Phép tính vi phân. Phép tính vi phân và tích phân

Một vòng tròn nảy sinh, những đại diện nổi bật nhất trong số đó là anh em Bernoulli (Jacob và Johann) và Lopital. Bằng cách sử dụng các bài giảng của I. Bernoulli, L'Hopital đã viết cuốn sách giáo khoa đầu tiên phác thảo phương pháp mới được áp dụng cho lý thuyết về đường cong phẳng. Anh ấy đã gọi cho anh ấy Phân tích các chỉ tiêu nội bộ, do đó đặt một trong những cái tên cho nhánh mới của toán học. Phần trình bày dựa trên khái niệm về các biến, giữa chúng có một số mối liên hệ, do đó sự thay đổi của một biến này kéo theo sự thay đổi ở một biến khác. Trong Lopital, kết nối này được đưa ra với sự trợ giúp của các đường cong phẳng: nếu M (\ displaystyle M) là một điểm chuyển động của một đường cong mặt phẳng, sau đó là tọa độ Descartes của nó x (\ displaystyle x) và y (\ displaystyle y), được gọi là abscissa và tọa độ của đường cong, là các biến và sự thay đổi x (\ displaystyle x)đòi hỏi sự thay đổi y (\ displaystyle y). Không có khái niệm về một hàm: muốn nói rằng sự phụ thuộc của các biến được đưa ra, Lopital nói rằng "bản chất của đường cong đã được biết trước." Khái niệm vi phân được giới thiệu như sau:

Một phần thập phân nhỏ, trong đó một biến liên tục tăng hoặc giảm, được gọi là vi phân của nó ... Để biểu thị vi phân của một biến, bản thân nó được thể hiện bằng một chữ cái, chúng ta sẽ sử dụng dấu hoặc ký hiệu d (\ displaystyle d). ... Một phần thập phân vô cùng, trong đó vi phân của một giá trị thay đổi liên tục tăng hoặc giảm, được gọi là ... vi phân thứ hai.

Các định nghĩa này được giải thích bằng hình học, với Hình. gia số thập phân nhỏ được mô tả là hữu hạn. Việc xem xét dựa trên hai yêu cầu (tiên đề). Ngày thứ nhất:

Yêu cầu rằng hai đại lượng chỉ chênh lệch nhau một lượng nhỏ bằng một số thập phân có thể được lấy [khi đơn giản hóa các biểu thức?] Một cách hờ hững thay vì một đại lượng khác.

Do đó nó thành ra x + d x = x (\ displaystyle x + dx = x), Thêm nữa

D x y = (x + d x) (y + d y) - x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x (\ displaystyle dxy = (x + dx) (y + dy) - xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx) dy + ydx = xdy + ydx)

Yêu cầu thứ hai là:

Yêu cầu người ta có thể coi một đường cong là tập hợp của một tập hợp vô hạn các đoạn thẳng nhỏ vô hạn.

Sự tiếp tục của mỗi đường như vậy được gọi là tiếp tuyến của đường cong. Khám phá một tiếp tuyến qua một điểm M = (x, y) (\ displaystyle M = (x, y)), L'Hopital coi trọng số lượng

y d x d y - x (\ displaystyle y (\ frac (dx) (dy)) - x),

đạt giá trị cực trị tại các điểm uốn của đường cong, trong khi tỷ lệ d y (\ displaystyle dy)đến d x (\ displaystyle dx) không có ý nghĩa đặc biệt được đính kèm.

Việc tìm ra các điểm cực trị là điều đáng chú ý. Nếu với sự gia tăng liên tục của abscissa x (\ displaystyle x) phong chức y (\ displaystyle y)đầu tiên tăng và sau đó giảm, sau đó vi phân d y (\ displaystyle dy) ban đầu tích cực so với d x (\ displaystyle dx) và sau đó phủ định.

Nhưng bất kỳ đại lượng tăng hoặc giảm liên tục nào cũng không thể chuyển từ dương sang âm mà không đi qua vô cùng hoặc bằng không ... Theo đó vi phân có độ lớn lớn nhất và nhỏ nhất phải bằng không hoặc vô cùng.

Công thức này có lẽ không hoàn hảo, nếu chúng ta nhớ lại yêu cầu đầu tiên: hãy nói, y = x 2 (\ displaystyle y = x ^ (2)), sau đó nhờ yêu cầu đầu tiên

2 x d x + d x 2 = 2 x d x (\ displaystyle 2xdx + dx ^ (2) = 2xdx);

ở mức 0, phía bên phải là 0, nhưng phía bên trái thì không. Rõ ràng nó nên được nói rằng d y (\ displaystyle dy) có thể được chuyển đổi theo yêu cầu đầu tiên để ở điểm tối đa d y = 0 (\ displaystyle dy = 0). . Trong các ví dụ, mọi thứ đều tự hiển nhiên, và chỉ trong lý thuyết về điểm uốn, Lopital mới viết rằng d y (\ displaystyle dy) bằng 0 tại điểm lớn nhất, khi chia cho d x (\ displaystyle dx) .

Hơn nữa, chỉ với sự trợ giúp của vi phân, các điều kiện cho một cực trị được xây dựng và một số lượng lớn các bài toán phức tạp được xem xét, chủ yếu liên quan đến hình học vi phân trên mặt phẳng. Cuối sách, trong ch. 10, cái mà bây giờ được gọi là quy tắc của L'Hopital đã được phát biểu, mặc dù ở dạng không hoàn toàn bình thường. Hãy để giá trị của ước lượng y (\ displaystyle y)đường cong được biểu thị dưới dạng phân số có tử số và mẫu số biến mất tại. Sau đó, điểm của đường cong với x = a (\ displaystyle x = a) có một chức vụ y (\ displaystyle y), bằng tỷ số của vi phân tử số với vi phân mẫu số, lấy tại x = a (\ displaystyle x = a).

Theo ý tưởng của L'Hopital, những gì ông viết là phần đầu tiên của Giải tích, trong khi phần thứ hai được cho là chứa phép tính tích phân, tức là một cách để tìm kết nối của các biến bằng kết nối đã biết của các vi phân của chúng. Sự trình bày đầu tiên của nó được đưa ra bởi Johann Bernoulli trong Bài giảng toán học về phương pháp tích phân. Ở đây, một phương pháp được đưa ra để lấy hầu hết các tích phân cơ bản và phương pháp giải nhiều phương trình vi phân bậc nhất được chỉ ra.

Chỉ ra tính hữu ích thực tế và tính đơn giản của phương pháp mới, Leibniz đã viết:

Những gì một người đàn ông thành thạo trong phép tính này có thể nhận được chỉ trong ba dòng, những người đàn ông uyên bác nhất khác đã bị buộc phải tìm kiếm, đi theo những con đường vòng phức tạp.

Euler

Leonhard Euler

Những thay đổi diễn ra trong nửa thế kỷ tiếp theo được phản ánh trong chuyên luận sâu rộng của Euler. Phần trình bày phân tích mở ra "Giới thiệu" hai tập, bao gồm nghiên cứu về các biểu diễn khác nhau của các hàm cơ bản. Thuật ngữ "chức năng" lần đầu tiên chỉ xuất hiện ở Leibniz, nhưng chính Euler đã đặt nó cho những vai trò đầu tiên. Cách giải thích ban đầu của khái niệm hàm là hàm là một biểu thức để đếm (Rechnungsausdrϋck của Đức) hoặc biểu thức phân tích.

Hàm của một đại lượng thay đổi là một biểu thức giải tích được tạo thành theo một cách nào đó của đại lượng biến đổi này và các số hoặc đại lượng không đổi.

Nhấn mạnh rằng “sự khác biệt chính giữa các hàm nằm ở cách chúng được cấu tạo bởi các biến và hằng số,” Euler liệt kê các hành động “mà các đại lượng có thể được kết hợp và trộn lẫn với nhau; những hành động này là: cộng và trừ, nhân và chia, lũy thừa và chiết các gốc; giải pháp của phương trình [đại số] cũng nên được đưa vào đây. Ngoài các phép toán này, được gọi là đại số, còn có nhiều phép toán khác, siêu việt, chẳng hạn như: hàm mũ, lôgarit và vô số các phép toán khác, được cung cấp bằng phép tính tích phân. Cách giải thích như vậy giúp dễ dàng xử lý các hàm đa giá trị và không yêu cầu giải thích về trường nào mà hàm được xem xét trên: biểu thức cho số đếm được xác định cho các giá trị phức tạp của các biến ngay cả khi điều này không cần thiết cho vấn đề đang xem xét.

Các phép toán trong biểu thức chỉ được phép với một số hữu hạn và phép siêu việt được thâm nhập với sự trợ giúp của một số lớn vô hạn ∞ (\ displaystyle \ infty). Trong biểu thức, số này được sử dụng cùng với số tự nhiên. Ví dụ, một biểu thức như vậy cho số mũ được coi là hợp lệ

e x = (1 + x ∞) ∞ (\ displaystyle e ^ (x) = \ left (1 + (\ frac (x) (\ infty)) \ right) ^ (\ infty)),

trong đó chỉ những tác giả sau này mới thấy sự chuyển đổi giới hạn. Các phép biến đổi khác nhau đã được thực hiện với các biểu thức giải tích, cho phép Euler tìm các biểu diễn cho các hàm cơ bản ở dạng chuỗi, tích vô hạn, v.v. Euler biến đổi các biểu thức để đếm theo cách giống như chúng làm trong đại số, không chú ý đến khả năng tính giá trị của một hàm tại một điểm cho mỗi từ các công thức đã viết.

