Phương trình mặt phẳng. Làm thế nào để viết một phương trình cho một mặt phẳng? Sự sắp xếp lẫn nhau của các mặt phẳng

Chớm ban đầu trường hợp chung pháp tuyến đối với bề mặt đại diện cho độ cong cục bộ của nó, và do đó là hướng của phản xạ đặc trưng (Hình 3.5). Liên quan đến kiến ​​thức của chúng ta, chúng ta có thể nói rằng pháp tuyến là vectơ xác định hướng của mặt (Hình 3.6).

Cơm. 3.5 Hình. 3.6

Nhiều thuật toán loại bỏ đường ẩn và bề mặt chỉ sử dụng các cạnh và đỉnh, vì vậy để kết hợp chúng với mô hình chiếu sáng, bạn cần biết giá trị gần đúng của pháp tuyến trên các cạnh và đỉnh. Lập phương trình của các mặt phẳng của các mặt đa giác, khi đó pháp tuyến đối với đỉnh chung của chúng bằng giá trị trung bình của pháp tuyến của tất cả các đa giác hội tụ về đỉnh này. Ví dụ, trong hình. 3.7 hướng của pháp tuyến gần đúng tại một điểm V 1 có:

N v1 = (a 0 + a 1 + a 4 ) i + (b 0 + b 1 + b 4 ) j + (c 0 + c 1 + c 4 ) k, (3.15)

ở đâu một 0 , một 1 , một 4 , b 0 , b 1 , b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - hệ số của phương trình mặt phẳng của ba đa giác P 0 , P 1 , P 4 , bao quanh V 1 . Lưu ý rằng nếu bạn chỉ muốn tìm hướng của pháp tuyến thì việc chia kết quả cho số mặt là không cần thiết.

Nếu phương trình của các mặt phẳng không được cho trước, thì pháp tuyến của đỉnh có thể được xác định bằng cách lấy trung bình cộng tích véc tơ của tất cả các cạnh cắt nhau tại đỉnh. Một lần nữa, xem xét đỉnh V 1 trong Hình. 3.7, tìm hướng của pháp tuyến gần đúng:

N v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 + V 1 V 5 V 1 V 2 + V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Cơm. 3.7 - Tính gần đúng của bề mặt bình thường với một bề mặt đa giác

Lưu ý rằng chỉ những tiêu chuẩn bên ngoài là cần thiết. Ngoài ra, nếu vectơ kết quả không được chuẩn hóa, thì giá trị của nó phụ thuộc vào số lượng và diện tích của các đa giác cụ thể, cũng như số lượng và độ dài của các cạnh cụ thể. Ảnh hưởng của đa giác với diện tích lớn hơn và xương sườn dài hơn.

Khi pháp tuyến bề mặt được sử dụng để xác định cường độ và chuyển đổi phối cảnh được thực hiện trên hình ảnh của một đối tượng hoặc cảnh, thì pháp tuyến sẽ được tính toán trước khi phân chia phối cảnh. Nếu không, hướng của pháp tuyến sẽ bị bóp méo và điều này sẽ khiến cường độ được chỉ định bởi mô hình chiếu sáng bị xác định không chính xác.

Nếu biết mô tả phân tích của mặt phẳng (bề mặt), thì pháp tuyến được tính trực tiếp. Biết được phương trình mặt phẳng của mỗi mặt của khối đa diện, bạn có thể tìm được hướng của mặt ngoài của pháp tuyến.

Nếu phương trình mặt phẳng là:

thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này được viết như sau:

, (3.18)

ở đâu
- vectơ đơn vị của trục XYZ tương ứng.

Giá trị dđược tính bằng cách sử dụng một điểm tùy ý thuộc mặt phẳng, ví dụ, cho một điểm (
)

Ví dụ. Xét một đa giác phẳng 4 cạnh được mô tả bởi 4 đỉnh V1 (1,0,0), V2 (0,1,0), V3 (0,0,1) và V4 (1,1,1) (xem Hình. 3.7).

Phương trình mặt phẳng có dạng:

x + y + z - 1 = 0.

Hãy lấy pháp tuyến của mặt phẳng này bằng cách sử dụng tích vectơ của một cặp vectơ là các cạnh liền kề với một trong các đỉnh, ví dụ, V1:

Nhiều thuật toán loại bỏ đường ẩn và bề mặt chỉ sử dụng các cạnh hoặc đỉnh, vì vậy để kết hợp chúng với mô hình chiếu sáng, bạn cần biết giá trị gần đúng của pháp tuyến trên các cạnh và đỉnh.

Lập phương trình các mặt phẳng của các mặt của khối đa diện đã cho, thì pháp tuyến đối với đỉnh chung của chúng bằng giá trị trung bình của các pháp tuyến đối với mọi mặt hội tụ tại đỉnh này.

Cụ thể là về những gì bạn thấy trong tiêu đề. Về bản chất, đây là một "tương tự không gian" vấn đề tìm một tiếp tuyến và bình thường vào đồ thị của một hàm một biến, và do đó không có khó khăn nào xảy ra.

Hãy bắt đầu với những câu hỏi cơ bản: Mặt phẳng tiếp tuyến là gì và pháp tuyến là gì? Nhiều người nhận thức được những khái niệm này ở cấp độ trực giác. Mô hình đơn giản nhất mà bạn nghĩ đến là một quả bóng nằm trên một tấm bìa cứng phẳng mỏng. Các tông nằm càng gần quả cầu càng tốt và chạm vào nó tại một điểm duy nhất. Ngoài ra, tại điểm tiếp xúc, nó được cố định bằng kim chọc thẳng lên trên.

Về lý thuyết, có một định nghĩa khá dí dỏm về một mặt phẳng tiếp tuyến. Hãy tưởng tượng một bề mặt và điểm thuộc về nó. Rõ ràng là rất nhiều đi qua điểm. đường không gian thuộc về bề mặt này. Ai có những liên tưởng nào? =)… Tôi đã tự giới thiệu con bạch tuộc. Giả sử rằng mỗi dòng như vậy có tiếp tuyến không gianỞ điểm .

Định nghĩa 1: mặt phẳng tiếp tuyến lên bề mặt tại một điểm là chiếc máy bay, chứa các tiếp tuyến của tất cả các đường cong thuộc mặt phẳng đã cho và đi qua điểm.

Định nghĩa 2: thông thường lên bề mặt tại một điểm là thẳngđi qua điểm đã cho vuông góc với mặt phẳng tiếp tuyến.

Đơn giản và thanh lịch. Nhân tiện, để bạn không bị nhàm chán bởi sự đơn giản của vật liệu, một lát sau, tôi sẽ chia sẻ với bạn một bí quyết tao nhã cho phép bạn quên đi việc nhồi nhét các định nghĩa khác nhau MỘT LẦN VÀ TẤT CẢ.

Chúng ta sẽ làm quen với các công thức làm việc và thuật toán giải trực tiếp trên ví dụ cụ thể. Trong phần lớn các bài toán, yêu cầu phải lập cả phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và phương trình của pháp tuyến:

ví dụ 1

Quyết định: nếu bề mặt được cho bởi phương trình (tức là ngầm hiểu), thì phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến với một mặt đã cho tại một điểm có thể được tìm thấy bằng công thức sau:

Tôi đặc biệt chú ý đến các đạo hàm riêng bất thường - không nên nhầm lẫn với đạo hàm riêng của một hàm đã cho ngầm định (mặc dù bề mặt được xác định ngầm). Khi tìm thấy các dẫn xuất này, người ta nên được hướng dẫn bởi quy tắc phân biệt một hàm ba biến, nghĩa là, khi phân biệt với bất kỳ biến nào, hai chữ cái còn lại được coi là hằng số:

Không cần rời khỏi máy tính tiền, chúng tôi tìm thấy đạo hàm riêng tại điểm:

Tương tự:

Đây là thời điểm khó chịu nhất của quyết định, trong đó một lỗi, nếu không được phép, liên tục hình dung ra. Tuy nhiên, có tồn tại tiếp nhận hiệu quả bài kiểm tra mà tôi đã nói đến trong bài học Đạo hàm có hướng và gradient.

