Điểm vật chất chuyển động tuần hoàn theo quy luật trực tuyến. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

- Giáo viên Dumbadze V.A.
từ trường 162 của quận Kirovsky của St.Petersburg.

Nhóm VKontakte của chúng tôi
Ứng dụng di động:

(ở đâu x t- thời gian tính bằng giây, tính từ lúc bắt đầu chuyển động). Tìm tốc độ của nó (tính bằng m / s) tại thời điểm t= 9 giây.

Tại t= 9 c ta có:

Tại sao chúng ta không nhân số 17 từ phương trình ban đầu?

tìm đạo hàm của nguyên hàm.

không có số 17 trong đạo hàm

Tại sao phải tìm đạo hàm?

Vận tốc là đạo hàm của một tọa độ theo thời gian.

Bài toán yêu cầu bạn tìm tốc độ

x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây, tính từ lúc bắt đầu chuyển động). Tìm tốc độ của nó bằng (m / s) tại thời điểm t= 6 giây.

Hãy tìm quy luật thay đổi tốc độ:

(6) = 3/2 * 36-6 * 6 + 2 = 54-38 = 16 chứ không phải 20

nhớ thủ tục

Vì khi nào thì phép cộng tốt hơn phép trừ?

Phép nhân được ưu tiên hơn phép cộng và phép trừ. Nhớ trẻ con ví dụ trường học: 2 + 2 2. Để tôi nhắc bạn rằng ở đây hóa ra không phải là 8, như một số người nghĩ, mà là 6.

Bạn không hiểu câu trả lời của khách.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Vì vậy, đúng vậy, hãy tính cho chính mình.

2) nhân / chia (phụ thuộc vào thứ tự trong phương trình, cái đầu tiên là - sau đó nó được giải quyết đầu tiên);

3) cộng / trừ (tương tự phụ thuộc vào thứ tự trong ví dụ).

Nhân = chia, cộng = trừ =>

Không phải 54 - (36 + 2), mà là 54-36 + 2 = 54 + 2-36 = 20

Đầu tiên, dành cho bạn - Sergey Batkovich. Thứ hai, bản thân bạn đã hiểu mình muốn nói gì và nói với ai chưa? Tôi không hiểu bạn.

Chất điểm chuyển động tịnh tiến theo quy luật (trong đó x là khoảng cách từ điểm chuẩn tính bằng mét, t là thời gian tính bằng giây, tính từ lúc bắt đầu chuyển động). Tìm tốc độ của nó bằng (m / s) tại thời điểm c.

Hãy tìm quy luật thay đổi tốc độ: m / s. Khi chúng ta có:

Giáo án chủ đề: “Quy luật phân hóa” lớp 11

Các phần: toán học

Loại bài học: khái quát hóa và hệ thống hóa kiến thức.

Mục tiêu bài học:

giáo dục:
- khái quát hóa, hệ thống hóa tài liệu của chuyên đề bằng cách tìm đạo hàm;
- sửa quy luật phân hóa;
- mở trường bách khoa cho sinh viên, giá trị áp dụng chủ đề;
đang phát triển:
- kiểm soát sự đồng hóa kiến thức và kỹ năng;
- phát triển và nâng cao khả năng áp dụng kiến thức trong một tình huống thay đổi;
- phát triển văn hóa diễn thuyết và khả năng rút ra kết luận và khái quát hóa;
giáo dục:
- phát triển quá trình nhận thức;
- truyền cho học sinh tính chính xác trong thiết kế, tính đúng mục đích.

Trang thiết bị:

máy chiếu, màn chiếu;
thẻ;
máy vi tính;
bàn;
các nhiệm vụ khác biệt trong các hình thức trình bày đa phương tiện.

I. Kiểm tra bài ở nhà.

1. Nghe học sinh báo cáo về các ví dụ về việc sử dụng các dẫn xuất.

2. Xem xét các ví dụ về việc sử dụng đạo hàm trong vật lý, hóa học, công nghệ và các ngành công nghiệp khác do học sinh đề xuất.

II. Cập nhật kiến thức.

Cô giáo:

Định nghĩa đạo hàm của một hàm số.
Thao tác nào được gọi là phân biệt?
Dùng quy tắc phân biệt nào để tính đạo hàm? (Mời học sinh lên bảng).
- đạo hàm của tổng;
- phái sinh của tác phẩm;
- đạo hàm chứa nhân tử hằng số;
- đạo hàm của thương;
- đạo hàm của một hàm phức;
Cho ví dụ nhiệm vụ áp dụng, dẫn đến khái niệm đạo hàm.

Một số vấn đề cụ thể từ các lĩnh vực khoa học khác nhau.

