Phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính

Xét một hệ phương trình tuyến tính có dạng sau:

$ \ left \ (\ begin (array) (c) (a_ (11) x_ (1) + a_ (12) x_ (2) + ... + a_ (1n) x_ (n) = b_ (1)) \\ (a_ (21) x_ (1) + a_ (22) x_ (2) + ... + a_ (2n) x_ (n) = b_ (2)) \\ (...) \\ (a_ (n1) x_ (1) + a_ (n2) x_ (2) + ... + a_ (nn) x_ (n) = b_ (n)) \ end (array) \ right. $

Các số $ a_ (ij) (i = 1..n, j = 1..n) $ là các hệ số của hệ, các số $ b_ (i) (i = 1..n) $ là các số hạng tự do .

Định nghĩa 1

Trong trường hợp khi tất cả các số hạng tự do đều bằng 0, hệ thống được gọi là thuần nhất, ngược lại - không đồng nhất.

Mỗi SLAE có thể được liên kết với một số ma trận và hệ thống có thể được viết dưới dạng được gọi là ma trận.

Định nghĩa 2

Ma trận hệ số của một hệ thống được gọi là ma trận hệ thống và thường được ký hiệu bằng chữ cái $ A $.

Cột các điều khoản tự do tạo thành một vector cột, thường được ký hiệu bằng chữ cái $ B $ và được gọi là ma trận các điều khoản tự do.

Các biến chưa biết tạo thành một vectơ cột, theo quy luật, được ký hiệu bằng chữ cái $ X $ và được gọi là ma trận của các ẩn số.

Các ma trận được mô tả ở trên là:

$ A = \ left (\ begin (array) (cccc) (a_ (11)) & (a_ (12)) & (...) & (a_ (1n)) \\ (a_ (21)) & ( a_ (22)) & (...) & (a_ (2n)) \\ (...) & (...) & (...) & (...) \\ (a_ (n1) ) & (a_ (n2)) & (...) & (a_ (nn)) \ end (mảng) \ phải), B = \ left (\ begin (array) (c) (b_ (1)) \ \ (b_ (2)) \\ (...) \\ (b_ (n)) \ end (array) \ right), X = \ left (\ begin (array) (c) (x_ (1)) \\ (x_ (2)) \\ (...) \\ (x_ (n)) \ end (mảng) \ phải). $

Sử dụng ma trận, SLAE có thể được viết lại thành $ A \ cdot X = B $. Kí hiệu như vậy thường được gọi là phương trình ma trận.

Nói chung, bất kỳ SLAE nào cũng có thể được viết dưới dạng ma trận.

Các ví dụ về giải một hệ thống bằng ma trận nghịch đảo

ví dụ 1

Dana SLAE: $ \ left \ (\ begin (array) (c) (3x_ (1) -2x_ (2) + x_ (3) -x_ (4) = 3) \\ (x_ (1) -12x_ (2) ) -x_ (3) -x_ (4) = 7) \\ (2x_ (1) -3x_ (2) + x_ (3) -3x_ (4) = 5) \ end (array) \ right. $. Viết hệ thống dưới dạng ma trận.

Quyết định:

$ A = \ left (\ begin (array) (cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1 ) \\ (2) & (-3) & (1) & (-3) \ end (mảng) \ phải), B = \ left (\ begin (mảng) (c) (3) \\ (7) \\ (5) \ end (array) \ right), X = \ left (\ begin (array) (c) (x_ (1)) \\ (x_ (2)) \\ (x_ (3)) \ end (mảng) \ phải). $

$ \ left (\ begin (array) (cccc) (3) & (-2) & (1) & (-1) \\ (1) & (-12) & (-1) & (-1) \ \ (2) & (-3) & (1) & (-3) \ end (mảng) \ phải) \ cdot \ left (\ begin (mảng) (c) (x_ (1)) \\ (x_ ( 2)) \\ (x_ (3)) \ end (mảng) \ phải) = \ left (\ begin (mảng) (c) (3) \\ (7) \\ (5) \ end (mảng) \ phải) $

Trong trường hợp ma trận của hệ thống là hình vuông, SLAE có thể giải các phương trình theo cách ma trận.

Cho phương trình ma trận $ A \ cdot X = B $, chúng ta có thể biểu diễn $ X $ từ nó theo cách sau:

$ A ^ (- 1) \ cdot A \ cdot X = A ^ (- 1) \ cdot B $

$ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ (thuộc tính sản phẩm ma trận)

$ E \ cdot X = A ^ (- 1) \ cdot B $

$ E \ cdot X = X $ (thuộc tính sản phẩm ma trận)

$ X = A ^ (- 1) \ cdot B $

Thuật toán giải hệ phương trình đại số bằng ma trận nghịch đảo:

• viết hệ thống dưới dạng ma trận;
• tính định thức của ma trận của hệ thống;
• nếu định thức của ma trận hệ thống khác không, thì ta tìm ma trận nghịch đảo;
• nghiệm của hệ được tính theo công thức $ X = A ^ (- 1) \ cdot B $.

Nếu ma trận hệ thống có định thức không bằng 0 thì hệ thống này có nghiệm duy nhất có thể tìm được theo cách ma trận.