Trái ngược với L'Hôpital, Euler xem xét chi tiết các hàm siêu việt, và đặc biệt là hai lớp được nghiên cứu nhiều nhất của chúng - hàm mũ và lượng giác. Ông phát hiện ra rằng tất cả các hàm cơ bản có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các phép toán số học và hai phép toán - lấy lôgarit và số mũ.

Quá trình chứng minh hoàn toàn thể hiện kỹ thuật sử dụng độ lớn vô hạn. Sau khi xác định sin và côsin bằng cách sử dụng đường tròn lượng giác, Euler suy ra những điều sau đây từ các công thức cộng:

(cos ⁡ x + - 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + - 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + - 1 sin ⁡ (x + y), (\ displaystyle (\ cos x + (\ sqrt (-1)) \ sin x) (\ cos y + (\ sqrt (-1)) \ sin y) = \ cos ((x + y)) + (\ sqrt (-1)) \ sin ((x + y)))) 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + - 1 sin ⁡ x) n + (cos ⁡ x - - 1 sin ⁡ x) n (\ displaystyle 2 \ cos nx = (\ cos x + (\ sqrt (-1)) \ sin x) ^ (n) + (\ cos x - (\ sqrt (-1)) \ sin x) ^ (n))

Giả định n = ∞ (\ displaystyle n = \ infty) và z = n x (\ displaystyle z = nx), anh nhận được

2 cos ⁡ z = (1 + - 1 z ∞) ∞ + (1 - - 1 z ∞) ∞ = e - 1 z + e - - 1 z (\ displaystyle 2 \ cos z = \ left (1 + (\ frac ((\ sqrt (-1)) z) (\ infty)) \ right) ^ (\ infty) + \ left (1 - (\ frac ((\ sqrt (-1)) z) (\ infty)) \ right) ^ (\ infty) = e ^ ((\ sqrt (-1)) z) + e ^ (- (\ sqrt (-1)) z)),

loại bỏ các giá trị nhỏ lẻ của một thứ tự cao hơn. Sử dụng biểu thức này và một biểu thức tương tự, Euler cũng có được công thức nổi tiếng của mình

e - 1 x = cos ⁡ x + - 1 sin ⁡ x (\ displaystyle e ^ ((\ sqrt (-1)) x) = \ cos (x) + (\ sqrt (-1)) \ sin (x) ).

Sau khi chỉ ra các biểu thức khác nhau cho các hàm hiện được gọi là cơ bản, Euler tiến hành xem xét các đường cong trong mặt phẳng, được vẽ bằng chuyển động tự do của bàn tay. Theo ý kiến của ông, không thể tìm thấy một biểu thức phân tích duy nhất cho mỗi đường cong như vậy (xem thêm Tranh cãi về chuỗi). Vào thế kỷ 19, theo gợi ý của Casorati, phát biểu này bị coi là sai lầm: theo định lý Weierstrass, bất kỳ đường cong liên tục nào theo nghĩa hiện đại đều có thể được mô tả gần đúng bằng đa thức. Trên thực tế, Euler hầu như không bị thuyết phục bởi điều này, bởi vì chúng ta vẫn cần phải viết lại đoạn văn đến mức giới hạn bằng cách sử dụng ký hiệu ∞ (\ displaystyle \ infty).

Sự trình bày của Euler về phép tính vi phân bắt đầu với lý thuyết về sự khác biệt hữu hạn, tiếp theo trong chương thứ ba bằng một lời giải thích triết học rằng "một đại lượng vô cùng chính xác bằng 0", điều mà hầu hết tất cả đều không phù hợp với những người cùng thời với Euler. Sau đó, vi phân được hình thành từ sự khác biệt hữu hạn với gia số thập phân, và từ công thức nội suy của Newton, công thức của Taylor. Phương pháp này về cơ bản quay trở lại công việc của Taylor (1715). Trong trường hợp này, Euler có một mối quan hệ ổn định d k y d x k (\ displaystyle (\ frac (d ^ (k) y) (dx ^ (k)))), tuy nhiên, được coi là tỷ số của hai mục tiêu không nhỏ. Các chương cuối dành cho tính toán gần đúng bằng cách sử dụng chuỗi.

Trong phép tính tích phân ba tập, Euler đưa ra khái niệm tích phân như sau:

Hàm có vi phân = X d x (\ displaystyle = Xdx), được gọi là tích phân của nó và được ký hiệu bằng dấu S (\ displaystyle S)đặt ở phía trước.

Nhìn chung, phần này của chuyên luận Euler được dành cho vấn đề tổng quát hơn của việc tích phân các phương trình vi phân theo quan điểm hiện đại. Khi làm như vậy, Euler tìm thấy một số phương trình tích phân và vi phân dẫn đến các hàm mới, ví dụ, Γ (\ displaystyle \ Gamma)-functions, elliptic function, v.v ... Một bằng chứng chặt chẽ về tính không nguyên tố của chúng đã được Jacobi đưa ra vào những năm 1830 cho các hàm elliptic và bởi Liouville (xem các hàm cơ bản).

Lagrange

Công việc quan trọng tiếp theo, đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển khái niệm phân tích, là Lý thuyết về các hàm giải tích Lagrange và phần kể lại rộng rãi công việc của Lagrange, được Lacroix thực hiện theo một cách hơi chiết trung.

Với mong muốn loại bỏ hoàn toàn số thập phân vô cực, Lagrange đã đảo ngược mối liên hệ giữa các đạo hàm và chuỗi Taylor. Bằng một hàm giải tích, Lagrange đã hiểu một hàm tùy ý được điều tra bằng các phương pháp phân tích. Ông đã chỉ định chính hàm là, đưa ra một cách đồ họa để viết sự phụ thuộc - trước đó, Euler quản lý chỉ với các biến. Để áp dụng các phương pháp phân tích, theo Lagrange, cần phải mở rộng hàm thành một chuỗi

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 +… (\ displaystyle f (x + h) = f (x) + ph + qh ^ (2) + \ dot),

hệ số của nó sẽ là các hàm mới x (\ displaystyle x). Nó vẫn còn để đặt tên p (\ displaystyle p)đạo hàm (hệ số vi phân) và ký hiệu nó là f ′ (x) (\ displaystyle f "(x)). Do đó, khái niệm đạo hàm được giới thiệu ở trang thứ hai của chuyên luận và không có sự trợ giúp của các phép tính chính xác. Cần lưu ý rằng

f ′ (x + h) = p + 2 q h +… (\ displaystyle f "(x + h) = p + 2qh + \ dot),

vì vậy hệ số q (\ displaystyle q) là đạo hàm kép của đạo hàm f (x) (\ displaystyle f (x)), I E

q = 1 2! f ″ (x) (\ displaystyle q = (\ frac (1) (2}f""(x)} !} vân vân.

Cách tiếp cận này để giải thích khái niệm đạo hàm được sử dụng trong đại số hiện đại và là cơ sở cho việc tạo ra lý thuyết Weierstrass về các hàm giải tích.

Lagrange hoạt động trên các chuỗi như hình thức và thu được một số định lý đáng chú ý. Đặc biệt, lần đầu tiên và khá chặt chẽ, ông đã chứng minh được khả năng giải được bài toán ban đầu đối với phương trình vi phân thông thường trong chuỗi lũy thừa hình thức.

Câu hỏi về ước tính độ chính xác của các phép gần đúng được cung cấp bởi các tổng một phần của chuỗi Taylor lần đầu tiên được đặt ra bởi Lagrange: ở phần cuối Các lý thuyết về chức năng phân tíchông suy ra cái mà bây giờ được gọi là công thức phần dư Lagrange của Taylor. Tuy nhiên, trái ngược với các tác giả hiện đại, Lagrange không thấy cần thiết phải sử dụng kết quả này để biện minh cho sự hội tụ của chuỗi Taylor.

Câu hỏi về việc liệu các hàm được sử dụng trong phân tích có thể thực sự được mở rộng trong một chuỗi lũy thừa sau đó trở thành chủ đề của cuộc thảo luận hay không. Tất nhiên, Lagrange biết rằng tại một số thời điểm, các hàm cơ bản có thể không mở rộng thành một chuỗi lũy thừa, nhưng tại những thời điểm này, chúng không thể phân biệt được. Koshy trong của anh ấy Phân tích đại sốđã cung cấp chức năng như một ví dụ đếm

f (x) = e - 1 / x 2, (\ displaystyle f (x) = e ^ (- 1 / x ^ (2)),)

mở rộng bằng 0 ở không. Hàm này ở mọi nơi trơn tru trên trục thực và không có chuỗi Maclaurin bằng 0, do đó, không hội tụ đến giá trị f (x) (\ displaystyle f (x)). Chống lại ví dụ này, Poisson phản đối rằng Lagrange xác định một hàm là một biểu thức phân tích duy nhất, trong khi trong ví dụ của Cauchy, hàm được cho khác 0 và khi x ≠ 0 (\ displaystyle x \ not = 0). Chỉ đến cuối thế kỷ 19, Pringsheim mới chứng minh được rằng tồn tại một hàm có thể phân biệt vô hạn được đưa ra bởi một biểu thức duy nhất mà chuỗi Maclaurin phân kỳ. Một ví dụ về một hàm như vậy là biểu thức

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k! (\ displaystyle \ Psi (x) = \ sum \ limit _ (k = 0) ^ (\ infty) (\ frac (\ cos ((3 ^ (k) x))) (k}} !}.

