Một đạo hàm của một hàm và một cách nhìn tổng quát.
một)Tích hợp trực tiếp.
Tìm tích phân của hàm số dựa trên ứng dụng trực tiếp các tính chất của tích phân bất định và bảng các công thức tích phân cơ bản. Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm tích phân của một hàm bằng tích phân trực tiếp.
Ví dụ:
∫(X–3) 2ngày X= ∫(X 2 –6X+9) d X= ∫X 2ngày X- 6∫X d X+ 9∫d X=X 3 ∕3 -3X 2 +9X+ C.
Trong phần lớn các trường hợp, chúng ta đang xử lý tích phân của các hàm mà không thể tìm thấy bằng tích phân trực tiếp. Trong trường hợp này, cần thực hiện thay thế (thay thế biến).
b)Tích hợp bằng cách thay thế (thay đổi của biến).
Tích hợp thay thế, hay như nó thường được gọi, phương pháp thay đổi biến số, là một trong những phương pháp tích hợp hiệu quả hơn và phổ biến hơn. Phương pháp thay thế là chuyển từ một biến tích phân đã cho sang một biến khác để đơn giản hóa biểu thức tích phân con và đưa nó về một trong các tích phân dạng bảng. Trong trường hợp này, việc lựa chọn thay thế được quyết định bởi cá nhân người biểu diễn, bởi vì không có quy tắc chung nào chỉ định sự thay thế nào trong trường hợp này lấy.
Ví dụ: Tìm tích phân ∫ e 2x + 3d X.
Hãy để chúng tôi giới thiệu một biến mới t được liên kết với X phụ thuộc tiếp theo 2 X+ 3 = t.
Lấy vi phân của các vế trái và phải của đẳng thức này: 2d X= dt; d X= dt / 2.
Bây giờ thay vì 2 X+ 3 và d X chúng tôi thay thế các giá trị của chúng vào tích hợp. Sau đó, chúng tôi nhận được: ∫ e 2x + 3d X=∫e tdt = e t + C. Quay trở lại biến trước đó, cuối cùng chúng ta thu được biểu thức:
∫e 2x + 3d X=e 2x + 3 + C.
Để đảm bảo rằng tích phân được lấy một cách chính xác, cần phải sử dụng hàm đối e 2x + 3 phân biệt và kiểm tra xem liệu đạo hàm của nó có bằng với tích phân hay không:
(e 2x + 3)" =e 2x + 3 (2 X+3)" =e 2x + 3 .
3. Tích phân xác định và các tính chất của nó.
Khái niệm tích phân xác định được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ. Với sự trợ giúp của nó, các khu vực bị giới hạn bởi đường cong, thể tích có hình dạng tùy ý, công suất và công của một lực thay đổi, đường đi của một vật chuyển động, mômen quán tính và nhiều đại lượng khác được tính toán.
TẠI 
Trong phần lớn các trường hợp, khái niệm tích phân xác định được đưa ra khi giải các bài toán xác định diện tích hình thang cong. Để tồn tại một hàm liên tục y = f ( X) trên đoạn [ AC]. Hình giới hạn bởi đường cong y \ u003d f ( X) sắc lệnh mộtÀ ồ trong NHƯNG P và phân đoạn [ AC] trục abscissa được gọi là hình thang cong (Hình 1).
Hãy tự đặt cho mình nhiệm vụ: xác định diện tích S của hình thang cong một A o A P trong. Để làm điều này, chúng tôi chia đoạn [ AC] trên P không cần thiết các phần bằng nhau và biểu thị các điểm phân chia như sau: một=X về < X một < X 2 ‹ … ‹ X P = trong.
Từ các điểm phân chia, chúng tôi khôi phục các đường vuông góc đến giao điểm với đường cong y \ u003d f ( X). Do đó, chúng tôi đã chia toàn bộ khu vực bị giới hạn bởi đường cong thành P hình thang cong sơ cấp. Hãy khôi phục từ điểm tùy ý mỗi đoạn ∆ X tôi ordinatesf (C tôi) cho đến khi nó giao với đường cong y = f ( X). Tiếp theo, chúng ta dựng một hình bậc bao gồm các hình chữ nhật có đáy là ∆ X tôi và chiều cao f (C tôi). khu vực nguyên tố tôithứ tự hình chữ nhật sẽ là S tôi = f (C tôi)(X tôi -X tôi -1 ), và toàn bộ khu vực S P hình bước kết quả sẽ bằng tổng diện tích của các hình chữ nhật:
S P= f (C o) ( X 1 -X o) + f (C 1) ( X 2 -X 1 ) +… + F (С P- 1)(X P -X P- 1).
Để rút ngắn bản ghi số tiền này, hãy nhập ký hiệu 
(sigma) - một dấu hiệu có nghĩa là tổng của các đại lượng. sau đó
S P
=
.
