Công thức lượng giác cách giải. Bảo vệ thông tin cá nhân

Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định một người cụ thể hoặc liên hệ với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email của bạn, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và tin nhắn quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

Trong trường hợp cần thiết - theo quy định của pháp luật, trình tự tư pháp, trong thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - hãy tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định một người cụ thể hoặc liên hệ với anh ta.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:

Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email của bạn, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

Thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và tin nhắn quan trọng.
Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Các trường hợp ngoại lệ:

Trong trường hợp cần thiết - theo quy định của pháp luật, trình tự tư pháp, trong thủ tục pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan nhà nước trên lãnh thổ Liên bang Nga - hãy tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty

Không có gì bí mật khi thành công hay thất bại trong quá trình giải hầu hết mọi vấn đề chủ yếu phụ thuộc vào tính đúng đắn của việc xác định loại một phương trình đã cho, cũng như tính đúng đắn của việc tái tạo trình tự của tất cả các giai đoạn của lời giải. Tuy nhiên, trong trường hợp phương trình lượng giác, không khó để xác định phương trình đó là lượng giác. Nhưng trong quá trình xác định chuỗi hành động cần đưa chúng ta đến câu trả lời chính xác, chúng ta có thể gặp một số khó khăn nhất định. Hãy cùng tìm ra cách giải phương trình lượng giác một cách chính xác ngay từ đầu.

Giải phương trình lượng giác

Để giải phương trình lượng giác, bạn cần cố gắng thực hiện những điểm sau:

Chúng tôi đưa tất cả các hàm có trong phương trình của chúng tôi về "các góc giống nhau";
Cần đưa phương trình đã cho về “hàm số đồng dạng”;
Chúng ta phân tích vế trái của phương trình đã cho thành các thừa số hoặc các thành phần cần thiết khác.

Phương pháp

Phương pháp 1. Cần giải các phương trình đó theo hai giai đoạn. Đầu tiên, chúng ta biến đổi phương trình để có được dạng đơn giản nhất (đơn giản hóa) của nó. Phương trình: Cosx = a, Sinx = a và các phương trình tương tự được gọi là phương trình lượng giác đơn giản nhất. Bước thứ hai là giải phương trình đơn giản. Cần lưu ý rằng phương trình đơn giản nhất có thể được giải bằng phương pháp đại số, phương pháp này đã được chúng ta biết rõ từ khóa học đại số ở trường. Nó còn được gọi là phương pháp thay thế và thay thế biến. Với sự trợ giúp của các công thức rút gọn, trước tiên bạn cần chuyển đổi, sau đó thực hiện thay thế và sau đó tìm các gốc.

Tiếp theo, bạn cần phân tích phương trình của chúng ta thành các thừa số, đối với điều này, bạn cần di chuyển tất cả các số hạng sang bên trái và sau đó bạn có thể phân tích thành các thừa số. Bây giờ bạn cần đưa phương trình này về một phương trình thuần nhất, trong đó tất cả các số hạng đều có cùng hoành độ, và cosin và sin có cùng góc.

Trước khi giải phương trình lượng giác, bạn cần chuyển các số hạng của nó sang vế trái, lấy chúng từ vế phải, sau đó ta lấy ra tất cả các mẫu số chung trong ngoặc. Chúng tôi đánh đồng các dấu ngoặc và các hệ số của chúng tôi bằng 0. Dấu ngoặc tương đương của chúng ta là một phương trình thuần nhất bậc giảm được chia cho sin (cos) cho lũy thừa cao nhất. Bây giờ chúng ta giải phương trình đại số thu được liên quan đến tan.

Phương pháp 2. Một phương pháp khác mà bạn có thể giải phương trình lượng giác là chuyển sang nửa góc. Ví dụ, chúng ta giải phương trình: 3sinx-5cosx = 7.

Chúng ta cần đi đến một nửa góc, trong trường hợp của chúng ta là: 6sin (x / 2) * cos (x / 2) - 5cos² (x / 2) + 5sin² (x / 2) = 7sin² (x / 2) + 7cos² (x / 2) Và sau đó, chúng ta rút gọn tất cả các số hạng thành một phần (để thuận tiện, nên chọn đúng) và tiến hành giải phương trình.

