luôn tồn tại và do đó, có năng lượng vô hạn, và để làm việc với các tín hiệu ngẫu nhiên cũng có năng lượng không giới hạn, thuận tiện là xác định một loại tín hiệu được biểu thị dưới dạng của quyền lực. Vì vậy, rất thuận tiện để biểu diễn một tín hiệu sử dụng công suất nếu nó là tuần hoàn và tại bất kỳ thời điểm nào có công suất cuối cùng khác 0 (), trong đó

(1.8)

Một tín hiệu nhất định có thể được quy về năng lượng hoặc tuần hoàn. Tín hiệu năng lượng có năng lượng hữu hạn nhưng công suất trung bình bằng không, trong khi tín hiệu tuần hoàn có công suất trung bình bằng không nhưng năng lượng vô hạn. Tín hiệu trong hệ thống có thể được biểu thị dưới dạng năng lượng hoặc giá trị tuần hoàn của nó. Theo nguyên tắc chung, các tín hiệu tuần hoàn và ngẫu nhiên được biểu thị bằng công suất, còn các tín hiệu xác định và không tuần hoàn được biểu thị bằng năng lượng.

Năng lượng tín hiệu và công suất là hai tham số quan trọng trong việc mô tả một hệ thống truyền thông. Việc phân loại tín hiệu là tín hiệu năng lượng hoặc tín hiệu tuần hoàn là một mô hình thuận tiện tạo điều kiện thuận lợi cho việc xử lý toán học các tín hiệu và tiếng ồn khác nhau. Phần 3.1.5 phát triển những ý tưởng này trong bối cảnh của các hệ thống truyền thông kỹ thuật số.

1.2.5. Chức năng xung đơn vị

Một chức năng hữu ích trong lý thuyết giao tiếp là xung đơn vị, hoặc chức năng đồng bằng Dirac. Hàm xung là một hàm trừu tượng, một xung có biên độ vô hạn, chiều rộng bằng không và trọng lượng đơn vị (diện tích dưới xung), tập trung tại điểm mà giá trị của đối số của nó bằng không. Xung đơn vị được cho bởi các quan hệ sau.

Không giới hạn tại một điểm (1.11)

(1.12)

Một xung đơn vị không phải là một chức năng theo nghĩa thông thường của từ này. Nếu nó tham gia vào bất kỳ hoạt động nào, có thể coi nó như một xung có biên độ hữu hạn, diện tích đơn vị và thời lượng khác 0, sau đó cần xem xét giới hạn vì thời lượng xung có xu hướng bằng không. Về mặt hình ảnh, nó có thể được mô tả như một đỉnh nằm tại một điểm có chiều cao bằng tích phân của nó hoặc diện tích của nó. Do đó, với một hằng số NHƯNGđại diện cho một hàm xung có diện tích (hoặc trọng lượng) là NHƯNG và giá trị bằng 0 ở mọi nơi ngoại trừ điểm.

Phương trình (1.12) được gọi là thuộc tính sàng lọc (hoặc lượng tử hóa) của hàm xung đơn vị; tích phân của một xung đơn vị và một hàm tùy ý cho một mẫu của hàm tại điểm.

1.3. Mật độ quang phổ

Mật độ phổ của các đặc tính của tín hiệu là sự phân bố năng lượng hoặc công suất của tín hiệu trên một dải tần số. Khái niệm này có tầm quan trọng đặc biệt khi xem xét việc lọc trong các hệ thống truyền thông. Chúng ta cần có thể đánh giá tín hiệu và nhiễu ở đầu ra của bộ lọc. Khi thực hiện một đánh giá như vậy, mật độ phổ năng lượng (ESD) hoặc mật độ phổ công suất (mật độ phổ công suất - PSD) được sử dụng.

1.3.1. Mật độ năng lượng phổ

Tổng năng lượng của một tín hiệu năng lượng thực được xác định trong khoảng thời gian được mô tả bằng phương trình (1.7). Sử dụng định lý Parseval, chúng ta có thể liên hệ năng lượng của một tín hiệu được biểu thị trong miền thời gian với năng lượng biểu thị trong miền tần số:

, (1.13)

đâu là biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn. (Bản tóm tắt về phân tích Fourier có thể được tìm thấy trong Phụ lục A.) Biểu thị bằng phổ biên độ hình chữ nhật được định nghĩa là

(1.14)

Đại lượng là mật độ năng lượng phổ (ESD) của tín hiệu. Do đó, từ phương trình (1.13), người ta có thể biểu diễn tổng năng lượng bằng cách tích phân mật độ phổ theo tần số.

(1.15)

Phương trình này cho thấy rằng năng lượng của tín hiệu bằng diện tích dưới đồ thị trong miền tần số. Mật độ năng lượng phổ mô tả năng lượng tín hiệu trên một đơn vị băng thông và được đo bằng J / Hz. Các thành phần tần số âm và dương cho đóng góp năng lượng bằng nhau, do đó, đối với tín hiệu thực, giá trị là một hàm chẵn của tần số. Do đó, mật độ năng lượng phổ là tần số đối xứng về điểm gốc, và tổng năng lượng tín hiệu có thể được biểu diễn như sau.

(1.16)

1.3.2. Mật độ phổ công suất

Công suất trung bình của tín hiệu thực trong biểu diễn tuần hoàn được xác định theo phương trình (1.8). Nếu là một tín hiệu tuần hoàn với một chu kỳ, nó được phân loại là một tín hiệu trong biểu diễn tuần hoàn. Biểu thức cho công suất trung bình của một tín hiệu tuần hoàn được cho bởi công thức (1.6), trong đó thời gian trung bình được lấy trong một khoảng thời gian.

(1,17a)

Định lý Parseval cho một tín hiệu tuần hoàn thực có dạng

, (1,17, b)

trong đó các số hạng là hệ số phức của chuỗi Fourier đối với tín hiệu tuần hoàn (xem Phụ lục A).

Để sử dụng phương trình (1.17.6), chỉ cần biết giá trị của các hệ số. Mật độ phổ công suất (PSD) của tín hiệu tuần hoàn, là một hàm thực, đều và không âm của tần số và cung cấp cho phân bố công suất của tín hiệu trên một dải tần, được xác định như sau.

(1.18)

Công thức (1.18) xác định mật độ phổ công suất của một tín hiệu tuần hoàn dưới dạng một chuỗi các hàm delta có trọng số. Do đó, PSD của một tín hiệu tuần hoàn là một hàm rời rạc của tần số. Sử dụng PSD được xác định trong phương trình (1.18), người ta có thể viết công suất chuẩn hóa trung bình của tín hiệu thực.

(1.19)

Phương trình (1.18) chỉ mô tả PSD của các tín hiệu tuần hoàn. Nếu là một tín hiệu không tuần hoàn, nó không thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier; nếu nó là một tín hiệu không tuần hoàn trong biểu diễn tuần hoàn (có năng lượng vô hạn), nó có thể không có biến đổi Fourier. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể biểu thị mật độ phổ công suất của các tín hiệu như vậy trong giới hạn. Nếu chúng ta tạo một phiên bản rút gọn của một tín hiệu không tuần hoàn trong biểu diễn tuần hoàn, chỉ lấy các giá trị của nó trong khoảng (), thì nó sẽ có một năng lượng hữu hạn và biến đổi Fourier tương ứng. Nó có thể được chỉ ra rằng mật độ phổ công suất của một tín hiệu không tuần hoàn được xác định như một giới hạn.

(1.20)

Ví dụ 1.1. Công suất định mức trung bình

a) Tìm cường độ tín hiệu chuẩn hóa trung bình thời gian sử dụng tính trung bình.

b) Thực hiện mục a bằng cách tính tổng các hệ số phổ.

Quyết định

a) Sử dụng phương trình (1.17, a), ta có kết quả sau.

b) Sử dụng các phương trình (1.18) và (1.19), chúng ta thu được kết quả sau.

(xem phụ lục A)

1.4. tự tương quan

1.4.1. Tự tương quan tín hiệu năng lượng

Tương quan là quá trình phù hợp; tự tương quan là sự phù hợp của một tín hiệu với phiên bản bị trễ của chính nó. Hàm tự tương quan của tín hiệu năng lượng thực được định nghĩa như sau.

cho (1.21)

Hàm tự tương quan cho phép đo mức độ tương tự của tín hiệu với bản sao của chính nó, được dịch chuyển theo đơn vị thời gian. Biến đóng vai trò của một tham số quét hoặc tìm kiếm. không phải là một hàm của thời gian; nó chỉ là một hàm của sự khác biệt về thời gian giữa tín hiệu và bản sao được dịch chuyển của nó.

Hàm tự tương quan của tín hiệu năng lượng thực có các tính chất sau.

1.

3. tự tương quan và ESD là các phép biến đổi Fourier của nhau, được biểu thị bằng mũi tên hai đầu

4. giá trị tại 0 bằng với năng lượng tín hiệu

Khi hài lòng về các đoạn văn. 1-3 là một hàm tự tương quan. Điều kiện 4 là hệ quả của điều kiện 3, do đó không cần thiết phải đưa nó vào tập hợp chính để kiểm tra hàm tự tương quan.

1.4.2. Tự tương quan của một tín hiệu định kỳ

Tự tương quan của một tín hiệu tuần hoàn thực được định nghĩa như sau.

cho (1.22)

Nếu tín hiệu là tuần hoàn với một chu kỳ, thời gian trung bình trong phương trình (1.22) có thể được lấy trong một chu kỳ và tự tương quan có thể được biểu diễn như sau.

cho (1.23)

Tính tự tương quan của một tín hiệu tuần hoàn nhận các giá trị thực có các tính chất tương tự như của tín hiệu năng lượng.

