Bài “Cách vẽ đồ thị của hàm số y = f (kx) nếu biết đồ thị của hàm số y = f (x)”. Biến đổi biểu đồ

Tài liệu được trình bày trong video hướng dẫn là phần tiếp theo của chủ đề vẽ đồ thị hàm thông qua các phép biến đổi khác nhau. Chúng ta sẽ xem xét đồ thị của hàm số được xây dựng như thế nào. y =f(kx) nếu đồ thị của hàm đã biết y =f(x) . TẠI trường hợp này k- không tí nào số thực, không bằng không.

Trước tiên, chúng ta hãy xem xét trường hợp khi k là một số dương. Ví dụ, hãy vẽ biểu đồ của hàm y =f(3 x) , nếu đồ thị của hàm y =f(X) chúng ta có. Trong hình bên, trục tọa độ cho thấy một đồ thị y =f(X) trên đó có các điểm có tọa độ A và B. Chọn giá trị tùy ý X và thay thế chúng vào hàm y =f(3 x), tìm các giá trị tương ứng của hàm tại. Như vậy, các điểm thuộc đồ thị của hàm số có được là y =f(3 x) A 1 và B 1, có hoành độ của các điểm A và B. Nghĩa là từ đồ thị của hàm số y =f(x) bằng cách nén với một hệ số k với trục y, bạn có thể nhận được đồ thị của hàm y =f(kx) . Điều quan trọng cần lưu ý là các điểm giao nhau với trục y vẫn ở cùng một vị trí trong quá trình nén.

Trong trường hợp khi k- một số âm, đồ thị của hàm y =f(kx) được chuyển đổi từ đồ thị của hàm y =f(x) bằng cách kéo dài từ trục y với một hệ số 1/ k.

1) đầu tiên, một phần của wave của đồ thị của hàm được xây dựng y =tộiX(xem tranh);

2) bởi vì k= 2, đồ thị của hàm số được nén y =sinx với trục tọa độ, tỉ số nén là 2. Tìm giao điểm với trục x. Tại vì đồ thị hàm số y =tộiX cắt trục x tại điểm π thì đồ thị của hàm số y =tội lỗi 2X cắt trục x tại điểm π / k = π / 2. Tương tự như vậy, tất cả các điểm khác trên đồ thị của hàm số y =tội lỗi 2x và toàn bộ đồ thị được xây dựng trên những điểm này.

Hãy xem xét ví dụ thứ 2 - vẽ đồ thị hàm số y =cos (x / 2).

1) chúng tôi xây dựng một phần sóng của đồ thị hàm số y \ u003d cos X(xem tranh);

2) bởi vì k= 1/2, kéo giãn đồ thị của hàm số y =tộiX từ trục y với hệ số ½.

Tìm giao điểm của đồ thị với trục X. Tại vì đồ thị hàm số y =cosX cắt trục x tại điểm π / 2 thì đồ thị của hàm số y =cos (x / 2) cắt trục x tại điểm π. Theo cách tương tự, chúng ta tìm tất cả các điểm khác của đồ thị của hàm số y =cos (x / 2), chúng tôi sẽ xây dựng toàn bộ đồ thị bằng cách sử dụng các điểm này.

Tiếp theo, hãy xem xét phương án xây dựng đồ thị của hàm y= f(kx), ở đâu k là một số âm. Ví dụ, khi k= -1 tính năng y= f(kx) = f(- x). Hình vẽ biểu đồ y =f(X), Trên đó có các điểm có tọa độ A và B. Chọn các giá trị tùy ý của x và thay chúng vào hàm y= f(- x), tìm các giá trị hàm tương ứng tại. Lấy các điểm thuộc đồ thị của hàm số y= f(- x) A 1 và B 1, sẽ đối xứng với điểm A và B theo trục y. Tức là khi sử dụng phép đối xứng qua trục y từ đồ thị của hàm số y =f(kx) chúng ta nhận được đồ thị của hàm y =f(- x).

Hãy chuyển sang vẽ đồ thị hàm số y= f(kx) cái nĩa<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) xây dựng một phần của làn sóng biểu đồ y =tộiX;

2) bởi vì k= 4, kéo giãn nửa sóng của đồ thị so với trục abscissa, trong đó hệ số giãn là 4;

3) thực hiện một phép biến đổi đối xứng qua trục x;

4) kéo dài từ trục y (hệ số giãn là 2);

5) hoàn thành việc xây dựng toàn bộ đồ thị.

Trong video hướng dẫn này, chúng tôi đã xem xét chi tiết cách xây dựng đồ thị hàm số từng bước. y =f(kx) ở các giá trị khác nhau k.

GIẢI THÍCH VĂN BẢN:

Hôm nay chúng ta sẽ làm quen với phép biến hình giúp các bạn biết cách vẽ đồ thị của hàm số y \ u003d f (kx)

(y bằng e của đối số biểu thị tích của ka và x), nếu biết đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) (y bằng ef của x), trong đó ka là số thực bất kỳ (trừ số 0).