Nếu cần, bạn có thể nhập một góc phụ trợ. Điều này được thực hiện khi bạn cần thay giá trị nguyên sin (a) hoặc cos (a) và dấu “a” chỉ đóng vai trò là một góc phụ.

tổng sản phẩm

Làm thế nào để giải các phương trình lượng giác bằng cách sử dụng tổng? Phương pháp được gọi là chuyển đổi tích thành tổng cũng có thể được sử dụng để giải các phương trình như vậy. Trong trường hợp này, cần sử dụng các công thức tương ứng với phương trình.

Ví dụ, chúng ta có một phương trình: 2sinx * sin3x = cos4x

Chúng ta cần giải quyết vấn đề này bằng cách chuyển vế trái thành một tổng, cụ thể là:

cos 4x –cos8x = cos4x,

x = p / 16 + pk / 8.

Nếu các phương pháp trên không phù hợp, và bạn vẫn chưa biết cách giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất, bạn có thể sử dụng một phương pháp khác - phép thay thế phổ quát. Với nó, bạn có thể biến đổi biểu thức và thực hiện thay thế. Ví dụ: Cos (x / 2) = u. Bây giờ chúng ta có thể giải phương trình với tham số u đã cho. Và sau khi nhận được kết quả mong muốn, đừng quên dịch giá trị này sang chiều ngược lại.

Nhiều học sinh “có kinh nghiệm” được khuyên nên tìm đến mọi người trên mạng để giải phương trình. Làm thế nào để giải một phương trình lượng giác trực tuyến, bạn yêu cầu. Để giải quyết vấn đề trực tuyến, bạn có thể chuyển sang các diễn đàn về các chủ đề có liên quan, nơi bạn có thể được giúp đỡ về lời khuyên hoặc giải quyết vấn đề. Nhưng điều tốt nhất là bạn nên cố gắng tự xoay sở.

Kỹ năng và khả năng giải phương trình lượng giác là rất quan trọng và hữu ích. Sự phát triển của chúng sẽ đòi hỏi bạn phải nỗ lực rất nhiều. Nhiều vấn đề trong vật lý, hình học lập thể, vv được liên kết với lời giải của các phương trình như vậy. Và chính quá trình giải quyết các vấn đề như vậy bao hàm sự hiện diện của các kỹ năng và kiến thức có thể thu được khi nghiên cứu các yếu tố của lượng giác.

Học công thức lượng giác

Trong quá trình giải một phương trình, bạn có thể gặp phải yêu cầu sử dụng bất kỳ công thức nào từ lượng giác. Tất nhiên, bạn có thể bắt đầu tìm kiếm nó trong sách giáo khoa và bảng gian lận của mình. Và nếu những công thức này được ghi vào đầu bạn, bạn sẽ không chỉ tiết kiệm được thần kinh mà còn khiến công việc của bạn trở nên dễ dàng hơn rất nhiều, không mất thời gian tìm kiếm thông tin cần thiết. Như vậy, bạn sẽ có cơ hội suy nghĩ thấu đáo để giải quyết vấn đề một cách hợp lý nhất.

Phương trình lượng giác không phải là chủ đề dễ nhất. Đáng tiếc là chúng rất đa dạng.) Ví dụ, những điều này:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Vân vân...

Nhưng những con quái vật lượng giác này (và tất cả những con quái vật lượng giác khác) có hai đặc điểm chung và bắt buộc. Thứ nhất - bạn sẽ không tin đâu - có các hàm lượng giác trong các phương trình.) Thứ hai: tất cả các biểu thức với x là trong các chức năng tương tự. Và chỉ ở đó! Nếu x xuất hiện ở đâu đó ở ngoài, Ví dụ, sin2x + 3x = 3,đây sẽ là một phương trình loại hỗn hợp. Các phương trình như vậy yêu cầu một cách tiếp cận riêng lẻ. Ở đây chúng tôi sẽ không xem xét chúng.

Chúng ta cũng sẽ không giải các phương trình ác trong bài học này.) Ở đây chúng ta sẽ giải quyết các phương trình lượng giác đơn giản nhất. Tại sao? Có, vì quyết định không tí nào phương trình lượng giác bao gồm hai giai đoạn. Ở giai đoạn đầu, ác phương trình được rút gọn thành đơn giản bằng nhiều phép biến đổi khác nhau. Trong lần thứ hai - phương trình đơn giản nhất này đã được giải quyết. Không con cach nao khac.

Vì vậy, nếu bạn gặp vấn đề trong giai đoạn thứ hai, thì giai đoạn đầu tiên không có nhiều ý nghĩa.)

