Các dạng bậc hai xác định dương

Sự định nghĩa. Dạng bậc hai từ N không biết được gọi là tích cực nhất định, nếu hạng của nó bằng chỉ số quán tính dương và bằng số ẩn số.

Định lý. Dạng bậc hai là xác định dương nếu và chỉ khi nó nhận các giá trị dương trên bất kỳ tập giá trị biến nào khác không.

Bằng chứng. Cho dạng bậc hai là một phép biến đổi tuyến tính không suy biến của ẩn số

trở lại bình thường

.

Đối với bất kỳ bộ giá trị biến nào khác 0, ít nhất một trong các số khác 0, tức là . Sự cần thiết của định lý được chứng minh.

Giả sử rằng dạng bậc hai nhận các giá trị dương trên bất kỳ tập biến nào khác 0, nhưng chỉ số quán tính của nó là dương. Bằng một phép biến đổi tuyến tính không suy biến của ẩn số

Hãy đưa nó trở lại bình thường. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả định rằng ở dạng bình thường này, bình phương của biến cuối cùng là không có hoặc nhập nó với dấu trừ, tức là , ở đâu hoặc. Giả sử đó là một tập giá trị khác 0 của các biến, nhận được khi giải hệ phương trình tuyến tính

Trong hệ này, số phương trình bằng số biến và định thức của hệ là số khác không. Theo định lý Cramer, hệ thống có một nghiệm duy nhất và nó là nghiệm khác. Đối với bộ này. Mâu thuẫn với điều kiện. Chúng tôi đi đến một mâu thuẫn với giả thiết, điều này chứng minh tính đầy đủ của định lý.

Sử dụng tiêu chí này, không thể xác định từ các hệ số xem một dạng bậc hai có phải là xác định dương hay không. Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi một định lý khác, đối với công thức của nó, chúng tôi đưa ra một khái niệm nữa. Trẻ vị thành niên Ma trận Đường chéo Chính có phải trẻ vị thành niên nằm ở góc trên bên trái của nó không:

, , , … , .

Định lý.Dạng bậc hai là xác định dương nếu và chỉ khi tất cả các đường chéo chính của nó đều dương.

Bằng chứng chúng tôi sẽ thực hiện bằng phương pháp quy nạp toán học hoàn chỉnh về số N biến dạng bậc hai f.

Giả thuyết về cảm ứng. Giả sử rằng đối với dạng bậc hai với ít biến hơn N tuyên bố là đúng.

Xét dạng bậc hai từ N biến. Thu thập trong một dấu ngoặc vuông tất cả các thuật ngữ có chứa. Các số hạng còn lại lập ở dạng bậc hai trong các biến. Theo giả thuyết quy nạp, phát biểu đúng với nó.

Giả sử rằng mẫu thức bậc hai là xác định dương. Khi đó dạng bậc hai cũng là xác định dương. Nếu chúng ta giả định rằng đây không phải là trường hợp, thì có một tập giá trị biến khác 0 , mà và tương ứng, , điều này mâu thuẫn với thực tế rằng dạng bậc hai là xác định dương. Theo giả thuyết quy nạp, tất cả các đường chéo chính của dạng bậc hai đều dương, tức là tất cả các trẻ vị thành niên chính đầu tiên của một dạng bậc hai f là tích cực. Chính phụ cuối cùng của một dạng bậc hai – là yếu tố quyết định ma trận của nó. Định thức này là số dương, vì dấu của nó trùng với dấu của ma trận ở dạng chuẩn của nó, tức là với dấu của định thức ma trận nhận dạng.

Cho tất cả các đường chéo chính của dạng bậc hai là dương. Khi đó, tất cả các đường chéo chính của dạng bậc hai đều dương từ đẳng thức . Theo giả thiết quy nạp, dạng bậc hai là xác định dương nên tồn tại một phép biến đổi tuyến tính không suy biến làm giảm dạng về dạng tổng bình phương của các biến mới. Phép biến đổi tuyến tính này có thể được mở rộng thành phép biến đổi tuyến tính không sinh ra của tất cả các biến bằng cách thiết lập. Dạng bậc hai được rút gọn bởi phép biến đổi này về dạng

Hình vuông.
Ý nghĩa của các hình thức. Tiêu chí của Sylvester

Tính từ "vuông" ngay lập tức gợi ý rằng một cái gì đó ở đây được kết nối với một hình vuông (bậc hai), và rất nhanh chóng chúng ta sẽ biết "cái gì đó" và hình thức là gì. Hóa ra ngay lập tức :)

Chào mừng bạn đến với bài học mới của tôi và như một phần khởi động ngay lập tức, chúng ta sẽ xem xét hình dạng sọc tuyến tính. Dạng tuyến tính biến triệu tập đồng nhấtĐa thức bậc 1:

- một số con số cụ thể * (chúng tôi giả định rằng ít nhất một trong số chúng khác 0), và là các biến có thể nhận giá trị tùy ý.

