Một trong những ngày này, cần phải viết một chương trình tính toán xấp xỉ căn bậc hai của một hàm được cho trong bảng, theo cơ sở lũy thừa - bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất. Tôi sẽ đặt trước ngay rằng tôi không xét đến cơ sở lượng giác và tôi sẽ không lấy nó trong bài viết này. Ở cuối bài viết, bạn có thể tìm thấy mã nguồn của chương trình C #.

Học thuyết

Cho các giá trị của hàm gần đúng f (x) cho vào N + 1điểm giao f (x 0), ..., f (x N). Hàm xấp xỉ sẽ được chọn từ một số họ tham số F (x, c), ở đâu c = (c 0, ..., c n) T- vectơ tham số, N> n.

Sự khác biệt cơ bản giữa bài toán xấp xỉ căn bậc hai và bài toán nội suy là số lượng nút vượt quá số lượng tham số. TẠI trường hợp này hầu như luôn luôn không có vectơ tham số nào như vậy mà các giá trị của hàm gần đúng sẽ trùng với các giá trị của hàm gần đúng tại tất cả các nút.

Trong trường hợp này, bài toán xấp xỉ được đặt ra là bài toán tìm một vectơ tham số như vậy c = (c 0, ..., c n) T, tại đó các giá trị của hàm gần đúng sẽ lệch ít nhất có thể so với các giá trị của hàm gần đúng F (x, c) trên tất cả các nút.

Về mặt đồ họa, vấn đề có thể được biểu diễn như sau

Hãy để chúng tôi viết tiêu chí cho phép xấp xỉ căn bậc hai cho phương pháp bình phương nhỏ nhất:
J (c) = √ (Σ i = 0 N 2) → tối thiểu

Biểu thức gốc là hàm bậc haiđối với các hệ số của đa thức gần đúng. Nó liên tục và có thể phân biệt trong c 0, ..., c n. Rõ ràng, cực tiểu của nó là ở điểm mà tất cả các đạo hàm riêng đều bằng không. Công bằng các đạo hàm riêng bằng 0, chúng ta thu được một hệ thống tuyến tính phương trình đại sốđối với các hệ số chưa biết (mong muốn) của đa thức xấp xỉ tốt nhất.

Phương pháp bình phương nhỏ nhất có thể được áp dụng cho các hàm tham số, nhưng thường trong thực tế kỹ thuật, đa thức trong một số cơ sở độc lập tuyến tính được sử dụng như một hàm xấp xỉ ( φ k(x), k = 0, ..., n}:
F (x, c)= Σ k = 0 n [ c k φ k(x)] .

Trong trường hợp này, hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định các hệ số sẽ có khá loại nhất định:

…

Để hệ này có nghiệm duy nhất, cần và đủ rằng định thức của ma trận A (định thức Gram) khác 0. Để hệ thống có một giải pháp duy nhất, điều cần thiết và đủ là hệ thống các chức năng cơ bản φ k(x), k = 0, ..., nđộc lập tuyến tính trên tập hợp các nút xấp xỉ.

Bài viết này xem xét phép xấp xỉ căn bậc hai của đa thức trong cơ sở lũy thừa ( φ k(x) = x k, k = 0, ..., n}.

Ví dụ

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang một ví dụ. Bắt buộc phải rút công thức thực nghiệm cho sự phụ thuộc dạng bảng nhất định f (x), sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất.

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Hãy để chúng tôi coi như một hàm gần đúng
y = F (x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2, tức là, n = 2, N = 4

Hệ phương trình xác định các hệ số:
a 00 c 0 + a 01 c 1 +… + a 0n c n = b 0
a 10 c 0 + a 11 c 1 +… + a 1n c n = b 1
…
a n0 c 0 + a n1 c 1 +… + a nn c n = b n

a kj = Σ i = 0 N [φ k (x i) φ j (x i)], b j = Σ i = 0 N

Các hệ số được tính theo công thức:
a 00 = N + 1 = 5, a 01 = Σ i = 0 N x i = 11,25, a 02 = Σ i = 0 N x i 2 = 30,94
a 10 = Σ i = 0 N x i = 11,25, a 11 = Σ i = 0 N x i 2 = 30,94, a 12 = Σ i = 0 N x i 3 = 94,92
a 20 = Σ i = 0 N x i 2 = 30,94, a 21 = Σ i = 0 N x i 3 = 94,92, a 22 = Σ i = 0 N x i 4 = 303,76
b 0 = Σ i = 0 N y i = 11,25, b 1 = Σ i = 0 N x i y i = 29, b 2 = Σ i = 0 N x i 2 y i = 90,21