Phát triển hơn nữa

Phép tính vi phân

Phép tính vi phân nghiên cứu định nghĩa, tính chất và ứng dụng của các hàm đạo hàm. Quá trình tìm đạo hàm được gọi là sự khác biệt. Cho một hàm và một điểm trong miền của nó, đạo hàm tại điểm đó là một cách mã hóa hành vi quy mô nhỏ của hàm đó gần điểm đó. Bằng cách tìm đạo hàm của một hàm tại mỗi điểm trong miền, người ta có thể xác định một hàm mới được gọi là hàm đạo hàm hoặc đơn giản phát sinh từ chức năng ban đầu. Trong ngôn ngữ toán học, đạo hàm là một ánh xạ tuyến tính có một chức năng là đầu vào và chức năng khác là đầu ra. Khái niệm này trừu tượng hơn hầu hết các quá trình được nghiên cứu trong đại số sơ cấp, trong đó các hàm thường có một số là đầu vào và một số khác là đầu ra. Ví dụ, nếu hàm nhân đôi được cho đầu vào là ba, đầu ra sẽ là sáu; nếu đầu vào của một hàm bậc hai là ba, thì đầu ra sẽ là chín. Đạo hàm cũng có thể có một hàm bậc hai làm đầu vào. Điều này có nghĩa là đạo hàm lấy tất cả thông tin về hàm bình phương, nghĩa là: khi hai là đầu vào, nó cho ra bốn dưới dạng đầu ra, nó chuyển đổi ba thành chín, bốn thành mười sáu, v.v. và sử dụng thông tin này để thu được một hàm khác . (Đạo hàm của hàm số bậc hai chỉ là hàm nhân đôi.)

Biểu tượng phổ biến nhất để biểu thị một đạo hàm là một dấu giống như dấu nháy đơn được gọi là một số nguyên tố. Vậy đạo hàm của hàm f có f ', phát âm là "f nét". Ví dụ, nếu f(x) = x 2 là một hàm bình phương, sau đó f '(x) = 2x là đạo hàm của nó, đây là hàm nhân đôi.

Nếu đầu vào của hàm là thời gian, thì đạo hàm là sự thay đổi theo thời gian. Ví dụ, nếu f là một hàm phụ thuộc vào thời gian, và nó cho kết quả của vị trí của quả bóng theo thời gian, sau đó là đạo hàm f xác định sự thay đổi vị trí của quả bóng theo thời gian, tức là tốc độ của quả bóng.

Không xác định, không thể thiếu là một nguyên thủy, nghĩa là, phép toán nghịch đảo với đạo hàm. F là một phần không xác định của f trong trường hợp khi f là một dẫn xuất của F. (Việc sử dụng chữ hoa và chữ thường cho một hàm và tích phân không xác định của nó là phổ biến trong giải tích.)

Tích phân xác định Giá trị đầu vào và giá trị đầu ra của hàm số bằng diện tích bề mặt giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục x và hai đoạn thẳng từ đồ thị hàm số đến trục x tại các điểm các giá trị đầu ra. Theo thuật ngữ kỹ thuật, tích phân xác định là giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật, được gọi là tổng Riemann.

Một ví dụ từ vật lý là tính toán khoảng cách di chuyển trong khi đi bộ tại bất kỳ thời điểm nào.

D i s t a n c e = S p e e d ⋅ T i m e (\ displaystyle \ mathrm (Khoảng cách) = \ mathrm (Tốc độ) \ cdot \ mathrm (Thời gian))

Nếu tốc độ không đổi thì phép tính nhân là đủ, nhưng nếu tốc độ thay đổi thì ta phải áp dụng phương pháp tính quãng đường mạnh hơn. Một trong những phương pháp này là tính toán gần đúng bằng cách chia nhỏ thời gian thành các khoảng thời gian ngắn riêng biệt. Sau đó nhân thời gian trong mỗi khoảng thời gian với một tốc độ bất kỳ trong khoảng đó rồi cộng tất cả các quãng đường gần đúng (tổng Riemann) đi được trong mỗi khoảng, ta được tổng quãng đường đi được. Ý tưởng cơ bản là nếu bạn sử dụng các khoảng thời gian rất ngắn, thì tốc độ của mỗi khoảng thời gian đó sẽ không đổi hoặc ít hơn. Tuy nhiên, tổng Riemann chỉ cho một khoảng cách gần đúng. Để tìm khoảng cách chính xác, chúng ta phải tìm giới hạn của tất cả các tổng Riemann như vậy.

Nếu một f (x) trên biểu đồ bên trái thể hiện sự thay đổi tốc độ theo thời gian, sau đó là khoảng cách di chuyển (giữa các thời điểm một và b) là diện tích của vùng được tô bóng S.

Để ước tính gần đúng diện tích này, có thể sử dụng một phương pháp trực quan, bao gồm chia khoảng cách giữa một và b thành một số đoạn (đoạn) dài bằng nhau nhất định Δx. Đối với mỗi phân đoạn, chúng ta có thể chọn một giá trị hàm f(x). Hãy gọi giá trị này là h. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật với cơ sở Δx và chiều cao hđưa ra khoảng cách (thời gian Δx nhân với tốc độ h) được thông qua trong phân đoạn này. Mỗi phân đoạn được liên kết với giá trị trung bình của hàm trên đó f (x)= h. Tổng của tất cả các hình chữ nhật như vậy cho ta giá trị gần đúng của diện tích bên dưới đường cong, là ước tính của tổng quãng đường đã đi. Giảm bớt Δx sẽ cho nhiều hình chữ nhật hơn và trong hầu hết các trường hợp là một giá trị gần đúng hơn, nhưng để có được câu trả lời chính xác, chúng ta phải tính toán giới hạn ở Δx có xu hướng bằng không.

Biểu tượng tích hợp là ∫ (\ displaystyle \ int), một lá thư mở rộng S(S là viết tắt của "sum"). Tích phân xác định được viết là:

∫ a b f (x) d x. (\ displaystyle \ int _ (a) ^ (b) f (x) \, dx.)

và đọc: "tích phân của một trước b chức năng f từ x trên x". Kí hiệu do Leibniz đề xuất dx nhằm chia khu vực bên dưới đường cong thành vô số hình chữ nhật sao cho chiều rộng của chúng Δx là một đại lượng vô cùng nhỏ dx. Trong công thức của phép tính dựa trên các giới hạn, ký hiệu

∫ a b… d x (\ displaystyle \ int _ (a) ^ (b) \ ldots \, dx)

nên được hiểu là một toán tử nhận một hàm làm đầu vào và xuất ra một số bằng diện tích. dx không phải là một số và không thể nhân với f (x).

Tích phân không xác định, hoặc đạo hàm, được viết là:

∫ f (x) d x. (\ displaystyle \ int f (x) \, dx.)

Các hàm khác nhau bởi một hằng số sẽ có cùng một đạo hàm, và do đó, hàm phản của một hàm đã cho thực sự là một họ các hàm chỉ khác một hằng số. Vì đạo hàm của hàm y = x² + C, ở đâu C- bất kỳ hằng số nào, bằng y ' = 2x, thì chất chống dẫn xuất của chất thứ hai được xác định theo công thức:

∫ 2 x d x = x 2 + C. (\ displaystyle \ int 2x \, dx = x ^ (2) + C.)

Hằng số kiểu không xác định C trong chất chống dẫn xuất được gọi là hằng số tích hợp.

Định lý Newton-Leibniz

Định lý Newton - Leibniz, còn được gọi là định lý chính của phân tích nói rằng phân biệt và tích hợp là các phép toán nghịch đảo lẫn nhau. Chính xác hơn, nó liên quan đến giá trị của các đạo hàm đối với một số tích phân nhất định. Vì nói chung việc tính đạo hàm dễ dàng hơn so với việc áp dụng công thức tích phân xác định, định lý cung cấp một cách thực tế để tính tích phân xác định. Nó cũng có thể được hiểu là một tuyên bố chính xác rằng khác biệt là nghịch đảo của tích hợp.

Định lý cho biết: nếu hàm f liên tục trên đoạn [ một, b] và nếu F có một hàm mà đạo hàm của nó bằng f trên khoảng ( một, b), sau đó:

∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a). (\ displaystyle \ int _ (a) ^ (b) f (x) \, dx = F (b) -F (a).)

Ngoài ra, đối với bất kỳ x từ khoảng ( một, b)

d d x ∫ a x f (t) d t = f (x). (\ displaystyle (\ frac (d) (dx)) \ int _ (a) ^ (x) f (t) \, dt = f (x).)

Cái nhìn sâu sắc này, được thực hiện bởi cả Newton và Leibniz, những người dựa trên kết quả của họ dựa trên các bài viết trước đó của Isaac Barrow, là chìa khóa cho việc phổ biến nhanh chóng các kết quả phân tích sau khi công trình của họ được biết đến. Định lý cơ bản đưa ra một phương pháp đại số để tính nhiều tích phân xác định mà không giới hạn các quá trình, bằng cách tìm công thức phản đạo hàm. Ngoài ra, một nguyên mẫu đã xuất hiện để giải các phương trình vi phân. Các phương trình vi phân kết nối các hàm chưa biết với các đạo hàm của chúng, chúng được sử dụng ở khắp mọi nơi trong nhiều ngành khoa học.

Các ứng dụng

Phân tích toán học được sử dụng rộng rãi trong vật lý, khoa học máy tính, thống kê, kỹ thuật, kinh tế, kinh doanh, tài chính, y học, nhân khẩu học và các lĩnh vực khác, trong đó mô hình toán học có thể được xây dựng để giải quyết một vấn đề và cần phải tìm ra giải pháp tối ưu cho nó.

Đặc biệt, hầu hết tất cả các khái niệm trong cơ học cổ điển và điện từ học đều liên kết chặt chẽ với nhau một cách chính xác bằng phương pháp phân tích toán học cổ điển. Ví dụ, với sự phân bố mật độ đã biết của một vật thể, khối lượng của nó, mômen quán tính và tổng năng lượng trong trường thế năng có thể được tìm thấy bằng phép tính vi phân. Một ví dụ nổi bật khác về việc áp dụng phân tích toán học trong cơ học là định luật thứ hai của Newton: về mặt lịch sử, nó sử dụng trực tiếp thuật ngữ "tốc độ thay đổi" trong công thức "Lực \ u003d khối lượng × gia tốc", vì gia tốc là đạo hàm theo thời gian của tốc độ hoặc đạo hàm thứ hai của thời gian từ quỹ đạo hoặc vị trí không gian.