* Trong chủ đề này, chúng tôi sẽ chỉ xem xét số thực .

Chúng ta đã gặp thuật ngữ "đồng nhất" trong bài học về hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, và trong trường hợp này, nó ngụ ý rằng đa thức không có một hằng số thêm vào.

Ví dụ: - dạng tuyến tính của hai biến

Bây giờ hình dạng là bậc hai. dạng bậc hai biến triệu tập đồng nhấtĐa thức bậc 2, mỗi thuật ngữ trong đó chứa bình phương của biến hoặc gấp đôi tích của các biến. Vì vậy, chẳng hạn, dạng bậc hai hai biến có dạng như sau:

Chú ý!Đây là một mục tiêu chuẩn, và bạn không cần phải thay đổi bất cứ điều gì trong đó! Mặc dù có vẻ ngoài “khủng khiếp”, mọi thứ đều đơn giản ở đây - các chỉ số con kép của các hằng số báo hiệu biến nào được bao gồm trong một hoặc một thuật ngữ khác:
- thuật ngữ này chứa sản phẩm và (hình vuông);
- đây là công việc;
- và đây là tác phẩm.

- Tôi ngay lập tức đoán trước một sai lầm nghiêm trọng khi họ làm mất "trừ" của hệ số, không nhận ra rằng nó đề cập đến thuật ngữ:

Đôi khi có một phiên bản "trường học" của thiết kế trong tinh thần, nhưng sau đó chỉ đôi khi. Nhân tiện, hãy lưu ý rằng các hằng số ở đây không cho chúng ta biết bất cứ điều gì, và do đó, việc nhớ "ký hiệu dễ dàng" sẽ khó hơn. Đặc biệt là khi có nhiều biến hơn.

Và dạng bậc hai của ba biến đã chứa sáu số hạng:

... tại sao số nhân "hai" được đặt trong thuật ngữ "hỗn hợp"? Điều này thật tiện lợi và sẽ sớm trở nên rõ ràng tại sao.

Tuy nhiên, chúng tôi sẽ viết ra công thức chung, thuận tiện để sắp xếp nó với một “trang tính”:

- nghiên cứu kỹ từng dòng - có gì sai cả!

Dạng bậc hai chứa các số hạng với các biến bình phương và các số hạng có tích các cặp của chúng (cm. công thức tổ hợp của sự kết hợp) . Không có gì khác - không có "x cô đơn" và không có hằng số được thêm vào (khi đó bạn không nhận được dạng bậc hai, nhưng không đồng nhấtĐa thức bậc 2).

Kí hiệu ma trận của một dạng bậc hai

Tùy thuộc vào các giá trị, dạng được xem xét có thể nhận cả giá trị dương và giá trị âm và điều tương tự cũng áp dụng cho bất kỳ dạng tuyến tính nào - nếu ít nhất một trong các hệ số của nó khác 0, thì nó có thể là dương hoặc âm (tùy thuộc trên giá trị).

Biểu mẫu này được gọi là xen kẽ. Và nếu mọi thứ đều minh bạch với dạng tuyến tính, thì mọi thứ thú vị hơn nhiều với dạng bậc hai:

Rõ ràng là biểu mẫu này có thể nhận các giá trị của bất kỳ dấu hiệu nào, do đó, dạng bậc hai cũng có thể xen kẽ.

Nó có thể không phải:

- luôn luôn, trừ khi cả hai đều bằng không.

- cho bất cứ ai vectơ ngoại trừ số không.

Và nói chung, nếu có khác không vectơ, thì dạng bậc hai được gọi là tích cực nhất định; nếu - thì xác định phủ định.

Và mọi thứ sẽ ổn, nhưng tính xác định của dạng bậc hai chỉ hiển thị trong các ví dụ đơn giản và khả năng hiển thị này đã bị mất với một chút phức tạp:
– ?