Nhiệm vụ số 1. Vật chuyển động thẳng đều theo quy luật x (t). Viết công thức tính vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t.

Nhiệm vụ số 2. Bán kính đường tròn R thay đổi theo quy luật R = 4 + 2t 2. Xác định tốc độ thay đổi diện tích của nó. trong thời điểm t = 2 s. Bán kính của hình tròn được đo bằng đơn vị cm. Đáp số: 603 cm 2 / s.

Nhiệm vụ số 3. Một chất điểm có khối lượng 5kg chuyển động thẳng đều theo quy luật

S (t) = 2t+, ở đâu S- khoảng cách tính bằng mét t- thời gian tính bằng giây. Tìm lực tác dụng lên chất điểm tại thời điểm t = 4 giây.

Trả lời: N.

Nhiệm vụ số 4. Bánh đà được giữ bởi phanh quay về phía sau t s một góc 3t - 0,1t 2 (rad). Tìm thấy:

a) vận tốc góc của bánh đà tại thời điểm t = 7 với;
b) bánh đà sẽ dừng vào thời điểm nào.

Trả lời: a) 2,86; b) 150 s.

Các ví dụ về việc sử dụng đạo hàm cũng có thể dùng làm nhiệm vụ tìm kiếm: nhiệt dung riêng chất của một vật nhất định, mật độ tuyến tính và động năng của vật thể, v.v.

III. Hoàn thành các nhiệm vụ khác nhau.

Những người muốn hoàn thành các nhiệm vụ ở mức “A” ngồi vào máy tính và thực hiện một bài kiểm tra với một câu trả lời được lập trình sẵn. ( ruột thừa. )

1. Tìm giá trị của đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 = 3.

2. Tìm giá trị của đạo hàm của hàm số y \ u003d xe x tại điểm x 0 \ u003d 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Giải phương trình f / (x) \ u003d 0 nếu f (x) \ u003d (3x 2 + 1) (3x 2 - 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Tính f / (1) nếu f (x) = (x 2 + 1) (x 3 - x).

5. Tìm giá trị của đạo hàm của hàm số f (t) = (t4 - 3) (t2 + 2) tại thời điểm t0 = 1.

6. Chất điểm chuyển động tịnh tiến theo quy luật: S (t) = t 3 - 3t 2. Chọn công thức xác định tốc độ chuyển động của chất điểm tại thời điểm t.

1) t 2 - 2t;
2) 3t 2 - 3t;
3) 3t 2 - 6t;
4) t 3 + 6t.

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Việc sử dụng đạo hàm trong vật lý, công nghệ, sinh học, đời sống

Trình bày cho bài học

Chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không thể hiện toàn bộ phạm vi của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến công việc này vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Loại bài học: tích hợp.

Mục đích của bài học: nghiên cứu một số khía cạnh của ứng dụng của đạo hàm trong các lĩnh vực khác nhau vật lý, hóa học, sinh học.

Nhiệm vụ: mở rộng tầm nhìn và hoạt động nhận thức sinh viên, phát triển suy nghĩ logic và khả năng áp dụng kiến thức của họ.

Hỗ trợ kỹ thuật: bảng tương tác; máy tính và đĩa.

I. Thời điểm tổ chức

II. Đặt mục tiêu của bài học

- Tôi muốn thực hiện một bài học theo phương châm của Alexei Nikolaevich Krylov Nhà toán học Liên Xô và người đóng tàu: "Lý thuyết mà không thực hành là chết hoặc vô dụng; thực hành mà không có lý thuyết là không thể hoặc ác."

Hãy xem lại các khái niệm cơ bản và trả lời các câu hỏi:

Định nghĩa cơ bản của đạo hàm là gì?
- Em biết gì về đạo hàm (tính chất, định lí)?
- Bạn có biết ví dụ nào về các bài toán đạo hàm trong vật lý, toán học và sinh học không?

Xem xét định nghĩa cơ bản của đạo hàm và cách biện minh của nó (câu trả lời cho câu hỏi đầu tiên):

Phát sinh là một trong những khái niệm cơ bản của toán học. Khả năng giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng các dẫn xuất yêu cầu kiến thức tốt tài liệu lý thuyết khả năng thực hiện nghiên cứu trong các tình huống khác nhau.

Vì vậy, trong bài học hôm nay chúng ta sẽ củng cố và hệ thống hóa các kiến thức đã học, nhận xét đánh giá bài làm của từng nhóm và sử dụng ví dụ về một số công việc, chúng ta sẽ trình bày cách sử dụng đạo hàm để giải các bài toán khác và nhiệm vụ phi tiêu chuẩn sử dụng một đạo hàm.

