Tìm đạo hàm của một hàm tham số. Đạo hàm của một hàm được xác định theo cách tham số

Đừng căng thẳng, trong đoạn này, mọi thứ khá đơn giản. Có thể được viết công thức chung theo tham số chức năng nhất định, nhưng, để làm rõ hơn, tôi sẽ ngay lập tức viết ra ví dụ cụ thể. Ở dạng tham số, hàm được cho bởi hai phương trình:. Thông thường, các phương trình không được viết dưới dấu ngoặc nhọn mà theo thứ tự:,.

Một biến được gọi là tham số và có thể nhận các giá trị từ "trừ vô cùng" đến "cộng vô cùng". Ví dụ, hãy xem xét giá trị và thay thế nó vào cả hai phương trình: . Hay theo cách nói của con người: "nếu x bằng bốn, thì y bằng một." Trên mặt phẳng tọa độ bạn có thể đánh dấu một điểm và điểm này sẽ tương ứng với giá trị của tham số. Tương tự, bạn có thể tìm thấy một điểm cho bất kỳ giá trị nào của tham số "te". Đối với hàm "thông thường", đối với người da đỏ Mỹ của một hàm cho trước tham số, tất cả các quyền cũng được tôn trọng: bạn có thể vẽ đồ thị, tìm đạo hàm, v.v. Nhân tiện, nếu có nhu cầu dựng đồ thị của một hàm số đã cho theo tham số, hãy tải chương trình hình học của tôi trên trang Công thức toán học và bảng.

Trong những trường hợp đơn giản nhất, có thể biểu diễn hàm một cách tường minh. Chúng tôi biểu diễn tham số từ phương trình đầu tiên: và thay thế nó vào phương trình thứ hai: . Kết quả là một hàm bậc ba thông thường.

Trong những trường hợp "nghiêm trọng" hơn, một thủ thuật như vậy không hoạt động. Nhưng đây không phải là vấn đề, bởi vì để tìm đạo hàm hàm tham số có một công thức:

Chúng tôi tìm thấy đạo hàm của "trình phát đối với biến te":

Tất nhiên, tất cả các quy tắc phân biệt và bảng phái sinh đều có giá trị đối với chữ cái, do đó, không có tính mới trong quá trình tìm kiếm các dẫn xuất. Chỉ cần nhẩm thay thế tất cả các chữ "x" trong bảng bằng chữ "te".

Chúng tôi tìm đạo hàm của "x đối với biến te":

Bây giờ nó chỉ còn lại để thay thế các dẫn xuất tìm thấy vào công thức của chúng tôi:

Sẵn sàng. Đạo hàm, giống như bản thân hàm, cũng phụ thuộc vào tham số.

Đối với ký hiệu, thay vì viết trong công thức, người ta có thể chỉ cần viết nó mà không có chỉ số con, vì đây là đạo hàm “thông thường” “bởi x”. Nhưng luôn có một biến thể trong văn học, vì vậy tôi sẽ không đi lệch tiêu chuẩn.

Ví dụ 6

Chúng tôi sử dụng công thức

TẠI trường hợp này:

Như vậy:

Một tính năng của việc tìm đạo hàm của một hàm tham số là thực tế là ở mỗi bước, điều thuận lợi là đơn giản hóa kết quả càng nhiều càng tốt. Vì vậy, trong ví dụ được xem xét, khi tìm, tôi đã mở dấu ngoặc dưới gốc (mặc dù tôi có thể chưa làm điều này). Có một cơ hội lớn là khi thay thế và vào công thức, nhiều thứ sẽ được giảm bớt. Mặc dù tất nhiên, có những ví dụ với câu trả lời vụng về.

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số đã cho theo tham số

Đây là một ví dụ do-it-yourself.

Trong bài báo Động vật nguyên sinh nhiệm vụ điển hình với phái sinh chúng tôi đã xem xét các ví dụ trong đó nó được yêu cầu để tìm đạo hàm cấp hai của một hàm. Đối với một hàm đã cho có tham số, bạn cũng có thể tìm đạo hàm cấp hai và nó được tìm theo công thức sau:. Rõ ràng là để tìm đạo hàm cấp hai, trước hết người ta phải tìm đạo hàm cấp một.