Phương trình lượng giác cơ bản trông như thế nào?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Đây một là viết tắt của bất kỳ số nào. Không tí nào.

Nhân tiện, bên trong hàm có thể không có x thuần, mà là một số loại biểu thức, chẳng hạn như:

cos (3x + π / 3) = 1/2

vân vân. Điều này làm phức tạp cuộc sống, nhưng không ảnh hưởng đến phương pháp giải phương trình lượng giác.

Làm thế nào để giải các phương trình lượng giác?

Phương trình lượng giác có thể được giải bằng hai cách. Cách thứ nhất: sử dụng logic và một đường tròn lượng giác. Chúng ta sẽ khám phá con đường này tại đây. Cách thứ hai - sử dụng trí nhớ và công thức - sẽ được xem xét trong bài học tiếp theo.

Cách đầu tiên là rõ ràng, đáng tin cậy và khó quên.) Nó rất tốt để giải các phương trình lượng giác, bất phương trình và tất cả các loại ví dụ không chuẩn phức tạp. Logic mạnh hơn trí nhớ!

Chúng tôi giải phương trình bằng cách sử dụng một đường tròn lượng giác.

Chúng tôi bao gồm logic cơ bản và khả năng sử dụng một vòng tròn lượng giác. Bạn không thể !? Tuy nhiên ... Nó sẽ khó cho bạn trong lượng giác ...) Nhưng nó không quan trọng. Xem qua các bài học "Đường tròn lượng giác ...... Là gì?" và "Đếm góc trên đường tròn lượng giác." Mọi thứ đều đơn giản ở đó. Không giống như sách giáo khoa ...)

A, bạn biết không !? Và thậm chí còn thành thạo "Bài tập thực hành với đường tròn lượng giác"!? Chấp nhận lời chúc mừng. Chủ đề này sẽ gần gũi và dễ hiểu với các bạn) Điều đặc biệt dễ hiểu là đường tròn lượng giác không quan tâm bạn giải phương trình nào. Sine, cosine, tiếp tuyến, cotang - mọi thứ đều giống nhau đối với anh ta. Nguyên tắc giải pháp là như nhau.

Vì vậy, chúng tôi nhận bất kỳ phương trình lượng giác sơ cấp. Ít nhất điều này:

cosx = 0,5

Tôi cần tìm X. Nói bằng ngôn ngữ của con người, bạn cần tìm góc (x) có cosin là 0,5.

Trước đây chúng ta sử dụng vòng tròn như thế nào? Chúng tôi đã vẽ một góc trên đó. Tính bằng độ hoặc radian. Và ngay lập tức đã xem hàm lượng giác của góc này. Bây giờ chúng ta hãy làm ngược lại. Vẽ một côsin bằng 0,5 trên đường tròn và ngay lập tức chúng ta sẽ thấy mũi tiêm. Nó chỉ còn lại để viết ra câu trả lời.) Vâng, vâng!

Ta vẽ một đường tròn và đánh dấu cosin bằng 0,5. Tất nhiên, trên trục cosine. Như thế này:

Bây giờ chúng ta hãy vẽ góc mà cosine này cho chúng ta. Di chuột qua ảnh (hoặc chạm vào ảnh trên máy tính bảng) và xem cùng góc này X.

Góc nào có cosin bằng 0,5?

x \ u003d π / 3

cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5

Một số người sẽ càu nhàu hoài nghi, vâng ... Họ nói, liệu có đáng để vượt rào, khi mọi thứ đều rõ ràng ... Tất nhiên, bạn có thể càu nhàu ...) Nhưng thực tế là đây là một sai lầm trả lời. Hay nói đúng hơn là không đủ. Những người sành về đường tròn hiểu rằng vẫn có rất nhiều góc cũng cho cosin bằng 0,5.

Nếu bạn xoay OA bên có thể di chuyển được cho một lượt đầy đủ, điểm A sẽ trở lại vị trí ban đầu. Với cùng cosin bằng 0,5. Những thứ kia. góc sẽ thay đổi 360 ° hoặc 2π radian, và cosin không. Góc mới 60 ° + 360 ° = 420 ° cũng sẽ là một nghiệm cho phương trình của chúng ta, bởi vì

Có vô số phép quay đầy đủ như vậy ... Và tất cả các góc mới này sẽ là nghiệm của phương trình lượng giác của chúng ta. Và tất cả chúng cần được viết ra bằng cách nào đó. Tất cả các. Nếu không, quyết định sẽ không được xem xét, vâng ...)