III. Giải thích về vật liệu mới

1. Công suất tức thời là đạo hàm của công đối với thời gian:

W = lim ∆A / ∆t ∆A - thay đổi công việc.

2. Nếu vật quay quanh một trục thì góc quay là một hàm của thời gian t
sau đó vận tốc góc bằng:

W = lim Δφ / Δt = φ ׳ (t) Δ t → 0

3. Cường độ dòng điện là một đạo hàm Ι = lim Δg / Δt = g ′,ở đâu g- điện tích dương chuyển qua tiết diện của vật dẫn trong thời gian Δt.

4. Để ∆Q là nhiệt lượng cần thiết để thay đổi nhiệt độ Δt thời gian, sau đó lim ΔQ / Δt = Q ′ = C - nhiệt dung riêng.

5. Bài toán về tốc độ của một phản ứng hóa học

m (t) - m (t0) - số lượng một chất phản ứng theo thời gian t0 trước t

V = lim ∆m / ∆t = m ∆t → 0

6. Gọi m là khối lượng chất phóng xạ. Tốc độ phân rã phóng xạ: V = lim ∆m / ∆t = m ׳ (t) ∆t → 0

Ở một dạng phân biệt, định luật phân rã phóng xạ có dạng: dN / dt = - λN,ở đâu N là số hạt nhân không bị phân rã theo thời gian t.

Tích hợp biểu thức này, chúng tôi nhận được: dN / N = - λdt ∫dN / N = - λ∫dt lnN = - λt + c, c = const tại t = 0 số hạt nhân phóng xạ N = N0, do đó chúng tôi có: log N0 = const, vì thế

n N = - λt + ln N0.

Tăng cường biểu thức này, chúng tôi nhận được:

định luật phân rã phóng xạ là gì, trong đó N0 là số lõi tại một thời điểm t0 = 0, N là số hạt nhân không bị phân rã theo thời gian t.

7. Theo phương trình truyền nhiệt của Newton, tốc độ dòng nhiệt dQ / dt tỷ lệ thuận với diện tích cửa sổ S và chênh lệch nhiệt độ ΔT giữa kính trong và kính ngoài và tỷ lệ nghịch với độ dày của nó d:

dQ / dt = A S / d ∆T

8. Hiện tượng khuếch tán là quá trình thiết lập sự phân bố cân bằng

Trong các pha cô đặc. Sự khuếch tán sang một bên, cân bằng nồng độ.

m = D ∆c / ∆x c - sự tập trung
m = D c ׳ x x - danh từ: Tọa độ, D- hệ số khuếch tán

9. Người ta đã biết rằng điện trường kích thích phí điện, hoặc từ trường có một nguồn duy nhất - dòng điện. James Clark Maxwell đã đưa ra một sửa đổi đối với các định luật điện từ học được phát hiện trước ông: một từ trường cũng phát sinh khi điện trường. Thoạt nhìn nhỏ, sửa đổi đã có những hậu quả to lớn: nó xuất hiện, mặc dù ở đầu cây bút, một điều hoàn toàn mới đối tượng vật lý – sóng điện từ. Maxwell sở hữu một cách thành thạo, trái ngược với Faraday, người dường như có thể tồn tại sự tồn tại của nó, đã suy ra phương trình cho điện trường:

∂E / ∂x = M∂B / Mo ∂t Mo = const t

Sự thay đổi trong điện trường làm xuất hiện từ trường Nói cách khác, tại bất kỳ điểm nào trong không gian, tốc độ thay đổi của điện trường xác định độ lớn của từ trường. Dưới lớn điện giật- một từ trường lớn hơn.

IV. Củng cố các điều đã học

- Chúng ta đã nghiên cứu đạo hàm và các tính chất của nó. Tôi muốn đọc câu nói đầy tính triết học của Gilbert: “Mỗi người đều có một cách nhìn nhận nhất định. Khi chân trời này thu hẹp đến mức nhỏ vô hạn, nó biến thành một điểm. Sau đó người đó nói rằng đây là quan điểm của anh ta.
Chúng ta hãy thử đo quan điểm về ứng dụng của đạo hàm!

Lô đất "Lá"(ứng dụng của đạo hàm trong sinh học, vật lý, đời sống)

Coi mùa thu là chuyển động không đều thời gian phụ thuộc.

Cho nên: S = S (t) V = S ′ (t) = x ′ (t), a = V ′ (t) = S ″ (t)

(Khảo sát lý thuyết: cảm giác máy móc phát sinh).

1. Giải quyết vấn đề

Giải quyết vấn đề của riêng bạn.