1. đối xứng với 0

2. đối với tất cả, giá trị lớn nhất bằng 0

3. tự tương quan và ESD là các phép biến đổi Fourier của nhau

4.

1.5. tín hiệu ngẫu nhiên

Nhiệm vụ chính của hệ thống thông tin liên lạc là truyền thông tin qua một kênh truyền thông. Tất cả các tín hiệu thông báo hữu ích xuất hiện ngẫu nhiên, tức là người nhận không biết trước ký tự tin nhắn nào có thể sẽ được truyền đi. Ngoài ra, do các quá trình điện khác nhau, tiếng ồn xảy ra đi kèm với các tín hiệu thông tin. Do đó, chúng ta cần một cách hiệu quả để mô tả các tín hiệu ngẫu nhiên.

1.5.1. biến ngẫu nhiên

Để biến ngẫu nhiên HA)đại diện cho một mối quan hệ chức năng giữa một sự kiện ngẫu nhiên NHƯNG và một số thực. Để thuận tiện cho việc ký hiệu, chúng tôi biểu thị biến ngẫu nhiên bằng X và sự phụ thuộc chức năng của nó vào NHƯNG sẽ được coi là rõ ràng. Một biến ngẫu nhiên có thể rời rạc hoặc liên tục. Phân phối của một biến ngẫu nhiên Xđược tìm thấy bởi biểu thức:

, (1.24)

xác suất giá trị được chấp nhận là ở đâu; biến ngẫu nhiên Xít hơn một số thực X hoặc bằng với nó. Hàm phân phối có các thuộc tính sau.

2. nếu

Một hàm hữu ích khác liên quan đến biến ngẫu nhiên X, là mật độ xác suất, được viết như sau.

(1,25, a)

Như với hàm phân phối, mật độ xác suất là một hàm của một số thực X. Tên "hàm mật độ" xuất phát từ thực tế là xác suất của một sự kiện bằng sau.

Sử dụng phương trình (1.25.6), chúng ta có thể viết ra gần đúng xác suất mà một biến ngẫu nhiên X có giá trị thuộc một khoảng rất nhỏ giữa và.

Do đó, trong giới hạn có xu hướng bằng 0, chúng ta có thể viết như sau.

Mật độ xác suất có các đặc tính sau.

2. .

Như vậy, mật độ xác suất luôn không âm và có diện tích đơn vị. Trong nội dung của cuốn sách, chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu để biểu thị mật độ xác suất cho một biến ngẫu nhiên liên tục. Để thuận tiện cho việc ký hiệu, chúng tôi thường sẽ bỏ qua chỉ mục X và viết đơn giản. Nếu một biến ngẫu nhiên X có thể chỉ nhận các giá trị rời rạc, chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu.

1.5.1.1. Nghĩa là kết hợp

Giá trị trung bình, hoặc giá trị kỳ vọng, của một biến ngẫu nhiên Xđược xác định bởi biểu thức

, (1.26)

nơi được gọi là toán tử giá trị mong đợi. khoảng khăc N-Phân phối xác suất bậc thứ của một biến ngẫu nhiên Xđược gọi là giá trị tiếp theo.

(1.27)

Đối với việc phân tích các hệ thống thông tin liên lạc, hai thời điểm đầu tiên của biến là quan trọng X. Có, tại N= 1 phương trình (1.27) đưa ra thời điểm được xem xét ở trên và khi N= 1 - giá trị căn bậc hai trung bình X.

(1.28)

Người ta cũng có thể xác định các khoảnh khắc trung tâm, đó là những khoảnh khắc của sự khác biệt X và . Mômen trung tâm bậc hai (còn gọi là độ phân tán) như sau.

Sự phân tán X cũng được viết là, và căn bậc hai của giá trị này, được gọi là độ lệch chuẩn X. Độ phân tán là thước đo "độ phân tán" của một biến ngẫu nhiên X. Việc chỉ định phương sai của một biến ngẫu nhiên giới hạn độ rộng của hàm mật độ xác suất. Sự phân tán và RMS có liên quan với nhau theo mối quan hệ sau đây.

Do đó, phương sai bằng hiệu giữa bình phương trung bình gốc và bình phương trung bình.

1.5.2. quy trình ngẫu nhiên

Một quá trình ngẫu nhiên có thể được xem như một hàm của hai biến: sự kiện NHƯNG và thời gian. Trên hình. 1.5 cho thấy một ví dụ về một quá trình ngẫu nhiên. Hiển thị N các hàm mẫu của thời gian. Mỗi chức năng mẫu có thể được xem như là đầu ra của một bộ tạo nhiễu riêng biệt. Đối với mỗi sự kiện, chúng tôi có một hàm thời gian duy nhất (tức là chức năng mẫu). Tập hợp của tất cả các hàm mẫu được gọi là một tập hợp. Tại bất kỳ thời điểm nào, là một biến ngẫu nhiên có giá trị phụ thuộc vào sự kiện. Và cuối cùng, cho một sự kiện cụ thể và cho một thời điểm cụ thể, là một con số thông thường. Để thuận tiện cho việc ký hiệu, chúng tôi sẽ biểu thị quá trình ngẫu nhiên là X (t) và sự phụ thuộc chức năng vào NHƯNG sẽ được coi là rõ ràng.

Hình 1.5. Xử lý tiếng ồn ngẫu nhiên

1.5.2.1. Trung bình thống kê của một quá trình ngẫu nhiên

Vì giá trị của một quá trình ngẫu nhiên tại mỗi thời điểm tiếp theo là không xác định, một quá trình ngẫu nhiên có hàm phân phối là liên tục có thể được mô tả thống kê dưới dạng mật độ xác suất. Nói chung, tại các thời điểm khác nhau, hàm này đối với một quá trình ngẫu nhiên sẽ có dạng khác nhau. Trong hầu hết các trường hợp, việc xác định phân phối xác suất của một quá trình ngẫu nhiên theo kinh nghiệm là không thực tế. Đồng thời, đối với nhu cầu của các hệ thống truyền thông, một phần mô tả thường là đủ, bao gồm giá trị trung bình và chức năng tự tương quan. Vì vậy, hãy xác định giá trị trung bình của quá trình ngẫu nhiên X (t) như

, (1.30)

trong đó là một biến ngẫu nhiên có được bằng cách xem xét một quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm, a là mật độ xác suất (mật độ trên tổng thể các sự kiện tại thời điểm).

Hãy để chúng tôi xác định hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X (t) dưới dạng một hàm của hai biến và

ở đâu và các biến ngẫu nhiên thu được bằng cách xem xét X (t) tại các thời điểm và tương ứng. Hàm tự tương quan là một phép đo mối quan hệ giữa hai mẫu thời gian của một quá trình ngẫu nhiên.

1.5.2.2. sự cố định

quá trình ngẫu nhiên X (t)được gọi là tĩnh theo nghĩa chặt chẽ nếu không có số liệu thống kê nào của nó bị ảnh hưởng bởi sự chuyển dời gốc thời gian. Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là đứng yên theo nghĩa rộng nếu hai thống kê của nó, giá trị trung bình và hàm tự tương quan, không thay đổi khi gốc thời gian được dịch chuyển. Do đó, một quá trình nói chung là tĩnh nếu

Tính ổn định theo nghĩa chặt chẽ bao hàm sự ổn định theo nghĩa rộng, nhưng không phải ngược lại. Hầu hết các kết quả hữu ích của lý thuyết truyền thông dựa trên giả định rằng các tín hiệu thông tin ngẫu nhiên và tiếng ồn là đứng yên theo nghĩa rộng. Từ quan điểm thực tế, một quá trình ngẫu nhiên không nhất thiết phải đứng yên, chỉ cần đứng yên trong một khoảng thời gian quan sát được thực tế là đủ.

Đối với các quá trình tĩnh, hàm tự tương quan trong phương trình (1.33) không phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc vào hiệu số. Nói cách khác, tất cả các cặp giá trị X (t) tại các thời điểm cách nhau một khoảng, có cùng giá trị tương quan. Do đó, đối với hệ thống tĩnh, hàm có thể được viết đơn giản là.

1.5.2.3. Tự tương quan của các quá trình ngẫu nhiên, đứng yên theo nghĩa rộng

Cũng giống như phương sai cung cấp một thước đo tính ngẫu nhiên cho các biến ngẫu nhiên, hàm tự tương quan cung cấp một thước đo tương tự cho các quá trình ngẫu nhiên. Đối với các quá trình đứng yên theo nghĩa rộng, hàm tự tương quan chỉ phụ thuộc vào chênh lệch thời gian.

Đối với một quy trình đứng yên trên diện rộng với giá trị trung bình bằng 0, hàm cho biết các biến ngẫu nhiên của quy trình cách nhau từng giây có tương quan thống kê như thế nào. Nói cách khác, nó cung cấp thông tin về đáp ứng tần số liên quan đến quá trình ngẫu nhiên. Nếu nó thay đổi chậm khi nó tăng từ 0 đến một giá trị nào đó, thì điều này cho thấy rằng, trung bình, các giá trị mẫu X (t), lấy tại các thời điểm và, gần như bằng nhau. Do đó, chúng ta có quyền mong đợi rằng trong biểu diễn tần số X (t) tần số thấp sẽ chiếm ưu thế. Mặt khác, nếu nó nhanh chóng giảm đi khi tăng lên, người ta sẽ mong đợi rằng X (t) sẽ thay đổi nhanh chóng theo thời gian và do đó sẽ bao gồm các tần số chủ yếu là cao.

Hàm tự tương quan của một quá trình đứng yên theo nghĩa rộng và nhận các giá trị thực có các đặc tính sau.