Tất cả các "thành phần" đã được tìm thấy và bây giờ nó được thay thế cẩn thận bằng cách đơn giản hóa hơn nữa:

– phương trình tổng quát mặt phẳng tiếp tuyến mong muốn.

Tôi thực sự khuyên bạn nên kiểm tra giai đoạn này của quyết định. Trước tiên, bạn cần đảm bảo rằng tọa độ của điểm tiếp xúc thực sự thỏa mãn phương trình tìm được:

- bình đẳng thực sự.

Bây giờ chúng tôi "loại bỏ" các hệ số phương trình tổng quát mặt phẳng và kiểm tra chúng xem có trùng hợp hoặc tỷ lệ với các giá trị tương ứng hay không. TẠI trường hợp này tỷ lệ thuận. Như bạn nhớ từ khóa học hình học giải tích, - Cái này Vector bình thường mặt phẳng tiếp tuyến, và anh ta - hướng dẫn vectorđường thẳng pháp tuyến. Hãy sáng tác phương trình chính tắc pháp tuyến theo điểm và vectơ hướng:

Về nguyên tắc, các mẫu số có thể giảm đi một "hai", nhưng không cần thiết phải làm như vậy.

Trả lời:

Tuy nhiên, không bị cấm chỉ định các phương trình bằng một số chữ cái - tại sao? Đây và vì vậy nó là rất rõ ràng những gì là gì.

Hai ví dụ tiếp theo cho giải pháp độc lập. Một "cái líu lưỡi toán học" nhỏ:

Ví dụ 2

Tìm phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt phẳng tại điểm.

Và một nhiệm vụ thú vị từ quan điểm kỹ thuật:

Ví dụ 3

Lập phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt phẳng tại một điểm

Tại điểm.

Có mọi cơ hội không chỉ khiến bạn bối rối mà còn gặp khó khăn khi viết. phương trình chính tắc của dòng. Và các phương trình bình thường, như bạn có thể hiểu, thường được viết ở dạng này. Mặc dù, do hay quên hoặc không biết một số sắc thái, một dạng tham số có thể chấp nhận được.

Ví dụ về các giải pháp hoàn thiện ở cuối bài học.

Có một mặt phẳng tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ trên bề mặt? Nói chung, tất nhiên là không. Ví dụ cổ điển- Cái này bề mặt hình nón và điểm - các tiếp tuyến tại điểm này trực tiếp tạo thành bề mặt hình nón, và tất nhiên, không nằm trong cùng một mặt phẳng. Có thể dễ dàng xác minh sự bất hòa và về mặt phân tích:.

Một nguồn khác của vấn đề là thực tế không tồn tại một số đạo hàm riêng tại một điểm. Tuy nhiên, điều này không có nghĩa là không có mặt phẳng tiếp tuyến duy nhất tại một điểm cho trước.

Nhưng nó là khoa học phổ biến hơn là thông tin quan trọng thực tế, và chúng ta quay trở lại những vấn đề cấp bách:

Cách viết phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến tại một điểm,
nếu bề mặt được cung cấp bởi một hàm rõ ràng?

Hãy viết lại nó một cách ẩn ý:

Và bằng các nguyên tắc tương tự, chúng tôi tìm thấy các đạo hàm riêng:

Do đó, công thức mặt phẳng tiếp tuyến được biến đổi thành phương trình sau:

Và tương ứng, phương trình chính tắc bình thường:

Vì nó rất dễ đoán - đó là sự thật" đạo hàm riêng của một hàm hai biến tại điểm mà chúng tôi sử dụng để chỉ định bằng chữ cái "Z" và đã tìm thấy 100500 lần.

Lưu ý rằng trong bài này chỉ cần nhớ công thức đầu tiên là đủ, từ đó, nếu cần, có thể dễ dàng suy ra mọi thứ khác. (tất nhiên, có mức cơ bản tập huấn). Đây là cách tiếp cận cần được thực hiện khi nghiên cứu khoa học chính xác, I E. từ một lượng thông tin tối thiểu, người ta nên cố gắng “rút ra” tối đa các kết luận và hậu quả. "Soobrazhalovka" và kiến ​​thức đã có sẵn để trợ giúp! Nguyên tắc này cũng rất hữu ích vì nó rất có thể cứu bạn trong tình huống nguy cấp khi bạn biết rất ít.

Hãy cùng tìm ra các công thức "đã sửa đổi" với một vài ví dụ:

Ví dụ 4

Lập phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt phẳng Ở điểm .

Một lớp phủ nhỏ ở đây xuất hiện với các ký hiệu - bây giờ chữ cái biểu thị một điểm của mặt phẳng, nhưng bạn có thể làm gì - một chữ cái phổ biến như vậy ...

Quyết định: chúng ta sẽ lập phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến mong muốn theo công thức:

Hãy tính giá trị của hàm tại điểm:

Tính toán đạo hàm riêng của bậc 1 tại thời điểm này:

Như vậy:

cẩn thận, đừng vội vàng:

Hãy để chúng tôi viết phương trình chính tắc của pháp tuyến tại điểm:

Trả lời:

Và một ví dụ cuối cùng cho giải pháp tự làm:

Ví dụ 5

Lập phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt phẳng tại điểm.

Điều cuối cùng là bởi vì, trên thực tế, tôi đã giải thích tất cả các điểm kỹ thuật và không có gì đặc biệt để thêm vào. Ngay cả bản thân các hàm được cung cấp trong nhiệm vụ này cũng buồn tẻ và đơn điệu - trong thực tế, bạn gần như chắc chắn sẽ gặp một "đa thức", và theo nghĩa này, Ví dụ số 2 với số mũ trông giống như một "con cừu đen". Nhân tiện, có nhiều khả năng gặp bề mặt, được đưa ra bởi phương trình và đây là một lý do khác tại sao hàm được đưa vào bài báo "số thứ hai".

Và cuối cùng, bí mật được hứa hẹn: vậy làm thế nào để tránh nhồi nhét các định nghĩa? (tất nhiên, ý tôi không phải là tình huống học sinh đang sốt sắng nhồi nhét một thứ gì đó trước kỳ thi)

Định nghĩa của bất kỳ khái niệm / hiện tượng / đối tượng nào, trước hết, đưa ra câu trả lời cho câu hỏi tiếp theo: LÀ GÌ? (ai / như vậy / như vậy / như vậy). Có ý thức trả lời câu hỏi này, bạn nên cố gắng phản ánh có ý nghĩa dấu hiệu, chắc chắn xác định cái này hay khái niệm / hiện tượng / đối tượng. Đúng vậy, thoạt nghe thì nó hơi lè lưỡi, thiếu chính xác và thừa (thầy sẽ sửa =))), nhưng theo thời gian, một bài phát biểu khoa học khá xứng đáng phát triển.

