Cách giải ý nghĩa hình học của đạo hàm. Phát sinh

Loại công việc: 7

Điều kiện

Đường thẳng y = 3x + 2 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -12x ^ 2 + bx-10. Tìm b, cho rằng abscissa của điểm tiếp xúc nhỏ hơn 0.

Hiển thị giải pháp

Quyết định

Gọi x_0 là hoành độ của điểm trên đồ thị của hàm số y = -12x ^ 2 + bx-10 mà tiếp tuyến của đồ thị này đi qua.

Giá trị của đạo hàm tại điểm x_0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến, tức là y "(x_0) = - 24x_0 + b = 3. Mặt khác, điểm tiếp tuyến thuộc cả đồ thị của hàm số và tiếp tuyến, tức là -12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. Ta nhận được một hệ phương trình \ begin (case) -24x_0 + b = 3, \\ - 12x_0 ^ 2 + bx_0-10 = 3x_0 + 2. \ end (trường hợp)

Giải hệ này, ta được x_0 ^ 2 = 1, nghĩa là x_0 = -1 hoặc x_0 = 1. Theo điều kiện của abscissa, các điểm tiếp xúc nhỏ hơn 0, do đó x_0 = -1, khi đó b = 3 + 24x_0 = -21.

Trả lời

Loại công việc: 7
Chủ đề: Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Điều kiện

Đường thẳng y = -3x + 4 song song với tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x ^ 2 + 5x-7. Tìm hoành độ của điểm tiếp xúc.

Hiển thị giải pháp

Quyết định

Hệ số góc của đường tới đồ thị của hàm số y = -x ^ 2 + 5x-7 tại một điểm tùy ý x_0 là y "(x_0). Nhưng y" = - 2x + 5 nên y "(x_0) = - 2x_0 + 5. Hệ số góc của đường thẳng y = -3x + 4 xác định trong điều kiện là -3. Các đường thẳng song song có cùng hệ số góc nên ta tìm được giá trị x_0 sao cho = -2x_0 + 5 = -3.

Ta được: x_0 = 4.

Trả lời

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi-2017. mức độ hồ sơ. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Loại công việc: 7
Chủ đề: Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Điều kiện

Hiển thị giải pháp

Quyết định

Từ hình vẽ ta xác định được tiếp tuyến đi qua các điểm A (-6; 2) và B (-1; 1). Ký hiệu bằng C (-6; 1) giao điểm của hai đường thẳng x = -6 và y = 1, và bằng \ alpha là góc ABC (có thể thấy trong hình là nó nhọn). Khi đó đường thẳng AB tạo thành một góc tù \ pi - \ alpha với chiều dương của trục Ox.

Như bạn đã biết, tg (\ pi - \ alpha) sẽ là giá trị của đạo hàm của hàm f (x) tại điểm x_0. thông báo rằng tg \ alpha = \ frac (AC) (CB) = \ frac (2-1) (- 1 - (- 6)) = \ frac15. Từ đây, bằng các công thức rút gọn, chúng ta thu được: tg (\ pi - \ alpha) = -tg \ alpha = - \ frac15 = -0,2.

Trả lời

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi-2017. mức độ hồ sơ. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Loại công việc: 7
Chủ đề: Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Điều kiện

Đường thẳng y = -2x-4 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 16x ^ 2 + bx + 12. Tìm b, cho rằng abscissa của điểm tiếp xúc lớn hơn 0.

Hiển thị giải pháp

Quyết định

Gọi x_0 là hoành độ của điểm trên đồ thị của hàm số y = 16x ^ 2 + bx + 12 mà qua đó

là tiếp tuyến của đồ thị này.