Tổng này S P,được gọi là tổng tích phân, có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn giá trị thực của vùng đã cho. Giá trị gần nhất với giá trị thực của vùng sẽ là giới hạn của tổng, miễn là các phân đoạn cơ bản sẽ được tách ra ( p →
), và chiều dài của phân khúc lớn ∆X tối đa sẽ có xu hướng bằng không, tức là:
S =
(4)
Giới hạn này của tổng tích phân (nếu nó tồn tại) được gọi là tích phân xác định từ hàm f ( X) trên đoạn [ một,trong] và biểu thị: 
=
(5)
(đọc - “tích phân xác định của một trước trong ef ot x de x ”).
Con số một và trong lần lượt được gọi là giới hạn dưới và giới hạn trên của tích hợp, f ( X) là một tích phân; X là biến tích hợp. Áp dụng công thức (4) và (5) có thể viết được. Rằng diện tích của hình thang cong bằng số bằng tích phân của hàm giới hạn hình thang, được tính trên khoảng tích phân [một,trong]:
.
Thực tế này thể hiện ý nghĩa hình học của tích phân xác định.
Xem xét các tính chất của tích phân xác định.
1. Tích phân xác định không phụ thuộc vào ký hiệu của biến, tức là: 
=
.
2. Tích phân xác định của tổng đại số bằng tổng đại số của các tích phân xác định của mỗi số hạng:
=
f 1 ( X) d x +
f 2 ( X) d X+ ….
Chúng ta đã thấy rằng đạo hàm có rất nhiều ứng dụng: đạo hàm là tốc độ của chuyển động (hay nói chung là tốc độ của bất kỳ quá trình nào); dẫn xuất là dốc tiếp tuyến với đồ thị của hàm số; sử dụng đạo hàm, bạn có thể khảo sát hàm tính đơn điệu và cực trị; Đạo hàm giúp giải các bài toán tối ưu hóa.
Nhưng trong đời thực phải quyết định và vấn đề nghịch đảo: chẳng hạn, cùng với bài toán tìm tốc độ từ một định luật chuyển động đã biết, còn có bài toán khôi phục định luật chuyển động từ một tốc độ đã biết. Chúng ta hãy xem xét một trong những vấn đề này.
ví dụ 1 Di chuyển trên một đường thẳng điểm vật liệu, tốc độ chuyển động của nó tại thời điểm t được cho bởi công thức u = tg. Tìm quy luật chuyển động.
Quyết định. Gọi s = s (t) là luật chuyển động mong muốn. Biết rằng s "(t) = u" (t). Vì vậy, để giải quyết vấn đề, chúng ta cần chọn hàm số s = s (t), có đạo hàm bằng tg. Thật dễ dàng để đoán rằng
Chúng tôi lưu ý ngay rằng ví dụ được giải một cách chính xác, nhưng không đầy đủ. Chúng tôi đã đạt được điều đó Trên thực tế, bài toán có vô số lời giải: bất kỳ hàm nào có dạng 
hằng số tùy ý, có thể dùng như một định luật chuyển động, vì
Để làm cho nhiệm vụ cụ thể hơn, chúng tôi phải giải quyết tình huống ban đầu: chỉ ra tọa độ của điểm chuyển động tại một thời điểm nào đó, ví dụ, tại t = 0. Giả sử, s (0) \ u003d s 0, thì từ đẳng thức, chúng ta thu được s (0) \ u003d 0 + C, tức là S 0 \ u003d C. Bây giờ định luật chuyển động được định nghĩa duy nhất:
Trong toán học, các phép toán đối ứng được gán những cái tên khác nhau, đưa ra ký hiệu đặc biệt: ví dụ: bình phương (x 2) và trích xuất căn bậc hai sin (sinx) và arcsine(arcsin x), v.v. Quá trình tìm đạo hàm đối với một hàm đã cho được gọi là phân biệt, và phép toán nghịch đảo, tức là quá trình tìm kiếm một hàm theo đạo hàm cho trước - bằng tích phân.
Bản thân thuật ngữ "đạo hàm" có thể được biện minh "theo cách thế gian": hàm y - f (x) "đưa vào thế giới" tính năng mới y "= f" (x) Hàm y \ u003d f (x) hoạt động như thể là "cha", nhưng các nhà toán học, tất nhiên, không gọi nó là "cha" hoặc "producer", họ nói rằng đây là, trong mối quan hệ với hàm y "= f" (x), ảnh chính, hay nói ngắn gọn là hàm ngược.
Định nghĩa 1. Hàm y \ u003d F (x) được gọi là đạo hàm đối với hàm y \ u003d f (x) trên một khoảng X cho trước, nếu với mọi x từ X thì đẳng thức F "(x) \ u003d f (x) là đúng .
Trong thực tế, khoảng X thường không được xác định, nhưng được ngụ ý (như miền tự nhiên của hàm).
Dưới đây là một số ví dụ:
1) Hàm y \ u003d x 2 là một đạo hàm đối với hàm y \ u003d 2x, vì với mọi x thì đẳng thức (x 2) "\ u003d 2x là đúng.
2) Hàm số y - x 3 là đạo hàm của hàm số y-3x 2, vì với mọi x thì đẳng thức (x 3) "\ u003d 3x 2 là đúng.
3) Hàm y-sinx là một đạo hàm đối với hàm y = cosx, vì với mọi x thì đẳng thức (sinx) "= cosx là đúng.
