Dựng một đường thẳng tại một khoảng cách nhất định từ một điểm. Xác định khoảng cách

Xác định khoảng cách

Khoảng cách từ điểm này đến điểm khác và từ điểm này sang dòng khác

Khoảng cách từ điểm đến điểmđược xác định bởi độ dài của đoạn thẳng nối các điểm này. Như đã trình bày ở trên, bài toán này có thể được giải bằng phương pháp tam giác vuông hoặc thay các mặt phẳng hình chiếu bằng cách chuyển đoạn thẳng đến vị trí của đường mức.

Khoảng cách từ điểm đến dòngđược đo bởi một đoạn vuông góc được vẽ từ một điểm đến một đoạn thẳng. Một đoạn của vuông góc này được mô tả đầy đủ kích thước trên mặt phẳng hình chiếu nếu nó được vẽ vào đường chiếu. Do đó, đầu tiên đường thẳng phải được chuyển đến vị trí hình chiếu, và sau đó một đường vuông góc phải được hạ xuống nó từ một điểm đã cho. Trên hình. 1 cho thấy giải pháp cho vấn đề này. Để dịch trực tiếp vị trí chung AB ở vị trí cấp trực tiếp chi x14 IIA1 B1. Sau đó, AB được chuyển đến vị trí hình chiếu bằng cách đưa vào một mặt phẳng hình chiếu bổ sung P5, trên đó trục hình chiếu mới x45 \ A4 B4 được thực hiện.

Bức tranh 1

Tương tự với hai điểm A và B, chiếu điểm M lên mặt phẳng hình chiếu P5.

Hình chiếu K5 của đáy K vuông góc thả từ điểm M xuống đường thẳng AB, trên mặt phẳng hình chiếu P5 sẽ trùng với các hình chiếu tương ứng của điểm

A và B. Hình chiếu M5 K5 của vuông góc MK là giá trị tự nhiên của khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB.

Trong hệ các mặt phẳng hình chiếu P4 / P5, vuông góc MK sẽ là một đường thẳng cấp, vì nó nằm trong mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu P5. Do đó, hình chiếu M4 K4 của nó lên mặt phẳng P4 song song với x45, tức là vuông góc với hình chiếu A4 B4. Các điều kiện này xác định vị trí của hình chiếu K4 của đáy vuông góc K, ta được bằng cách kẻ một đường thẳng từ M4 song song với x45 cho đến khi nó cắt với hình chiếu A4 B4. Các hình chiếu vuông góc còn lại được tìm thấy bằng cách chiếu điểm K lên mặt phẳng của các hình chiếu P1 và P2.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Giải pháp cho vấn đề này được thể hiện trong Hình. 2. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) được đo bằng một đoạn vuông góc thả từ điểm xuống mặt phẳng.

Hình 2

Vì vuông góc với mặt phẳng chiếu là một đường thẳng bằng nên ta tịnh tiến vị trí này máy bay đã cho Kết quả là trên mặt phẳng hình chiếu P4 vừa được giới thiệu, chúng ta thu được hình chiếu suy biến C4 B4 của mặt phẳng ABC. Tiếp theo, ta chiếu điểm M lên P4, giá trị tự nhiên của khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng được xác định bởi đoạn vuông góc

[MK] = [M4 K4]. Các hình chiếu vuông góc còn lại được xây dựng theo cách tương tự như trong bài toán trước, tức là Coi đoạn MK trong hệ các mặt phẳng chiếu P1 / P4 là một đường thẳng cấp và hình chiếu M1 K1 của nó song song với trục.

x14.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Khoảng cách ngắn nhất giữa các đường xiên được đo bằng đoạn vuông góc chung với chúng, cắt bởi các đường này. Bài toán được giải bằng cách chọn (kết quả của hai lần thay đổi liên tiếp) mặt phẳng hình chiếu vuông góc với một trong các đường thẳng cắt nhau. Trong trường hợp này, đoạn vuông góc mong muốn sẽ song song với mặt phẳng chiếu đã chọn và sẽ được hiển thị trên đó mà không bị biến dạng. Trên hình. 3 biểu diễn hai đường thẳng cắt nhau được xác định bởi các đoạn thẳng AB và CD.

Hình 3

Lúc đầu chiếu các đường thẳng lên mặt phẳng hình chiếu P4, song song với một (bất kỳ) trong số chúng, chẳng hạn AB và vuông góc với P1.

