Tối đa cục bộ của một hàm. Xác định các điểm cực trị địa phương của một hàm một số biến

Sự định nghĩa:Điểm x0 được gọi là điểm cực đại (hoặc cực tiểu) cục bộ của hàm, nếu trong một vùng lân cận nào đó của điểm x0 thì hàm nhận giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), tức là với mọi х từ vùng lân cận nào đó của điểm x0, điều kiện f (x) f (x0) (hoặc f (x) f (x0)) được thỏa mãn.

Các điểm cực đại hoặc cực tiểu cục bộ được thống nhất bằng một tên chung - điểm cực trị cục bộ của một hàm.

Lưu ý rằng tại các điểm có cực trị cục bộ, hàm chỉ đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một số vùng cục bộ. Có những trường hợp, theo giá trị của уmaxуmin.

Một tiêu chí cần thiết cho sự tồn tại của một cực trị cục bộ của một hàm

Định lý . Nếu một hàm liên tục y = f (x) có cực trị cục bộ tại điểm x0, thì tại điểm này đạo hàm cấp một bằng 0 hoặc không tồn tại, tức là. cực trị cục bộ diễn ra tại các điểm quan trọng thuộc loại đầu tiên.

Tại các điểm cực trị tại chỗ, hoặc tiếp tuyến song song với trục 0x hoặc có hai tiếp tuyến (xem hình vẽ). Lưu ý rằng các điểm tới hạn là điều kiện cần nhưng không đủ cho một điểm cực trị cục bộ. Cực trị cục bộ chỉ diễn ra tại các điểm tới hạn thuộc loại đầu tiên, nhưng không phải tất cả các điểm tới hạn đều có cực trị cục bộ.

Ví dụ: một parabol bậc ba y = x3, có điểm tới hạn x0 = 0, tại đó đạo hàm y / (0) = 0, nhưng điểm tới hạn x0 = 0 không phải là điểm cực trị, nhưng có một điểm uốn trong đó (xem bên dưới).

Một tiêu chí đủ cho sự tồn tại của một cực trị cục bộ của một hàm

Định lý . Nếu, khi đối số đi qua điểm tới hạn thuộc loại đầu tiên, từ trái sang phải, thì đạo hàm cấp một y / (x)

chuyển dấu từ “+” thành “-” thì hàm liên tục y (x) có cực đại cục bộ tại điểm tới hạn này;

thay đổi dấu từ “-” thành “+”, khi đó hàm liên tục y (x) có cực tiểu cục bộ tại điểm tới hạn này

không đổi dấu thì tại điểm tới hạn này không có cực trị cục bộ, có điểm uốn.

Đối với cực đại cục bộ, vùng của hàm tăng (y / 0) được thay thế bằng vùng của hàm giảm (y / 0). Đối với cực tiểu cục bộ, vùng của hàm giảm (y / 0) được thay thế bằng vùng của hàm tăng (y / 0).

Ví dụ: Khảo sát hàm số y \ u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 về tính đơn điệu, cực trị và dựng đồ thị của hàm số.

Chúng ta hãy tìm các điểm tới hạn của loại đầu tiên bằng cách xác định đạo hàm (y /) và cân bằng nó bằng không: y / = 3x2 + 18x + 15 = 3 (x2 + 6x + 5) = 0

Chúng tôi giải quyết tam thức bình phương bằng cách sử dụng phân biệt:

x2 + 6x + 5 = 0 (a = 1, b = 6, c = 5) D =, x1k = -5, x2k = -1.

2) Chúng ta hãy chia trục số theo các điểm tới hạn thành 3 vùng và xác định các dấu của đạo hàm (y /) trong chúng. Sử dụng các dấu hiệu này, chúng ta sẽ tìm thấy các vùng đơn điệu (tăng và giảm) của các hàm số, và bằng cách thay đổi các dấu hiệu, chúng ta sẽ xác định được các điểm của cực trị địa phương (cực đại và cực tiểu).

Kết quả nghiên cứu được trình bày dưới dạng bảng, từ đó có thể rút ra các kết luận sau:

• 1. Trên khoảng y / (- 10) 0, hàm số tăng đơn điệu (dấu của đạo hàm y được ước lượng từ điểm đối chứng x = -10 lấy trong khoảng này);
• 2. Trên khoảng (-5; -1) y / (- 2) 0, hàm số giảm đơn điệu (dấu của đạo hàm y được ước lượng từ điểm đối chứng x = -2 lấy trong khoảng này);
• 3. Trên khoảng y / (0) 0, hàm số tăng đơn điệu (dấu của đạo hàm y được ước lượng từ điểm đối chứng x = 0 lấy trong khoảng này);
• 4. Khi đi qua điểm tới hạn x1k \ u003d -5, đạo hàm đổi dấu từ "+" thành "-", do đó điểm này là điểm cực đại cục bộ
• (ymax (-5) = (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 = -125 + 225 - 75 - 9 = 16);
• 5. Khi đi qua điểm tới hạn x2k \ u003d -1, đạo hàm đổi dấu từ "-" thành "+", do đó điểm này là điểm cực tiểu cục bộ
• (ymin (-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) Chúng tôi sẽ xây dựng một đồ thị dựa trên kết quả của nghiên cứu với sự tham gia của các tính toán bổ sung các giá trị của hàm tại các điểm kiểm soát:

ta xây dựng một hệ trục tọa độ hình chữ nhật Oxy;

hiển thị tọa độ của điểm cực đại (-5; 16) và điểm cực tiểu (-1; -16);

để tinh chỉnh biểu đồ, chúng tôi tính toán giá trị của hàm tại các điểm kiểm soát, chọn chúng ở bên trái và bên phải của các điểm cực đại và cực tiểu và bên trong khoảng giữa, ví dụ: y (-6) = (- 6) 3 + 9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 = 9; y (-3) = (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 = 0;

y (0) = -9 (-6; 9); (-3; 0) và (0; -9) - các điểm kiểm soát được tính toán, được vẽ để xây dựng một biểu đồ;

chúng tôi biểu diễn đồ thị dưới dạng một đường cong với phần lồi lên ở điểm cực đại và phần phình ra ở điểm cực tiểu và đi qua các điểm kiểm soát được tính toán.