1) Xét trường hợp k là số dương trong một ví dụ cụ thể, khi k = 3. Tức là bạn cần vẽ đồ thị của hàm số

y \ u003d f (3x) (y bằng eff của ba x), nếu biết đồ thị của hàm y \ u003d f (x). Cho trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) có điểm A có tọa độ (6; 5) và điểm B có tọa độ (-3; 2). Điều này có nghĩa là f (6) \ u003d 5 và f (- 3) \ u003d 2 (ef từ sáu bằng năm và ef từ trừ ba bằng hai). Hãy theo dõi chuyển động của các điểm này khi vẽ đồ thị của hàm y \ u003d f (3x).

Lấy một giá trị x = 2 tùy ý, tính y, thay giá trị của x vào đồ thị của hàm số y \ u003d f (3x), ta được y \ u003d 5 (trên màn hình: y \ u003d f (3x) \ u003d f (3 2) \ u003d f (6) = 5.) Tức là trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (3x) có một điểm có hoành độ là A 1 (2; 5). Nếu x \ u003d - 1, rồi thay giá trị của x vào đồ thị của hàm số y \ u003d f (3x), ta được giá trị y \ u003d 2.

(Trên màn hình: y = f (3x) = f (- 1 ∙ 3) = f (- 3) = 2.)

Tức là trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (3x) có một điểm có tọa độ B 1 (- 1; 2). Vì vậy, trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (3x) có các điểm cùng hoành độ như trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (x), trong khi hoành độ của điểm nhỏ hơn hai lần về giá trị tuyệt đối .

Điều này cũng đúng với các điểm khác của đồ thị hàm số y \ u003d f (x), khi chúng ta chuyển sang đồ thị của hàm số y \ u003d f (3x).

Thông thường một phép biến đổi như vậy được gọi là nén đối với trục y (y) với hệ số 3.

Do đó, đồ thị của hàm số y = f (kx) nhận được từ đồ thị của hàm số y = f (x) bằng cách co về trục y (y) với hệ số k. Lưu ý rằng với phép biến đổi như vậy, giao điểm của đồ thị hàm số y \ u003d f (x) với trục y vẫn được giữ nguyên.

Nếu k nhỏ hơn một, thì họ không nói về nén với hệ số k, mà nói về kéo dài từ trục y với một hệ số (nghĩa là, nếu k =, thì họ nói về kéo giãn với hệ số 4).

VÍ DỤ 1. Vẽ đồ thị của hàm số y \ u003d sin 2x (y bằng sin của hai x).

Quyết định. Đầu tiên, hãy xây dựng một nửa sóng của biểu đồ y \ u003d sin x trên khoảng từ 0 đến pi. Vì hệ số bằng hai, nghĩa là k là số dương lớn hơn một nên ta nén đồ thị của hàm số y \ u003d sin x về trục tung với hệ số bằng 2. Tìm giao điểm với trục OX. Nếu đồ thị của hàm số y \ u003d sin x cắt trục OX tại điểm π thì đồ thị của hàm số y \ u003d sin 2x sẽ cắt nhau tại điểm (π: k \ u003d π: 2 \ u003d) (pi chia cho ka được bằng pi chia cho hai là bằng pi cho hai). Theo cách tương tự, chúng ta tìm tất cả các điểm khác của đồ thị của hàm số y \ u003d sin2 x. Vì vậy, điểm thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d sin x có tọa độ (; 1) sẽ tương ứng với điểm thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d sin 2x có tọa độ (; 1). Do đó, chúng ta nhận được một nửa sóng của đồ thị của hàm số y \ u003d sin 2x. Sử dụng tính tuần hoàn của hàm số, chúng ta xây dựng toàn bộ đồ thị.

VÍ DỤ 2. Vẽ đồ thị của hàm số y \ u003d cos (y bằng cosin của riêng x và hai).

Quyết định. Đầu tiên, hãy xây dựng một nửa sóng của biểu đồ y \ u003d cos x. Vì k là một số dương nhỏ hơn e đồng nhất nên ta sẽ kéo đồ thị của hàm số y \ u003d cos x ra khỏi trục y với hệ số là 2.

Tìm giao điểm với trục x. Nếu đồ thị của hàm số y \ u003d cos x cắt trục OX tại một điểm thì đồ thị của hàm số y \ u003d cos sẽ cắt nhau tại điểm π. (: k = π: = π). Theo cách tương tự, chúng ta tìm tất cả các điểm khác của đồ thị của hàm số y \ u003d cos. Do đó, chúng ta nhận được một nửa sóng của đồ thị hàm số mong muốn. Sử dụng tính tuần hoàn của hàm số, chúng ta xây dựng toàn bộ đồ thị.