2. F = ma F = mV ′ F = mS ″

Hãy viết định luật Porton II, và tính đến ý nghĩa cơ học của đạo hàm, chúng ta sẽ viết lại nó dưới dạng: F = mV ′ F = mS ″

Cốt truyện của "Wolves, Gophers"

Hãy quay lại các phương trình: Xét các phương trình vi phân của tăng và giảm theo cấp số nhân: F = ma F = mV 'F = mS "
Giải quyết nhiều vấn đề về vật lý, sinh học kỹ thuật và khoa học Xã hộiđược giảm xuống vấn đề tìm kiếm các chức năng f "(x) = kf (x), thỏa mãn phương trình vi phân, trong đó k = const .

Công thức con người

Một người lớn hơn một nguyên tử bao nhiêu lần và anh ta nhỏ hơn một ngôi sao:

Do đó nó theo sau đó
Đây là công thức xác định vị trí của con người trong vũ trụ. Phù hợp với nó, kích thước của một người đại diện cho tỷ lệ trung bình của ngôi sao và nguyên tử.

Tôi muốn kết thúc bài học bằng câu nói của Lobachevsky: “Không có một lĩnh vực toán học nào, cho dù nó có trừu tượng đến đâu, mà một ngày nào đó sẽ không thể áp dụng cho các hiện tượng của thế giới thực.”

V. Lời giải của các số từ bộ sưu tập:

Giải quyết vấn đề độc lập trên bảng, tập thể phân tích các giải pháp vấn đề:

№ 1 Tìm tốc độ chuyển động điểm vật chất Vào cuối giây thứ 3, nếu chuyển động của chất điểm được cho bởi phương trình s = t ^ 2 –11t + 30.

№ 2 Chất điểm chuyển động tịnh tiến theo quy luật s = 6t - t ^ 2. Tại thời điểm nào tốc độ của nó sẽ bằng không?

№ 3 Hai vật chuyển động thẳng đều: một vật theo định luật s \ u003d t ^ 3 - t ^ 2 - 27t, vật kia - theo định luật s \ u003d t ^ 2 + 1. Xác định thời điểm vận tốc của hai vật này các cơ thể bằng nhau.

№ 4 Cho ô tô chuyển động với vận tốc 30 m / s thì quãng đường dừng được xác định theo công thức s (t) = 30t-16t ^ 2, trong đó s (t) là quãng đường tính bằng mét, t là thời gian hãm tính bằng giây. . Mất bao lâu để giảm tốc Dấu chấmô tô? Cái mà khoảng cách sẽ trôi quaô tô từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn?

№5 Một vật khối lượng 8 kg chuyển động thẳng đều theo định luật s = 2t ^ 2 + 3t - 1. Tìm động năng cơ thể (mv ^ 2/2) 3 giây sau khi bắt đầu chuyển động.

Quyết định: Tìm vận tốc của vật tại thời điểm nào:
V = ds / dt = 4t + 3
Tính vận tốc của vật tại thời điểm t = 3:
V t \ u003d 3 \ u003d 4 * 3 + 3 \ u003d 15 (m / s).
Hãy xác định động năng của vật tại thời điểm t = 3:
mv2 / 2 = 8 - 15 ^ 2/2 = 900 (J).

№6 Tìm động năng của vật sau 4 s kể từ lúc bắt đầu chuyển động, nếu khối lượng của nó là 25 kg và quy luật chuyển động là s = 3t ^ 2-1.

№7 Một vật có khối lượng 30kg chuyển động thẳng đều theo định luật s = 4t ^ 2 + t. Chứng minh rằng chuyển động của vật xảy ra dưới tác dụng của một lực không đổi.
Quyết định: Ta có s '= 8t + 1, s "= 8. Do đó, a (t) = 8 (m / s ^ 2), tức là theo định luật chuyển động đã cho, vật chuyển động với gia tốc không đổi 8 m / s ^ 2. Hơn nữa, vì khối lượng của vật là không đổi (30 kg) nên theo định luật II Newton, lực tác dụng lên nó F = ma = 30 * 8 = 240 (H) cũng là một giá trị không đổi.

№8 Một vật có khối lượng 3kg chuyển động thẳng đều theo định luật s (t) = t ^ 3 - 3t ^ 2 + 2. Tìm lực tác dụng lên vật tại thời điểm t = 4s.

№9 Chất điểm chuyển động theo quy luật s = 2t ^ 3 - 6t ^ 2 + 4t. Tìm gia tốc của nó ở cuối giây thứ 3.