Thực hành trên các đối tượng trừu tượng nhất, chẳng hạn, trả lời câu hỏi: Cheburashka là ai? Nó không đơn giản như vậy ;-) Đây là " nhân vật trong truyện cổ tích với đôi tai to, đôi mắt và mái tóc nâu ”? Xa và rất xa so với định nghĩa - bạn không bao giờ biết có những nhân vật với những đặc điểm như vậy .... Nhưng điều này gần với định nghĩa hơn nhiều: “Cheburashka là một nhân vật do nhà văn Eduard Uspensky sáng tạo ra vào năm 1966, mà ... (liệt kê chính dấu hiệu)» . Chú ý đến việc bắt đầu tốt như thế nào

Có thể thiết lập những cách khác(một điểm và một vectơ, hai điểm và một vectơ, ba điểm, v.v.). Với điều này trong tâm trí rằng phương trình của mặt phẳng có thể có các loại khác nhau. Ngoài ra, trong những điều kiện nhất định, các mặt phẳng có thể song song, vuông góc, cắt nhau, v.v. Chúng tôi sẽ nói về điều này trong bài viết này. Chúng ta sẽ học cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng và không chỉ.

Dạng chuẩn của phương trình

Giả sử có một không gian R 3 có một hệ trục tọa độ XYZ là hình chữ nhật. Ta đặt vectơ α, sẽ phóng ra từ điểm ban đầu O. Qua điểm cuối của vectơ α, chúng ta vẽ mặt phẳng P, sẽ vuông góc với nó.

Kí hiệu cho P một điểm tùy ý Q = (x, y, z). Chúng ta sẽ ký hiệu véc tơ bán kính của điểm Q bằng chữ cái p. Độ dài của vectơ α là p = IαI và Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Đây là đơn vị véc tơ, hướng sang một bên, giống như vectơ α. α, β và γ lần lượt là các góc tạo thành giữa vectơ Ʋ và các phương dương của các trục không gian x, y, z. Hình chiếu của điểm QϵП nào đó lên vectơ Ʋ là giá trị hiện có, bằng p: (p, Ʋ) = p (p≥0).

Phương trình này có ý nghĩa khi p = 0. Điều duy nhất là mặt phẳng P trong trường hợp này sẽ cắt điểm O (α = 0), là gốc, và vectơ đơn vị Ʋ, phóng ra từ điểm O, sẽ vuông góc với P, bất kể hướng của nó, có nghĩa là vectơ Ʋ được xác định từ dấu-chính-xác. Phương trình trước là phương trình của mặt phẳng P, được biểu diễn dưới dạng vectơ. Nhưng trong tọa độ, nó sẽ như thế này:

P ở đây lớn hơn hoặc bằng 0. Ta đã tìm được phương trình của một mặt phẳng trong không gian ở dạng chính tắc.

Phương trình tổng quát

Nếu chúng ta nhân phương trình trong tọa độ với bất kỳ số nào không bằng 0, chúng ta sẽ nhận được một phương trình tương đương với một phương trình đã cho, xác định cùng mặt phẳng đó. Nó sẽ trông giống thế này:

Ở đây A, B, C là các số đồng thời khác 0. Phương trình này được gọi là phương trình mặt phẳng tổng quát.

Phương trình mặt phẳng. Trường hợp đặc biệt

Phương trình trong nhìn chung có thể được sửa đổi trong các điều kiện bổ sung. Hãy xem xét một số trong số họ.

Giả sử rằng hệ số A bằng 0. Điều này có nghĩa là mặt phẳng đã cho song song với trục Ox đã cho. Trong trường hợp này, dạng của phương trình sẽ thay đổi: Ву + Cz + D = 0.

Tương tự, dạng của phương trình sẽ thay đổi trong các điều kiện sau:

• Thứ nhất, nếu B = 0, thì phương trình sẽ chuyển thành Ax + Cz + D = 0, điều này sẽ cho thấy sự song song với trục Oy.
• Thứ hai, nếu С = 0, thì phương trình được biến đổi thành Ах + Ву + D = 0, điều này sẽ cho thấy sự song song với trục Oz đã cho.
• Thứ ba, nếu D = 0, phương trình sẽ giống như Ax + By + Cz = 0, nghĩa là mặt phẳng cắt O (gốc tọa độ).
• Thứ tư, nếu A = B = 0, thì phương trình sẽ chuyển thành Cz + D = 0, điều này sẽ chứng minh song song với Oxy.
• Thứ năm, nếu B = C = 0, thì phương trình trở thành Ax + D = 0, có nghĩa là mặt phẳng đến Oyz là song song.
• Thứ sáu, nếu A = C = 0, thì phương trình sẽ có dạng Ву + D = 0, tức là nó sẽ báo song song với Oxz.

Loại phương trình trong các phân đoạn

Trong trường hợp các số A, B, C, D khác 0, dạng của phương trình (0) có thể như sau:

x / a + y / b + z / c = 1,

trong đó a \ u003d -D / A, b \ u003d -D / B, c \ u003d -D / C.

Kết quả là ta nhận được Điều đáng chú ý là mặt phẳng này sẽ cắt trục Ox tại một điểm có tọa độ (a, 0,0), Oy - (0, b, 0) và Oz - (0,0, c) .

Tính đến phương trình x / a + y / b + z / c = 1, có thể dễ dàng biểu diễn trực quan vị trí của mặt phẳng so với một hệ tọa độ nhất định.

Tọa độ vectơ thông thường

Vectơ pháp tuyến n đối với mặt phẳng P có tọa độ là các hệ số của phương trình tổng quát của mặt phẳng đã cho, nghĩa là n (A, B, C).

Để xác định tọa độ của pháp tuyến n, chỉ cần biết phương trình tổng quát của một mặt phẳng đã cho là đủ.

Khi sử dụng phương trình trong các đoạn có dạng x / a + y / b + z / c = 1, cũng như khi sử dụng phương trình tổng quát, người ta có thể viết tọa độ của bất kỳ vectơ pháp tuyến nào của một mặt phẳng cho trước: (1 / a + 1 / b + 1 / với).

Cần lưu ý rằng vectơ pháp tuyến giúp giải quyết các vấn đề khác nhau. Phổ biến nhất là các nhiệm vụ bao gồm chứng minh tính vuông góc hoặc song song của các mặt phẳng, các bài toán tìm góc giữa mặt phẳng hoặc góc giữa mặt phẳng và đường thẳng.

Hình chiếu của phương trình mặt phẳng theo tọa độ của điểm và vectơ pháp tuyến

Một vectơ khác không n vuông góc với một mặt phẳng cho trước được gọi là pháp tuyến (pháp tuyến) đối với một mặt phẳng cho trước.

Giả sử trong không gian tọa độ (hệ tọa độ hình chữ nhật) Oxyz cho:

• điểm Mₒ có tọa độ (xₒ, yₒ, zₒ);
• vectơ không n = A * i + B * j + C * k.

Cần lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mₒ vuông góc với pháp tuyến n.

Trong không gian, ta chọn một điểm bất kỳ và kí hiệu là M (x y, z). Gọi vectơ bán kính của bất kỳ điểm M (x, y, z) là r = x * i + y * j + z * k và vectơ bán kính của điểm Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) - rₒ = xₒ * i + yₒ * j + zₒ * k. Điểm M sẽ thuộc mặt phẳng đã cho nếu vectơ MₒM vuông góc với vectơ n. Chúng tôi viết điều kiện trực giao bằng cách sử dụng tích vô hướng:

[MₒM, n] = 0.

Vì MₒM \ u003d r-rₒ, phương trình vectơ của mặt phẳng sẽ có dạng như sau:

Phương trình này có thể có dạng khác. Đối với điều này, các thuộc tính của tích vô hướng được sử dụng, và phía tay trái các phương trình. = -. Nếu được ký hiệu là c, thì phương trình sau sẽ nhận được: - c \ u003d 0 hoặc \ u003d c, biểu thị hằng số của các hình chiếu lên vectơ pháp tuyến của vectơ bán kính của các điểm đã cho thuộc mặt phẳng.