Xét trường hợp k bằng trừ một. Tức là bạn cần vẽ đồ thị của hàm y \ u003d f (-x) (y bằng eff trừ x), nếu biết đồ thị của hàm y \ u003d f (x). Cho điểm A trên biểu đồ có tọa độ (4; 5) và điểm B (-5; 1). Điều này có nghĩa là f (4) = 5 và f (- 5) = 1.

Vì khi thay vào công thức y \ u003d f (-x) thay vì x \ u003d - 4 ta được y \ u003d f (4) \ u003d 5 thì trên đồ thị của hàm y \ u003d f (-x) có là điểm có tọa độ A 1

(- 4; 5) (trừ bốn, năm). Tương tự, đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x) thuộc điểm B 1 (5; 1) Tức là đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) thuộc điểm A (4; 5) và B (-5; 1) và đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x) thuộc các điểm A 1 (- 4; 5) và B 1 (5; 1). Các cặp điểm này đối xứng nhau qua trục y.

Do đó, đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x) sử dụng phép biến đổi đối xứng qua trục y có thể nhận được từ đồ thị của hàm số y \ u003d f (x).

3) Cuối cùng, xét trường hợp k là số âm. Xét rằng đẳng thức f (kx) = f (- | k | x) (ef từ tích của ka theo x bằng eff từ tích trừ đi môđun của ka và x) là công bằng, khi đó chúng tôi đang nói chuyện về cách xây dựng đồ thị của hàm số y = f (- | k | x), có thể được xây dựng theo các giai đoạn:

1) vẽ đồ thị của hàm y \ u003d f (x);

2) đặt đồ thị đã xây dựng để nén hoặc kéo giãn theo trục y với hệ số | k | (mô-đun);

3) thực hiện một phép biến đổi đối xứng về trục y

(y) thu được trong đoạn thứ hai của đồ thị.

VÍ DỤ 3. Vẽ đồ thị của hàm số y \ u003d 4 sin (-) (y gấp bốn lần sin của thương trừ x đi hai).

Quyết định. Trước hết, hãy nhớ rằng sin (- t) \ u003d -sint (sin của trừ te bằng với trừ sin của te), có nghĩa là y \ u003d 4 sin (-) \ u003d - 4 sin (y là trừ bốn lần sin của riêng x bằng hai). Chúng tôi sẽ xây dựng theo từng giai đoạn:

1) Hãy xây dựng một nửa sóng của đồ thị của hàm số y \ u003d sinx.

2) Chúng tôi kéo giãn đồ thị đã xây dựng từ abscissa với hệ số 4 và nhận được một nửa sóng của đồ thị hàm số

y \ u003d 4sinx (y gấp bốn lần sin của x).

3) Đối với nửa sóng xây dựng của đồ thị hàm số y \ u003d 4sinx, chúng ta áp dụng phép biến đổi đối xứng về trục x (x) và chúng ta nhận được nửa sóng của đồ thị hàm số y \ u003d - 4sinx.

4) Đối với một nửa sóng của đồ thị hàm số y = - 4sinx, ta sẽ trải dài từ trục y với hệ số là 2; chúng ta nhận được một nửa sóng của đồ thị của hàm - 4 sin.

5) Sử dụng nửa sóng thu được, chúng ta sẽ xây dựng toàn bộ đồ thị.

>> Cách vẽ đồ thị của hàm số y = f (kx) nếu đã biết đồ thị của hàm số

§ 13. Cách vẽ đồ thị hàm số y \ u003d f (kx), nếu đồ thị của hàm số đã biết

Trong phần này, chúng ta sẽ làm quen với một phép biến đổi khác cho phép, biết lịch trình hàm y \ u003d / (x), khá nhanh để xây dựng đồ thị của hàm y \ u003d f (Ax), với k là số thực bất kỳ (trừ số 0). Hãy xem xét một số trường hợp.

Nhiệm vụ 1. Biết vẽ đồ thị của hàm số y \ u003d f (x), hãy vẽ đồ thị của hàm số y - f (kx), với k là số dương.
Để giúp bạn hiểu bản chất của vấn đề dễ dàng hơn, hãy xem xét ví dụ cụ thể khi k = 2. Làm thế nào để vẽ đồ thị của hàm số y \ u003d f (2x), nếu biết đồ thị của hàm số y \ u003d f (x)?