Toán học có thể làm điều này một cách đơn giản và thanh lịch. Trong một câu trả lời ngắn, hãy viết ra tập hợp vô hạn các giải pháp. Đây là những gì nó trông giống như cho phương trình của chúng tôi:

x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Tôi sẽ giải mã. Vẫn viết có ý nghĩađẹp hơn là vẽ một cách ngu ngốc một số chữ cái bí ẩn, phải không?)

π / 3 là cùng một góc mà chúng tôi cái cưa trên vòng kết nối và xác định theo bảng côsin.

2π là một lượt đầy đủ tính bằng radian.

N - đây là số lượng hoàn chỉnh, tức là trọn các cuộc cách mạng. Rõ ràng là N có thể là 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... và như vậy. Như được chỉ ra bởi mục nhập ngắn:

n ∈ Z

N thuộc về ( ∈ ) vào tập hợp các số nguyên ( Z ). Nhân tiện, thay vì lá thư N các chữ cái có thể được sử dụng k, m, t vân vân.

Ký hiệu này có nghĩa là bạn có thể lấy bất kỳ số nguyên nào N . Ít nhất -3, ít nhất 0, ít nhất +55. Bạn muốn gì. Nếu bạn cắm con số đó vào mục nhập câu trả lời của mình, bạn sẽ có được một góc cụ thể, chắc chắn là giải pháp cho phương trình khắc nghiệt của chúng tôi.)

Hay nói cách khác, x \ u003d π / 3 là gốc duy nhất của một tập hợp vô hạn. Để có được tất cả các gốc khác, chỉ cần thêm bất kỳ số vòng dây đầy đủ nào là π / 3 ( N ) tính bằng radian. Những thứ kia. 2πn rađian.

Mọi điều? Không. Tôi đặc biệt kéo dài niềm vui. Để ghi nhớ tốt hơn.) Chúng tôi chỉ nhận được một phần câu trả lời cho phương trình của chúng tôi. Tôi sẽ viết phần đầu tiên của giải pháp này như sau:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - không phải một gốc, nó là cả một chuỗi các gốc, viết dưới dạng ngắn gọn.

Nhưng có những góc khác cũng cho một cosin bằng 0,5!

Hãy quay trở lại bức tranh của chúng ta, theo đó chúng ta đã viết ra câu trả lời. Cô ấy đây rồi:

Di chuyển chuột qua hình ảnh và xem một góc khác cũng cho một cosin là 0,5. Bạn nghĩ nó bằng gì? Các hình tam giác đều giống nhau ... Vâng! Nó bằng với góc X , chỉ được vẽ theo hướng tiêu cực. Đây là góc -X. Nhưng chúng ta đã tính x rồi. π / 3 hoặc 60 °. Do đó, chúng ta có thể viết một cách an toàn:

x 2 \ u003d - π / 3

Và, tất nhiên, chúng tôi thêm tất cả các góc có được qua các lượt đầy đủ:

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Bây giờ là tất cả.) Trong một đường tròn lượng giác, chúng ta cái cưa(tất nhiên là ai hiểu rồi)) tất cả các góc cung cấp cho một cosin bằng 0,5. Và họ đã viết ra những góc này dưới dạng toán học ngắn. Câu trả lời là hai chuỗi gốc vô hạn:

x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z

Đây là câu trả lời chính xác.

Mong, nguyên tắc chung để giải phương trình lượng giác với sự trợ giúp của một vòng tròn là điều dễ hiểu. Ta đánh dấu cosin (sin, tiếp tuyến, cotang) từ phương trình đã cho trên đường tròn, vẽ các góc tương ứng và ghi câu trả lời. Tất nhiên, bạn cần phải tìm ra loại góc của chúng tôi cái cưa trên vòng tròn. Đôi khi nó không quá rõ ràng. Như tôi đã nói, logic là bắt buộc ở đây.)

Ví dụ, hãy phân tích một phương trình lượng giác khác:

Xin lưu ý rằng số 0,5 không phải là số duy nhất có thể có trong phương trình!) Nó chỉ thuận tiện hơn cho tôi khi viết nó hơn so với căn và phân số.