Phân tích toán học cũng được sử dụng để tìm các giải pháp gần đúng cho các phương trình. Trong thực tế, đây là cách tiêu chuẩn để giải phương trình vi phân và tìm nghiệm nguyên trong hầu hết các ứng dụng. Ví dụ như phương pháp Newton, phương pháp lặp đơn giản và phương pháp xấp xỉ tuyến tính. Ví dụ, khi tính toán quỹ đạo của tàu vũ trụ, một biến thể của phương pháp Euler được sử dụng để ước tính các đường chuyển động theo đường cong khi không có trọng lực.

Thư mục

các bài báo bách khoa toàn thư

// Encyclopedic Lexicon: Trong 17 quyển. - Xanh Pê-téc-bua. : Gõ phím. A. Plushard, 1835-1841.
// Từ điển Bách khoa toàn thư của Brockhaus và Efron: gồm 86 tập (82 tập và 4 tập bổ sung). - Xanh Pê-téc-bua. , 1890-1907.

Văn học giáo dục

Sách giáo khoa tiêu chuẩn

Trong nhiều năm, các sách giáo khoa sau đây đã được phổ biến ở Nga:

Kurant, R. Một khóa học về phép tính vi phân và tích phân (trong hai tập). Phát hiện chính về phương pháp luận của khóa học: đầu tiên, các ý tưởng chính được phát biểu một cách đơn giản, và sau đó chúng được đưa ra các chứng minh chặt chẽ. Được viết bởi Courant khi ông còn là giáo sư tại Đại học Göttingen vào những năm 1920 dưới ảnh hưởng của những ý tưởng của Klein, sau đó được chuyển đến đất Mỹ vào những năm 1930. Bản dịch tiếng Nga năm 1934 và bản tái bản của nó cung cấp văn bản theo ấn bản tiếng Đức, bản dịch những năm 1960 (được gọi là ấn bản thứ 4) là bản tổng hợp từ các bản sách giáo khoa của Đức và Mỹ và do đó rất dài.
Fikhtengolts G. M. Một khóa học về phép tính vi phân và tích phân (trong ba tập) và một cuốn sách vấn đề.
Demidovich B.P. Tuyển tập các bài toán, bài tập toán giải tích.
Lyashko I. I. và những người khác. Sách hướng dẫn tham khảo cho toán học cao hơn, tập 1-5.

Một số trường đại học có hướng dẫn phân tích riêng của họ:

Đại học Tổng hợp Moscow, MehMat:

Arkhipov G. I., Sadovnichiy V. A., Chubarikov V. N. Bài giảng môn Toán. phân tích.
Zorich V. A. Phân tích toán học. Phần I. M.: Nauka, 1981. 544 tr.
Zorich V. A. Phân tích toán học. Phần II. M.: Nauka, 1984. 640 tr.
Kamynin L.I. Khóa học phân tích toán học (trong hai tập). Matxcova: Nhà xuất bản Đại học Matxcova, 2001.

V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov. Phân tích toán học / Ed.

Học sinh phải:

biết rôi:

định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm;

tính chất giới hạn của hàm số tại một điểm;

Các công thức giới hạn đáng chú ý;

xác định tính liên tục của một hàm tại một điểm,

các tính chất của hàm liên tục;

định nghĩa của đạo hàm, ý nghĩa hình học và vật lý của nó; dẫn xuất dạng bảng, quy tắc phân biệt;

quy tắc tính đạo hàm của hàm số phức; định nghĩa vi phân của một hàm, các tính chất của nó; định nghĩa về các dẫn xuất và sự khác biệt của các lệnh cấp cao hơn; xác định điểm cực trị của hàm, hàm lồi, điểm uốn, điểm không triệu chứng;

định nghĩa của một tích phân bất định, các tính chất của nó, tích phân dạng bảng;

· Công thức tích phân bằng cách thay đổi biến và theo phần của tích phân không xác định;

định nghĩa của một tích phân xác định, các tính chất của nó, công thức cơ bản của phép tính tích phân - công thức Newton-Leibniz;

· Công thức tích phân bằng cách thay đổi biến số và từng phần đối với một tích phân xác định;

· Ý nghĩa hình học của tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định.

có thể:

Tính giới hạn của dãy và hàm; tiết lộ những điều không chắc chắn;

· Tính toán các đạo hàm của các hàm phức tạp, các đạo hàm và vi phân của các bậc cao hơn;

tìm cực trị và điểm uốn của hàm số;

· Tiến hành nghiên cứu các hàm số với sự trợ giúp của các đạo hàm và xây dựng đồ thị của chúng.

Tính tích phân xác định và tích phân xác định bằng phương pháp đổi biến và theo phần;

· Tích hợp các hàm hữu tỉ, vô tỉ và một số hàm lượng giác, áp dụng phép thay thế phổ quát; áp dụng tích phân xác định để tìm diện tích của các hình phẳng.

Giới hạn chức năng. Thuộc tính giới hạn hàm. Giới hạn đơn phương. Giới hạn của tổng, tích và thương của hai hàm số. Các hàm liên tục, các thuộc tính của chúng. Tính liên tục của các hàm cơ bản và phức hợp. Giới hạn đáng chú ý.

Định nghĩa đạo hàm của hàm số. Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản. Tính khác biệt của chức năng. Hàm vi phân. Đạo hàm của một hàm phức. Quy tắc phân biệt: đạo hàm của tổng, tích và thương. Các phái sinh và phần chênh lệch của các đơn hàng cao hơn. Tiết lộ những điều không chắc chắn. Chức năng tăng giảm, điều kiện tăng giảm. Cực trị của hàm, một điều kiện cần thiết để tồn tại một cực trị. Tìm cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm đầu tiên. Các hàm lồi. Điểm biến đổi. Không có triệu chứng. Nghiên cứu đầy đủ chức năng.

Tích phân bất định, các tính chất của nó. Bảng các tích phân cơ bản. Phương pháp thay đổi các biến. Tích hợp theo bộ phận. Tích hợp các chức năng hợp lý. Tích phân một số chức năng bất hợp lý. Thay thế phổ quát.

Tích phân xác định, các tính chất của nó. Công thức cơ bản của phép tính tích phân. Tích phân bằng cách thay đổi biến và theo bộ phận trong một tích phân xác định. Các ứng dụng của một tích phân xác định.

TÍNH TOÁN PHÂN BIỆT, một nhánh của phân tích toán học nghiên cứu các đạo hàm, vi phân và ứng dụng của chúng vào việc nghiên cứu các hàm số. Phép tính vi phân được phát triển như một bộ môn độc lập vào nửa sau của thế kỷ 17 dưới ảnh hưởng của các công trình của I. Newton và G. W. Leibniz, trong đó họ đã xây dựng các quy định chính của phép tính vi phân và lưu ý bản chất nghịch đảo lẫn nhau của phân biệt và tích phân. Kể từ thời điểm đó, phép tính vi phân đã phát triển trong mối liên hệ chặt chẽ với phép tính tích phân, trở thành phần chính của phép phân tích toán học (hay phép tính thập phân). Sự ra đời của phép tính vi phân và tích phân đã mở ra một kỷ nguyên mới trong sự phát triển của toán học, dẫn đến sự xuất hiện của một số ngành toán học mới (lý thuyết dãy số, lý thuyết phương trình vi phân, hình học vi phân, phép tính biến thiên, giải tích hàm) và mở rộng đáng kể khả năng ứng dụng toán học vào các câu hỏi của khoa học tự nhiên và công nghệ.

Phép tính vi phân dựa trên các khái niệm cơ bản như số thực, hàm, giới hạn, tính liên tục. Những khái niệm này có dạng hiện đại trong quá trình phát triển của phép tính vi phân và tích phân. Các ý tưởng và khái niệm chính của phép tính vi phân gắn liền với việc nghiên cứu các hàm trong các vùng nhỏ, tức là, trong các vùng lân cận nhỏ của các điểm riêng lẻ, đòi hỏi phải tạo ra một bộ máy toán học để nghiên cứu các hàm mà hành vi của chúng trong vùng lân cận đủ nhỏ của mỗi điểm miền định nghĩa của chúng gần với hoạt động của một hàm tuyến tính hoặcđa thức. Bộ máy này dựa trên các khái niệm về đạo hàm và vi phân. Khái niệm đạo hàm nảy sinh liên quan đến một số lượng lớn các vấn đề khác nhau trong khoa học tự nhiên và toán học, dẫn đến việc tính toán các giới hạn của cùng một loại. Điều quan trọng nhất của những nhiệm vụ này là xác định tốc độ chuyển động của một điểm vật liệu dọc theo một đường thẳng và xây dựng một tiếp tuyến với một đường cong. Khái niệm vi phân liên quan đến khả năng xấp xỉ một hàm trong một vùng lân cận nhỏ của điểm đang xét bởi một hàm tuyến tính. Không giống như khái niệm đạo hàm của một hàm của một biến số thực, khái niệm vi phân có thể dễ dàng chuyển sang các hàm có tính chất tổng quát hơn, bao gồm các ánh xạ từ không gian Euclide này sang không gian Euclide khác, ánh xạ của không gian Banach sang không gian Banach khác, và đóng vai trò là một trong những khái niệm cơ bản của phân tích chức năng.