Trên mặt phẳng hình chiếu P4, đoạn thẳng AB sẽ được hiển thị mà không bị biến dạng. Khi đó các đoạn được chiếu lên một mặt phẳng mới P5 vuông góc với cùng một đường thẳng AB và mặt phẳng P4. Trên mặt phẳng hình chiếu P5, hình chiếu của đoạn thẳng AB vuông góc với nó suy biến thành điểm A5 = B5, và giá trị mong muốn N5 M5 của đoạn NM vuông góc với C5 D5 và được mô tả với kích thước đầy đủ. Sử dụng các đường liên lạc thích hợp, các hình chiếu của đoạn thẳng MN được xây dựng trên cơ sở ban đầu

vẽ. Như đã trình bày trước đó, hình chiếu N4 M4 của đoạn mong muốn lên mặt phẳng P4 song song với trục của hình chiếu x45, vì nó là một đường thẳng cấp trong hệ các mặt phẳng hình chiếu P4 / P5.

Công việc xác định khoảng cách D giữa hai đường thẳng song song AB đến CD - trương hợp đặc biệt cái trước (Hình 4).

hinh 4

Bằng phép thay thế hai lần các mặt phẳng hình chiếu, các đường thẳng song song được chuyển đến vị trí hình chiếu, kết quả là trên mặt phẳng hình chiếu P5 ta sẽ có hai hình chiếu suy biến A5 = B5 và C5 = D5 của các đường thẳng AB và CD. Khoảng cách giữa chúng D sẽ bằng giá trị tự nhiên của nó.

Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó được đo bằng một đoạn vuông góc thả từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng xuống mặt phẳng. Do đó, chỉ cần biến đổi vị trí tổng quát thành vị trí của mặt phẳng chiếu, lấy một điểm trực tiếp, và lời giải của bài toán sẽ được rút gọn trong việc xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Để xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng song song, cần phải tịnh tiến chúng thành một hình chiếu và dựng vuông góc với các hình chiếu suy biến của các mặt phẳng, đoạn giữa chúng sẽ là khoảng cách cần thiết.

155 *. Xác định kích thước thực của đoạn thẳng AB của một đoạn thẳng ở vị trí chung (Hình 153, a).

Quyết định. Như đã biết, hình chiếu của đoạn thẳng trên mặt phẳng nào cũng bằng chính đoạn thẳng đó (tính đến tỉ lệ hình vẽ), nếu nó song song với mặt phẳng này

(Hình 153, b). Do đó, bằng cách chuyển đổi bản vẽ, nó là cần thiết để đạt được độ song song của pl phân đoạn này. V hoặc pl. H hoặc bổ sung hệ thức V, H có mặt phẳng khác vuông góc với hình vuông. V hoặc để pl. H đồng thời song song với đoạn thẳng đã cho.

Trên hình. 153, c cho thấy sự giới thiệu của một mặt phẳng bổ sung S, vuông góc với hình vuông. H và song song với đoạn thẳng AB cho trước.

Hình chiếu a s b s bằng giá trị tự nhiên của đoạn thẳng AB.

Trên hình. 153, d chỉ ra một phương pháp khác: đoạn thẳng AB quay quanh đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với hình vuông. H, đến một vị trí song song

sq. V. Trong trường hợp này, điểm B giữ nguyên vị trí và điểm A chiếm vị trí mới A 1. Chân trời ở vị trí mới. hình chiếu a 1 b || trục x. Hình chiếu a "1 b" bằng giá trị tự nhiên của đoạn thẳng AB.

156. Hình chóp SABCD đã cho (Hình 154). Xác định kích thước tự nhiên của các cạnh hình chóp AS và CS bằng phương pháp đổi mặt phẳng hình chiếu, và các cạnh BS và DS bằng phương pháp quay, lấy trục quay vuông góc với hình vuông. H.

157 *. Xác định khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC (Hình 155, a).

Quyết định. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng được đo bằng một đoạn vuông góc được vẽ từ một điểm đến một đoạn thẳng.

Nếu đường thẳng vuông góc với bất kỳ mặt phẳng nào (Hình. 155.6), thì khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được đo bằng khoảng cách giữa hình chiếu của điểm và điểm chiếuđường thẳng trên mặt phẳng này. Nếu một đường thẳng chiếm một vị trí chung trong hệ V, H thì để xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng cách thay đổi các mặt phẳng hình chiếu, ta phải đưa thêm hai mặt phẳng nữa vào trong hệ V, H.

Đầu tiên (Hình 155, c) chúng ta nhập hình vuông. S, song song với đoạn BC (trục mới S / H song song với hình chiếu bс), và ta dựng các hình chiếu b s c s và a s. Sau đó (Hình 155, d) chúng tôi giới thiệu một hình vuông khác. T vuông góc với đường thẳng BC (trục T / S mới vuông góc với b s c s). Chúng ta xây dựng các hình chiếu của một đường thẳng và một điểm - với t (b t) và a t. Khoảng cách giữa hai điểm a t và c t (b t) bằng khoảng cách l từ điểm A đến đường thẳng BC.