4) Hàm là phản đạo hàm đối với hàm trên khoảng vì với mọi x> 0 thì đẳng thức là đúng
Nhìn chung, biết các công thức tìm đạo hàm thì việc lập bảng công thức tìm đạo hàm không khó.
Chúng tôi hy vọng bạn hiểu cách lập bảng này: đạo hàm của hàm được viết ở cột thứ hai bằng của hàm được viết ở dòng tương ứng của cột đầu tiên (hãy kiểm tra nó, đừng lười biếng, nó rất hữu ích). Ví dụ: đối với hàm y \ u003d x 5, hàm đối, như bạn thiết lập, là hàm (xem hàng thứ tư của bảng).
Ghi chú: 1. Dưới đây ta chứng minh định lý rằng nếu y = F (x) là một đạo hàm đối với hàm số y = f (x) thì hàm số y = f (x) có vô số đạo hàm và chúng đều có dạng y = F (x) + C. Do đó, sẽ đúng hơn nếu thêm số hạng C ở mọi nơi trong cột thứ hai của bảng, trong đó C là một số thực tùy ý.
2. Để ngắn gọn, đôi khi thay vì cụm từ "hàm y = F (x) là đạo hàm của hàm y = f (x)", họ nói F (x) là hàm phản của f (x) ".
2. Quy tắc tìm chất khử trùng
Khi tìm kiếm các dẫn xuất, cũng như khi tìm kiếm các dẫn xuất, không chỉ sử dụng các công thức (chúng được liệt kê trong bảng trên trang 196), mà còn sử dụng một số quy tắc. Chúng liên quan trực tiếp đến các quy tắc tương ứng cho các dẫn xuất tính toán.
Chúng ta biết rằng đạo hàm của một tổng bằng tổng của các đạo hàm. Quy tắc này tạo ra một quy tắc tương ứng để tìm các chất chống dẫn xuất.
Quy tắc 1Đạo hàm của một tổng bằng tổng các đạo hàm.
Chúng tôi thu hút sự chú ý của bạn đến một số "độ nhẹ" của từ ngữ này. Trên thực tế, cần phải xây dựng một định lý: nếu các hàm y = f (x) và y = g (x) có các đạo hàm trên các khoảng X, y-F (x) và y-G (x) tương ứng thì tổng của hàm số y = f (x) + g (x) có một đạo hàm trên khoảng X và đạo hàm này là hàm số y = F (x) + G (x). Nhưng thông thường, khi xây dựng các quy tắc (chứ không phải định lý), người ta chỉ để lại từ khóa- vì vậy sẽ thuận tiện hơn khi áp dụng quy tắc trong thực tế
Ví dụ 2 Tìm đạo hàm của hàm số y = 2x + cos x.
Quyết định.Đạo hàm cho 2x là x "; hàm phản cho cosx là sin x. Do đó, hàm antideriuctor cho hàm y \ u003d 2x + cos x sẽ là hàm y \ u003d x 2 + sin x (và nói chung là bất kỳ hàm nào của dạng Y \ u003d x 1 + sinx + C).
Chúng ta biết rằng thừa số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm. Quy tắc này tạo ra một quy tắc tương ứng để tìm các chất chống dẫn xuất.
Quy tắc 2 Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu chống đạo hàm.
Ví dụ 3
Quyết định. a) Đạo hàm của sin x là -cos x; do đó, đối với hàm y \ u003d 5 sin x, đạo hàm sẽ là hàm y \ u003d -5 cos x.
b) Đạo hàm của cos x là sin x; do đó, đối với hàm khử đạo hàm sẽ có một hàm
c) Hàm số đối của x 3 là hàm số đối của x là hàm số đối của hàm số y \ u003d 1 là hàm số y \ u003d x. Sử dụng quy tắc thứ nhất và thứ hai để tìm đạo hàm, chúng ta nhận được rằng hàm số đối của hàm y \ u003d 12x 3 + 8x-1 là hàm
Nhận xét. Như bạn đã biết, đạo hàm của một tích không bằng tích của các dẫn xuất (quy tắc phân biệt một sản phẩm phức tạp hơn) và đạo hàm của một thương không bằng thương của đạo hàm. Do đó, không có quy tắc nào để tìm đạo hàm của sản phẩm hoặc đạo hàm của thương số của hai hàm. Hãy cẩn thận!
Chúng tôi có thêm một quy tắc để tìm các chất chống chất diệt khuẩn. Chúng ta biết rằng đạo hàm của hàm y \ u003d f (kx + m) được tính bằng công thức
Quy tắc này tạo ra một quy tắc tương ứng để tìm các chất chống dẫn xuất.
Quy tắc 3 Nếu y \ u003d F (x) là đạo hàm của hàm y \ u003d f (x) thì hàm phản đạo hàm cho hàm y \ u003d f (kx + m) là hàm
Thật,
Điều này có nghĩa là nó là một vi phân cho hàm y \ u003d f (kx + m).
Ý nghĩa của quy tắc thứ ba như sau. Nếu bạn biết rằng đạo hàm của hàm y \ u003d f (x) là hàm y \ u003d F (x) và bạn cần tìm đạo hàm của hàm y \ u003d f (kx + m), thì hãy tiếp tục như sau: lấy hàm F tương tự, nhưng thay đối số x, thay vào biểu thức xx + m; Ngoài ra, đừng quên viết “hệ số hiệu chỉnh” trước dấu của hàm
Ví dụ 4 Tìm các dẫn xuất cho các chức năng đã cho:
Quyết định, a) Đạo hàm của sin x là -cos x; điều này có nghĩa là đối với hàm y \ u003d sin2x, đạo hàm sẽ là hàm
b) Đạo hàm của cos x là sin x; do đó, đối với hàm khử đạo hàm sẽ có một hàm
c) Vì vậy, hàm khử đạo hàm cho x 7, đối với hàm y \ u003d (4-5x) 7, hàm khử đạo hàm sẽ là hàm
3. Tích phân bất định
Ở trên chúng ta đã lưu ý rằng bài toán tìm đạo hàm của một hàm số y = f (x) đã cho có nhiều hơn một nghiệm. Chúng ta hãy thảo luận vấn đề này chi tiết hơn.
Bằng chứng. 1. Gọi y \ u003d F (x) là đạo hàm của hàm số y \ u003d f (x) trên khoảng X. Điều này có nghĩa là với mọi x từ X thì đẳng thức x "(x) \ u003d f (x) là true. Tìm đạo hàm của bất kỳ hàm nào có dạng y \ u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \ u003d F "(x) + C \ u003d f (x) + 0 \ u003d f (x).
Vì vậy, (F (x) + C) = f (x). Điều này có nghĩa là y \ u003d F (x) + C là một đạo hàm đối với hàm y \ u003d f (x).
Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng nếu hàm y \ u003d f (x) có một đạo hàm y \ u003d F (x), thì hàm (f \ u003d f (x) có vô số đạo hàm, chẳng hạn như bất kỳ hàm nào của dạng y \ u003d F (x) + C là phản đạo hàm.
2. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng loại cụ thể chức năng, toàn bộ tập hợp các chất chống nhiễm trùng đã cạn kiệt.
Gọi y = F 1 (x) và y = F (x) là hai đạo hàm đối với hàm số Y = f (x) trên khoảng X. Điều này có nghĩa là với mọi x thuộc khoảng X thì các quan hệ sau giữ nguyên: F ^ ( x) = f (X); F "(x) \ u003d f (x).
Xét hàm y \ u003d F 1 (x) -.F (x) và tìm đạo hàm của nó: (F, (x) -F (x)) "\ u003d F [(x) - F (x) \ u003d f (x) - f (x) = 0.
Biết rằng nếu đạo hàm của hàm số trên khoảng X đồng biến bằng 0 thì hàm số đó đồng biến trên khoảng X (xem Định lý 3 ở § 35). Do đó, F 1 (x) -F (x) \ u003d C, tức là Fx) \ u003d F (x) + C.
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 5Định luật về sự thay đổi của tốc độ từ thời điểm v = -5sin2t được thiết lập. Tìm quy luật của chuyển động s = s (t) nếu biết rằng tại thời điểm t = 0, tọa độ của chất điểm bằng số 1,5 (tức là s (t) = 1,5).
Quyết định. Vì tốc độ là đạo hàm của tọa độ như một hàm của thời gian, trước tiên chúng ta cần tìm đạo hàm của tốc độ, tức là. đạo hàm đối với hàm v = -5sin2t. Một trong những chất chống chất diệt khuẩn như vậy là chức năng, và tập hợp của tất cả chất chống chất diệt khuẩn có dạng:
Để tìm một giá trị cụ thể của hằng số C, chúng ta sử dụng điều kiện ban đầu, theo đó, s (0) = 1,5. Thay vào công thức (1) các giá trị t = 0, S = 1,5, ta được:
Thay giá trị tìm được C vào công thức (1), chúng ta thu được quy luật chuyển động mà chúng ta quan tâm:
Định nghĩa 2. Nếu một hàm số y = f (x) có một đạo hàm y = F (x) trên khoảng X, thì tập hợp tất cả các đạo hàm, tức là Tập hợp các hàm có dạng y \ u003d F (x) + C, được gọi là tích phân bất định của hàm y \ u003d f (x) và được ký hiệu:
(họ đọc: "ef tích phân không xác định của x de x").
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu ý tứ ẩn sự chỉ định được chỉ định.
Dựa vào bảng tích phân có sẵn trong đoạn này, chúng ta sẽ lập bảng tích phân bất định cơ bản:
Dựa vào 3 quy tắc tìm đạo hàm trên, ta có thể lập quy tắc tích phân tương ứng.
Quy tắc 1 Tích phân của tổng các hàm bằng tổng tích phân của các hàm này:
Quy tắc 2 Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu tích phân:
Quy tắc 3 Nếu một
Ví dụ 6 Tìm tích phân không xác định:
Quyết định, a) Sử dụng các quy tắc tích hợp thứ nhất và thứ hai, chúng tôi thu được:
Bây giờ chúng ta sử dụng công thức tích hợp thứ 3 và thứ 4:
Kết quả là, chúng tôi nhận được:
b) Sử dụng quy tắc tích phân thứ ba và công thức 8, ta được:
c) Để xác định trực tiếp tích phân đã cho, ta không có công thức tương ứng và quy tắc tương ứng. Trong những trường hợp như vậy, đôi khi được thực hiện trước biến đổi giống hệt nhau biểu thức chứa dưới dấu tích phân.
Hãy sử dụng công thức lượng giác hạ cấp:
Sau đó, chúng tôi liên tiếp tìm thấy:
A.G. Mordkovich Đại số lớp 10
Lập kế hoạch theo chủ đề lịch trong toán học, video trong toán học trực tuyến, Toán học ở trường
Bài học này là bài đầu tiên trong loạt video về tích hợp. Trong đó, chúng ta sẽ hiểu thế nào là antideriuctor của một chức năng, và chúng ta cũng sẽ nghiên cứu các phương pháp cơ bản để tính toán chính các đạo hàm này.
Trên thực tế, không có gì phức tạp ở đây: về bản chất, mọi thứ đều đi đến khái niệm đạo hàm, cái mà bạn nên làm quen. :)
Tôi lưu ý ngay rằng, vì đây là bài học đầu tiên trong chủ đề mới, hôm nay sẽ không có các phép tính và công thức phức tạp, nhưng những gì chúng ta sẽ nghiên cứu hôm nay sẽ tạo cơ sở cho các phép tính và cấu trúc phức tạp hơn nhiều khi tính toán tích phân phức tạp và hình vuông.
Ngoài ra, khi bắt đầu học tích phân và tích phân nói riêng, chúng ta mặc nhiên cho rằng học sinh ít nhất đã nắm rõ các khái niệm về đạo hàm và có ít nhất các kỹ năng sơ cấp về tính toán chúng. Không có hiểu biết rõ ràng về điều này, hoàn toàn không có gì để làm trong hội nhập.
Tuy nhiên, đây là một trong những vấn đề thường xuyên và ngấm ngầm nhất. Thực tế là khi bắt đầu tính đạo hàm đầu tiên, nhiều học sinh nhầm lẫn chúng với đạo hàm. Kết quả là, trong các kỳ thi và làm việc độc lập những sai lầm ngu ngốc và xúc phạm được thực hiện.
Do đó, bây giờ tôi sẽ không đưa ra một định nghĩa rõ ràng về chất chống chất diệt khuẩn. Và đổi lại, tôi khuyên bạn nên xem cách nó được xem xét trên một ví dụ cụ thể đơn giản.
Nguyên thủy là gì và nó được coi như thế nào
Chúng tôi biết công thức này:
\ [((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]
Đạo hàm này được coi là cơ bản:
\ [(f) "\ left (x \ right) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 ((x) ^ (2)) \ ]
Hãy xem xét kỹ biểu thức kết quả và biểu thị $ ((x) ^ (2)) $:
\ [((x) ^ (2)) = \ frac (((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime))) (3) \]
Nhưng chúng ta cũng có thể viết nó theo cách này, theo định nghĩa của đạo hàm:
\ [((x) ^ (2)) = ((\ left (\ frac (((x) ^ (3))) (3) \ right)) ^ (\ prime)) \]
Và bây giờ hãy chú ý: những gì chúng tôi vừa viết ra là định nghĩa của chất chống dẫn xuất. Nhưng để viết nó một cách chính xác, bạn cần phải viết như sau:
Hãy viết biểu thức sau theo cách tương tự:
Nếu chúng ta tổng quát hóa quy tắc này, chúng ta có thể suy ra công thức sau:
\ [((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) \]
Bây giờ chúng ta có thể hình thành một định nghĩa rõ ràng.
Đạo hàm của một hàm số là một hàm số có đạo hàm bằng nguyên hàm.
Câu hỏi về chức năng chống nhiễm trùng
Nó có vẻ khá đơn giản và định nghĩa rõ ràng. Tuy nhiên, khi nghe thấy điều đó, ngay lập tức học sinh chăm chú sẽ có một số câu hỏi:
- Hãy nói rằng, công thức này là đúng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, khi $ n = 1 $, chúng ta gặp vấn đề: “không” xuất hiện ở mẫu số và không thể chia cho “không”.
- Công thức chỉ giới hạn cho quyền hạn. Cách tính đạo hàm, ví dụ, sin, cosine và bất kỳ lượng giác nào khác, cũng như các hằng số.
- Một câu hỏi tồn tại: có phải lúc nào cũng có thể tìm thấy chất chống chất diệt khuẩn không? Nếu vậy, còn về tổng, chênh lệch, sản phẩm, v.v ... thì sao?
Tôi sẽ trả lời câu hỏi cuối cùng ngay sau đây. Thật không may, không giống như dẫn xuất, không phải lúc nào cũng được xem xét. Không có công thức chung nào như vậy, theo đó, từ bất kỳ cấu trúc ban đầu nào, chúng ta sẽ thu được một hàm sẽ bằng với cấu trúc tương tự này. Đối với lũy thừa và hằng số, chúng ta sẽ nói về điều đó ngay bây giờ.
Giải quyết các vấn đề với chức năng nguồn
\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1 + 1))) (- 1 + 1) = \ frac (1) (0) \]
Như chúng ta thấy, công thức đã cho cho $ ((x) ^ (- 1)) $ không hoạt động. Câu hỏi đặt ra: những gì sau đó hoạt động? Chúng ta không thể đếm $ ((x) ^ (- 1)) $? Tất nhiên là chúng ta có thể. Hãy bắt đầu với điều này:
\ [((x) ^ (- 1)) = \ frac (1) (x) \]
Bây giờ chúng ta hãy nghĩ: đạo hàm của hàm nào bằng $ \ frac (1) (x) $. Rõ ràng, bất kỳ học sinh nào đã từng tham gia ít nhất một chút vào chủ đề này sẽ nhớ rằng biểu thức này bằng đạo hàm của lôgarit tự nhiên:
\ [((\ left (\ ln x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (x) \]
Vì vậy, chúng tôi có thể tự tin viết như sau:
\ [\ frac (1) (x) = ((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]
Công thức này cần được biết, giống như đạo hàm của một hàm lũy thừa.
Vì vậy, những gì chúng ta biết cho đến nay:
- Đối với hàm lũy thừa - $ ((x) ^ (n)) \ to \ frac (((x) ^ (n + 1))) (n + 1) $
- Đối với một hằng số - $ = const \ to \ cdot x $
- Một trường hợp đặc biệt của hàm lũy thừa - $ \ frac (1) (x) \ to \ ln x $
Và nếu chúng ta bắt đầu nhân và chia các hàm đơn giản nhất, thì làm thế nào để tính đạo hàm của một tích hoặc một thương số. Thật không may, các phép loại suy với dẫn xuất của một sản phẩm hoặc một thương số không hoạt động ở đây. Không tí nào công thức tiêu chuẩn không tồn tại. Đối với một số trường hợp, có những công thức đặc biệt phức tạp - chúng ta sẽ tìm hiểu chúng trong các video hướng dẫn trong tương lai.
Tuy nhiên, hãy nhớ: công thức chung, không có công thức tương tự để tính đạo hàm của thương và tích.
Giải quyết các vấn đề thực tế
Nhiệm vụ 1
Hãy mỗi chức năng quyền lựcđếm riêng:
\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]
Quay trở lại biểu thức của chúng tôi, chúng tôi viết cấu trúc chung:
Nhiệm vụ 2
Như tôi đã nói, các tác phẩm nguyên thủy và "trống qua" tư nhân không được xem xét. Tuy nhiên, ở đây bạn có thể làm như sau:
Chúng ta đã chia phân số thành tổng của hai phân số.
Hãy tính toán:
Tin tốt là một khi bạn biết các công thức tính toán các dẫn xuất, bạn đã có thể tính toán các cấu trúc phức tạp hơn. Tuy nhiên, chúng ta hãy tiếp tục và mở rộng kiến thức của mình nhiều hơn một chút. Thực tế là nhiều cấu trúc và biểu thức thoạt nhìn không liên quan gì đến $ ((x) ^ (n)) $ có thể được biểu diễn dưới dạng một lũy thừa với chỉ báo hợp lý, cụ thể là:
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \]
\ [\ sqrt [n] (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (n))) \]
\ [\ frac (1) (((x) ^ (n))) = ((x) ^ (- n)) \]
Tất cả những kỹ thuật này có thể và nên được kết hợp với nhau. Biểu thức quyền lực có thể
- nhân (các lũy thừa được thêm vào);
- chia (độ được trừ);
- nhân với một hằng số;
- vân vân.
Giải các biểu thức có bậc với số mũ hữu tỉ
Ví dụ 1
Hãy đếm riêng từng gốc:
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (2) +1))) (\ frac (1) (2) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (\ frac (3) (2)) = \ frac (2 \ cdot (( x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]
\ [\ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (1) (4)))) (\ frac ( 1) (4) +1) = \ frac (((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (\ frac (5) (4)) = \ frac (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]
Tổng cộng, toàn bộ quá trình xây dựng của chúng tôi có thể được viết như sau:
Ví dụ số 2
\ [\ frac (1) (\ sqrt (x)) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (- 1)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (2))) \ phải)) ^ (- 1)) = ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) \]
Do đó, chúng ta sẽ nhận được:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (3))) = ((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 3 + 1))) (- 3 +1) = \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) = - \ frac (1) (2 ((x) ^ (2))) \]
Tổng cộng, thu thập mọi thứ trong một biểu thức, chúng ta có thể viết:
Ví dụ # 3
Đầu tiên, hãy lưu ý rằng chúng tôi đã tính toán $ \ sqrt (x) $:
\ [\ sqrt (x) \ to \ frac (4 ((x) ^ (\ frac (5) (4)))) (5) \]
\ [((x) ^ (\ frac (3) (2))) \ to \ frac (((x) ^ (\ frac (3) (2) +1))) (\ frac (3) (2 ) +1) = \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (2)))) (5) \]
Hãy viết lại:
Tôi hy vọng tôi sẽ không làm bất kỳ ai ngạc nhiên nếu tôi nói rằng những gì chúng ta vừa nghiên cứu chỉ là những phép tính đơn giản nhất về các đạo hàm, những cấu tạo sơ đẳng nhất. Bây giờ chúng ta hãy xem xét thêm một chút ví dụ phức tạp, trong đó, ngoài các chất diệt khuẩn dạng bảng, nó cũng sẽ cần thiết phải thu hồi chương trình giáo dục cụ thể là các công thức nhân đơn giản.
Giải quyết các ví dụ phức tạp hơn
Nhiệm vụ 1
Nhắc lại công thức tính bình phương của hiệu:
\ [((\ left (a-b \ right)) ^ (2)) = ((a) ^ (2)) - ab + ((b) ^ (2)) \]
Hãy viết lại hàm của chúng ta:
Bây giờ chúng ta phải tìm ra nguyên hàm của một hàm như vậy:
\ [((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (5) (3)))) (5) \]
\ [((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ to \ frac (3 \ cdot ((x) ^ (\ frac (4) (3)))) (4) \]
Chúng tôi thu thập mọi thứ trong một thiết kế chung:
Nhiệm vụ 2
Trong trường hợp này, chúng ta cần mở khối lập phương khác biệt. Xin hãy nhớ:
\ [((\ left (a-b \ right)) ^ (3)) = ((a) ^ (3)) - 3 ((a) ^ (2)) \ cdot b + 3a \ cdot ((b) ^ (2)) - ((b) ^ (3)) \]
Với thực tế này, nó có thể được viết như sau:
Hãy sửa đổi chức năng của chúng tôi một chút:
Chúng tôi xem xét, như mọi khi, cho từng thuật ngữ riêng biệt:
\ [((x) ^ (- 3)) \ to \ frac (((x) ^ (- 2))) (- 2) \]
\ [((x) ^ (- 2)) \ to \ frac (((x) ^ (- 1))) (- 1) \]
\ [((x) ^ (- 1)) \ to \ ln x \]
Hãy viết cấu trúc kết quả:
Nhiệm vụ số 3
Trên đầu chúng ta có bình phương của tổng, hãy mở nó:
\ [\ frac (((\ left (x + \ sqrt (x) \ right)) ^ (2))) (x) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x \ cdot \ sqrt (x ) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (2))) (x) = \]
\ [= \ frac (((x) ^ (2))) (x) + \ frac (2x \ sqrt (x)) (x) + \ frac (x) (x) = x + 2 ((x) ^ (\ frac (1) (2))) + 1 \]
\ [((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ to \ frac (2 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (2)))) (3) \]
Hãy viết giải pháp cuối cùng:
Và bây giờ chú ý! Cao thứ quan trọng, có liên quan đến việc chia sẻ lỗi và hiểu lầm của sư tử. Thực tế là cho đến nay, khi đếm các đạo hàm với sự trợ giúp của các đạo hàm, đưa ra các phép biến đổi, chúng tôi không nghĩ đến việc đạo hàm của một hằng số bằng bao nhiêu. Nhưng đạo hàm của một hằng số bằng "không". Và điều này có nghĩa là bạn có thể viết các tùy chọn sau:
- $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) $
- $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) + 1 $
- $ ((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) + C $
Điều này rất quan trọng cần hiểu: nếu đạo hàm của một hàm số luôn bằng nhau, thì hàm số tương tự có vô số đạo hàm. Chúng ta có thể chỉ cần thêm bất kỳ số không đổi nào vào số nguyên thủy của mình và lấy số mới.
Không phải ngẫu nhiên mà trong phần giải thích các công việc mà chúng ta vừa giải quyết có ghi “Viết ra hình thức chung nguyên thủy. " Những thứ kia. người ta đã giả định trước rằng không có một, mà là toàn bộ vô số chúng. Tuy nhiên, trên thực tế, chúng chỉ khác nhau ở điểm không đổi $ C $ ở cuối. Vì vậy, trong nhiệm vụ của mình, chúng tôi sẽ sửa chữa những gì chúng tôi chưa hoàn thành.
Một lần nữa, chúng tôi viết lại các công trình xây dựng của chúng tôi:
Trong những trường hợp như vậy, người ta nên thêm rằng $ C $ là một hằng số - $ C = const $.
Trong chức năng thứ hai của chúng tôi, chúng tôi nhận được cấu trúc sau:
Và điều cuối cùng:
Và bây giờ chúng tôi thực sự có được những gì được yêu cầu đối với chúng tôi trong điều kiện ban đầu của vấn đề.
Giải các bài toán về tìm dẫn xuất với điểm cho trước
Bây giờ chúng ta đã biết về các hằng số và về các đặc thù của việc viết các đạo hàm, loại vấn đề sau đây khá logic nảy sinh, khi từ tập hợp tất cả các đạo hàm cần phải tìm một và chỉ như vậy mới có thể vượt qua. điểm đã cho. Nhiệm vụ này là gì?
Thực tế là tất cả các đạo hàm của một hàm đã cho chỉ khác nhau ở chỗ chúng được dịch chuyển theo phương thẳng đứng của một số nào đó. Và điều này có nghĩa là bất kể điểm nào trên mặt phẳng tọa độ chúng tôi đã không lấy nó, một nguyên thủy chắc chắn sẽ vượt qua, và hơn nữa, chỉ một.
Vì vậy, các công việc mà chúng ta sẽ giải quyết bây giờ được xây dựng như sau: không dễ dàng tìm được đạo hàm, biết công thức của nguyên hàm, nhưng phải chọn chính xác một trong số chúng đi qua một điểm cho trước, tọa độ của nó sẽ được đưa ra trong điều kiện của vấn đề.
Ví dụ 1
Đầu tiên, chúng ta hãy tính toán từng số hạng:
\ [((x) ^ (4)) \ to \ frac (((x) ^ (5))) (5) \]
\ [((x) ^ (3)) \ to \ frac (((x) ^ (4))) (4) \]
Bây giờ chúng tôi thay thế các biểu thức này thành cấu trúc của chúng tôi:
Hàm này phải đi qua điểm $ M \ left (-1; 4 \ right) $. Nó có nghĩa là gì khi nó đi qua một điểm? Điều này có nghĩa là nếu thay vì $ x $, chúng ta đặt $ -1 $ ở mọi nơi và thay vì $ F \ left (x \ right) $ - $ -4 $, thì chúng ta sẽ nhận được bằng số chính xác. Làm thôi nào:
Chúng tôi thấy rằng chúng tôi có một phương trình cho $ C $, vì vậy hãy thử giải nó:
Hãy viết ra giải pháp mà chúng tôi đang tìm kiếm:
Ví dụ số 2
Trước hết, cần phải mở bình phương của sự khác biệt bằng cách sử dụng công thức nhân viết tắt:
\ [((x) ^ (2)) \ to \ frac (((x) ^ (3))) (3) \]
Cấu trúc ban đầu sẽ được viết như sau:
Bây giờ, hãy tìm $ C $: thay thế tọa độ của điểm $ M $:
\ [- 1 = \ frac (8) (3) -12 + 18 + C \]
Chúng tôi thể hiện $ C $:
Nó vẫn để hiển thị biểu thức cuối cùng:
Giải các bài toán lượng giác
Như hợp âm cuối cùng Ngoài những gì chúng ta vừa phân tích, tôi đề xuất xem xét thêm hai nhiệm vụ đầy thử thách chứa lượng giác. Trong chúng, theo cách tương tự, sẽ cần tìm các đạo hàm cho tất cả các hàm, sau đó chọn trong tập hợp này hàm duy nhất đi qua điểm $ M $ trên mặt phẳng tọa độ.
Sắp tới, tôi muốn lưu ý rằng kỹ thuật mà bây giờ chúng ta sẽ sử dụng để tìm các chất chống nhiễm trùng từ hàm lượng giác, trên thực tế, là tiếp nhận phổ quátđể tự kiểm tra.
Nhiệm vụ 1
Hãy nhớ công thức sau:
\ [((\ left (\ text (tg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ cos) ^ (2)) x) \]
Dựa trên điều này, chúng ta có thể viết:
Hãy thay tọa độ của điểm $ M $ vào biểu thức của chúng ta:
\ [- 1 = \ text (tg) \ frac (\ text () \! \! \ Pi \! \! \ Text ()) (\ text (4)) + C \]
Hãy viết lại biểu thức với thực tế này trong tâm trí:
Nhiệm vụ 2
Ở đây sẽ khó hơn một chút. Bây giờ bạn sẽ thấy tại sao.
Hãy nhớ công thức này:
\ [((\ left (\ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = - \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]
Để loại bỏ "dấu trừ", bạn phải làm như sau:
\ [((\ left (- \ text (ctg) x \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (((\ sin) ^ (2)) x) \]
Đây là thiết kế của chúng tôi
Thay thế tọa độ của điểm $ M $:
Hãy viết ra bản dựng cuối cùng:
Đó là tất cả những gì tôi muốn nói với bạn ngày hôm nay. Chúng tôi đã nghiên cứu các thuật ngữ chống chất diệt khuẩn, cách đếm chúng từ chức năng cơ bản, cũng như cách tìm đạo hàm đi qua một điểm cụ thể trên mặt phẳng tọa độ.
Tôi hy vọng bài học này sẽ giúp bạn một chút để hiểu điều này chủ đề khó. Trong mọi trường hợp, trên các đạo hàm người ta xây dựng các tích phân bất định và bất định, vì vậy nhất thiết phải xét chúng. Đối với tôi đó là tất cả. Hẹn sớm gặp lại!
Hai đầu và sáu chân; bốn người đi bộ, và hai người nằm yên
Lòng tự trọng - nó là gì: khái niệm, cấu trúc, các loại và cấp độ
Con đường của Cassandra, hoặc Cuộc phiêu lưu Pasta Cuộc chiến trên Trái đất và Dưới lòng đất