Định nghĩa phương trình của đường thẳng kẻ từ hai điểm. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, góc giữa hai đường, hệ số góc của đường thẳng

Bài học trong loạt bài "Thuật toán hình học"

Xin chào bạn đọc thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ bắt đầu học các thuật toán liên quan đến hình học. Thực tế là có rất nhiều bài toán Olympiad trong khoa học máy tính liên quan đến hình học tính toán, và lời giải của những bài toán này thường gây ra nhiều khó khăn.

Trong một vài bài học, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán con cơ bản mà dựa vào đó lời giải của hầu hết các bài toán hình học tính toán.

Trong bài học này, chúng ta sẽ viết một chương trình cho tìm phương trình của một đường thẳngđi qua những gì đã cho hai dấu chấm. Để giải các bài toán hình học, chúng ta cần một số kiến ​​thức về hình học tính toán. Chúng tôi sẽ dành một phần của bài học để làm quen với chúng.

Thông tin từ hình học tính toán

Hình học tính toán là một nhánh của khoa học máy tính nghiên cứu các thuật toán để giải quyết các vấn đề hình học.

Dữ liệu ban đầu cho các bài toán như vậy có thể là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng, một tập hợp các đoạn, một đa giác (ví dụ, cho trước danh sách các đỉnh của nó theo thứ tự chiều kim đồng hồ), v.v.

Kết quả có thể là câu trả lời cho một số câu hỏi (chẳng hạn như một điểm có thuộc một đoạn không, hai đoạn có cắt nhau không, ...) hoặc một đối tượng hình học nào đó (ví dụ: đa giác lồi nhỏ nhất nối các điểm đã cho, diện tích của Một đa giác, v.v.).

Chúng ta sẽ chỉ xem xét các bài toán hình học tính toán trên mặt phẳng và chỉ trong hệ tọa độ Descartes.

Vectơ và tọa độ

Để áp dụng các phương pháp hình học tính toán, cần phải chuyển các hình ảnh hình học sang ngôn ngữ của các con số. Chúng ta giả sử rằng một hệ tọa độ Descartes được cho trên mặt phẳng, trong đó chiều quay ngược chiều kim đồng hồ được gọi là chiều dương.

Bây giờ các đối tượng hình học nhận được một biểu thức phân tích. Vì vậy, để thiết lập một điểm, chỉ cần xác định tọa độ của nó là đủ: một cặp số (x; y). Một đoạn có thể được xác định bằng cách chỉ định tọa độ của các đầu của nó, một đoạn thẳng có thể được xác định bằng cách xác định tọa độ của một cặp điểm của nó.

Nhưng công cụ chính để giải quyết vấn đề sẽ là các vectơ. Do đó, hãy để tôi nhắc bạn một số thông tin về chúng.

Đoạn thẳng AB, có một điểm NHƯNGđược coi là điểm khởi đầu (điểm áp dụng), và điểm TẠI- phần cuối được gọi là vectơ AB và được biểu thị bằng một trong hai hoặc một chữ in thường đậm, chẳng hạn một .

Để biểu thị độ dài của một vectơ (nghĩa là độ dài của đoạn tương ứng), chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu mô-đun (ví dụ,).

Một vectơ tùy ý sẽ có tọa độ bằng hiệu giữa tọa độ tương ứng của điểm cuối và điểm đầu của nó:

,

dấu chấm ở đây Một và B có tọa độ tương ứng.

Để tính toán, chúng tôi sẽ sử dụng khái niệm góc định hướng, nghĩa là, một góc có xét đến vị trí tương đối của các vectơ.

Góc định hướng giữa các vectơ một và b dương nếu chuyển động quay ra xa vectơ một vectơ b được thực hiện theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) và tiêu cực trong trường hợp còn lại. Xem hình 1a, hình 1b. Người ta cũng nói rằng một cặp vectơ một và b định hướng tích cực (tiêu cực).

Như vậy, giá trị của góc định hướng phụ thuộc vào thứ tự liệt kê các vectơ và có thể nhận các giá trị trong khoảng.