1. đối xứng với 0

2. cho tất cả giá trị lớn nhất bằng 0

3. tự tương quan và mật độ phổ công suất là các phép biến đổi Fourier của nhau

4. giá trị tại 0 bằng cường độ tín hiệu trung bình

1.5.3. Tính trung bình về thời gian và tính hiệu quả

Để tính toán và lấy trung bình cộng trên tổng thể, chúng ta cần tính trung bình chúng trên tất cả các hàm mẫu của quy trình và do đó, chúng ta cần thông tin đầy đủ về sự phân phối lẫn nhau của các hàm mật độ xác suất trong xấp xỉ thứ nhất và thứ hai. Trong trường hợp chung, theo quy luật, thông tin như vậy không có sẵn.

Nếu một quy trình ngẫu nhiên thuộc về một lớp đặc biệt được gọi là lớp các quy trình sai, thì trung bình thời gian của nó bằng trung bình tổng thể và các thuộc tính thống kê của quy trình có thể được xác định bằng cách lấy trung bình theo thời gian một hàm mẫu của quy trình. Đối với một quá trình ngẫu nhiên là đúng, nó phải đứng yên theo nghĩa chặt chẽ (điều ngược lại là không cần thiết). Tuy nhiên, đối với các hệ thống truyền thông, nơi mà tính ổn định theo nghĩa rộng là đủ đối với chúng ta, chúng ta chỉ quan tâm đến giá trị trung bình và hàm tự tương quan.

Một quá trình ngẫu nhiên được cho là sai lầm đối với giá trị trung bình nếu

(1.35)

và ergodic đối với hàm tự tương quan nếu

(1.36)

Việc kiểm tra một quy trình ngẫu nhiên để tìm độ chính xác thường khá khó khăn. Trong thực tế, như một quy luật, một giả định trực quan được sử dụng về tính hiệu quả của việc thay thế các giá trị trung bình tổng thể bằng các giá trị trung bình theo thời gian. Khi phân tích hầu hết các tín hiệu trong các kênh truyền thông (trong trường hợp không có hiệu ứng xung), sẽ hợp lý khi cho rằng các tín hiệu ngẫu nhiên là sai lệch đối với hàm tự tương quan. Vì đối với các quá trình sai lệch, thời gian trung bình bằng với giá trị trung bình tổng hợp, các thông số điện cơ bản, chẳng hạn như biên độ của thành phần DC, giá trị bình phương trung bình của cơ sở và công suất trung bình, có thể được liên kết với các khoảnh khắc của quá trình ngẫu nhiên sai lệch.

1. Giá trị bằng thành phần DC của tín hiệu.

2. Giá trị bằng công suất chuẩn hóa của thành phần DC.

3. Khoảnh khắc của lệnh thứ hai X (t),, bằng tổng công suất chuẩn hóa trung bình.

4. Giá trị bằng giá trị rms của tín hiệu được biểu thị dưới dạng dòng điện hoặc điện áp.

5. Độ phân tán bằng công suất chuẩn hóa trung bình của tín hiệu xoay chiều.

6. Nếu giá trị trung bình của quá trình bằng 0 (tức là), thì và phương sai bằng giá trị rms hoặc (một từ ngữ khác) thì phương sai đại diện cho tổng công suất trong tải chuẩn hóa.

7. Độ lệch chuẩn là giá trị chuẩn của tín hiệu biến đổi.

8. Nếu, thì giá trị RMS của tín hiệu.

1.5.4. Mật độ phổ công suất và tự tương quan của một quá trình ngẫu nhiên

quá trình ngẫu nhiên X (t) có thể được quy cho một tín hiệu tuần hoàn có mật độ phổ công suất như được chỉ ra trong phương trình (1.20). Hàm đặc biệt hữu ích trong các hệ thống truyền thông vì nó mô tả sự phân bố công suất tín hiệu trên một dải tần số. Mật độ phổ công suất cho phép bạn ước tính công suất của tín hiệu sẽ được truyền qua mạng có đặc tính tần số đã biết. Các thuộc tính chính của hàm mật độ phổ công suất có thể được xây dựng như sau.

1. luôn lấy giá trị thực

2. vì X (t) lấy giá trị thực

3. tự tương quan và mật độ phổ công suất là các phép biến đổi Fourier của nhau

4. mối quan hệ giữa công suất chuẩn hóa trung bình và mật độ phổ công suất

Trên hình. 1.6 cho thấy một biểu diễn trực quan của hàm tự tương quan và hàm mật độ phổ công suất. Thuật ngữ "tương quan" có nghĩa là gì? Khi chúng ta quan tâm đến mối tương quan của hai hiện tượng, chúng ta hỏi chúng có liên quan mật thiết như thế nào về hành vi hoặc vẻ ngoài và mức độ trùng hợp của chúng. Trong toán học, hàm tự tương quan của một tín hiệu (trong miền thời gian) mô tả sự tương ứng của một tín hiệu với chính nó, bị thay thế bởi một khoảng thời gian nào đó. Một bản sao chính xác được coi là đã được tạo và bản địa hóa ở âm vô cực. Sau đó, chúng ta tuần tự di chuyển bản sao theo chiều dương của trục thời gian và hỏi xem chúng (bản gốc và bản sao) tương ứng với nhau như thế nào. Sau đó, chúng tôi di chuyển bản sao thêm một bước theo hướng tích cực và hỏi xem chúng khớp với nhau bao nhiêu ngay bây giờ, v.v. Mối tương quan giữa hai tín hiệu được mô tả như một hàm của thời gian, ký hiệu là; trong trường hợp này, thời gian có thể được coi là một tham số quét.

Trên hình. 1,6 a-d tình huống được mô tả ở trên được mô tả vào một số thời điểm. Cơm. 1,6 một minh họa một tín hiệu duy nhất của một quá trình ngẫu nhiên đứng yên trên diện rộng X (t). Tín hiệu là một chuỗi nhị phân ngẫu nhiên với các xung dương và âm (lưỡng cực) có biên độ đơn vị. Các xung tích cực và tiêu cực xuất hiện với xác suất ngang nhau. Thời lượng của mỗi xung (chữ số nhị phân) là T giây và giá trị trung bình, hoặc giá trị của thành phần không đổi của chuỗi ngẫu nhiên, bằng không. Trên hình. 1,6 b cùng một trình tự được hiển thị, thay đổi theo thời gian từng giây. Theo ký hiệu được chấp nhận, trình tự này được ký hiệu là. Hãy giả sử quá trình X (t) là sai đối với chức năng tự tương quan, vì vậy chúng ta có thể sử dụng trung bình thời gian thay vì trung bình tổng thể để tìm. Giá trị nhận được bằng cách nhân hai chuỗi X (t) và với kết quả tiếp theo của giá trị trung bình sử dụng phương trình (1.36), phương trình này chỉ có giá trị cho các quá trình sai lệch trong giới hạn. Tuy nhiên, tích hợp trên một số nguyên khoảng thời gian có thể cho chúng ta một số ước tính. Lưu ý những gì có thể nhận được bằng cách dịch chuyển X (t) cả theo chiều tích cực và tiêu cực. Một trường hợp tương tự được minh họa trong Hình. 1,6 trong, trên đó trình tự mẫu ban đầu được sử dụng (Hình 1.6, một) và bản sao đã dịch chuyển của nó (Hình 1.6, b). Các khu vực bóng mờ dưới đường cong sản phẩm đóng góp tích cực cho sản phẩm, trong khi các khu vực màu xám đóng góp tiêu cực. Tích hợp theo thời gian truyền dẫn đến một điểm trên đường cong. Trình tự có thể được dịch chuyển tiếp và mỗi lần dịch chuyển như vậy sẽ cho một điểm trên hàm tự tương quan tổng thể, được thể hiện trong Hình. 1,6 G. Nói cách khác, mỗi chuỗi xung lưỡng cực ngẫu nhiên tương ứng với một điểm tự tương quan trên đường cong tổng quát thể hiện trong Hình. 1,6 G. Giá trị cực đại của hàm là tại một điểm (phù hợp nhất là khi, bằng 0, vì cho tất cả), và hàm giảm xuống dưới dạng. Trên hình. 1,6 G các điểm tương ứng với và được hiển thị.

Biểu thức phân tích cho hàm tự tương quan, được hiển thị trong hình. 1,6 G, có dạng sau.

(1.37)

Lưu ý rằng hàm tự tương quan cho chúng ta thông tin về tần số; nó cho chúng ta biết điều gì đó về băng thông của tín hiệu. Đồng thời, tự tương quan là một hàm thời gian; trong công thức (1.37) không có thuật ngữ nào phụ thuộc vào tần suất. Vậy nó cung cấp cho chúng ta thông tin về băng thông như thế nào?

Hình 6.1. Tự tương quan và mật độ phổ công suất

Hình 6.1. Tự tương quan và mật độ phổ công suất (cuối)

Giả sử rằng tín hiệu đang di chuyển rất chậm (tín hiệu có băng thông thấp). Nếu chúng ta dịch chuyển bản sao của tín hiệu dọc theo trục, đặt câu hỏi ở mỗi giai đoạn của sự dịch chuyển là bao nhiêu bản sao và bản gốc tương ứng với nhau, thì sự tương ứng sẽ khá mạnh trong một thời gian dài. Nói cách khác, hàm tự tương quan tam giác (Hình 1.6, G và công thức 1.37) sẽ giảm từ từ khi tăng dần. Bây giờ chúng ta hãy giả định rằng tín hiệu đang thay đổi đủ nhanh (tức là chúng ta có một băng tần lớn). Trong trường hợp này, ngay cả một thay đổi nhỏ cũng sẽ làm cho mối tương quan bằng không và hàm tự tương quan có dạng rất hẹp. Do đó, so sánh các hàm tự tương quan theo hình dạng cho ta một số thông tin về băng thông của tín hiệu. Cơ năng có giảm dần không? Trong trường hợp này, chúng ta có một tín hiệu với dải tần hẹp. Hình dạng của hàm có giống đỉnh hẹp không? Khi đó tín hiệu có dải tần rộng.