Phát sinh. Cho chất điểm chuyển động dọc theo trục Oy, và x là thời gian được tính kể từ thời điểm ban đầu. Mô tả của chuyển động này được đưa ra bởi hàm y = f (x), hàm này gán cho mỗi thời điểm x tọa độ y của điểm chuyển động. Hàm này trong cơ học được gọi là quy luật chuyển động. Một đặc tính quan trọng của chuyển động (đặc biệt nếu nó không đều) là tốc độ của chất điểm chuyển động tại mỗi thời điểm x (tốc độ này còn được gọi là tốc độ tức thời). Nếu một điểm chuyển động dọc theo trục Oy theo định luật y \ u003d f (x) thì tại một điểm bất kỳ trong thời gian x, nó có tọa độ f (x) và tại thời điểm x + Δx - tọa độ f (x + Δx), trong đó Δx là gia số của thời gian. Số Δy \ u003d f (x + Δx) - f (x), được gọi là số gia của hàm, là đường đi của chất điểm chuyển động trong thời gian từ x đến x + Δx. Thái độ

gọi là tỉ số chênh lệch, là tốc độ trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ x đến x + Δx. Tốc độ tức thời (hay đơn giản là tốc độ) của một điểm chuyển động tại thời điểm x là giới hạn mà tốc độ trung bình (1) có xu hướng khi khoảng thời gian Δx có xu hướng bằng không, tức là giới hạn (2)

Khái niệm vận tốc tức thời dẫn đến khái niệm đạo hàm. Đạo hàm của một hàm tùy ý y \ u003d f (x) tại một điểm x cố định cho trước được gọi là giới hạn (2) (với điều kiện tồn tại giới hạn này). Đạo hàm của hàm số y \ u003d f (x) tại điểm x cho trước được ký hiệu bằng một trong các ký hiệu f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Phép toán tìm đạo hàm (hoặc chuyển từ hàm sang đạo hàm) được gọi là phép phân biệt.

Bài toán xây dựng một tiếp tuyến với một đường cong phẳng, được xác định trong hệ tọa độ Descartes Oxy bằng phương trình y \ u003d f (x), tại một điểm nào đó M (x, y) (Hình.) Cũng dẫn đến giới hạn (2) . Sau khi cho gia số Δx đối với đối số x và lấy điểm M 'có tọa độ (x + Δx, f (x) + Δx) trên đường cong), hãy xác định tiếp tuyến tại điểm M là vị trí giới hạn của đoạn thẳng MM' vì điểm M 'có xu hướng đến M (tức là, vì Δx có xu hướng bằng không). Vì điểm M mà tiếp tuyến đi qua, nên việc dựng tiếp tuyến được rút gọn để xác định hệ số góc của nó (tức là tiếp tuyến của góc nghiêng với trục Ox). Vẽ đường thẳng MR song song với trục Ox, ta được hệ số góc của mảnh MM 'bằng tỉ số

Trong giới hạn tại Δx → 0, hệ số góc của phần tử biến thành hệ số góc của tiếp tuyến, biến ra bằng giới hạn (2), tức là đạo hàm f ’(x).

Một số vấn đề khác của khoa học tự nhiên cũng dẫn đến khái niệm đạo hàm. Ví dụ, cường độ dòng điện trong một vật dẫn được xác định là giới hạn lim Δt → 0 Δq / Δt, trong đó Δq là điện tích dương chuyển qua tiết diện của vật dẫn trong thời gian Δt, tốc độ của một phản ứng hóa học được xác định là lim Δt → 0 ΔQ / Δt, trong đó ΔQ là sự thay đổi của lượng vật chất trong thời gian Δt và nói chung, đạo hàm của một đại lượng vật lý nào đó theo thời gian là tốc độ thay đổi của đại lượng này.

Nếu hàm y \ u003d f (x) được xác định cả tại chính điểm x và tại một số vùng lân cận của nó và có đạo hàm tại điểm x, thì hàm này liên tục tại điểm x. Ví dụ về một hàm y \ u003d | x |, được xác định trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm x \ u003d 0, liên tục tại điểm này, nhưng không có đạo hàm tại x \ u003d 0, cho thấy rằng sự tồn tại của một hàm tại điểm này , nói chung, không tuân theo từ liên tục tại điểm này đạo hàm. Hơn nữa, có những hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của chúng, nhưng không có đạo hàm tại bất kỳ điểm nào thuộc miền này.

Trong trường hợp khi hàm y \ u003d f (x) chỉ được xác định ở bên phải hoặc chỉ ở bên trái của điểm x (ví dụ: khi x là điểm biên của đoạn mà trên đó hàm này được cung cấp), khái niệm về đạo hàm phải và trái của hàm y \ u003d f (x) được giới thiệu tại điểm x. Đạo hàm bên phải của hàm y \ u003d f (x) tại điểm x được xác định là giới hạn (2) với điều kiện Δx có xu hướng bằng không, còn lại là dương và đạo hàm bên trái được xác định là giới hạn (2) với điều kiện Δx có xu hướng bằng không, còn lại âm. Hàm số y \ u003d f (x) có đạo hàm tại điểm x khi và chỉ khi nó có đạo hàm bên phải và bên trái bằng nhau tại điểm này. Hàm số y = | x | có đạo hàm bên phải bằng 1 tại điểm x = 0 và đạo hàm bên trái bằng -1, và vì đạo hàm bên phải và bên trái không bằng nhau nên hàm số này không có đạo hàm tại điểm x = 0. Trong loại hàm có đạo hàm, phép toán phân biệt là tuyến tính, tức là (f (x) + g (x)) '= f' (x) + g '(x) và (αf (x))' = αf '(x) với bất kỳ số nào a. Ngoài ra, các quy tắc phân biệt sau đây vẫn đúng:

Đạo hàm của một số hàm cơ bản là:

α - số bất kỳ, x> 0;

n = 0, ± 1, ± 2,

Đạo hàm của bất kỳ hàm cơ bản nào cũng là một hàm cơ bản.

Nếu đạo hàm f '(x) lần lượt có đạo hàm tại điểm x cho trước thì đạo hàm của hàm số f' (x) được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x) tại điểm x và được ký hiệu bằng một trong các ký hiệu f '' (x), y '', ÿ, d 2 f / dx 2, d 2 y / dx 2, D 2 f (x).

Đối với một chất điểm chuyển động dọc theo trục Oy theo định luật y \ u003d f (x), đạo hàm cấp hai là gia tốc của chất điểm này tại thời điểm x. Các đạo hàm của bất kỳ số nguyên nào bậc n được định nghĩa tương tự, được ký hiệu bằng các ký hiệu f (n) (x), y (n), d (n) f / dx (n), d (n) y / dx (n), D (n) f (x).

Khác biệt. Một hàm y \ u003d f (x), có miền xác định chứa một số vùng lân cận của điểm x, được gọi là có thể phân biệt được tại điểm x nếu số gia của nó tại điểm này, tương ứng với gia số của đối số Δx, tức là giá trị Δy \ u003d f (x + Δx) - f (x) có thể được biểu diễn dưới dạng và được ký hiệu bằng ký hiệu dy hoặc df (x). Về mặt hình học, đối với một giá trị cố định x và gia số thay đổi Δx, vi phân là một gia số trong bậc của tiếp tuyến, tức là đoạn PM "(Hình.). Vi phân dy là một hàm của cả điểm x và số gia Δx. Vi phân được gọi là phần tuyến tính chính của số gia của hàm, vì khi giá trị cố định x kích cỡ dy là một hàm tuyến tính của Δх, và sự khác biệt Δу - dy là nhỏ vô hạn đối với Δх là Δх → 0. Đối với hàm f (х) = x, theo định nghĩa, dx = Δх, nghĩa là, vi phân của biến độc lập dx trùng với số gia Δх của nó. Điều này cho phép biểu thức cho vi phân được viết lại thành dy = Adx.

Đối với hàm một biến, khái niệm vi phân có liên quan chặt chẽ với khái niệm đạo hàm: để hàm số y \ u003d f (x) có vi phân tại điểm x, thì cần và đủ rằng nó có một đạo hàm hữu hạn f '(x) tại điểm này, trong khi đẳng thức dy = f' (x) dx. Ý nghĩa trực quan của câu lệnh này là tiếp tuyến của đường cong y \ u003d f (x) tại điểm có hoành độ x không chỉ là vị trí giới hạn của phần tử mà còn là đường thẳng nằm trong một vùng lân cận nhỏ vô hạn của điểm x tiếp giáp với đường cong y \ u003d f (x) gần hơn bất kỳ đường thẳng nào khác. Do đó, luôn luôn A (x) = f '(x) và ký hiệu dy / dx có thể được hiểu không chỉ là ký hiệu cho đạo hàm f' (x), mà còn là tỷ số vi phân của hàm và đối số . Nhờ đẳng thức dy = f '(x) dx, các quy tắc tìm vi phân tuân theo trực tiếp các quy tắc tương ứng cho đạo hàm. Sự khác biệt của các đơn đặt hàng thứ hai và cao hơn cũng được xem xét.

Các ứng dụng. Phép tính vi phân thiết lập các mối liên hệ giữa các thuộc tính của hàm f (x) và các đạo hàm của nó (hoặc vi phân của nó), là nội dung của các định lý chính của phép tính vi phân. Các định lý này bao gồm khẳng định rằng tất cả các điểm cực trị của một hàm phân biệt f (x) nằm bên trong miền xác định của nó đều nằm trong các nghiệm nguyên của phương trình f '(x) = 0, và công thức gia tăng hữu hạn thường được sử dụng (công thức Lagrange) f (b) - f (a) = f '(ξ) (b - a), trong đó a<ξ0 kéo theo hàm tăng nghiêm ngặt và điều kiện f '' (x) \ u003e 0 - độ lồi nghiêm ngặt của nó. Ngoài ra, phép tính vi phân cho phép người ta tính toán các loại giới hạn khác nhau của các hàm, đặc biệt là các giới hạn của tỷ số của hai hàm, là độ không đảm bảo của dạng 0/0 hoặc dạng ∞ / ∞ (xem phần Tiết lộ độ không đảm bảo) . Phép tính vi phân đặc biệt thuận tiện cho việc nghiên cứu các hàm cơ bản mà đạo hàm của chúng được viết ra một cách rõ ràng.