Người ta có thể cho rằng biểu mẫu được xác định một cách tích cực, nhưng nó có thực sự như vậy không? Đột nhiên có những giá trị mà nó nhỏ hơn 0?

Trên tài khoản này, có định lý: tôi ngã giá trị riêng ma trận dạng bậc hai là số dương * , thì nó được xác định một cách tích cực. Nếu tất cả đều âm, thì đó là âm.

* Theo lý thuyết, nó được chứng minh rằng tất cả các giá trị riêng của một ma trận đối xứng thực có giá trị

Hãy viết ma trận dạng trên:
và từ phương trình hãy tìm cô ấy giá trị riêng:

Chúng tôi giải quyết vấn đề cũ tốt phương trình bậc hai:

, vì vậy hình thức được xác định tích cực, tức là đối với bất kỳ giá trị nào khác 0, nó lớn hơn 0.

Phương pháp được xem xét có vẻ đang hoạt động, nhưng có một điểm lớn NHƯNG. Đối với ma trận “ba x ba”, việc tìm kiếm các giá trị riêng là một nhiệm vụ lâu dài và khó chịu; với xác suất cao là bạn nhận được một đa thức bậc 3 với các căn vô tỉ.

Làm sao để? Co một cach dê dang hơn!

Tiêu chí của Sylvester

Không, không phải Sylvester Stallone :) Đầu tiên, hãy để tôi nhắc bạn điều gì trẻ vị thành niên góc cạnh ma trận. Đây là yếu tố quyết định cái nào "phát triển" từ góc trên bên trái của nó:

và cái cuối cùng chính xác bằng định thức của ma trận.

Bây giờ, trên thực tế, tiêu chuẩn:

1) Dạng bậc hai được xác định tích cực nếu và chỉ khi TẤT CẢ các phần tử góc của nó lớn hơn 0:.

2) Dạng bậc hai được xác định từ chối nếu và chỉ khi các chữ cái góc cạnh của nó thay thế nhau trong dấu hiệu, trong khi chữ cái thứ nhất nhỏ hơn 0 :,, nếu là chẵn hoặc, nếu là lẻ.

Nếu có ít nhất một góc nhỏ có dấu ngược lại thì dạng dấu hiệu xen kẽ. Nếu các dấu nhỏ góc có dấu "đó", nhưng có các số không trong số đó, thì đây là một trường hợp đặc biệt, mà tôi sẽ phân tích một chút sau, sau khi chúng ta nhấp vào các ví dụ phổ biến hơn.

Hãy để chúng tôi phân tích các góc nhỏ của ma trận :

Và điều này ngay lập tức cho chúng ta biết rằng hình thức không được xác định một cách tiêu cực.

Sự kết luận: tất cả các góc nhỏ hơn 0, vì vậy hình dạng xác định một cách tích cực.

Có sự khác biệt với phương pháp eigenvalue không? ;)

Chúng tôi viết ma trận hình dạng từ ví dụ 1:

góc nhỏ thứ nhất của nó và góc thứ hai , khi đó biểu mẫu là dấu xen kẽ, tức là tùy thuộc vào các giá trị, có thể nhận cả giá trị dương và âm. Tuy nhiên, điều này là quá rõ ràng.

Lấy biểu mẫu và ma trận của nó từ Ví dụ 2:

ở đây ở tất cả mà không có cái nhìn sâu sắc không hiểu. Nhưng với tiêu chí Sylvester, chúng tôi không quan tâm:
, do đó, hình thức chắc chắn không phải là tiêu cực.

, và chắc chắn là không tích cực. (bởi vì tất cả các trẻ vị thành niên ở góc độ phải tích cực).

Sự kết luận: hình dạng xen kẽ.

Các ví dụ khởi động để tự giải quyết:

Ví dụ 4

Khảo sát các dạng bậc hai để xác định dấu hiệu

một)

Trong những ví dụ này, mọi thứ đều suôn sẻ (xem ở cuối bài), nhưng trên thực tế, để hoàn thành một nhiệm vụ như vậy Tiêu chí của Sylvester có thể không đủ.

Vấn đề là có những trường hợp "ranh giới", cụ thể là: nếu có khác không vectơ, sau đó hình dạng được xác định không tiêu cực, nếu - thì không tích cực. Các hình thức này có khác không vectơ mà.