Chức năng tự tương quan cho phép bạn biểu thị mật độ phổ công suất của một tín hiệu ngẫu nhiên một cách rõ ràng. Vì mật độ phổ công suất và hàm tự tương quan là các biến đổi Fourier của nhau, nên mật độ phổ công suất, của một chuỗi xung lưỡng cực ngẫu nhiên có thể được tìm thấy dưới dạng biến đổi Fourier của hàm, có biểu thức phân tích được cho trong phương trình (1.37) . Để làm điều này, bạn có thể sử dụng bảng. A.1. thông báo rằng

(1.38)

Hình vẽ chung của hàm được thể hiện trong hình. 1,6 d.

Lưu ý rằng khu vực dưới đường cong mật độ phổ công suất biểu thị công suất tín hiệu trung bình. Một thước đo thuận tiện của băng thông là chiều rộng của dải quang phổ chính (xem Phần 1.7.2). Trên hình. 1,6 d nó được chỉ ra rằng băng thông của tín hiệu liên quan đến nghịch đảo của thời lượng ký hiệu hoặc độ rộng xung. Cơm. 1,6 f-k chính thức lặp lại Hình. 1,6 Địa ngục, ngoại trừ trong các hình sau, thời lượng xung ngắn hơn. Lưu ý rằng đối với các xung ngắn hơn, hàm sẽ hẹp hơn (Hình 1.6, và) so với những cái dài hơn (Hình 1.6, G). Trên hình. 1,6 và; nói cách khác, trong trường hợp thời lượng xung ngắn hơn, sự dịch chuyển của, là đủ để tạo ra một kết hợp rỗng hoặc làm mất hoàn toàn mối tương quan giữa các chuỗi được dịch chuyển. Kể từ trong hình. 1,6 e thời gian xung Tít hơn (tốc độ truyền xung cao hơn) so với trong Hình. 1,6 một, tỷ lệ sử dụng ban nhạc trong Hình. 1,6 đến chiếm nhiều băng tần hơn cho tần số xung thấp hơn được hiển thị trong hình. 1,6 d.

1.5.5. Tiếng ồn trong hệ thống thông tin liên lạc

Thuật ngữ "nhiễu" dùng để chỉ các tín hiệu điện không mong muốn luôn hiện hữu trong hệ thống điện. Sự hiện diện của tiếng ồn chồng lên tín hiệu "che khuất", hoặc mặt nạ, tín hiệu; điều này hạn chế khả năng của người nhận trong việc đưa ra quyết định chính xác về ý nghĩa của các ký hiệu, và do đó giới hạn tốc độ thông tin. Bản chất của tiếng ồn rất đa dạng và bao gồm cả các nguồn tự nhiên và nhân tạo. Tiếng ồn do con người tạo ra là tiếng ồn đánh lửa, tiếng ồn xung động chuyển mạch và tiếng ồn từ các nguồn bức xạ điện từ liên quan khác. Những tiếng ồn tự nhiên đến từ bầu khí quyển, mặt trời và các nguồn thiên hà khác.

Thiết kế kỹ thuật tốt có thể loại bỏ hầu hết tiếng ồn hoặc các tác động không mong muốn của nó thông qua lọc, sàng lọc, lựa chọn điều chế và vị trí máy thu tối ưu. Ví dụ, các phép đo thiên văn vô tuyến nhạy cảm thường được thực hiện ở các vùng sa mạc hẻo lánh, xa các nguồn nhiễu tự nhiên. Tuy nhiên, có một tiếng ồn tự nhiên, được gọi là tiếng ồn nhiệt, không thể loại bỏ được. Nhiễu nhiệt là do chuyển động nhiệt của các điện tử trong tất cả các thành phần tiêu tán - điện trở, vật dẫn, v.v. Các electron tương tự chịu trách nhiệm dẫn điện cũng là nguyên nhân gây ra nhiễu nhiệt.

Nhiễu nhiệt có thể được mô tả như một quá trình ngẫu nhiên Gaussian với giá trị trung bình bằng không. Quy trình Gaussian n (t) là một hàm ngẫu nhiên, giá trị của nó và tại một thời điểm tùy ý tđược đặc trưng về mặt thống kê bởi một hàm mật độ xác suất Gauss:

, (1.40)

phương sai ở đâu N. Hàm mật độ quá trình Gauss đã chuẩn hóa với giá trị trung bình bằng 0 thu được theo giả thiết rằng. Hàm mật độ xác suất chuẩn hóa theo giản đồ được thể hiện trong hình. 1.7.

Đây là một tín hiệu ngẫu nhiên, một- một tín hiệu trong kênh liên lạc, và N là một biến ngẫu nhiên biểu thị nhiễu Gaussian. Khi đó, hàm mật độ xác suất được biểu thị bằng

, (1.41)

trong đó, như trên, là phương sai N.

Hình 1.7. Hàm mật độ xác suất Gaussian chuẩn hóa ()

Phân bố Gauss thường được sử dụng như một mô hình cho nhiễu trong một hệ thống, vì có một định lý biên trung tâm, nói rằng, trong các điều kiện rất chung, phân phối xác suất của tổng j Các biến ngẫu nhiên độc lập về mặt thống kê tuân theo phân phối Gauss, và dạng của các hàm phân phối riêng lẻ không quan trọng. Do đó, ngay cả khi các cơ chế nhiễu riêng lẻ sẽ có phân bố không phải Gauss, thì tập hợp nhiều cơ chế như vậy sẽ có xu hướng phân bố Gauss.

1.5.5.1. Tiếng ồn trắng

Đặc tính phổ chính của nhiễu nhiệt là mật độ phổ công suất của nó là như nhau đối với tất cả các tần số quan tâm trong hầu hết các hệ thống thông tin liên lạc; nói cách khác, một nguồn nhiễu nhiệt bức xạ ở tất cả các tần số với công suất bằng nhau trên một đơn vị băng thông - từ DC đến tần số theo bậc Hz. Do đó, một mô hình nhiễu nhiệt đơn giản giả định rằng mật độ phổ công suất của nó là đồng nhất đối với tất cả các tần số, như thể hiện trong Hình. 1,8 một, và được viết dưới dạng sau.

(1.42)

Ở đây, hệ số 2 được đưa vào để chứng tỏ đó là mật độ phổ công suất hai mặt. Khi công suất nhiễu có mật độ phổ đồng đều như vậy, chúng ta gọi nhiễu này là nhiễu trắng. Tính từ "trắng" được sử dụng theo nghĩa tương tự như đối với ánh sáng trắng, chứa các phần bằng nhau của tất cả các tần số trong phổ điện từ nhìn thấy.

Hình 1.8. Tiếng ồn trắng: a) mật độ phổ công suất;

b) chức năng tự tương quan

Hàm tự tương quan nhiễu trắng được đưa ra bởi phép biến đổi Fourier nghịch đảo của mật độ phổ công suất nhiễu (xem Bảng A.1) và được viết như sau.

(1.43)

Do đó, tự tương quan của nhiễu trắng là một hàm đồng bằng, được tính trọng số bởi một hệ số và nằm tại điểm, như được chỉ ra trong Hình. 1,8 b. Lưu ý rằng bằng 0 cho, tức là, hai mẫu nhiễu trắng khác nhau không tương quan, cho dù chúng có gần nhau đến đâu.

Công suất nhiễu trắng trung bình là vô hạn vì băng thông nhiễu trắng là vô hạn. Điều này có thể được thấy bằng cách thu được biểu thức sau từ các phương trình (1.19) và (1.42).

(1.44)

Mặc dù tiếng ồn trắng là một sự trừu tượng rất hữu ích, không có quá trình nhiễu nào thực sự có thể có màu trắng; tuy nhiên, nhiễu xuất hiện trong nhiều hệ thống thực có thể được coi là nhiễu trắng. Chúng ta chỉ có thể quan sát thấy nhiễu như vậy sau khi nó đi qua một hệ thống thực có băng thông hữu hạn. Do đó, miễn là băng thông của nhiễu về cơ bản lớn hơn băng thông được sử dụng bởi hệ thống, thì nhiễu có thể được coi là có băng thông vô hạn.

Hàm delta trong phương trình (1.43) có nghĩa là tín hiệu nhiễu n (t) hoàn toàn không liên quan đến phiên bản thiên vị của riêng nó cho bất kỳ. Phương trình (1.43) cho thấy rằng hai mẫu bất kỳ của quá trình nhiễu trắng không tương quan với nhau. Vì nhiễu nhiệt là một quá trình Gaussian và các mẫu của nó không tương quan với nhau nên các mẫu nhiễu cũng độc lập. Do đó, ảnh hưởng của kênh nhiễu Gaussian trắng phụ gia lên quá trình phát hiện là nhiễu ảnh hưởng độc lập đến từng ký hiệu được truyền đi. Một kênh như vậy được gọi là kênh không nhớ. Thuật ngữ "cộng tính" có nghĩa là tiếng ồn chỉ đơn giản là được chồng lên hoặc thêm vào tín hiệu - không tồn tại cơ chế nhân.