$ E \ tập con \ mathbb (R) ^ (n) $. Người ta nói rằng $ f $ có tối đa địa phương tại điểm $ x_ (0) \ trong E $ nếu tồn tại một vùng lân cận $ U $ của điểm $ x_ (0) $ sao cho mọi $ x \ in U $ bất đẳng thức $ f \ left (x \ right) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Mức tối đa cục bộ được gọi là khắt khe , nếu vùng lân cận $ U $ có thể được chọn theo cách sao cho tất cả $ x \ in U $ khác với $ x_ (0) $ thì có $ f \ left (x \ right)< f\left(x_{0}\right)$.

Sự định nghĩa
Cho $ f $ là một hàm thực trên một tập mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Người ta nói rằng $ f $ có địa phương tối thiểu tại điểm $ x_ (0) \ trong E $ nếu tồn tại một vùng lân cận $ U $ của điểm $ x_ (0) $ sao cho mọi $ x \ in U $ bất đẳng thức $ f \ left (x \ right) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Mức tối thiểu cục bộ được cho là nghiêm ngặt nếu vùng lân cận $ U $ có thể được chọn để cho tất cả $ x \ in U $ khác với $ x_ (0) $ $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $.

Cực trị cục bộ kết hợp các khái niệm về cực tiểu cục bộ và cực đại cục bộ.

Định lý (điều kiện cần thiết để có cực trị của hàm phân biệt)
Cho $ f $ là một hàm thực trên một tập mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Nếu tại điểm $ x_ (0) \ trong E $, hàm $ f $ cũng có cực trị cục bộ tại điểm này, thì $$ \ text (d) f \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$ Bằng không vi phân tương đương với thực tế là tất cả đều bằng 0, tức là $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần x_ (i)) \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$

Trong trường hợp một chiều, đây là. Ký hiệu $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, trong đó $ h $ là một vectơ tùy ý. Hàm $ \ phi $ được xác định cho các giá trị modulo đủ nhỏ là $ t $. Hơn nữa, đối với, nó có thể phân biệt được và $ (\ phi) ’\ left (t \ right) = \ text (d) f \ left (x_ (0) + th \ right) h $.
Cho $ f $ có giá trị cực đại cục bộ là x $ 0 $. Do đó, hàm $ \ phi $ tại $ t = 0 $ có cực đại cục bộ và theo định lý Fermat, $ (\ phi) '\ left (0 \ right) = 0 $.
Vì vậy, chúng tôi có $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $, tức là hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ bằng 0 trên bất kỳ vectơ nào $ h $.

Sự định nghĩa
Các điểm mà tại đó vi phân bằng 0, tức là những cái mà trong đó tất cả các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là tĩnh. điểm quan trọng các hàm $ f $ là những điểm mà tại đó $ f $ không thể phân biệt được hoặc bằng không. Nếu chất điểm đứng yên thì nó chưa theo đó mà hàm số có cực trị tại điểm này.

ví dụ 1
Cho $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Sau đó, $ \ displaystyle \ frac (\ một phần f) (\ một phần x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ một phần f) (\ một phần y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, vì vậy $ \ left (0,0 \ right) $ là một điểm đứng yên, nhưng hàm không có cực trị tại điểm này. Thật vậy, $ f \ left (0,0 \ right) = 0 $, nhưng dễ dàng thấy rằng trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ \ left (0,0 \ right) $ hàm nhận cả giá trị dương và âm.

Ví dụ 2
Hàm $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ có gốc tọa độ là một điểm đứng yên, nhưng rõ ràng là không có cực trị tại điểm này.

Định lý (điều kiện đủ để có cực trị).
Cho một hàm $ f $ phân biệt liên tục hai lần trên một tập mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Gọi $ x_ (0) \ in E $ là điểm đứng yên và $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ left (h \ right) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1 ) ^ n \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x_ (i) \ một phần x_ (j)) \ left (x_ (0) \ right) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Sau đó

1. nếu $ Q_ (x_ (0)) $ -, thì hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ có cực trị cục bộ, cụ thể là giá trị nhỏ nhất nếu dạng là xác định dương và giá trị lớn nhất nếu dạng là phủ định-xác định;
2. nếu dạng bậc hai $ Q_ (x_ (0)) $ vô nghiệm thì hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ không có cực trị.

Hãy sử dụng khai triển theo công thức Taylor (12,7 trang 292). Tính đến việc các đạo hàm riêng bậc nhất tại điểm $ x_ (0) $ bằng 0, chúng ta nhận được $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0 ) \ right) = \ frac (1) (2) \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ^ n \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x_ (i) \ một phần x_ (j)) \ left (x_ (0) + \ theta h \ right) h ^ (i) h ^ (j), $$ trong đó $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ và $ \ epsilon \ left (h \ right) \ rightarrow 0 $ cho $ h \ rightarrow 0 $, khi đó phía bên phải là dương với bất kỳ vectơ nào $ h $ có độ dài đủ nhỏ.
Do đó, chúng tôi đã đi đến kết luận rằng trong một số vùng lân cận của điểm $ x_ (0) $, bất đẳng thức $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $ được thỏa mãn nếu chỉ $ x \ neq x_ (0) $ (chúng ta đặt $ x = x_ (0) + h $ \ right). Điều này có nghĩa là tại điểm $ x_ (0) $ hàm có cực tiểu cục bộ nghiêm ngặt, và do đó phần đầu tiên của định lý của chúng ta đã được chứng minh.
Giả sử bây giờ $ Q_ (x_ (0)) $ là một dạng không xác định. Khi đó có các vectơ $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ sao cho $ Q_ (x_ (0)) \ left (h_ (1) \ right) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ left (h_ (2) \ right) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Sau đó, chúng ta nhận được $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ left [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right]. $$ Đối với $ t> 0 $ đủ nhỏ, cạnh phải là tích cực. Điều này có nghĩa là trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ x_ (0) $, hàm $ f $ nhận các giá trị $ f \ left (x \ right) $ lớn hơn $ f \ left (x_ (0) \ right) $.
Tương tự, chúng ta nhận được rằng trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ x_ (0) $, hàm $ f $ nhận các giá trị nhỏ hơn $ f \ left (x_ (0) \ right) $. Điều này, cùng với điều trước đó, có nghĩa là hàm $ f $ không có cực trị tại điểm $ x_ (0) $.