Giá trị của đạo hàm tại điểm x_0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến, tức là y "(x_0) = 32x_0 + b = -2. Mặt khác, điểm tiếp tuyến thuộc cả đồ thị của hàm số và tiếp tuyến, tức là 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = - 2x_0-4 Ta nhận được một hệ phương trình \ begin (case) 32x_0 + b = -2, \\ 16x_0 ^ 2 + bx_0 + 12 = -2x_0-4. \ end (trường hợp)

Giải hệ, ta được x_0 ^ 2 = 1, nghĩa là x_0 = -1 hoặc x_0 = 1. Theo điều kiện của abscissa, các điểm tiếp xúc lớn hơn 0, do đó x_0 = 1, khi đó b = -2-32x_0 = -34.

Trả lời

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi-2017. mức độ hồ sơ. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Loại công việc: 7
Chủ đề: Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Điều kiện

Hình bên là đồ thị của hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (-2; 8). Xác định số điểm mà tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 6.

Hiển thị giải pháp

Quyết định

Đường thẳng y = 6 song song với trục Ox. Do đó, ta tìm được những điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục Ox. Trên biểu đồ này, những điểm như vậy là điểm cực trị (điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu). Như bạn thấy, có 4 điểm cực trị.

Trả lời

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi-2017. mức độ hồ sơ. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Loại công việc: 7
Chủ đề: Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Điều kiện

Đường thẳng y = 4x-6 song song với tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x ^ 2-4x + 9. Tìm hoành độ của điểm tiếp xúc.

Hiển thị giải pháp

Quyết định

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y \ u003d x ^ 2-4x + 9 tại một điểm tùy ý x_0 là y "(x_0). Nhưng y" \ u003d 2x-4, có nghĩa là y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Hệ số góc của tiếp tuyến y \ u003d 4x-7 xác định trong điều kiện bằng 4. Các đường thẳng song song có cùng hệ số góc. Do đó, ta tìm giá trị x_0 sao cho 2x_0-4 \ u003d 4. Ta nhận được : x_0 \ u003d 4.

Trả lời

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi-2017. mức độ hồ sơ. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Loại công việc: 7
Chủ đề: Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Điều kiện

Hình bên là đồ thị của hàm số y = f (x) và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ x_0. Tìm giá trị của đạo hàm của hàm số f (x) tại điểm x_0.

Hiển thị giải pháp

Quyết định

Từ hình vẽ, ta xác định được tiếp tuyến đi qua các điểm A (1; 1) và B (5; 4). Ký hiệu bằng C (5; 1) giao điểm của hai đường thẳng x = 5 và y = 1, và bằng \ alpha là góc BAC (có thể thấy trong hình là góc nhọn). Khi đó đường thẳng AB tạo thành một góc \ alpha với chiều dương của trục Ox.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Các nhiệm vụ thi liên quan đến chủ đề này gây ra một số khó khăn cho học sinh tốt nghiệp. Hầu hết chúng thực sự rất đơn giản.Trong bài này, chúng tôi sẽ phân tích các công việc trong đó yêu cầu tìm đạo hàm cho một đồ thị hàm số đã cho và một tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm nào đó

* Hơn nữa, trong các nhiệm vụ này, bản phác thảo cho thấy rõ ràng ít nhất hai điểm mà tiếp tuyến này đi qua. Bạn cần biết gì để giải quyết?

Hãy xây dựng một đồ thị tùy ý của một hàm số y = f (x) trên mặt phẳng tọa độ, dựng tiếp tuyến tại điểm x o, biểu thị góc giữa đường thẳng đối với trục ox là α (alpha)

Từ khóa học đại số, người ta biết rằng phương trình của một đường thẳng có dạng:

Đó là, đạo hàm của hàmy = f(x) tại điểm x 0 bằng hệ số góc của tiếp tuyến:

Và hệ số góc lần lượt bằng tiếp tuyến của góc α (alpha), nghĩa là:

Góc α (alpha) có thể nhỏ hơn, lớn hơn 90 độ hoặc bằng không.

Hãy minh họa hai trường hợp:

1. Góc của tiếp tuyến lớn hơn 90 độ (góc tù).

2. Góc nghiêng của tiếp tuyến bằng không (tiếp tuyến song song với trục ồ).

Nghĩa là, các nhiệm vụ trong đó đồ thị của một hàm số được cho là tiếp tuyến của đồ thị này tại một điểm nhất định và yêu cầu tìm đạo hàm tại điểm tiếp tuyến, được giảm xuống thành việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến (hoặc tiếp tuyến hệ số góc của tiếp tuyến là như nhau).