Trên hình. 155e, nguyên công giống nhau được thực hiện bằng phương pháp quay ở dạng của nó, phương pháp này được gọi là phương pháp chuyển động song song. Đầu tiên, đường thẳng BC và điểm A, giữ nguyên vị trí tương hỗ của chúng, quay quanh một số (không chỉ ra trong hình vẽ) đường vuông góc với hình vuông. H sao cho đoạn thẳng BC song song với hình vuông. V. Điều này tương đương với việc di chuyển các điểm A, B, C trong các mặt phẳng song song với hình vuông. H. Đồng thời, chân trời. hình chiếu hệ thống nhất định(BC + A) không thay đổi cả về độ lớn hay cấu hình, chỉ thay đổi vị trí của nó so với trục x. Thiết lập một đường chân trời. hình chiếu của đường thẳng BC song song với trục x (vị trí b 1 c 1) và xác định hình chiếu a 1, bỏ c 1 1 1 \ u003d c-1 và a 1 1 1 \ u003d a-1, và a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Vẽ các đoạn thẳng b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 song song với trục x, ta tìm được mặt trước của chúng. các phép chiếu b "1, a" 1, c "1. Tiếp theo, ta di chuyển các điểm B 1, C 1 và A 1 trong các mặt phẳng song song với hình vuông V (cũng không thay đổi vị trí tương đối của chúng), sao cho B 2 C 2 ⊥ diện tích H. Trong trường hợp này, hình chiếu của đường thẳng ra phía trước sẽ vuông góc với trục x, b 2 c "2 \ u003d b" 1 c "1 và để xây dựng hình chiếu a" 2, bạn cần lấy b "2 2" 2 \ u003d b "1 2" 1, vẽ 2 "a" 2 ⊥ b " 2 c "2 và gạt" 2 2 "2 \ u003d a" 1 2 "1 sang một bên. Bây giờ, bằng cách vuốt từ 1 đến 2 và 1 a 2 || x 1 ta được hình chiếu b 2 c 2 và a 2 và khoảng cách l mong muốn từ điểm A đến đường thẳng BC. Có thể xác định khoảng cách từ A đến BC bằng cách quay mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng BC quanh phương ngang của mặt phẳng này đến vị trí T || sq. H (Hình 155, e).

Trong mặt phẳng cho bởi điểm A và đường thẳng BC, ta kẻ đường thẳng A-1 nằm ngang (Hình 155, g) và quay điểm B quanh nó, điểm B chuyển thành hình vuông. R (cho trong hình vẽ sau R h), vuông góc với A-1; tại điểm O là tâm quay của điểm B. Bây giờ chúng ta xác định giá trị tự nhiên của bán kính quay của VO, (Hình 155, c). Ở vị trí bắt buộc, tức là khi pl. T xác định bởi điểm A và đường thẳng BC sẽ trở thành || sq. H, điểm B sẽ quay trên R h cách điểm O một khoảng Ob là 1 (có thể có vị trí khác trên cùng đường R h, nhưng ở phía khác của O). Điểm b 1 là đường chân trời. hình chiếu của điểm B sau khi dời nó đến vị trí B 1 trong không gian, khi mặt phẳng xác định bởi điểm A và đường thẳng BC đã lấy vị trí T.

Sau khi vẽ (Hình. 155 và) đường thẳng b 1 1, chúng ta sẽ có được đường chân trời. hình chiếu của đoạn thẳng BC, đã có vị trí || sq. H nằm trong cùng mặt phẳng với A. Ở vị trí này, khoảng cách từ a đến b 1 1 bằng khoảng cách l mong muốn. Mặt phẳng P, trong đó các phần tử đã cho nằm, có thể kết hợp với hình vuông. H (Hình 155, j), quay hình vuông. P xung quanh chân trời của cô. dấu vết. Sau khi chuyển từ thiết lập mặt phẳng bởi điểm A và đường thẳng BC sang thiết lập đường thẳng BC và A-1 (Hình 155, l), chúng ta tìm vết của những đường này và vẽ vết P ϑ và P h qua chúng. Chúng tôi đang xây dựng (Hình 155, m) kết hợp với hình vuông. H vị trí phía trước. vết - P ϑ0.

Vẽ đường chân trời qua điểm a. hình chiếu trực diện; trán kết hợp đi qua điểm 2 trên vết Р h song song với Р ϑ0. Điểm A 0 - kết hợp với pl. H là vị trí của điểm A. Tương tự ta tìm được điểm B 0. Mặt trời trực tiếp trong kết hợp với pl. Vị trí H đi qua điểm B 0 và điểm m (hoành độ của một đoạn thẳng).

Khoảng cách từ điểm A 0 đến đường thẳng B 0 C 0 bằng khoảng cách mong muốn l.

Có thể thực hiện việc xây dựng được chỉ định bằng cách chỉ tìm thấy một dấu vết P h (Hình. 155, n và o). Toàn bộ việc xây dựng tương tự như quay quanh phương ngang (xem Hình 155, f, c, i): vết P h là một trong các đường nằm ngang của hình vuông. R.