Chúng ta hãy xem xét một trường hợp đặc biệt của định lý này cho một hàm $ f \ left (x, y \ right) $ có hai biến được xác định trong một số vùng lân cận của điểm $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ và có các đạo hàm riêng liên tục của lệnh thứ nhất và thứ hai. Gọi $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ là một điểm đứng yên và đặt $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ ( 2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ right), a_ (12) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (x_ (0) , y_ (0) \ phải), a_ (22) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ phải). $$ Khi đó định lý trước có dạng sau.

Định lý
Cho $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. Sau đó:

1. nếu $ \ Delta> 0 $, thì hàm $ f $ có cực trị cục bộ tại điểm $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $, cụ thể là, cực tiểu nếu $ a_ (11)> 0 $ và tối đa nếu $ a_ (11)<0$;
2. nếu $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Thuật toán tìm cực trị của hàm nhiều biến:

1. Chúng tôi tìm thấy các điểm đứng yên;
2. Chúng tôi tìm thấy vi phân của bậc 2 tại tất cả các điểm đứng yên
3. Sử dụng điều kiện đủ để có cực trị của một hàm một số biến, chúng ta coi vi phân bậc hai tại mỗi điểm đứng yên

1. Khảo sát hàm đến cực trị $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
   Quyết định

   Tìm các đạo hàm riêng của bậc 1: $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Soạn và giải hệ thống: $$ \ displaystyle \ begin (case) \ frac (\ một phần f) (\ một phần x ) = 0 \\\ frac (\ part f) (\ một phần y) = 0 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow \ begin (các trường hợp) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ end (case) \ Rightarrow \ begin (case) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ end (case) $$ Từ phương trình thứ 2, chúng ta biểu thị $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - thay thế vào phương trình thứ nhất: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ phải) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $$ y \ left (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ right) = 0 $$ Kết quả là thu được 2 điểm đứng yên:
   1) $ y = 0 \ Rightarrow x = 0, M_ (1) = \ left (0, 0 \ right) $;
   2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ Rightarrow y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ Rightarrow y = \ frac (1) (2) \ Rightarrow x = 1 , M_ (2) = \ left (\ frac (1) (2), 1 \ right) $
   Hãy để chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng điều kiện tối đa đủ:
   $$ \ displaystyle \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) = - 6; \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
   1) Đối với điểm $ M_ (1) = \ left (0,0 \ right) $:
   $$ \ displaystyle A_ (1) = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ (2)) \ left (0,0 \ right) = 0; B_ (1) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (0,0 \ right) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (0,0 \ right) = 0; $$
   $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Đối với điểm $ M_ (2) $:
   $$ \ displaystyle A_ (2) = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ (2)) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) = 6; B_ (2) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) = 24; $$
   $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, do đó có một điểm cực trị tại điểm $ M_ (2) $ và vì $ A_ (2)> 0 $, thì đây là mức tối thiểu.
   Trả lời: Điểm $ \ displaystyle M_ (2) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) $ là điểm cực tiểu của hàm $ f $.
   

2. Khảo sát hàm cho điểm cực trị $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
   Quyết định

   Tìm điểm đứng yên: $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ một phần f) (\ một phần y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
   Soạn và giải hệ thống: $$ \ displaystyle \ begin (case) \ frac (\ part f) (\ một phần x) = 0 \\\ frac (\ một phần f) (\ một phần y) = 0 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow \ begin (các trường hợp) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow \ begin (các trường hợp) y = 2 \\ y + x = 1 \ end (case) \ Rightarrow x = -1 $$
   $ M_ (0) \ left (-1, 2 \ right) $ là một điểm đứng yên.
   Hãy kiểm tra sự đáp ứng của điều kiện cực đại đủ: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (-1,2 \ right) = 2; C = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 2; $$
   $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Trả lời: không có cực trị.
   

Thời hạn: 0

Điều hướng (chỉ số công việc)

0 trong 4 nhiệm vụ đã hoàn thành

Thông tin

Làm bài kiểm tra này để kiểm tra kiến ​​thức của bạn về chủ đề bạn vừa đọc, Cực trị cục bộ của hàm của nhiều biến.

Bạn đã làm bài kiểm tra trước đây. Bạn không thể chạy lại.

Đang tải thử nghiệm ...

Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để bắt đầu kiểm tra.

Bạn phải hoàn thành các bài kiểm tra sau để bắt đầu bài kiểm tra này:

các kết quả

Câu trả lời đúng: 0 trên 4

Thời gian của bạn:

Thời gian đã qua

Bạn đã ghi được 0 trên 0 điểm (0)

Điểm của bạn đã được ghi trên bảng thành tích

1. Với một câu trả lời
2. Đã kiểm tra

Nhiệm vụ 1 trên 4

1 .

Số điểm: 1

Khảo sát hàm $ f $ cho cực trị: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

Chính xác


Không đúng


1. Nhiệm vụ 2 của 4

   2 .