Ta giải hệ phương trình và nhận được giá trị của các hệ số sau:
c 0 \ u003d 4.822, c 1 \ u003d -3.882, c 2 \ u003d 0.999

Như vậy
y = 4,8 - 3,9x + x2

Đồ thị của hàm kết quả

Triển khai trong C #

Và bây giờ chúng ta hãy chuyển sang cách viết mã để xây dựng một ma trận như vậy. Và ở đây, hóa ra, mọi thứ khá đơn giản:
private double [,] MakeSystem (double [,] xyTable, int base) (double [,] matrix = new double; for (int i = 0; i< basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable, i) * Math.Pow(xyTable, j); sumB += xyTable * Math.Pow(xyTable, i); } matrix = sumA; matrix = sumB; } } return matrix; }
Ở đầu vào, hàm nhận được một bảng các giá trị hàm - một ma trận, cột đầu tiên chứa các giá trị x, cột thứ hai tương ứng là y, cũng như giá trị của cơ số lũy thừa.

Đầu tiên, bộ nhớ được cấp phát cho ma trận, trong đó các hệ số để giải hệ thống sẽ được ghi Các phương trình tuyến tính. Sau đó, trên thực tế, chúng tôi tạo một ma trận - trong sumA, các giá trị của các hệ số aij được viết, dưới dạng sumB - bi, tất cả theo công thức được chỉ ra ở trên trong phần lý thuyết.

Để giải hệ phương trình đại số tuyến tính đã biên dịch trong chương trình của tôi, phương pháp Gauss được sử dụng. Có thể tải xuống tệp lưu trữ với dự án

Thường thì các giá trị của hàm nội suy u, u2 , ..., yn được xác định từ thực nghiệm với một số sai số, do đó không hợp lý khi sử dụng xấp xỉ chính xác tại các nút nội suy. Trong trường hợp này, sẽ tự nhiên hơn nếu tính gần đúng hàm không phải theo điểm, mà là trung bình, tức là, theo một trong các tiêu chuẩn L p.

Không gian 1 p - tập hợp các chức năng d (x),được xác định trên phân đoạn [a, b] và có thể tích hợp mô-đun với độ p, nếu quy chuẩn được xác định

Sự hội tụ trong một chuẩn mực như vậy được gọi là sự hội tụ trong trung bình. Không gian 1,2 được gọi là không gian Hilbert, và sự hội tụ trong đó là rms.

Cho hàm Ax) và tập các hàm φ (x) từ một số không gian chuẩn tuyến tính được cho trước. Trong bối cảnh của bài toán nội suy, xấp xỉ và xấp xỉ, hai bài toán sau có thể được xây dựng.

Nhiệm vụ đầu tiên là một phép gần đúng với độ chính xác nhất định, tức là theo một e tìm a φ (x) sao cho bất phương trình | [Ax) - φ (x) || G ..

Nhiệm vụ thứ hai là một cuộc tìm kiếm ước lượng tốt nhất tức là, tìm kiếm một hàm φ * (x) thỏa mãn quan hệ:

Xác định mà không cần bằng chứng đủ điều kiện sự tồn tại của giá trị gần đúng nhất. Để làm điều này, trong không gian tuyến tính của các hàm, chúng tôi chọn một tập hợp được tham số hóa bởi biểu thức

trong đó tập các hàm φ [(x), ..., φn (x) sẽ được giả sử là độc lập tuyến tính.

Nó có thể được chỉ ra rằng trong bất kỳ không gian định mức nào cho xấp xỉ tuyến tính(2.16) tồn tại xấp xỉ tốt nhất, mặc dù nó là duy nhất trong mọi không gian tuyến tính.