Cho điểm (4; 7) và (-2; 3) thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d f (x). Điều này có nghĩa là f (4) = 7 và f (-2) = 3. Các điểm sẽ di chuyển ở đâu khi chúng ta vẽ đồ thị của hàm y \ u003d f (2x)? Xem (Hình 50): nếu x \ u003d 2, thì y \ u003d f (2x) \ u003d f (2 2) \ u003d f (4) \ u003d 7. Vì vậy, trên đồ thị của hàm y \ u003d f (2x) tồn tại điểm (2; 7). Hơn nữa, nếu x \ u003d -1 thì y \ u003d f (2x) \ u003d D-1-2) \ u003d f (-2) \ u003d 3. Vì vậy, trên đồ thị của hàm y \ u003d f (2x ) có một điểm (-1; 3). Vì vậy, trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) có các điểm (4; 7) và (-2; 3) và trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (2x) có các điểm (2 ; 7) và (- 1; 3), tức là các điểm có cùng hoành độ.

nhưng nhỏ hơn (modulo) abscissa gấp đôi. Điều tương tự cũng xảy ra với các điểm khác của đồ thị hàm số y \ u003d f (x), khi chúng ta chuyển đến đồ thị của hàm số y \ u003d f (2x) (Hình 51). Một phép biến đổi như vậy thường được gọi là nén đối với trục y với hệ số 2.

Nói chung, đồ thị của hàm số y \ u003d f (kx) nhận được từ đồ thị của hàm số y-f (x) bằng cách thu nhỏ về trục y với hệ số k. Lưu ý rằng với phép biến đổi này, giao điểm của đồ thị của hàm y \ u003d f (x) với trục y (nếu x = 0 thì kx = 0).

Tuy nhiên, nếu để< 1, то предпочитают говорить не о сжатии с коэффициентом к, а о растяжении от оси у с коэффициентом

ví dụ 1 Xây dựng đồ thị hàm số:

Giải pháp: a) Hãy dựng một nửa sóng của đồ thị hàm số y \ u003d sin x và kéo dài nó khỏi trục y với hệ số là 2; chúng ta nhận được một nửa sóng của đồ thị mong muốn của hàm (Hình. 52). Sau đó, chúng tôi sẽ xây dựng toàn bộ đồ thị (Hình. 53).

b) Hãy dựng nửa sóng của đồ thị hàm số y \ u003d cos x và nén nó xuống trục y với hệ số 2; chúng ta nhận được một nửa sóng của đồ thị mong muốn của hàm y \ u003d cos 2x (Hình. 54). Sau đó, chúng tôi sẽ xây dựng toàn bộ đồ thị (Hình. 55).

Nhiệm vụ 2. Biết đồ thị của hàm số y \ u003d f (x), hãy vẽ đồ thị của hàm số y \ u003d f (kx), trong đó k \ u003d -1. Nói cách khác, chúng ta đang nói về việc xây dựng đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x).

Giả sử trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) có các điểm (3; 5) và (-6; 1). Điều này có nghĩa là f (З) = 5 và f (-6) = 1. Theo đó, có một điểm (-3; 5) trên đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x), vì khi thay vào công thức y \ u003d f (-x) với giá trị x \ u003d -3, chúng ta nhận được y \ u003d f (3) \ u003d 5. Tương tự, chúng ta đảm bảo rằng đồ thị của hàm y \ u003d f (-x) thuộc về điểm (6; 1).

Vậy điểm (3; 5) thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) tương ứng với điểm (-3; 5) thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x); điểm (-6; 1) thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) tương ứng với điểm (6; 1) thuộc đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x). Các cặp điểm này đối xứng nhau qua trục y (Hình 56).

Tổng hợp những cân nhắc trên, chúng ta đi đến kết luận sau: Đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x) có thể nhận được từ đồ thị của hàm số "y \ u003d f (x) bằng phép biến đổi đối xứng qua trục y.

Nhận xét. Nếu chúng ta đang nói về việc vẽ đồ thị của một hàm số y = f (-x), thì thông thường trước tiên chúng ta kiểm tra xem hàm số y = f (x) là chẵn hay lẻ. Nếu y \ u003d f (x) - hàm chẵn, I E. f (-x) \ u003d f (x) thì đồ thị của hàm số y \ u003d f (-x) trùng với đồ thị của hàm số y \ u003d f (x). Nếu y \ u003d f (x) - hàm lẻ, I E. f (-x) \ u003d -f (x), sau đó thay vì đồ thị của hàm y \ u003d f (-x), bạn có thể vẽ đồ thị của hàm y \ u003d -f (x).

Nhiệm vụ 3. Biết được đồ thị của hàm số y \ u003d f (x), hãy vẽ đồ thị của hàm số y \ u003d f (kx), với k là số âm.
Vì trong trường hợp này đẳng thức f (kx) = f (- \ k \ x) là đúng, nên chúng ta đang nói về việc vẽ biểu đồ của hàm y = f (- \ k \ x). Điều này có thể được thực hiện trong ba bước:

1) xây dựng đồ thị của hàm số y \ u003d f (x);
2) để thực hiện nén (hoặc kéo giãn) theo trục y với hệ số | đến |
3) đặt đồ thị được nén (hoặc kéo dài) thành một phép biến đổi đối xứng về trục y.