Bây giờ bạn có thể nhận được phối hợp xem các mục của phương trình vectơ của mặt phẳng của chúng ta = 0. Vì r-rₒ = (x-xₒ) * i + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, và n = A * i + B * j + C * k, ta có:

Suy ra ta có phương trình mặt phẳng đi qua điểm vuông góc với pháp tuyến n:

A * (x-xₒ) + B * (y-yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

Hình chiếu của phương trình mặt phẳng theo tọa độ của hai điểm và một vectơ thẳng hàng với mặt phẳng

Chúng ta xác định hai điểm tùy ý M ′ (x ′, y ′, z ′) và M ″ (x ″, y ″, z ″), cũng như vectơ a (a ′, a ″, a ‴).

Bây giờ chúng ta có thể lập một phương trình cho một mặt phẳng đã cho, sẽ đi qua các điểm có sẵn M ′ và M ″, cũng như bất kỳ điểm M nào có tọa độ (x, y, z) song song. vector cho trước một.

Trong trường hợp này, các vectơ M′M = (x-x ′; y-y ′; z-z ′) và M ″ M = (x ″ -x ′; y ″ -y ′; z ″ -z ′) phải đồng phẳng với vectơ a = (a ′, a ″, a ‴), có nghĩa là (M′M, M ″ M, a) = 0.

Vì vậy, phương trình của một mặt phẳng trong không gian của chúng ta sẽ giống như sau:

Dạng phương trình của mặt phẳng cắt ba điểm

Giả sử chúng ta có ba điểm: (x ′, y ′, z ′), (x ″, y ″, z ″), (x ‴, y ‴, z ‴) không thuộc cùng một đường thẳng. Cần viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho. Lý thuyết hình học tuyên bố rằng loại mặt phẳng này thực sự tồn tại, chỉ có nó là duy nhất và không thể bắt chước được. Vì mặt phẳng này cắt điểm (x ′, y ′, z ′) nên phương trình của nó sẽ như sau:

Ở đây A, B, C đồng thời khác 0. Ngoài ra, mặt phẳng đã cho cắt thêm hai điểm: (x ″, y ″, z ″) và (x ‴, y ‴, z ‴). Về vấn đề này, các điều kiện sau phải được đáp ứng:

Bây giờ chúng ta có thể soạn hệ thống đồng nhất với u, v, w không xác định:

Trong của chúng tôi trường hợp x, y hoặc z là viết tắt điểm tùy ý, thỏa mãn phương trình (1). Xét phương trình (1) và hệ phương trình (2) và (3), hệ phương trình được chỉ ra trong hình trên thỏa mãn vectơ N (A, B, C), là không nhỏ. Đó là lý do tại sao định thức của hệ thống này bằng không.

Phương trình (1), mà chúng ta thu được, là phương trình của mặt phẳng. Nó đi qua chính xác 3 điểm, và điều này rất dễ kiểm tra. Để làm được điều này, chúng ta cần mở rộng định thức của chúng ta qua các phần tử trong hàng đầu tiên. Từ các thuộc tính hiện có của định thức mà mặt phẳng của chúng ta đồng thời cắt ba điểm đã cho ban đầu (x ′, y ′, z ′), (x ″, y ″, z ″), (x ‴, y ‴, z ‴) . Tức là chúng ta đã giải quyết xong nhiệm vụ đặt ra trước mắt.

Góc nhị diện giữa các mặt phẳng

Một góc nhị diện là một góc không gian hình học, được tạo thành bởi hai nửa mặt phẳng xuất phát từ một đường thẳng. Nói cách khác, đây là phần không gian được giới hạn bởi các nửa mặt phẳng này.

Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng với các phương trình sau:

Ta biết rằng các vectơ N = (A, B, C) và N¹ = (A¹, B¹, C¹) vuông góc với nhau theo máy bay đã cho. Về phương diện này, góc φ giữa các vectơ N và N¹ bằng góc (nhị diện) nằm giữa các mặt phẳng này. Sản phẩm vô hướng giống như:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

chính xác bởi vì

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + BB¹ + CC¹) / ((√ (A² + B² + C²)) * (√ (A¹) ² + (B¹) ² + (C¹) ²)).

Nó đủ để tính đến rằng 0≤φ≤π.

Trong thực tế, hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành hai góc (nhị diện): φ 1 và φ 2. Tổng của chúng bằng π (φ 1 + φ 2 = π). Đối với cosin của chúng, giá trị tuyệt đối của chúng bằng nhau, nhưng chúng khác nhau về dấu, nghĩa là, cos φ 1 = -cos φ 2. Nếu trong phương trình (0) ta thay A, B, C lần lượt bằng các số -A, -B và -C thì phương trình ta nhận được sẽ xác định cùng một mặt phẳng, một góc φ duy nhất trong phương trình cosφ = NN 1 / | N || N 1 | sẽ được thay thế bằng π-φ.

Phương trình mặt phẳng vuông góc

Máy bay được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng là 90 độ. Sử dụng tài liệu nêu trên, chúng ta có thể tìm phương trình của một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác. Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 và A¹x + B¹y + C¹z + D = 0. Chúng ta có thể phát biểu rằng chúng sẽ vuông góc với nhau nếu cosφ = 0. Điều này có nghĩa là NN¹ = AA¹ + BB¹ + CC¹ = 0.

Phương trình mặt phẳng song song

Song song là hai mặt phẳng không chứa điểm chung.

Điều kiện (phương trình của chúng giống như trong đoạn trước) là các vectơ N và N¹, vuông góc với chúng, thẳng hàng. Và điều này có nghĩa là điều kiện sau tương xứng:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

Nếu các điều kiện tỷ lệ được mở rộng - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹,

điều này chỉ ra rằng các mặt phẳng này trùng khớp với nhau. Điều này có nghĩa là các phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và A¹x + B¹y + C¹z + D¹ = 0 mô tả một mặt phẳng.

Khoảng cách đến mặt phẳng từ điểm

Giả sử chúng ta có một mặt phẳng P, được cho bởi phương trình (0). Cần tìm khoảng cách đến nó từ điểm có tọa độ (xₒ, yₒ, zₒ) = Qₒ. Để làm được điều này, bạn cần đưa phương trình của mặt phẳng P về dạng chính tắc:

(ρ, v) = p (p≥0).

Trong trường hợp này, ρ (x, y, z) là vectơ bán kính của điểm Q nằm trên P, p là độ dài của đường vuông góc với P được giải phóng từ điểm 0, v là vectơ đơn vị nằm trong một hướng.

Sự khác biệt ρ-ρº của vectơ bán kính của một số điểm Q = (x, y, z) thuộc P, cũng như vectơ bán kính của một điểm cho trước Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) là một vectơ như vậy, giá trị tuyệt đối có hình chiếu trên v bằng khoảng cách d, khoảng cách này phải được tìm thấy từ Q 0 \ u003d (xₒ, yₒ, zₒ) đến P:

D = | (ρ-ρ 0, v) |, nhưng

(ρ-ρ 0, v) = (ρ, v) - (ρ 0, v) = р- (ρ 0, v).

Vì vậy, nó quay ra

d = | (ρ 0, v) -p |.

Vì vậy, chúng tôi sẽ tìm thấy giá trị tuyệt đối biểu thức kết quả, nghĩa là, bắt buộc d.

Sử dụng ngôn ngữ của các tham số, chúng tôi nhận thấy rõ ràng:

d = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / √ (A² + B² + C²).

Nếu một điểm đã cho Q 0 nằm ở phía bên kia của mặt phẳng P, đồng thời là điểm gốc, khi đó giữa vectơ ρ-ρ 0 và v là:

d = - (ρ-ρ 0, v) = (ρ 0, v) -p> 0.