Chúng ta hãy xem xét không gian Hilbert LzCp) của các hàm tích phân bình phương thực có trọng số p (x)> 0 trên [, trong đó tích vô hướng ( g, h) được xác định bởi

công thức:

Thay kết hợp tuyến tính (2.16) thành điều kiện gần đúng nhất, chúng tôi thấy

Bằng không các đạo hàm đối với các hệ số (D, k= 1, ..., П, ta thu được hệ phương trình tuyến tính

Định thức của hệ phương trình (2.17) được gọi là định thức Gram. Định thức Gram là khác không, vì người ta giả thiết rằng hệ các hàm φ [(x), ..., φn (x) là độc lập tuyến tính.

Do đó, xấp xỉ tốt nhất tồn tại và là duy nhất. Để có được nó, cần phải giải hệ phương trình (2.17). Nếu hệ thống các hàm φ1 (x), ..., φn (x) là trực giao, tức là, (φ /, φ,) = sy, trong đó SCH,ij = 1, ..., P, thì hệ phương trình có thể giải ở dạng:

Các hệ số tìm được theo (2.18) Q, ..., thứ pđược gọi là các hệ số của chuỗi Fourier tổng quát.

Nếu một tập hợp các hàm φ t (X), ..., φ "(x), ... tạo thành một hệ hoàn chỉnh, thì nhờ đẳng thức Parseval cho Π - »với định mức sai số giảm vô hạn. Điều này có nghĩa là xấp xỉ tốt nhất hội tụ rms thành Dx) với bất kỳ độ chính xác nào cho trước.

Chúng tôi lưu ý rằng việc tìm kiếm các hệ số của xấp xỉ tốt nhất bằng cách giải hệ phương trình (2.17) trên thực tế là không thể thực hiện được, vì khi bậc của ma trận Gram tăng lên, định thức của nó nhanh chóng có xu hướng bằng không, và ma trận trở nên không có điều kiện. Việc giải một hệ phương trình tuyến tính với một ma trận như vậy sẽ làm mất độ chính xác đáng kể. Hãy cùng kiểm tra nào.

Giả sử như một hệ thống các hàm φ „i = 1, ..., П, độ được chọn, tức là φ * = X 1", 1 = 1, ..., P, sau đó, giả sử phân đoạn là một phân đoạn gần đúng, chúng ta tìm thấy ma trận Gram

Ma trận Gram có dạng (2.19) còn được gọi là ma trận Hilbert. Đây là ví dụ cổ điển cái gọi là ma trận không có điều kiện.

Sử dụng MATLAB, chúng tôi tính định thức của ma trận Hilbert ở dạng (2.19) cho một số giá trị đầu tiên P. Liệt kê 2.5 hiển thị mã cho chương trình tương ứng.

Liệt kê 23

% Tính toán xác định của ma trận Hilbert% xóa không gian làm việc quet sạch tât cả;

%chọn gia trị lơn nhât bậc của ma trận Hilbert ptah = 6;

% xây dựng một vòng lặp để tạo ra các ma trận% Hilbert và tính toán các yếu tố quyết định của chúng

for n = 1: nmax d (n) = det (hi I b (n)); chấm dứt

% hiển thị giá trị của các yếu tố quyết định% của ma trận Hilbert

f o g ta t kết thúc ngắn

Sau khi giải mã trong Liệt kê 2.5, các giá trị định thức ma trận Hilbert cho sáu ma trận đầu tiên sẽ xuất hiện trong cửa sổ lệnh MATLAB. Bảng dưới đây cho thấy các giá trị số tương ứng của các thứ tự ma trận (n) và các định thức của chúng (d). Bảng này cho thấy rõ định thức của ma trận Hilbert có xu hướng bằng 0 nhanh như thế nào khi thứ tự tăng lên và bắt đầu từ thứ tự 5 và 6, trở nên nhỏ đến mức không thể chấp nhận được.

Bảng giá trị của định thức của ma trận Hilbert

Tính trực giao bằng số của hệ thống các hàm φ, i = 1, ..., П cũng dẫn đến mất độ chính xác đáng chú ý, do đó, cần tính đến con số lớn trong điều kiện mở rộng (2.16), cần phải thực hiện phân tích trực giao hóa một cách chính xác, tức là, hoặc sử dụng một hệ thống các hàm trực giao đã được tạo sẵn.