Nếu ma trận của hệ có định thức bằng 0 thì không giải được hệ này bằng phương pháp ma trận.

Ví dụ 2

Dana SLAE: $ \ left \ (\ begin (array) (c) (x_ (1) + 3x_ (3) = 26) \\ (-x_ (1) + 2x_ (2) + x_ (3) = 52) \\ (3x_ (1) + 2x_ (2) = 52) \ end (array) \ right. $ Giải SLAE bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, nếu có thể.

Quyết định:

$ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & ( 0) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin (array) (c) (26) \\ (52) \\ (52) \ end (array) \ right), X = \ left (\ begin (array) (c) (x_ (1)) \\ (x_ (2)) \\ (x_ (3)) \ end (array) \ right). $

Tìm định thức của ma trận của hệ thống:

$ \ begin (array) (l) (\ det A = \ left | \ begin (array) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (-1) & (2) & (1) \\ (3) & (2) & (0) \ end (array) \ right | = 1 \ cdot 2 \ cdot 0 + 0 \ cdot 1 \ cdot 3 + 2 \ cdot (-1) \ cdot 3-3 \ cdot 2 \ cdot 3-2 \ cdot 1 \ cdot 1-0 \ cdot (-1) \ cdot 0 = 0 + 0-6-18-2-0 = -26 \ ne 0) \ end (mảng) $ Vì định thức không bằng 0 nên ma trận của hệ có ma trận nghịch đảo và do đó, hệ phương trình có thể giải được bằng phương pháp ma trận nghịch đảo. Giải pháp kết quả sẽ là duy nhất.

Ta giải hệ phương trình bằng ma trận nghịch đảo:

$ A_ (11) = (- 1) ^ (1 + 1) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (2) & (1) \\ (2) & (0) \ end (array) \ right | = 0-2 = -2; A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (-1) & (1) \\ (3) & (0) \ end (array) \ right | = - (0-3) = 3; $

$ A_ (13) = (- 1) ^ (1 + 3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (-1) & (2) \\ (3) & (2) \ end (array ) \ right | = -2-6 = -8; A_ (21) = (- 1) ^ (2 + 1) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (0) & (3) \\ (2) & (0) \ end (array) \ phải | = - (0-6) = 6; $

$ A_ (22) = (- 1) ^ (2 + 2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (1) & (3) \\ (3) & (0) \ end (array) \ right | = 0-9 = -9; A_ (23) = (- 1) ^ (2 + 3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (1) & (0) \\ (3) & (2) \ end (array) \ phải | = - (2-0) = - 2; $

$ A_ (31) = (- 1) ^ (3 + 1) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (0) & (3) \\ (2) & (1) \ end (array) \ right | = 0-6 = -6; A_ (32) = (- 1) ^ (3 + 2) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (1) & (3) \\ (-1) & (1) \ end (array) \ right | = - (1 + 3) = - 4; $

$ A_ (33) = (- 1) ^ (3 + 3) \ cdot \ left | \ begin (array) (cc) (1) & (0) \\ (-1) & (2) \ end (array ) \ right | = 2-0 = 2 $

Ma trận nghịch đảo mong muốn:

$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) (-2) & (6) & (-6) \\ (3) & ( -9) & (-4) \\ (-8) & (-2) & (2) \ end (array) \ right) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) (2) & (-6) & (6) \\ (-3) & (9) & (4) \\ (8) & (2) & (-2) \ end (mảng) \ phải ) = \ left (\ begin (array) (ccc) (\ frac (2) (26)) & (\ frac (-6) (26)) & (\ frac (6) (26)) \\ (\ frac (-3) (26)) & (\ frac (9) (26)) & (\ frac (4) (26)) \\ (\ frac (8) (26)) & (\ frac (2) (26)) & (\ frac (-2) (26)) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) (\ frac (1) (13)) & (- \ frac (3) (13)) & (\ frac (3) (13)) \\ (- \ frac (3) (26)) & (\ frac (9) (26)) & (\ frac (2) (13)) \\ (\ frac (4) (13)) & (\ frac (1) (13)) & (- \ frac (1) (13)) \ end (mảng) \ phải). $

Tìm giải pháp cho hệ thống:

$ X = \ left (\ begin (array) (ccc) (\ frac (1) (13)) & (- \ frac (3) (13)) & (\ frac (3) (13)) \\ ( - \ frac (3) (26)) & (\ frac (9) (26)) & (\ frac (2) (13)) \\ (\ frac (4) (13)) & (\ frac (1) ) (13)) & (- \ frac (1) (13)) \ end (array) \ right) \ cdot \ left (\ begin (array) (c) (26) \\ (52) \\ (52 ) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) (\ frac (1) (13) \ cdot 26- \ frac (3) (13) \ cdot 52+ \ frac (3 ) (13) \ cdot 52) ​​\\ (- \ frac (3) (26) \ cdot 26+ \ frac (9) (26) \ cdot 52+ \ frac (2) (13) \ cdot 52) \\ (\ frac (4) (13) \ cdot 26+ \ frac (1) (13) \ cdot 52- \ frac (1) (13) \ cdot 52) ​​\ end (array) \ right ) = \ left (\ begin (array) (c) (2-12 + 12) \\ (-3 + 18 + 8) \\ (8 + 4-4) \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \ end (array) \ right) $

$ X = \ left (\ begin (array) (c) (2) \\ (23) \\ (8) \ end (array) \ right) $ - nghiệm mong muốn của hệ phương trình.