Chúng tôi làm việc theo nguyên tắc chung. Chúng tôi vẽ một vòng tròn, đánh dấu (trên trục sin, tất nhiên!) 0,5. Chúng tôi vẽ cùng một lúc tất cả các góc tương ứng với sin này. Chúng tôi nhận được hình ảnh này:

Hãy đối phó với góc độ đầu tiên. X trong quý đầu tiên. Chúng ta nhớ lại bảng các sin và xác định giá trị của góc này. Vấn đề rất đơn giản:

x \ u003d π / 6

Chúng tôi nhớ lại đầy đủ các lượt và, với lương tâm trong sáng, viết ra loạt câu trả lời đầu tiên:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Một nửa công việc đã hoàn thành. Bây giờ chúng ta cần xác định góc thứ hai ...Điều này phức tạp hơn trong cosin, vâng ... Nhưng logic sẽ cứu chúng ta! Cách xác định góc thứ hai qua x? Có, dễ dàng! Các hình tam giác trong hình giống nhau, và góc màu đỏ X bằng góc X . Chỉ nó được tính từ góc π theo chiều âm. Đó là lý do tại sao nó có màu đỏ.) Và để có câu trả lời, chúng ta cần một góc được đo chính xác từ OX bán trục dương, tức là. từ một góc 0 độ.

Di con trỏ qua ảnh và xem mọi thứ. Tôi đã loại bỏ góc đầu tiên để không làm phức tạp hình ảnh. Góc quan tâm đối với chúng tôi (được vẽ bằng màu xanh lá cây) sẽ bằng:

π - x

x chúng tôi biết điều đó π / 6 . Vậy góc thứ hai sẽ là:

π - π / 6 = 5π / 6

Một lần nữa, chúng tôi nhớ lại việc bổ sung các vòng quay đầy đủ và viết ra chuỗi câu trả lời thứ hai:

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Đó là tất cả. Một câu trả lời đầy đủ bao gồm hai chuỗi gốc:

x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Có thể dễ dàng giải các phương trình với tiếp tuyến và phương trình bằng cách sử dụng cùng một nguyên tắc chung để giải phương trình lượng giác. Tất nhiên, trừ khi bạn biết cách vẽ tiếp tuyến và cotang trên một đường tròn lượng giác.

Trong các ví dụ trên, tôi đã sử dụng giá trị dạng bảng của sin và cosine: 0,5. Những thứ kia. một trong những ý nghĩa mà học sinh biết cần phải. Bây giờ chúng ta hãy mở rộng khả năng của mình để tất cả các giá trị khác. Hãy quyết định, vì vậy hãy quyết định!)

Vì vậy, giả sử chúng ta cần giải phương trình lượng giác sau:

Không có giá trị như vậy của cosine trong các bảng ngắn gọn. Chúng tôi lạnh lùng bỏ qua sự thật khủng khiếp này. Ta vẽ một đường tròn, đánh dấu 2/3 trên trục cosine và vẽ các góc tương ứng. Chúng tôi nhận được hình ảnh này.

Chúng tôi hiểu, đối với những người mới bắt đầu, với một góc độ trong quý đầu tiên. Để biết x bằng bao nhiêu, các em ghi ngay câu trả lời nhé! Chúng tôi không biết ... Thất bại !? Điềm tĩnh! Toán học không để lại rắc rối của riêng nó! Cô ấy đã phát minh ra cosin cung cho trường hợp này. Không biết? Vô ích. Tìm hiểu. Nó dễ dàng hơn bạn nghĩ rất nhiều. Theo liên kết này, không có một câu thần chú rắc rối nào về "hàm lượng giác nghịch đảo" ... Nó là thừa trong chủ đề này.

Nếu bạn biết, chỉ cần nói với chính mình, "X là góc có cosin bằng 2/3". Và ngay lập tức, hoàn toàn theo định nghĩa của arccosine, chúng ta có thể viết:

Chúng tôi nhớ về các vòng quay bổ sung và bình tĩnh viết ra chuỗi nghiệm nguyên đầu tiên của phương trình lượng giác của chúng tôi:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Loạt rễ thứ hai cũng được viết gần như tự động, cho góc thứ hai. Mọi thứ đều giống nhau, chỉ có x (arccos 2/3) sẽ có dấu trừ:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Và tất cả mọi thứ! Đây là câu trả lời chính xác. Thậm chí dễ dàng hơn so với các giá trị dạng bảng. Bạn không cần phải nhớ bất cứ điều gì.) Nhân tiện, những người chú ý nhất sẽ nhận thấy rằng bức tranh này với lời giải thông qua cung cosin về bản chất không khác gì hình vẽ đối với phương trình cosx = 0,5.