Vì nhiễu nhiệt có trong tất cả các hệ thống thông tin liên lạc và là nguồn gây ồn đáng kể cho hầu hết các hệ thống, các đặc tính nhiễu nhiệt (cộng, trắng và Gaussian) thường được sử dụng để mô hình hóa nhiễu trong hệ thống thông tin liên lạc. Vì tiếng ồn Gaussian có nghĩa bằng không được đặc trưng đầy đủ bởi phương sai của nó, nên mô hình này đặc biệt dễ sử dụng trong việc phát hiện tín hiệu và thiết kế bộ thu tối ưu. Trong cuốn sách này, chúng tôi sẽ giả định (trừ khi có quy định khác) rằng hệ thống bị lỗi bởi nhiễu Gaussian trắng cộng thêm với giá trị trung bình bằng 0, mặc dù đôi khi sự đơn giản hóa này sẽ quá mạnh.

1.6. Truyền tín hiệu qua hệ thống đường dây

Bây giờ chúng tôi đã phát triển một tập hợp các mô hình tín hiệu và nhiễu, chúng ta hãy xem xét các đặc điểm của hệ thống và ảnh hưởng của chúng đối với tín hiệu và nhiễu. Vì một hệ thống có thể được đặc trưng với sự thành công như nhau trong cả miền tần số và thời gian, nên các phương pháp đã được phát triển trong cả hai trường hợp để phân tích phản ứng của hệ thống tuyến tính đối với tín hiệu đầu vào tùy ý. Tín hiệu được áp dụng cho đầu vào của hệ thống (Hình 1.9) có thể được mô tả dưới dạng tín hiệu thời gian hoặc thông qua phép biến đổi Fourier của nó. Việc sử dụng phân tích thời gian tạo ra đầu ra thời gian và trong quá trình này, chức năng, phản ứng xung hoặc phản ứng xung của mạng sẽ được xác định. Khi xem xét đầu vào trong miền tần số, chúng ta phải xác định đáp ứng tần số của hệ thống, hoặc hàm truyền, sẽ xác định đầu ra tần số. Giả thiết rằng hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian. Nó cũng được giả định rằng hệ thống không có năng lượng tiềm ẩn tại thời điểm tín hiệu đầu vào được đưa ra.

Hình 1.9. Hệ thống tuyến tính và các thông số chính của nó

1.6.1. đáp ứng xung

Hệ thống hoặc mạng tuyến tính, bất biến theo thời gian được thể hiện trong Hình. 1.9, được mô tả (trong miền thời gian) bởi đáp ứng xung, là đáp ứng của hệ thống khi một xung đơn được đưa vào đầu vào của nó.

Hãy xem xét thuật ngữ "phản ứng xung động", cực kỳ thích hợp cho sự kiện này. Việc mô tả các đặc tính của một hệ thống thông qua phản ứng xung của nó có một cách diễn giải vật lý trực tiếp. Tại đầu vào của hệ thống, chúng tôi áp dụng một xung đơn (một tín hiệu không thực có biên độ vô hạn, độ rộng bằng không và diện tích đơn vị), như thể hiện trong Hình. 1,10, một. Việc cung cấp một xung lực như vậy cho hệ thống có thể được coi là một "tác động tức thời". Hệ thống sẽ phản ứng như thế nào (“phản ứng”) với một lực tác động (xung lực) như vậy? Tín hiệu đầu ra là đáp ứng xung của hệ thống. (Một dạng có thể có của phản ứng này được thể hiện trong Hình 1.10, b.)

Đáp ứng của mạng đối với một tín hiệu tùy ý là một tích chập với, được viết như sau.

(1.46)

Hình 10.1. Minh họa khái niệm "đáp ứng xung": a) tín hiệu đầu vào là một hàm xung đơn vị; b) tín hiệu đầu ra là đáp ứng xung của hệ thống

Ở đây, dấu "*" biểu thị một phép toán tích chập (xem điều A.5). Hệ thống được giả định là quan hệ nhân quả, có nghĩa là không có tín hiệu ở đầu ra cho đến thời điểm tín hiệu được đưa vào đầu vào. Do đó, giới hạn dưới của tích hợp có thể được lấy bằng 0 và kết quả đầu ra có thể được biểu diễn theo một cách hơi khác.

(1,47, a)

hoặc ở dạng

(1,47b)

Các biểu thức trong phương trình (1.46) và (1.47) được gọi là tích phân chập. Convolution là một công cụ toán học cơ bản đóng một vai trò quan trọng trong việc hiểu tất cả các hệ thống truyền thông. Nếu người đọc chưa quen với thao tác này, anh ta nên tham khảo Phần A.5 để tìm ra phương trình (1.46) và (1.47).

1.6.2. Chức năng truyền tần số

Đầu ra tần số thu được bằng cách áp dụng phép biến đổi Fourier cho cả hai vế của phương trình (1.46). Vì tích chập trong miền thời gian trở thành phép nhân trong miền tần số (và ngược lại), nên từ phương trình (1.46) ta nhận được kết quả sau.

(Tất nhiên, nó được giả định là cho tất cả.) Tại đây , biến đổi Fourier của đáp ứng xung, được gọi là hàm truyền tần số, đáp ứng tần số, hoặc đáp ứng tần số của mạng. Nói chung, hàm phức tạp và có thể được viết dưới dạng

, (1.50)

mô đun phản hồi ở đâu. Giai đoạn phản hồi được xác định như sau.

(1.51)

(và biểu thị phần thực và phần ảo của đối số.)

Chức năng truyền tần số của một mạng tuyến tính, bất biến theo thời gian có thể được đo dễ dàng trong phòng thí nghiệm - trong một mạng có máy phát sóng hài ở đầu vào và máy hiện sóng ở đầu ra. Nếu tín hiệu đầu vào được biểu thị là

,

thì đầu ra có thể được viết như sau.

Tần số đầu vào được dịch chuyển theo giá trị mà chúng ta quan tâm; do đó, các phép đo ở đầu vào và đầu ra cho phép xác định loài.

1.6.2.1. Quy trình ngẫu nhiên và hệ thống tuyến tính

Nếu một quá trình ngẫu nhiên tạo thành đầu vào của một hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian, thì ở đầu ra của hệ thống này, chúng ta cũng thu được một quá trình ngẫu nhiên. Nói cách khác, mỗi hàm mẫu của quá trình đầu vào cho một hàm mẫu của quá trình đầu ra. Mật độ phổ công suất đầu vào và mật độ phổ công suất đầu ra có mối quan hệ sau.

(1.53)

Phương trình (1.53) cung cấp một cách đơn giản để tìm mật độ phổ công suất ở đầu ra của một hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian khi một quy trình ngẫu nhiên được áp dụng làm đầu vào.

Trong Chương 3 và 4, chúng ta sẽ xem xét việc phát hiện tín hiệu trong tiếng ồn Gaussian. Tính chất chính của các quá trình Gaussian sẽ được áp dụng cho một hệ thống tuyến tính. Nó sẽ được chỉ ra rằng nếu một quá trình Gaussian được đưa vào một bộ lọc tuyến tính bất biến theo thời gian, thì quá trình ngẫu nhiên, đầu ra, cũng là Gaussian.

1.6.3. Truyền mà không bị biến dạng

Điều gì cần thiết để một mạng hoạt động như một kênh truyền dẫn lý tưởng? Tín hiệu ở đầu ra của một kênh liên lạc lý tưởng có thể bị trễ so với tín hiệu ở đầu vào; Ngoài ra, những tín hiệu này có thể có các biên độ khác nhau (thay đổi tỷ lệ đơn giản), nhưng đối với mọi thứ khác - tín hiệu không được bị bóp méo, tức là nó phải có cùng hình dạng với tín hiệu đầu vào. Do đó, đối với một đường truyền lý tưởng không bị biến dạng, chúng ta có thể mô tả tín hiệu đầu ra là

, (1.54)

ở đâu và là hằng số. Áp dụng phép biến đổi Fourier cho cả hai phần (xem phần A.3.1), chúng ta có những điều sau đây.

(1.55)

Thay biểu thức (1.55) vào phương trình (1.49) ta thấy hàm truyền cần thiết của hệ để truyền không bị méo có dạng như sau.

(1.56)

Do đó, để có được một đường truyền lý tưởng mà không bị biến dạng, đáp ứng tổng thể của hệ thống phải có môđun không đổi, và sự dịch pha phải tuyến tính về tần số. Hệ thống tăng cường hoặc cắt giảm tất cả các thành phần tần số như nhau là chưa đủ. Tất cả các hài của tín hiệu phải đến đầu ra với cùng một độ trễ để chúng có thể được tính tổng. Vì độ trễ được liên kết với sự dịch chuyển pha và tần số theo chu kỳ bởi mối quan hệ

, (1,57, a)

Rõ ràng rằng, để độ trễ của tất cả các thành phần là như nhau, thì độ lệch pha phải tỷ lệ với tần số. Để đo độ méo tín hiệu do độ trễ gây ra, người ta thường sử dụng đặc tính gọi là độ trễ nhóm; Nó được định nghĩa như sau.

(1.57b)

Như vậy, để truyền dẫn không bị méo, ta có hai yêu cầu tương đương: pha phải tuyến tính về tần số hoặc trễ nhóm phải bằng một hằng số. Trong thực tế, tín hiệu sẽ bị méo khi đi qua một số bộ phận của hệ thống. Để loại bỏ sự biến dạng này, các mạch hiệu chỉnh pha hoặc biên độ (cân bằng) có thể được đưa vào hệ thống. Nói chung, méo tiếng là một đặc tính I / O chung của một hệ thống xác định hiệu suất của nó.