Phép tính vi phân của hàm một số biến số. Các phương pháp của phép tính vi phân được sử dụng để nghiên cứu các hàm của một số biến. Đối với một hàm hai biến u = f (x, y), đạo hàm riêng của nó đối với x tại điểm M (x, y) là đạo hàm của hàm này đối với x đối với y cố định, được định nghĩa là

và được ký hiệu bằng một trong các ký hiệu f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x hoặc ∂f (x, y) '/ ∂x. Đạo hàm riêng của hàm u = f (x, y) đối với y được xác định và biểu thị theo cách tương tự. Giá trị Δu \ u003d f (x + Δx, y + Δy) - f (x, y) được gọi là tổng số gia của hàm và tại điểm M (x, y). Nếu giá trị này có thể được biểu diễn dưới dạng

trong đó A và B không phụ thuộc vào Δх và Δу, và α có xu hướng bằng không tại

thì hàm u = f (x, y) được gọi là khả vi tại điểm M (x, y). Tổng AΔx + BΔy được gọi là tổng vi phân của hàm u = f (x, y) tại điểm M (x, y) và được ký hiệu là du. Vì A \ u003d f’x (x, y), B \ u003d f’y (x, y) và các gia số Δx và Δy có thể được lấy bằng vi phân dx và dy của chúng, tổng vi phân du có thể được viết dưới dạng

Về mặt hình học, tính phân biệt của hàm hai biến u = f (x, y) tại một điểm M (x, y) cho trước có nghĩa là đồ thị của nó tồn tại tại điểm này của mặt phẳng tiếp tuyến và vi phân của hàm này là cấp số nhân của ứng dụng của điểm của mặt phẳng tiếp tuyến tương ứng với các gia số dx và dy các biến độc lập. Đối với một hàm hai biến, khái niệm vi phân quan trọng và tự nhiên hơn nhiều so với khái niệm đạo hàm riêng. Ngược lại với một hàm một biến, để một hàm hai biến u = f (x, y) khả vi tại một điểm M (x, y) cho trước, thì đạo hàm riêng hữu hạn f'x ( x, y) và f 'y (x, y). Điều kiện cần và đủ để hàm số u = f (x, y) khả vi tại điểm M (x, y) là sự tồn tại của các đạo hàm riêng hữu hạn f'x (x, y) và f'y (x, y) và có xu hướng về 0 tại

số lượng

Tử số của đại lượng này có được bằng cách lấy gia số của hàm f (x, y) tương ứng với gia số Δx của đối số đầu tiên của nó, sau đó lấy gia số của hiệu số f (x + Δx, y) - f (x, y), tương ứng với gia số Δy của các đối số thứ hai của nó. Một điều kiện đủ đơn giản để hàm số u = f (x, y) tại điểm M (x, y) tồn tại các đạo hàm riêng liên tục f'x (x, y) và f'y (x, y ) tại thời điểm này.

Các dẫn xuất riêng của các lệnh cao hơn được định nghĩa tương tự. Các đạo hàm riêng ∂ 2 f / ∂х 2 và ∂ 2 f / ∂у 2, trong đó cả hai phép phân biệt đều được thực hiện trong một biến, được gọi là đạo hàm thuần túy và đạo hàm riêng ∂ 2 f / ∂х∂у và ∂ 2 f / ∂ у∂х - hỗn hợp. Tại mọi điểm mà cả hai đạo hàm riêng hỗn hợp đều liên tục thì chúng bằng nhau. Các định nghĩa và ký hiệu này chuyển sang trường hợp số lượng biến lớn hơn.

Đại cương lịch sử. Các bài toán riêng biệt về xác định tiếp tuyến của đường cong và tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biến đã được các nhà toán học của Hy Lạp cổ đại giải quyết. Ví dụ, người ta đã tìm ra các cách để dựng các tiếp tuyến với các mặt cắt hình nón và một số đường cong khác. Tuy nhiên, các phương pháp được phát triển bởi các nhà toán học cổ đại khác xa với ý tưởng của phép tính vi phân và chỉ có thể được áp dụng trong những trường hợp rất đặc biệt. Vào giữa thế kỷ 17, rõ ràng là nhiều bài toán được đề cập cùng với những bài toán khác (ví dụ, bài toán xác định tốc độ tức thời) có thể được giải bằng cách sử dụng cùng một bộ máy toán học, sử dụng đạo hàm và vi phân. Khoảng năm 1666, I. Newton đã phát triển phương pháp từ thông (xem phép tính thông lượng). Cụ thể, Newton đã xem xét hai vấn đề của cơ học: vấn đề xác định tốc độ tức thời của chuyển động từ một sự phụ thuộc đã biết của đường vào thời gian và bài toán xác định đường đi trong một thời gian nhất định từ một tốc độ tức thời đã biết. Newton gọi các hàm liên tục của thời gian trôi chảy, và tốc độ thay đổi của chúng - biến động. Do đó, các khái niệm chính của Newton là đạo hàm (thông lượng) và tích phân(trôi chảy). Ông đã cố gắng chứng minh phương pháp thông lượng với sự trợ giúp của lý thuyết giới hạn, vào thời điểm đó chưa được phát triển.

Vào giữa những năm 1670, G. W. Leibniz đã phát triển các thuật toán tiện lợi cho phép tính vi phân. Các khái niệm chính của Leibniz là vi phân như một gia số thập phân nhỏ của một hàm và tích phân xác định là tổng của một số lượng lớn vô hạn vi phân. Ông đưa ra ký hiệu của vi phân và tích phân, thuật ngữ "phép tính vi phân", nhận được một số quy tắc phân biệt và đề xuất biểu tượng thuận tiện. Sự phát triển thêm của phép tính vi phân vào thế kỷ 17 chủ yếu tiến hành theo con đường do Leibniz vạch ra; các tác phẩm của J. và I. Bernoulli, B. Taylor, và những người khác đã đóng một vai trò quan trọng trong giai đoạn này.

Giai đoạn tiếp theo trong sự phát triển của phép tính vi phân gắn liền với các công trình của L. Euler và J. Lagrange (thế kỷ 18). Euler lần đầu tiên bắt đầu trình bày phép tính vi phân như một bộ môn phân tích, độc lập với hình học và cơ học. Ông lại sử dụng đạo hàm làm khái niệm cơ bản của phép tính vi phân. Lagrange đã cố gắng xây dựng phép tính vi phân theo phương pháp đại số, sử dụng việc mở rộng các hàm thành chuỗi lũy thừa; ông đã giới thiệu thuật ngữ "đạo hàm" và các ký hiệu y 'và f' (x). Vào đầu thế kỷ 19, vấn đề chứng minh phép tính vi phân trên cơ sở lý thuyết giới hạn về cơ bản đã được giải quyết, chủ yếu nhờ công của O. Cauchy, B. Bolzano và C. Gauss. Sâu phân tích Các khái niệm ban đầu về phép tính vi phân gắn liền với sự phát triển của lý thuyết tập hợp và lý thuyết về hàm của các biến số thực vào cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20.

Lít .: Lịch sử toán học: Trong 3 quyển M., 1970-1972; Rybnikov K. A. Lịch sử toán học. Xuất bản lần thứ 2. M., 1974; Nikolsky S. M. Khóa học về phân tích toán học. Xuất bản lần thứ 6. M., 2001: Zorich V. A. Phân tích toán học: Trong phần thứ 2 của lần xuất bản thứ 4. M., 2002; Kudryavtsev L.D. Một khóa học về phân tích toán học: Trong 3 tập, xuất bản lần thứ 5. M., 2003-2006; Fikhtengol'ts G. M. Khóa học về phép tính vi phân và tích phân: Trong 3 tập. Xuất bản lần thứ 8. M., 2003-2006; Ilyin V. A., Poznyak E. G. Các nguyên tắc cơ bản của phân tích toán học. Ấn bản thứ 7. M., 2004. Part 1. 5 ed. M., 2004. Phần 2; Ilyin V. A., Sadovnichiy V. A., Sendov Bl. X. Phân tích toán học. Ấn bản thứ 3. M., 2004. Part 1. 2nd ed. M., 2004. Phần 2; Ilyin V. A., Kurkina L. V. Toán học cao hơn. Xuất bản lần thứ 2. M., 2005.

Giải tích là một nhánh của phép tính nghiên cứu đạo hàm, vi phân và việc sử dụng chúng trong việc nghiên cứu một hàm số.

Lịch sử xuất hiện

Phép tính vi phân nổi lên như một bộ môn độc lập vào nửa sau thế kỷ 17, nhờ công của Newton và Leibniz, những người đã hình thành các quy định cơ bản trong phép tính vi phân và nhận thấy mối liên hệ giữa tích phân và phân biệt. Kể từ thời điểm đó, bộ môn đã phát triển cùng với phép tính tích phân, do đó hình thành cơ sở của giải tích toán học. Sự xuất hiện của các phép tính này đã mở ra một thời kỳ hiện đại mới trong thế giới toán học và gây ra sự xuất hiện của các bộ môn mới trong khoa học. Nó cũng mở rộng khả năng ứng dụng khoa học toán học trong khoa học tự nhiên và công nghệ.