VI. Ứng dụng của đạo hàm trong toán học:

Đạo hàm trong toán học cho thấy biểu thức số mức độ thay đổi của một đại lượng đặt tại cùng một điểm dưới tác động của các điều kiện khác nhau.

Công thức đạo hàm có từ thế kỷ 15. Nhà toán học vĩ đại người Ý Tartaglia, đang xem xét và phát triển câu hỏi - tầm bắn của đạn phụ thuộc bao nhiêu vào độ nghiêng của súng - đã sử dụng nó trong các bài viết của mình.

Công thức đạo hàm thường được tìm thấy trong các công trình của các nhà toán học nổi tiếng của thế kỷ 17. Nó được sử dụng bởi Newton và Leibniz.

Nhà khoa học nổi tiếng Galileo Galilei đã dành hẳn một chuyên luận về vai trò của đạo hàm trong toán học. Sau đó, phái sinh và các bản trình bày khác nhau với ứng dụng của nó bắt đầu được tìm thấy trong các tác phẩm của Descartes, Nhà toán học Pháp Roberval và Gregory người Anh. Một đóng góp to lớn trong việc nghiên cứu đạo hàm đã được thực hiện bởi những bộ óc như Lopital, Bernoulli, Langrange và những người khác.

1. Vẽ và khám phá chức năng:

Giải pháp cho vấn đề này:

Giây phút thư thái

VII. Ứng dụng của đạo hàm trong vật lý:

Khi nghiên cứu các quá trình và hiện tượng nào đó, thường nảy sinh vấn đề là xác định tốc độ của các quá trình này. Lời giải của nó dẫn đến khái niệm đạo hàm, đây là khái niệm cơ bản phép tính vi phân.

Phương pháp tính vi phân được tạo ra vào thế kỷ 17 và 18. Tên của hai nhà toán học vĩ đại, I. Newton và G.V. Leibniz.

Newton đã phát hiện ra phép tính vi phân khi giải các bài toán về tốc độ của một điểm vật chất trong khoảnh khắc này thời gian (tốc độ tức thời).

Trong vật lý, đạo hàm chủ yếu được sử dụng để tính giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất số lượng bất kỳ.

№1 Năng lượng tiềm năng U trường của một hạt trong đó có một hạt khác, chính xác là cùng một hạt có dạng: U = a / r 2 - b / r, ở đâu một và b là các hằng số dương, r- khoảng cách giữa các hạt. Tìm: a) giá trị r0ứng với vị trí cân bằng của hạt; b) tìm hiểu xem liệu tình hình này có ổn định hay không; trong) Fmax giá trị của lực hút; d) mô tả đồ thị phụ thuộc gần đúng U (r) và F (r).

Giải pháp của vấn đề này: Để xác định r0ứng với vị trí cân bằng của hạt, ta khảo sát f = U (r)đến cùng cực.

Sử dụng liên kết giữa năng lượng tiềm năng lĩnh vực

U và F, sau đó F = -dU / dr, chúng tôi nhận được F = - dU / dr = - (2a / r3 + b / r2) = 0; trong đó r = r0; 2a / r3 = b / r2 => r0 = 2a / b; Cân bằng bền hay không ổn định được xác định bằng dấu của đạo hàm thứ hai:
d2U / dr02 = dF / dr0 = - 6a / r02 + 2b / r03 = - 6a / (2a / b) 4 + 2b / (2a / b) 3 = (- b4 / 8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Hãy xem xét trường hợp cát tràn ra khỏi nền đã được lấp đầy.
Thay đổi động lượng trong một khoảng thời gian ngắn:
Δ p = (M - µ (t + Δ t)) (u + Δ u) +Δ µtu - (M - µt) u = FΔ t
Thời hạn Δ µtu là động lượng của lượng cát rơi ra khỏi bệ trong thời gian Δ t. Sau đó:
Δ p = MΔ u-µtΔ u- Δ µtΔ u = FΔ t
Chia cho Δ t và vượt qua giới hạn Δ t → 0
(M - µt) du / dt = F
Hoặc a1 = du / dt = F / (M - µt)

Trả lời: a = FM / (M + µt) 2, a1 = F / (M - µt)

VIII. Làm việc độc lập:

Tìm đạo hàm của các hàm số:

Đường thẳng y \ u003d 2x là tiếp tuyến của hàm số: y \ u003d x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Tìm hoành độ của giao điểm.

IX. Tổng kết bài học:

- Các chủ đề của bài học là gì?
- Bạn học được gì ở lớp?
Những sự kiện lý thuyết nào đã được tóm tắt trong bài học?
- Nhiệm vụ khó khăn nhất được coi là gì? Tại sao?