Ví dụ 2 Dựng đồ thị của hàm số y \ u003d -3 cos (~ 2x).

Quyết định. Trước hết cần lưu ý rằng cos (-2x) = cos2x.
1) Hãy xây dựng đồ thị của hàm số y \ u003d cosx, chính xác hơn là một nửa sóng của đồ thị (Hình. 57a. Tất cả các cấu trúc sơ bộ được biểu thị bằng các đường chấm).
2) Chúng ta sẽ kéo giãn đồ thị đã xây dựng từ trục x với hệ số 3; chúng ta nhận được một nửa sóng của đồ thị của hàm số y \ u003d Zcos x.
3) Chúng ta hãy chuyển nửa sóng đã xây dựng của đồ thị hàm số y \ u003d 3 cos x thành một phép biến đổi đối xứng qua trục x; chúng ta nhận được một nửa sóng của đồ thị của hàm số y \ u003d -3cos x.
4) Hãy biểu diễn nửa sóng của đồ thị hàm số y \ u003d -3cos x nén theo trục y với hệ số bằng 2; chúng ta nhận được một nửa sóng của đồ thị của hàm số y \ u003d -3cos2x (đường liền nét trong Hình 57a).
5) Sử dụng nửa sóng thu được, chúng ta sẽ xây dựng toàn bộ đồ thị (Hình. 576).

A.G. Mordkovich Đại số lớp 10

Lập kế hoạch theo chủ đề lịch trong toán học, video trong toán học trực tuyến, tải về Toán học tại trường

Nội dung bài học Tom tăt bai học hỗ trợ khung trình bày bài học phương pháp tăng tốc công nghệ tương tác Luyện tập nhiệm vụ và bài tập tự kiểm tra hội thảo, đào tạo, trường hợp, nhiệm vụ câu hỏi thảo luận bài tập về nhà câu hỏi tu từ từ sinh viên Hình minh họa âm thanh, video clip và đa phương tiệnảnh, đồ họa hình ảnh, bảng, kế hoạch hài hước, giai thoại, truyện cười, ngụ ngôn truyện tranh, câu nói, câu đố ô chữ, trích dẫn Tiện ích bổ sung tóm tắt các chip bài báo dành cho các sách giáo khoa cơ bản và bổ sung bảng thuật ngữ cơ bản và bổ sung các thuật ngữ khác Cải tiến sách giáo khoa và bài họcsửa lỗi trong sách giáo khoa cập nhật một đoạn trong sách giáo khoa các yếu tố đổi mới trong bài học thay thế kiến thức cũ bằng kiến thức mới Chỉ dành cho giáo viên những bài học hoàn hảo kế hoạch lịch trong một năm hướng dẫn chương trình thảo luận Bài học tích hợp

2. Nếu 0< k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой
(Hình 3.8). Như vậy, đồ thị của hàm số bị nén hoặc bị giãn.

y

y

0 x X 0 x X

Cơm. 3.7 Hình. 3.8

Quy tắc 2Đặt k> 1. Khi đó đồ thị của hàm số f (kx) nhận được từ đồ thị của hàm số f (x) bằng cách ép nó dọc theo trục OX k lần (ngược lại: bằng cách ép nó về trục OY k lần. ).

Để 0< k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Các ví dụ. Dựng đồ thị của hàm số: 1)
và
;

2)
và
.

p / 2 (2) (1) (3)

2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p / 2 p 2p x

Cơm. 3.9 Hình. 3,10

Nhận xét. Xin lưu ý: dấu chấm nằm trên trục OY vẫn giữ nguyên vị trí. Thật vậy, bất kỳ điểm N (0, y) nào của đồ thị f (x) tương ứng với một điểm
đồ họa f (kx).

Đồ thị hàm số
thu được bằng cách kéo dài đồ thị của hàm
so với trục OY 2 lần. Trong trường hợp này, một lần nữa điểm vẫn không thay đổi (đường cong (3) trong Hình 3.9).

Vẽ một chức năng y = f (-x).

Các hàm f (x) và f (-x) nhận các giá trị bằng nhau đối với các giá trị ngược lại của đối số x. Do đó, các điểm N (x; y) và M (-x; y) thuộc đồ thị của chúng sẽ đối xứng nhau qua trục OY.

Quy tắc 3Để dựng đồ thị hàm số f (-x), cần cho đồ thị của hàm số f (x) về trục OY.

Các ví dụ. Chức năng lô đất
và
.

Các giải pháp được hiển thị trong hình. 3,11 và 3,12.

Y
Y

Cơm. 3.11 Hình. 3,12

Vẽ một chức năng y = f (-kx), trong đó k> 0.

