Phương trình bậc cao cho phép hạ bậc. Các phương pháp hạ bậc của một phương trình

Do đó, có một mong muốn tự nhiên là giảm một phương trình có bậc cao hơn bậc đầu tiên thành một phương trình có bậc thấp hơn. Trong một số trường hợp, điều này có thể được thực hiện. Hãy xem xét chúng.

1. Phương trình dạng y (n) = f (x) được giải bằng tích phân liên tiếp n lần
, ,… .
Ví dụ. Giải phương trình xy "" = 1. Do đó, chúng ta có thể viết y "= ln | x | + C 1 và tích phân lại, cuối cùng chúng ta nhận được y = ∫ln | x | + C 1 x + C 2

2. Trong phương trình dạng F (x, y (k), y (k +1), .., y (n)) = 0 (tức là không chứa một hàm chưa biết và một số đạo hàm của nó một cách rõ ràng), thứ tự được giảm xuống bằng cách sử dụng sự thay đổi của biến y (k) = z (x). Khi đó y (k +1) = z "(x),…, y (n) = z (n - k) (x) và ta nhận được phương trình F (x, z, z", .., z (n - k)) của bậc n-k. Nghiệm của nó là hàm z = φ (x, C 1, C 2,…, C n) hoặc, nhớ z là gì, chúng ta nhận được phương trình y (n- k) = φ (x, C 1, C 2, …, C n - k) thuộc loại được xét trong trường hợp 1.
Ví dụ 1 . Giải phương trình x 2 y "" = (y ") 2. Ta thực hiện thay thế y" = z (x). Khi đó y "" = z "(x). Thay vào phương trình ban đầu ta được x 2 z" = z 2. Tách các biến, chúng tôi nhận được. Tích hợp, chúng tôi có , hoặc, giống nhau,. Mối quan hệ cuối cùng được viết như sau. Tích hợp, cuối cùng chúng tôi nhận được
Ví dụ 2. Giải phương trình x 3 y "" + x 2 y "= 1. Ta thực hiện đổi các biến: y" = z; y "" = z "
x 3 z "+ x 2 z = 1. Chúng ta thực hiện đổi các biến: z = u / x; z" = (u "x-u) / x 2
x 3 (u "x-u) / x 2 + x 2 u / x = 1 hoặc u" x 2 -xu + xu = 1 hoặc u "x ^ 2 = 1. Từ: u" = 1 / x 2 hoặc du / dx = 1 / x 2 hoặc u = int (dx / x 2) = -1 / x + c 1
Vì z = u / x nên z = -1 / x 2 + c 1 / x. Vì y "= z nên dy / dx \ u003d -1 / x 2 + c 1 / x
y = int (c 1 dx / x-dx / x 2) = c 1 ln (x) + 1 / x + c 2. Đáp số: y = c 1 ln (x) + 1 / x + c 2

3. Phương trình tiếp theo có thể rút gọn theo thứ tự là phương trình có dạng F (y, y ", y" ",…, y (n)) = 0, không chứa biến độc lập một cách rõ ràng. Bậc của phương trình được rút gọn bằng cách thay đổi biến y ”= p (y), trong đó p là hàm mong muốn mới phụ thuộc vào y. sau đó
= và như vậy. Bằng quy nạp, ta có y (n) = φ (p, p ", .., p (n-1)). Thay vào phương trình ban đầu, ta hạ bậc của nó đi một.

Ví dụ. Giải phương trình (y ") 2 + 2yy" "= 0. Ta thực hiện phép thay thế chuẩn y" = p (y) thì y ″ = p ′ · p. Thay vào phương trình, chúng ta nhận được Tách các biến, tại p ≠ 0, chúng ta có Tích phân, chúng ta nhận được hoặc, giống nhau,. Sau đó hoặc. Tích hợp bình đẳng cuối cùng, cuối cùng chúng ta có được Khi tách các biến, chúng ta có thể làm mất nghiệm y = C, nghiệm thu được tại p = 0, hoặc tương tự, tại y "= 0, nhưng nó được chứa trong nghiệm thu được ở trên.

4. Đôi khi có thể nhận thấy một đặc điểm giúp ta có thể hạ bậc của phương trình theo những cách khác với những cách đã xét ở trên. Hãy cho thấy điều này với các ví dụ.