Dưới đây chúng ta xem xét lời giải của các bài toán này bằng cách tìm tang của góc giữa tiếp tuyến và trục abscissa (trụcồ), chúng ta sẽ xem xét một cách giải khác (tìm đạo hàm theo hệ số góc) trong thời gian tới. Chúng ta cũng sẽ xem xét các nhiệm vụ cần có kiến ​​thức về các tính chất của đạo hàm để đọc đồ thị hàm số. Đừng bỏ lỡ!

Xin lưu ý rằng hai điểm mà tiếp tuyến đi qua được đánh dấu trên mặt phẳng tọa độ - đây là một điểm rất quan trọng (có thể nói là mấu chốt trong các nhiệm vụ này).

Những gì khác được yêu cầulà kiến ​​thức về tiếp tuyến của một góc tù.

y = f(x) x 0 y = f(x) tại điểm x 0 .

Giá trị của đạo hàm tại tiếp điểm bằng hệ số góc của tiếp tuyến, lần lượt bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của tiếp tuyến đã cho với trục x. Để tìm tiếp tuyến của góc này, chúng ta dựng một tam giác vuông, trong đó đoạn giới hạn bởi hai điểm trên đồ thị sẽ là cạnh huyền và chân song song với các trục. Trong bài toán này, đây là các điểm (–5; –4), (1; 5).

Để tôi nhắc bạn: tiếp tuyến của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỷ số của chân đối diện với chân kề.

Các chân được xác định bởi số lượng tế bào.

Góc nghiêng của tiếp tuyến với trục x bằng góc BAC. , ồ. Có nghĩa

Trả lời: 1,5

y = f(x) x 0 y = f(x) tại điểm x 0 .

Nhiệm vụ tương tự như trước. Chúng ta cũng xây dựng một tam giác vuông, trong đó đoạn giới hạn bởi hai điểm trên biểu đồ sẽ là cạnh huyền. Trong bài toán này, đây là các điểm (–5; –7), (3; 3).

Chân cũng được xác định bởi số lượng tế bào.

Góc nghiêng của tiếp tuyến với trục x bằng góc BAC. , vì chân AC song song với trục ồ. Có nghĩa

Trả lời: 1,25

Hình bên là đồ thị của hàm sốy = f(x) và tiếp tuyến với nó tại một điểm có hoành độx 0 . Tìm giá trị của đạo hàm của một hàm sốy = f(x) tại điểm x 0 .

Chúng ta xây dựng một tam giác vuông, trong đó đoạn giới hạn bởi hai điểm trên đồ thị sẽ là cạnh huyền. Trong bài toán này, đây là các điểm (–3; 3) và (5; 11). Từ điểm (5; 11) ta dựng chân tiếp theo sao cho có góc ngoài.

Vì CD song song với trục x nên góc ABD bằng góc nghiêng của tiếp tuyến với trục x. Như vậy, ta sẽ tính được tang của góc ABD. Lưu ý rằng nó lớn hơn 90 độ, vì vậy ở đây bạn cần sử dụng công thức giảm cho tiếp tuyến:

Có nghĩa

* Chiều dài của các chân được tính bằng số ô.

Trả lời: -1,75

Hình bên là đồ thị của hàm số y = f(x) và tiếp tuyến với nó tại một điểm có hoành độ x 0 . Tìm giá trị của đạo hàm của một hàm số y = f(x) tại điểm x 0 . x 0

Đó là tất cả! Chúc bạn may mắn!

Trân trọng, Alexander Krutitskikh.

P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn kể về trang web trên mạng xã hội.

Đạo hàm hàm số.

1. Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của nó.

2. Đạo hàm của một hàm phức.

3. Đạo hàm của hàm ngược.