Thư mục:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Mô hình toán học và phương trình vi phân. - Minsk: trường cao học, 1982. - 272p.
Amelkin V.V. Phương trình vi phân trong các ứng dụng. M.: Khoa học. Ấn bản chính của tài liệu vật lý và toán học, 1987. - 160p.
Erugin N.P. Sách để đọc bởi tỷ giá hối đoái chung phương trình vi phân. - Minsk: Khoa học và công nghệ, 1979. - 744 tr.
.Magazine "Tiềm năng" Tháng 11 năm 2007 №11
"Đại số và sự khởi đầu của giải tích" Lớp 11 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov và những người khác.
"Đại số và giải tích toán học" N.Ya. Vilenkin và những người khác.
"Toán học" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

xn - i1abbnckbmcl9fb.xn - p1ai

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm. Nhiệm vụ!

ý nghĩa vật lý phát sinh. SỬ DỤNG trong toán học bao gồm một nhóm các nhiệm vụ để tìm lời giải mà kiến thức và hiểu biết về ý nghĩa vật lý của đạo hàm là cần thiết. Đặc biệt, có những vấn đề mà quy luật chuyển động được đưa ra điểm nhất định(vật), được thể hiện bằng phương trình và nó được yêu cầu để tìm tốc độ của nó tại một thời điểm nhất định trong thời gian chuyển động, hoặc thời gian sau đó vật thể sẽ đạt được một tốc độ nhất định. Các nhiệm vụ rất đơn giản, chúng được giải quyết trong một bước. Cho nên:

Lập định luật chuyển động của một chất điểm x (t) dọc theo trục tọa độ, với x là tọa độ của chất điểm chuyển động, t là thời gian.

Vận tốc tại một thời điểm nhất định là đạo hàm của tọa độ theo thời gian. Đây là ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

Tương tự, gia tốc là đạo hàm của tốc độ theo thời gian:

Như vậy, ý nghĩa vật lý của đạo hàm là tốc độ. Đó có thể là tốc độ di chuyển, tốc độ thay đổi trong một quá trình (ví dụ, sự phát triển của vi khuẩn), tốc độ làm việc (và như vậy, có nhiều tác vụ được áp dụng).

Ngoài ra cần biết bảng đạo hàm (cần biết cũng như bảng cửu chương) và quy tắc phân biệt. Cụ thể, để giải các bài toán xác định, cần biết sáu đạo hàm đầu tiên (xem bảng):

x (t) \ u003d t 2 - 7t - 20

trong đó x là khoảng cách từ điểm chuẩn tính bằng mét, t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 5 s.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm là tốc độ (tốc độ di chuyển, tốc độ thay đổi quá trình, tốc độ làm việc, v.v.)

Hãy tìm quy luật biến đổi tốc độ: v (t) = x ′ (t) = 2t - 7 m / s.

Chất điểm chuyển động tịnh tiến theo quy luật x (t) = 6t 2 - 48t + 17, trong đó x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 9 s.

Chất điểm chuyển động tịnh tiến theo quy luật x (t) = 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, trong đó x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 6 s.

Chất điểm chuyển động thẳng đều theo quy luật

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

ở đâu x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 3 s.

Chất điểm chuyển động thẳng đều theo quy luật

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

trong đó x là khoảng cách từ điểm chuẩn tính bằng mét, t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Vào thời điểm nào (tính bằng giây) tốc độ của cô bằng 6 m / s?

Hãy tìm quy luật thay đổi tốc độ:

Để tìm hiểu vào thời điểm nào t tốc độ bằng 3 m / s, cần giải phương trình:

Một chất điểm chuyển động trên một đường thẳng theo quy luật x (t) \ u003d t 2 - 13t + 23, trong đó x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Vào thời điểm nào (tính bằng giây) tốc độ của cô bằng 3 m / s?

Chất điểm chuyển động thẳng đều theo quy luật

x (t) \ u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

ở đâu x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét, t- thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Vào thời điểm nào (tính bằng giây) tốc độ của cô bằng 2 m / s?

Tôi lưu ý rằng chỉ tập trung vào loại nhiệm vụ này trong kỳ thi là không đáng. Họ có thể bất ngờ giới thiệu các nhiệm vụ ngược lại với những nhiệm vụ được trình bày. Khi quy luật biến thiên của vận tốc được đưa ra, câu hỏi tìm quy luật chuyển động sẽ được đặt ra.