Các ví dụ.
1. Nếu cả hai phần của phương trình yy "" "= y′y ″ chia hết cho yy ″, thì chúng ta nhận được phương trình, có thể viết lại thành (lny ″) ′ = (lny) ′. Từ quan hệ cuối cùng nó theo sau đó lny ″ = lny + lnC, hoặc tương tự, y ″ = Cy ... Kết quả là một phương trình có bậc có độ lớn thấp hơn và thuộc loại được xét trước đó.
2. Tương tự, đối với phương trình yy ″ = y ′ (y ′ + 1) chúng ta có, hoặc (ln (y "+1))" = (lny) ". Nó tuân theo quan hệ cuối cùng mà ln (y" + 1) = lny + lnC 1, hoặc y "= C 1 y-1. Tách các biến và tích phân, ta được, ln (C 1 y-1) = C 1 x + C 2
Quyết định phương trình bậc thấp có thể với sự trợ giúp của một dịch vụ đặc biệt

một trong những phương pháp lấy tích phân phương trình vi phân bậc cao là phương pháp rút gọn bậc. Bản chất của phương pháp là với sự trợ giúp của một sự thay đổi của biến (thay thế), DE này được rút gọn thành một phương trình, bậc của nó thấp hơn.

Chúng ta hãy xem xét ba loại phương trình có thể được rút gọn theo thứ tự.

I. Lập phương trình

Thứ tự có thể được giảm xuống bằng cách giới thiệu một hàm mới p (x), đặt y "= p (x). Sau đó, y" "= p" (x) và chúng ta nhận được DE bậc nhất: p "= ƒ (x) . Giải nó, tức là đã tìm được hàm p \ u003d p (x), chúng ta giải phương trình y "\ u003d p (x). Ta có nghiệm tổng quát của phương trình (3.6) đã cho.

Trong thực tế, chúng hoạt động khác nhau: thứ tự được hạ xuống trực tiếp bằng cách tích phân liên tiếp của phương trình.

Như phương trình (3.6) có thể được viết dưới dạng dy "= ƒ (х) dx. Khi đó, tích phân phương trình y" "= ƒ (х), ta thu được: y" = hoặc y "= j1 (x) + с 1. Hơn nữa , tích phân phương trình kết quả cho x, chúng ta tìm thấy: - nghiệm tổng quát của phương trình này. sau đó tích phân liên tiếp n lần, ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình:

Ví dụ 3.1. giải phương trình

Lời giải: Bằng cách tích phân liên tiếp phương trình này bốn lần, chúng ta thu được

Lập phương trình

Hãy ký hiệu y "= p, trong đó p = p (x) là một hàm mới chưa biết. Khi đó y" "= p" và phương trình (3.7) có dạng p "= ƒ (x; p). Cho p = j (x; c 1) - nghiệm tổng quát của DE bậc nhất thu được. Thay hàm p bởi y ", ta được DE: y" \ u003d j (x; c 1). Nó có dạng (3.6) . Để tìm được y, chỉ cần tích phân của phương trình cuối là đủ. Nghiệm tổng quát của phương trình (3.7) sẽ có dạng

Một trường hợp đặc biệt của phương trình (3.7) là phương trình

mà cũng không chứa hàm mong muốn rõ ràng, thì thứ tự của nó có thể giảm đi k đơn vị bằng cách đặt y (k) = p (x). Khi đó y (k + 1) = p "; ...; y (n) = p (n-k) và phương trình (3.9) có dạng F (x; p; p"; ...; p (n-κ )) = 0. Một trường hợp đặc biệt của phương trình (3.9) là phương trình

Bằng cách thay y (n-1) = p (x), y (n) = p ”, phương trình này được rút gọn thành DE bậc nhất.

Ví dụ 3.2. giải phương trình

Giải pháp: Chúng tôi đặt y "= p, trong đó sau đó Đây là một phương trình có thể phân tách: Tích hợp, chúng tôi nhận được Quay lại biến ban đầu, chúng tôi nhận được y "= c 1 x,

là nghiệm tổng quát của phương trình.

III. Xem xét phương trình

không chứa biến độc lập rõ ràng x.