Một cách chính xác! Nguyên tắc chung về cái đó và cái chung! Tôi đã đặc biệt vẽ hai bức tranh gần như giống hệt nhau. Vòng tròn cho chúng ta thấy góc X bằng cosin của nó. Nó là một cosine dạng bảng, hay không - hình tròn không biết. Đây là loại góc gì, π / 3, hay loại cosin nào là do chúng ta quyết định.

Với một sin cùng một bài hát. Ví dụ:

Một lần nữa chúng ta vẽ một hình tròn, đánh dấu sin bằng 1/3, vẽ các góc. Hóa ra bức tranh này:

Và một lần nữa hình ảnh gần giống như đối với phương trình sinx = 0,5. Một lần nữa chúng tôi bắt đầu từ góc trong quý đầu tiên. X bằng bao nhiêu nếu sin của nó là 1/3? Không vấn đề gì!

Vì vậy, gói rễ đầu tiên đã sẵn sàng:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Chúng ta hãy xem xét ở góc độ thứ hai. Trong ví dụ với giá trị bảng là 0,5, nó bằng:

π - x

Vì vậy, ở đây nó sẽ giống hệt nhau! Chỉ có x là khác biệt, arcsin 1/3. Vậy thì sao!? Bạn có thể viết gói rễ thứ hai một cách an toàn:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Đây là một câu trả lời hoàn toàn chính xác. Mặc dù nó trông không quen thuộc lắm. Nhưng nó có thể hiểu được, tôi hy vọng.)

Đây là cách các phương trình lượng giác được giải bằng cách sử dụng một đường tròn. Con đường này rõ ràng và dễ hiểu. Chính ông là người đã giải các phương trình lượng giác với việc chọn các nghiệm nguyên trên một khoảng nhất định, trong các bất đẳng thức lượng giác - chúng thường được giải hầu như luôn luôn trong một vòng tròn. Nói tóm lại, trong bất kỳ nhiệm vụ nào phức tạp hơn một chút so với các nhiệm vụ tiêu chuẩn.

Đưa kiến thức vào thực tế?

Giải các phương trình lượng giác:

Lúc đầu thì đơn giản hơn, trực tiếp vào bài này.

Bây giờ nó khó hơn.

Gợi ý: ở đây bạn phải nghĩ về hình tròn. Cá nhân.)

Và bây giờ bề ngoài không phô trương ... Họ cũng được gọi là trường hợp đặc biệt.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Gợi ý: ở đây bạn cần tìm trong một vòng tròn, nơi có hai chuỗi câu trả lời và nơi có một câu trả lời ... Và làm thế nào để viết ra một thay vì hai loạt câu trả lời. Có, để không một căn nào từ một số vô hạn bị mất!)

Chà, khá đơn giản):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Gợi ý: đến đây bạn cần biết arcsine, arccosine là gì? Tiếp tuyến cung, tiếp tuyến cung là gì? Các định nghĩa đơn giản nhất. Nhưng bạn không cần phải nhớ bất kỳ giá trị dạng bảng nào!)

Tất nhiên, câu trả lời là lộn xộn):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Không phải mọi thứ đều diễn ra? Nó xảy ra. Đọc lại bài. Chỉ còn chu đáo(có một từ lỗi thời như vậy ...) Và làm theo các liên kết. Các liên kết chính là về vòng tròn. Không có nó trong lượng giác - bịt mắt qua đường làm sao. Đôi khi nó hoạt động.)

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

Khái niệm về giải phương trình lượng giác.

Để giải một phương trình lượng giác, hãy chuyển nó thành một hoặc nhiều phương trình lượng giác cơ bản. Giải phương trình lượng giác cuối cùng là giải quyết bốn phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải của các phương trình lượng giác cơ bản.

Có 4 dạng phương trình lượng giác cơ bản:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Giải các phương trình lượng giác cơ bản liên quan đến việc xem xét các vị trí x khác nhau trên đường tròn đơn vị, cũng như sử dụng bảng chuyển đổi (hoặc máy tính).
Ví dụ 1. sin x = 0,866. Sử dụng bảng chuyển đổi (hoặc máy tính), bạn nhận được câu trả lời: x = π / 3. Vòng tròn đơn vị cho một đáp số khác: 2π / 3. Hãy nhớ rằng: tất cả các hàm lượng giác đều tuần hoàn, nghĩa là các giá trị của chúng lặp lại. Ví dụ, tính tuần hoàn của sin x và cos x là 2πn, và tính tuần hoàn của tg x và ctg x là πn. Vì vậy, câu trả lời được viết như thế này:
x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
Ví dụ 2 cos x = -1/2. Sử dụng bảng chuyển đổi (hoặc máy tính), bạn nhận được câu trả lời: x = 2π / 3. Vòng tròn đơn vị cho một đáp số khác: -2π / 3.
x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
Ví dụ 3. tg (x - π / 4) = 0.
Đáp số: x \ u003d π / 4 + πn.
Ví dụ 4. ctg 2x = 1.732.
Đáp số: x \ u003d π / 12 + πn.

Các phép biến đổi dùng trong giải phương trình lượng giác.

Để biến đổi phương trình lượng giác, người ta sử dụng các phép biến đổi đại số (tính thừa, giảm các số hạng thuần nhất, v.v.) và đồng dạng lượng giác được sử dụng.
Ví dụ 5. Sử dụng đồng dạng lượng giác, phương trình sin x + sin 2x + sin 3x = 0 được chuyển thành phương trình 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Như vậy, các phương trình lượng giác cơ bản sau cần giải: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
Tìm các góc từ các giá trị đã biết của hàm số.
- Trước khi học cách giải phương trình lượng giác, bạn cần học cách tìm góc từ các giá trị đã biết của hàm số. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng bảng chuyển đổi hoặc máy tính.
- Ví dụ: cos x = 0,732. Máy tính sẽ cho kết quả là x = 42,95 độ. Đường tròn đơn vị sẽ cho các góc bổ sung, cosin của nó cũng bằng 0,732.
Đặt lời giải trên vòng tròn đơn vị.
- Bạn có thể đặt các nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn đơn vị. Các nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn đơn vị là các đỉnh của một đa giác đều.
- Ví dụ: Các nghiệm x = π / 3 + πn / 2 trên đường tròn đơn vị là các đỉnh của hình vuông.
- Ví dụ: Các nghiệm x = π / 4 + πn / 3 trên đường tròn đơn vị là các đỉnh của một lục giác đều.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác.
- Nếu phương trình lượng giác đã cho chỉ chứa một hàm lượng giác thì giải phương trình này dưới dạng phương trình lượng giác cơ bản. Nếu một phương trình đã cho bao gồm hai hoặc nhiều hàm lượng giác thì có 2 phương pháp để giải một phương trình đó (tùy thuộc vào khả năng biến đổi của nó).
  - Phương pháp 1
- Biến đổi phương trình này thành một phương trình có dạng: f (x) * g (x) * h (x) = 0, trong đó f (x), g (x), h (x) là các phương trình lượng giác cơ bản.
- Ví dụ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Quyết định. Sử dụng công thức góc kép sin 2x = 2 * sin x * cos x, thay sin 2x vào.
- 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Bây giờ giải hai phương trình lượng giác cơ bản: cos x = 0 và (sin x + 1) = 0.
- Ví dụ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Giải: Sử dụng đồng dạng lượng giác, biến phương trình này thành phương trình có dạng: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Bây giờ giải hai phương trình lượng giác cơ bản: cos 2x = 0 và (2cos x + 1) = 0.
- Ví dụ 8. sin x - sin 3x \ u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Giải: Sử dụng đồng dạng lượng giác, biến phương trình này thành phương trình có dạng: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Bây giờ giải hai phương trình lượng giác cơ bản: cos 2x = 0 và (2sin x + 1) = 0.
  - Phương pháp 2
- Chuyển phương trình lượng giác đã cho thành phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác. Sau đó, thay thế hàm lượng giác này bằng một số ẩn số, chẳng hạn, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, v.v.).
- Ví dụ 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Quyết định. Trong phương trình này, thay (cos ^ 2 x) bằng (1 - sin ^ 2 x) (theo đồng dạng). Phương trình đã biến đổi có dạng như sau:
- 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Thay sin x bằng t. Bây giờ phương trình có dạng: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Đây là phương trình bậc hai có hai nghiệm nguyên: t1 = -1 và t2 = 9/5. Căn bậc hai t2 không thỏa mãn khoảng của hàm (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Ví dụ 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
- Quyết định. Thay tg x bằng t. Viết lại phương trình ban đầu như sau: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Bây giờ tìm t và sau đó tìm x cho t = tg x.