Gợi ý: trong trường hợp này, bạn cần tìm tích phân của hàm tốc độ (đây cũng là các nguyên công trong một hành động). Nếu bạn cần tìm quãng đường đi được trong một thời điểm nhất định, thì bạn cần thay thời gian vào phương trình kết quả và tính quãng đường. Tuy nhiên, chúng tôi cũng sẽ phân tích các nhiệm vụ như vậy, đừng bỏ lỡ nó! Chúc các bạn thành công!

matematikalegko.ru

Đại số và sự khởi đầu phân tích toán học, Lớp 11 (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Trang số 094.

Sách giáo khoa:

Phiên bản OCR của trang từ hướng dẫn (văn bản của trang ở trên):

Như sau từ trên Đoạn văn này vấn đề, các câu sau là đúng:

1. Nếu tại chuyển động thẳng Quãng đường s đi được của chất điểm là một hàm của thời gian t, tức là s = f (t), thì tốc độ của chất điểm là đạo hàm của đường đi theo thời gian, tức là v (t) =

Thực tế này thể hiện ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

2. Nếu tại điểm x 0 kẻ một tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y \ u003d f (jc) thì số f "(xo) là tiếp tuyến của góc a giữa tiếp tuyến này và chiều dương của Trục Ox, tức là / "(x 0) \ u003d

Tga. Góc này được gọi là góc nghiêng của tiếp tuyến.

Thực tế này thể hiện cảm giác hình học phát sinh.

VÍ DỤ 3. Hãy tìm tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y \ u003d 0,5jc 2 - 2x + 4 tại điểm có hoành độ x \ u003d 0.

Tìm đạo hàm của hàm số f (x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 tại điểm x bất kỳ bằng cách sử dụng đẳng thức (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Hãy tính giá trị của đạo hàm này tại điểm x = 0:

Do đó, tga = -2. Đồ thị x của hàm số y \ u003d / (jc) và tiếp tuyến với đồ thị của nó tại điểm với abscissa jc \ u003d 0 được thể hiện trong Hình 95.

4.1 Cho chất điểm chuyển động thẳng biến đổi theo định luật s = t 2. Tìm thấy:

a) gia số thời gian Д £ trong khoảng thời gian từ t x \ u003d 1 đến £ 2 - 2;

b) Quãng đường đi được As trong khoảng thời gian từ t x = 1 đến t 2 = 2;

trong) tốc độ trung bình trong khoảng thời gian từ t x \ u003d 1 đến t 2 \ u003d 2.

4.2 Trong nhiệm vụ 4.1, tìm:

b) tốc độ trung bình trong khoảng thời gian từ t đến t + At;

trong) tốc độ tức thời tại thời điểm t;

d) tốc độ tức thời tại thời điểm t = 1.

4.3 Để chất điểm chuyển động tịnh tiến theo quy luật:

1) s = 3t + 5; 2) s \ u003d t 2 - bt.

a) số gia của đường đi As trong khoảng thời gian từ t đến t + At;

Sách giáo khoa:Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học. Lớp 11: sách giáo khoa. cho giáo dục phổ thông thể chế: cơ bản và hồ sơ. cấp độ / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - Xuất bản lần thứ 8. - M.: Giáo dục, 2009. - 464 tr: ốm.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm. SỬ DỤNG trong toán học bao gồm một nhóm các nhiệm vụ tìm lời giải mà kiến thức và hiểu biết về ý nghĩa vật lý của đạo hàm là cần thiết. Cụ thể, có những công việc mà quy luật chuyển động của một điểm (vật) nhất định được biểu thị bằng một phương trình và yêu cầu phải tìm tốc độ của nó tại một thời điểm nhất định trong thời gian chuyển động hoặc thời gian mà vật đó có được. một tốc độ nhất định.Các nhiệm vụ rất đơn giản, chúng được giải quyết trong một bước. Cho nên:

Cho định luật chuyển động của chất điểm x (t) dọc theo trục tọa độ, trong đó x là tọa độ của chất điểm, t là thời gian.

Vận tốc tại một thời điểm nhất định là đạo hàm của tọa độ theo thời gian. Đây là ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

Tương tự, gia tốc là đạo hàm của tốc độ theo thời gian:

Xem xét các nhiệm vụ:

x (t) \ u003d t 2 - 7t - 20

trong đó x t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 5 s.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm là tốc độ (tốc độ di chuyển, tốc độ thay đổi quá trình, tốc độ làm việc, v.v.)

Hãy tìm quy luật biến đổi tốc độ: v (t) = x ′ (t) = 2t - 7 m / s.

Với t = 5 ta có:

Trả lời: 3

Tự quyết định:

Chất điểm chuyển động tịnh tiến theo quy luật x (t) = 0,5t 3 - 3t 2 + 2t, ở đâu xt- thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 6 s.