Trong trường hợp điểm Q 0 cùng gốc tọa độ nằm trên cùng một phía của P thì góc tạo ra là góc nhọn, nghĩa là:

d \ u003d (ρ-ρ 0, v) \ u003d p - (ρ 0, v)> 0.

Kết quả là, trong trường hợp đầu tiên (ρ 0, v)> р, trong trường hợp thứ hai (ρ 0, v)<р.

Mặt phẳng tiếp tuyến và phương trình của nó

Mặt phẳng tiếp tuyến với mặt tại điểm tiếp xúc Mº là mặt phẳng chứa tất cả các tiếp tuyến có thể có của các đường cong vẽ qua điểm này trên bề mặt.

Với dạng này của phương trình bề mặt F (x, y, z) \ u003d 0, phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm tiếp tuyến Mº (xº, yº, zº) sẽ có dạng như sau:

F x (xº, yº, zº) (x- xº) + F x (xº, yº, zº) (y-yº) + F x (xº, yº, zº) (z-zº) = 0.

Nếu bạn chỉ định bề mặt ở dạng rõ ràng z = f (x, y), thì mặt phẳng tiếp tuyến sẽ được mô tả bởi phương trình:

z-zº = f (xº, yº) (x- xº) + f (xº, yº) (y-yº).

Giao điểm của hai mặt phẳng

Trong hệ trục tọa độ (hình chữ nhật) Oxyz cho trước, hai mặt phẳng П ′ và П ″ cắt nhau và không trùng nhau. Vì bất kỳ mặt phẳng nào nằm trong hệ tọa độ hình chữ nhật đều được xác định bởi một phương trình tổng quát, chúng ta sẽ giả sử rằng P ′ và P ″ được cho bởi các phương trình A′x + B′y + C′z + D ′ = 0 và A ″ x + B ″ y + С ″ z + D ″ = 0. Trong trường hợp này, chúng ta có pháp tuyến n (A ′, B ′, C ′) của mặt phẳng P ′ và pháp tuyến n ”(A ″, B ″, C ″) của mặt phẳng P ″. Vì các mặt phẳng của chúng ta không song song và không trùng nhau, các vectơ này không thẳng hàng. Sử dụng ngôn ngữ toán học, chúng ta có thể viết điều kiện này như sau: n ′ ≠ n ″ ↔ (A ′, B ′, C ′) ≠ (λ * A ″, λ * B ″, λ * C ″), λϵR. Gọi đường thẳng nằm tại giao điểm của P ′ và P ″ được ký hiệu bằng chữ a, trong trường hợp này a = P ′ ∩ P ″.

a là đường thẳng gồm tập hợp tất cả các điểm của hai mặt phẳng (chung) П ′ và П ″. Điều này có nghĩa là tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc đường thẳng a phải thỏa mãn đồng thời các phương trình A′x + B′y + C′z + D ′ = 0 và A ″ x + B ″ y + C ″ z + D ″ = 0. Điều này có nghĩa là tọa độ của điểm sẽ là một nghiệm cụ thể của hệ phương trình sau:

Kết quả là nghiệm (tổng quát) của hệ phương trình này sẽ xác định tọa độ của từng điểm của đường thẳng, sẽ đóng vai trò là giao điểm của П ′ và П ″, và xác định đường thẳng đường thẳng a trong hệ tọa độ Oxyz (hình chữ nhật) trong không gian.

Điều gì là bình thường? Nói một cách dễ hiểu, pháp tuyến là một vuông góc. Tức là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Rõ ràng là bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số chúng (cũng như các vectơ chỉ đạo), và tất cả các vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ thẳng hàng (cùng hướng hay không - không quan trọng).

Đối phó với chúng thậm chí sẽ dễ dàng hơn so với các vectơ chỉ hướng:

Nếu một đường thẳng được cho bởi một phương trình tổng quát trong một hệ tọa độ hình chữ nhật thì vectơ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Nếu tọa độ của vectơ chỉ phương phải được “loại bỏ” một cách cẩn thận khỏi phương trình, thì tọa độ của vectơ pháp tuyến chỉ đơn giản là “loại bỏ”.

Vectơ pháp tuyến luôn trực giao với vectơ chỉ phương của đoạn thẳng. Hãy đảm bảo rằng các vectơ này là trực giao bằng cách sử dụng tích vô hướng:

Tôi sẽ đưa ra các ví dụ với các phương trình tương tự như đối với vectơ chỉ hướng:

Có thể viết phương trình của một đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến được không? Nếu đã biết vectơ pháp tuyến, thì hướng của đường thẳng được xác định duy nhất - đây là “cấu trúc cứng” với góc 90 độ.

Làm thế nào để viết một phương trình của một đường thẳng cho một điểm và một vectơ pháp tuyến?

Nếu biết một điểm nào đó thuộc đường thẳng và vectơ pháp tuyến của đường thẳng này thì phương trình của đường thẳng này được biểu thị bằng công thức:

Lập phương trình đường thẳng cho trước một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Giải pháp: Sử dụng công thức:

Phương trình tổng quát của đường thẳng thu được, hãy kiểm tra:

1) "Xóa" tọa độ của vectơ pháp tuyến khỏi phương trình: - đúng vậy, vectơ gốc nhận được từ điều kiện (hoặc vectơ phải thẳng hàng với vectơ ban đầu).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình hay không:

Bình đẳng thực sự.

Sau khi chúng tôi đã chắc chắn rằng phương trình là đúng, chúng tôi sẽ hoàn thành phần thứ hai, dễ dàng hơn của nhiệm vụ. Chúng ta rút ra vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Trả lời:

Trong hình vẽ, tình huống như sau:

Đối với mục đích đào tạo, một nhiệm vụ tương tự cho một giải pháp độc lập:

Lập phương trình đường thẳng cho trước một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Phần cuối cùng của bài học sẽ dành cho các dạng phương trình ít phổ biến hơn nhưng cũng rất quan trọng của đường thẳng trong mặt phẳng

Phương trình của một đoạn thẳng trong các đoạn thẳng.
Phương trình của một đường thẳng ở dạng tham số

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng có dạng, trong đó là các hằng số khác nhau. Một số loại phương trình không thể được biểu diễn ở dạng này, ví dụ, tỷ lệ thuận (vì số hạng tự do bằng 0 và không có cách nào để lấy một ở vế phải).

Nói một cách hình tượng, đây là một loại phương trình "kỹ thuật". Nhiệm vụ thông thường là biểu diễn phương trình tổng quát của một đường thẳng như một phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng. Tại sao nó lại thuận tiện? Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn cho phép bạn nhanh chóng tìm thấy các giao điểm của một đường thẳng với các trục tọa độ, điều này rất quan trọng trong một số bài toán của toán học cao hơn.

Tìm giao điểm của đường thẳng với trục. Chúng tôi đặt lại chữ “y” và phương trình có dạng. Điểm mong muốn nhận được tự động:.

Tương tự với trục là điểm mà đường thẳng giao với trục y.

Các hành động mà tôi vừa giải thích chi tiết được thực hiện bằng lời nói.

Cho một đường thẳng. Lập phương trình của một đường thẳng thành đoạn thẳng và xác định các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

Giải: Hãy đưa phương trình về dạng. Đầu tiên, chúng tôi di chuyển điều khoản miễn phí sang phía bên phải:

Để có một đơn vị ở bên phải, chúng ta chia mỗi số hạng của phương trình cho -11:

Chúng tôi tạo ra các phân số có ba câu chuyện:

Các giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ xuất hiện:

Trả lời:

Nó vẫn còn để gắn một cái thước và vẽ một đường thẳng.

Dễ dàng nhận thấy rằng đường thẳng này được xác định duy nhất bởi các đoạn màu đỏ và xanh lục, do đó có tên - “phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng”.