Các khái niệm cơ bản

Phép tính vi phân dựa trên các khái niệm cơ bản của toán học. Đó là: tính liên tục, chức năng và giới hạn. Sau một thời gian, họ đã có một cái nhìn hiện đại, nhờ vào phép tính tích phân và vi phân.

Quá trình tạo

Sự hình thành của phép tính vi phân dưới dạng một ứng dụng, và sau đó là một phương pháp khoa học xảy ra trước khi xuất hiện một lý thuyết triết học, được tạo ra bởi Nicholas ở Cusa. Các công trình của ông được coi là một bước phát triển tiến hóa từ những nhận định của khoa học cổ đại. Mặc dù bản thân nhà triết học không phải là nhà toán học, nhưng đóng góp của ông cho sự phát triển của khoa học toán học là không thể phủ nhận. Kuzansky là một trong những người đầu tiên coi số học là lĩnh vực khoa học chính xác nhất, khiến toán học thời đó bị nghi ngờ.

Đối với các nhà toán học cổ đại, đơn vị là một tiêu chí phổ quát, trong khi nhà triết học đề xuất vô hạn như một thước đo mới thay vì số chính xác. Về vấn đề này, việc biểu diễn độ chính xác trong khoa học toán học bị đảo ngược. Theo ông, tri thức khoa học được chia thành duy lý và trí tuệ. Theo nhà khoa học, phương pháp thứ hai chính xác hơn vì phương pháp thứ nhất chỉ cho kết quả gần đúng.

Ý tưởng

Ý tưởng và khái niệm chính trong phép tính vi phân liên quan đến một hàm trong các vùng lân cận nhỏ của các điểm nhất định. Để làm được điều này, cần phải tạo ra một bộ máy toán học để nghiên cứu một hàm mà hành vi của nó trong một vùng lân cận nhỏ của các điểm được thiết lập gần với hành vi của một đa thức hoặc một hàm tuyến tính. Điều này dựa trên định nghĩa của đạo hàm và vi phân.

Sự xuất hiện là do một số lượng lớn các bài toán từ khoa học tự nhiên và toán học, dẫn đến việc tìm giá trị của các giới hạn cùng loại.

Một trong những nhiệm vụ chính được đưa ra làm ví dụ, bắt đầu từ trung học, là xác định tốc độ của một điểm chuyển động dọc theo một đường thẳng và dựng một đường tiếp tuyến với đường cong này. Vi phân liên quan đến điều này, vì có thể lấy gần đúng hàm trong một vùng lân cận nhỏ của điểm được xét của hàm tuyến tính.

So với khái niệm đạo hàm của một hàm của một biến số thực, định nghĩa vi phân chỉ đơn giản là chuyển cho một hàm có tính chất tổng quát, cụ thể là, biểu diễn của một không gian Euclide này sang một không gian khác.

Phát sinh

Cho chất điểm chuyển động theo phương của trục Oy, trong thời gian ta lấy x, tính từ thời điểm bắt đầu nhất định. Chuyển động như vậy có thể được mô tả bằng hàm y = f (x), được gán cho mỗi thời điểm x của tọa độ điểm được di chuyển. Trong cơ học, hàm này được gọi là quy luật chuyển động. Đặc điểm chính của chuyển động, đặc biệt là không đều, là Khi một điểm chuyển động dọc theo trục Oy theo quy luật cơ học, thì tại một thời điểm ngẫu nhiên x, nó có tọa độ f (x). Tại thời điểm x + Δx, trong đó Δx biểu thị thời gian tăng dần, tọa độ của nó sẽ là f (x + Δx). Đây là cách công thức Δy \ u003d f (x + Δx) - f (x) được hình thành, được gọi là số gia của hàm. Nó biểu diễn đường đi của một điểm trong thời gian từ x đến x + Δx.

Liên quan đến sự xuất hiện của tốc độ này tại thời điểm đó, một đạo hàm được đưa vào. Trong một hàm tùy ý, đạo hàm tại một điểm cố định được gọi là giới hạn (với điều kiện là nó tồn tại). Nó có thể được chỉ định bằng các ký hiệu nhất định:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Quá trình tính đạo hàm được gọi là phân biệt.

Phép tính vi phân của một hàm một số biến

Phương pháp tính toán này được sử dụng trong nghiên cứu một hàm số với một số biến số. Khi có hai biến x và y, đạo hàm riêng đối với x tại điểm A được gọi là đạo hàm của hàm này đối với x với y cố định.

Nó có thể được biểu thị bằng các ký hiệu sau:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x hoặc ∂f (x, y) '/ ∂x.

Kỹ năng cần thiết

Để học tập thành công và có khả năng giải được đề phổ biến, cần có kỹ năng tích hợp và phân hóa. Để dễ hiểu hơn về phương trình vi phân, bạn nên tìm hiểu kỹ về chủ đề đạo hàm và việc học cách tìm đạo hàm của một hàm số cho trước cũng không cần thiết. Đó là do trong quá trình học thường sẽ phải sử dụng đến tích phân và phân biệt.

Các loại phương trình vi phân

Trong hầu hết các bài kiểm tra liên quan đến có 3 loại phương trình: thuần nhất, với các biến phân tách được, không thuần nhất tuyến tính.

Cũng có nhiều loại phương trình hiếm hơn: với tổng vi phân, phương trình Bernoulli, và những phương trình khác.

Kiến thức cơ bản về giải pháp

Trước tiên, bạn cần nhớ các phương trình đại số từ khóa học ở trường. Chúng chứa các biến và số. Để giải một phương trình thông thường, bạn cần tìm một tập hợp các số thỏa mãn một điều kiện cho trước. Theo quy luật, các phương trình như vậy có một gốc, và để kiểm tra tính đúng đắn, người ta chỉ có thể thay thế giá trị này cho ẩn số.

Phương trình vi phân tương tự như thế này. Nói chung, một phương trình bậc nhất như vậy bao gồm:

biến độc lập.
Đạo hàm của hàm số bậc nhất.
hàm hoặc biến phụ thuộc.

Trong một số trường hợp, có thể thiếu một trong các ẩn số, x hoặc y, nhưng điều này không quá quan trọng, vì sự hiện diện của đạo hàm bậc nhất, không có đạo hàm bậc cao, là cần thiết để lời giải và phép tính vi phân đúng.

Để giải một phương trình vi phân có nghĩa là tìm tập hợp của tất cả các hàm phù hợp với một biểu thức nhất định. Tập hợp các hàm như vậy thường được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Tích phân tích

Phép tính tích phân là một trong những nhánh của phân tích toán học nghiên cứu khái niệm về một tích phân, các tính chất và phương pháp tính toán của nó.

Thông thường, phép tính tích phân xảy ra khi tính diện tích của một hình cong. Diện tích này có nghĩa là giới hạn mà diện tích của một đa giác được ghi trong một hình nhất định có xu hướng tăng dần về cạnh của nó, trong khi các cạnh này có thể được tạo ra nhỏ hơn bất kỳ giá trị nhỏ tùy ý nào đã chỉ định trước đó.

Ý tưởng chính trong tính toán diện tích của một hình học bất kỳ là tính diện tích của một hình chữ nhật, nghĩa là, chứng minh rằng diện tích của nó bằng tích của chiều dài và chiều rộng. Khi nói đến hình học, tất cả các công trình được tạo ra bằng thước và compa, khi đó tỷ lệ chiều dài trên chiều rộng là một giá trị hợp lý. Khi tính diện tích của một tam giác vuông, bạn có thể xác định rằng nếu bạn đặt cùng một tam giác bên cạnh nó, thì một hình chữ nhật được tạo thành. Trong một hình bình hành, diện tích được tính bằng một phương pháp tương tự, nhưng phức tạp hơn một chút, thông qua một hình chữ nhật và một hình tam giác. Trong đa giác, diện tích được tính thông qua các hình tam giác có trong nó.

Khi xác định độ thương của một đường cong tùy ý, phương pháp này sẽ không hoạt động. Nếu bạn chia nó thành các ô vuông đơn lẻ, thì sẽ có những chỗ không được lấp đầy. Trong trường hợp này, người ta cố gắng sử dụng hai tấm bìa, với hình chữ nhật ở trên và dưới, kết quả là chúng bao gồm đồ thị của hàm và không. Phương pháp phân vùng thành các hình chữ nhật này vẫn quan trọng ở đây. Ngoài ra, nếu chúng ta lấy các độ chia ngày càng giảm, thì diện tích trên và dưới phải hội tụ ở một giá trị nào đó.

Bạn nên quay lại phương pháp chia thành các hình chữ nhật. Có hai phương pháp phổ biến.

Riemann đã chính thức hóa định nghĩa của tích phân, được tạo ra bởi Leibniz và Newton, như là diện tích của một đồ thị con. Trong trường hợp này, các hình được xem xét, bao gồm một số hình chữ nhật đứng nhất định và thu được bằng cách chia một đoạn. Khi phân hoạch giảm, có giới hạn làm giảm diện tích của một hình tương tự, giới hạn này được gọi là tích phân Riemann của một hàm trên một khoảng cho trước.

Phương pháp thứ hai là xây dựng tích phân Lebesgue, trong đó thực tế là để chia khu vực xác định thành các phần của tích phân và sau đó tính tổng tích phân từ các giá trị thu được trong các phần này, phạm vi giá trị của nó Được chia thành các khoảng, và sau đó được tổng hợp với các số đo tương ứng của các ảnh nghịch đảo của các tích phân này.