Quy tắc 4 Ta xây dựng đồ thị của hàm số y \ u003d f (kx) phù hợp với quy tắc 2. Đồ thị của hàm số f (kx) được nhân đôi từ trục OY theo quy tắc

phế 3. Kết quả ta được đồ thị của hàm số f (-kx).

Các ví dụ. Chức năng lô đất

Các giải pháp được hiển thị trong hình. 3,13 và 3,14.

1/2 0 1/2 x -p / 2 0 p / 2 x

Cơm. 3.13 Hình. 3,14

Vẽ một chức năng
, trong đó A> 0. Nếu A> 1, thì với mỗi giá trị
phong chức chức năng nhất định Lớn hơn một lần hoành độ của hàm chính f (x). Trong trường hợp này, đồ thị f (x) được kéo giãn bởi A lần dọc theo trục OY (ngược lại: từ trục OX).

Nếu 0< A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в lần dọc theo trục OY (hoặc cách xa trục OX).

Quy tắc 5 Cho A> 1. Khi đó đồ thị của hàm số
nhận được từ đồ thị f (x) bằng cách kéo giãn nó A lần dọc theo trục OY (hoặc ra khỏi trục OX).

Để 0< A < 1. Тогда график функции
thu được từ đồ thị f (x) bằng cách nén nó thành lần dọc theo trục OY (hoặc theo trục OX).

Các ví dụ. Dựng đồ thị hàm số 1)
,
và 2)
,

Y
Y

1
0p / 2pp / 3px

Cơm. 3.15 Hình. 3,16

Vẽ một chức năng
.

Cho tất cả mọi người
các điểm N (x, y) của hàm f (x) và M (x, -y) của hàm -f (x) đối xứng nhau qua trục OX nên ta thu được quy tắc.

Quy tắc 6Để vẽ một hàm
cần một lịch trình
được phản chiếu về trục x.

Các ví dụ. Chức năng lô đất
và
(hình 3,17 và 3,18).

0 1 x 0 π / 2 π 3π / 2 2π x

Cơm. 3.17 Hình. 3,18

Vẽ một chức năng
, trong đóA> 0.

Quy tắc 7 Chúng tôi xây dựng một đồ thị hàm số
, trong đó A> 0, theo quy tắc 5. Đồ thị kết quả được phản chiếu từ trục OX theo quy tắc 6.

Vẽ một chức năng
.

Nếu B> 0, thì với mỗi
hoành độ của hàm số đã cho là B lớn hơn hoành độ của f (x) đơn vị. Nếu B<0, то для каждого
hoành độ của hàm đầu tiên giảm đi đơn vị so với hoành độ f (x). Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc.

Quy tắc 8Để vẽ một hàm
theo đồ thị y = f (x), đồ thị này phải được di chuyển dọc theo trục OY theo B đơn vị lên nếu B> 0 hoặc bằng đơn vị xuống nếu B<0.

Các ví dụ. Dựng đồ thị của các hàm số: 1) và

2)
(hình 3,19 và 3,20).

0 x 0 π / 2 π 3π / 2 2π x

Cơm. 3.19 Hình. 3,20

Sơ đồ xây dựng đồ thị của một hàm số .

Trước hết, ta viết phương trình của hàm số dưới dạng
và biểu thị
. Khi đó đồ thị của hàm số được xây dựng theo sơ đồ sau.

Ta vẽ đồ thị của hàm chính f (x).

Theo quy tắc 1, chúng tôi vẽ đồ thị f (x-a).

Bằng cách nén hoặc kéo giãn đồ thị f (x-a) có xét đến dấu của k, theo quy tắc 2-4, ta xây dựng được đồ thị của hàm số f.

Xin lưu ý: đồ thị f (x-a) co lại hoặc dãn ra so với đường thẳng x = a (tại sao?)

Xin lưu ý: ở mỗi bước xây dựng, đồ thị trước đóng vai trò như đồ thị của hàm chính.

Ví dụ. Vẽ một chức năng
. Ở đây k = -2, vì vậy
. Cho kỳ quặc
, chúng ta có
.

(Hình 3.21).

π / 2

π / 2

1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π / 2 -π / 2

Cơm. 3.21 Hình. 3,22

π / 2

0 1 3/2 2 x -π / 2 0 π / 2 x

Cơm. 3.23 Hình. 3,24

Nhiệm vụ 2.

Dựng đồ thị của hàm số chứa dấu của môđun.

Giải pháp của vấn đề này cũng bao gồm một số giai đoạn. Khi làm điều này, hãy nhớ định nghĩa của mô-đun:

Vẽ một chức năng
.

Đối với những giá trị đó
, mà
, sẽ
. Do đó, đây là đồ thị của các hàm
và f (x) giống nhau. Cho cùng
, mà f (x)<0, будет
. Nhưng đồ thị -f (x) thu được từ đồ thị f (x) bằng cách phản chiếu trục OX. Chúng tôi nhận được quy tắc để xây dựng đồ thị của một hàm
.