Ở đây bạn có thể mang theo một "nút đàn accordion":

Làm nổi bật hình vuông đầy đủ, chúng tôi ngay lập tức thấy không tiêu cực form:, hơn nữa, nó bằng 0 đối với bất kỳ vectơ nào có tọa độ bằng nhau, ví dụ: .

Ví dụ về "Mirror" không tích cực hình thức nhất định:

và một ví dụ thậm chí còn tầm thường hơn:
- ở đây dạng bằng 0 đối với bất kỳ vectơ nào, trong đó là một số tùy ý.

Làm thế nào để bộc lộ tính không tiêu cực hoặc không tích cực của một hình thức?

Đối với điều này, chúng tôi cần khái niệm trẻ vị thành niên lớn ma trận. Phần tử chính là phần phụ bao gồm các phần tử nằm ở giao điểm của các hàng và cột có cùng số. Vì vậy, ma trận có hai phần tử chính của bậc 1:
(phần tử nằm ở giao điểm của hàng thứ nhất và cột thứ nhất);
(phần tử nằm ở giao điểm của hàng thứ 2 và cột thứ 2),

và một thứ chính thứ hai:
- bao gồm các phần tử của hàng thứ nhất, thứ hai và cột thứ nhất, thứ hai.

Ma trận "ba nhân ba" Có bảy trẻ vị thành niên chính và ở đây bạn đã phải vẫy bắp tay của mình:
- ba trẻ vị thành niên của đơn đặt hàng đầu tiên,
ba trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ hai:
- bao gồm các phần tử của hàng thứ nhất, thứ hai và cột thứ nhất, thứ hai;
- bao gồm các phần tử của hàng 1, 3 và cột 1, 3;
- bao gồm các phần tử của hàng thứ 2, thứ 3 và cột thứ 2, thứ 3,
và một thứ tự thứ 3:
- bao gồm các phần tử của hàng 1, 2, 3 và các cột 1, 2 và 3.
Bài tậpđể hiểu: viết ra tất cả các phần tử chính của ma trận .
Chúng ta kiểm tra cuối bài và tiếp tục.

Tiêu chí Schwarzenegger:

1) Dạng bậc hai khác 0 * được xác định không tiêu cực nếu và chỉ khi TẤT CẢ những trẻ vị thành niên chính không tiêu cực(lớn hơn hoặc bằng 0).

* Dạng bậc hai không (suy biến) có tất cả các hệ số bằng không.

2) Dạng bậc hai khác không với ma trận xác định không tích cực nếu và chỉ nếu nó:
- trẻ vị thành niên chính của đơn hàng đầu tiên không tích cực(nhỏ hơn hoặc bằng không);
là trẻ vị thành niên chính của đơn hàng thứ 2 không tiêu cực;
- trẻ vị thành niên chính của đơn hàng thứ 3 không tích cực(sự luân phiên đã bắt đầu);
…
- chính phụ của thứ tự thứ không tích cực, nếu là lẻ hoặc không tiêu cực, nếu là thậm chí.

Nếu ít nhất một phụ có dấu ngược lại, thì dạng là dấu xen kẽ.

Hãy xem tiêu chí hoạt động như thế nào trong các ví dụ trên:

Hãy tạo một ma trận hình dạng và chủ yếu chúng ta hãy tính toán các phần tử góc - điều gì sẽ xảy ra nếu nó được xác định tích cực hoặc tiêu cực?

Tuy nhiên, các giá trị thu được không thỏa mãn tiêu chí Sylvester, giá trị nhỏ thứ hai không tiêu cực và điều này làm cho nó cần thiết để kiểm tra tiêu chí thứ 2 (trong trường hợp của tiêu chí thứ 2, nó sẽ không được hoàn thành một cách tự động, tức là, một kết luận được đưa ra ngay lập tức về sự thay đổi dấu hiệu của biểu mẫu).

Trẻ vị thành niên chính của đơn hàng 1:
- tích cực
Bậc thứ hai chính phụ:
- không tiêu cực.

Do đó, TẤT CẢ trẻ vị thành niên chính đều không tiêu cực, vì vậy biểu mẫu không tiêu cực.

Hãy viết ma trận dạng , rõ ràng là tiêu chí Sylvester không được thỏa mãn. Nhưng chúng tôi cũng không nhận được các dấu hiệu ngược lại (vì cả hai phần tử góc đều bằng 0). Do đó, chúng tôi kiểm tra việc thực hiện tiêu chí không tiêu cực / không tích cực. Trẻ vị thành niên chính của đơn hàng 1:
- không tích cực
Bậc thứ hai chính phụ:
- không tiêu cực.