Coi như hệ phương trình đại số tuyến tính(CHẬM) về N không xác định x 1 , x 2 , ..., x N :

Hệ thống này ở dạng "gấp" có thể được viết như sau:

S N i = 1 một ij x j = b tôi , i = 1,2, ..., n.

Theo quy tắc nhân ma trận, hệ phương trình tuyến tính đã xét có thể được viết trong dạng ma trận ax = b, ở đâu

Ma trận Một, các cột của nó là hệ số cho các ẩn số tương ứng và các hàng là hệ số cho các ẩn số trong phương trình tương ứng được gọi là ma trận hệ thống. ma trận cột b, mà các phần tử của nó là phần bên phải của phương trình của hệ thống, được gọi là ma trận của phần bên phải hoặc đơn giản bên phải của hệ thống. ma trận cột x , mà các phần tử của chúng là ẩn số chưa biết, được gọi là giải pháp hệ thống.

Hệ phương trình đại số tuyến tính được viết dưới dạng ax = b, là một phương trình ma trận.

Nếu ma trận của hệ thống không thoái hóa, thì nó có một ma trận nghịch đảo, và sau đó là nghiệm của hệ thống ax = bđược đưa ra bởi công thức:

x = A -1 b.

Ví dụ Giải quyết hệ thống phương pháp ma trận.

Quyết định tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận hệ số của hệ thống

Tính định thức bằng cách mở rộng trên hàng đầu tiên:

Trong chừng mực Δ ≠ 0 , sau đó Một -1 hiện hữu.

Ma trận nghịch đảo được tìm thấy chính xác.

Hãy cùng tìm giải pháp cho hệ thống

Vì thế, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Kiểm tra:

7. Định lý Kronecker-Capelli về sự tương thích của một hệ phương trình đại số tuyến tính.

Hệ phương trình tuyến tính giống như:

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 + ... + a mn x n = b m.

Ở đây cho trước a i j và b i (i =; j =) và x j là các số thực chưa biết. Sử dụng khái niệm tích của ma trận, chúng ta có thể viết lại hệ thống (5.1) dưới dạng:

trong đó A = (a i j) là ma trận bao gồm các hệ số của ẩn số của hệ (5.1), được gọi là ma trận hệ thống, X = (x 1, x 2, ..., x n) T, B = (b 1, b 2, ..., b m) T - vectơ cột gồm các số hạng x j chưa biết và số hạng tự do b i.

Bộ sưu tập đã đặt hàng N các số thực (c 1, c 2, ..., c n) được gọi là giải pháp hệ thống(5.1) nếu kết quả của phép thay các số này thay cho các biến tương ứng x 1, x 2, ..., x n thì mỗi phương trình của hệ chuyển thành một cấp số cộng; nói cách khác, nếu tồn tại vectơ C = (c 1, c 2, ..., c n) T sao cho AC  B.

Hệ thống (5.1) được gọi là chung, hoặc tan nếu nó có ít nhất một giải pháp. Hệ thống được gọi là không tương thích, hoặc không hòa tan nếu nó không có giải pháp.

,

được hình thành bằng cách gán một cột các số hạng tự do cho ma trận A ở bên phải, được gọi là hệ thống ma trận mở rộng.

Câu hỏi về tính tương thích của hệ thống (5.1) được giải quyết bằng định lý sau.

Định lý Kronecker-Capelli . Hệ phương trình tuyến tính là nhất quán nếu và chỉ khi bậc của ma trận A và A trùng nhau, tức là r (A) = r (A) = r.

Đối với tập M các giải pháp cho hệ thống (5.1), có ba khả năng xảy ra:

1) M =  (trong trường hợp này hệ thống không nhất quán);

2) M bao gồm một phần tử, tức là hệ thống có một giải pháp duy nhất (trong trường hợp này, hệ thống được gọi là chắc chắn);

3) M gồm nhiều hơn một phần tử (khi đó hệ có tên là không chắc chắn). Trong trường hợp thứ ba, hệ thống (5.1) có vô số nghiệm.

Hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi r (A) = n. Trong trường hợp này, số phương trình không nhỏ hơn số ẩn số (mn); nếu m> n, thì m-n đẳng thức là hệ quả của phần còn lại. Nếu 0

Để giải một hệ phương trình tuyến tính tùy ý, người ta phải có khả năng giải các hệ trong đó số phương trình bằng số ẩn, được gọi là Hệ thống loại Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 + ... + a nn x n = b n.

Hệ (5.3) được giải theo một trong các cách sau: 1) bằng phương pháp Gauss, hoặc bằng phương pháp loại bỏ ẩn số; 2) theo công thức của Cramer; 3) theo phương pháp ma trận.

Ví dụ 2.12. Khảo sát hệ phương trình và giải nó nếu nó tương thích:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Quyết định. Chúng tôi viết ra ma trận mở rộng của hệ thống:

 .