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm cấp một và cấp hai của một hàm số đã cho theo tham số

Trước hết chúng ta hãy tìm đạo hàm bậc nhất.
Chúng tôi sử dụng công thức

Trong trường hợp này:

Thay thế các dẫn xuất tìm được vào công thức. Để đơn giản, chúng tôi sử dụng công thức lượng giác:

Tôi nhận thấy rằng trong bài toán tìm đạo hàm của một hàm tham số, khá thường xuyên, để đơn giản hóa, người ta phải sử dụng công thức lượng giác . Hãy nhớ chúng hoặc giữ chúng tiện dụng, và đừng bỏ lỡ cơ hội để đơn giản hóa từng thứ. kết quả trung gian Và câu trả lời. Để làm gì? Bây giờ chúng ta phải lấy đạo hàm của, và điều này rõ ràng là tốt hơn việc tìm đạo hàm của.

Hãy tìm đạo hàm cấp hai.
Chúng tôi sử dụng công thức:.

Hãy nhìn vào công thức của chúng tôi. Mẫu số đã được tìm thấy ở bước trước. Nó vẫn còn để tìm tử số - đạo hàm của đạo hàm đầu tiên đối với biến "te":

Nó vẫn sử dụng công thức:

Để củng cố tài liệu, tôi cung cấp thêm một vài ví dụ cho một giải pháp độc lập.

Ví dụ 9

Ví dụ 10

Tìm và cho một hàm được xác định theo tham số

Chúc bạn may mắn!

Tôi hy vọng bài học này hữu ích và bây giờ bạn có thể dễ dàng tìm thấy các đạo hàm của hàm ẩn và hàm tham số

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3: Giải pháp:






Như vậy:

Công thức cho đạo hàm của một hàm được xác định theo một cách tham số. Chứng minh và các ví dụ về ứng dụng của công thức này. Ví dụ về tính toán đạo hàm bậc nhất, bậc hai và bậc ba.

Để hàm được cho theo một cách tham số:
(1)
một số biến được gọi là tham số ở đâu. Và cho các hàm và có đạo hàm tại một số giá trị của biến. Hơn nữa, chức năng có chức năng trái ngược trong một số vùng lân cận của điểm. Khi đó hàm (1) có đạo hàm tại điểm, ở dạng tham số, được xác định bằng công thức:
(2)

Đây và là đạo hàm của các hàm và đối với biến (tham số). Chúng thường được viết dưới dạng sau:
;
.

Khi đó hệ thống (2) có thể được viết như sau:

Bằng chứng

Theo điều kiện, hàm số có một hàm số nghịch biến. Hãy biểu thị nó là
.
Khi đó, hàm ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm phức tạp:
.
Hãy tìm đạo hàm của nó bằng cách áp dụng các quy tắc phân biệt của hàm phức và hàm nghịch biến:
.

Quy tắc đã được chứng minh.

Chứng minh theo cách thứ hai

Hãy tìm đạo hàm theo cách thứ hai, dựa vào định nghĩa về đạo hàm của hàm số tại điểm:
.
Hãy giới thiệu ký hiệu:
.
Sau đó, công thức trước có dạng:
.

Hãy để chúng tôi sử dụng thực tế rằng hàm có một hàm ngược, trong vùng lân cận của điểm.
Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu:
; ;
; .
Chia tử số và mẫu số của phân số cho:
.
Tại , . sau đó
.

Quy tắc đã được chứng minh.

Phái sinh của các đơn đặt hàng cao hơn

Để tìm các công cụ phái sinh của các lệnh cao hơn, cần thực hiện phân biệt nhiều lần. Giả sử chúng ta cần tìm đạo hàm cấp hai của một hàm số đã cho dưới dạng tham số, có dạng sau:
(1)

Theo công thức (2), chúng ta tìm thấy đạo hàm cấp một, cũng được xác định theo tham số:
(2)

Biểu thị đạo hàm đầu tiên bằng một biến:
.
Sau đó, để tìm đạo hàm cấp hai của hàm đối với biến, bạn cần tìm đạo hàm cấp một của hàm đối với biến. Sự phụ thuộc của một biến vào một biến cũng được xác định theo cách tham số:
(3)
So sánh (3) với công thức (1) và (2), ta thấy:

Bây giờ hãy biểu diễn kết quả theo các hàm và. Để làm điều này, chúng tôi thay thế và áp dụng công thức cho đạo hàm của một phân số:
.
sau đó
.

Từ đây, chúng ta thu được đạo hàm cấp hai của hàm đối với biến:

Nó cũng được đưa ra dưới dạng tham số. Lưu ý rằng dòng đầu tiên cũng có thể được viết như sau:
.

Tiếp tục quá trình, có thể nhận được các đạo hàm của hàm từ một biến bậc ba trở lên.

Lưu ý rằng có thể không giới thiệu ký hiệu cho đạo hàm. Nó có thể được viết như thế này:
;
.

ví dụ 1

Tìm đạo hàm của một hàm số đã cho theo một cách tham số:

Quyết định

Chúng tôi tìm thấy các dẫn xuất của và liên quan đến.
Từ bảng đạo hàm ta tìm được:
;
.
Chúng tôi áp dụng:

.
Đây .

.
Đây .

Đạo hàm mong muốn:
.

Trả lời

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của hàm số được biểu thị qua tham số:

Quyết định

Hãy mở dấu ngoặc bằng cách sử dụng các công thức cho hàm lũy thừa và gốc:
.

Chúng tôi tìm đạo hàm:

.

Chúng tôi tìm đạo hàm. Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu một biến và áp dụng công thức cho đạo hàm của một hàm phức.

.

Chúng tôi tìm thấy đạo hàm mong muốn:
.

Trả lời

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm thứ hai và thứ ba của hàm số đã cho theo tham số trong ví dụ 1:

Quyết định

Trong ví dụ 1, chúng tôi tìm thấy đạo hàm bậc nhất:

Hãy giới thiệu ký hiệu. Khi đó, hàm là đạo hàm đối với. Nó được thiết lập theo tham số:

Để tìm đạo hàm thứ hai đối với, chúng ta cần tìm đạo hàm thứ nhất đối với.

Chúng tôi phân biệt đối với.
.
Chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm trong ví dụ 1:
.
Đạo hàm bậc hai đối với bằng với đạo hàm bậc nhất đối với:
.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy đạo hàm cấp hai đối với dạng tham số:

Bây giờ chúng ta tìm đạo hàm của bậc ba. Hãy giới thiệu ký hiệu. Sau đó, chúng ta cần tìm đạo hàm cấp một của hàm, được cho theo một cách tham số:

Chúng tôi tìm thấy đạo hàm đối với. Để làm điều này, chúng tôi viết lại dưới dạng tương đương:
.
Từ

.

Đạo hàm bậc ba đối với bằng với đạo hàm bậc nhất đối với:
.

Nhận xét

Có thể không giới thiệu các biến và, là các dẫn xuất của và, tương ứng. Sau đó, bạn có thể viết nó như thế này:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Trả lời

Trong biểu diễn tham số, đạo hàm cấp hai có lần xem tiếp theo:

Đạo hàm bậc ba:

Cho đến nay, chúng ta đã xem xét các phương trình của các đường trên mặt phẳng, liên quan trực tiếp đến tọa độ hiện tại của các điểm của các đường này. Tuy nhiên, một cách khác để xác định đường thường được sử dụng, trong đó tọa độ hiện tại được coi là hàm của một biến thứ ba.

Cho hai hàm của một biến đã cho

được xem xét đối với các giá trị tương tự của t. Khi đó bất kỳ giá trị nào của t tương ứng với giá trị nhất định và một giá trị nhất định của y, và do đó, và điểm nhất định. Khi biến t chạy qua tất cả các giá trị từ miền hàm số (73), điểm mô tả một số đường thẳng C trong mặt phẳng. Phương trình (73) được gọi là phương trình tham số dòng này và biến là một tham số.

Giả sử rằng hàm số có một hàm số nghịch biến Thay hàm số này vào hàm thứ hai của phương trình (73), ta thu được phương trình

thể hiện y dưới dạng một hàm

Chúng ta hãy đồng ý rằng hàm này được cho tham số bởi phương trình (73). Sự chuyển đổi từ các phương trình này sang phương trình (74) được gọi là loại bỏ tham số. Khi xem xét các hàm được định nghĩa theo tham số, việc loại trừ tham số không những không cần thiết mà còn không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được.

Trong nhiều trường hợp, việc hỏi sẽ thuận tiện hơn nhiều những nghĩa khác nhau, sau đó, sử dụng công thức (73), tính các giá trị tương ứng của đối số và hàm y.

Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ 1. Cho - điểm tùy ýđường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính R. Tọa độ Descartes x và y của điểm này được biểu thị theo bán kính cực và góc cực của nó, chúng ta ký hiệu ở đây bằng t, như sau (xem Chương I, § 3, mục 3):

Phương trình (75) được gọi là phương trình tham số của đường tròn. Tham số trong chúng là góc cực, thay đổi từ 0 đến.