Để hạ bậc của phương trình, chúng tôi giới thiệu một hàm mới p = p (y), phụ thuộc vào biến y, đặt y "= p. Hãy phân biệt đẳng thức này với x, có tính đến rằng p \ u003d p (y (x)):

I E. Bây giờ phương trình (3.10) có thể được viết dưới dạng

Gọi р = j (y; с 1) là nghiệm tổng quát của DE bậc nhất này. Thay hàm p (y) bởi y ", ta thu được y" = j (y; c 1) - một DE với các biến có thể phân tách được. Tích phân nó, chúng ta tìm được tích phân tổng quát của phương trình (3.10):

Một trường hợp đặc biệt của phương trình (3.10) là DE

Phương trình như vậy được giải bằng cách thay thế tương tự: y "\ u003d p (y),

Chúng ta làm tương tự khi giải phương trình F (y; y "; y" "; ...; y (n)) \ u003d 0. Thứ tự của nó có thể giảm đi một bằng cách đặt y" = p, trong đó p \ u003d p (y). Theo quy luật phân biệt của một hàm phức, chúng ta tìm thấy Sau đó chúng ta tìm

p \ u003d uv \ u003d ((-1 + y) e -y + e -y + c 1) e + y hoặc p \ u003d c 1 ey + y. Thay p bằng y ", ta được: y" \ u003d c 1 -e y + y. Thay y "= 2 và y = 2 vào đẳng thức này, ta tìm được với 1:

2 = c 1 e 2 +2, c 1 = 0.

Ta có y "= y. Do đó y = c 2 e x. Ta tìm được c 2 từ các điều kiện ban đầu: 2 = c 2 e °, c 2 = 2. Như vậy, y = 2e x là nghiệm cụ thể của phương trình đã cho

Phương trình vi phân bậc 2 có dạng:

Nghiệm tổng quát của phương trình là một họ các hàm phụ thuộc vào hai hằng số tùy ý và: (hoặc - tích phân tổng quát của phương trình vi phân bậc 2). Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân bậc 2 (1.1) là tìm một nghiệm cụ thể của phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu: for:,. Cần lưu ý rằng đồ thị của nghiệm của phương trình bậc 2 có thể cắt nhau, ngược lại với đồ thị của nghiệm của phương trình bậc 1. Tuy nhiên, nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình bậc hai (1.1) theo các giả thiết khá rộng cho các hàm nhập vào phương trình là duy nhất, tức là hai nghiệm bất kỳ có điều kiện chung ban đầu trùng nhau tại giao điểm của các khoảng xác định.

Có được một giải pháp tổng quát hoặc giải quyết vấn đề Cauchy cho một phương trình vi phân bậc 2 không phải lúc nào cũng có thể phân tích được. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, có thể hạ bậc của phương trình bằng cách đưa vào các phương pháp thay thế khác nhau. Hãy phân tích những trường hợp này.

1. Phương trình không chứa một biến độc lập rõ ràng.

Cho phương trình vi phân bậc 2 có dạng :, tức là Phương trình (1.1) không chứa biến độc lập một cách rõ ràng. Điều này cho phép chúng ta coi nó như một đối số mới và lấy đạo hàm bậc 1 làm một hàm mới. Sau đó.

Do đó, một phương trình bậc 2 cho một hàm không chứa rõ ràng đã được rút gọn thành một phương trình bậc 1 cho một hàm. Tích phân phương trình này, chúng ta thu được một tích phân tổng quát hoặc và đây là một phương trình vi phân bậc 1 cho hàm số. Giải nó, chúng ta nhận được tích phân tổng quát của phương trình vi phân ban đầu, phụ thuộc vào hai hằng số tùy ý:.

Ví dụ 1. Giải một phương trình vi phân với các điều kiện ban đầu cho trước:,.

Vì không có đối số rõ ràng trong phương trình ban đầu, chúng tôi sẽ lấy một biến độc lập mới, và - cho. Khi đó phương trình có dạng sau đối với hàm:.

Đây là một phương trình vi phân với các biến có thể phân tách:. Sau đó, tức là .

Vì cho và, sau đó thay các điều kiện ban đầu thành đẳng thức cuối cùng, chúng ta nhận được rằng và, tương đương. Kết quả là, đối với hàm, chúng ta có một phương trình với các biến có thể phân tách, giải ra chúng ta thu được. Sử dụng các điều kiện ban đầu, chúng tôi nhận được điều đó. Do đó, tích phân riêng của phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu có dạng:.

2. Phương trình không chứa hàm mong muốn rõ ràng.

Cho phương trình vi phân bậc 2 có dạng :, tức là chức năng mong muốn rõ ràng không được bao gồm trong phương trình. Trong trường hợp này, cài đặt được nhập. Khi đó phương trình bậc 2 của hàm số chuyển thành phương trình bậc 1 của hàm số. Sau khi tích phân, chúng ta thu được một phương trình vi phân bậc 1 của hàm:. Giải phương trình cuối cùng, chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình vi phân đã cho, tích phân này phụ thuộc vào hai hằng số tùy ý:.