   Số điểm: 1

   Hàm $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Chức năng được cho là có một điểm bên trong
khu vực D tối đa địa phương(tối thiểu) nếu có một vùng lân cận của điểm
, cho mỗi điểm
thỏa mãn bất bình đẳng

Nếu hàm có tại điểm
cục bộ tối đa hoặc cục bộ tối thiểu, sau đó chúng tôi nói rằng nó có tại thời điểm này cực đoan địa phương(hoặc cực đoan).

Định lý (một điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của một điểm cực trị). Nếu hàm có thể phân biệt đạt đến cực trị tại điểm
, thì mỗi đạo hàm riêng cấp một của hàm biến mất tại thời điểm này.

Các điểm mà tại đó tất cả các đạo hàm riêng cấp một biến mất được gọi là điểm đứng yên của hàm
. Tọa độ của những điểm này có thể được tìm thấy bằng cách giải hệ thống từ phương trình

.

Điều kiện cần thiết để tồn tại một điểm cực trị trong trường hợp một hàm khả phân biệt có thể được xây dựng ngắn gọn như sau:

Có những trường hợp tại một số thời điểm nhất định một số đạo hàm riêng có giá trị vô hạn hoặc không tồn tại (trong khi phần còn lại bằng 0). Những điểm như vậy được gọi là điểm tới hạn của chức năng. Những điểm này cũng nên được coi là "đáng ngờ" đối với điểm cực trị, cũng như điểm dừng.

Trong trường hợp hàm hai biến, điều kiện cần thiết để có cực trị, cụ thể là bằng 0 của đạo hàm riêng (vi phân) tại điểm cực trị, có cách diễn giải hình học: mặt phẳng tiếp tuyến với bề mặt
ở điểm cực viễn phải song song với mặt phẳng
.

20. Điều kiện đủ để tồn tại một cực trị

Việc thỏa mãn điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của một điểm cực hạn nào đó hoàn toàn không đảm bảo cho sự tồn tại của một điểm cực trị ở đó. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng chức năng có thể phân biệt ở mọi nơi
. Cả đạo hàm riêng của nó và bản thân hàm đều biến mất tại điểm
. Tuy nhiên, trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm này, đều có cả hai mặt tích cực (lớn
) và tiêu cực (nhỏ hơn
) giá trị của hàm này. Do đó, tại thời điểm này, theo định nghĩa, không có cực trị. Vì vậy, cần biết điều kiện đủ để một điểm nghi là cực trị là điểm cực trị của hàm số đang nghiên cứu.

Xét trường hợp hàm hai biến. Giả sử rằng hàm
được xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục lên đến và bao gồm cả bậc hai trong một vùng lân cận của một số điểm
, là điểm đứng yên của hàm
, nghĩa là, thỏa mãn các điều kiện

,
.

Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu:

Định lý (điều kiện đủ cho sự tồn tại của một điểm cực trị). Để chức năng
thỏa mãn các điều kiện trên, cụ thể là: có thể phân biệt được ở một số vùng lân cận của điểm đứng yên
và có thể phân biệt được hai lần tại chính điểm
. Sau đó nếu

Nếu
sau đó là chức năng
tại điểm
đạt tới

tối đa địa phương tại
và

địa phương tối thiểu tại
.

Nói chung, đối với một chức năng
điều kiện đủ để tồn tại tại một điểm
địa phươngtối thiểu(tối đa) là một tích cực(từ chối) tính xác định của vi phân thứ hai.

Nói cách khác, phát biểu sau đây là đúng.

Định lý . Nếu tại điểm
cho chức năng

cho bất kỳ không bằng 0 tại cùng một thời điểm
, thì tại thời điểm này, hàm có tối thiểu(giống tối đa, nếu
).

Ví dụ 18.Tìm điểm cực trị tại địa phương của hàm số

Quyết định. Tìm các đạo hàm riêng của hàm và cho chúng bằng 0:

Giải hệ này, chúng ta tìm thấy hai điểm cực trị có thể có:

Hãy tìm đạo hàm riêng cấp hai cho hàm này:

Do đó, tại điểm dừng đầu tiên, và
Do đó, cần phải nghiên cứu thêm cho điểm này. Giá trị hàm
tại thời điểm này là 0:
Thêm nữa,

tại

một

tại

Do đó, ở bất kỳ vùng lân cận nào của điểm
hàm số
lấy giá trị càng lớn
và nhỏ hơn
và do đó tại thời điểm
hàm số
, theo định nghĩa, không có cực trị cục bộ.

Tại điểm đứng yên thứ hai



do đó, do đó, kể từ
sau đó tại điểm
hàm có giá trị tối đa cục bộ.

$ E \ tập con \ mathbb (R) ^ (n) $. Người ta nói rằng $ f $ có tối đa địa phương tại điểm $ x_ (0) \ trong E $ nếu tồn tại một vùng lân cận $ U $ của điểm $ x_ (0) $ sao cho mọi $ x \ in U $ bất đẳng thức $ f \ left (x \ right) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Mức tối đa cục bộ được gọi là khắt khe , nếu vùng lân cận $ U $ có thể được chọn theo cách sao cho tất cả $ x \ in U $ khác với $ x_ (0) $ thì có $ f \ left (x \ right)< f\left(x_{0}\right)$.

Sự định nghĩa
Cho $ f $ là một hàm thực trên một tập mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Người ta nói rằng $ f $ có địa phương tối thiểu tại điểm $ x_ (0) \ trong E $ nếu tồn tại một vùng lân cận $ U $ của điểm $ x_ (0) $ sao cho mọi $ x \ in U $ bất đẳng thức $ f \ left (x \ right) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

Mức tối thiểu cục bộ được cho là nghiêm ngặt nếu vùng lân cận $ U $ có thể được chọn để cho tất cả $ x \ in U $ khác với $ x_ (0) $ $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $.