Lợi ích hiện đại

Một trong những hướng dẫn chính để nghiên cứu phép tính vi phân và tích phân được viết bởi Fikhtengolts - "Khóa học về phép tính vi phân và tích phân". Sách giáo khoa của ông là hướng dẫn cơ bản để nghiên cứu phân tích toán học, đã trải qua nhiều lần xuất bản và dịch sang các ngôn ngữ khác. Được tạo ra cho sinh viên đại học và từ lâu đã được sử dụng trong nhiều cơ sở giáo dục như một trong những công cụ hỗ trợ học tập chính. Cung cấp dữ liệu lý thuyết và kỹ năng thực hành. Xuất bản lần đầu vào năm 1948.

Thuật toán nghiên cứu hàm

Để khảo sát một hàm bằng phương pháp tính vi phân, cần phải tuân theo thuật toán đã cho:

Tìm phạm vi của chức năng.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
Tính cực trị. Để làm điều này, hãy tính đạo hàm và các điểm mà nó bằng không.
Thay giá trị kết quả vào phương trình.

Các loại phương trình vi phân

DE của bậc đầu tiên (nếu không, phép tính vi phân của một biến) và các kiểu của chúng:

Phương trình biến số riêng: f (y) dy = g (x) dx.
Phương trình đơn giản nhất, hoặc phép tính vi phân của một hàm một biến, có công thức: y "= f (x).
DE không thuần nhất tuyến tính bậc nhất: y ”+ P (x) y = Q (x).
Phương trình vi phân Bernoulli: y ”+ P (x) y = Q (x) y a.
Phương trình có tổng vi phân: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Phương trình vi phân bậc hai và các dạng của chúng:

Phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính bậc 2 với các giá trị không đổi của hệ số: y n + py ”+ qy = 0 p, q thuộc R.
Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc 2 với giá trị không đổi của các hệ số: y n + py ”+ qy = f (x).
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất: y n + p (x) y "+ q (x) y = 0 và phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất: y n + p (x) y" + q (x) y = f (x).

Phương trình vi phân bậc cao và các dạng của chúng:

Phương trình vi phân cho phép bậc thấp hơn: F (x, y (k), y (k + 1), .., y (n) = 0.
Phương trình tuyến tính bậc cao là thuần nhất: y (n) + f (n-1) y (n-1) + ... + f 1 y "+ f 0 y = 0 và không đồng nhất: y (n) + f (n-1) y (n-1) + ... + f 1 y "+ f 0 y = f (x).

Các giai đoạn giải một bài toán với một phương trình vi phân

Với sự trợ giúp của điều khiển từ xa, không chỉ các câu hỏi toán học hoặc vật lý được giải quyết mà còn các vấn đề khác nhau từ sinh học, kinh tế học, xã hội học và những thứ khác. Mặc dù có rất nhiều chủ đề, người ta nên tuân thủ một trình tự hợp lý duy nhất khi giải quyết các vấn đề như vậy:

Biên dịch DU. Một trong những bước khó nhất đòi hỏi sự chính xác tối đa, vì bất kỳ sai sót nào cũng sẽ dẫn đến kết quả sai hoàn toàn. Cần tính đến tất cả các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình và xác định các điều kiện ban đầu. Nó cũng nên dựa trên sự kiện và kết luận hợp lý.
Nghiệm của phương trình đã lập. Quá trình này đơn giản hơn điểm đầu tiên, vì nó chỉ yêu cầu các phép tính toán học nghiêm ngặt.
Phân tích và đánh giá kết quả thu được. Giải pháp thu được phải được đánh giá để thiết lập giá trị lý thuyết và thực tiễn của kết quả.

Một ví dụ về việc sử dụng phương trình vi phân trong y học

Việc sử dụng điều khiển từ xa trong lĩnh vực y học xảy ra khi xây dựng mô hình toán dịch tễ học. Đồng thời, không nên quên rằng những phương trình này cũng được tìm thấy trong sinh học và hóa học, gần với y học, bởi vì việc nghiên cứu các quần thể sinh học khác nhau và các quá trình hóa học trong cơ thể con người đóng một vai trò quan trọng trong đó.

Trong ví dụ trên về bệnh dịch, người ta có thể coi sự lây lan của bệnh nhiễm trùng trong một xã hội biệt lập. Cư dân được chia thành ba loại:

Đã lây nhiễm, số x (t), bao gồm các cá thể, người mang mầm bệnh, mỗi cá thể đều có khả năng lây nhiễm (thời gian ủ bệnh ngắn).
Loài thứ hai bao gồm các cá thể nhạy cảm y (t) có thể bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với các cá thể bị nhiễm bệnh.
Loài thứ ba bao gồm các cá thể miễn dịch z (t), đã miễn dịch hoặc đã chết do bệnh tật.

Số lượng cá thể không đổi, không tính đến số lần sinh, số chết tự nhiên và số lượng di cư. Nó sẽ dựa trên hai giả thuyết.

Phần trăm tỷ lệ mắc bệnh tại một thời điểm nhất định là x (t) y (t) (dựa trên giả định rằng số trường hợp tỷ lệ thuận với số giao điểm giữa các đại diện bị bệnh và nhạy cảm, trong ước tính gần đúng đầu tiên sẽ tỷ lệ với x (t) y (t)), trong Do đó, số người bị bệnh tăng lên và số người mắc bệnh giảm với tốc độ được tính bằng công thức ax (t) y (t) (a> 0).

Số lượng cá thể miễn dịch đã có được miễn dịch hoặc chết tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng bị bệnh, bx (t) (b> 0).

Nhờ đó, có thể lập hệ phương trình có xét đến cả ba chỉ tiêu và dựa vào đó rút ra kết luận.

Ví dụ về sử dụng trong kinh tế học

Phép tính vi phân thường được sử dụng trong phân tích kinh tế. Nhiệm vụ chính trong phân tích kinh tế là nghiên cứu các đại lượng từ nền kinh tế, được viết dưới dạng một hàm. Điều này được sử dụng khi giải quyết các vấn đề như thay đổi thu nhập ngay sau khi tăng thuế, áp dụng thuế, thay đổi doanh thu của công ty khi chi phí sản xuất thay đổi, tỷ lệ công nhân nghỉ hưu có thể được thay thế bằng thiết bị mới. Để giải quyết những câu hỏi như vậy, cần phải xây dựng một hàm kết nối từ các biến đầu vào, sau đó được nghiên cứu bằng cách sử dụng phép tính vi phân.

Trong lĩnh vực kinh tế, người ta thường phải tìm các chỉ tiêu tối ưu nhất: năng suất lao động tối đa, thu nhập cao nhất, chi phí thấp nhất, v.v. Mỗi chỉ báo như vậy là một hàm của một hoặc nhiều đối số. Ví dụ, sản xuất có thể được xem như một hàm của đầu vào lao động và vốn. Về vấn đề này, việc tìm một giá trị phù hợp có thể được rút gọn thành việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm từ một hoặc nhiều biến.

Các bài toán dạng này tạo ra một lớp các bài toán cực trị trong lĩnh vực kinh tế, giải pháp của chúng đòi hỏi phép tính vi phân. Khi một chỉ số kinh tế cần được thu nhỏ hoặc tối đa hóa như một hàm của một chỉ số khác, thì tại điểm tối đa, tỷ lệ gia số của hàm số so với các đối số sẽ có xu hướng bằng không nếu gia số của đối số có xu hướng bằng không. Ngược lại, khi tỷ lệ như vậy có xu hướng theo một giá trị âm hoặc dương nào đó, thì điểm được chỉ định sẽ không phù hợp, bởi vì bằng cách tăng hoặc giảm đối số, bạn có thể thay đổi giá trị phụ thuộc theo hướng cần thiết. Trong thuật ngữ của phép tính vi phân, điều này có nghĩa là điều kiện cần thiết cho cực đại của một hàm là giá trị 0 của đạo hàm của nó.

Trong kinh tế học, thường có nhiệm vụ tìm cực trị của một hàm với một số biến số, bởi vì các chỉ số kinh tế được tạo thành từ nhiều yếu tố. Những câu hỏi như vậy được nghiên cứu kỹ trong lý thuyết về hàm một số biến, áp dụng các phương pháp tính vi phân. Những vấn đề như vậy không chỉ bao gồm các chức năng tối đa hóa và tối thiểu hóa, mà còn cả các ràng buộc. Những câu hỏi như vậy liên quan đến lập trình toán học, và chúng được giải quyết với sự trợ giúp của các phương pháp được phát triển đặc biệt, cũng dựa trên nhánh khoa học này.

Trong số các phương pháp tính vi phân được sử dụng trong kinh tế học, một phần quan trọng là phân tích cận biên. Trong lĩnh vực kinh tế, thuật ngữ này đề cập đến một tập hợp các phương pháp nghiên cứu các chỉ số biến đổi và kết quả khi thay đổi khối lượng tạo ra, tiêu dùng, dựa trên việc phân tích các chỉ số cận biên của chúng. Chỉ báo giới hạn là đạo hàm hoặc đạo hàm riêng với một số biến.

Phép tính vi phân của một số biến là một chủ đề quan trọng trong lĩnh vực phân tích toán học. Để nghiên cứu chi tiết, bạn có thể sử dụng nhiều sách giáo khoa khác nhau cho giáo dục đại học. Một trong những cái nổi tiếng nhất được tạo ra bởi Fikhtengolts - "Khóa học về phép tính vi phân và tích phân". Như tên của nó, các kỹ năng làm việc với tích phân có tầm quan trọng đáng kể để giải các phương trình vi phân. Khi phép tính vi phân của một hàm một biến xảy ra, giải pháp trở nên đơn giản hơn. Mặc dù, cần lưu ý, nó tuân theo các quy tắc cơ bản giống nhau. Để nghiên cứu một hàm trong thực tế bằng phép tính vi phân, bạn phải tuân theo thuật toán đã có sẵn, được đưa ra ở trường phổ thông và chỉ hơi phức tạp khi các biến mới được đưa vào.