4. Phái sinh của đơn đặt hàng cao hơn.

5. Các chức năng được xác định theo tham số và ngầm định.

6. Phân biệt các hàm đã cho theo tham số và hàm ẩn.

Giới thiệu.

Nguồn gốc của phép tính vi phân là hai câu hỏi được đặt ra bởi nhu cầu của khoa học và công nghệ trong thế kỷ 17.

1) Câu hỏi về tính tốc độ của một định luật chuyển động cho trước tùy ý.

2) Câu hỏi về việc tìm (với sự trợ giúp của phép tính) một tiếp tuyến của một đường cong cho trước tùy ý.

Bài toán vẽ tiếp tuyến của một số đường cong đã được nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Archimedes (287-212 TCN) giải bằng phương pháp vẽ.

Nhưng chỉ đến thế kỷ 17 và 18, trước sự tiến bộ của khoa học tự nhiên và công nghệ, những vấn đề này mới được phát triển đúng mức.

Một trong những câu hỏi quan trọng trong việc nghiên cứu bất kỳ hiện tượng vật lý nào thường là câu hỏi về tốc độ, tốc độ của hiện tượng xảy ra.

Tốc độ máy bay hoặc ô tô đang di chuyển luôn là chỉ số quan trọng nhất để đánh giá hoạt động của nó. Tốc độ gia tăng dân số của một quốc gia nhất định là một trong những đặc điểm chính của sự phát triển xã hội của nó.

Ý tưởng ban đầu về tốc độ là rõ ràng đối với tất cả mọi người. Tuy nhiên, ý tưởng chung này không đủ để giải quyết hầu hết các vấn đề thực tế. Cần phải có một định nghĩa định lượng như vậy về đại lượng này, mà chúng ta gọi là tốc độ. Sự cần thiết phải có một định nghĩa định lượng chính xác như vậy trong lịch sử đã từng là một trong những động cơ chính để tạo ra phân tích toán học. Toàn bộ phần phân tích toán học được dành cho giải pháp của vấn đề cơ bản này và các kết luận từ giải pháp này. Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu phần này.

Định nghĩa đạo hàm, ý nghĩa hình học của nó.

Cho một hàm được xác định trong một khoảng nào đó được cho trước (AC) và liên tục trong đó.

1. Hãy đưa ra một lập luận X tăng dần, sau đó hàm sẽ nhận được

tăng :

2. Soạn một quan hệ .

3. Vượt qua giới hạn tại và, giả sử rằng giới hạn

tồn tại, chúng tôi nhận được giá trị, được gọi là

đạo hàm của một hàm đối với đối số X.

Sự định nghĩa.Đạo hàm của một hàm tại một điểm là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số khi → 0.

Giá trị của đạo hàm rõ ràng phụ thuộc vào điểm X, trong đó nó được tìm thấy, do đó, đạo hàm của hàm, lần lượt là, một số hàm của X. Được chỉ định.

Theo định nghĩa, chúng tôi có

hoặc (3)

Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số.

1. ;

Trong mặt phẳng tọa độ hoy xét đồ thị của hàm số y = f (x). Sửa một điểm M (x 0; f (x 0)). Hãy cho abscissa x 0 tăng Δх. Chúng tôi sẽ có một abscissa mới x 0 + Δx. Đây là cơ sở của điểm N, và sắc phong sẽ là f (х 0 + Δх). Một sự thay đổi trong abscissa kéo theo một sự thay đổi trong phong vị. Sự thay đổi này được gọi là gia số của hàm và được ký hiệu là Δy.

Δy \ u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). thông qua các dấu chấm M và N vẽ một ly khai MN, tạo thành một góc φ với hướng trục dương Ồ. Xác định tiếp tuyến của góc φ từ một tam giác vuông MPN.