Cực trị cục bộ kết hợp các khái niệm về cực tiểu cục bộ và cực đại cục bộ.

Định lý (điều kiện cần thiết để có cực trị của hàm phân biệt)
Cho $ f $ là một hàm thực trên một tập mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Nếu tại điểm $ x_ (0) \ trong E $, hàm $ f $ cũng có cực trị cục bộ tại điểm này, thì $$ \ text (d) f \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$ Bằng không vi phân tương đương với thực tế là tất cả đều bằng 0, tức là $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần x_ (i)) \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$

Trong trường hợp một chiều, đây là. Ký hiệu $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, trong đó $ h $ là một vectơ tùy ý. Hàm $ \ phi $ được xác định cho các giá trị modulo đủ nhỏ là $ t $. Hơn nữa, đối với, nó có thể phân biệt được và $ (\ phi) ’\ left (t \ right) = \ text (d) f \ left (x_ (0) + th \ right) h $.
Cho $ f $ có giá trị cực đại cục bộ là x $ 0 $. Do đó, hàm $ \ phi $ tại $ t = 0 $ có cực đại cục bộ và theo định lý Fermat, $ (\ phi) '\ left (0 \ right) = 0 $.
Vì vậy, chúng tôi có $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $, tức là hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ bằng 0 trên bất kỳ vectơ nào $ h $.

Sự định nghĩa
Các điểm mà tại đó vi phân bằng 0, tức là những cái mà trong đó tất cả các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là tĩnh. điểm quan trọng các hàm $ f $ là những điểm mà tại đó $ f $ không thể phân biệt được hoặc bằng không. Nếu chất điểm đứng yên thì nó chưa theo đó mà hàm số có cực trị tại điểm này.

ví dụ 1
Cho $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Sau đó, $ \ displaystyle \ frac (\ một phần f) (\ một phần x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ một phần f) (\ một phần y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, vì vậy $ \ left (0,0 \ right) $ là một điểm đứng yên, nhưng hàm không có cực trị tại điểm này. Thật vậy, $ f \ left (0,0 \ right) = 0 $, nhưng dễ dàng thấy rằng trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ \ left (0,0 \ right) $ hàm nhận cả giá trị dương và âm.

Ví dụ 2
Hàm $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ có gốc tọa độ là một điểm đứng yên, nhưng rõ ràng là không có cực trị tại điểm này.

Định lý (điều kiện đủ để có cực trị).
Cho một hàm $ f $ phân biệt liên tục hai lần trên một tập mở $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $. Gọi $ x_ (0) \ in E $ là điểm đứng yên và $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ left (h \ right) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1 ) ^ n \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x_ (i) \ một phần x_ (j)) \ left (x_ (0) \ right) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Sau đó

1. nếu $ Q_ (x_ (0)) $ -, thì hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ có cực trị cục bộ, cụ thể là giá trị nhỏ nhất nếu dạng là xác định dương và giá trị lớn nhất nếu dạng là phủ định-xác định;
2. nếu dạng bậc hai $ Q_ (x_ (0)) $ vô nghiệm thì hàm $ f $ tại điểm $ x_ (0) $ không có cực trị.

Hãy sử dụng khai triển theo công thức Taylor (12,7 trang 292). Tính đến việc các đạo hàm riêng bậc nhất tại điểm $ x_ (0) $ bằng 0, chúng ta nhận được $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0 ) \ right) = \ frac (1) (2) \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ^ n \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x_ (i) \ một phần x_ (j)) \ left (x_ (0) + \ theta h \ right) h ^ (i) h ^ (j), $$ trong đó $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ và $ \ epsilon \ left (h \ right) \ rightarrow 0 $ cho $ h \ rightarrow 0 $, khi đó phía bên phải là dương với bất kỳ vectơ nào $ h $ có độ dài đủ nhỏ.
Do đó, chúng tôi đã đi đến kết luận rằng trong một số vùng lân cận của điểm $ x_ (0) $, bất đẳng thức $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ (0) \ right) $ được thỏa mãn nếu chỉ $ x \ neq x_ (0) $ (chúng ta đặt $ x = x_ (0) + h $ \ right). Điều này có nghĩa là tại điểm $ x_ (0) $ hàm có cực tiểu cục bộ nghiêm ngặt, và do đó phần đầu tiên của định lý của chúng ta đã được chứng minh.
Giả sử bây giờ $ Q_ (x_ (0)) $ là một dạng không xác định. Khi đó có các vectơ $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ sao cho $ Q_ (x_ (0)) \ left (h_ (1) \ right) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ left (h_ (2) \ right) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Sau đó, chúng ta nhận được $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ left [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epsilon \ left (th_ (1) \ right) \ right]. $$ Đối với $ t> 0 $ đủ nhỏ, cạnh phải là tích cực. Điều này có nghĩa là trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ x_ (0) $, hàm $ f $ nhận các giá trị $ f \ left (x \ right) $ lớn hơn $ f \ left (x_ (0) \ right) $.
Tương tự, chúng ta nhận được rằng trong bất kỳ vùng lân cận nào của điểm $ x_ (0) $, hàm $ f $ nhận các giá trị nhỏ hơn $ f \ left (x_ (0) \ right) $. Điều này, cùng với điều trước đó, có nghĩa là hàm $ f $ không có cực trị tại điểm $ x_ (0) $.

Chúng ta hãy xem xét một trường hợp đặc biệt của định lý này cho một hàm $ f \ left (x, y \ right) $ có hai biến được xác định trong một số vùng lân cận của điểm $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ và có các đạo hàm riêng liên tục của lệnh thứ nhất và thứ hai. Gọi $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ là một điểm đứng yên và đặt $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ ( 2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ right), a_ (12) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (x_ (0) , y_ (0) \ phải), a_ (22) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (x_ (0), y_ (0) \ phải). $$ Khi đó định lý trước có dạng sau.