Trong số các phương pháp chuyển đổi một hình vẽ được đưa ra để giải quyết vấn đề này, phương pháp quay xung quanh một chiều ngang hoặc chính diện được ưu tiên hơn.

158. Hình chóp SABC đã cho (Hình 156). Xác định khoảng cách:

a) Từ đỉnh B của mặt đáy đến cạnh AC của nó bằng phương pháp chuyển động song song;

b) Từ đỉnh S của hình chóp xuống các cạnh BC và AB của mặt đáy bằng phép quay quanh phương ngang;

c) từ đỉnh S xuống cạnh AC của mặt đáy bằng cách thay đổi các mặt phẳng hình chiếu.

159. Cho hình lăng trụ (Hình 157). Xác định khoảng cách:

a) giữa các cạnh AD và CF bằng cách thay đổi các mặt phẳng hình chiếu;

b) giữa các xương sườn BE và CF bằng cách quay xung quanh phía trước;

c) giữa các cạnh AD và BE bằng phương pháp chuyển động song song.

160. Xác định kích thước thực của tứ giác ABCD (Hình 158) bằng cách kết hợp với hình vuông. N. Chỉ sử dụng dấu vết nằm ngang của mặt phẳng.

161 *. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD (Hình 159, a) và dựng hình chiếu của các đường vuông góc chung với chúng.

Quyết định. Khoảng cách giữa các đường giao nhau được đo bằng đoạn (MN) vuông góc với cả hai đường (Hình. 159, b). Rõ ràng, nếu một trong các đường thẳng được đặt vuông góc với bất kỳ hình vuông nào. T rồi

Đoạn thẳng MN vuông góc với cả hai đường thẳng sẽ song song với hình vuông. Phép chiếu của nó trên mặt phẳng này sẽ hiển thị khoảng cách mong muốn. Phép chiếu góc phải maenad MN n AB trên hình vuông. T cũng trở thành góc hợp giữa m t n t và a t b t, vì một trong các cạnh của góc vuông AMN là MN. song song với hình vuông. T.

Trên hình. 159, c và d, khoảng cách mong muốn l được xác định bằng phương pháp thay đổi các mặt phẳng chiếu. Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu một hình vuông bổ sung. hình chiếu S, vuông góc với hình vuông. H và song song với đường thẳng CD (Hình. 159, c). Sau đó, chúng tôi giới thiệu một hình vuông bổ sung khác. T, vuông góc với hình vuông. S và vuông góc với cùng một đường thẳng CD (Hình. 159, d). Bây giờ bạn có thể xây dựng hình chiếu vuông góc chung bằng cách vẽ m t n t từ điểm c t (d t) vuông góc với hình chiếu a t b t. Các điểm m t và n t là hình chiếu của các giao điểm của đường vuông góc này với các đường thẳng AB và CD. Từ điểm m t (Hình 159, e) ta tìm được m s trên a s b s: hình chiếu m s n s nên song song với trục T / S. Hơn nữa, từ m s và n s, chúng ta tìm thấy m và n trên ab và cd, và từ chúng m "và n" trên a "b" và c "d".

Trên hình. 159, cho thấy giải pháp cho vấn đề này bằng phương pháp chuyển động song song. Đầu tiên, ta cho đoạn thẳng CD song song với hình vuông. V: hình chiếu c 1 d 1 || X. Tiếp theo, ta dời các đường thẳng CD và AB từ các vị trí C 1 D 1 và A 1 B 1 đến các vị trí C 2 B 2 và A 2 B 2 sao cho C 2 D 2 vuông góc với H: hình chiếu c "2 d" 2 ⊥ x. Đoạn vuông góc mong muốn nằm || sq. H, và do đó, m 2 n 2 biểu thị khoảng cách l cần thiết giữa AB và CD. Chúng ta tìm vị trí của các phép chiếu m "2 và n" 2 trên a "2 b" 2 và c "2 d" 2, sau đó là các phép chiếu và m 1 và m "1, n 1 và n" 1, cuối cùng, các phép chiếu m "và n", m và n.

162. Hình chóp SABC đã cho (Hình 160). Xác định khoảng cách giữa cạnh SB và cạnh AC của đáy hình chóp và dựng hình chiếu vuông góc chung với SB và AC bằng phương pháp đổi mặt phẳng hình chiếu.

163. Hình chóp SABC đã cho (Hình 161). Xác định khoảng cách giữa cạnh SH và cạnh BC của hình chóp và dựng hình chiếu vuông góc chung với SX và BC bằng phương pháp dời hình song song.

164 *. Xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trong các trường hợp mặt phẳng cho: a) bởi tam giác BCD (Hình 162, a); b) dấu vết (Hình 162, b).