Để cho được Δх có xu hướng bằng không. Sau đó, người ly khai MN sẽ có xu hướng chiếm vị trí của một tiếp tuyến MT, và góc φ sẽ trở thành một góc α . Vậy tiếp tuyến của góc α là giá trị giới hạn của tiếp tuyến của góc φ :

Giới hạn của tỷ số giữa số gia của hàm với số gia của đối số, khi giá trị sau có xu hướng bằng không, được gọi là đạo hàm của hàm tại một điểm đã cho:

Ý nghĩa hình học của đạo hàm nằm ở chỗ đạo hàm số của hàm số tại một điểm cho trước bằng tiếp tuyến của góc tạo bởi tiếp tuyến vẽ qua điểm này với đường cong đã cho và chiều dương của trục Ồ:

Các ví dụ.

1. Tìm gia số đối số và gia số hàm y = x2 nếu giá trị ban đầu của đối số là 4 và mới 4,01 .

Quyết định.

Giá trị đối số mới x \ u003d x 0 + Δx. Thay thế dữ liệu: 4,01 = 4 + Δx, do đó giá trị gia tăng của đối số Δх= 4,01-4 = 0,01. Số gia của một hàm, theo định nghĩa, bằng hiệu giữa giá trị mới và giá trị trước đó của hàm, tức là Δy \ u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Vì chúng ta có một chức năng y = x2, sau đó Δу\ u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \ u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx + (Δx) 2 - (x 0) 2 \ u003d 2x 0 · ∆x + (∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Trả lời: gia tăng đối số Δх= 0,01; tăng hàm Δу=0,0801.

Có thể tìm thấy số tăng của hàm theo một cách khác: Δy\ u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \ u003d y (4.01) -y (4) \ u003d 4.01 2 -4 2 \ u003d 16.0801-16 \ u003d 0.0801.

2. Tìm góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm x 0, nếu f "(x 0) \ u003d 1.

Quyết định.

Giá trị của đạo hàm tại điểm tiếp xúc x 0 và là giá trị của hệ số góc của tiếp tuyến (ý nghĩa hình học của đạo hàm). Chúng ta có: f "(x 0) \ u003d tgα \ u003d 1 → α \ u003d 45 °, như tg45 ° = 1.

Trả lời: Tiếp tuyến với đồ thị của hàm số này tạo với đáy một góc hợp với chiều dương của trục Ox, bằng 45 °.

3. Tìm công thức cho đạo hàm của một hàm số y = xn.

Sự khác biệt là hành động tìm đạo hàm của một hàm số.

Khi tìm đạo hàm, các công thức được sử dụng dựa trên cơ sở của định nghĩa đạo hàm, giống như cách chúng ta suy ra công thức cho bậc đạo hàm: (x n) "= nx n-1.

Đây là các công thức.

Bảng phái sinh sẽ dễ dàng ghi nhớ hơn bằng cách phát âm các công thức bằng lời nói:

1. Đạo hàm của một giá trị không đổi bằng không.

2. Nét X bằng một.

3. Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm.

4. Đạo hàm của một cấp bằng tích của số mũ của cấp này với cùng một cơ số, nhưng số mũ nhỏ hơn một.

5. Đạo hàm của căn bằng một chia cho hai cùng căn.

6. Đạo hàm của một chia cho x được trừ một chia cho x bình phương.

7. Đạo hàm của sin bằng với cosin.

8. Đạo hàm của cosine bằng trừ sin.

9. Đạo hàm của tiếp tuyến bằng một chia cho bình phương của côsin.

10. Đạo hàm của cotang là trừ một chia cho bình phương của sin.

Chúng tôi dạy quy tắc phân biệt.

1. Đạo hàm của tổng đại số bằng tổng đại số của các số hạng đạo hàm.

2. Đạo hàm của tích bằng tích của đạo hàm của thừa số thứ nhất với nhân tử thứ hai cộng với tích của thừa số thứ nhất với đạo hàm của nhân tố thứ hai.

3. Đạo hàm của “y” chia cho “ve” bằng một phân số, ở tử số “y là một nét nhân với“ ve ”trừ“ y, nhân với một nét ”và ở mẫu số -“ ve bình phương ”.

4. Một trường hợp đặc biệt của công thức 3.