Định lý
Cho $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. Sau đó:

1. nếu $ \ Delta> 0 $, thì hàm $ f $ có cực trị cục bộ tại điểm $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $, cụ thể là, cực tiểu nếu $ a_ (11)> 0 $ và tối đa nếu $ a_ (11)<0$;
2. nếu $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Ví dụ về giải quyết vấn đề

Thuật toán tìm cực trị của hàm nhiều biến:

1. Chúng tôi tìm thấy các điểm đứng yên;
2. Chúng tôi tìm thấy vi phân của bậc 2 tại tất cả các điểm đứng yên
3. Sử dụng điều kiện đủ để có cực trị của một hàm một số biến, chúng ta coi vi phân bậc hai tại mỗi điểm đứng yên

1. Khảo sát hàm đến cực trị $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $.
   Quyết định

   Tìm các đạo hàm riêng của bậc 1: $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Soạn và giải hệ thống: $$ \ displaystyle \ begin (case) \ frac (\ một phần f) (\ một phần x ) = 0 \\\ frac (\ part f) (\ một phần y) = 0 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow \ begin (các trường hợp) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x = 0 \ end (case) \ Rightarrow \ begin (case) x ^ (2) - 2 \ cdot y = 0 \\ 4 \ cdot y ^ (2) - x = 0 \ end (case) $$ Từ phương trình thứ 2, chúng ta biểu thị $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - thay thế vào phương trình thứ nhất: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ phải) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $$ y \ left (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ right) = 0 $$ Kết quả là thu được 2 điểm đứng yên:
   1) $ y = 0 \ Rightarrow x = 0, M_ (1) = \ left (0, 0 \ right) $;
   2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ Rightarrow y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ Rightarrow y = \ frac (1) (2) \ Rightarrow x = 1 , M_ (2) = \ left (\ frac (1) (2), 1 \ right) $
   Hãy để chúng tôi kiểm tra việc đáp ứng điều kiện tối đa đủ:
   $$ \ displaystyle \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) = - 6; \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
   1) Đối với điểm $ M_ (1) = \ left (0,0 \ right) $:
   $$ \ displaystyle A_ (1) = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ (2)) \ left (0,0 \ right) = 0; B_ (1) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (0,0 \ right) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (0,0 \ right) = 0; $$
   $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Đối với điểm $ M_ (2) $:
   $$ \ displaystyle A_ (2) = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ (2)) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) = 6; B_ (2) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) = 24; $$
   $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, do đó có một điểm cực trị tại điểm $ M_ (2) $ và vì $ A_ (2)> 0 $, thì đây là mức tối thiểu.
   Trả lời: Điểm $ \ displaystyle M_ (2) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) $ là điểm cực tiểu của hàm $ f $.
   

2. Khảo sát hàm cho điểm cực trị $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $.
   Quyết định

   Tìm điểm đứng yên: $$ \ displaystyle \ frac (\ part f) (\ một phần x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ một phần f) (\ một phần y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
   Soạn và giải hệ thống: $$ \ displaystyle \ begin (case) \ frac (\ part f) (\ một phần x) = 0 \\\ frac (\ một phần f) (\ một phần y) = 0 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow \ begin (các trường hợp) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ end (các trường hợp) \ Rightarrow \ begin (các trường hợp) y = 2 \\ y + x = 1 \ end (case) \ Rightarrow x = -1 $$
   $ M_ (0) \ left (-1, 2 \ right) $ là một điểm đứng yên.
   Hãy kiểm tra sự đáp ứng của điều kiện cực đại đủ: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ part ^ (2) f) (\ một phần x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần x \ một phần y) \ left (-1,2 \ right) = 2; C = \ frac (\ một phần ^ (2) f) (\ một phần y ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 2; $$
   $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Trả lời: không có cực trị.
   

Thời hạn: 0

Điều hướng (chỉ số công việc)

0 trong 4 nhiệm vụ đã hoàn thành

Thông tin

Làm bài kiểm tra này để kiểm tra kiến ​​thức của bạn về chủ đề bạn vừa đọc, Cực trị cục bộ của hàm của nhiều biến.

Bạn đã làm bài kiểm tra trước đây. Bạn không thể chạy lại.

Đang tải thử nghiệm ...

Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để bắt đầu kiểm tra.

Bạn phải hoàn thành các bài kiểm tra sau để bắt đầu bài kiểm tra này:

các kết quả

Câu trả lời đúng: 0 trên 4

Thời gian của bạn:

Thời gian đã qua

Bạn đã ghi được 0 trên 0 điểm (0)

Điểm của bạn đã được ghi trên bảng thành tích

1. Với một câu trả lời
2. Đã kiểm tra

Nhiệm vụ 1 trên 4

1 .

Số điểm: 1

Khảo sát hàm $ f $ cho cực trị: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

Chính xác


Không đúng


1. Nhiệm vụ 2 của 4

   2 .

   Số điểm: 1

   Hàm $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Điểm cực trị của hàm là điểm trong miền của hàm mà giá trị của hàm nhận giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Các giá trị của hàm tại các điểm này được gọi là cực trị (cực tiểu và cực đại) của hàm.

Sự định nghĩa. Chấm x1 phạm vi chức năng f(x) được gọi là điểm tối đa của chức năng , nếu giá trị của hàm tại thời điểm này lớn hơn giá trị của hàm tại các điểm đủ gần với nó, nằm ở bên phải và bên trái của nó (nghĩa là, bất đẳng thức f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 tối đa.

Sự định nghĩa. Chấm x2 phạm vi chức năng f(x) được gọi là điểm tối thiểu của hàm, nếu giá trị của hàm tại điểm này nhỏ hơn giá trị của hàm tại các điểm đủ gần với nó, nằm ở bên phải và bên trái của nó (nghĩa là bất đẳng thức f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Trong trường hợp này, hàm được cho là có tại điểm x2 tối thiểu.