Quy tắc 9 Ta xây dựng đồ thị của hàm số y = f (x). Sau đó, phần đó của đồ thị f (x), trong đó
, chúng tôi giữ nguyên và phần trong đó f (x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Nhận xét. Xin lưu ý rằng biểu đồ
luôn nằm trên hoặc tiếp xúc với trục OX.

Các ví dụ. Chức năng lô đất

(Hình 3.24, 3.25, 3.26).

Cơm. 3.25 Hình. 3,26

Vẽ một chức năng
.

Như
, sau đó
, nghĩa là, một hàm số chẵn đã cho, đồ thị của nó đối xứng qua trục OY.

Quy tắc 10 Ta xây dựng đồ thị của hàm số y = f (x) với
. Chúng tôi phản ánh đồ thị được xây dựng từ trục OY. Khi đó tổng của hai đường cong thu được sẽ cho đồ thị của hàm số
.

Các ví dụ. Chức năng lô đất

(Hình.3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π / 2 0 π / 2 x -2 0 2 x -1 1 x

Cơm. 3.27 Hình. 3.28 Hình. 3,29

Vẽ một chức năng
.

Chúng tôi xây dựng một đồ thị hàm số
theo quy tắc 10.

Chúng tôi xây dựng một đồ thị hàm số
theo quy tắc 9.

Các ví dụ. Chức năng lô đất
và
.

Chúng tôi phản ánh phần âm của đồ thị từ trục OX. Lịch trình
được hiển thị trong hình. 3,30.

2 0 2 x -1 0 1 x

Cơm. 3.30 Hình. 3,31

2. Chúng tôi vẽ đồ thị hàm
(Hình 3.29).

Chúng tôi phản ánh phần âm của đồ thị từ trục OX. Lịch trình
được hiển thị trong hình. 3,31.

Khi xây dựng đồ thị của một hàm có chứa các dấu của môđun, điều rất quan trọng là phải biết các khoảng đồng thời của dấu của hàm đó. Do đó, giải pháp của mỗi vấn đề phải bắt đầu bằng việc xác định những khoảng trống này.

Ví dụ. Vẽ một chức năng
.

Lãnh địa . Các biểu thức x + 1 và x-1 đổi dấu tại các điểm x = -1 và x = 1. Do đó, chúng tôi chia miền định nghĩa thành bốn khoảng:

Cho dấu hiệu x + 1 và x-1, ta có

;

Do đó, hàm có thể được viết mà không có dấu hiệu modulo như sau:

Chức năng
hyperbolas tương ứng, và các hàm y = 2 tương ứng với một đường thẳng. Việc xây dựng thêm có thể được thực hiện theo các điểm (Hình 3.32).

4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Nhận xét. Lưu ý rằng đối với x = 0, hàm không được xác định. Chức năng được cho là bị phá vỡ vào thời điểm này. Trên hình. 3.32 điều này được đánh dấu bằng các mũi tên.

Nhiệm vụ 3. Vẽ một hàm được cho bởi một số biểu thức phân tích.

Trong ví dụ trước, hàm
chúng tôi đã trình bày một số biểu thức phân tích. Có, ở giữa
nó thay đổi theo quy luật cường điệu
; trong thời gian tạm thời
, ngoại trừ x = 0, đây là một hàm tuyến tính; trong thời gian tạm thời
một lần nữa chúng tôi có một cường điệu
. Các chức năng tương tự sẽ thường xuyên xảy ra trong tương lai. Hãy xem xét một ví dụ đơn giản.

Đường tàu từ ga A đến ga B gồm ba đoạn. Trong phần đầu tiên, anh ấy tăng tốc độ, tức là trong khoảng thời gian
tốc độ của anh ấy
, ở đâu
. Trong phần thứ hai, anh ta chuyển động với tốc độ không đổi, tức là, v \ u003d c, nếu
. Cuối cùng, khi phanh, tốc độ của nó sẽ là
. Do đó, ở giữa
tốc độ chuyển động thay đổi theo quy luật

Chuyển giao song song.

CHUYỂN ĐỔI CÙNG TRỤC Y

f (x) => f (x) - b
Giả sử nó được yêu cầu để vẽ biểu đồ của hàm y \ u003d f (x) - b. Dễ thấy rằng các hoành độ của đồ thị này với mọi giá trị của x trên | b | nhỏ hơn đơn vị so với hoành độ tương ứng của đồ thị hàm số y = f (x) với b> 0 và | b | nhiều đơn vị hơn - tại b 0 hoặc lên tại b Để vẽ đồ thị của hàm số y + b = f (x), hãy vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) và di chuyển trục x tới | b | đơn vị lên cho b> 0 hoặc bằng | b | đơn vị xuống ở b