Tất nhiên, các điểm không quá khó để tìm ra từ phương trình, nhưng bài toán vẫn hữu ích. Thuật toán được xem xét sẽ được yêu cầu để tìm các giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ, để đưa phương trình đường thẳng bậc hai về dạng chính tắc và trong một số bài toán khác. Do đó, một số đường thẳng cho một giải pháp độc lập:

Lập phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng và xác định các giao điểm của nó với các trục tọa độ.

Giải pháp và câu trả lời ở cuối. Đừng quên rằng nếu bạn muốn, bạn có thể vẽ mọi thứ.

Làm thế nào để viết phương trình tham số cho một đường thẳng?

Các phương trình tham số của một đường thẳng phù hợp hơn với các đường thẳng trong không gian, nhưng nếu không có chúng thì phần tóm tắt của chúng ta sẽ không còn nữa.

Nếu biết một điểm nào đó thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng này thì phương trình tham số của đường thẳng này được cho bởi hệ:

Lập phương trình tham số của một đường thẳng với một điểm và một vectơ chỉ phương

Giải pháp đã kết thúc trước khi nó có thể bắt đầu:

Tham số "te" có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ "trừ vô cực" đến "cộng vô cùng" và mỗi giá trị tham số tương ứng với một điểm cụ thể của mặt phẳng. Ví dụ: nếu, thì chúng tôi nhận được một điểm .

Bài toán nghịch đảo: làm thế nào để kiểm tra xem một điểm điều kiện có thuộc một dòng cho trước hay không?

Hãy để chúng tôi thay thế tọa độ của điểm vào phương trình tham số thu được:

Từ cả hai phương trình, ta thấy rằng hệ thống nhất quán và có một nghiệm duy nhất.

Chúng ta hãy xem xét các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn:

Lập phương trình tham số của một đường thẳng

Lời giải: Theo điều kiện, đường thẳng đã cho ở dạng tổng quát. Để lập phương trình tham số của một đường thẳng, bạn cần biết vectơ chỉ phương của nó và một số điểm thuộc đường thẳng này.

Hãy tìm véc tơ chỉ phương:

Bây giờ bạn cần tìm một số điểm thuộc đường thẳng (bất kỳ điểm nào sẽ làm được), vì mục đích này, thật tiện lợi khi viết lại phương trình tổng quát dưới dạng phương trình có hệ số góc:

Tất nhiên, nó cầu xin điểm

Chúng tôi soạn phương trình tham số của đường thẳng:

Và cuối cùng, một nhiệm vụ sáng tạo nhỏ cho một giải pháp độc lập.

Lập phương trình tham số của một đường thẳng nếu biết điểm thuộc nó và vectơ pháp tuyến

Nhiệm vụ có thể được thực hiện theo nhiều cách. Một trong những phiên bản của giải pháp và câu trả lời ở cuối.

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Bài giải: Tìm hệ số góc:

Chúng ta lập phương trình của một đường thẳng theo một điểm và một hệ số góc:

Trả lời:

Ví dụ 4: Giải: Ta sẽ lập phương trình đường thẳng theo công thức:

Trả lời:

Ví dụ 6: Giải pháp: Sử dụng công thức:

Trả lời: (trục y)

Ví dụ 8: Quyết định: Hãy lập phương trình của một đường thẳng trên hai điểm:

Nhân cả hai vế với -4:

Và chia cho 5:

Trả lời:

Ví dụ 10: Quyết định: Sử dụng công thức:

Chúng tôi giảm đi -2:

Vectơ hướng trực tiếp:
Trả lời:

Ví dụ 12:
một) Quyết định: Hãy biến đổi phương trình:

Như vậy:

Trả lời:

b) Quyết định: Hãy biến đổi phương trình:

Như vậy:

Trả lời:

Ví dụ 15: Quyết định: Đầu tiên, chúng ta viết phương trình tổng quát của một đường thẳng cho trước một điểm và vectơ pháp tuyến :

Nhân với 12:

Chúng ta nhân thêm với 2 để sau khi mở ngoặc thứ hai, loại bỏ phân số:

Vectơ hướng trực tiếp:
Chúng tôi lập phương trình tham số của đường thẳng theo điểm và vectơ hướng :
Trả lời:

Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng.
Sự sắp xếp lẫn nhau của các dòng. Góc giữa các dòng

Chúng ta tiếp tục xem xét các đường vô hạn-vô hạn này.

Làm thế nào để tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng?
Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?
Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng?

Sự sắp xếp tương hỗ của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng cho bởi phương trình ở dạng tổng quát:

Trường hợp hội trường hát theo hợp ca. Hai dòng có thể:

1) trận đấu;

2) được song song :;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm:.

Hãy ghi nhớ dấu hiệu toán học của giao điểm, nó sẽ xảy ra rất thường xuyên. Mục nhập có nghĩa là đường thẳng giao với đường thẳng tại điểm.

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai dòng trùng nhau nếu và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau, tức là có một số lượng "lambda" mà các giá trị bằng nhau giữ nguyên

Hãy xem xét các đoạn thẳng và lập ba phương trình từ các hệ số tương ứng:. Do đó, từ mỗi phương trình, các đường thẳng này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với -1 (thay đổi dấu hiệu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn nhận được cùng một phương trình:.

Trường hợp thứ hai khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song nếu và chỉ khi hệ số của chúng tại các biến tỷ lệ với nhau: , nhưng .

Ví dụ, hãy xem xét hai đường thẳng. Chúng tôi kiểm tra tỷ lệ của các hệ số tương ứng cho các biến:

Tuy nhiên, rõ ràng là.

Và trường hợp thứ ba, khi các đường cắt nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau nếu và chỉ khi các hệ số của chúng tại các biến KHÔNG tỷ lệ với nhau, nghĩa là KHÔNG có giá trị "lambda" nào mà các giá trị bằng nhau được thỏa mãn

Vì vậy, đối với các đoạn thẳng, chúng ta sẽ tạo ra một hệ thống:

Nó theo sau từ phương trình đầu tiên và từ phương trình thứ hai:, nghĩa là hệ không nhất quán (không có nghiệm). Như vậy, các hệ số tại các biến không tỷ lệ thuận với nhau.

Kết luận: các đường cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, có thể sử dụng sơ đồ giải pháp vừa xem xét. Nhân tiện, nó rất giống với thuật toán kiểm tra các vectơ về độ thẳng hàng. Nhưng có một gói văn minh hơn:

Tìm vị trí tương đối của các dòng:

Giải pháp dựa trên nghiên cứu về vectơ chỉ đạo của đường thẳng:

a) Từ phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .

, do đó các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

b) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau, có nghĩa là chúng song song hoặc giống nhau. Ở đây yếu tố quyết định là không cần thiết.

Rõ ràng, các hệ số của ẩn số là tỷ lệ thuận, trong khi.

Hãy cùng tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Vì vậy,

c) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Hãy tính định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này:
, do đó, các vectơ hướng thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỷ lệ "lambda" có thể được tìm thấy trực tiếp bằng tỷ lệ của các vectơ hướng thẳng hàng. Tuy nhiên, cũng có thể thông qua các hệ số của chính các phương trình: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức là đúng. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào thường thỏa mãn nó).

Do đó, các dòng trùng với nhau.

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng song song với một đường cho trước?

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường thẳng song song đi qua điểm.

Lời giải: Kí hiệu đoạn thẳng chưa biết bằng chữ cái. Điều kiện nói gì về nó? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song, thì rõ ràng vectơ chỉ thị của đường thẳng "ce" cũng thích hợp để xây dựng đường thẳng "de".