1.6.3.1. Bộ lọc lý tưởng

Việc xây dựng một mạng lưới lý tưởng được mô tả bằng phương trình (1.56) là không thực tế. Vấn đề là Công thức (1.56) giả định băng thông vô hạn, với băng thông hệ thống được xác định bởi dải tần số dương trong đó môđun có giá trị cho trước. (Nói chung, có một số phép đo băng thông; các phép đo phổ biến nhất được liệt kê trong Phần 1.7.) Như một giá trị gần đúng cho một mạng lý tưởng có băng thông vô hạn, chúng tôi chọn một mạng cắt ngắn đi qua mà không làm biến dạng tất cả các sóng hài có tần số từ đến đâu. tần số cắt thấp hơn và là tần số trên, như được hiển thị trong hình. 1.11. Tất cả các mạng như vậy được gọi là bộ lọc lý tưởng. Giả thiết rằng bên ngoài phạm vi, được gọi là băng thông (passband), biên độ đáp ứng của một bộ lọc lý tưởng bằng không. Băng thông hiệu dụng được xác định bởi băng thông bộ lọc và là Hz.

Nếu và, bộ lọc được gọi là truyền (Hình 1.11, một). Nếu và có giá trị hữu hạn, nó được gọi là bộ lọc thông thấp (Hình 1.11, b). Nếu nó có giá trị khác 0 và, nó được gọi là bộ lọc thông cao (Hình 1.11, trong).

Hình.1.11. Chức năng truyền của bộ lọc lý tưởng: a) bộ lọc truyền dẫn lý tưởng; b) một bộ lọc thông thấp lý tưởng; c) bộ lọc thông thấp lý tưởng

Sử dụng phương trình (1.59) và giả định cho một bộ lọc thông thấp lý tưởng với băng thông Hz được hiển thị trong hình. 1.11 b, hàm truyền có thể được viết như sau.

(1.58)

Đáp ứng xung của một bộ lọc thông thấp lý tưởng, được hiển thị trong Hình. 1.12 được biểu thị bằng công thức sau.

Hình.1.12. Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng

trong đó hàm được xác định trong phương trình (1.39). Phản ứng xung được hiển thị trong hình. 1,12 là phi nhân quả; điều này có nghĩa là tại thời điểm tín hiệu được áp dụng cho đầu vào (), có một phản hồi khác 0 ở đầu ra của bộ lọc. Do đó, rõ ràng là bộ lọc lý tưởng được mô tả bởi phương trình (1.58) không thực sự xảy ra.

Ví dụ 1.2. Truyền nhiễu trắng qua một bộ lọc lý tưởng

Tiếng ồn trắng với mật độ phổ công suất thể hiện trong Hình 1.8, một, được áp dụng cho đầu vào của bộ lọc thông thấp lý tưởng được hiển thị trong Hình. 1.11 b. Xác định mật độ phổ công suất và hàm tự tương quan của tín hiệu đầu ra.

Quyết định

Hàm tự tương quan là kết quả của việc áp dụng phép biến đổi Fourier nghịch đảo cho mật độ phổ công suất. Hàm tự tương quan được xác định bằng biểu thức sau (xem Bảng A.1).

So sánh kết quả thu được với công thức (1.62), chúng ta thấy rằng nó có dạng giống như đáp ứng xung của một bộ lọc thông thấp lý tưởng được thể hiện trong Hình. 1.12. Trong ví dụ này, một bộ lọc thông thấp lý tưởng sẽ chuyển đổi hàm tự tương quan của nhiễu trắng (được định nghĩa theo hàm delta) thành một hàm. Sau khi lọc, hệ thống sẽ không còn nhiễu trắng. Tín hiệu nhiễu đầu ra sẽ chỉ có mối tương quan bằng không với các bản sao được dịch chuyển của nó khi được dịch chuyển bởi bất kỳ số nguyên nào khác không.

1.6.3.2. Bộ lọc đã triển khai

Bộ lọc thông thấp đơn giản nhất có thể được thực hiện bao gồm điện trở (R) và điện dung (C), như thể hiện trong Hình. 1.13 một; bộ lọc này được gọi là bộ lọc RC và chức năng truyền của nó có thể được biểu diễn như sau.

, (1.63)

ở đâu . Đặc tính biên độ và đặc tính pha được thể hiện trong hình. 1.13 b, trong. Băng thông của bộ lọc thông thấp được xác định tại điểm nửa công suất; điểm này là tần số tại đó công suất tín hiệu đầu ra bằng một nửa giá trị lớn nhất hoặc tần số tại đó biên độ điện áp đầu ra bằng giá trị lớn nhất.

Nói chung, nửa điểm công suất được biểu thị bằng decibel (dB) là điểm -3 dB hoặc điểm thấp hơn giá trị lớn nhất 3 dB. Theo định nghĩa, giá trị tính bằng decibel được xác định bởi tỷ lệ lũy thừa, và.

(1,64, a)

Đây và là điện áp, a và là điện trở. Trong các hệ thống thông tin liên lạc, công suất chuẩn hóa thường được sử dụng để phân tích; trong trường hợp này, các điện trở và được coi là bằng 1 ohm, khi đó

Hình.1.13. Bộ lọc RC và chức năng truyền của nó: a) Bộ lọc RC; b) đặc tính biên độ của bộ lọc RC; c) đáp ứng pha của bộ lọc RC

(1,64, b)

Đáp ứng biên độ có thể được biểu thị bằng decibel như

, (1,64, in)

trong đó và các điện áp đầu vào và đầu ra, và điện trở đầu vào và đầu ra được coi là bằng nhau.

Từ phương trình (1.63), dễ dàng kiểm tra xem nửa công suất của bộ lọc thông thấp RC có tương ứng với rad / s hay Hz hay không. Do đó, băng thông trong hertz là. Hệ số dạng bộ lọc là thước đo mức độ tốt của bộ lọc thực gần đúng với bộ lọc lý tưởng. Nó thường được định nghĩa là tỷ số của băng thông bộ lọc -60 dB và -6 dB. Hệ số dạng đủ nhỏ (khoảng 2) có thể thu được trong bộ lọc truyền dẫn có điểm cắt rất sắc nét. Để so sánh, hệ số hình thức của một bộ lọc thông thấp RC đơn giản là khoảng 600.

Có một số phép tính gần đúng hữu ích về đặc tính của bộ lọc thông thấp lý tưởng. Một trong số chúng được cung cấp bởi bộ lọc Butterworth, bộ lọc này xấp xỉ bộ lọc thông thấp lý tưởng với chức năng

, (1.65)

ở đâu là tần số cắt trên (-3 dB) và là bậc của bộ lọc. Thứ tự càng cao, độ phức tạp và chi phí triển khai bộ lọc càng cao. Trên hình. 1.14 hiển thị đồ thị biên độ cho một số giá trị. Lưu ý rằng khi ngày càng phát triển, các đặc tính biên độ càng tiến gần đến các đặc tính của một bộ lọc lý tưởng. Bộ lọc Butterworth phổ biến vì chúng là giá trị xấp xỉ tốt nhất của trường hợp lý tưởng về độ phẳng băng thông bộ lọc tối đa.

Tiếp tục định kỳ của một xung động. Khái niệm về mật độ phổ của tín hiệu.Biến đổi Fourier ngược. Điều kiện để tồn tại mật độ phổ của tín hiệu.Quan hệ giữa thời lượng xung và độ rộng phổ của nó.Công thức Rayleigh tổng quát. Mật độ phổ tương hỗ của tín hiệu. Phổ năng lượng .Phân tích tương quan của các tín hiệu .So sánh các tín hiệu chuyển dịch theo thời gian.

Mục đích của bài giảng:

Thu được các đặc trưng phổ của tín hiệu không tuần hoàn (xung) bằng cách tổng quát hóa chuỗi Fourier. Xác định các yêu cầu đối với băng thông của thiết bị vô tuyến. Biểu diễn tín hiệu dưới dạng mật độ quang phổ của chúng. Sử dụng phổ năng lượng để có được các ước tính kỹ thuật khác nhau. Hiểu nhu cầu phát sinh đối với các tín hiệu có thuộc tính được lựa chọn đặc biệt như thế nào.

Gọi s (t) là tín hiệu xung đơn có thời gian hữu hạn. Bổ sung về mặt tinh thần với các tín hiệu giống nhau theo chu kỳ trong một khoảng thời gian nhất định T, chúng ta thu được chuỗi tuần hoàn đã nghiên cứu trước đây S per (t), có thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi Fourier phức tạp

(12.1) với các hệ số . (12.2)

Để trở lại một tín hiệu xung đơn lẻ, chúng ta hãy đặt khoảng thời gian lặp lại thành vô cùng T. Trong trường hợp này, rõ ràng là:

a) các tần số của sóng hài lân cận nω 1 và (n + l) ω 1 sẽ đóng tùy ý, do đó trong công thức (12.1) và (12.2) biến rời rạc nω 1 có thể được thay thế bằng biến liên tục ω - tần số hiện tại;

b) các hệ số biên độ C n sẽ trở nên nhỏ vô hạn do sự có mặt của T ở mẫu số của công thức (12.2).

Nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là tìm dạng giới hạn của công thức (12.1) là T → ∞.

Chúng ta hãy xem xét một khoảng tần số nhỏ Δω, tạo thành một vùng lân cận của một số giá trị tần số đã chọn ω 0. Trong khoảng thời gian này sẽ chứa N = Δω / ω 1 = ΔωT / (2π) các cặp thành phần quang phổ riêng lẻ, các tần số của chúng khác nhau ít như mong muốn. Do đó, các thành phần có thể được thêm vào như như thể tất cả chúng đều có cùng tần số và được đặc trưng bởi cùng biên độ phức tạp

Kết quả là, chúng tôi tìm thấy biên độ phức tạp của tín hiệu hài tương đương, phản ánh sự đóng góp của tất cả các thành phần phổ chứa trong khoảng thời gian Δω

. (12.3)

Hàm số (12.4)

được gọi là mật độ quang phổ tín hiệu s (t). Công thức (12.4) thực hiện Biến đổi Fourier tín hiệu này.