Hãy nói điểm x1 - điểm tối đa của chức năng f(x). Sau đó, trong khoảng thời gian lên đến x1 chức năng tăng lên, do đó, đạo hàm của hàm lớn hơn 0 ( f "(x)> 0), và trong khoảng thời gian sau x1 chức năng đang giảm, vì vậy đạo hàm hàm nhỏ hơn 0 ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Chúng ta cũng hãy giả định rằng điểm x2 - điểm tối thiểu của hàm f(x). Sau đó, trong khoảng thời gian lên đến x2 hàm đang giảm và đạo hàm của hàm nhỏ hơn 0 ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 hàm tăng và đạo hàm của hàm lớn hơn 0 ( f "(x)> 0). Trong trường hợp này cũng tại điểm x2 đạo hàm của hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Định lý Fermat (một tiêu chí cần thiết cho sự tồn tại của cực trị của một hàm). Nếu điểm x0 - điểm cực trị của hàm f(x), thì tại thời điểm này đạo hàm của hàm bằng 0 ( f "(x) = 0) hoặc không tồn tại.

Sự định nghĩa. Các điểm mà tại đó đạo hàm của một hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại được gọi là điểm quan trọng .

ví dụ 1 Hãy xem xét một chức năng.

Tại điểm x= 0 đạo hàm của hàm số bằng 0, do đó, điểm x= 0 là điểm tới hạn. Tuy nhiên, như có thể thấy trên đồ thị của hàm, nó tăng trong toàn bộ miền xác định, vì vậy điểm x= 0 không phải là điểm cực trị của hàm này.

Do đó, các điều kiện mà đạo hàm của một hàm số tại một điểm bằng 0 hoặc không tồn tại là các điều kiện cần để có cực trị, nhưng không đủ, vì có thể đưa ra các ví dụ khác về hàm mà các điều kiện này được thỏa mãn, nhưng hàm không có cực trị tại điểm tương ứng. Cho nên phải có đầy đủ các chỉ dẫn, giúp bạn có thể đánh giá liệu có điểm cực trị tại một điểm tới hạn cụ thể hay không và điểm nào - cực đại hay cực tiểu.

Định lý (tiêu chí đủ đầu tiên cho sự tồn tại của cực trị của một hàm).Điểm cốt lõi x0 f(x), nếu đạo hàm của hàm số thay đổi dấu khi đi qua điểm này và nếu dấu thay đổi từ "cộng" thành "trừ", thì điểm lớn nhất, và nếu từ "trừ" thành "cộng", thì điểm cực tiểu .

Nếu gần điểm x0 , ở bên trái và bên phải của nó, đạo hàm giữ nguyên dấu của nó, điều này có nghĩa là hàm hoặc chỉ giảm hoặc chỉ tăng trong một số vùng lân cận của điểm x0 . Trong trường hợp này, tại điểm x0 không có cực đoan.

Cho nên, để xác định điểm cực trị của hàm số, bạn cần thực hiện như sau :

1. Tìm đạo hàm của một hàm số.
2. Lập phương trình đạo hàm bằng 0 và xác định các điểm tới hạn.
3. Nhẩm hoặc trên giấy, đánh dấu các điểm tới hạn trên trục số và xác định dấu của đạo hàm của hàm số trong các khoảng kết quả. Nếu dấu của đạo hàm chuyển từ "cộng" thành "trừ", thì điểm tới hạn là điểm tối đa, và nếu từ "trừ" thành "cộng", thì điểm tới hạn là điểm tối thiểu.
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị.

Ví dụ 2 Tìm cực trị của một hàm .

Quyết định. Hãy tìm đạo hàm của hàm số:

Lập phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn:

.

Vì đối với bất kỳ giá trị nào \ u200b \ u200bof "x", mẫu số không bằng 0, khi đó chúng ta cân bằng tử số bằng 0:

Có một điểm quan trọng x= 3. Chúng tôi xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng được giới hạn bởi điểm này:

trong phạm vi từ trừ vô cùng đến 3 - dấu trừ, tức là hàm giảm,

trong phạm vi từ 3 đến cộng vô cùng - một dấu cộng, nghĩa là, hàm tăng.

Đó là, điểm x= 3 là điểm cực tiểu.

Tìm giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu:

Như vậy, tìm được điểm cực trị của hàm số là: (3; 0) và nó là điểm cực tiểu.

Định lý (tiêu chí đủ thứ hai cho sự tồn tại của điểm cực trị của một hàm số).Điểm cốt lõi x0 là điểm cực trị của hàm f(x), nếu đạo hàm cấp hai của hàm tại thời điểm này không bằng 0 ( f ""(x) ≠ 0), hơn nữa, nếu đạo hàm cấp hai lớn hơn 0 ( f ""(x)> 0), thì điểm cực đại và nếu đạo hàm cấp hai nhỏ hơn 0 ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Nhận xét 1. Nếu tại một điểm x0 cả đạo hàm thứ nhất và thứ hai đều biến mất, lúc này không thể đánh giá sự có mặt của một điểm cực trị trên cơ sở dấu hiệu đủ thứ hai. Trong trường hợp này, bạn cần sử dụng tiêu chí đủ đầu tiên cho điểm cực trị của hàm.

Nhận xét 2. Tiêu chí đủ thứ hai cho cực trị của một hàm số cũng không áp dụng được khi đạo hàm cấp một không tồn tại tại điểm đứng yên (khi đó đạo hàm cấp hai cũng không tồn tại). Trong trường hợp này, cũng cần sử dụng tiêu chí đủ đầu tiên cho điểm cực trị của hàm.

Bản chất cục bộ của cực trị của hàm

Từ các định nghĩa trên ta thấy rằng cực trị của một hàm có tính chất cục bộ - đây là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm so với các giá trị gần nhất.