Nếu trong quá trình nội suy, độ thường được sử dụng như một hệ thống các hàm cơ sở, thì trong quá trình xấp xỉ, trung bình, các đa thức trực giao với trọng số cho trước được chọn làm hàm cơ sở. Phổ biến nhất trong số này là các đa thức Jacobi, một trường hợp đặc biệt là các đa thức Legendre và Chebyshev. Đa thức Lagsrr và Hermite cũng được sử dụng. Có thể tìm thêm chi tiết về các đa thức này, ví dụ, trong phần phụ lục Đa thức trực giao sách.

3. Tính gần đúng RMS của hàm

3.1 Tuyên bố của vấn đề

Xây dựng một lược đồ thuật toán và viết một chương trình trong Turbo Pascal 7.0 để thực hiện phép xấp xỉ căn bậc hai của một hàm đã cho trong các nút.

3.2 Công thức toán học của vấn đề

Cho có một tập hợp các hàm thuộc không gian tuyến tính của các hàm. Theo mức độ gần trung bình của các hàm nội suy và nội suy, chúng tôi có nghĩa là kết quả của ước tính tích phân

, (3.1)

đâu là hàm trọng lượng.

Phép gần đúng này được gọi là bình phương trung bình căn.

3.3 Xem xét các phương pháp số hiện có để giải bài toán

Vấn đề xấp xỉ căn bậc hai nảy sinh trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu ứng dụng, ví dụ, khi xử lý thống kê dữ liệu thực nghiệm sử dụng phân tích hồi quy, khi ước lượng các tham số mô hình, trong các nhiệm vụ lọc, v.v.

Khi mức độ không chắc chắn trong việc thiết lập hàm gần đúng f (x i), i = 1..m, đủ lớn, đặc trưng cho việc xử lý dữ liệu thực nghiệm, thì việc yêu cầu đáp ứng các điều kiện nội suy là không hợp lý; hơn nữa, số điểm xác định hàm f (x i) thường khá lớn. Tất cả điều này làm cho việc sử dụng nội suy không bị cản trở do điều kiện kém của bài toán chiều cao và các vấn đề hội tụ của quá trình nội suy.

Một trong những hàm xấp xỉ đơn giản nhất và do đó được sử dụng rộng rãi là đa thức đại số

Phương pháp xấp xỉ căn bậc hai cung cấp cấu trúc của đa thức Pn (x) dựa trên việc thu nhỏ giá trị

Phương pháp xấp xỉ được coi là giảm thiểu độ lệch gốc-trung bình-bình phương của đa thức gần đúng so với hàm được tính gần đúng, nhưng không đảm bảo chống lại các lỗi cục bộ đáng kể. Để ngăn ngừa khả năng này, các đa thức có giá trị xấp xỉ đồng nhất tốt nhất được sử dụng.

trong không gian của các tham số a 0, a 1, ..., a n. Hiện hữu phương pháp tiếp cận khác nhauđể giải bài toán về cực tiểu của hàm D (a). Điều đơn giản nhất của chúng dẫn đến nhu cầu giải quyết hệ thống bình thường phương trình đại số tuyến tính

Tuy nhiên, ngay cả với n> 5, ma trận của một hệ thống như vậy hóa ra không có điều kiện đến mức các giá trị của j thu được từ (3.4) trở nên ít được sử dụng để tính P n (x). Do đó, nếu cần thiết phải xây dựng các đa thức có giá trị xấp xỉ bình phương trung bình tốt nhất, thì độ cao các thuật toán khác được sử dụng, ví dụ, phương pháp phân tách giá trị đơn lẻ.

3.4 Phương pháp số giải quyết vấn đề

Hai vấn đề có thể được xem xét:

1 - chọn một hàm để bất đẳng thức được thỏa mãn

2 - tìm giá trị gần đúng nhất, tức là một chức năng mà mối quan hệ

. (3.6)

Chúng tôi mở rộng hàm dưới dạng một hệ thống các hàm độc lập tuyến tính:

. (3.7)

Trong phần tiếp theo, để rút gọn ký hiệu, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa sản phẩm chấm trong không gian chức năng:

.