Chúng tôi lấy ra véc tơ chỉ phương từ phương trình:

Hình dạng của ví dụ trông đơn giản:

Xác minh phân tích bao gồm các bước sau:

1) Chúng tôi kiểm tra xem các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau hay không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa đúng cách, thì các véc tơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả hay không.

Việc xác minh phân tích trong hầu hết các trường hợp đều dễ dàng thực hiện bằng miệng. Nhìn vào hai phương trình và nhiều bạn sẽ nhanh chóng hình dung ra các đường thẳng song song như thế nào mà không cần hình vẽ.

Ví dụ để tự giải quyết ngày hôm nay sẽ là sáng tạo.

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng nếu

Con đường ngắn nhất là ở cuối.

Làm thế nào để tìm giao điểm của hai đường thẳng?

Nếu thẳng cắt nhau tại điểm thì tọa độ của nó là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường? Giải quyết hệ thống.

Quá nhiều đối với ý nghĩa hình học của một hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số - đây là hai đường thẳng cắt nhau (thường gặp nhất) trên một mặt phẳng.

Tìm giao điểm của các đường

Giải pháp: Có hai cách để giải quyết - đồ họa và phân tích.

Cách đồ họa là chỉ cần vẽ các đường đã cho và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ hình vẽ:

Đây là quan điểm của chúng tôi:. Để kiểm tra, bạn nên thay thế tọa độ của nó vào mỗi phương trình của một đường thẳng, chúng phải phù hợp với cả ở đó và ở đó. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ. Trong thực tế, chúng tôi đã xem xét một phương pháp đồ họa để giải một hệ thống phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Phương pháp đồ họa, tất nhiên, không phải là xấu, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp bảy quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để vẽ chính xác và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường không dễ xây dựng và bản thân điểm giao nhau có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang vở.

Do đó, việc tìm kiếm giao điểm bằng phương pháp phân tích sẽ thích hợp hơn. Hãy giải quyết hệ thống:

Để giải hệ thống, phương pháp bổ sung từng số hạng của các phương trình đã được sử dụng.

Việc xác minh là không đáng kể - tọa độ của giao điểm phải thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thống.

Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Thật tiện lợi khi chia vấn đề thành nhiều giai đoạn. Phân tích điều kiện cho thấy rằng cần phải:
1) Viết phương trình của đường thẳng.
2) Viết phương trình của đường thẳng.
3) Tìm ra vị trí tương đối của các đường.
4) Nếu các đường thẳng cắt nhau thì tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều bài toán hình học, và tôi sẽ nhiều lần tập trung vào vấn đề này.

Giải pháp đầy đủ và câu trả lời ở cuối:

Đường thẳng vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.
Góc giữa các dòng

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng vuông góc với một cho trước?

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường trung trực đi qua một điểm.

Giải pháp: Nó được biết bằng cách giả định rằng. Sẽ rất hay nếu bạn tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên mẹo rất đơn giản:

Từ phương trình, chúng ta "loại bỏ" vectơ pháp tuyến:, đó sẽ là vectơ chỉ đạo của đường thẳng.

Chúng ta lập phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ chỉ phương:

Trả lời:

Hãy mở bản phác thảo hình học:

Xác minh phân tích của giải pháp:

1) Trích xuất các vectơ chỉ hướng từ các phương trình và sử dụng tích vô hướng của vectơ, chúng tôi kết luận rằng các đường thực sự vuông góc:.

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng các vectơ bình thường, nó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả không .

Việc xác minh, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng lời nói.

Tìm giao điểm của các đường vuông góc, nếu biết phương trình và chấm.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Có một số hành động trong nhiệm vụ, vì vậy sẽ thuận tiện để sắp xếp giải pháp theo từng điểm.

Khoảng cách từ điểm đến dòng

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp "p", ví dụ: - khoảng cách từ điểm "m" đến đường thẳng "d".

Khoảng cách từ điểm đến dòng được thể hiện bằng công thức

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng

Giải pháp: tất cả những gì bạn cần làm là cắm các con số vào công thức một cách cẩn thận và thực hiện các phép tính:

Trả lời:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Khoảng cách tìm được từ điểm đến đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng màu đỏ. Nếu bạn thực hiện một bản vẽ trên giấy ca rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (2 ô) thì có thể đo khoảng cách bằng thước thông thường.

Xem xét một nhiệm vụ khác theo cùng một bản vẽ:

Làm thế nào để dựng một điểm đối xứng qua một đường thẳng?

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm so với đoạn thẳng . Tôi đề xuất thực hiện các hành động của riêng bạn, tuy nhiên, tôi sẽ phác thảo thuật toán giải với kết quả trung gian:

1) Tìm một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được coi là góc NHỎ HƠN, từ đó nó tự động theo góc không thể là góc tù. Trong hình vẽ, góc được chỉ ra bởi cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường cắt nhau. Và người hàng xóm “xanh” hoặc góc “mâm xôi” có định hướng đối lập được coi là như vậy.

Nếu các đường thẳng vuông góc thì có thể lấy góc bất kỳ trong 4 góc làm góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Sự định hướng. Đầu tiên, hướng "cuộn" góc về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, một góc định hướng âm được viết với một dấu trừ, ví dụ, nếu.

Tại sao tôi lại nói điều này? Có vẻ như bạn có thể hiểu được bằng khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là trong các công thức mà chúng ta sẽ tìm các góc, có thể dễ dàng thu được kết quả âm, và điều này sẽ không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ không tệ hơn và có một ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trong hình vẽ đối với một góc âm, bắt buộc phải chỉ ra hướng của nó (theo chiều kim đồng hồ) bằng một mũi tên.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, giải pháp được chính thức hóa một cách thuận tiện theo hai bước:

1) Tính tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng:
nên các đường thẳng không vuông góc.

2) Ta tìm góc giữa các đường bằng công thức:

Sử dụng hàm nghịch đảo, có thể dễ dàng tìm được góc chính nó. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng độ lẻ của tiếp tuyến cung:

Trả lời:

Trong câu trả lời, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác, cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là cả độ và radian), được tính bằng máy tính.

Chà, trừ, vậy trừ, không sao. Đây là một minh họa hình học:

Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra là một hướng âm, bởi vì trong điều kiện của bài toán, con số đầu tiên là một đường thẳng và sự "xoắn" của góc bắt đầu chính xác từ nó.

Ngoài ra còn có một giải pháp thứ ba. Ý tưởng là tính toán góc giữa các vectơ chỉ phương của các đường:

Ở đây chúng ta không nói về một góc có định hướng, mà là "chỉ về một góc", tức là kết quả chắc chắn sẽ là dương. Điểm bắt buộc là bạn có thể có được một góc tù (không phải góc bạn cần). Trong trường hợp này, bạn sẽ phải đặt trước rằng góc giữa các đường là một góc nhỏ hơn và lấy cosin cung thu được trừ đi các radian "pi" (180 độ).

Tìm góc giữa các đường thẳng.

Đây là một ví dụ do-it-yourself. Cố gắng giải quyết nó theo hai cách.

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3: Bài giải: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Chúng ta sẽ lập phương trình của đường thẳng mong muốn bằng cách sử dụng điểm và vectơ chỉ phương

Lưu ý: ở đây phương trình đầu tiên của hệ được nhân với 5, sau đó phương trình thứ 2 được trừ đi số hạng từ phương trình thứ nhất.
Trả lời:

Để nghiên cứu phương trình của một đường thẳng, cần phải hiểu rõ về đại số của vectơ. Điều quan trọng là phải tìm được vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đoạn thẳng. Bài này sẽ xét vectơ pháp tuyến của một đường thẳng với các ví dụ và hình vẽ, tìm tọa độ của nó nếu biết phương trình của đường thẳng. Một giải pháp chi tiết sẽ được xem xét.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Để làm cho tài liệu dễ hiểu hơn, bạn cần hiểu các khái niệm về đường thẳng, mặt phẳng và các định nghĩa liên quan đến vectơ. Đầu tiên, chúng ta hãy làm quen với khái niệm vectơ đường thẳng.

Định nghĩa 1

Vectơ dòng bình thường bất kỳ vectơ khác 0 nằm trên bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với một đường thẳng đã cho được gọi là.

Rõ ràng là có một tập vô hạn các vectơ pháp tuyến nằm trên một đường thẳng cho trước. Hãy xem xét hình bên dưới.

Ta được đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song đã cho thì tính vuông góc của nó kéo dài đến đường thẳng song song thứ hai. Do đó chúng ta thu được rằng tập các vectơ pháp tuyến của các đường thẳng song song này trùng nhau. Khi hai đường thẳng a và a 1 song song, và n → được coi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng a thì nó cũng được coi là vectơ pháp tuyến đối với đường thẳng a 1. Khi dòng a có vectơ trực tiếp thì vectơ t · n → khác 0 với bất kỳ giá trị nào của tham số t, và cũng là pháp tuyến đối với dòng a.

Sử dụng định nghĩa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương, ta có thể kết luận rằng vectơ pháp tuyến vuông góc với phương. Hãy xem xét một ví dụ.

Nếu cho mặt phẳng O x y thì tập các vectơ đối với O x là vectơ tọa độ j →. Nó được coi là khác không và thuộc trục tọa độ O y, vuông góc với O x. Toàn bộ tập các vectơ pháp tuyến đối với O x có thể được viết dưới dạng t · j →, t ∈ R, t ≠ 0.

Hệ hình chữ nhật O x y z có vectơ pháp tuyến i → liên hệ với đường thẳng O z. Vectơ j → cũng được coi là pháp tuyến. Điều này cho thấy rằng bất kỳ vectơ khác 0 nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào và vuông góc với O z được coi là pháp tuyến đối với O z.

Tọa độ của vectơ pháp tuyến của đoạn thẳng - tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của đoạn thẳng từ phương trình đã biết của đoạn thẳng

Khi xét một hệ trục tọa độ hình chữ nhật O x y, ta thấy rằng phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng tương ứng với nó, và việc xác định vectơ pháp tuyến được thực hiện bằng tọa độ. Nếu đã biết phương trình của đường thẳng mà muốn tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến thì cần xác định các hệ số từ phương trình A x + B y + C = 0 tương ứng với tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng đã cho.

ví dụ 1

Cho trước một đường thẳng có dạng 2 x + 7 y - 4 = 0 _, hãy tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến.

Quyết định

Theo điều kiện, chúng ta có đường thẳng đã cho bởi phương trình tổng quát, nghĩa là cần phải viết ra các hệ số, là tọa độ của vectơ pháp tuyến. Do đó, tọa độ của vectơ có giá trị 2, 7.

Trả lời: 2 , 7 .

Có những lúc A hoặc B từ một phương trình bằng không. Hãy xem xét giải pháp của một nhiệm vụ như vậy với một ví dụ.

Ví dụ 2

Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng y - 3 = 0 cho trước.

Quyết định

Theo điều kiện, chúng ta được đưa ra phương trình tổng quát của một đường thẳng, có nghĩa là chúng ta viết nó theo cách này 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Bây giờ chúng ta có thể thấy rõ ràng các hệ số, là tọa độ của vectơ pháp tuyến. Vì vậy, chúng ta nhận được rằng tọa độ của vectơ pháp tuyến là 0, 1.

Trả lời: 0, 1.

Nếu một phương trình được cho trong các đoạn có dạng x a + y b \ u003d 1 hoặc một phương trình có hệ số góc y \ u003d k x + b, thì cần phải rút gọn thành một phương trình tổng quát của một đường thẳng, nơi bạn có thể tìm thấy tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng này.

Ví dụ 3

Tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu cho phương trình của đường thẳng x 1 3 - y = 1.

Quyết định

Đầu tiên, bạn cần chuyển từ phương trình trong khoảng x 1 3 - y = 1 sang một phương trình tổng quát. Khi đó ta được x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

Điều này cho thấy tọa độ của vectơ pháp tuyến có giá trị 3, - 1.

Trả lời: 3 , - 1 .

Nếu đường thẳng được xác định bởi phương trình chính tắc của đường thẳng trên mặt phẳng x - x 1 a x = y - y 1 a y hoặc theo tham số x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, thì nhận được tọa độ trở nên phức tạp hơn. Theo các phương trình này, có thể thấy rằng tọa độ của vectơ chỉ phương sẽ là a → = (a x, a y). Khả năng tìm được tọa độ của vectơ pháp tuyến n → là có thể xảy ra do các vectơ n → và a → vuông góc nhau.

Có thể thu được tọa độ của vectơ pháp tuyến bằng cách giảm phương trình chính tắc hoặc tham số của một đường thẳng thành tổng quát. Sau đó, chúng tôi nhận được:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Đối với giải pháp, bạn có thể chọn bất kỳ cách nào thuận tiện.

Ví dụ 4

Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng x - 2 7 = y + 3 - 2 đã cho.

Quyết định

Từ đường thẳng x - 2 7 = y + 3 - 2 rõ ràng vectơ chỉ phương sẽ có tọa độ a → = (7, - 2). Vectơ pháp tuyến n → = (n x, n y) của đường thẳng đã cho vuông góc với a → = (7, - 2).

Chúng ta hãy tìm hiểu tích vô hướng là gì. Để tìm tích vô hướng của vectơ a → = (7, - 2) và n → = (n x, n y) ta viết a →, n → = 7 · n x - 2 · n y = 0.

Giá trị của n x là tùy ý, bạn nên tìm n y. Nếu n x = 1, thì ta nhận được rằng 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

Do đó, vectơ pháp tuyến có tọa độ 1, 7 2.

Cách giải thứ hai đi vào thực tế là cần đến dạng tổng quát của phương trình từ chính tắc. Đối với điều này, chúng tôi chuyển đổi

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Kết quả của tọa độ vectơ pháp tuyến là 2, 7.

Trả lời: 2, 7 hoặc 1 , 7 2 .

Ví dụ 5

Xác định tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng x = 1 y = 2 - 3 · λ.

Quyết định

Đầu tiên bạn cần thực hiện một phép biến hình để chuyển về dạng tổng quát của một đường thẳng. Làm thôi:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Điều này cho thấy tọa độ của vectơ pháp tuyến là - 3, 0.

Trả lời: - 3 , 0 .

Xét các cách tìm tọa độ của một vectơ pháp tuyến trong phương trình của một đường thẳng trong không gian, cho bởi một hệ trục tọa độ hình chữ nhật O x y z.

Khi một đường thẳng cho bởi phương trình các mặt phẳng cắt nhau A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tham chiếu đến A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 và A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, khi đó ta nhận được các vectơ ở dạng n 1 → = (A 1, B 1, C 1) và n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Khi đường thẳng được xác định bằng phương trình chính tắc của không gian, có dạng x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z hoặc tham số, có dạng x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ, do đó a x, a y và a z được coi là tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng đã cho. Mọi vectơ khác 0 đều có thể là pháp tuyến đối với một đường thẳng cho trước và vuông góc với vectơ a → = (a x, a y, a z). Theo đó, việc tìm tọa độ của pháp tuyến với phương trình tham số và chính tắc được thực hiện bằng cách sử dụng tọa độ của vectơ, vuông góc với vectơ đã cho a → = (a x, a y, a z).

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter