Thuật toán tìm vi phân của một hàm. Các định lý vi phân cơ bản

Khác biệt ... Đối với một số người, đây là một khoảng cách tuyệt đẹp, và đối với những người khác - một từ khó hiểu gắn liền với toán học. Nhưng nếu đây là món quà khắc nghiệt của bạn, bài viết của chúng tôi sẽ giúp bạn tìm hiểu cách "chuẩn bị" bộ vi sai đúng cách và những gì để "phục vụ" bộ vi sai.

Một vi phân trong toán học có nghĩa là phần tuyến tính hàm số gia tăng. Khái niệm vi phân gắn bó chặt chẽ với việc viết đạo hàm theo Leibniz f ′ (x 0) = df / dx · x 0. Dựa vào đó, vi phân bậc nhất của hàm số f xác định trên tập X có dạng sau: d x0 f = f (x 0) d x0 x. Như bạn có thể thấy, để có được một vi phân, bạn cần có thể tự do tìm các đạo hàm. Do đó, sẽ rất hữu ích nếu lặp lại các quy tắc tính toán phái sinh để hiểu điều gì sẽ xảy ra trong tương lai. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về sự khác biệt với các ví dụ. Cần phải tìm vi phân của một hàm số đã cho dưới dạng: y = x 3 -x 4. Đầu tiên, ta tìm đạo hàm của hàm số: y ′ = (x 3 -x 4) ′ = (x 3) ′ - (x 4) ′ = 3x 2 -4x 3. Chà, bây giờ việc lấy vi sai dễ như bắn vào quả lê: df = (3x 3 -4x 3) dx. Bây giờ chúng ta đã nhận được vi phân dưới dạng công thức; trong thực tế, chúng ta cũng thường quan tâm đến giá trị số của vi phân đối với các tham số cụ thể x và ∆x cho trước. Có những trường hợp khi một hàm được biểu diễn ngầm định theo x. Ví dụ: y = x²-y x. Đạo hàm của hàm có dạng như sau: 2x- (y x) ′. Nhưng làm thế nào để có được (y x) ′? Một hàm như vậy được gọi là phức và được phân biệt theo quy tắc tương ứng: df / dx = df / dy · dy / dx. TẠI trường hợp này: df / dy = x y x-1 và dy / dx = y ′. Bây giờ chúng ta kết hợp mọi thứ lại với nhau: y ′ = 2x- (x y x-1 y ′). Chúng tôi nhóm tất cả các người chơi theo một hướng: (1 + x y x-1) y ′ = 2x, và kết quả là chúng tôi nhận được: y ′ = 2x / (1 + x y x-1) = dy / dx. Dựa trên điều này, dy = 2x dx / (1 + x y x-1). Tất nhiên, thật tốt khi những nhiệm vụ như vậy rất hiếm. Nhưng bây giờ bạn đã sẵn sàng cho chúng. Ngoài những vi phân đã xét của bậc nhất, vẫn còn những vi sai của bậc cao hơn. Hãy thử tìm vi phân cho hàm d / d(x 3 )· (x 3 – 2 x6 – x9 ), sẽ là vi phân cấp hai cho f (x). Dựa vào công thức f ′ (u) = d / du f (u), với u = f (x), ta lấy u = x 3. Ta được: d / d (u) (u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3) ′ = 1-4u-3u 2. Chúng tôi trả lại thiết bị thay thế và nhận được câu trả lời - 1 – x 3 – x 6, x ≠ 0. Một dịch vụ trực tuyến cũng có thể trở thành một trợ thủ trong việc tìm ra sự khác biệt. Đương nhiên, bạn sẽ không sử dụng nó để kiểm soát hoặc kiểm tra. Nhưng với một sự kiểm tra độc lập về tính đúng đắn của giải pháp, rất khó để đánh giá quá cao vai trò của nó. Ngoài bản thân kết quả, nó cũng hiển thị các giải pháp trung gian, đồ thị và không xác định, không thể thiếu hàm vi phân, cũng như gốc của phương trình vi phân. Hạn chế duy nhất là nó viết hàm trên một dòng khi bạn nhập nó, nhưng bạn có thể quen với điều này theo thời gian. Tất nhiên, một dịch vụ như vậy không thể đáp ứng được các chức năng phức tạp, nhưng mọi thứ đơn giản hơn thì lại quá khó khăn đối với anh ta. Công dụng thực tế vi phân chủ yếu tìm thấy trong vật lý và kinh tế. Vì vậy, trong vật lý, các bài toán liên quan đến xác định tốc độ và đạo hàm của nó, gia tốc, thường được giải bằng phương pháp phân biệt. Và trong kinh tế học, phần chênh lệch là một bộ phận cấu thành để tính toán hiệu quả của doanh nghiệp và chính sách tài khóa của nhà nước, ví dụ như tác động của đòn bẩy tài chính.

Bài báo này đã được đánh giá nhiệm vụ điển hình sự khác biệt hóa. Tốt toán học cao hơn sinh viên của các trường đại học thường chứa nhiều nhiệm vụ hơn về việc sử dụng vi phân trong các phép tính gần đúng, cũng như tìm kiếm các giải pháp phương trình vi phân. Nhưng điều chính là với sự hiểu biết rõ ràng về những điều cơ bản, bạn có thể dễ dàng đối phó với tất cả các nhiệm vụ mới.

KIẾN THỨC 10. KHÁC BIỆT CHỨC NĂNG. CÁC LÝ THUYẾT VỀ FERMAT, ROLL, LAGRANGE VÀ CAUCHY.

1. Hàm vi sai

1.1. Định nghĩa vi phân của một hàm

Với khái niệm đạo hàm có liên quan chặt chẽ với một khái niệm cơ bản khác phân tích toán học là vi phân hàm.

Định nghĩa 1. Một hàm số y = f (x) xác định trong một vùng lân cận nào đó của điểm x được gọi là khả vi tại điểm x nếu số gia của nó tại điểm này

y = f (x + x) - f (x)

có hình thức

y = A x + α (Δx) x,

trong đó A là hằng số và hàm α (Δx) → 0 theo x → 0.

Gọi y = f (x) là hàm phân biệt thì ta đưa ra định nghĩa sau.

Định nghĩa 2. Tuyến tính chính	phần A x	gia số	hàm f (x)
được gọi là vi phân của hàm tại điểm x và được ký hiệu là dy.
Vì vậy,
y = dy + α (Δx) x.
Nhận xét 1. Giá trị dy =	x được gọi là	phần dòng chính
gia số y do thực tế là phần khác của gia số α (Δx)			x cho nhỏ
x trở nên nhỏ hơn nhiều so với A

Phát biểu 1. Để hàm số y = f (x) phân biệt được tại điểm x thì điều kiện cần và đủ là hàm số đó có đạo hàm tại điểm này.

Bằng chứng. Nhu cầu. Để hàm số f (x) khả vi tại một điểm

x + α (Δx) x, cho

x → 0. Khi đó

A + limα (Δx) = A.

Do đó, đạo hàm f ′ (x) tồn tại và bằng A.

Tính đầy đủ. Hãy để nó tồn tại

f ′ (x), tức là có giới hạn lim

F '(x).

F ′ (x) + α (Δx),

y = f ′ (x) Δx + α (Δx) x.

Đẳng thức cuối cùng có nghĩa là hàm y = f (x) là khả vi.

1.2. cảm giác hình học sự khác biệt

Gọi l là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (x, f (x)) (Hình 1). Hãy chứng minh rằng dy là giá trị của đoạn P Q. Thật vậy,

dy = f ′ (x) Δx = tg α x =

"" l

"" " "

" α

Vậy vi phân dy của hàm số f (x) tại điểm x bằng số hoành độ của tiếp tuyến l tại điểm đó.

1.3. Bất biến hình dạng vi phân

Nếu x là một biến độc lập, thì

dy = f ′ (x) dx.

Giả sử x = ϕ (t), trong đó t là một biến độc lập, y = f (ϕ (t)). sau đó

dy = (f (ϕ (t)) ′ dt = f ′ (x) ϕ ′ (t) dt = f ′ (x) dx (ϕ ′ (t) dt = dx).

Vì vậy, dạng của vi phân không thay đổi, mặc dù thực tế rằng x không phải là một biến độc lập. Tính chất này được gọi là tính bất biến của dạng vi phân.

1.4. Ứng dụng của vi phân trong tính toán gần đúng

Từ công thức y = dy + α (Δx) x, loại bỏ α (Δx) x, rõ ràng rằng với

y ≈ dy = f ′ (x) Δx.

Từ đây chúng tôi nhận được

f (x + x) - f (x) ≈ f ′ (x) Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f ′ (x) Δx. (1) Công thức (1) được sử dụng trong các phép tính gần đúng.

1.5. Sự khác biệt bậc cao

Theo định nghĩa, vi phân thứ hai của hàm số y = f (x) tại điểm x là vi phân của vi phân thứ nhất tại điểm đó, được ký hiệu là

d2 y = d (dy).

Hãy tính vi phân thứ hai:

d2 y = d (dy) = d (f ′ (x) dx) = (f ′ (x) dx) ′ dx = (f ′ ′ (x) dx) dx = f ′ ′ (x) dx2

(khi tính đạo hàm (f ′ (x) dx) ′, chúng ta đã tính đến rằng giá trị dx không phụ thuộc vào x và do đó không đổi trong quá trình phân biệt).

Nói chung, vi phân bậc n của hàm số y = f (x) là vi phân bậc nhất

sự khác biệt

từ sự khác biệt

chức năng này, mà

đóng góp bởi

dn y = d (dn − 1 y)

dn y = f (n) (x) dxn.

Tìm vi phân của hàm số y = arctg x.

Quyết định. dy = (arctg x) ′ dx =

1 + x2

Tìm vi phân bậc nhất và bậc hai của hàm v = e2t.

Quyết định. dv = 2e2t dt, d2 v = 4e2t dt2.

So sánh số gia và vi phân của hàm số y = 2x3 + 5x2.

Quyết định. Chúng ta tìm thấy

5x2 =

10x) ∆x + (6x + 5) ∆x

dy = (6x2 + 10x) dx.

Sự khác biệt giữa gia số

y và dy vi phân cao hơn một phần nhỏ hơn

đặt hàng so với

x bằng (6x + 5) Δx2 + 2Δx3.

Ví dụ 4. Tính giá trị gần đúng của diện tích hình tròn có bán kính là 3,02 m.

Quyết định. Hãy sử dụng công thức S = πr2. Đặt r = 3, r = 0,02, ta có

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0,02 = 0,12π.

Do đó, giá trị gần đúng của diện tích hình tròn là 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (m 2).

Ví dụ 5. Tính giá trị gần đúng của arcsin 0,51 với độ chính xác 0,001. Quyết định. Xét hàm y = arcsin x. Đặt x = 0,5, x = 0,01 và

áp dụng công thức (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x) ′

(arcsinx) ′

≈ arcsin 0.5+

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

Ví dụ 6. Tính gần đúng √ 3

với độ chính xác 0,0001.

Quyết định. Xét hàm số y = √ 3

và đặt x = 8,

x = 0, 01. Tương tự

theo công thức (1)

(√ 3x) ′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x) ′ x,

3√ 3 64

0,01 = 2 + 3 4 0,01 ≈ 2.0008.

p 8, 01 ≈√ 8 +

2. Định lý Fermat, Rolle, Lagrange và Cauchy

Định nghĩa 3. Cho biết hàm số y = f (x) có (hoặc đạt) tại điểm α tối đa địa phương(cực tiểu) nếu tồn tại lân cận U (α) của điểm α sao cho với mọi x U (α):

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

Tối đa cục bộ và cục bộ tối thiểu được thống nhất bằng tên chung

cực đoan địa phương.

Hàm có đồ thị được hiển thị trong Hình. 4 có cực đại cục bộ tại các điểm β, β1 và cực tiểu cục bộ tại các điểm α, α1.

Phát biểu 2. (Fermat) Cho hàm số y = f (x) khả vi tại điểm α và có cực trị tại điểm này. Khi đó f ′ (α) = 0.

Ý tưởng đằng sau việc chứng minh định lý Fermat như sau. Để xác định, f (x) có cực tiểu địa phương tại điểm α. Theo định nghĩa, f ′ (α) là giới hạn x → 0 của quan hệ

	f (α + x) - f (α)

Nhưng đủ nhỏ (bằng cách giá trị tuyệt đối) x
	f (α + x) - f (α) ≥ 0.
Do đó, với	x chúng tôi nhận được


Do đó nó theo sau đó
	f ′ (α) = lim g (Δx) = 0.

Hãy tự mình chứng minh đầy đủ.
Câu lệnh 3. (Cuộn)	Nếu y = f (x) liên tục trên	Có thể phân biệt bằng
(a, b) và f (a) = f (b) thì tồn tại điểm α (a, b)		rằng f ′ (α) = 0.

Bằng chứng. Theo tính chất của hàm số liên tục trên đoạn, có các điểm x1, x2 sao cho

cực đoan. Theo giả thiết của định lý, f (x) khả vi tại điểm α. Theo định lý Fermat, f ′ (α) = 0. Định lý được chứng minh.

Định lý Rolle có một ý nghĩa hình học đơn giản (Hình 5): nếu các hoành độ cực trị của đường cong y = f (x) bằng nhau, thì có một điểm trên đường cong y = f (x) tại đó tiếp tuyến của đường cong song song với trục Ox.

Bằng chứng. Lưu ý rằng g (a) = 6 g (b). Thật vậy, nếu không thì hàm g (x) sẽ thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lý Rolle. Do đó, sẽ có một điểm β (a, b) sao cho g ′ (β) = 0. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết của định lý.

Hãy xem xét chức năng trợ giúp sau:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g (x) - g (a)). g (b) - g (a)

Hàm F (x) liên tục trên,			có thể phân biệt được trên (a, b). Ngoài ra, nó là hiển nhiên
Cái gì'	F (a) = F (b) = 0. Do đó, theo định lý Rolle, có một điểm α (a, b) sao cho
F (α) = 0, tức là
	f ′ (α)				g ′ (α) = 0.
		- g (b)
điều này nghĩa là

				f ′ (α)

				g ′ (α)

Định lý đã được chứng minh.

Câu 5. (Lagrange) Nếu y = f (x) liên tục trên (a, b) thì có α (a, b) sao cho

F ′ (α).

Bằng chứng. Định lý Lagrange tiếp sau trực tiếp từ định lý Cauchy cho g (x) =

Về mặt hình học, định lý Lagrange có nghĩa là trên đường cong y = f (x) giữa các điểm

A và B, tại đó có điểm C là tiếp tuyến song song với dây AB. y

Định lý Rolle về đoạn này

đã thực hiện. giá trị c

định nghĩa

phương trình

f ′ (x) = 2x - 6 = 0, tức là c = 3.

tìm một điểm

M, trong đó

Ví dụ 8. Trên một cung tròn

Đường cong AB y = 2x - x

tiếp tuyến song song với hợp âm

Quyết định. Hàm số y = 2x - x

liên tục và có thể phân biệt đối với tất cả các giá trị

x. Theo định lý Lagrange, giữa hai giá trị a = 1,

b = 3 giá trị tồn tại

x = c thỏa mãn đẳng thức y (b) - y (a) = (b - a) y ′ (c), trong đó y ′ = 2 - 2x. Thay thế các giá trị tương ứng, chúng tôi nhận được

y (3) - y (1) = (3 - 1) y (c),

(2 3 - 32) - (2 1 - 12) = (3 - 1) (2 - 2c),

do đó c = 2, y (2) = 0.

Như vậy điểm M có tọa độ (2; 0).

Ví dụ 9. Trên cung AB của đường cong cho bởi phương trình tham số

x = t2, y = t3, tìm điểm

M trong đó tiếp tuyến song song với dây AB nếu

điểm A và B tương ứng với các giá trị t = 1 và t = 3.

Quyết định. Dốc hợp âm AB là

Và hệ số góc

tiếp tuyến tại điểm M (cho

t = c) là

y ′

x ′ = 2t,

y ′ = 3t2. Vì

định nghĩa của c theo định lý Cauchy ta thu được phương trình

yt ′ (c)

xt ′ (c)

tức là c = 13/6.

Giá trị tìm được c thỏa mãn bất đẳng thức 1< c < 3. Подставив значение t = c в phương trình tham sốđường cong, ta nhận được x = 169/36, y = 2197/216. Cho nên điểm mong muốn M (169/36; 2197/216).

SỰ KHÁC BIỆT LOGARITHMIC

Việc phân biệt nhiều hàm được đơn giản hóa nếu chúng được logarit hóa sơ bộ. Để làm điều này, hãy tiến hành như sau. Nếu bạn cần tìm y"từ phương trình y = f (x), sau đó bạn có thể:

Các ví dụ.

CHỨC NĂNG CÔNG SUẤT VÀ SỰ KHÁC BIỆT CỦA NÓ

số mũ một hàm là một hàm của biểu mẫu y = u v, ở đâu u = u (x), v = v (x).

Phép phân biệt lôgarit được sử dụng để tìm đạo hàm của một hàm lũy thừa.

Các ví dụ.

BẢNG KHOẢNG CÁCH

Hãy kết hợp trong một bảng tất cả các công thức cơ bản và quy tắc phân biệt có nguồn gốc trước đó. Ở mọi nơi chúng tôi sẽ giả định u = u (x), v = v (x), С = const. Đối với các dẫn xuất của chính chức năng cơ bản chúng ta sẽ sử dụng định lý đạo hàm chức năng phức tạp.

Các ví dụ.

KHÁI NIỆM VỀ CHỨC NĂNG KHÁC BIỆT. MỐI QUAN HỆ GIỮA PHÂN BIỆT VÀ KHÁC BIỆT

Để chức năng y = f (x) có thể phân biệt được trên khoảng [ một; b]. Đạo hàm của hàm này tại một số điểm X 0 Î [ một; b] được xác định bởi đẳng thức

Do đó, bởi thuộc tính của giới hạn

Nhân tất cả các số hạng của đẳng thức thu được với Δ x, chúng tôi nhận được:

Δ y = f "(x 0)·Δ x+ a Δ x.

Vì vậy, một gia số thập phân nhỏ Δ y chức năng khác biệt y = f (x) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, trong đó số hạng đầu tiên là (đối với f "(X 0) ≠ 0) phần chính của sự gia tăng, tuyến tính đối với Δ x và giá trị thứ hai là một giá trị thập phân có bậc cao hơn Δ x. phần chính tăng hàm, tức là f "(X 0)·Δ xđược gọi là vi phân của một hàm tại một điểm X 0 và được ký hiệu là dy.

Do đó, nếu hàm y = f (x) có một đạo hàm f "(x) tại điểm x, thì tích của đạo hàm f "(x) mỗi gia số Δ xđối số được gọi là hàm vi phân và biểu thị:

Hãy tìm vi phân của hàm y = x. Trong trường hợp này y" = (x) "= 1 và do đó, dy=dx=Δ x. Vì vậy, sự khác biệt dx biến độc lập x trùng với gia số của nó Δ x. Do đó, chúng ta có thể viết công thức (1) như sau:

dy = f "(x)dx

Nhưng từ mối quan hệ này, nó nối tiếp điều đó. Do đó, đạo hàm f "(x) có thể được xem như là tỷ số giữa vi phân của hàm với vi phân của biến độc lập.

Trước đó, chúng tôi đã chỉ ra rằng tính phân biệt của một hàm tại một điểm ngụ ý sự tồn tại của một vi phân tại điểm đó.

Các ngược lại cũng đúng.

Nếu cho một giá trị nhất định x hàm số tăng Δ y = f(x+Δ x) – f (x) có thể được biểu diễn dưới dạng Δ y = Một·Δ x+ α, trong đó α là đại lượng vô cùng nhỏ thỏa mãn điều kiện, tức là nếu cho chức năng y = f (x) có một sự khác biệt dy = A dxỞ một vài điểm x, thì hàm này có đạo hàm tại điểm x và f "(x)=NHƯNG.

Thật vậy, chúng ta có, và vì Δ x→ 0, sau đó.

Do đó, có một mối liên hệ rất chặt chẽ giữa tính phân biệt của một hàm và sự tồn tại của vi phân; cả hai khái niệm đều tương đương.

Các ví dụ. Tìm vi phân hàm:

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA SỰ KHÁC BIỆT

Xem xét chức năng y = f (x) và đường cong tương ứng. Hãy đi theo đường cong điểm tùy ý M (x; y), vẽ một tiếp tuyến của đường cong tại điểm này và biểu thị bằng α góc mà tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Con bò. Chúng tôi đưa ra một biến độc lập x gia số Δ x, sau đó hàm sẽ nhận được một gia số Δ y = NM một . Giá trị x+Δ x và y+Δ y trên đường cong y = f (x) dấu chấm sẽ phù hợp

M 1 (x+Δ x; y+Δ y).

Từ Δ MNT tìm thấy NT=MN tgα. Tại vì tgα = f "(x), một MN = Δ x, sau đó NT = f "(x)·Δ x. Nhưng theo định nghĩa của vi phân dy=f "(x)·Δ x, Đó là lý do tại sao dy = NT.

Do đó, vi phân của hàm số f (x) ứng với các giá trị đã cho của x và Δx bằng số gia của hoành độ của tiếp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm x cho trước.

LÝ THUYẾT MỜI KHÁC BIỆT

Trước đó chúng ta đã thấy rằng nếu u là một biến độc lập, sau đó là vi phân của hàm y=f "(u) có dạng dy = f "(u)du.

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng biểu mẫu này cũng được giữ nguyên trong trường hợp u không phải là một biến độc lập, mà là một hàm, tức là tìm một biểu thức cho vi phân của một hàm phức tạp. Để cho được y = f (u), u = g (x) hoặc y = f (g (x)). Khi đó, theo quy luật phân hóa của một hàm phức:

Do đó, theo định nghĩa

Nhưng g"(x)dx= du, Đó là lý do tại sao dy = f "(u) du.

Chúng tôi đã chứng minh định lý sau đây.

Định lý. Hàm phức hợp vi phân y = f (u), mà u = g (x), có hình thức giống nhau dy = f "(u) du, nó sẽ có nếu đối số trung gian u là biến độc lập.

Nói cách khác, dạng của vi phân không phụ thuộc vào việc là đối số của hàm của biến độc lập hay là hàm của đối số khác. Thuộc tính này của vi phân được gọi là bất biến dạng vi phân.

Ví dụ.. Để tìm dy.

Có tính đến đặc tính bất biến của vi phân, chúng tôi thấy

ÁP DỤNG SỰ KHÁC BIỆT ĐỂ PHÊ DUYỆT CÁC TÍNH TOÁN

Hãy cho chúng tôi biết giá trị của hàm y 0 = f (x 0 ) và dẫn xuất của nó y 0 " = f "(x0) tại điểm x0. Hãy trình bày cách tìm giá trị của một hàm tại một số điểm gần x.

Như chúng ta đã tìm hiểu, số gia của hàm Δ y có thể được biểu diễn dưới dạng tổng Δ y=dy+α·Δ x, I E. số gia của hàm khác với vi phân một số thập phân. Do đó, bỏ qua Δ nhỏ x số hạng thứ hai trong các phép tính gần đúng, đôi khi chúng sử dụng đẳng thức gần đúng Δ y≈dy hoặc Δ y» f"(x0)·Δ x.

Bởi vì, theo định nghĩa, Δ y = f(x) – f(x0), sau đó f (x) - f (x0)≈f"(x0)·Δ x.

Các ví dụ.

LỆNH ĐƠN HÀNG CAO HƠN

Để chức năng y = f (x) có thể phân biệt được vào một số khoảng thời gian [ một; b]. Giá trị phái sinh f"(x), nói chung, phụ thuộc vào x, I E. phát sinh f"(x) cũng là một hàm của biến x. Cho hàm này cũng có đạo hàm. Phân biệt nó, chúng ta thu được cái gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f (x).

Đạo hàm của đạo hàm cấp một được gọi là đạo hàm bậc hai hoặc Dẫn xuất thứ hai từ chức năng này y = f (x) và được biểu thị y""hoặc f""(x). Cho nên, y"" = (y")".

Ví dụ, nếu tại = X 5, sau đó y"= 5x 4, và y""= 20x 4 .

Tương tự, đến lượt mình, đạo hàm cấp hai cũng có thể được phân biệt. Đạo hàm của đạo hàm cấp hai được gọi là đạo hàm bậc ba hoặc đạo hàm thứ ba và được ký hiệu là y "" "hoặc f" "" ( x).

Nói chung là, đạo hàm bậc n từ chức năng f (x)được gọi là đạo hàm (bậc nhất) của đạo hàm ( N- 1) thứ tự và được biểu thị bằng ký hiệu y(cũng không f(N) ( x): y(n) = ( y(n-1)) ".

Do đó, để tìm đạo hàm cấp cao của một hàm số đã cho, tất cả các đạo hàm cấp dưới của nó được tuần tự tìm được.

Liên kết chặt chẽ với nhau, cả hai đã được sử dụng tích cực trong nhiều thế kỷ để giải quyết hầu hết các vấn đề nảy sinh trong quá trình hoạt động khoa học kỹ thuật của con người.

Sự xuất hiện của khái niệm vi phân

Lần đầu tiên giải thích sự khác biệt là gì, một trong những người sáng tạo (cùng với Isaac Newton) phép tính vi phân nhà toán học nổi tiếng người Đức Gottfried Wilhelm Leibniz. Trước đó, các nhà toán học 17 Art. đã sử dụng một ý tưởng rất mờ nhạt và mơ hồ về một số phần nhỏ vô hạn "không thể phân chia" của bất kỳ chức năng đã biết, đại diện cho một giá trị hằng số rất nhỏ, nhưng không bằng 0, nhỏ hơn giá trị của hàm đơn giản là không thể bằng. Từ đây chỉ có một bước là giới thiệu khái niệm về số gia vô cùng nhỏ của các đối số của hàm và số gia tương ứng của chính các hàm, được thể hiện thông qua các đạo hàm của hàm sau. Và bước này được thực hiện gần như đồng thời bởi hai nhà khoa học vĩ đại nói trên.

Dựa trên nhu cầu giải quyết các vấn đề thực tế cấp bách của cơ học, mà ngành công nghiệp và công nghệ đang phát triển nhanh chóng đặt ra cho khoa học, Newton và Leibniz đã tạo ra những cách phổ biến việc tìm kiếm tốc độ thay đổi của các hàm (chủ yếu liên quan đến tốc độ cơ học của một vật chuyển động dọc theo một quỹ đạo đã biết), dẫn đến sự ra đời của các khái niệm như đạo hàm và vi phân của một hàm, đồng thời cũng tìm ra một thuật toán để giải vấn đề nghịch đảo, làm thế nào để tìm quãng đường đi được từ một tốc độ (thay đổi) đã biết, dẫn đến sự xuất hiện của khái niệm tích phân.

Trong các công trình của Leibniz và Newton, lần đầu tiên xuất hiện ý tưởng rằng vi phân là phần chính của gia số của hàm Δy, tỷ lệ với gia số của đối số Δx, có thể được áp dụng thành công để tính giá trị của cái sau. Nói cách khác, họ phát hiện ra rằng số gia của một hàm có thể được biểu diễn tại bất kỳ điểm nào (trong miền định nghĩa của nó) theo đạo hàm của nó là 0, nhanh hơn nhiều so với chính Δx.

Theo những người sáng lập của phân tích toán học, vi phân chỉ là số hạng đầu tiên trong các biểu thức cho gia số của bất kỳ hàm nào. Chưa có khái niệm công thức rõ ràng về giới hạn của dãy số, họ hiểu một cách trực quan rằng giá trị của vi phân có xu hướng theo đạo hàm của hàm số là Δх → 0 - Δу / Δх → y "(x).

Không giống như Newton, người chủ yếu là một nhà vật lý, và coi bộ máy toán học như một công cụ nghiên cứu phụ trợ nhiệm vụ vật lý, Leibniz chú ý nhiều hơn đến chính bộ công cụ này, bao gồm hệ thống ký hiệu trực quan và dễ hiểu đại lượng toán học. Chính ông là người đã đề xuất ký hiệu được chấp nhận chung cho vi phân của hàm dy \ u003d y "(x) dx, đối số dx và đạo hàm của hàm dưới dạng tỷ số của chúng y" (x) \ u003d dy / dx .

Nét hiện đại

Vi phân trong điều kiện toán học hiện đại là gì? Nó liên quan chặt chẽ đến khái niệm gia số Biến đổi. Nếu biến y lần đầu nhận giá trị y = y 1 và sau đó là y = y 2, thì hiệu số y 2 ─ y 1 được gọi là số gia của y.

Mức tăng có thể là số dương. âm và bằng không. Từ "số gia" được ký hiệu là Δ, ký hiệu Δy (đọc là "delta y") biểu thị số gia của y. do đó Δу = y 2 ─ y 1.

Nếu giá trị Δу chức năng tùy ý y = f (x) có thể được biểu diễn ở dạng hơn chính Δx, khi đó số hạng đầu tiên (“chính”), tỷ lệ với Δx, là vi phân của y \ u003d f (x), được ký hiệu là dy hoặc df (x) ( đọc “de y”, “de eff from x”). Do đó, vi phân là thành phần tuyến tính “chính” của các gia số của hàm đối với Δx.

Diễn giải cơ học

Gọi s = f (t) là quãng đường từ vị trí xuất phát (t là thời gian vật đi được). Gia số Δs là đường đi của chất điểm trong khoảng thời gian Δt và vi phân ds = f "(t) Δt là quãng đường mà chất điểm sẽ đi được trong cùng thời gian Δt nếu nó giữ nguyên tốc độ f" (t ) đạt được vào thời điểm t. Đối với một Δt nhỏ vô hạn, đường đi ảo ds khác với Δs thực một lượng nhỏ, có đơn hàng cao hơnđối với Δt. Nếu tốc độ tại thời điểm t không bằng 0 thì ds cho giá trị gần đúng của độ dời nhỏ của chất điểm.

Giải thích hình học

Gọi đường thẳng L là đồ thị y = f (x). Khi đó Δ x \ u003d MQ, Δy \ u003d QM "(xem hình bên). Tiếp tuyến MN chia đoạn Δy thành hai phần QN và NM". Thứ nhất tỷ lệ với Δх và bằng QN = MQ ∙ tg (góc QMN) = Δх f "(x), tức là QN là vi phân dy.

Phần thứ hai NM "cho sự khác biệt Δу ─ dy, tại Δх → 0, độ dài của NM" giảm thậm chí nhanh hơn so với mức tăng của đối số, tức là bậc nhỏ của nó cao hơn bậc của Δх. Trong trường hợp đang xét, với f "(x) ≠ 0 (tiếp tuyến không song song với OX), các đoạn QM" và QN là tương đương; nói cách khác, NM "giảm nhanh hơn (bậc nhỏ của nó cao hơn) so với tổng gia số Δу = QM". Điều này có thể được nhìn thấy trong hình (khi M "tiếp cận M, phân đoạn NM" tạo thành một tỷ lệ phần trăm nhỏ hơn bao giờ hết của phân đoạn QM ").

Vì vậy, về mặt đồ thị, vi phân của một hàm tùy ý bằng gia số của hoành độ của tiếp tuyến của nó.

Đạo hàm và vi phân

Hệ số A trong số hạng đầu tiên của biểu thức cho số gia của hàm bằng giá trị của đạo hàm f "(x). Do đó, quan hệ sau xảy ra - dy \ u003d f" (x) Δx hoặc df (x) \ u003d f "(x) Δx.

Biết rằng gia số của đối số độc lập bằng vi phân Δх = dx của nó. Theo đó, bạn có thể viết: f "(x) dx \ u003d dy.

Việc tìm (đôi khi được gọi là "giải") vi phân được thực hiện theo các quy tắc tương tự như đối với đạo hàm. Danh sách của họ được đưa ra dưới đây.

Điều gì phổ biến hơn: gia số của đối số hoặc vi phân của nó

Ở đây nó là cần thiết để thực hiện một số giải thích. Biểu diễn theo giá trị f "(x) Δx của vi phân có thể thực hiện được khi coi x là một đối số. Nhưng hàm có thể phức tạp, trong đó x có thể là một hàm của đối số t nào đó. Khi đó, biểu diễn vi phân bằng biểu thức f "(x) Δx, theo quy luật, là không thể; ngoại trừ trường hợp phụ thuộc tuyến tính x = at + b.

Đối với công thức f "(x) dx \ u003d dy, thì trong trường hợp đối số độc lập x (thì dx \ u003d Δx) và trong trường hợp phụ thuộc tham số của x vào t, nó biểu thị một vi phân.

Ví dụ, biểu thức 2 x Δx đại diện cho y = x 2 vi phân của nó khi x là một đối số. Bây giờ chúng ta hãy đặt x = t 2 và lấy t làm đối số. Khi đó y = x 2 = t 4.

Biểu thức này không tỷ lệ với Δt và do đó bây giờ 2xΔх không phải là một vi phân. Nó có thể được tìm thấy từ phương trình y = x 2 = t 4. Hóa ra bằng dy = 4t 3 Δt.

Nếu chúng ta lấy biểu thức 2xdx, thì nó biểu diễn vi phân y = x 2 với bất kỳ đối số t nào. Thật vậy, tại x = t 2 ta được dx = 2tΔt.

Điều này có nghĩa là 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, tức là, các biểu thức của vi phân được viết dưới dạng hai biến số khác nhau trùng nhau.

Thay thế phần gia tăng bằng phần chênh lệch

Nếu f "(x) ≠ 0, thì Δу và dy là tương đương (với Δх → 0); nếu f" (x) = 0 (có nghĩa là dy = 0), chúng không tương đương.

Ví dụ: nếu y \ u003d x 2 thì Δy \ u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \ u003d 2xΔx + Δx 2 và dy \ u003d 2xΔx. Nếu x = 3 thì ta có Δу = 6Δх + Δх 2 và dy = 6Δх, tương đương do Δх 2 → 0, tại x = 0, các giá trị Δу = Δх 2 và dy = 0 không tương đương.

Thực tế này, cùng với cấu trúc đơn giản của vi phân (tức là tuyến tính đối với Δx), thường được sử dụng trong các tính toán gần đúng, giả sử rằng Δy ≈ dy cho Δx nhỏ. Tìm vi phân của một hàm thường dễ hơn tính giá trị chính xác của gia số.

Ví dụ, ta có một hình lập phương bằng kim loại có cạnh x = 10,00 cm, khi nung nóng thì cạnh đó dài ra Δx = 0,001 cm thì thể tích V của hình đó tăng lên bao nhiêu? Ta có V \ u003d x 2, sao cho dV \ u003d 3x 2 Δx \ u003d 3 10 2 0/01 \ u003d 3 (cm 3). Độ tăng thể tích ΔV tương đương với độ chênh lệch dV nên ΔV = 3 cm 3. Một phép tính đầy đủ sẽ cho ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Nhưng trong kết quả này, tất cả các số liệu ngoại trừ số liệu đầu tiên là không đáng tin cậy; vì vậy, dù sao, bạn cần làm tròn nó lên 3 cm 3.

Rõ ràng là cách tiếp cận như vậy chỉ hữu ích nếu có thể ước tính mức độ của sai số được đưa vào.

Hàm khác biệt: Ví dụ

Ta thử tìm vi phân của hàm số y = x 3 mà không cần tìm đạo hàm. Hãy tăng đối số và xác định Δу.

Δy \ u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \ u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

Ở đây hệ số A = 3x 2 không phụ thuộc vào Δх, do đó số hạng đầu tiên tỷ lệ với Δх, trong khi số hạng khác 3xΔх 2 + Δх 3 giảm nhanh hơn khi Δх → 0 so với số gia của đối số. Do đó, số hạng 3x 2 Δx là vi phân y = x 3:

dy \ u003d 3x 2 Δx \ u003d 3x 2 dx hoặc d (x 3) \ u003d 3x 2 dx.

Trong trường hợp này, d (x 3) / dx \ u003d 3x 2.

Bây giờ chúng ta hãy tìm dy của hàm y = 1 / x theo đạo hàm của nó. Khi đó d (1 / x) / dx = ─1 / x 2. Do đó, dy = ─ Δх / х 2.

Vi phân của các hàm đại số cơ bản được đưa ra dưới đây.

Tính toán gần đúng sử dụng vi phân

Thường không khó để tính hàm f (x), cũng như đạo hàm f "(x) của nó cho x = a, nhưng không dễ làm điều tương tự trong vùng lân cận của điểm x = a. Khi đó biểu thức gần đúng giải cứu

f (a + Δх) ≈ f ”(a) Δх + f (a).

Nó cho một giá trị gần đúng của hàm tại các gia số nhỏ Δх thông qua vi phân f "(a) Δх của nó.

Vì thế, công thức đã chođưa ra biểu thức gần đúng cho hàm tại điểm cuối của một đoạn nào đó có độ dài Δx là tổng giá trị của nó tại điểm ban đầu của đoạn này (x = a) và vi phân tại cùng điểm ban đầu. Lỗi của phương pháp xác định giá trị của hàm này được minh họa trong hình bên dưới.

Tuy nhiên, biểu thức chính xác cho giá trị của hàm cho x = a + Δх cũng được biết đến, được đưa ra bởi công thức cho số gia hữu hạn (hoặc, nói cách khác, công thức Lagrange)

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a),

trong đó điểm x = a + ξ nằm trên đoạn từ x = a đến x = a + Δx, mặc dù vị trí chính xác của nó là chưa biết. Công thức chính xác giúp bạn có thể ước tính sai số của công thức gần đúng. Tuy nhiên, nếu chúng ta đặt ξ = Δх / 2 vào công thức Lagrange, thì mặc dù nó không còn chính xác, nhưng nó thường cho một giá trị gần đúng tốt hơn nhiều so với biểu thức ban đầu thông qua vi phân.

Ước tính lỗi của công thức bằng cách áp dụng sai số

Về nguyên tắc, chúng không chính xác và đưa các sai số tương ứng vào dữ liệu đo lường. Chúng được đặc trưng bởi sai số biên hay nói ngắn gọn là sai số biên - số dương, rõ ràng là vượt quá sai số này về giá trị tuyệt đối (hoặc ít nhất bằng nó). Giới hạn được gọi là thương số của phép chia của nó cho giá trị tuyệt đối gia trị đo.

Hãy sử dụng công thức chính xác y = f (x) để tính hàm y, nhưng giá trị của x là kết quả của phép đo và do đó đưa sai số vào y. Sau đó, để tìm ra giới hạn lỗi tuyệt đối│‌‌Δу│ hàm y, sử dụng công thức

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│ = │ f "(x) ││Δх│,

trong đó │Δх│ là sai số biên của đối số. Giá trị │‌‌Δу│ nên được làm tròn, bởi vì không chính xác là việc thay thế phép tính gia số bằng phép tính vi phân.

Nếu chức năng có thể phân biệt ở một điểm , thì gia số của nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng

. Các thuật ngữ này là các hàm số thập phân cho
Thuật ngữ đầu tiên là tuyến tính đối với
, thứ hai là một thứ tự cao hơn trong hệ thập phân nhỏ hơn
.Thật sự,

Như vậy, số hạng thứ hai lúc
có xu hướng về 0 nhanh hơn và khi tìm thấy số gia của hàm
nhiệm kỳ đầu tiên đóng vai trò chính
hoặc (bởi vì
)
.

Sự định nghĩa . Phần chính của tăng hàm
tại điểm , tuyến tính đối với
,được gọi là sự khác biệt chức năng tại thời điểm này và được biểu thịdyhoặcdf(x)

. (2)

Do đó, chúng ta có thể kết luận: vi phân của một biến độc lập trùng với số gia của nó, nghĩa là
.

Quan hệ (2) bây giờ có dạng

(3)

Nhận xét . Công thức (3) cho ngắn gọn thường được viết dưới dạng

(4)

Ý nghĩa hình học của vi phân

Hãy xem xét đồ thị của một hàm phân biệt
. điểm
và thuộc đồ thị của hàm số. Tại điểm M một tiếp tuyến Đến thành đồ thị của một hàm số có góc với chiều dương của trục
biểu thị bởi
. Hãy vẽ thẳng MN song song với trục Con bò và
song song với trục Oy. Số gia của hàm bằng độ dài của đoạn
. Từ tam giác vuông
, trong đó
, chúng tôi nhận được

Suy luận trên cho phép chúng ta kết luận:

Hàm vi sai
tại điểm được biểu diễn bằng số gia của hoành độ của tiếp tuyến với đồ thị của hàm này tại điểm tương ứng của nó
.

Mối quan hệ giữa vi phân và đạo hàm

Hãy xem xét công thức (4)

Chúng tôi chia cả hai mặt của sự bình đẳng này bằng cách dx, sau đó

Vì vậy, đạo hàm của một hàm số bằng tỷ số giữa vi phân của nó với vi phân của biến số độc lập.

Thường thì thái độ này được coi đơn giản như một ký hiệu biểu thị đạo hàm của một hàm tại bằng lập luận X.

Kí hiệu thuận tiện cho đạo hàm cũng là:

,
vân vân.

Cũng được sử dụng là các mục

,
,

đặc biệt thuận tiện khi lấy đạo hàm của một biểu thức phức tạp.

2. Vi phân của tổng, tích và thương.

Vì vi phân nhận được từ đạo hàm bằng cách nhân nó với vi phân của một biến độc lập, do đó, khi biết đạo hàm của các hàm cơ bản cơ bản, cũng như các quy tắc tìm đạo hàm, người ta có thể đi đến các quy tắc tương tự để tìm vi phân.

1 0 . Vi phân của một hằng số bằng không

2 0 . Vi phân của tổng đại số của một số hữu hạn các hàm phân biệt bằng tổng đại số của vi phân của các hàm này

3 0 . Sự khác biệt của sản phẩm của hai chức năng khác nhau bằng tổng tích của hàm thứ nhất bằng vi phân của hàm thứ hai và hàm thứ hai bằng vi phân của hàm thứ nhất

Hậu quả. Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của vi phân

Ví dụ. Tìm vi phân của hàm số.

Giải pháp. Chúng tôi viết hàm này dưới dạng

sau đó chúng tôi nhận được

4. Các hàm cho trước theo tham số, sự khác biệt của chúng.

Sự định nghĩa . Hàm số
được gọi là tham số cho trước nếu cả hai biến X và tại được định nghĩa từng hàm riêng biệt dưới dạng các hàm có giá trị đơn của cùng một biến phụ - tham sốt:

ở đâutthay đổi trong
.

Nhận xét . Phép gán tham số của các hàm được sử dụng rộng rãi trong cơ học lý thuyết, trong đó tham số t biểu thị thời gian và các phương trình
là các quy luật thay đổi trong các phép chiếu của một điểm chuyển động
trên trục
và
.