Quyết định. Như bạn đã biết, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng được đo bằng độ lớn của đường vuông góc vẽ từ điểm đến mặt phẳng. Khoảng cách này được chiếu vào bất kỳ hình vuông nào. các phép chiếu kích thước thực, nếu mặt phẳng đã cho vuông góc với hình vuông. các phép chiếu (Hình. 162, c). Tình huống này có thể đạt được bằng cách chuyển đổi bản vẽ, ví dụ, bằng cách thay đổi hình vuông. các phép chiếu. Hãy giới thiệu hình vuông. S (Hình 16ts, d), vuông góc với hình vuông. tam giác BCD. Để làm điều này, chúng tôi chi tiêu trong hình vuông. tam giác ngang B-1 và đặt trục của hình chiếu S vuông góc với hình chiếu b-1 nằm ngang. Chúng ta xây dựng các hình chiếu của một điểm và một mặt phẳng - a s và một đoạn c s d s. Khoảng cách từ a s đến c s d s bằng khoảng cách l mong muốn của chất điểm đến mặt phẳng.

Trên rio. 162, d phương pháp chuyển động song song được áp dụng. Ta di chuyển toàn bộ hệ cho đến khi phương ngang B-1 của mặt phẳng trở nên vuông góc với mặt phẳng V: hình chiếu b 1 1 1 phải vuông góc với trục x. Ở vị trí này, mặt phẳng của tam giác sẽ trở thành hình chiếu trước và khoảng cách l từ điểm A đến nó sẽ là hình vuông. V mà không bị biến dạng.

Trên hình. 162b máy bay được cho bởi dấu vết. Chúng tôi giới thiệu (Hình 162, e) một hình vuông bổ sung. S, vuông góc với hình vuông. P: trục S / H vuông góc với P h. Phần còn lại là rõ ràng từ bản vẽ. Trên hình. 162, vấn đề được giải quyết tốt với sự trợ giúp của một phép dời hình: pl. P đi vào vị trí P 1, tức là nó trở thành hình chiếu phía trước. Theo dõi. P 1h vuông góc với trục x. Chúng tôi xây dựng một mặt trận ở vị trí này của máy bay. vết của phương ngang là điểm n "1, n 1. Vết P 1ϑ sẽ đi qua P 1x và n 1. Khoảng cách từ a" 1 đến P 1ϑ bằng khoảng cách mong muốn l.

165. Hình chóp SABC đã cho (xem hình 160). Xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt SBC của hình chóp bằng phương pháp dời hình song song.

166. Hình chóp SABC đã cho (xem hình 161). Xác định chiều cao của hình chóp bằng phương pháp dời hình song song.

167 *. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD (xem Hình 159, a) là khoảng cách giữa các mặt phẳng song song vẽ qua các đường thẳng này.

Quyết định. Trên hình. 163, và các mặt phẳng P và Q được hiển thị song song với nhau, trong đó pl. Q được vẽ qua CD song song với AB, và pl. P - qua AB song song với hình vuông. Q. Khoảng cách giữa các mặt phẳng đó được coi là khoảng cách giữa các đường xiên AB và CD. Tuy nhiên, bạn có thể hạn chế mình chỉ xây dựng một mặt phẳng, ví dụ Q, song song với AB, sau đó xác định khoảng cách ít nhất từ ​​điểm A đến mặt phẳng này.

Trên hình. 163c cho mặt phẳng Q qua CD song song với AB; trong các phép chiếu được tổ chức bằng "e" || a "b" và se || ab. Sử dụng phương pháp đổi bình phương. các phép chiếu (Hình 163, c), chúng tôi giới thiệu một hình vuông bổ sung. S, vuông góc với hình vuông. V đồng thời

vuông góc với hình vuông. Q. Để vẽ trục S / V, chúng ta lấy trực diện D-1 trong mặt phẳng này. Bây giờ chúng ta vẽ S / V vuông góc với d "1" (Hình. 163, c). Xin vui lòng Q sẽ được hiển thị trên hình vuông. S là một đoạn thẳng với s d s. Phần còn lại là rõ ràng từ bản vẽ.

168. Hình chóp SABC đã cho (xem Hình 160). Xác định khoảng cách giữa hai cạnh SC và AB .Áp dụng: 1) phương pháp biến đổi diện tích. phép chiếu, 2) một phương pháp chuyển động song song.

169 *. Xác định khoảng cách giữa các mặt phẳng song song, một trong hai mặt phẳng này được cho bởi các đường thẳng AB và AC, và các đường thẳng DE và DF (Hình 164, a). Cũng thực hiện xây dựng cho trường hợp khi các mặt phẳng được cho bởi dấu vết (Hình 164, b).