Nếu phương trình (75) là bình phương từng số hạng và được thêm vào, thì do đồng nhất, tham số sẽ bị loại bỏ và phương trình của đường tròn sẽ nhận được trong Hệ thống Descartes tọa độ xác định hai hàm cơ bản:

Mỗi hàm này được xác định theo tham số bằng phương trình (75), nhưng phạm vi biến thiên của tham số cho các hàm này là khác nhau. Đối với người đầu tiên; đồ thị của hàm này là hình bán nguyệt trên. Đối với hàm số thứ hai, đồ thị của nó là hình bán nguyệt phía dưới.

Ví dụ 2. Xét một hình elip đồng thời

và một đường tròn có tâm tại điểm gốc và bán kính a (Hình. 138).

Với mỗi điểm M của elip, ta liên kết một điểm N của đường tròn, có hoành độ bằng điểm M và nằm cùng phía với trục Ox. Vị trí của điểm N, và do đó của điểm M, hoàn toàn được xác định bởi góc cực t của điểm. Trong trường hợp này, đối với abscissa chung của chúng, chúng ta thu được biểu hiện sau: x = a. Ta tìm hoành độ tại điểm M từ phương trình elip:

Dấu được chọn vì hoành độ tại điểm M và hoành độ tại điểm N phải cùng dấu.

Do đó, các phương trình tham số sau đây thu được cho hình elip:

Ở đây tham số t thay đổi từ 0 thành.

Ví dụ 3. Xét một đường tròn có tâm tại điểm a) và bán kính a, rõ ràng là tiếp xúc với trục x tại điểm gốc (Hình. 139). Giả sử nó là đường tròn này lăn mà không trượt dọc theo trục x. Khi đó điểm M của đường tròn trùng với thời điểm ban đầu với nguồn gốc mô tả một dòng được gọi là xycloid.

Ta suy ra phương trình tham số của xiclo, lấy tham số t là góc quay của đường tròn MSW khi di chuyển điểm cố định của nó từ vị trí O đến vị trí M. Khi đó với tọa độ và y của điểm M ta thu được các biểu thức sau:

Do đường tròn lăn dọc trục không trượt nên độ dài đoạn thẳng OB bằng độ dài cung VM. Vì độ dài của cung VM bằng tích của bán kính a bởi góc trung tâm t, sau đó. Cho nên . Nhưng, do đó,

Các phương trình này là phương trình tham số của xycloid. Khi thay đổi tham số t từ 0 thành hình tròn sẽ tạo ra một hết lượt. Điểm M sẽ mô tả một cung của xycloid.

Việc loại trừ tham số t ở đây dẫn đến các biểu thức rườm rà và thực tế là không thực tế.

Định nghĩa tham số của đường đặc biệt thường được sử dụng trong cơ học, và thời gian đóng vai trò của một tham số.

Ví dụ 4. Xác định quỹ đạo của một viên đạn bắn ra từ súng bằng tốc độ ban đầuở một góc a so với đường chân trời. Lực cản không khí và kích thước của đạn, xem xét nó điểm vật chất, chúng tôi bỏ mặc.

Hãy chọn một hệ tọa độ. Đối với gốc tọa độ, chúng tôi lấy điểm khởi hành của đạn từ họng súng. Hãy hướng trục Ox theo phương ngang và trục Oy - theo phương thẳng đứng, đặt chúng trên cùng một mặt phẳng với họng súng. Nếu không có lực hấp dẫn thì quả đạn sẽ chuyển động dọc theo đường thẳng tạo với trục Ox một góc a và đến thời điểm t thì quả đạn đã đi được quãng đường. Do trọng lực của trái đất, tại thời điểm này, viên đạn phải hạ xuống một giá trị theo phương thẳng đứng. Do đó, trong thực tế, tại thời điểm t, tọa độ của đường đạn được xác định theo công thức:

Trong các phương trình này - hằng số. Khi t thay đổi, tọa độ của điểm quỹ đạo đường đạn cũng sẽ thay đổi. Các phương trình là phương trình tham số của quỹ đạo đường đạn, trong đó tham số là thời gian

Diễn đạt từ phương trình đầu tiên và thay nó vào

phương trình thứ hai, ta nhận được phương trình của quỹ đạo đường đạn ở dạng Đây là phương trình của một parabol.