Chúng ta hãy tính hạng của ma trận chính của hệ thống. Rõ ràng rằng, ví dụ, con bậc hai ở góc trên bên trái = 7  0; các trẻ vị thành niên bậc ba có chứa nó bằng 0:

Do đó, hạng của ma trận chính của hệ thống là 2, tức là r (A) = 2. Để tính hạng của ma trận mở rộng A, hãy xem xét con giáp

do đó, hạng của ma trận mở rộng là r (A) = 3. Vì r (A)  r (A), hệ thống không nhất quán.

Máy tính trực tuyến này giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận. Một giải pháp rất chi tiết được đưa ra. Để giải một hệ phương trình tuyến tính, hãy chọn số biến. Chọn một phương pháp để tính ma trận nghịch đảo. Sau đó nhập dữ liệu vào các ô và bấm vào nút "Tính toán".

×

Một lời cảnh báo

Xóa tất cả các ô?

Đóng Xóa

Hướng dẫn nhập dữ liệu. Các số được nhập dưới dạng số nguyên (ví dụ: 487, 5, -7623, v.v.), số thập phân (ví dụ: 67., 102.54, v.v.) hoặc phân số. Phân số phải được nhập dưới dạng a / b, trong đó a và b là số nguyên hoặc số thập phân. Ví dụ 45/5, 6.6 / 76.4, -7 / 6.7, v.v.

Phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính

Xét hệ phương trình tuyến tính sau:

Tính đến định nghĩa của ma trận nghịch đảo, chúng ta có Một −1 Một=E, ở đâu E là ma trận nhận dạng. Do đó, (4) có thể được viết như sau:

Do đó, để giải hệ phương trình tuyến tính (1) (hoặc (2)), chỉ cần nhân nghịch đảo với Một ma trận trên mỗi vectơ ràng buộc b.

Các ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận:

Hãy tìm nghịch đảo của ma trận A bằng phương pháp Jordan-Gauss. Ở phía bên phải của ma trận Một viết ma trận nhận dạng:

Hãy loại trừ các phần tử của cột đầu tiên của ma trận bên dưới đường chéo chính. Để thực hiện việc này, hãy thêm các hàng 2,3 với hàng 1, nhân với -1/3, -1/3, tương ứng:

Hãy loại trừ các phần tử của cột thứ 2 của ma trận bên dưới đường chéo chính. Để thực hiện việc này, hãy thêm dòng 3 với dòng 2 nhân với -24/51:

Hãy loại trừ các phần tử của cột thứ 2 của ma trận phía trên đường chéo chính. Để thực hiện việc này, hãy thêm hàng 1 với hàng 2, nhân với -3/17:

Tách phần bên phải của ma trận. Ma trận kết quả là nghịch đảo của Một :

Dạng ma trận viết hệ phương trình tuyến tính: ax = b, ở đâu

Tính tất cả các phần bổ sung đại số của ma trận Một:

,

,

,

,

,

ở đâu Một ij - phần bù đại số của phần tử ma trận Một nằm ở ngã tư tôi-dòng thứ và j cột -th, và Δ là yếu tố quyết định của ma trận Một.

Sử dụng công thức ma trận nghịch đảo, chúng ta nhận được:

Phân công dịch vụ. Sử dụng máy tính trực tuyến này, các ẩn số (x 1, x 2, ..., x n) được tính trong hệ phương trình. Quyết định đang được thực hiện phương pháp ma trận nghịch đảo. Trong đó:

• định thức của ma trận A được tính;
• thông qua phép cộng đại số, ma trận nghịch đảo A -1 được tìm thấy;
• một mẫu giải pháp được tạo trong Excel;

Giải pháp được thực hiện trực tiếp trên trang web (trực tuyến) và miễn phí. Kết quả tính toán được trình bày dưới dạng báo cáo ở định dạng Word.

Hướng dẫn. Để có một nghiệm bằng phương pháp ma trận nghịch đảo, cần xác định số chiều của ma trận. Tiếp theo, trong hộp thoại mới, điền vào ma trận A và vectơ kết quả B.

Nhớ lại rằng nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính là bất kỳ tập hợp số nào (x 1, x 2, ..., x n) mà phép thay vào hệ này thay vì ẩn số tương ứng sẽ biến mỗi phương trình của hệ thành một đồng nhất.
Hệ phương trình đại số tuyến tính thường được viết dưới dạng (cho 3 biến): Xem thêm Lời giải của phương trình ma trận.

Giải thuật giải thuật

1. Định thức của ma trận A được tính. Nếu định thức bằng 0 thì hết nghiệm. Hệ thống có vô số nghiệm.
2. Khi định thức khác 0, ma trận nghịch đảo A -1 được tìm thấy thông qua các phép cộng đại số.
3. Vectơ quyết định X = (x 1, x 2, ..., x n) nhận được bằng cách nhân ma trận nghịch đảo với vectơ kết quả B.

Ví dụ 1. Tìm nghiệm của hệ bằng phương pháp ma trận. Ta viết ma trận dưới dạng:

Phép cộng đại số.