Giả sử bạn xem xét thu nhập của mình trong khoảng thời gian một năm. Nếu trong tháng 5, bạn kiếm được 45.000 rúp và vào tháng 4 là 42.000 rúp và vào tháng 6 là 39.000 rúp, thì thu nhập của tháng 5 là mức tối đa của hàm thu nhập so với các giá trị gần nhất. Nhưng vào tháng 10, bạn đã kiếm được 71.000 rúp, vào tháng 9 là 75.000 rúp và vào tháng 11 là 74.000 rúp, vì vậy thu nhập của tháng 10 là mức tối thiểu của hàm thu nhập so với các giá trị lân cận. Và bạn có thể dễ dàng nhận thấy rằng giá trị lớn nhất trong số các giá trị của Tháng 4-Tháng 5-Tháng 6 nhỏ hơn giá trị tối thiểu của Tháng 9-Tháng 10-Tháng 11.

Nói chung, một hàm có thể có một số cực trị trên một khoảng, và nó có thể hóa ra rằng bất kỳ giá trị cực tiểu nào của hàm đều lớn hơn bất kỳ giá trị cực đại nào. Vì vậy, đối với chức năng được hiển thị trong hình trên,.

Có nghĩa là, người ta không nên nghĩ rằng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó trên toàn bộ đoạn đang xét. Tại điểm cực đại, hàm có giá trị lớn nhất chỉ so với các giá trị mà nó có tại tất cả các điểm đủ gần với điểm cực đại và tại điểm cực tiểu, hàm có giá trị nhỏ nhất chỉ so với các giá trị đó nó có ở tất cả các điểm đủ gần với điểm tối thiểu.

Do đó, chúng ta có thể tinh chỉnh khái niệm điểm cực trị của một hàm số đã cho ở trên và gọi các điểm cực tiểu là điểm cực tiểu địa phương, và điểm cực đại - điểm cực đại địa phương.

Chúng ta cùng nhau tìm kiếm cực trị của hàm

Ví dụ 3

Lời giải. Hàm số xác định và liên tục trên toàn bộ trục số. Dẫn xuất của nó cũng tồn tại trên toàn bộ dãy số. Do đó, trong trường hợp này, chỉ những điểm mà tại đó, tức là, đóng vai trò là điểm tới hạn. , từ khi nào và. Điểm tới hạn và chia toàn bộ miền của hàm số thành ba khoảng đơn điệu:. Chúng tôi chọn một điểm kiểm soát trong mỗi điểm và tìm dấu của đạo hàm tại điểm này.

Đối với khoảng thời gian, điểm tham chiếu có thể là: chúng tôi tìm thấy. Lấy một điểm trong khoảng thời gian, chúng ta nhận được, và lấy một điểm trong khoảng thời gian, chúng ta có. Vì vậy, trong khoảng thời gian và, và trong khoảng thời gian. Theo dấu hiệu đủ đầu tiên của một điểm cực trị, thì không có điểm cực trị nào (vì đạo hàm giữ nguyên dấu của nó trong khoảng), và hàm số có cực tiểu tại điểm (vì đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng khi đi qua thông qua điểm này). Tìm các giá trị tương ứng của hàm:, và. Trong khoảng thời gian, hàm giảm, kể từ trong khoảng thời gian này, và trong khoảng thời gian nó tăng lên, kể từ trong khoảng thời gian này.

Để làm rõ việc xây dựng đồ thị, chúng ta tìm các giao điểm của nó với các trục tọa độ. Khi chúng ta thu được một phương trình có nghiệm nguyên và nghĩa là hai điểm (0; 0) và (4; 0) của đồ thị của hàm số được tìm thấy. Sử dụng tất cả thông tin nhận được, chúng tôi xây dựng một biểu đồ (xem ở phần đầu của ví dụ).

Ví dụ 4 Tìm cực trị của hàm số và dựng đồ thị của nó.

Miền của hàm là toàn bộ dòng số, ngoại trừ điểm, tức là .

Để rút ngắn nghiên cứu, chúng ta có thể sử dụng thực tế là hàm này là số chẵn, vì . Do đó, đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy và nghiên cứu chỉ có thể được thực hiện trong khoảng thời gian.

Tìm đạo hàm và các điểm quan trọng của chức năng:

1) ;

2) ,

nhưng hàm bị phá vỡ tại điểm này, vì vậy nó không thể là một điểm cực trị.

Do đó, hàm đã cho có hai điểm tới hạn: và. Có tính đến tính chẵn lẻ của hàm, chúng tôi chỉ kiểm tra điểm bằng dấu đủ thứ hai của điểm cực trị. Để làm điều này, chúng tôi tìm đạo hàm cấp hai và xác định dấu hiệu của nó tại: we get. Vì và, khi đó là điểm nhỏ nhất của hàm, trong khi .

Để có một bức tranh đầy đủ hơn về đồ thị của hàm số, chúng ta hãy tìm hiểu hành vi của nó trên các ranh giới của miền xác định:

(ở đây biểu tượng cho thấy mong muốn x về 0 ở bên phải, và x vẫn tích cực; tương tự có nghĩa là khát vọng x về 0 ở bên trái, và x vẫn âm). Vì vậy, nếu, sau đó. Tiếp theo, chúng tôi tìm thấy

,

những thứ kia. nếu, sau đó.

Đồ thị của hàm số không có giao điểm với các trục. Hình ảnh ở đầu ví dụ.

Chúng ta cùng nhau tiếp tục tìm kiếm các điểm cực trị của hàm

Ví dụ 8 Tìm cực trị của hàm số.

Quyết định. Tìm miền của hàm. Vì bất bình đẳng phải giữ, chúng tôi nhận được từ.

Hãy tìm đạo hàm cấp một của hàm số:

Hãy tìm các điểm tới hạn của hàm.