Chất điểm chuyển động thẳng đều theo quy luật

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

ở đâu x- khoảng cách từ điểm tham chiếu tính bằng mét,t- thời gian tính bằng giây, được đo từ khi bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ của nó (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm t = 3 s.

Chất điểm chuyển động thẳng đều theo quy luật

x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28

Hãy tìm quy luật thay đổi tốc độ:

Để tìm hiểu vào thời điểm nàottốc độ bằng 3 m / s, cần giải phương trình:

Trả lời: 3

Quyết định cho chính mình:

Chất điểm chuyển động thẳng đều theo quy luật

x (t) \ u003d (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn kể về trang web trên mạng xã hội.

Chất điểm chuyển động trên đường thẳng tuân theo quy luật S \ u003d t 4 + 2t (S - tính bằng mét t- trong vài giây). Tìm gia tốc trung bình của nó giữa các thời điểm t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, cũng như khả năng tăng tốc thực sự của nó vào lúc này t 3 = 6 giây.

Quyết định.

1. Tìm vận tốc của chất điểm là đạo hàm của đường đi S theo thời gian t, những thứ kia.

2. Thay các giá trị của nó vào t 1 \ u003d 5 s và t 2 \ u003d 7 s, chúng tôi tìm thấy các tốc độ:

V 1 \ u003d 4 5 3 + 2 \ u003d 502 m / s; V 2 \ u003d 4 7 3 + 2 \ u003d 1374 m / s.

3. Xác định độ tăng tốc ΔV theo thời gian Δt = 7 - 5 = 2 s:

ΔV \ u003d V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m / s.

4. Như vậy, gia tốc trung bình của chất điểm sẽ bằng

5. Để xác định giá trị đích thực gia tốc của chất điểm, ta lấy đạo hàm của tốc độ theo thời gian:

6. Thay thế t giá trị t 3 \ u003d 6 s, chúng tôi nhận được gia tốc tại thời điểm này

a cf \ u003d 12-6 3 \ u003d 432 m / s 2.

chuyển động cong. Tại chuyển động cong tốc độ của chất điểm thay đổi về độ lớn và hướng.

Hãy tưởng tượng một điểm M, mà trong thời gian Δt, chuyển động dọc theo một số quỹ đạo cong, đã chuyển đến vị trí M 1(Hình 6).

Vectơ tăng (thay đổi) của vận tốc ΔV sẽ

Vì tìm vectơ ΔV ta chuyển vectơ V 1 đến điểm M và xây dựng một tam giác tốc độ. Hãy xác định véc tơ gia tốc trung bình:

Véc tơ một đám cưới song song với vectơ ΔV, vì chia vectơ cho số lượng vô hướng hướng của vectơ không thay đổi. Vectơ gia tốc thực là giới hạn mà tỷ số của vectơ vận tốc trong khoảng thời gian tương ứng Δt có xu hướng bằng không, tức là

Giới hạn như vậy được gọi là đạo hàm vectơ.

Vì vậy, gia tốc thực của một điểm trong quá trình chuyển động theo đường cong bằng đạo hàm vectơ đối với vận tốc.

Từ hình. 6 cho thấy rằng vectơ gia tốc trong quá trình chuyển động theo đường cong luôn hướng về trọng lực của quỹ đạo.

Để thuận tiện cho việc tính toán, gia tốc được chia thành hai thành phần của quỹ đạo chuyển động: theo phương tiếp tuyến, được gọi là gia tốc tiếp tuyến (tiếp tuyến) một, và dọc theo pháp tuyến, được gọi là gia tốc pháp tuyến a n (Hình 7).

Trong trường hợp này, tổng gia tốc sẽ là

Gia tốc tiếp tuyến trùng phương với tốc độ của chất điểm hoặc ngược chiều với nó. Nó đặc trưng cho sự thay đổi giá trị vận tốc và theo đó, được xác định bằng công thức

Gia tốc pháp tuyến vuông góc với hướng của vận tốc của chất điểm và giá trị số của nó được xác định theo công thức

r ở đâu - bán kính cong của quỹ đạo tại điểm đang xét.

Vì gia tốc tiếp tuyến và pháp tuyến vuông góc với nhau, do đó, độ lớn của gia tốc toàn phần được xác định theo công thức

và hướng của nó

Nếu một , khi đó các vectơ gia tốc và vận tốc tiếp tuyến hướng cùng chiều và chuyển động sẽ có gia tốc.

Nếu một thì vectơ gia tốc tiếp tuyến hướng ngược chiều với vectơ vận tốc và chuyển động sẽ chậm dần đều.

Véc tơ gia tốc bình thường luôn hướng về tâm của độ cong, do đó nó được gọi là hướng tâm.