Quyết định. Khoảng cách (Hình 164, c) giữa các mặt phẳng song song có thể được xác định bằng cách vẽ một đường vuông góc từ bất kỳ điểm nào của mặt phẳng này đến mặt phẳng khác. Trên hình. 164, g giới thiệu một hình vuông bổ sung. S vuông góc với hình vuông. H và cả hai mặt phẳng đã cho. Trục S.H vuông góc với đường chân trời. hình chiếu của một đường thẳng nằm ngang được vẽ trên một trong các mặt phẳng. Ta dựng hình chiếu của mặt phẳng này và điểm Trong mặt phẳng khác trên Sq. 5. Khoảng cách của điểm d s đến đường thẳng l s a s bằng khoảng cách mong muốn giữa các mặt phẳng song song.

Trên hình. 164, d một cấu tạo khác được đưa ra (theo phương pháp chuyển động song song). Để mặt phẳng biểu diễn bởi hai đường thẳng cắt nhau AB và AC vuông góc với hình vuông. V, đường chân trời. ta đặt hình chiếu ngang của mặt phẳng này vuông góc với trục x là: 1 1 2 1 ⊥ x. Khoảng cách giữa phía trước. hình chiếu d "1 của điểm D và đường thẳng a" 1 2 "1 (hình chiếu chính diện của mặt phẳng) bằng khoảng cách mong muốn giữa các mặt phẳng.

Trên hình. 164, e cho thấy phần giới thiệu của một hình vuông bổ sung. S, vuông góc với pl.H và với mặt phẳng P và Q đã cho (trục S / H vuông góc với các vết P h và Q h). Chúng tôi xây dựng các dấu vết và Q. Khoảng cách giữa chúng (xem Hình 164, c) bằng khoảng cách mong muốn l giữa hai mặt phẳng P và Q.

Trên hình. 164, g cho thấy chuyển động của các mặt phẳng P 1 n Q 1, đến vị trí P 1 và Q 1 khi đường chân trời. các dấu vết hóa ra vuông góc với trục x. Khoảng cách giữa mặt trước mới. vết P 1ϑ và Q 1ϑ bằng khoảng cách mong muốn l.

170. Cho hình bình hành ABCDEFGH (Hình 165). Xác định khoảng cách: a) giữa các đáy của hình bình hành - l 1; b) giữa các mặt ABFE và DCGH - l 2; c) giữa 3 mặt ADHE và BCGF-l.

Các công việc này bao gồm: các công việc xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng, một bề mặt; giữa các đường thẳng song song và cắt nhau; giữa các mặt phẳng song song, v.v.

Tất cả các nhiệm vụ này được thống nhất bởi ba hoàn cảnh:

Đầu tiên, trong chừng mực khoảng cách ngắn nhất giữa các hình như vậy là một vuông góc, sau đó tất cả chúng được rút gọn để xây dựng các đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau.

Thứ hai, trong mỗi bài toán này, cần phải xác định độ dài tự nhiên của đoạn, nghĩa là, để giải bài toán số liệu chính thứ hai.

ngày thứ ba, đây là những nhiệm vụ phức tạp, chúng được giải quyết trong nhiều giai đoạn, và ở mỗi giai đoạn, một nhiệm vụ cụ thể nhỏ riêng biệt được giải quyết.

Chúng ta hãy xem xét giải pháp của một trong những vấn đề này.

Nhiệm vụ: Xác định khoảng cách từ điểm M lên đến vị trí chung một(Hình 4-26).

Thuật toán:

Giai đoạn 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một đường vuông góc. Kể từ khi trực tiếp một- vị trí tổng quát, sau đó để dựng một đường vuông góc với nó, cần phải giải một bài toán tương tự như đã cho ở các trang M4-4 của mô-đun này, tức là trước tiên qua điểm M cầm máy bay S, vuông góc một. Chúng tôi đặt máy bay này, như thường lệ, hÇ f, trong đó h1^ một 1, một f2^ một 2

Giai đoạn 2: Để dựng một đường vuông góc, bạn cần tìm một điểm thứ hai cho nó. Đây sẽ là điểm Đến thuộc dòng một. Để tìm được nó, bạn cần giải bài toán vị trí, tức là tìm giao điểm của đoạn thẳng một với máy bay S. Chúng tôi giải quyết 1GPZ theo thuật toán thứ ba (Hình 4-28):

Chúng tôi giới thiệu máy bay - trung gian G, G^^ P 1, GÉ aÞ Г 1 = a 1;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1, bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2З a 2 = K 2Þ K 1.

Giai đoạn 3: Tìm kích thước thực tế MK phương pháp tam giác vuông

Giải pháp hoàn chỉnh của vấn đề được hiển thị trong hình. 4-30.