Do đó, theo tiêu chí Schwarzenegger (điểm 2), hình thức được xác định là không tích cực.

Bây giờ, được trang bị đầy đủ, chúng tôi sẽ phân tích một vấn đề thú vị hơn:

Ví dụ 5

Kiểm tra dạng bậc hai về tính xác định của dấu hiệu

Biểu mẫu này được trang trí với thứ tự "alpha", có thể bằng bất kỳ số thực nào. Nhưng nó sẽ chỉ vui hơn quyết định.

Đầu tiên, chúng ta hãy viết ra ma trận biểu mẫu, có lẽ, nhiều người đã thích nghi để làm điều đó bằng miệng: trên đường chéo chính chúng tôi đặt các hệ số tại các ô vuông và tại các vị trí đối xứng - một nửa hệ số của các sản phẩm “hỗn hợp” tương ứng:

Hãy tính toán các phần tử góc cạnh:

Tôi sẽ mở rộng định thức thứ ba dọc theo dòng thứ 3:

Dạng bậc hai là một đa thức thuần nhất bậc 2 một số biến.

Dạng bậc hai trong các biến bao gồm các số hạng của hai loại: bình phương của các biến và tích từng cặp của chúng với một số hệ số. Người ta thường viết căn thức bậc hai dưới dạng lược đồ hình vuông sau:

Các cặp số hạng tương tự được viết với cùng hệ số, sao cho mỗi cặp số hạng bằng một nửa hệ số của tích tương ứng của các biến. Do đó, mỗi dạng bậc hai được liên kết tự nhiên với ma trận hệ số của nó, là ma trận đối xứng.

Nó cũng thuận tiện để biểu diễn dạng bậc hai trong ký hiệu ma trận sau đây. Ký hiệu bằng X một cột các biến theo X - một hàng, tức là một ma trận được hoán vị bằng X. Sau đó

Dạng bậc hai được tìm thấy trong nhiều nhánh của toán học và các ứng dụng của nó.

Trong lý thuyết số và tinh thể học, các dạng bậc hai được xem xét dưới giả thiết rằng các biến chỉ nhận các giá trị nguyên. Trong hình học giải tích, dạng bậc hai là một phần của phương trình của một đường cong (hoặc bề mặt) có bậc. Trong cơ học và vật lý, dạng bậc hai biểu thị động năng của hệ dưới dạng các thành phần của vận tốc tổng quát, v.v. Nhưng, ngoài ra, việc nghiên cứu dạng bậc hai cũng cần thiết trong phân tích khi nghiên cứu hàm nhiều biến, trong các câu hỏi tìm lời giải, điều quan trọng là phải tìm ra cách hàm số đã cho trong vùng lân cận của điểm đã cho lệch với hàm tuyến tính xấp xỉ nó như thế nào. Một ví dụ của bài toán loại này là nghiên cứu một hàm cho cực đại và cực tiểu.

Ví dụ, hãy xem xét bài toán khám phá cực đại và cực tiểu của một hàm hai biến có đạo hàm riêng liên tục theo thứ tự. Điều kiện cần thiết để một điểm có giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một hàm là bằng 0 của các đạo hàm riêng của bậc tại điểm. Hãy giả sử rằng điều kiện này được thỏa mãn. Chúng tôi cho các biến x và y gia số nhỏ và k và xem xét gia số tương ứng của hàm. Theo công thức Taylor, gia số này, lên đến các bậc nhỏ cao hơn, bằng với dạng bậc hai trong đó các giá trị của hàm thứ hai đạo hàm tính tại điểm Nếu dạng bậc hai này dương với mọi giá trị của và k (ngoại trừ hàm có cực tiểu tại một điểm; nếu âm thì hàm có cực đại. Cuối cùng, nếu hình dạng có cả giá trị âm và dương, thì sẽ không có cực đại hoặc cực tiểu. Các hàm của một số lượng lớn hơn các biến được nghiên cứu theo cách tương tự.

Việc nghiên cứu các dạng bậc hai chủ yếu bao gồm việc nghiên cứu các vấn đề về sự tương đương của các dạng đối với một hoặc một tập hợp các phép biến đổi tuyến tính khác. Hai dạng bậc hai được cho là tương đương nếu một trong số chúng có thể được chuyển thành dạng kia bằng một trong các phép biến đổi của tập đã cho. Liên quan mật thiết đến vấn đề tương đương là vấn đề giảm hình thức, tức là chuyển đổi nó sang một số dạng có thể đơn giản nhất.