Hãy giải quyết vấn đề nghịch đảo của lý thuyết quang phổ của tín hiệu: tìm tín hiệu bằng mật độ phổ của nó, mà chúng ta sẽ xem xét cho trước.

Vì, trong giới hạn, khoảng tần số giữa các sóng hài lân cận giảm vô hạn, tổng cuối cùng nên được thay thế bằng tích phân

. (12.5)

Công thức quan trọng này được gọi là biến đổi Fourier nghịch đảođối với tín hiệu s (t).

Cuối cùng chúng ta hãy hình thành kết quả cơ bản: tín hiệu s (t) và mật độ phổ của nó S (ω) liên quan một-một bằng các phép biến đổi Fourier trực tiếp và nghịch đảo

, (12.6)

.

Việc biểu diễn phổ của tín hiệu mở ra một con đường trực tiếp dẫn đến việc phân tích tín hiệu đi qua nhiều loại mạch, thiết bị và hệ thống vô tuyến.

Tín hiệu s (t) có thể được liên kết với mật độ phổ s (ω) của nó nếu tín hiệu này hoàn toàn có thể tích hợp, tức là có một tích phân

Một điều kiện như vậy thu hẹp đáng kể lớp tín hiệu có thể chấp nhận được. Do đó, theo nghĩa cổ điển đã chỉ ra, không thể nói về mật độ phổ của một tín hiệu hài. và(t) = U m cosω 0 t , tồn tại trong suốt trục thời gian vô tận.

Bài học quan trọng: thời gian xung càng ngắn, phổ của nó càng rộng.

Độ rộng phổ được hiểu là khoảng tần số mà trong đó môđun của mật độ phổ không nhỏ hơn một số mức xác định trước, ví dụ, thay đổi từ | S | tối đa, lên đến 0,1 | S | tối đa

Tích của độ rộng của phổ xung và thời gian của nó là một số không đổi chỉ phụ thuộc vào hình dạng của xung và theo một quy luật, có thứ tự thống nhất: Thời gian xung càng ngắn thì băng thông tương ứng càng rộng bộ khuếch đại nên được. Nhiễu xung ngắn có phổ rộng và do đó có thể làm suy giảm các điều kiện thu sóng vô tuyến trong dải tần lớn.

Các mô hình toán học của nhiều tín hiệu được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật vô tuyến không thỏa mãn điều kiện tích phân tuyệt đối, vì vậy phương pháp biến đổi Fourier ở dạng thông thường không thể áp dụng cho chúng. Tuy nhiên, chúng ta có thể nói về mật độ quang phổ của những tín hiệu như vậy, nếu chúng ta giả định rằng những mật độ này được mô tả bằng các hàm tổng quát.

Hãy để hai tín hiệu u (t) và v (t), thường có giá trị phức tạp, được xác định bởi các phép biến đổi Fourier nghịch đảo của chúng.

Hãy tìm tích vô hướng của những tín hiệu này bằng cách biểu diễn một trong số chúng, chẳng hạn v (t), thông qua mật độ quang phổ của nó

Quan hệ kết quả là một công thức Rayleigh tổng quát. Một cách giải thích dễ nhớ của công thức này như sau: tích vô hướng của hai tín hiệu, tính đến một hệ số, tỷ lệ với tích vô hướng của mật độ quang phổ của chúng. Nếu các tín hiệu trùng khớp như nhau, thì tích vô hướng sẽ bằng năng lượng

. (12.7)

Hãy gọi quang phổ năng lượng lẫn nhau tín hiệu thực u(t) và v(t) hàm

, (12.8)

như vậy mà

. (4.9)

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng Re W Tia cực tím(ω) -even, và Im W Tia cực tím(ω) -odd tần số hàm. Tích phân (12,9) chỉ đóng góp vào phần thực, vì vậy

. (12.10)

Công thức cuối cùng giúp bạn có thể phân tích "cấu trúc tốt" của sự liên kết giữa các tín hiệu.

Hơn nữa, công thức Rayleigh tổng quát, được trình bày trong biểu mẫu (12.10), chỉ ra một cách cơ bản để giảm mức độ kết nối giữa hai tín hiệu, đạt được tính trực giao của chúng trong giới hạn. Để làm được điều này, một trong các tín hiệu phải được xử lý trong một hệ thống vật lý đặc biệt được gọi là bộ lọc tần số. Bộ lọc này được yêu cầu không chuyển đến đầu ra các thành phần phổ nằm trong khoảng tần số, trong đó phần thực của phổ năng lượng tương hỗ lớn. Sự phụ thuộc tần số của hệ số truyền của bộ lọc trực giao sẽ có mức tối thiểu rõ rệt trong phạm vi tần số được chỉ định.

Biểu diễn phổ của năng lượng tín hiệu có thể dễ dàng thu được từ công thức Rayleigh tổng quát nếu các tín hiệu trong đó u (t) và v (t) coi như nhau. Công thức (12.8), biểu thị mật độ năng lượng quang phổ, có dạng

Giá trị W u (ω) được gọi là mật độ năng lượng quang phổ dấu hiệu u (t), hay nói ngắn gọn là phổ năng lượng. Công thức (3.2) sau đó sẽ được viết là

. (12.12)

Quan hệ (4.12) được gọi là Công thức Rayleigh(theo nghĩa hẹp), phát biểu như sau: năng lượng của bất kỳ tín hiệu nào là kết quả của tổng các đóng góp từ các khoảng khác nhau của trục tần số.

Khi nghiên cứu một tín hiệu sử dụng phổ năng lượng của nó, chúng ta chắc chắn bị mất thông tin có trong phổ pha của tín hiệu, vì theo công thức (4.11), phổ năng lượng là bình phương của môđun của mật độ phổ và không phụ thuộc vào pha của nó.

Chúng ta hãy chuyển sang một ý tưởng đơn giản về hoạt động của một radar xung được thiết kế để đo phạm vi tới mục tiêu. Ở đây, thông tin về đối tượng đo được nhúng vào giá trị τ - thời gian trễ giữa tín hiệu thăm dò và nhận được. Các hình thức thăm dò và(t) và được chấp nhận và Tín hiệu (t-τ) giống nhau đối với bất kỳ độ trễ nào. Sơ đồ khối của thiết bị xử lý tín hiệu radar được thiết kế cho phạm vi có thể trông giống như hình 12.1.

Hình 12.1 - Thiết bị đo thời gian trễ tín hiệu

Hãy xem xét cái gọi là dạng năng lượng của tích phân Fourier. Trong Chương 5, các công thức (7.15) và (7.16) đã được trình bày, cho phép chuyển từ hàm thời gian sang ảnh Fourier và ngược lại. Nếu một số hàm ngẫu nhiên của thời gian x (s) được xem xét, thì đối với nó, các công thức này có thể được viết dưới dạng

và tích hợp trên tất cả

thay thế bằng biểu thức (11.54):

Giá trị trong ngoặc vuông (11,57), như dễ thấy, là hàm gốc của thời gian (11,55). Do đó, kết quả là cái gọi là công thức Rayleigh (định lý Parseval), tương ứng với dạng năng lượng của tích phân Fourier:

Vế phải của (11,58) và (11,39) là đại lượng tỷ lệ với năng lượng của quá trình đang xét. Vì vậy, ví dụ, nếu chúng ta coi dòng điện chạy qua một điện trở nào đó có điện trở K, thì năng lượng giải phóng trong điện trở này theo thời gian sẽ là

Công thức (11,58) và (11,59) và biểu diễn dạng năng lượng của tích phân Fourier.

Tuy nhiên, những công thức này không thuận tiện vì đối với hầu hết các quá trình, năng lượng cũng có xu hướng vô cùng trong một khoảng thời gian vô hạn. Do đó, sẽ thuận tiện hơn khi xử lý không phải bằng năng lượng, mà bằng công suất trung bình của quá trình, sẽ thu được nếu năng lượng được chia cho khoảng thời gian quan sát. Sau đó, công thức (11,58) có thể được biểu diễn dưới dạng

Giới thiệu ký hiệu

được gọi là mật độ quang phổ. quan trọng

Theo ý nghĩa vật lý của nó, mật độ quang phổ là đại lượng tỉ lệ với công suất trung bình của quá trình trong dải tần từ co đến co + d? Co.

Trong một số trường hợp, mật độ phổ chỉ được xem xét đối với các tần số dương, điều này có thể làm tăng gấp đôi cùng một lúc, vì mật độ phổ là một hàm chẵn của tần số. Sau đó, ví dụ, công thức (11,62) phải được viết là

- mật độ phổ đối với các tần số dương.

vì trong trường hợp này các công thức trở nên đối xứng hơn.

Một tình huống rất quan trọng là mật độ phổ và hàm tương quan của các quá trình ngẫu nhiên là các phép biến đổi Fourier lẫn nhau, tức là chúng được kết nối với nhau bằng các phụ thuộc tích phân của kiểu (11.54) và (11.55). Tài sản này được đưa ra mà không có bằng chứng.

Do đó, có thể viết các công thức sau:

Vì mật độ phổ và hàm tương quan đều là hàm thực, nên đôi khi công thức (11,65) và (11,66) được trình bày ở dạng đơn giản hơn;

)

Điều này xuất phát từ thực tế là sự bình đẳng diễn ra:

và các phần ảo có thể được loại bỏ sau khi thay thế thành (11.65) và (11.66), vì các hàm thực nằm ở bên trái.

nằm ở chỗ, đồ thị mật độ quang phổ càng hẹp (Hình 11.16, a), tức là, các tần số được biểu diễn trong mật độ phổ càng thấp, thì giá trị x thay đổi càng chậm theo thời gian. Ngược lại, đồ thị của mật độ phổ (Hình 11.16, b) càng rộng, tức là, các tần số biểu diễn trong mật độ phổ càng lớn, thì cấu trúc của hàm x (r) càng mịn và thay đổi theo thời gian càng nhanh. .