Thay (3.7) vào điều kiện (3.6), chúng ta thu được

Phân biệt biểu thức này với và cân bằng các đạo hàm bằng 0, chúng ta thu được

. (3.8)

Yếu tố quyết định của hệ thống này là yếu tố quyết định Gram của các chức năng. Nhờ họ độc lập tuyến tínhđịnh thức này không bằng không. Do đó, từ hệ thống (3.8), người ta có thể tìm thấy các hệ số xác định hàm theo (3.6) và giảm thiểu tích phân của sai số . Do đó, xấp xỉ căn bậc hai tốt nhất tồn tại và nó là duy nhất.

Khi sử dụng một hệ thống hàm chính quy, hệ thống (3.8) đơn giản hóa:

,

những thứ kia. là các hệ số Fourier, và xấp xỉ tốt nhất là chuỗi Fourier kết thúc tại một số hạng.

Người ta chứng minh rằng trong bất kỳ không gian định chuẩn tuyến tính nào dưới dạng xấp xỉ tuyến tính dạng (3.4) tồn tại xấp xỉ tốt nhất, mặc dù nó có thể không phải là duy nhất.

Trong trường hợp các hàm không trực giao, tại, định thức Gram giảm, tiến gần đến không. Sau đó, hệ thống trở nên không ổn định và giải pháp của nó đưa ra một lỗi lớn. Trong tình huống này, thường không có nhiều hơn năm hoặc sáu số hạng được lấy trong tổng (3.7).

Các đa thức được sử dụng phổ biến nhất là Legendre, Chebyshev, Laguerre, Hermite, trực giao với trọng số cho trước.

Coi như trương hợp đặc biệt khi cần tìm giá trị gần đúng nhất của một hàm cho trong bảng. Đối với các hàm thực được xác định trên một tập hợp hữu hạn các điểm, tích vô hướng được xác định bởi công thức

, (3.9)

đâu là số lượng các nút được chỉ định.

Điều kiện cho phép xấp xỉ căn bậc hai tốt nhất được viết như sau:

. (3.10)

Giả định , trong đó, và thay đa thức này vào (3.10), ta được hệ (3.8), trong đó tích vô hướng được tính theo (3.9). Quy trình xấp xỉ được mô tả được gọi là phương pháp bình phương nhỏ nhất.

Phiên bản phổ biến nhất của phương pháp bình phương nhỏ nhất tương ứng với trường hợp loại điện các chức năng, tức là , và .

Khi đó hệ phương trình (3.8) có dạng

, , (3.11)

Hình thức thêm cấp độ cao trừu tượng và khái quát hơn những gì mà cách dạy học truyền thống đã hướng tới. " Vì thế, hình thức truyền thống học không nâng cao tư duy toán học học sinh trung học cơ sở lên một cấp độ cao hơn. Giáo dục phi truyền thống giải quyết vấn đề này như thế nào? Giải pháp phát triển những tính chất nào của tư duy toán học nhiệm vụ phi tiêu chuẩn? Trong-...

mạng được xây dựng trên cơ sở các cấu trúc liên kết khác nhau. Phần mềm hệ thống ứng dụng được thiết kế cho Hoạt động chuyên môn quản lý, bao gồm: · phần mềm hệ thống; các gói cơ bản của chương trình áp dụng; · Các phương tiện hỗ trợ mạng của các máy tính trong mạng cục bộ và mạng toàn cầu; các hệ thống lập trình ứng dụng; phần mềm kiểm tra. ...

Để làm mịn chức năng rời rạc Altman, và do đó đưa ý tưởng về tính liên tục vào lý thuyết, phép xấp xỉ tích phân bình phương căn bậc hai của một đa thức có bậc khác nhau đã được sử dụng.

Người ta đã biết rằng một chuỗi các đa thức nội suy trên các nút cách đều nhau không nhất thiết phải hội tụ về một hàm, ngay cả khi hàm có khả năng phân biệt vô hạn. Đối với hàm xấp xỉ, với sự trợ giúp của sự sắp xếp các nút phù hợp, có thể giảm bậc của đa thức. . Cấu trúc của các hàm Altman sao cho thuận tiện hơn khi sử dụng xấp xỉ hàm không phải bằng phương pháp nội suy mà bằng cách xây dựng phép xấp xỉ căn bậc hai tốt nhất trong một không gian tuyến tính chuẩn hóa. Xem xét các khái niệm và thông tin cơ bản trong việc xây dựng phép gần đúng tốt nhất. Các bài toán xấp xỉ và tối ưu hóa được đặt ra trong không gian định mức tuyến tính.

Không gian định mức theo hệ mét và tuyến tính

Đến nhiều nhất khái niệm rộng toán học đề cập đến "tập hợp" và "ánh xạ". Khái niệm "tập hợp", "tập hợp", "tập hợp", "họ", "hệ thống", "lớp" trong lý thuyết tập hợp không chặt chẽ được coi là từ đồng nghĩa.

Thuật ngữ "toán tử" đồng nhất với thuật ngữ "ánh xạ". Các thuật ngữ "hoạt động", "chức năng", "chức năng", "độ đo" là trường hợp đặc biệt của khái niệm "ánh xạ".

Các thuật ngữ "cấu trúc", "không gian" trong cấu trúc tiên đề lý thuyết toán học cũng có được một tầm quan trọng cơ bản. Cấu trúc toán học bao gồm cấu trúc lý thuyết tập hợp (tập hợp có thứ tự và một phần có thứ tự); cấu trúc đại số trừu tượng (bán nhóm, nhóm, vòng, vòng chia, trường, đại số, mạng tinh thể); cấu trúc vi sai(bên ngoài hình thức khác biệt, không gian sợi),,,,,.

Cấu trúc được hiểu là một tập hữu hạn bao gồm các tập của sóng mang (tập chính), trường số (tập phụ) và một ánh xạ được xác định trên các phần tử của sóng mang và các số của trường. Nếu nhà cung cấp dịch vụ được coi là một tập hợp số phức, thì nó đóng vai trò của cả bộ chính và bộ phụ. Thuật ngữ "cấu trúc" đồng nhất với khái niệm "không gian".

Để xác định một không gian, trước hết cần xác định một tập hợp sóng mang với các phần tử (điểm) của nó, được ký hiệu bằng các chữ cái Latinh và Hy Lạp.

Tập hợp các phần tử thực (hoặc phức) có thể hoạt động như một sóng mang: số; vectơ ,; Ma trận ,; Trình tự ,; Chức năng

Các tập hợp cũng có thể hoạt động như các phần tử sóng mang: trục thực, mặt phẳng, không gian ba chiều (và nhiều chiều), hoán vị, chuyển động; bộ trừu tượng.

Sự định nghĩa. Không gian số liệu là một cấu trúc tạo thành một bộ ba, trong đó ánh xạ là không âm chức năng thực tế trong số hai đối số với x và y bất kỳ từ M và thỏa mãn ba tiên đề.

• 1 - không tiêu cực; , tại.
• 2- - đối xứng;
• 3- - tiên đề về tính phản xạ.

đâu là khoảng cách giữa các phần tử.

Trong không gian số liệu, một số liệu được chỉ định và khái niệm về khoảng cách gần nhau của hai phần tử từ tập hợp hỗ trợ được hình thành.

Sự định nghĩa. Một không gian tuyến tính (vectơ) thực là một cấu trúc trong đó ánh xạ là phép toán cộng thêm các phần tử thuộc về nó và ánh xạ là phép nhân một số với một phần tử từ đó.

Phép toán có nghĩa là đối với hai phần tử bất kỳ, phần tử thứ ba được xác định duy nhất, được gọi là tổng của chúng và được ký hiệu bằng, và các tiên đề sau là đúng.

tính chất giao hoán.

Bất động sản kết hợp.

Có một phần tử đặc biệt trong B, được ký hiệu là nó giữ cho bất kỳ.

cho bất kỳ tồn tại, chẳng hạn như vậy.

Phần tử được gọi là đối nghịch với và được ký hiệu là.

Phép toán có nghĩa là đối với bất kỳ phần tử nào và bất kỳ số nào, một phần tử được xác định, ký hiệu bằng và các tiên đề được thỏa mãn:

Một phần tử (điểm) của không gian tuyến tính còn được gọi là vectơ. Tiên đề 1 - 4 xác định một nhóm (cộng), được gọi là môđun và đại diện cho một cấu trúc.

Nếu một phép toán trong một cấu trúc không tuân theo bất kỳ tiên đề nào, thì cấu trúc như vậy được gọi là một dạng nhóm. Cấu trúc này cực kỳ kém; nó không chứa bất kỳ tiên đề kết hợp nào, khi đó cấu trúc được gọi là đơn nguyên (semigroup).

Trong cấu trúc, với sự trợ giúp của ánh xạ và tiên đề 1-8, tính chất của tuyến tính được thiết lập.

Vì vậy, không gian tuyến tính là một mô-đun nhóm, trong cấu trúc có thêm một phép toán nữa - phép nhân các phần tử hỗ trợ với một số có 4 tiên đề. Nếu thay vì một phép toán, cùng với một phép toán nhóm nữa của phép nhân các phần tử với 4 tiên đề, và xác định tiên đề về phân phối, thì một cấu trúc được gọi là trường sẽ xuất hiện.

Sự định nghĩa. Một không gian chuẩn tắc tuyến tính là một cấu trúc trong đó ánh xạ thỏa mãn các tiên đề sau:

• 1. Và sau đó và chỉ sau đó, khi.
• 2. , .
• 3. , .

Và như vậy chỉ trong 11 tiên đề.

Ví dụ, nếu cấu trúc trường số thực, ở đâu - số thực, thêm một mô-đun có tất cả ba thuộc tính chuẩn, sau đó trường số thực trở thành một không gian chuẩn

Có hai cách phổ biến để giới thiệu chuẩn: bằng cách chỉ định rõ ràng dạng khoảng của hàm lồi đồng nhất, hoặc bằng cách xác định tích vô hướng,.

Hãy để, sau đó dạng của hàm có thể được đưa ra vô số bằng cách thay đổi giá trị:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Cách chấp nhận phép gán phổ biến thứ hai là một ánh xạ khác được đưa vào cấu trúc của không gian (một hàm của hai đối số, thường được ký hiệu và được gọi là tích vô hướng).

Sự định nghĩa. Không gian Euclide là một cấu trúc trong đó tích vô hướng chứa chuẩn và thỏa mãn các tiên đề:

• 4., và nếu và chỉ khi

Trong không gian Euclide, chuẩn được tạo ra bởi công thức

Từ tính chất 1 - 4 của tích vô hướng mà tất cả các tiên đề của chuẩn tắc đều được thỏa mãn. Nếu tích vô hướng có dạng thì định mức sẽ được tính theo công thức

Định mức không gian không thể được chỉ định bằng cách sử dụng tích vô hướng ,.

Trong không gian có tích vô hướng, những phẩm chất đó dường như không có trong không gian định chuẩn tuyến tính (tính trực giao của các phần tử, đẳng thức hình bình hành, định lý Pitago, đồng dạng Apollonius, bất đẳng thức Ptolemy. Sự ra đời của tích vô hướng mang lại nhiều cách giải pháp hiệu quả các bài toán xấp xỉ.

Sự định nghĩa. Một dãy vô hạn các phần tử trong không gian định chuẩn tuyến tính được cho là hội tụ chuẩn (chỉ đơn giản là hội tụ hoặc có giới hạn trong) nếu tồn tại một phần tử như vậy mà đối với bất kỳ thì có một số phụ thuộc vào như vậy đối với

Sự định nghĩa. Một dãy các phần tử trong được gọi là cơ bản nếu đối với bất kỳ có một số phụ thuộc vào bất kỳ và thỏa mãn (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, p. 48)

Sự định nghĩa. Không gian Banach là một cấu trúc trong đó bất kỳ chuỗi cơ bản nào đều hội tụ theo chuẩn.

Sự định nghĩa. Không gian Hilbert là một cấu trúc trong đó bất kỳ dãy cơ bản nào đều hội tụ trong chuẩn được tạo ra bởi tích vô hướng.

Xấp xỉ bậc hai

Nếu biểu đồ phân tán trông giống như một parabol, thì chúng tôi đang tìm kiếm một công thức thực nghiệm ở dạng tam thức vuông. Giả sử đường cong tiếp cận giống như một parabol, đối xứng qua trục y. Khi đó, parabol sẽ có dạng đơn giản hơn

(4.4)

Hãy lấy một hệ tọa độ bán bậc hai. Đây là một hệ thống tọa độ như vậy, trong đó tỷ lệ là bậc hai dọc theo abscissa, tức là các giá trị phân chia được vẽ theo biểu thức, ở đây m- chia tỷ lệ theo một số đơn vị độ dài, ví dụ, tính bằng cm.

Tỷ lệ tuyến tính được vẽ dọc theo trục y phù hợp với biểu thức

Chúng tôi đặt các điểm thực nghiệm trên hệ tọa độ này. Nếu các điểm của đồ thị này nằm gần đúng trên một đường thẳng, thì điều này khẳng định giả thiết của chúng ta rằng sự phụ thuộc y từ xđược thể hiện tốt bởi một hàm có dạng (4.4). Để tìm các hệ số một và b bây giờ bạn có thể áp dụng một trong các phương pháp đã thảo luận ở trên: phương pháp chỉ kéo dài, phương pháp điểm đã chọn hoặc phương pháp trung bình.

Phương pháp chủ đề chặt chẽáp dụng theo cách tương tự như đối với một hàm tuyến tính.

Phương pháp điểm đã chọn chúng ta có thể áp dụng như thế này. Trên đồ thị trực tuyến, lấy hai điểm (ở xa nhau). Chúng tôi biểu thị tọa độ của những điểm này và ( x, y). Sau đó, chúng ta có thể viết

Từ hệ hai phương trình rút gọn, ta tìm được một và b và thay chúng vào công thức (4.4) và thu được dạng cuối cùng của công thức thực nghiệm.

Có thể xây dựng hoặc không đồ thị rectilinear và lấy các con số, ( x, y) trực tiếp từ bảng. Tuy nhiên, công thức thu được với sự lựa chọn điểm này sẽ kém chính xác hơn.

Quá trình chuyển một đồ thị cong thành một đường thẳng được gọi là quá trình làm phẳng.

Phương pháp trung bình. Nó được áp dụng theo cách tương tự như trong trường hợp phụ thuộc tuyến tính. Ta chia điểm thí nghiệm thành hai nhóm với số điểm trong mỗi nhóm bằng nhau (hoặc gần như nhau). Bình đẳng (4.4) có thể được viết lại thành

(4.5)

Chúng tôi tìm tổng các phần dư cho các điểm của nhóm đầu tiên và bằng không. Chúng tôi làm tương tự cho các điểm của nhóm thứ hai. Chúng tôi nhận được hai phương trình với ẩn số một và b. Giải hệ phương trình, ta thấy một và b.

Lưu ý khi áp dụng phương pháp này không yêu cầu dựng đoạn thẳng gần đúng. châm điểm trong một hệ tọa độ bán bậc chỉ cần thiết để kiểm tra xem một hàm có dạng (4.4) có phù hợp với một công thức thực nghiệm hay không.

Ví dụ. Khi nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ đến quá trình hoạt động của máy đo thời gian, người ta thu được các kết quả sau:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

Trong trường hợp này, chúng ta không quan tâm đến bản thân nhiệt độ, mà quan tâm đến độ lệch của nó từ. Do đó, chúng tôi coi đó là một đối số, nơi t- nhiệt độ tính bằng độ C của thang đo thông thường.

Sau khi vẽ các điểm tương ứng trên hệ tọa độ Descartes, chúng ta nhận thấy rằng một parabol có trục song song với trục y có thể được coi là một đường cong gần đúng (Hình 4). Hãy lấy một hệ tọa độ bán bậc hai và vẽ đồ thị các điểm thực nghiệm trên đó. Chúng ta thấy rằng các điểm này vừa đủ trên một đường thẳng. Vì vậy, công thức thực nghiệm

có thể được tìm kiếm trong biểu mẫu (4.4).

Hãy xác định các hệ số một và b theo phương pháp trung bình. Để làm điều này, chúng tôi chia các điểm thực nghiệm thành hai nhóm: trong nhóm thứ nhất - ba điểm đầu tiên, nhóm thứ hai - bốn điểm còn lại. Sử dụng đẳng thức (4.5), chúng ta tìm tổng các phần dư cho mỗi nhóm và cân bằng mỗi tổng bằng không.