CHUYỂN ĐỔI CÙNG TRỤC X

f (x) => f (x + a)
Để nó được yêu cầu để vẽ đồ thị của hàm y = f (x + a). Xét một hàm số y = f (x), tại một thời điểm nào đó x = x1 nhận giá trị y1 = f (x1). Rõ ràng, hàm y = f (x + a) sẽ nhận cùng giá trị tại điểm x2, tọa độ của nó được xác định từ đẳng thức x2 + a = x1, tức là x2 = x1 - a, và đẳng thức đang xét có giá trị đối với tổng của tất cả các giá trị từ miền của hàm. Do đó, đồ thị hàm số y = f (x + a) có thể nhận được bằng phép dời hình song song đồ thị hàm số y = f (x) dọc theo trục x sang trái một góc | a | những cái cho a> 0 hoặc bên phải của | a | đơn vị cho a Để vẽ đồ thị hàm số y = f (x + a), hãy vẽ đồ thị hàm số y = f (x) và di chuyển trục y đến | a | đơn vị ở bên phải đối với a> 0 hoặc | a | đơn vị bên trái cho một

Ví dụ:

1.y = f (x + a)

2.y = f (x) + b

Sự phản xạ.

VẼ HÌNH CHỨC NĂNG CỦA CHẾ ĐỘ XEM Y = F (-X)

f (x) => f (-x)
Rõ ràng, các hàm y = f (-x) và y = f (x) nhận các giá trị bằng nhau tại các điểm có hoành độ bằng giá trị tuyệt đối, nhưng ngược lại trong dấu hiệu. Nói cách khác, hoành độ của đồ thị hàm số y = f (-x) trong miền giá trị dương (âm) của x sẽ bằng hoành độ của đồ thị hàm số y = f (x) với các giá trị âm (dương) x tương ứng về giá trị tuyệt đối. Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc sau đây.
Để vẽ biểu đồ của hàm y = f (-x), bạn nên vẽ biểu đồ của hàm y = f (x) và phản ánh nó dọc theo trục y. Đồ thị kết quả là đồ thị của hàm số y = f (-x)

LƯU ĐỒ CHỨC NĂNG CỦA CHẾ ĐỘ XEM Y = - F (X)

f (x) => - f (x)
Các hoành độ của đồ thị hàm số y = - f (x) với mọi giá trị của đối số đều bằng nhau về giá trị tuyệt đối, nhưng ngược dấu với các hoành độ của đồ thị hàm số y = f (x) đối với cùng các giá trị của đối số. Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc sau đây.
Để vẽ đồ thị của hàm y = - f (x), bạn nên vẽ đồ thị của hàm y = f (x) và phản ánh nó về trục x.

Ví dụ:

1.y = -f (x)

2.y = f (-x)

3.y = -f (-x)

Sự biến dạng.

ĐỊNH NGHĨA CỦA HÌNH ẢNH CÙNG TRỤC Y

f (x) => kf (x)
Xét một hàm có dạng y = k f (x), trong đó k> 0. Dễ thấy rằng đối với giá trị ngang nhau của đối số, các hoành độ của đồ thị của hàm số này sẽ lớn hơn k lần so với các hoành độ của đồ thị của hàm số y \ u003d f (x) với k> 1 hoặc nhỏ hơn 1 / k lần so với các hoành độ của đồ thị của hàm số y = f (x) với k Để vẽ đồ thị của hàm số y = k f (x), bạn nên vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) và tăng hoành độ của nó lên k lần với k> 1 (kéo dài đồ thị trục tọa độ) hoặc giảm tọa độ của nó đi 1 / k lần đối với k
k> 1- kéo dài từ trục Ox
0 - nén theo trục OX

ĐỊNH MỨC HÌNH ẢNH CŨNG TRỤC X

f (x) => f (kx)
Giả sử yêu cầu vẽ đồ thị của hàm y = f (kx), trong đó k> 0. Hãy xem xét một hàm y = f (x), trong đó điểm tùy ý x = x1 nhận giá trị y1 = f (x1). Rõ ràng, hàm số y = f (kx) nhận cùng một giá trị tại điểm x = x2, tọa độ của nó được xác định bởi đẳng thức x1 = kx2, và đẳng thức này có giá trị đối với tổng tất cả các giá trị của x từ miền của hàm. Do đó, đồ thị của hàm số y = f (kx) bị nén (với k 1) dọc theo trục abscissa so với đồ thị của hàm số y = f (x). Do đó, chúng tôi nhận được quy tắc.
Để vẽ đồ thị của hàm số y = f (kx), hãy vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) và giảm abscissa của nó đi k lần với k> 1 (thu nhỏ đồ thị dọc theo abscissa) hoặc tăng abscissa của nó lên 1 / k lần với k
k> 1- nén theo trục Oy
0 - kéo dài từ trục OY

Công việc được thực hiện bởi Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov dưới sự giám sát của Tkach T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
© 2014