Nhiều bài toán hình học tính toán sử dụng khái niệm tích vectơ (xiên hoặc giả phương) của vectơ.

Tích vectơ của vectơ a và b là tích độ dài của các vectơ này và sin của góc giữa chúng:

.

Tích vectơ của vectơ trong tọa độ:

Biểu thức bên phải là định thức bậc hai:

Không giống như định nghĩa được đưa ra trong hình học giải tích, đây là một đại lượng vô hướng.

Dấu của tích chéo xác định vị trí của các vectơ so với nhau:

một và b định hướng tích cực.

Nếu giá trị là, thì cặp vectơ một và b định hướng tiêu cực.

Tích chéo của các vectơ khác không bằng 0 nếu và chỉ khi chúng thẳng hàng ( ). Điều này có nghĩa là chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc trên các đường thẳng song song.

Chúng ta hãy xem xét một số nhiệm vụ đơn giản cần thiết để giải quyết những nhiệm vụ phức tạp hơn.

Hãy xác định phương trình của một đường thẳng bằng tọa độ của hai điểm.

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau được cho bởi tọa độ của chúng.

Cho hai điểm không trùng nhau trên đường thẳng: có tọa độ (x1; y1) và tọa độ (x2; y2). Theo đó, vectơ có đầu tại điểm và điểm cuối tại điểm có tọa độ (x2-x1, y2-y1). Nếu P (x, y) là một điểm tùy ý trên đường thẳng của chúng ta, thì tọa độ của vectơ là (x-x1, y - y1).

Với sự trợ giúp của tích chéo, điều kiện cho tính thẳng hàng của các vectơ và có thể được viết như sau:

Những thứ kia. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) = 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) = 0

Chúng tôi viết lại phương trình cuối cùng như sau:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

Vì vậy, đường thẳng có thể cho bởi một phương trình có dạng (1).

Nhiệm vụ 1. Tọa độ của hai điểm đã cho. Tìm biểu diễn của nó dưới dạng ax + by + c = 0.

Trong bài học này, chúng ta đã làm quen với một số thông tin từ hình học tính toán. Chúng tôi đã giải quyết vấn đề tìm phương trình của đường thẳng bằng tọa độ của hai điểm.

Trong bài tiếp theo, chúng ta sẽ viết chương trình tìm giao điểm của hai đường thẳng cho trước bằng phương trình của chúng ta.

Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét phương trình tổng quát của một đường thẳng trong một mặt phẳng. Hãy nêu ví dụ về xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng nếu biết hai điểm thuộc đường thẳng này hoặc biết một điểm và vectơ pháp tuyến của đường thẳng này. Hãy trình bày các phương pháp biến một phương trình ở dạng tổng quát thành dạng chính tắc và dạng tham số.

Cho một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes tùy ý Oxy. Hãy xem xét một phương trình bậc nhất hoặc một phương trình tuyến tính:

Ax + By + C=0,

(1)

ở đâu A, B, C là một số hằng số và ít nhất một trong các phần tử Một và B khác 0.

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng một phương trình tuyến tính trong mặt phẳng xác định một đường thẳng. Hãy chứng minh định lý sau.

Định lý 1. Trong một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật tùy ý trên một mặt phẳng, mỗi đường thẳng có thể được cho bởi một phương trình tuyến tính. Ngược lại, mỗi phương trình tuyến tính (1) trong một hệ trục tọa độ Descartes bất kỳ trên mặt phẳng xác định một đường thẳng.

Bằng chứng. Nó đủ để chứng minh rằng dòng Lđược xác định bởi một phương trình tuyến tính cho bất kỳ một hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật nào, do đó nó sẽ được xác định bởi một phương trình tuyến tính và cho bất kỳ sự lựa chọn nào của hệ tọa độ Descartes hình chữ nhật.

Cho một đường thẳng được cho trên mặt phẳng L. Ta chọn một hệ tọa độ để trục Con bò thẳng hàng với dòng L, và trục Oy vuông góc với nó. Khi đó phương trình của đường thẳng L sẽ có dạng sau:

y = 0.

(2)

Tất cả các điểm trên một dòng L sẽ thỏa mãn phương trình tuyến tính (2), và tất cả các điểm nằm ngoài đường thẳng này sẽ không thỏa mãn phương trình (2). Phần đầu tiên của định lý được chứng minh.

Cho một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes đã cho và cho phương trình tuyến tính (1), trong đó có ít nhất một trong các phần tử Một và B khác 0. Tìm quỹ tích của các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (1). Vì ít nhất một trong các hệ số Một và B khác 0 thì phương trình (1) có ít nhất một nghiệm M(x 0 ,y 0). (Ví dụ, khi Một≠ 0, chấm M 0 (−C / A, 0) thuộc quỹ tích điểm đã cho). Thay thế các tọa độ này thành (1), chúng ta có được danh tính

Cây rìu 0 +Qua 0 +C=0.

(3)

Hãy để chúng tôi trừ danh tính (3) khỏi (1):

Một(x−x 0)+B(y−y 0)=0.

(4)

Rõ ràng, phương trình (4) tương đương với phương trình (1). Do đó, nó đủ để chứng minh rằng (4) xác định một số dòng.

Vì chúng ta đang xem xét một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, nên từ đẳng thức (4) vectơ có các thành phần ( x − x 0 , y − y 0) là trực giao với vectơ N với tọa độ ( A, B}.

Hãy xem xét một số dòng Lđi qua điểm M 0 (x 0 , y 0) và vuông góc với vectơ N(Hình 1). Hãy để ý M(x, y) thuộc dòng L. Khi đó vectơ có tọa độ x − x 0 , y − y 0 vuông góc N và phương trình (4) được thỏa mãn (tích vô hướng của vectơ N và bằng 0). Ngược lại, nếu điểm M(x, y) không nằm trên một dòng L, sau đó là vectơ có tọa độ x − x 0 , y − y 0 không trực giao với vectơ N và phương trình (4) không thỏa mãn. Định lý đã được chứng minh.

Bằng chứng. Vì các dòng (5) và (6) xác định cùng một dòng nên các vectơ pháp tuyến N 1 ={Một 1 ,B 1) và N 2 ={Một 2 ,B 2) thẳng hàng. Vì các vectơ N 1 ≠0, N 2 ≠ 0, thì có một số λ , Cái gì N 2 =N 1 λ . Do đó chúng tôi có: Một 2 =Một 1 λ , B 2 =B 1 λ . Hãy chứng minh rằng C 2 =C 1 λ . Rõ ràng là những đường thẳng trùng hợp có một điểm chung M 0 (x 0 , y 0). Nhân phương trình (5) với λ và trừ phương trình (6) khỏi nó, chúng ta nhận được:

Vì hai bằng nhau đầu tiên từ biểu thức (7) được thỏa mãn, nên C 1 λ −C 2 = 0. Những thứ kia. C 2 =C 1 λ . Nhận xét đã được chứng minh.

Lưu ý rằng phương trình (4) xác định phương trình của một đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0) và có một vectơ pháp tuyến N={A, B). Do đó, nếu biết vectơ pháp tuyến của đường thẳng và điểm thuộc đường thẳng này thì phương trình tổng quát của đường thẳng có thể được xây dựng bằng phương trình (4).

Ví dụ 1. Một đường thẳng đi qua một điểm M= (4, −1) và có vectơ pháp tuyến N= (3, 5). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng.

Quyết định. Chúng ta có: x 0 =4, y 0 =−1, Một=3, B= 5. Để xây dựng phương trình tổng quát của một đường thẳng, chúng ta thay các giá trị này vào phương trình (4):

Trả lời:

Véc tơ song song với đường thẳng L và do đó vuông góc với vectơ pháp tuyến của đường thẳng L. Hãy xây dựng một vectơ đường thẳng bình thường L, cho rằng tích vô hướng của vectơ N và bằng không. Ví dụ, chúng ta có thể viết N={1,−3}.

Để xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng, ta sử dụng công thức (4). Hãy để chúng tôi thay thế thành (4) tọa độ của điểm M 1 (chúng ta cũng có thể lấy tọa độ của điểm M 2) và vectơ pháp tuyến N:

Thay thế tọa độ điểm M 1 và M 2 trong (9) chúng ta có thể chắc chắn rằng đường thẳng cho bởi phương trình (9) đi qua các điểm này.

Trả lời:

Trừ (10) khỏi (1):

Ta đã thu được phương trình chính tắc của một đường thẳng. Véc tơ q={−B, Một) là vectơ chỉ phương của đường thẳng (12).

Xem phép biến đổi ngược.

Ví dụ 3. Đường thẳng trong mặt phẳng được biểu diễn bằng phương trình tổng quát sau:

Chuyển số hạng thứ hai sang bên phải và chia cả hai vế của phương trình cho 2 5.

Phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian là phương trình xác định một đường thẳng đi qua một điểm cho trước thẳng hàng với một vectơ chỉ phương.

Cho một điểm và một vectơ chỉ phương. Một điểm tùy ý nằm trên một đường l chỉ khi các vectơ và thẳng hàng, tức là chúng thỏa mãn điều kiện:

.

Các phương trình trên là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Con số m , N và P là các hình chiếu của vectơ chỉ phương lên các trục tọa độ. Vì vectơ khác 0 nên tất cả các số m , N và P không thể đồng thời bằng 0. Nhưng một hoặc hai trong số chúng có thể bằng không. Ví dụ, trong hình học phân tích, ký hiệu sau được phép:

,

có nghĩa là các hình chiếu của vectơ trên các trục Oy và Ozđều bằng không. Do đó, cả vectơ và đường thẳng cho bởi phương trình chính tắc đều vuông góc với trục Oy và Oz, tức là máy bay yOz .

ví dụ 1 Lập phương trình đường thẳng trong không gian vuông góc với mặt phẳng và đi qua giao điểm của mặt phẳng này với trục Oz .

Quyết định. Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho với trục Oz. Vì bất kỳ điểm nào trên trục Oz, có tọa độ, khi đó, giả sử trong phương trình mặt phẳng đã cho x = y = 0, chúng tôi nhận được 4 z- 8 = 0 hoặc z= 2. Do đó, giao điểm của mặt phẳng đã cho với trục Oz có tọa độ (0; 0; 2). Vì đường thẳng mong muốn vuông góc với mặt phẳng nên nó song song với vectơ pháp tuyến của nó. Do đó, vectơ pháp tuyến có thể coi là vectơ chỉ đạo của đường thẳng mặt phẳng đã cho.

Bây giờ chúng ta viết phương trình mong muốn của đường thẳng đi qua điểm Một= (0; 0; 2) theo hướng của vectơ:

Phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

Một đường thẳng có thể được xác định bởi hai điểm nằm trên nó và Trong trường hợp này, vectơ chỉ phương của đường thẳng có thể là vectơ. Khi đó các phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng

.

Phương trình trên xác định một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước.

Ví dụ 2 Viết phương trình của một đường thẳng trong không gian đi qua các điểm và.

Quyết định. Chúng tôi viết phương trình mong muốn của đường thẳng ở dạng cho ở trên trong tài liệu tham khảo lý thuyết:

.

Từ đó đường thẳng mong muốn vuông góc với trục Oy .

Đường thẳng là giao tuyến của các mặt phẳng

Một đường thẳng trong không gian có thể được định nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng không song song, tức là tập hợp các điểm thỏa mãn hệ hai phương trình tuyến tính

Phương trình của hệ còn được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng trong không gian.

Ví dụ 3 Lập phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian bằng phương trình tổng quát

Quyết định. Để viết phương trình chính tắc của một đường thẳng hay, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, bạn cần tìm tọa độ của hai điểm bất kỳ trên đường thẳng. Chúng có thể là giao điểm của một đường thẳng với bất kỳ hai mặt phẳng tọa độ nào, chẳng hạn yOz và xOz .

Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng yOz có một abscissa x= 0. Do đó, giả sử trong hệ phương trình này x= 0, chúng tôi nhận được một hệ thống có hai biến:

Quyết định của cô ấy y = 2 , z= 6 cùng với x= 0 xác định một điểm Một(0; 2; 6) của dòng mong muốn. Theo giả thiết thì trong hệ phương trình đã cho y= 0, chúng tôi nhận được hệ thống

Quyết định của cô ấy x = -2 , z= 0 cùng với y= 0 xác định một điểm B(-2; 0; 0) giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng xOz .

Bây giờ chúng ta viết phương trình của một đường thẳng đi qua các điểm Một(0; 2; 6) và B (-2; 0; 0) :

,

hoặc sau khi chia các mẫu số cho -2:

,

Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng có thể được cho bởi một phương trình bậc nhất

Ah + Wu + C = 0,

và các hằng số A, B không đồng thời bằng 0. Phương trình bậc nhất này được gọi là phương trình tổng quát của một đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của các hằng số A, B và C, có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau:

C \ u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - đường thẳng đi qua điểm gốc

A \ u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \ u003d 0) - đường thẳng song song với trục Ox

B \ u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \ u003d 0) - đường thẳng song song với trục Oy

B \ u003d C \ u003d 0, A ≠ 0 - đường thẳng trùng với trục Oy

A \ u003d C \ u003d 0, B ≠ 0 - đường thẳng trùng với trục Ox

Phương trình của một đường thẳng có thể được trình bày dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ điều kiện ban đầu nào cho trước.

Phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến

Sự định nghĩa. Trong hệ trục tọa độ Descartes, một vectơ có thành phần (A, B) vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình Ax + By + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1, 2) vuông góc với (3, -1).

Quyết định. Tại A = 3 và B = -1, ta lập phương trình đường thẳng: 3x - y + C = 0. Để tìm hệ số C, ta thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức ta được: 3 - 2 + C = 0, do đó, C = -1. Tổng: phương trình mong muốn: 3x - y - 1 \ u003d 0.

Phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm

Cho hai điểm M 1 (x 1, y 1, z 1) và M 2 (x 2, y 2, z 2) trong không gian thì phương trình của đường thẳng đi qua các điểm sau:

Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0 thì tử số tương ứng phải được đặt bằng 0. Trên mặt phẳng, phương trình đường thẳng viết ở trên được đơn giản hóa:

nếu x 1 ≠ x 2 và x = x 1 nếu x 1 = x 2.

Phân số = k được gọi là hệ số độ dốc thẳng.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A (1, 2) và B (3, 4).

Quyết định.Áp dụng công thức trên, chúng ta nhận được:

Phương trình của một đường thẳng từ một điểm và một hệ số góc

Nếu tổng Ax + Wu + C = 0 dẫn đến dạng:

và chỉ định , khi đó phương trình kết quả được gọi là phương trình của một đường thẳng với hệ số góck.

Phương trình của một đường thẳng với một điểm và vectơ chỉ phương

Bằng cách tương tự với điểm xét phương trình của một đường thẳng qua vectơ pháp tuyến, bạn có thể nhập giao của một đường thẳng qua một điểm và một vectơ chỉ phương của một đường thẳng.

Sự định nghĩa. Mỗi vectơ khác 0 (α 1, α 2), các thành phần thỏa mãn điều kiện A α 1 + B α 2 = 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đoạn thẳng

Ah + Wu + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình của đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A (1, 2).

Quyết định. Ta sẽ tìm phương trình của đường thẳng mong muốn có dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa, các hệ số phải thỏa mãn điều kiện:

1 * A + (-1) * B = 0, tức là A = B.

Khi đó phương trình của một đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0. với x = 1, y = 2 ta được C / A = -3, tức là. phương trình mong muốn:

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn

Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0, thì chia cho –C, ta được: hoặc

Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số một là tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục x và b- Tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Oy.

Ví dụ. Cho phương trình tổng quát của đường thẳng x - y + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong các đoạn thẳng.

C \ u003d 1, a \ u003d -1, b \ u003d 1.

Phương trình pháp tuyến của một đường thẳng

Nếu cả hai vế của phương trình Ax + Vy + C = 0 được nhân với số , được gọi là yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

phương trình pháp tuyến của một đường thẳng. Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Ví dụ. Cho phương trình tổng quát của đường thẳng 12x - 5y - 65 = 0. Yêu cầu viết các dạng phương trình cho đường thẳng này.

phương trình của đường thẳng này trong các đoạn:

phương trình của đường thẳng này với hệ số góc: (chia cho 5)

; cos φ = 13/12; sin φ = -5/13; p = 5.

Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng một phương trình trong các đoạn, ví dụ, các đường thẳng song song với các trục hoặc đi qua gốc tọa độ.

Ví dụ. Đường thẳng cắt các đoạn dương bằng nhau trên các trục tọa độ. Viết phương trình đường thẳng nếu diện tích tam giác tạo bởi các đoạn thẳng này là 8 cm 2.

Quyết định. Phương trình đường thẳng có dạng :, ab / 2 = 8; ab = 16; a = 4, a = -4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (-2, -3) và gốc tọa độ.

Quyết định. Phương trình của một đường thẳng có dạng: , trong đó x 1 \ u003d y 1 \ u003d 0; x 2 \ u003d -2; y 2 \ u003d -3.

Góc giữa các đường trên mặt phẳng

Sự định nghĩa. Nếu hai đường thẳng cho trước y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, thì góc nhọn giữa hai đường thẳng này sẽ được xác định là

.

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc nếu k 1 = -1 / k 2.

Định lý. Các đường thẳng Ax + Vy + C \ u003d 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 song song khi các hệ số A 1 \ u003d λA, B 1 \ u003d λB tỉ lệ thuận với nhau. Nếu cũng С 1 = λС, thì các đường trùng nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng được tìm là một nghiệm của hệ phương trình của hai đường thẳng này.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với một đường thẳng cho trước

Sự định nghĩa.Đường thẳng đi qua điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y \ u003d kx + b được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ điểm đến dòng

Định lý. Nếu cho trước một điểm M (x 0, y 0) thì khoảng cách đến đường thẳng Ax + Vy + C \ u003d 0 được xác định là

.

Bằng chứng. Gọi điểm M 1 (x 1, y 1) là chân đường vuông góc hạ điểm M xuống đường thẳng cho trước. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và M 1:

(1)

Tọa độ x 1 và y 1 có thể được tìm thấy là một nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 0 cho trước vuông góc với một đường thẳng cho trước. Nếu ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sau đó, giải quyết, chúng tôi nhận được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), ta thấy:

Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ. Xác định góc giữa các đường thẳng: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \ u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = π / 4.

Ví dụ. Chứng tỏ rằng các đường thẳng 3x - 5y + 7 = 0 và 10x + 6y - 3 = 0 vuông góc với nhau.

Quyết định. Ta nhận thấy: k 1 \ u003d 3/5, k 2 \ u003d -5/3, k 1 * k 2 \ u003d -1, do đó, các đường thẳng vuông góc.

Ví dụ. Các đỉnh của tam giác A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) cho trước. Tìm phương trình đường cao vẽ từ đỉnh C.

Quyết định. Ta tìm được phương trình của cạnh AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Phương trình chiều cao mong muốn là: Ax + By + C = 0 hoặc y = kx + b. k =. Khi đó y =. Tại vì độ cao đi qua điểm C thì tọa độ của nó thỏa mãn phương trình: khi đó b = 17. Tổng:.

Đáp số: 3x + 2y - 34 = 0.

Tính chất của đường thẳng trong hình học Ơclit.

Có vô số đường thẳng có thể được vẽ qua bất kỳ điểm nào.

Qua hai điểm không trùng nhau có duy nhất một đường thẳng.

Hai đường thẳng không trùng nhau trong mặt phẳng cắt nhau tại một điểm hoặc là

song song (tiếp theo từ cái trước).

Trong không gian ba chiều, có ba tùy chọn cho vị trí tương đối của hai đường:

• các đường cắt nhau;

• các đường thẳng song song với nhau;

• các đường thẳng cắt nhau.

Thẳng đường kẻ- đường cong đại số bậc nhất: trong hệ tọa độ Descartes, một đường thẳng

được cho trên mặt phẳng bởi một phương trình của bậc nhất (phương trình tuyến tính).

Phương trình tổng quát của đường thẳng.

Sự định nghĩa. Bất kỳ đường thẳng nào trong mặt phẳng có thể được cho bởi một phương trình bậc nhất

Ah + Wu + C = 0,

và không đổi A, B không đồng thời bằng 0. Phương trình bậc nhất này được gọi là chung

phương trình đường thẳng. Tùy thuộc vào giá trị của các hằng số A, B và Với Các trường hợp đặc biệt sau có thể xảy ra:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- dòng đi qua điểm gốc

. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Bởi + C = 0)- đường thẳng song song với trục Ồ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- đường thẳng song song với trục Đơn vị tổ chức

. B = C = 0, A ≠ 0- đường trùng với trục Đơn vị tổ chức

. A = C = 0, B ≠ 0- đường trùng với trục Ồ

Phương trình của một đường thẳng có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ

điều kiện ban đầu.

Phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ pháp tuyến.

Sự định nghĩa. Trong hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes, một vectơ có các thành phần (A, B)

vuông góc với đường thẳng cho bởi phương trình

Ah + Wu + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình của đường thẳng đi qua một điểm A (1, 2) vuông góc với vectơ (3, -1).

Quyết định. Hãy soạn tại A \ u003d 3 và B \ u003d -1 phương trình của đường thẳng: 3x - y + C \ u003d 0. Để tìm hệ số C

ta thay tọa độ của điểm A đã cho vào biểu thức kết quả ta được: 3 - 2 + C = 0, do đó

C = -1. Tổng: phương trình mong muốn: 3x - y - 1 \ u003d 0.

Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm.

Cho hai điểm được cho trong không gian M 1 (x 1, y 1, z 1) và M2 (x 2, y 2, z 2), sau đó phương trình đường thẳng,

đi qua các điểm sau:

Nếu bất kỳ mẫu số nào bằng 0, thì tử số tương ứng phải được đặt bằng 0. Trên

phẳng, phương trình của một đường thẳng viết ở trên được đơn giản hóa:

nếu x 1 ≠ x 2 và x = x 1, nếu x 1 = x 2 .

Phân số = k triệu tập hệ số độ dốc thẳng.

Ví dụ. Tìm phương trình đường thẳng đi qua các điểm A (1, 2) và B (3, 4).

Quyết định. Áp dụng công thức trên, chúng ta nhận được:

Phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một hệ số góc.

Nếu phương trình tổng quát của một đường thẳng Ah + Wu + C = 0đưa về dạng:

và chỉ định , khi đó phương trình kết quả được gọi là

phương trình của đường thẳng có hệ số góc k.

Phương trình của một đường thẳng trên một điểm và một vectơ chỉ phương.

Bằng cách tương tự với điểm đang xét phương trình của một đường thẳng qua vectơ pháp tuyến, bạn có thể nhập nhiệm vụ

một đường thẳng qua một điểm và một vectơ chỉ phương của một đường thẳng.

Sự định nghĩa. Mọi vectơ khác 0 (α 1, α 2), có các thành phần thỏa mãn điều kiện

Aα 1 + Bα 2 = 0 triệu tập vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Ah + Wu + C = 0.

Ví dụ. Tìm phương trình của đường thẳng có vectơ chỉ phương (1, -1) và đi qua điểm A (1, 2).

Quyết định. Chúng ta sẽ tìm phương trình của đường thẳng mong muốn ở dạng: Ax + By + C = 0. Theo định nghĩa,

hệ số phải thỏa mãn các điều kiện:

1 * A + (-1) * B = 0, tức là A = B.

Khi đó phương trình của một đường thẳng có dạng: Ax + Ay + C = 0, hoặc x + y + C / A = 0.

tại x = 1, y = 2 chúng tôi nhận được C / A = -3, I E. phương trình mong muốn:

x + y - 3 = 0

Phương trình của một đoạn thẳng trong các đoạn thẳng.

Nếu trong phương trình tổng quát của đường thẳng Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0, thì chia cho -C, ta được:

hoặc, ở đâu

Ý nghĩa hình học của các hệ số là hệ số a là tọa độ của giao điểm

thẳng với trục Ồ, một b- tọa độ giao điểm của đường thẳng với trục Đơn vị tổ chức.

Ví dụ. Phương trình tổng quát của một đường thẳng đã cho x - y + 1 = 0. Tìm phương trình của đường thẳng này trong các đoạn.

C \ u003d 1, a \ u003d -1, b \ u003d 1.

Phương trình pháp tuyến của một đường thẳng.

Nếu cả hai vế của phương trình Ah + Wu + C = 0 chia cho số , được gọi là

yếu tố bình thường hóa, sau đó chúng tôi nhận được

xcosφ + ysinφ - p = 0 -phương trình pháp tuyến của một đường thẳng.

Dấu ± của hệ số chuẩn hóa phải được chọn sao cho μ * C< 0.

R- độ dài của vuông góc thả từ điểm gốc đến đoạn thẳng,

một φ - góc tạo bởi góc này vuông góc với chiều dương của trục Ồ.

Ví dụ. Cho phương trình tổng quát của một đường thẳng 12x - 5y - 65 = 0. Yêu cầu viết các loại phương trình

đoạn thẳng này.

Phương trình của đường thẳng này trong các đoạn:

Phương trình của đường thẳng này với hệ số góc: (chia cho 5)

Phương trình của một đường thẳng:

cos φ = 13/12; sin φ = -5/13; p = 5.

Cần lưu ý rằng không phải mọi đường thẳng đều có thể được biểu diễn bằng một phương trình trong các đoạn, ví dụ, các đường thẳng,

song song với các trục hoặc đi qua gốc tọa độ.

Góc giữa các đường trên mặt phẳng.

Sự định nghĩa. Nếu hai dòng được đưa ra y \ u003d k 1 x + b 1, y \ u003d k 2 x + b 2, sau đó là góc nhọn giữa các đường này

sẽ được định nghĩa là

Hai đường thẳng song song nếu k 1 = k 2. Hai đường thẳng vuông góc

nếu k 1 \ u003d -1 / k 2 .

Định lý.

Trực tiếp Ah + Wu + C = 0 và A 1 x + B 1 y + C 1 \ u003d 0 song song khi các hệ số tỷ lệ với

A 1 \ u003d λA, B 1 \ u003d λB. Nếu cũng С 1 \ u003d λС, sau đó các dòng trùng với nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

được tìm thấy như một lời giải cho hệ phương trình của những đường thẳng này.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước là vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Sự định nghĩa. Một đường thẳng đi qua một điểm M 1 (x 1, y 1) và vuông góc với đường thẳng y = kx + b

được biểu diễn bằng phương trình:

Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.

Định lý. Nếu một điểm được đưa ra M (x 0, y 0), sau đó là khoảng cách đến dòng Ah + Wu + C = 0định nghĩa là:

Bằng chứng. Hãy để ý M 1 (x 1, y 1)- cơ sở của vuông góc thả xuống từ điểm Mđể cho

trực tiếp. Khi đó khoảng cách giữa các điểm M và M 1:

(1)

Tọa độ x 1 và 1 có thể được tìm thấy dưới dạng một nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình thứ hai của hệ là phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 0 cho trước vuông góc

dòng đã cho. Nếu ta biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sau đó, giải quyết, chúng tôi nhận được:

Thay các biểu thức này vào phương trình (1), ta thấy:

Định lý đã được chứng minh.