Như có thể thấy từ việc xem xét này, mối quan hệ giữa loại mật độ phổ và loại hàm thời gian thu được tỷ lệ nghịch so với mối quan hệ giữa hàm tương quan và bản thân quá trình (Hình 11.14). Do đó, một đồ thị hẹp hơn của hàm tương quan sẽ tương ứng với một đồ thị rộng hơn của mật độ phổ và ngược lại.

Và 8 (đồng). Các hàm này, không giống như các hàm xung được thảo luận trong Chương 4, là chẵn. Điều này có nghĩa là hàm 8 (m) nằm đối xứng với gốc tọa độ và có thể được xác định như sau;

Một định nghĩa tương tự áp dụng cho hàm 8 (co). Đôi khi mật độ phổ chuẩn hóa được đưa vào xem xét, đó là hình ảnh Fourier của hàm tương quan chuẩn hóa (11,52):

và do đó

trong đó O là độ phân tán.

Mật độ phổ tương hỗ cũng là thước đo mối quan hệ giữa hai biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp không có liên lạc, mật độ quang phổ lẫn nhau bằng không.

Hãy xem một số ví dụ.

Chức năng này được hiển thị trong Hình. 11,17 a. Hình ảnh Fourier tương ứng với nó trên cơ sở của Bảng. 11.3 sẽ

Phổ của quá trình bao gồm một đỉnh duy nhất của loại hàm xung đặt tại gốc tọa độ (Hình 11.17, b).

Điều này có nghĩa là tất cả sức mạnh của quá trình đang được xem xét đều tập trung ở tần số đạn, dự kiến.

Chức năng này được hiển thị trong Hình. 11.18, a, Phù hợp với bảng. 11.3 mật độ quang phổ sẽ là

3. Đối với một hàm tuần hoàn được khai triển trong một chuỗi Fourier

Ngoài phần tuần hoàn sẽ chứa một thành phần không tuần hoàn, thì phổ của hàm này sẽ chứa, cùng với các vạch riêng lẻ của loại hàm xung, cũng là một phần liên tục (Hình 11.20). Các đỉnh riêng lẻ trên đồ thị mật độ phổ chỉ ra sự hiện diện của các bất thường ẩn trong hàm đang nghiên cứu.

không chứa phần tuần hoàn, khi đó nó sẽ có quang phổ liên tục mà không có các cực đại rõ rệt.

Chúng ta hãy xem xét một số quá trình ngẫu nhiên tĩnh có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hệ thống điều khiển. Chúng tôi sẽ xem xét chỉ tập trung vào

Trong trường hợp này, bình phương trung bình của biến ngẫu nhiên sẽ bằng phương sai:

Có tính đến sự dịch chuyển không đổi trong hệ thống điều khiển là cơ bản.

(Hình 11.21, a):

Một ví dụ của quá trình như vậy là nhiễu nhiệt của một điện trở, cho mức độ của mật độ quang phổ của điện áp hỗn loạn trên điện trở này

nhiệt độ tuyệt đối.

Dựa trên (11,68), mật độ phổ (11,71) tương ứng với hàm tương quan

không có mối tương quan giữa các giá trị tiếp theo và trước đó của biến ngẫu nhiên x.

và do đó có sức mạnh vô hạn.

Để có được một quá trình thực tế về mặt vật lý, có thể tiện lợi đưa ra khái niệm nhiễu trắng với mật độ phổ giới hạn (Hình 11.21, b):

Băng thông cho mật độ quang phổ.

Quá trình này tương ứng với hàm tương quan

Giá trị RMS của một biến ngẫu nhiên tỷ lệ với căn bậc hai của dải tần:

Thường thuận tiện hơn khi xác định sự phụ thuộc gần đúng (11,73) với một đường cong trơn. Với mục đích này, bạn có thể, chẳng hạn, sử dụng biểu thức

Một yếu tố quyết định băng thông.

Quá trình tiếp cận tiếng ồn trắng, vì vậy

đối với những tần số này

Tích hợp (11,77) trên tất cả các tần số giúp xác định độ phân tán:

Do đó, mật độ quang phổ (11,77) có thể được viết ở dạng khác:

Hàm tương quan cho quá trình này

Hàm tương quan cũng được hiển thị trong hình. 11,21, c.

Sự chuyển đổi từ giá trị này sang giá trị khác là tức thời. Khoảng thời gian tuân theo luật phân phối Poisson (11.4).

Ví dụ, một biểu đồ kiểu này thu được trong lần gần đúng đầu tiên khi theo dõi mục tiêu chuyển động bằng radar. Một giá trị tốc độ không đổi tương ứng với chuyển động của mục tiêu trên một đường thẳng. Sự thay đổi dấu hiệu hoặc độ lớn của tốc độ tương ứng với sự điều động của mục tiêu.

Sẽ là giá trị trung bình của khoảng thời gian mà vận tốc góc không đổi. Đối với radar, giá trị này sẽ là thời gian trung bình mà mục tiêu di chuyển trên một đường thẳng.

Để xác định hàm tương quan, cần tìm giá trị trung bình của sản phẩm

Khi tìm ra tác phẩm này, có thể xảy ra hai trường hợp.

thuộc cùng một khoảng. Khi đó giá trị trung bình của tích của vận tốc góc sẽ bằng bình phương trung bình của vận tốc góc hoặc độ phân tán:

thuộc các khoảng khác nhau. Khi đó giá trị trung bình của tích các vận tốc sẽ bằng của viên đạn:

vì các sản phẩm có dấu hiệu tích cực và tiêu cực sẽ có khả năng xảy ra như nhau. Hàm tương quan sẽ bằng

Xác suất tìm thấy chúng trong các khoảng thời gian khác nhau.

Xác suất vắng mặt

Trong khoảng thời gian

vì những sự kiện này là độc lập.

Kết quả là, trong một khoảng thời gian hữu hạn, chúng ta thu được

Dấu của môđun tại m được đặt vì biểu thức (11.80) phải tương ứng với một hàm chẵn. Biểu thức cho hàm tương quan trùng với (11,79). Do đó, mật độ phổ của quá trình đang xét phải trùng với (11,78):

Lưu ý rằng, ngược lại với (11,78), công thức mật độ quang phổ (11,81) được viết cho vận tốc góc của quá trình (Hình 11,22). Nếu chúng ta chuyển từ vận tốc góc sang vận tốc góc, thì chúng ta nhận được một quá trình ngẫu nhiên không đứng yên với phương sai có xu hướng đến vô cùng. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, hệ thống servo, ở đầu vào của quá trình này hoạt động, có các lệnh đầu tiên và cao hơn. Do đó, hệ số lỗi đầu tiên c0 của hệ thống servo bằng 0 và sai số của nó sẽ chỉ được xác định bởi vận tốc đầu vào và các dẫn xuất của các đơn hàng cao hơn, đối với quá trình này là đứng yên. Điều này làm cho nó có thể sử dụng mật độ phổ (11,81) trong việc tính toán sai số động của hệ thống theo dõi.

3. Phát bóng không thường xuyên. Một số vật thể, chẳng hạn như tàu thủy, máy bay và những vật thể khác, đang chịu ảnh hưởng của nhiễu loạn bất thường (sóng không đều, nhiễu động khí quyển, v.v.), chuyển động theo quy luật ngẫu nhiên. Các tần số nhiễu loạn gần với tần số dao động tự nhiên của chúng. Chuyển động ngẫu nhiên của vật thể được gọi là chuyển động không đều, trái ngược với chuyển động đều, là chuyển động tuần hoàn.

Biểu đồ điển hình của cao độ không đều được thể hiện trong hình. 11,23. Có thể thấy từ việc xem xét biểu đồ này rằng, mặc dù bản chất ngẫu nhiên, điều này

chuyển động khá gần với tuần hoàn.

Trong thực tế, hàm tương quan của lăn không đều thường được gần đúng bằng biểu thức

Sự phân tán.

thường được tìm thấy bằng cách xử lý dữ liệu thực nghiệm (kiểm tra hiện trường).

Hàm tương quan (11,82) tương ứng với mật độ phổ (xem Bảng 11.3)

Điểm bất tiện của tính gần đúng (11.82) là công thức này có thể mô tả hành vi của bất kỳ một đại lượng nào của chuyển động lăn không đều (góc, vận tốc góc hoặc gia tốc góc), Trong trường hợp này, giá trị của O sẽ tương ứng với độ phân tán của góc, vận tốc. hoặc gia tốc.

Ví dụ, nếu công thức (11.82) được viết cho một góc, thì quá trình này sẽ tương ứng với một cái gấm hoa không đều với độ phân tán đối với vận tốc góc có xu hướng đến vô cùng, tức là nó sẽ là một quá trình không thực tế về mặt vật lý.

Một công thức thuận tiện hơn để ước tính góc cao độ

Tuy nhiên, sự gần đúng này cũng tương ứng với một quá trình không thực tế về mặt vật lý, vì sự phân tán của gia tốc góc hóa ra có xu hướng đến vô cùng.

Để có được sự phân tán cuối cùng của gia tốc góc, cần phải có các công thức tính gần đúng phức tạp hơn, không được trình bày ở đây.

Các đường cong điển hình cho hàm tương quan và mật độ phổ của cuộn không đều được thể hiện trong Hình. 11,24.