Ký hiệu thuật toán của giải pháp:

1. S^ a,S = hЗ f = M, h 1^ a 1, f 2^ a 2.

2. Chúng tôi giới thiệu máy bay - trung gian G,

- G^^ P 1, GÉ aÞ Г 1 = a 1;

- GÇ S = b, G^^ P 1Þ b 1 (1 1 2 1) = Г 1, bÌ SÞ b 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- b 2З a 2 = K 2Þ K 1.

3. Tìm kích thước thực tế MK.

Kết quả:

1. Giải pháp của tất cả các vấn đề về hệ mét được rút gọn thành việc giải quyết vấn đề về hệ mét cơ bản đầu tiên - về tính vuông góc lẫn nhau của một đường thẳng và một mặt phẳng.

2. Khi xác định khoảng cách giữa hình dạng hình học vấn đề số liệu chính thứ hai luôn được sử dụng - để xác định kích thước tự nhiên của phân khúc.

3. Một mặt phẳng tiếp tuyến với một bề mặt tại một điểm có thể được xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau, mỗi đường thẳng tiếp tuyến với bề mặt đã cho.

câu hỏi kiểm tra

1. Những nhiệm vụ nào được gọi là thước đo?

2. Bạn biết hai nhiệm vụ đo lường chính nào?

3. Đặt mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ở vị trí chung có lợi gì hơn?

4. Tên của mặt phẳng vuông góc với một trong các đường cấp là gì?

5. Tên của mặt phẳng vuông góc với một trong các đường chiếu?

6. Thế nào được gọi là mặt phẳng tiếp tuyến với mặt phẳng?

Nó được yêu cầu để xác định khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng. Kế hoạch tổng thể giải quyết vấn đề:

- bởi vì điểm đã cho vẽ mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước;

- tìm điểm gặp gỡ của đường thẳng

với một chiếc máy bay;

- xác định giá trị tự nhiên của khoảng cách.

Qua một điểm cho trước ta vẽ mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB. Mặt phẳng được thiết lập bởi giao tuyến ngang và mặt trước, các hình chiếu của chúng được xây dựng theo thuật toán vuông góc (bài toán nghịch đảo).

Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng. Đây là nhiệm vụ điển hình về giao của đường thẳng với mặt phẳng (xem phần "Giao của đường thẳng với mặt phẳng").

Độ vuông góc của mặt phẳng

Các máy bay vuông góc với nhau nếu một trong số chúng chứa một đường vuông góc với mặt phẳng kia. Vì vậy, để vẽ một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác, trước tiên bạn phải vẽ một vuông góc với mặt phẳng, và sau đó vẽ mặt phẳng mong muốn qua nó. Trên sơ đồ, hình phẳng được cho bởi hai đường thẳng cắt nhau, một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC.

Nếu các mặt phẳng được cho bởi dấu vết, thì các trường hợp sau đây có thể xảy ra:

- nếu hai mặt phẳng vuông gócđang phóng chiếu, thì dấu vết tập thể của chúng vuông góc với nhau;

- một mặt phẳng ở vị trí chung và một mặt phẳng chiếu vuông góc nếu vết tập hợp của mặt phẳng hình chiếu vuông góc với vết cùng tên của mặt phẳng ở vị trí chung;

- Nếu như vết của hai mặt phẳng ở vị trí chung là vuông góc với nhau thì hai mặt phẳng đó không vuông góc với nhau.

Phương pháp thay thế các mặt phẳng chiếu

	thay thế mặt phẳng chiếu
nằm trong thực tế là các máy bay
các phần được thay thế bằng phẳng khác
	vậy nên	hình học
đối tượng trong hệ thống mới máy bay
các dự báo bắt đầu được thực hiện một cách riêng tư -bởi
vị trí, giúp đơn giản hóa quy trình
giải quyết vấn đề. Trên quy mô không gian
ket noi thay mặt phẳng V bằng
mới V 1. Nó cũng được hiển thị
điểm A trên mặt phẳng ban đầu
phép chiếu và một mặt phẳng chiếu mới
V1. Khi thay thế các mặt phẳng chiếu
tính trực giao của hệ thống được bảo toàn.

Hãy biến đổi bố cục không gian thành bố cục phẳng bằng cách xoay các mặt phẳng dọc theo các mũi tên. Ta được ba mặt phẳng chiếu gộp lại thành một mặt phẳng.

Sau đó, chúng tôi loại bỏ các mặt phẳng chiếu và
		dự đoán
Từ cốt truyện của điểm tuân theo quy tắc: khi
thay thế V bằng V 1 để
		trán
điểm, nó là cần thiết từ trục mới
dành điểm nộp đơn được lấy từ
hệ thống máy bay trước đó
cổ phiếu. Tương tự, người ta có thể chứng minh
	thay H bằng H 1 là cần thiết
đặt hoành độ của điểm.