A 1,1 = (-1) 1 + 1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1 + 2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1 + 3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2.1 = (-1) 2 + 1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2 + 2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2.3 = (-1) 2 + 3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3 + 1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

A 3,2 = (-1) 3 + 2

2 1 3 2

∆ 3,2 = -(2 2-3 1) = -1

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Kiểm tra:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Ví dụ # 2. Giải SLAE bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
2x1 + 3x2 + 3x3 + x4 = 1
3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 2
5x1 + 7x2 + 6x3 + 2x4 = 3
4x1 + 4x2 + 3x3 + x4 = 4

Ta viết ma trận dưới dạng:

Vectơ B:
B T = (1,2,3,4)
Yếu tố quyết định chính
Nhỏ cho (1,1):

= 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3
Nhỏ cho (2,1):

= 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0
Nhỏ cho (3,1):

= 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3
Nhỏ cho (4,1):

= 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3
Yếu tố quyết định nhỏ
∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Ví dụ # 4. Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận và giải bằng ma trận nghịch đảo.
Giải pháp: xls

Ví dụ số 5. Một hệ gồm ba phương trình tuyến tính với ba ẩn số được đưa ra. Yêu cầu: 1) tìm giải pháp của nó bằng cách sử dụng các công thức của Cramer; 2) Viết hệ thống dưới dạng ma trận và giải nó bằng phép tính ma trận.
Nguyên tắc. Sau khi giải bằng phương pháp Cramer, tìm nút "Nghiệm ma trận nghịch đảo cho dữ liệu ban đầu". Bạn sẽ nhận được một quyết định thích hợp. Như vậy, dữ liệu sẽ không phải điền lại.
Quyết định. Ký hiệu bằng A - ma trận các hệ số cho ẩn số; X - ma trận cột ẩn số; B - cột ma trận của các thành viên miễn phí:

-1 3 0 3 -2 1 2 1 -1

Vectơ B:
B T = (4, -3, -3)
Với các kí hiệu này, hệ phương trình này có dạng ma trận sau: A * X = B.
Nếu ma trận A không số ít (định thức của nó khác 0, thì nó có ma trận nghịch đảo A -1. Nhân cả hai vế của phương trình với A -1, ta được: A -1 * A * X \ u003d A -1 * B, A -1 * A = E.
Sự bình đẳng này được gọi là ký hiệu ma trận của nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Để tìm nghiệm của hệ phương trình, cần tính ma trận nghịch đảo A -1.
Hệ thống sẽ có nghiệm nếu định thức của ma trận A khác 0.
Chúng ta hãy tìm yếu tố quyết định chính.
∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14
Vì vậy, định thức là 14 ≠ 0, vì vậy chúng tôi tiếp tục giải pháp. Để làm điều này, chúng tôi tìm ma trận nghịch đảo thông qua các phép cộng đại số.
Để chúng ta có một ma trận không kỳ dị A:
Chúng tôi tính toán các phép cộng đại số.

A 1,1 = (- 1) 1 + 1

-2 1 1 -1

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

A 1,2 = (- 1) 1 + 2

3 1 0 -1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

A 1,3 = (- 1) 1 + 3

3 -2 0 1

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

A 2.1 = (- 1) 2 + 1

3 2 1 -1

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

A 2,2 = (- 1) 2 + 2

-1 2 0 -1

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

A 2.3 = (- 1) 2 + 3

-1 3 0 1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

A 3,1 = (- 1) 3 + 1

3 2 -2 1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
·

4

-3

-3

X = 1/14

-3))

Yếu tố quyết định chính
∆=4 (0 1-3 (-2))-2 (1 1-3 (-1))+0 (1 (-2)-0 (-1))=16
Ma trận chuyển đổi
∆ 1,1 =(0 1-(-2 3))=6

A 1,2 = (- 1) 1 + 2

1 3 -1 1

∆ 1,2 =-(1 1-(-1 3))=-4

A 1,3 = (- 1) 1 + 3

1 0 -1 -2

∆ 1,3 =(1 (-2)-(-1 0))=-2

A 2.1 = (- 1) 2 + 1

2 0 -2 1

∆ 2,1 =-(2 1-(-2 0))=-2

A 2,2 = (- 1) 2 + 2

4 0 -1 1

∆ 2,2 =(4 1-(-1 0))=4

A 2.3 = (- 1) 2 + 3

4 2 -1 -2

∆ 2,3 =-(4 (-2)-(-1 2))=6

A 3,1 = (- 1) 3 + 1

2 0 0 3

∆ 3,1 =(2 3-0 0)=6

A 3,2 = (- 1) 3 + 2

4 0 1 3

∆ 3,2 =-(4 3-1 0)=-12

A 3,3 = (- 1) 3 + 3

1/16

6 -4 -2 -2 4 6 6 -12 -2

E = A * A -1 =

(4 6)+(1 (-2))+(-1 6)	(4 (-4))+(1 4)+(-1 (-12))	(4 (-2))+(1 6)+(-1 (-2))
(2 6)+(0 (-2))+(-2 6)	(2 (-4))+(0 4)+(-2 (-12))	(2 (-2))+(0 6)+(-2 (-2))
(0 6)+(3 (-2))+(1 6)	(0 (-4))+(3 4)+(1 (-12))	(0 (-2))+(3 6)+(1 (-2))

=1/16

16 0 0 0 16 0 0 0 16

A * A -1 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ví dụ số 7. Nghiệm của phương trình ma trận.
Chứng tỏ:

A =

3 0 5 2 1 4 -1 3 0

Phép cộng đại số

A 1,1 = (-1) 1 + 1

1 3 4 0

∆ 1,1 = (1*0 - 4*3) = -12

A 1,2 = (-1) 1 + 2

0 3 5 0

∆ 1,2 = -(0*0 - 5*3) = 15

A 1,3 = (-1) 1 + 3

0 1 5 4

∆ 1,3 = (0*4 - 5*1) = -5

A 2.1 = (-1) 2 + 1

2 -1 4 0

∆ 2,1 = -(2*0 - 4*(-1)) = -4

A 2,2 = (-1) 2 + 2

3 -1 5 0

∆ 2,2 = (3*0 - 5*(-1)) = 5

A 2.3 = (-1) 2 + 3

3 2 5 4

∆ 2,3 = -(3*4 - 5*2) = -2

A 3,1 = (-1) 3 + 1

2 -1 1 3

∆ 3,1 = (2*3 - 1*(-1)) = 7
1 / -1

-12	15	-5
-4	5	-2
7	-9	3

= Vectơ B:
B T = (31,13,10)

X T = (4,05,6.13,7,54)
x 1 \ u003d 158/39 \ u003d 4,05
x 2 \ u003d 239/39 \ u003d 6.13
x 3 \ u003d 294/39 \ u003d 7,54
Kiểm tra.
-2 4.05+-1 6.13+6 7.54=31
1 4.05+-1 6.13+2 7.54=13
2 4.05+4 6.13+-3 7.54=10

Ví dụ số 9. Ký hiệu bằng A - ma trận các hệ số cho ẩn số; X - ma trận cột ẩn số; B - cột ma trận của các thành viên miễn phí:

-2 1 6 1 -1 2 2 4 -3

Vectơ B:
B T = (31,13,10)

X T = (5,21,4.51,6,15)
x 1 \ u003d 276/53 \ u003d 5,21
x 2 \ u003d 239/53 \ u003d 4,51
x 3 \ u003d 326/53 \ u003d 6.15
Kiểm tra.
-2 5.21+1 4.51+6 6.15=31
1 5.21+-1 4.51+2 6.15=13
2 5.21+4 4.51+-3 6.15=10

Ví dụ # 10. Nghiệm của phương trình ma trận.
Chứng tỏ:

Phép cộng đại số
A 11 \ u003d (-1) 1 + 1 -3 \ u003d -3; A 12 \ u003d (-1) 1 + 2 3 \ u003d -3; A 21 \ u003d (-1) 2 + 1 1 \ u003d -1; A 22 \ u003d (-1) 2 + 2 2 \ u003d 2;
Ma trận nghịch đảo A -1.
1 / -9

-3	-3
-1	2

=

1	-2
1	1

Trả lời:

X =

1 -2 1 1

6.4. Một số ứng dụng của sản phẩm chấm

11. Biểu thức của tích vô hướng của một vectơ dưới dạng tọa độ của các thừa số. Định lý.

12. Độ dài của vectơ, độ dài đoạn thẳng, góc giữa các vectơ, điều kiện vuông góc của vectơ.

13. Tích vectơ của vectơ, các tính chất của nó. Diện tích hình bình hành.

14. Tích hỗn hợp của vectơ, tính chất của nó. Điều kiện của tính tuân thủ vectơ. Thể tích của hình bình hành. Thể tích của hình chóp.

15. Các phương pháp dựng đoạn thẳng trên mặt phẳng.

16. Phương trình pháp tuyến của đường thẳng trên mặt phẳng (đạo hàm). Ý nghĩa hình học của các hệ số.

17. Phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng trong các đoạn (kết luận).

Rút gọn phương trình tổng quát của mặt phẳng thành phương trình của mặt phẳng thành từng đoạn.

18. Phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng có hệ số góc (ra).

19. Phương trình của đường thẳng trên mặt phẳng đi qua hai điểm (kết luận).

20. Góc giữa các đường thẳng trên một mặt phẳng (kết luận).

21. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên một mặt phẳng (đầu ra).

22. Điều kiện song song và vuông góc của đường thẳng trên một mặt phẳng (kết luận).

23. Phương trình của mặt phẳng. Phương trình pháp tuyến của mặt phẳng (đạo hàm). Ý nghĩa hình học của các hệ số.

24. Phương trình của mặt phẳng trong các đoạn (kết luận).

25. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (ra).

26. Góc giữa các mặt phẳng (đầu ra).

27. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (đầu ra).

28. Điều kiện song song và vuông góc của mặt phẳng (kết luận).

29. Phương trình của một đường thẳng trong r3. Phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm cố định (đạo hàm).

30. Phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian (đạo hàm).

Lập phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian.

Các trường hợp riêng của phương trình chính tắc của một đường thẳng trong không gian.

Phương trình chính tắc của một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước trong không gian.

Chuyển từ phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian sang dạng phương trình khác của đường thẳng.

31. Góc giữa các đường thẳng (đầu ra).

32. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên một mặt phẳng (đầu ra).

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trên mặt phẳng - lý thuyết, ví dụ, lời giải.

Cách đầu tiên để tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước trên một mặt phẳng.

Phương pháp thứ hai, cho phép bạn tìm khoảng cách từ một điểm nhất định đến một đường thẳng nhất định trên mặt phẳng.

Giải các bài toán về tìm khoảng cách từ một điểm cho trước đến một đường thẳng cho trước trên một mặt phẳng.

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian - lý thuyết, ví dụ, lời giải.

Cách đầu tiên để tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng trong không gian.

Phương pháp thứ hai, cho phép bạn tìm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.

33. Điều kiện song song và vuông góc của đường thẳng trong không gian.

34. Sự sắp xếp tương hỗ của đường thẳng trong không gian và đường thẳng với mặt phẳng.

35. Phương trình cổ điển của một elip (đạo hàm) và cách xây dựng của nó. Phương trình chính tắc của một hình elip có dạng, đó là các số thực dương, hơn nữa. Làm thế nào để xây dựng một hình elip?

36. Phương trình cổ điển của một hyperbol (đạo hàm) và cách xây dựng của nó. Không có triệu chứng.

37. Phương trình chính tắc của một parabol (đạo hàm) và cách dựng.

38. Chức năng. Định nghĩa cơ bản. Đồ thị của các hàm sơ cấp cơ bản.

39. Các dãy số. Giới hạn của dãy số.

40. Số lượng nhỏ vô hạn và lớn vô hạn. Định lý về mối liên hệ giữa chúng, các tính chất.

41. Định lý về hành động trên các biến có giới hạn hữu hạn.

42. Số e.

Các nội dung

Phương pháp xác định

Tính chất

Câu chuyện

Các ước tính

43. Định nghĩa giới hạn của hàm số. Tiết lộ những điều không chắc chắn.

44. Giới hạn đáng chú ý, kết luận của họ. Các đại lượng thập phân tương đương.

Các nội dung

Giới hạn tuyệt vời đầu tiên

Giới hạn tuyệt vời thứ hai

45. Giới hạn một phía. Tính liên tục và tính không liên tục của chức năng. Giới hạn một phía

Giới hạn bên trái và bên phải của một hàm

Điểm gián đoạn của loại đầu tiên

Điểm gián đoạn của loại thứ hai

Điểm ngắt

46. ​​Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học, ý nghĩa cơ học của đạo hàm. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của một đường cong và một điểm.

47. Định lý về đạo hàm của hàm số phức, nghịch biến.

48. Đạo hàm của các hàm sơ cấp đơn giản nhất.

49. Phân biệt các hàm tham số, hàm ẩn và hàm số mũ.

21. Phân biệt các hàm được xác định ngầm và theo tham số

21.1. Hàm ẩn

21.2. Hàm được xác định theo tham số

50. Phái sinh của đơn đặt hàng cao hơn. Công thức Taylor.

51. Vi sai. Ứng dụng của vi phân để tính toán gần đúng.

52. Các định lý của Rolle, Lagrange, Cauchy. Quy tắc của L'Hopital.

53. Định lý về điều kiện cần và đủ để tính đơn điệu của hàm số.

54. Xác định cực đại, cực tiểu của hàm số. Định lý về điều kiện cần và đủ để tồn tại cực trị của hàm số.

Định lý (điều kiện cực trị cần thiết)

55. Độ lồi và độ tụ của đường cong. Điểm biến đổi. Định lý về điều kiện cần và đủ để tồn tại điểm uốn.

Bằng chứng

57. Định thức bậc n, tính chất của chúng.

58. Ma trận và hành động trên chúng. Xếp hạng ma trận.

Sự định nghĩa

Các định nghĩa liên quan

Tính chất

Biến đổi tuyến tính và xếp hạng ma trận

59. Ma trận nghịch đảo. Định lý về sự tồn tại của ma trận nghịch đảo.

60. Hệ phương trình tuyến tính. Nghiệm ma trận của hệ phương trình tuyến tính. Quy tắc của Cramer. Phương pháp Gauss. Định lý Kronecker-Capelli.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính, phương pháp giải, ví dụ minh họa.

Định nghĩa, khái niệm, chỉ định.

Giải pháp của hệ thống cơ bản của phương trình đại số tuyến tính.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận (sử dụng ma trận nghịch đảo).

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Định lý Kronecker-Capelli.

Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tổng quát.

Ghi lại nghiệm tổng quát của hệ đại số tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất bằng cách sử dụng vectơ của hệ nghiệm cơ bản.

Giải hệ phương trình rút gọn thành slough.

Ví dụ về các bài toán rút gọn về giải hệ phương trình đại số tuyến tính.

Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận (sử dụng ma trận nghịch đảo).

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính được cho dưới dạng ma trận, trong đó ma trận Một có kích thước N trên N và định thức của nó khác 0.

Kể từ đó, ma trận NHƯNG là khả nghịch, tức là có một ma trận nghịch đảo. Nếu chúng ta nhân cả hai vế của đẳng thức với bên trái, chúng ta sẽ có công thức tìm ma trận cột của các biến chưa biết. Như vậy ta đã có nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận.

phương pháp ma trận.

Hãy viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:

Như thì SLAE có thể được giải bằng phương pháp ma trận. Sử dụng ma trận nghịch đảo, giải pháp cho hệ thống này có thể được tìm thấy là .

Chúng tôi xây dựng một ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng một ma trận gồm các phần tử bổ sung đại số của các phần tử ma trận NHƯNG(nếu cần, hãy xem bài viết phương pháp tìm ma trận nghịch đảo):

Nó vẫn còn để tính toán - ma trận của các biến chưa biết bằng cách nhân ma trận nghịch đảo trên một cột ma trận gồm các thành viên tự do (nếu cần, hãy xem bài viết về các phép toán trên ma trận):

hoặc trong một mục khác x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Vấn đề chính trong việc tìm lời giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp ma trận là độ phức tạp của việc tìm ma trận nghịch đảo, đặc biệt là đối với ma trận vuông bậc ba.

Để có mô tả chi tiết hơn về lý thuyết và các ví dụ bổ sung, hãy xem bài viết phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính.

Đầu trang

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Giả sử chúng ta cần tìm giải pháp cho hệ thống từ N phương trình tuyến tính với N biến không xác định định thức của ma trận chính khác 0.

Bản chất của phương pháp Gauss bao gồm việc loại trừ liên tiếp các biến không xác định: đầu tiên, x 1 từ tất cả các phương trình của hệ thống, bắt đầu từ phương trình thứ hai, sau đó x 2 của tất cả các phương trình, bắt đầu bằng phương trình thứ ba, v.v., cho đến khi chỉ còn lại biến chưa biết trong phương trình cuối cùng x N. Quá trình biến đổi phương trình của hệ để loại bỏ liên tiếp các biến chưa biết như vậy được gọi là phương pháp Gauss trực tiếp. Sau khi hoàn thành bước chuyển tiếp của phương pháp Gauss, từ phương trình cuối cùng, chúng ta tìm thấy x N, sử dụng giá trị này từ phương trình áp chót được tính x n-1, v.v., từ phương trình đầu tiên được tìm thấy x 1 . Quá trình tính toán các biến chưa biết khi chuyển từ phương trình cuối cùng của hệ sang phương trình đầu tiên được gọi là đảo ngược phương pháp Gauss.

Hãy để chúng tôi mô tả ngắn gọn thuật toán loại bỏ các biến chưa biết.

Chúng ta sẽ giả định rằng, vì chúng ta luôn có thể đạt được điều này bằng cách sắp xếp lại các phương trình của hệ thống. Loại bỏ biến không xác định x 1 từ tất cả các phương trình của hệ thống, bắt đầu từ phương trình thứ hai. Để thực hiện việc này, hãy thêm phương trình đầu tiên nhân với phương trình thứ hai của hệ thống, thêm phương trình đầu tiên nhân với phương trình thứ ba, v.v. n-th thêm phương trình đầu tiên, nhân với. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng nơi một .

Chúng tôi sẽ đạt được kết quả tương tự nếu chúng tôi bày tỏ x 1 thông qua các biến chưa biết khác trong phương trình đầu tiên của hệ thống và biểu thức kết quả được thay thế vào tất cả các phương trình khác. Vì vậy, biến x 1 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu với phương trình thứ hai.

Tiếp theo, chúng tôi hành động tương tự, nhưng chỉ với một phần của hệ thống kết quả, được đánh dấu trong hình

Để làm điều này, hãy cộng số thứ hai nhân với phương trình thứ ba của hệ thống, cộng số thứ hai nhân với phương trình thứ tư, v.v. n-th thêm phương trình thứ hai, nhân với. Hệ phương trình sau khi biến đổi như vậy sẽ có dạng nơi một . Vì vậy, biến x 2 bị loại khỏi tất cả các phương trình, bắt đầu với phương trình thứ ba.

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành loại bỏ những điều chưa biết x 3 , trong khi chúng tôi hành động tương tự với phần của hệ thống được đánh dấu trong hình

Vì vậy, chúng tôi tiếp tục quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss cho đến khi hệ thống có dạng

Từ thời điểm này, chúng tôi bắt đầu quy trình ngược lại của phương pháp Gauss: chúng tôi tính toán x N từ phương trình cuối cùng, sử dụng giá trị thu được x N tìm thấy x n-1 từ phương trình áp chót, v.v., chúng tôi tìm thấy x 1 từ phương trình đầu tiên.

Giải hệ phương trình tuyến tính Phương pháp Gaussian.

Loại bỏ biến không xác định x 1 từ phương trình thứ hai và thứ ba của hệ thống. Để làm điều này, đối với cả hai phần của phương trình thứ hai và thứ ba, chúng tôi cộng các phần tương ứng của phương trình thứ nhất, nhân với và tương ứng với:

Bây giờ chúng ta loại bỏ khỏi phương trình thứ ba x 2 , thêm vào các phần bên trái và bên phải của nó các phần bên trái và bên phải của phương trình thứ hai, nhân với:

Khi này, quá trình thuận của phương pháp Gauss đã hoàn thành, chúng ta bắt đầu quá trình ngược lại.

Từ phương trình cuối cùng của hệ phương trình, chúng ta thấy x 3 :

Từ phương trình thứ hai chúng ta nhận được.

Từ phương trình đầu tiên, chúng ta tìm thấy biến còn lại chưa biết và điều này hoàn thành quy trình ngược lại của phương pháp Gauss.

x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1 .

Để biết thêm thông tin chi tiết và các ví dụ bổ sung, hãy xem phần giải hệ cơ bản của phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gauss.

Đầu trang