Trong các câu hỏi khác nhau liên quan đến dạng bậc hai, các tập hợp các phép biến đổi có thể chấp nhận được của các biến cũng được xem xét.

Trong các câu hỏi phân tích, bất kỳ phép biến đổi không kỳ dị nào của các biến đều được áp dụng; Đối với mục đích của hình học giải tích, các phép biến đổi trực giao được quan tâm nhiều nhất, tức là các phép biến đổi tương ứng với sự chuyển đổi từ một hệ tọa độ Descartes biến đổi này sang một hệ tọa độ Descartes khác. Cuối cùng, trong lý thuyết số và tinh thể học, các phép biến đổi tuyến tính với hệ số nguyên và với định thức bằng một được xem xét.

Chúng ta sẽ xem xét hai trong số các vấn đề này: câu hỏi rút gọn một dạng bậc hai về dạng đơn giản nhất của nó bằng bất kỳ phép biến đổi không kỳ dị nào và câu hỏi tương tự cho phép biến đổi trực giao. Trước hết, chúng ta cùng tìm hiểu xem một ma trận có dạng bậc hai được biến đổi như thế nào dưới một phép biến đổi tuyến tính.

Giả sử, trong đó A là ma trận đối xứng của các hệ số dạng, X là một cột các biến.

Hãy thực hiện một phép biến đổi tuyến tính của các biến, viết nó dưới dạng viết tắt. Ở đây C biểu thị ma trận các hệ số của phép biến đổi này, X là một cột gồm các biến mới. Sau đó và do đó, để ma trận của dạng bậc hai được biến đổi là

Ma trận tự động biến thành đối xứng, điều này dễ dàng được xác minh. Như vậy, bài toán thu gọn một bậc hai về dạng đơn giản nhất tương đương với bài toán rút một ma trận đối xứng về dạng đơn giản nhất bằng cách nhân nó từ trái sang phải với ma trận hoán vị lẫn nhau.

Dạng bậc hai

dạng bậc hai f (x 1, x 2, ..., x n) của n biến được gọi là tổng, mỗi số hạng là bình phương của một trong các biến hoặc tích của hai biến khác nhau, được lấy với một hệ số nhất định: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Ma trận A, bao gồm các hệ số này, được gọi là ma trận dạng bậc hai. Nó luôn luôn đối xứng ma trận (tức là ma trận đối xứng qua đường chéo chính, a ij = a ji).

Trong ký hiệu ma trận, dạng bậc hai có dạng f (X) = X T AX, trong đó

Thật

Ví dụ, chúng ta hãy viết căn thức bậc hai dưới dạng ma trận.

Để làm điều này, chúng ta tìm một ma trận có dạng bậc hai. Các phần tử đường chéo của nó bằng các hệ số tại bình phương của các biến, và các phần tử còn lại bằng một nửa các hệ số tương ứng của dạng bậc hai. Cho nên

Cho cột ma trận của các biến X có được bằng một phép biến đổi tuyến tính không suy biến của ma trận cột Y, tức là X = CY, trong đó C là ma trận không suy biến bậc n. Khi đó dạng bậc hai
f (X) \ u003d X T AX \ u003d (CY) T A (CY) \ u003d (Y T C T) A (CY) \ u003d Y T (C T AC) Y.

Như vậy, dưới một phép biến đổi tuyến tính không suy biến C, ma trận của bậc hai có dạng: A * = C T AC.

Ví dụ, hãy tìm dạng bậc hai f (y 1, y 2) thu được từ dạng bậc hai f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 bằng một phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai được gọi là kinh điển(Nó có chế độ xem kinh điển) nếu tất cả các hệ số của nó a ij = 0 với i ≠ j, tức là
f (x 1, x 2, ..., x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 =.

Ma trận của nó là đường chéo.

Định lý(bằng chứng không được đưa ra ở đây). Bất kỳ dạng bậc hai nào cũng có thể được rút gọn thành dạng chính tắc bằng cách sử dụng một phép biến đổi tuyến tính không suy biến.

Ví dụ, chúng ta hãy rút gọn về dạng chính tắc ở dạng bậc hai
f (x 1, x 2, x 3) \ u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Để thực hiện việc này, trước tiên hãy chọn hình vuông đầy đủ cho biến x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \ u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \ u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Bây giờ chúng ta chọn hình vuông đầy đủ cho biến x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \ u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\ u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Sau đó, một phép biến đổi tuyến tính không suy biến y 1 \ u003d x 1 + x 2, y 2 \ u003d x 2 - (1/10) x 3 và y 3 \ u003d x 3 đưa dạng bậc hai này về dạng chính tắc f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2.

Lưu ý rằng dạng chính tắc của một dạng bậc hai được xác định một cách mơ hồ (cùng một dạng bậc hai có thể được rút gọn thành dạng chính tắc theo những cách khác nhau). Tuy nhiên, các dạng chính tắc thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau có một số đặc tính chung. Đặc biệt, số hạng có hệ số dương (âm) của dạng bậc hai không phụ thuộc vào cách rút gọn dạng này về dạng này (ví dụ, trong ví dụ đang xét sẽ luôn có hai hệ số âm và một hệ số dương). Thuộc tính này được gọi là định luật quán tính của dạng bậc hai.

Hãy để chúng tôi kiểm chứng điều này bằng cách rút gọn cùng một dạng bậc hai về dạng chính tắc theo một cách khác. Hãy bắt đầu phép biến đổi với biến x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \ u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \ u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \ u003d - 3 (x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\ u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, trong đó y 1 \ u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \ u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 và y 3 = x 1. Ở đây, một hệ số dương 2 cho y 3 và hai hệ số âm (-3) cho y 1 và y 2 (và sử dụng một phương pháp khác, chúng tôi nhận được một hệ số dương 2 cho y 1 và hai hệ số âm - (-5) cho y 2 và (-1 / 20) cho y 3).

Cũng cần lưu ý rằng hạng của ma trận có dạng bậc hai, được gọi là bậc của dạng bậc hai, bằng số hệ số khác không của dạng chính tắc và không thay đổi trong các phép biến đổi tuyến tính.

Dạng bậc hai f (X) được gọi là tích cực (từ chối) chắc chắn, nếu với tất cả các giá trị của các biến không đồng thời bằng 0, thì nó là giá trị dương, tức là f (X)> 0 (âm, tức là
f (X)< 0).

Ví dụ, dạng bậc hai f 1 (X) \ u003d x 1 2 + x 2 2 là xác định dương, bởi vì là tổng bình phương và dạng bậc hai f 2 (X) \ u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 là xác định âm, bởi vì biểu diễn nó có thể được biểu diễn dưới dạng f 2 (X) \ u003d - (x 1 - x 2) 2.

Trong hầu hết các tình huống thực tế, hơi khó khăn hơn để thiết lập tính xác định dấu của một dạng bậc hai, vì vậy một trong các định lý sau được sử dụng cho điều này (chúng tôi xây dựng chúng mà không cần chứng minh).

Định lý. Dạng bậc hai là dương (âm) xác định nếu và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của ma trận của nó là dương (âm).

Định lý (tiêu chí của Sylvester). Dạng bậc hai là xác định dương nếu và chỉ khi tất cả các phần tử chính của ma trận dạng này đều dương.

Major (góc) nhỏĐịnh thức bậc k của ma trận A bậc n được gọi là định thức của ma trận, bao gồm k hàng và cột đầu tiên của ma trận A ().

Lưu ý rằng đối với các dạng bậc hai xác định phủ định, các dấu hiệu của các dấu phụ chính thay thế và các dấu phụ bậc nhất phải là số âm.

Ví dụ, chúng ta kiểm tra dạng thức bậc hai f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 về tính xác định của dấu.

= (2 - l) *
* (3 - l) - 4 \ u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \ u003d l 2 - 5l + 2 \ u003d 0; D \ u003d 25 - 8 \ u003d 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định dương.

Cách 2. Con chính bậc nhất của ma trận A D 1 = a 11 = 2> 0. Con chính bậc hai D 2 = = 6 - 4 = 2> 0. Do đó, theo tiêu chí Sylvester, dạng bậc hai là xác định dương.

Chúng ta kiểm tra một dạng bậc hai khác về tính xác định của dấu, f (x 1, x 2) \ u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Cách 1. Hãy xây dựng ma trận dạng bậc hai А =. Phương trình đặc trưng sẽ có dạng = (-2 - l) *
* (- 3 - l) - 4 \ u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \ u003d l 2 + 5l + 2 \ u003d 0; D \ u003d 25 - 8 \ u003d 17;
. Do đó, dạng bậc hai là xác định âm.

Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào một lớp đặc biệt nhưng quan trọng của các dạng thức bậc hai dương.

Định nghĩa 3. Một dạng bậc hai thực được gọi là không âm (không dương) nếu với bất kỳ giá trị thực nào của các biến

. (35)

Trong trường hợp này, ma trận đối xứng của các hệ số được gọi là bán xác định dương (bán xác định âm).

Định nghĩa 4. Một dạng thức bậc hai thực được gọi là xác định dương (xác định âm) nếu với bất kỳ giá trị thực nào của các biến không đồng thời bằng không

. (36)

Trong trường hợp này, ma trận còn được gọi là xác định dương (xác định âm).

Lớp các dạng xác định dương (xác định âm) là một phần của lớp dạng không âm (tương ứng, không dương).

Cho một dạng không âm được đưa ra. Chúng tôi biểu diễn nó dưới dạng tổng các bình phương độc lập:

. (37)

Trong biểu diễn này, tất cả các ô vuông phải là số dương:

. (38)

Thật vậy, nếu có bất kỳ giá trị nào, thì có thể chọn các giá trị đó để

Nhưng sau đó, đối với các giá trị này của các biến, biểu mẫu sẽ có giá trị âm, điều này là không thể theo điều kiện. Rõ ràng, ngược lại, từ (37) và (38) theo sau nó là dạng dương.

Do đó, một dạng bậc hai không âm được đặc trưng bởi các bằng nhau.

Hãy để bây giờ là một hình thức xác định tích cực. Sau đó cũng là dạng không phủ định. Do đó, nó có thể được biểu diễn ở dạng (37), trong đó tất cả đều dương. Nó xuất phát từ tính xác định tích cực của hình thức mà. Thật vậy, trong trường hợp có thể chọn các giá trị không đồng thời bằng 0 như vậy, tất cả các giá trị này sẽ biến mất. Nhưng sau đó, theo điều kiện (37), tại, mâu thuẫn với điều kiện (36).

Dễ dàng thấy rằng, ngược lại, nếu trong (37) và tất cả đều dương, thì đó là một dạng xác định dương.

Nói cách khác, một dạng không phủ định là xác định dương nếu và chỉ khi nó không phải là số ít.

Định lý sau đây đưa ra một tiêu chí cho tính xác định dương của một dạng ở dạng bất đẳng thức mà các hệ số của dạng phải thỏa mãn. Trong trường hợp này, ký hiệu đã gặp trong các phần trước cho các phần tử chính kế tiếp của ma trận được sử dụng:

.

Định lý 3. Để một dạng bậc hai là xác định dương, cần và đủ rằng các bất phương trình

Bằng chứng. Sự đầy đủ của các điều kiện (39) theo trực tiếp từ công thức Jacobi (28). Sự cần thiết của các điều kiện (39) được thiết lập như sau. Từ xác định dương của hình thức theo sau xác định dương của các hình thức "cắt ngắn"

.

Nhưng sau đó tất cả các hình thức này phải không phải là số ít, tức là

Bây giờ chúng ta có cơ hội sử dụng công thức Jacobi (28) (cho). Vì ở phía bên phải của công thức này, tất cả các ô vuông phải là số dương, nên

Điều này ngụ ý bất bình đẳng (39). Định lý đã được chứng minh.

Vì bất kỳ phần tử chính nào của ma trận, với việc đánh số lại các biến một cách thích hợp, có thể được đặt ở góc trên bên trái, chúng ta có

Hậu quả. Ở dạng bậc hai xác định dương, tất cả các phần tử chính của ma trận hệ số đều dương:

Nhận xét. Từ sự không tiêu cực của những trẻ vị thành niên chính liên tiếp

không tuân theo tính không tiêu cực của hình thức. Thật vậy, hình thức

,

trong đó , thỏa mãn các điều kiện, nhưng không phải là không âm.

Tuy nhiên, có những điều sau

Định lý 4. Đối với một dạng bậc hai là không âm, cần và đủ rằng tất cả các hệ số phụ chính của ma trận hệ số của nó là không âm:

Bằng chứng. Hãy để chúng tôi giới thiệu một dạng bổ trợ không phụ thuộc, nó là cần thiết và đủ để các bất đẳng thức