Bài toán điển hình đầu tiên của phương pháp thay thế các mặt phẳng chiếu

Nhiệm vụ điển hình đầu tiên của phương pháp thay thế mặt phẳng hình chiếu là biến đổi một đường ở vị trí chung, đầu tiên thành đường mức, sau đó thành đường chiếu. Bài toán này là một trong những bài toán chính, vì nó được sử dụng để giải các bài toán khác, ví dụ, trong việc xác định khoảng cách giữa các đường thẳng song song và xiên, trong việc xác định Góc nghiêng vân vân.

Chúng tôi thực hiện thay đổi V → V 1.
trục được vẽ song song với phương ngang
		các phép chiếu.
trực tiếp chiếu trực tiếp, cho
				hoãn
ứng dụng điểm. Mặt trước mới
hình chiếu của đường thẳng là đường thẳng HB.
Đường thẳng tự nó trở thành một đường thẳng.
Góc α ° được xác định.

Chúng tôi thực hiện thay thế H → H 1. Vẽ một trục mới vuông góc chiếu phía trước thẳng. Chúng tôi đang xây dựng một phép chiếu ngangđường thẳng, mà chúng ta để dành các hoành độ của đường thẳng lấy từ hệ thống mặt phẳng hình chiếu trước đó từ trục mới. Đường này trở thành một đường chiếu nằm ngang và "suy biến" thành một điểm.

Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng là độ dài của đường vuông góc từ điểm đến đoạn thẳng. TẠI hình học họa hình nó được định nghĩa bằng đồ thị theo thuật toán dưới đây.

Thuật toán

1. Đường thẳng được chuyển đến vị trí mà nó sẽ song song với bất kỳ mặt phẳng hình chiếu nào. Để làm được điều này, hãy áp dụng các phương pháp biến đổi các phép chiếu trực giao.
2. Vẽ đường vuông góc từ một điểm đến một đoạn thẳng. Cốt lõi công trình này là định lý hình chiếu góc vuông.
3. Độ dài của một đường vuông góc được xác định bằng cách chuyển đổi các hình chiếu của nó hoặc sử dụng phương pháp tam giác vuông.

Hình sau là một bản vẽ phức của điểm M và đường thẳng b, được đưa ra bởi phân khúcĐĨA CD. Bạn cần tìm khoảng cách giữa chúng.

Theo thuật toán của chúng tôi, điều đầu tiên cần làm là di chuyển dòng đến vị trí song song với mặt phẳng các phép chiếu. Điều quan trọng là phải hiểu rằng sau khi biến đổi, khoảng cách thực tế giữa điểm và đường không được thay đổi. Đó là lý do tại sao ở đây rất tiện lợi khi sử dụng phương pháp thay thế mặt phẳng, phương pháp này không liên quan đến các hình chuyển động trong không gian.

Kết quả của giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng được hiển thị dưới đây. Hình bên cho thấy một mặt phẳng trực diện bổ sung P 4 được đưa vào song song với b như thế nào. Trong hệ thống mới (P 1, P 4) các điểm C "" 1, D "" 1, M "" 1 ở cùng khoảng cách từ trục X 1 như C "", D "", M "" từ trục x.

Thực hiện phần thứ hai của thuật toán, từ M "" 1 ta hạ đường vuông góc M "" 1 N "" 1 xuống đường thẳng b "" 1, vì góc MND vuông giữa b và MN được chiếu lên mặt phẳng P 4 trong kích thước đầy đủ. Ta xác định vị trí của điểm N ”trên đường giao tuyến và vẽ hình chiếu M” N ”của đoạn thẳng MN.

Trên màn cuối cần xác định giá trị của đoạn thẳng MN bằng các hình chiếu của nó M "N" và M "" 1 N "" 1. Đối với điều này, chúng tôi xây dựng tam giác vuông M "" 1 N "" 1 N 0, có chân N "" 1 N 0 bằng hiệu (Y M 1 - Y N 1) của việc loại bỏ các điểm M "và N" khỏi trục X 1. Độ dài cạnh huyền M "" 1 N 0 của tam giác M "" 1 N "" 1 N 0 tương ứng với khoảng cách mong muốn từ M đến b.

Cách thứ hai để giải quyết

• Song song với CD, chúng tôi giới thiệu một mặt phẳng trực diện mới П 4. Nó cắt P 1 dọc theo trục X 1 và X 1 ∥C "D". Theo phương pháp thay mặt phẳng, ta xác định được hình chiếu của các điểm C "" 1, D "" 1 và M "" 1, như hình vẽ bên.
• Vuông góc với C "" 1 D "" 1 ta dựng thêm một mặt phẳng nằm ngang P 5 trên đó chiếu đường thẳng b lên điểm C "2 \ u003d b" 2.
• Khoảng cách giữa điểm M và đường thẳng b được xác định bằng độ dài đoạn M "2 C" 2 được đánh dấu màu đỏ.

Nhiệm vụ liên quan: